理 论 力 学李 俊 峰
——复合 运动第三章 复合运动
复合运动问题 是研究物体相对于不同参考系的运动之间的关系 。 例如在刚体平面运动和一般运动中相对于平动坐标系和固定坐标系的运动之间的关系 。
复合运动不是一种新的运动形式,只是一种研究运动学问题的 思路和方法 。
为什么要研究复合运动问题：
☆ 研究动力学问题的需要 例如牛顿定律只有在惯性参考系下正确 。
☆ 研究简洁的运动学描述 例如地心系和日心系中行星运动第三章 复合运动
复合运动的基本概念设 OXYZ 是某参考坐标系 (称为定系 )，另一个坐标系 oxyz 相对
OXYZ 以给定规律运动 (称为动系 )，
即 o 点的运动和从 oxyz 到 oXYZ
的变换矩阵 A(t) 都是已知的。 又设 p 点为运动物体上的一个点。 O
X
Y
Z
o
X
Y
Z
x
yz
p
p 点 (物体 )相对 oxyz 的运动称为 相对运动,相对 OXYZ 的运动称为 绝对运动或复合运动 。 oxyz
相对 OXYZ 的运动称为 牵连运动 。
相应地可定义,相对速度、加速度，牵连速度、加速度 等。
第三章 复合运动 点的复合运动
§ 3-1 点的复合运动
向量的绝对导数和相对 （ 局部 ） 导数设向量 在定系和动系中的列阵分别为 和 。
它们的关系为 。我们定义 为向量 的 绝对导数,定义 为向量 的 相对导数或局部导数 。
r
r Ar
r
r?
A r?
dt
rd?~
向量的相对导数还可以另记为,。利用关系式
ArArAAAAr 1
可得绝对导数与相对导数的关系：
其中 是 动系相对定系的角速度 。 rdt
rd
dt
rd ~
第三章 复合运动 点的复合运动
速度合成公式
O
X
Y
Z
o
x
y
z
p
r?
R?
0R?
设 p 点为运动物体上的一个点，其相对 O 和 o 向径满足下面关系式
ARrRR 00
对时间求导得 p 点的绝对速度：
ArRR 0
向量形式为：
rep vvdtrdrvv
~
0
其中 称为相对速度,称为牵连速度。
dt
rdv
r
~
rvv e 0
第三章 复合运动 点的复合运动
加速度合成公式将速度公式对时间求导得 p 点的绝对加速度
crep aaaa
其中 称为 牵连加速度,)(
0 rraa e
称为 相对加速度,
2
2~
dt
rda
r
)(Aa r
称为 科氏加速度 。
rc va 2 )2( rc vAAa
第三章 复合运动 点的复合运动例题 3.1 一根直管 OP 在 oxy 平面内绕 o 转动，其运动方程为 。一小球 M 在管内沿 OP 运动，其运动方程为 。求 M 的速度和加速度。)(t
)(t
x
y
M
o
P
1e?
2e?
解,取与管子固联的坐标系,为动参考系，则小球的相对运动是直线运动，相对运动的速度和加速度分别为,和
1e? 2e?
1evr 1ea r
牵连运动是假想把小球在某瞬时冻结在管子壁上，由管子拖带着它一起运动。这个牵连运动是定轴转动，因此第三章 复合运动 点的复合运动牵连运动的速度和加速度分别为：
2ev e 212 eea e
根据定义，科氏加速度为：
222 evka rc
于是按照速度和加速度合成公式,M 的速度和加速度分别为,
21 eevvv re
212 )2()( eeaaaa cre
这与点的运动学中得到的极坐标公式完全一致。
第三章 复合运动 点的复合运动作业题
10-41,10-42
——复合 运动第三章 复合运动
复合运动问题 是研究物体相对于不同参考系的运动之间的关系 。 例如在刚体平面运动和一般运动中相对于平动坐标系和固定坐标系的运动之间的关系 。
复合运动不是一种新的运动形式,只是一种研究运动学问题的 思路和方法 。
为什么要研究复合运动问题：
☆ 研究动力学问题的需要 例如牛顿定律只有在惯性参考系下正确 。
☆ 研究简洁的运动学描述 例如地心系和日心系中行星运动第三章 复合运动
复合运动的基本概念设 OXYZ 是某参考坐标系 (称为定系 )，另一个坐标系 oxyz 相对
OXYZ 以给定规律运动 (称为动系 )，
即 o 点的运动和从 oxyz 到 oXYZ
的变换矩阵 A(t) 都是已知的。 又设 p 点为运动物体上的一个点。 O
X
Y
Z
o
X
Y
Z
x
yz
p
p 点 (物体 )相对 oxyz 的运动称为 相对运动,相对 OXYZ 的运动称为 绝对运动或复合运动 。 oxyz
相对 OXYZ 的运动称为 牵连运动 。
相应地可定义,相对速度、加速度，牵连速度、加速度 等。
第三章 复合运动 点的复合运动
§ 3-1 点的复合运动
向量的绝对导数和相对 （ 局部 ） 导数设向量 在定系和动系中的列阵分别为 和 。
它们的关系为 。我们定义 为向量 的 绝对导数,定义 为向量 的 相对导数或局部导数 。
r
r Ar
r
r?
A r?
dt
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向量的相对导数还可以另记为,。利用关系式
ArArAAAAr 1
可得绝对导数与相对导数的关系：
其中 是 动系相对定系的角速度 。 rdt
rd
dt
rd ~
第三章 复合运动 点的复合运动
速度合成公式
O
X
Y
Z
o
x
y
z
p
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0R?
设 p 点为运动物体上的一个点，其相对 O 和 o 向径满足下面关系式
ARrRR 00
对时间求导得 p 点的绝对速度：
ArRR 0
向量形式为：
rep vvdtrdrvv
~
0
其中 称为相对速度,称为牵连速度。
dt
rdv
r
~
rvv e 0
第三章 复合运动 点的复合运动
加速度合成公式将速度公式对时间求导得 p 点的绝对加速度
crep aaaa
其中 称为 牵连加速度,)(
0 rraa e
称为 相对加速度,
2
2~
dt
rda
r
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称为 科氏加速度 。
rc va 2 )2( rc vAAa
第三章 复合运动 点的复合运动例题 3.1 一根直管 OP 在 oxy 平面内绕 o 转动，其运动方程为 。一小球 M 在管内沿 OP 运动，其运动方程为 。求 M 的速度和加速度。)(t
)(t
x
y
M
o
P
1e?
2e?
解,取与管子固联的坐标系,为动参考系，则小球的相对运动是直线运动，相对运动的速度和加速度分别为,和
1e? 2e?
1evr 1ea r
牵连运动是假想把小球在某瞬时冻结在管子壁上，由管子拖带着它一起运动。这个牵连运动是定轴转动，因此第三章 复合运动 点的复合运动牵连运动的速度和加速度分别为：
2ev e 212 eea e
根据定义，科氏加速度为：
222 evka rc
于是按照速度和加速度合成公式,M 的速度和加速度分别为,
21 eevvv re
212 )2()( eeaaaa cre
这与点的运动学中得到的极坐标公式完全一致。
第三章 复合运动 点的复合运动作业题
10-41,10-42
