第七章 刚体动力学刚体定点转动
§ 7- 4 刚体定点运动动力学
e
oo MGdt
d
取刚体固连坐标系 oxyz
oo JG
)(
~
e
oooo MGdt
dGG
dt
d
1 运动微分方程在刚体固连坐标系 oxyz中方程的分量形式为
zyyzzxzyxyxx JJJJJ
若 oxyz为主轴坐标系，则方程为此称为 欧拉方程第七章 刚体动力学刚体定点转动
xxyxzxzxyyzyz MJJJ 22
（ y,z方向的分量表达式略。）
zyxz
yxzy
xzyx
MBAC
MACB
MCBA
zyx JCJBJA,,
2 欧拉方程的积分
3)科娃列夫斯卡娅 (1888年 )：
重心在赤道面上，即
CBA 2
0,0,0 ccc zyx
第七章 刚体动力学刚体定点转动
0?eoM?1)欧拉情况 (1758年 )：
BA?
0,0 ccc zyx
2)拉格朗日情况 (1788年 )：,只受重力作用，
重心在对称轴上，即
4)已证明（ 1905年）：不存在第四种可积情况。
仅在特殊情况下可求出适用任何初值的精确解。
本课程主要介绍 。
1） 刚体 永久转动,角速度向量相对刚体和惯性空间不变的运动。
角速度相对刚体不变
0 zyx
0,0
0,0
0,0
0
0
0
xzy
yzx
zyx
yx
zx
zy
AB
CA
BC
可见，永久转动只能是绕惯性主轴进行。
第七章 刚体动力学刚体定点转动
3 刚体定点运动的 欧拉情况
2) 刚体永久转动 稳定性,
对于欧拉情况，存在绕三个主轴的三种永久转动，
但是否都可以在物理上实现，要看其稳定性如何。
第七章 刚体动力学刚体定点转动某个运动是稳定的是指：与此运动相应的 初值 受到 扰动 产生的 微小变化,不会使以后时刻的运动产生显著变化 。由于扰动是无法避免的，因此只有稳定的运动在物理上可以实现。例如单摆的平衡位置，数学上有两个（摆角为 0和 180度），但稳定的只有一个（摆角为 0度）。
第七章 刚体动力学刚体定点转动我们可以用简便的方法研究欧拉永久转动稳定性。
设欧拉永久转动为
0,0 0z c o n s tyx
在初始时刻永久运动受到扰动,不再为零，
而是小量,也偏离 某一个小量。 不妨设
，研究在以后的运动中,是否还是小量。如果是，则运动稳定，否则运动不稳定。
yx,
z? 0?
zyx 0zyx,,
z,,yx
0
0)(
0)(
0
0
yxz
xzy
yzx
ABC
CAB
BCA
第七章 刚体动力学刚体定点转动将 代入欧拉方程得：
zyx 0zyx,,
第一、二式分别乘以,相加，
并对时间积分得：
yx BAC )(C,)(
c o n s tBCBACA yx 22 )()(
可见，只要 C > A 且 C > B，则初始很小的在以后的任何时候都是小量。
yx,
第七章 刚体动力学刚体定点转动自旋稳定卫星设计的最大轴原则。
再根据刚体的能量守恒：
c o n s tCBA zyx 2022 )(
可知 在以后的任何时候也将是小量。
z?
这表明,刚体绕最大或最小惯性主轴的永久转动是稳定的 。该结论的严格证明可利用 Lyapunov运动稳定性理论给出。另外，利用稳定性理论还可以证明,刚体绕中间惯性轴的永久转动不稳定 。
若考虑阻尼，绕最小惯性主轴的永久转动也不稳定。
3) 欧拉情况下轴对称刚体的运动 —— 规则进动另一方面根据 OZ轴在 oxyz中投影可得
Y
Z
oG
z
y
o
X
N x
Tzyxo CBAG,,?
Toooo GGGG c o s,c o ss in,s ins in
第七章 刚体动力学刚体定点转动
oG
oG
设 A=B，固联系 oxyz的 oz轴 为刚体对称轴，取固定坐标系 OXYZ。
由于动量矩守恒,为常矢，
可以令 OZ沿着 的方向。
oG
一方面 在 oxyz中列阵为其中 ---进动角,---章动角,---自转角
由欧拉方程：
0
0
0
z
yxy
zyx
C
ACA
CAA
第七章 刚体动力学刚体定点转动由此得 s i ns i n
0GA x
c o ss i n0GB y
co s0GC z
c o n s tC z
co n s tGC oz /co s co soz GC
利用欧拉运动学公式：
c o s
c o ss i n
s i ns i n
z
y
x
s i ns i ns i ns i n ox GAA
c o n s tAG o
即进动角速度为常数。
第七章 刚体动力学刚体定点转动即 (章动角不变 )，并且co n s t
0 co n stz
由 为常数知,,
z
c o n s tz c o s 即自转角速度为常数。
进动 是刚体定点运动的一种，它由两个运动合成：刚体绕其对称轴的自转和对称轴绕空间固定轴的公转。如果自转、进动角速度和章动角都为常数，则称 规则进动。
欧拉情况下轴对称刚体的运动是规则进动。
第七章 刚体动力学刚体定点转动
4)例：试证对于刚体定点运动的欧拉情况，当
A=B<C 时,与 的夹角满足条件
oG
8219
Z
oG
z
o
证：设 与 oZ轴夹角为,与
oz轴夹角为,则
0/co s GC z
oyxoz GAGC //1s in 2222
z
yx
C
Atg
22
第七章 刚体动力学刚体定点转动
22s i n c o s yxz
z
yxtg
22?
