例 8-15 建立如图所示系统的运动微分方程。
0)()( 22221111 xxmgmxxmgm
约束方程为：,1 ry
0,0 2121 xxyy
0)()( 222112 xxmmgmm
上次课问题
c o n s txx 21
ry?2
由于 是任意的，可以得出运动微分方程：
2x?
gmmxmm )()( 12221
o
x
1m
2m
y
若约束仅为绳不可伸长，怎么办？
0 21 xx
§ 8-2 第二类 拉格朗日 方程及其应用一、第二类拉格朗日 (Lagrange)方程用广义坐标表示的 完整系统 的动力学普遍方程 。
Lagrange方程第 八 章 分析动力学初步
NNN zyxzyx,,,...,,,111
对于完整系统，如果用 3N个笛卡儿坐标描述，由于 3N个坐标受约束而不能独立变化，任何一组虚位移 都不是独立的；如果用 n个广义坐标描述，由于广义坐标是独立的，任何一组虚位移 都是独立的。
nqq,...,1
Lagrange方程第 八 章 分析动力学初步
0 )(
1

i
N
i iii
rrmF
因此，如果我们将动力学普遍方程
),,.,,( 1 tqqrr nii借助关系式 表示成
0
1

i
n
i i
qL?
则由 的独立性可得 n个独立方程：
nqq,...,1
niL i,...,1,0
具体写出 的形式，就是 第二类 拉格朗日 方程 。 0?
iL
简称 拉氏二类方程 / 拉格朗日方程 / 拉氏方程 。
Lagrange方程第 八 章 分析动力学初步
j
n
j j
i
i qq
rr
1


下面就是具体推导 Lagrange方程的过程：
由 可得：),,.,,(
1 tqqrr nii
j
n
j
jj
j
in
j
N
i
ii
N
i
i qQqq
rFrF )(
11 11





n
j
jjj
j
i
i
n
j
N
i
ii
N
i
ii qZqq
rrmrrm
11 11
)(

下面具体写出
jZ
称为对应广义坐标 的 广义力 。
jq
j
iN
i ij q
rFQ


1
Lagrange方程第 八 章 分析动力学初步
j
i
i
N
i
ij q
rrmZ


1 j
i
i
N
i
i
j
i
N
i
ii q
r
dt
drm
q
rrm
dt
d





11
)(
j
i
q
r

j
i
q
r

下面证明 下面证明
j
i
N
i
ii
j
N
i
iij q
rrm
q
rrm
dt
dZ





11
)(
jj q
TT
dt
d

)(
利用分部积分
2
1 2
1
ii
N
i
rmT
其中 为系统的动能。
Lagrange方程第 八 章 分析动力学初步
t
rq
q
rr i
j
n
j j
i
i?



1
由 可得：),,.,,(
1 tqqrr nii
)()(
1 k
i
j
k
in
j j q
r
tqq
r
q?



)(
k
i
q
r
dt
d

j
i
j
i
q
r
q
r



tq
rq
qq
r
q
r
k
i
j
n
j kj
i
k
i




2
1
2
Lagrange方程第 八 章 分析动力学初步
0 )( )(
11

jj
n
j jii
N
i i
qZQrrmF
),.,,,1( )( njQqTqTdtd j
jj

这就是第二类 Lagrange方程。
思考题,第二类 Lagrange方程的适用条件是什么？
为什么？
约束：理想、完整。
二、广义力的求法
(1)按定义 (解析法 )
)(
11 j
i
i
j
i
i
j
i
N
i
i
j
i
N
i
ij q
zZ
q
yY
q
xX
q
rFQ






Lagrange方程第 八 章 分析动力学初步
x
y
1?
2?
o
A
B
1l
2l
例 8-17 双摆如图所示。设 A,B球质量为,
杆 OA,AB无质量。若取角 和 为广义坐标，
求相应的广义力
iQ
1? 2?
21,mm
解：主动力
jgmFjgmF 2211,
22112
111
c o sc o s
,c o s

lly
ly









2
1
2
1
222
22
2
2
1
2
1
1121
11
1
s in
s in)(
i i
i
i
i
i
i i
i
i
i
i
glm
y
F
r
FQ
glmm
y
F
r
FQ




Lagrange方程第 八 章 分析动力学初步
x
y
1?
2?
o
A
B
1l
2l
解：在两个杆上分别任取一点，它们受 主动力为
jd
l
gm
F
j)(d
l
gm
jgdmF
i
i


