第一章 点的 运动学
§ 1.5 曲线 坐标描述法空间一点可以由三个独立变量 )(),(),( 321 tqtqtq
(称为曲线坐标 )来描述,该 点的向径写成为
))(),(),(()( 321 tqtqtqrtr
则该点的速度用曲线坐标表示为曲线 坐标描述
3
3
2
2
1
1
)( qqrqqrqqrtrv?
第一章 点的 运动学 曲线 坐标描述
3
1i iq
evv i
3
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i
其中
])([1
iii
q q
T
q
T
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Ha i?
3
1
22 )(
2
1
2
1
i ii
qHvT?
容易证明：如果
ie?
相互垂直，则点加速度为则
iiq qHv i
同理，点加速度也可以用曲线坐标写出来。
ii
i q
r
He?
1?
i
i q
rH
)3,2,1(?i若令第一章 点的 运动学 曲线 坐标描述
zvvv z,,径向、横向和 z方向速度为由此得 )(
2
1 2222 zT
于是 径向、横向和 z方向加速度为
zaaa z,2,2
zqqq 321,,
zzyx,s i n,c o s
解：令 则有：
1,,1 zHHH
例题 1.6 试求柱坐标形式的速度和加速度公式。
第一章 点的 运动学
§ 1.6 追击问题假设追击者只知道目标现在的位置，不能预知目标将来的位置，因此追击者的速度方向总是指向目标现在的位置，
例如狗追兔子、导弹打飞机等 。
B A
目标追击者追击问题第一章 点的 运动学 追击问题由假设知 RRvv
AA /
AB rrR
又由可得追击问题的相对运动微分方程,
RRvvR AB /
当 0?R 时，目标被击中或捕获。
通常追击者速率是已知的,如果目标的速度或轨迹也是已知函数，则求解上面微分方程可得相对运动轨迹。
o
A
目标追击者
R?
Br? Ar?
B
第一章 点的 运动学 追击问题例题 1.7 设靶机以水平速度 u飞行，飞行高度为
h,地对空导弹从 o点发射，其飞行速率为常数 v，
试求 相对飞行轨迹。
o
h
u
v
第一章 点的 运动学 追击问题解：根据已知条件，在图示平面直角坐标系中有：
Y
XR
0
uv
B
vvA?
追击问题的相对运动微分方程：
22/ YXvXuX
22/ YXvYY
如何求解？
x
y
o
h v
第一章 点的 运动学 追击问题若用极坐标系，则有：
R
RR
s in
c o s
u
uv
B
0
vv
A
于是追击问题的相对运动微分方程在极坐标下写成：
vuRco s c o suR
s in
c o s
u
vu
Rd
dR
uuvuuvCR /)(/)( )2/c o s ()2/s in (
vuvuvBB hhxxC /)(/22 00 /21 结论？
第一章 点的 运动学本章作业题
1,某点以常速率沿曲线运动，试证其速度与加速度垂直。
2,一点在平面内运动，其速度为,加速度为,
其中 和 分别是常数和常向量。试证该点的加速度方向不变。
3,一点沿空间曲线运动，其速度为,加速度为,试证其轨迹的曲率半径为
4,某点的运动轨迹为平面曲线，其速度在 轴上的投影始终是常数,试证该点的加速度大小为,其中 为曲线的曲率半径,为速率。
v? bvka
k b?
v? a?
avv /3?
y
c?cva /3?
v
第一章 点的 运动学本章作业题
5,某点的运动规律为,,,其中 均为常数，求该点的轨迹、速度和加速度。
6,一点在平面内运动，其径向速度为和横向速度分别为和,试证该点的径向加速度和横向加速度分别为
，
7,一点沿半径为 的球面等速运动，初始时刻该点位于赤道上，速度 与经线（子午线）的夹角 为常数。试求该点到达球的顶点所需时间。
8,飞机以等速 沿水平航线飞行，高度为 。当飞机在正上空时，由地面发射一导弹，导弹始终瞄准飞机，且速率为 。试证导弹追上飞机所需时间为
r?
v?
a
btax co s? btay sin? ctz?
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V H
V2 VH 3/2
§ 1.5 曲线 坐标描述法空间一点可以由三个独立变量 )(),(),( 321 tqtqtq
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解：令 则有：
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例题 1.6 试求柱坐标形式的速度和加速度公式。
第一章 点的 运动学
§ 1.6 追击问题假设追击者只知道目标现在的位置，不能预知目标将来的位置，因此追击者的速度方向总是指向目标现在的位置，
例如狗追兔子、导弹打飞机等 。
B A
目标追击者追击问题第一章 点的 运动学 追击问题由假设知 RRvv
AA /
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又由可得追击问题的相对运动微分方程,
RRvvR AB /
当 0?R 时，目标被击中或捕获。
通常追击者速率是已知的,如果目标的速度或轨迹也是已知函数，则求解上面微分方程可得相对运动轨迹。
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第一章 点的 运动学 追击问题例题 1.7 设靶机以水平速度 u飞行，飞行高度为
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试求 相对飞行轨迹。
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第一章 点的 运动学 追击问题解：根据已知条件，在图示平面直角坐标系中有：
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追击问题的相对运动微分方程：
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第一章 点的 运动学 追击问题若用极坐标系，则有：
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第一章 点的 运动学本章作业题
1,某点以常速率沿曲线运动，试证其速度与加速度垂直。
2,一点在平面内运动，其速度为,加速度为,
其中 和 分别是常数和常向量。试证该点的加速度方向不变。
3,一点沿空间曲线运动，其速度为,加速度为,试证其轨迹的曲率半径为
4,某点的运动轨迹为平面曲线，其速度在 轴上的投影始终是常数,试证该点的加速度大小为,其中 为曲线的曲率半径,为速率。
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第一章 点的 运动学本章作业题
5,某点的运动规律为,,,其中 均为常数，求该点的轨迹、速度和加速度。
6,一点在平面内运动，其径向速度为和横向速度分别为和,试证该点的径向加速度和横向加速度分别为
，
7,一点沿半径为 的球面等速运动，初始时刻该点位于赤道上，速度 与经线（子午线）的夹角 为常数。试求该点到达球的顶点所需时间。
8,飞机以等速 沿水平航线飞行，高度为 。当飞机在正上空时，由地面发射一导弹，导弹始终瞄准飞机，且速率为 。试证导弹追上飞机所需时间为
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