A
Ctgtg
212CACBA
2111 tg tgtgtg tgtgtgtg
第七章 刚体动力学刚体定点转动
Z
oG
z
o
由 及 知 tgtgtg 0tg
tgtgtg 221 2
8219
4
2
4
2
22
12
2
1
a r c tg
tg
第七章 刚体动力学刚体定点转动第七章 刚体动力学刚体定点转动
5) 欧拉情况下刚体运动方程的积分欧拉情况下刚体运动方程存在两个第一积分动量矩积分
c o n s tCBAG zyx 22222220
能量积分 c o n s tCBAT
zyx 2222
代入欧拉方程得（不妨设 A > B > C）：
将 当作参数，可以从这两个表达式解出 zx,y?
ACBABBTAGBCBGTC yyy /])(2][)(2[ 2020
最后可用椭圆函数写出三个角速度分量的表达式。
定点运动动力学作业
1 求证：作定点运动的刚体，如果其动量矩向量与角加速度向量始终垂直，则刚体的动能为常值。
2 一均质圆盘绕其质心作定点运动，不受外力矩作用。初始时给圆盘一角速度,其方向与盘面夹角为,求圆盘的进动角速度和章动角。
答案,)2( tga r c c t g 2s i n31?
§ 7- 4 刚体定点运动动力学
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1 运动微分方程在刚体固连坐标系 oxyz中方程的分量形式为
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若 oxyz为主轴坐标系，则方程为此称为 欧拉方程第七章 刚体动力学刚体定点转动
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2 欧拉方程的积分
3)科娃列夫斯卡娅 (1888年 )：
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第七章 刚体动力学刚体定点转动
0?eoM?1)欧拉情况 (1758年 )：
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2)拉格朗日情况 (1788年 )：,只受重力作用，
重心在对称轴上，即
4)已证明（ 1905年）：不存在第四种可积情况。
仅在特殊情况下可求出适用任何初值的精确解。
本课程主要介绍 。
1） 刚体 永久转动,角速度向量相对刚体和惯性空间不变的运动。
角速度相对刚体不变
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可见，永久转动只能是绕惯性主轴进行。
第七章 刚体动力学刚体定点转动
3 刚体定点运动的 欧拉情况
2) 刚体永久转动 稳定性,
对于欧拉情况，存在绕三个主轴的三种永久转动，
但是否都可以在物理上实现，要看其稳定性如何。
第七章 刚体动力学刚体定点转动某个运动是稳定的是指：与此运动相应的 初值 受到 扰动 产生的 微小变化,不会使以后时刻的运动产生显著变化 。由于扰动是无法避免的，因此只有稳定的运动在物理上可以实现。例如单摆的平衡位置，数学上有两个（摆角为 0和 180度），但稳定的只有一个（摆角为 0度）。
第七章 刚体动力学刚体定点转动我们可以用简便的方法研究欧拉永久转动稳定性。
设欧拉永久转动为
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在初始时刻永久运动受到扰动,不再为零，
而是小量,也偏离 某一个小量。 不妨设
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第七章 刚体动力学刚体定点转动将 代入欧拉方程得：
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第七章 刚体动力学刚体定点转动自旋稳定卫星设计的最大轴原则。
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3) 欧拉情况下轴对称刚体的运动 —— 规则进动另一方面根据 OZ轴在 oxyz中投影可得
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第七章 刚体动力学刚体定点转动即 (章动角不变 )，并且co n s t
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欧拉情况下轴对称刚体的运动是规则进动。
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4)例：试证对于刚体定点运动的欧拉情况，当
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第七章 刚体动力学刚体定点转动第七章 刚体动力学刚体定点转动
5) 欧拉情况下刚体运动方程的积分欧拉情况下刚体运动方程存在两个第一积分动量矩积分
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最后可用椭圆函数写出三个角速度分量的表达式。
定点运动动力学作业
1 求证：作定点运动的刚体，如果其动量矩向量与角加速度向量始终垂直，则刚体的动能为常值。
2 一均质圆盘绕其质心作定点运动，不受外力矩作用。初始时给圆盘一角速度,其方向与盘面夹角为,求圆盘的进动角速度和章动角。
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