)(
,
2
2
2
2
1
1
1
11

22112
111
c o sc o s
,c o s



ly
y
i
i
Lagrange方程第 八 章 分析动力学初步例 8-18 在上个例子中，若两个均质杆的质量分别为,小球无质量，求广义力
iQ21
,mm
x
y
1?
2?
o
A
B
1l
2liF1?
iF2?
(2)几何法
ArFqQ iN
i ij
n
j j
11



取一组特殊的虚位移：
0,,,,1 21 nqqq
则,同理可求AQ
1 nQQ,.,,,2
Lagrange方程第 八 章 分析动力学初步
1121
1
2
0 2
1
1
0 11 s in)2
1(21?
glmm
yFyFQ il
i
il
i


222
2
2
0 2
2
1
0 12 s in2
121?
glm
yFyFQ il
i
il
i


例 8-19 试用几何法求解例 8-18
22112211 cccc ygmygmrFrFA

Lagrange方程第 八 章 分析动力学初步
c o s21 111?ly c?
22112 c o s2
1c o s lly
c
1111 s i n2
1 ly
c
2221112 s in2
1 s in lly
c
x
y
1?
2?
o
A
B
1l
2l
gm1
gm2
222211121 s i n2
1 s i n)
2
1( glmglmmA
取 0,1
21
11211 s i n)2
1(?glmmQ
取 1,0
21
2222 s i n2
1?glmQ
Lagrange方程第 八 章 分析动力学初步三、有势系统的 Lagrange方程有势,使),,...,(
1 tqqV n? nj
q
VQ
j
j,.,,,1,

定义 Lagrange函数 L = T - V,则有
0)()()(
jjjjjj q
V
q
T
q
V
dt
d
q
T
dt
d
q
L
q
L
dt
d

jQ?
Lagrange方程第 八 章 分析动力学初步称为 标准形式的
Lagrange方程 (适用完整、理想、有势系统 )。
0)(
jj q
L
q
L
dt
d
),.,,,1( nj?
列 Lagrange方程基本步骤：
(1)分析约束性质，判断能否用 Lagrange方程
(2)分析主动力性质，判断能否用标准形式
(3)确定自由度 n =?
(4)选择 n 个独立的广义坐标
(5)写出动能 T,广义力 或者势能 V
jQ
Lagrange方程第 八 章 分析动力学初步
(6)列出拉格朗日方程例 8-20 椭圆摆如图所示。
(1)求 B点轨迹，
(2)求微幅摆动的周期
21,mmmm BA
Lagrange方程第 八 章 分析动力学初步
y
Ax
A
x
l
B
解：定常几何约束。两个自由度，主动力有势。
取广义坐标?,
Ax
动能
)(2121 22221 BBA yxmxmT
AA xlmlmxmm c o s2
1)(
2
1
2
22
2
2
21
势能?co s
22 glmgymV B
c o s c o s21)(21 22222221 glmxlmlmxmmL AA
Lagrange方程第 八 章 分析动力学初步
s i nlxx AB
c o sly B
0)(
AA x
L
x
L
dt
d
( 1 ) 0c o s)( 221 lmxmmdtd A
0)( LLdtd?
( 2 ) 0s inc o s 22222 glmlxmxlmlmdtd AA
Lagrange方程第 八 章 分析动力学初步
c o s c o s21)(21 22222221 glmxlmlmxmmL AA
由 (1)得,0co s)(
221 lmxmm A
积分得, s i ns i n)(
2221 lmlmxmm A
c o s
s i n s i n

ly
balxx
B
AB


1)( 2
2
2
2

l
y
b
ax BB 椭圆 !
Lagrange方程第 八 章 分析动力学初步
21
1
21
2,s in
mm
lmb
mm
lma

设初始条件 0)0(,0)0(,0)0(,)0( xx
下面求周期，将 (1)(2)具体写出：


( 4 ) 0s i nc o s
( 3 ) 0s i nc o s)(
22
2
2
2
2221


glmxlmlm
lmlmxmm
A
A


假设 为小量，将方程中的高阶小量略去得：,
Lagrange方程第 八 章 分析动力学初步


0
0)(
22
2
2
221

glmxlmlm
lmxmm
A
A


0
1
21
l
g
m
mm
( 1 ) 0c o s)( 221 lmxmmdtd A
( 2 ) 0s i nc o s 22222 glmlxmxlmlmdtd AA
当 时,是单摆周期。21 mm
g
lT?2?
Lagrange方程第 八 章 分析动力学初步作业,22-8,22-14
周期
gmm
lmT
)(2 21
1

0
1
21
l
g
m
mm