第六章 质点动力学在非惯性系中运动
§ 6-3 质点在非惯性系中的运动
非惯性系中的质点运动微分方程
相对地球的运动地球自转角速度：
火车、汽车等的速度：
cer aaaa
Fam
cer aamFa
/
s/1107 5
smhkmv r /33/1 2 0
35 105107332ca
261022 104107107 Ra e?
第六章 质点动力学在非惯性系中运动
常规力：
10/, gmFmgF
34 10/,10/ gaga ce
0,0 ce aa Famamaa rr,
ce aa,
对于精度要求不高，时间间隔短的工程问题，
可以认为 则与惯性系中的动力学一样处理。
对于精度要求高或时间间隔长的问题，例如：
发射洲际导弹。 不能忽略。必须研究非惯性系中的动力学问题。
第六章 质点动力学在非惯性系中运动例 6-4 匀加速运动汽车中的单摆
amgmTrm
agmT
l
ag
l
g 22
T?
am?
gm?
第六章 质点动力学在非惯性系中运动例 6-5 自由落体相对地球的运动
rmkmgrm2
解：运动微分方程为：
取东北天坐标系 oxyz，
如图所示，初始时刻物体在 o点的正上方。
p o leN o rth
N o rthy
z
ea stx
o
c o ss i n2 zyx
s i n2 xy
c o s2 xgz
如何求解？0)0()0( yx
0)0()0()0( zyx
hz?)0(
第六章 质点动力学在非惯性系中运动求解方法：近似解法，数值积分法
1）近似解法：考虑到解必定与 有关,又是小量，可以将解写成 的幂级数形式：
)()(
0
trtr i
i
i
其中 满足方程和初始条件：
)(0 tr?
00?x
00?y
gz0
0)0()0( 00 yx
0)0()0()0( 000 zyx
hz?)0(0(即 令 原方程中 )0
c o ss i n2 zyx
s i n2 xy
c o s2 xgz
第六章 质点动力学在非惯性系中运动而 （ ） 满足方程和初始条件：)(tr
i?,...2,1?i
12 ii rmkmgrm?
0)0()0( ii rr
显然，零次近似解就是不考虑地球自转时的自由落体的解。一次近似解为：
0c o s31 310 tgxx
010 yy
2
10 2
1 gthzz
结论,从一次近似解可以看出,落体偏东 。
第六章 质点动力学在非惯性系中运动二次近似解中的 y 为：
2s i n121 42210 gtyyy
结论,从二次近似解可以看出,在北半球，
落体偏东南；在南半球,落体偏东北 。
0
0
第六章 质点动力学在非惯性系中运动
0 1 2 3 4 5
-1.6
-1.2
-0.8
-0.4
0.0
Y
(10
-3
mm)
Time (s )
0 1 2 3 4 5
0
4
8
12
16
X
(mm)
Time (s )
2）数值积分结果：
在数值计算中地球角速度取 7e-5,h=100m，
位置在北纬 40度。
第六章 质点动力学在非惯性系中运动思考题,若上抛小球，小球上升时会偏向哪个方向？
co s)(2 01 gtvx
02/3/ 02020 zgttvgttv上升过程小球回落时呢？
03/ 020 zgttv下落过程
2
0000 2
1,0 gttvzyx零次近似解一次近似解
c o ss i n2 zyx
s i n2 xy
c o s2 xgz
c o s)3/( 021 tvgttx
解出
01?x
偏西；
仍偏西。 怎么理解？
北半球，右偏；
南半球，左偏。
第一次世界大战，英德在马尔维纳斯群岛发生海战 …...
第六章 质点动力学在非惯性系中运动
v
弹道偏差,
第六章 质点动力学在非惯性系中运动例 6-6 Foucault 摆的运动
Foucault(1819-1868)，法国科学家,1851年用单摆摆动平面的进动证明了地球是自转的。
z
northy
eastx
kz
e
re
取东北天坐标系 oxyz
vmkmgTrm 2
假设摆角很小，考虑在 oxy面内的运动，则有：
vmelrmgvm r 2)/(
ererv r
第六章 质点动力学在非惯性系中运动
kkz s i n
)1( s i n22 mrlrmgrrm
)2( s i n22 rmrrm
用极坐标写出的运动微分方程为：
s i n方程（ 2）有特解：
可见，单摆的摆动平面转动，其转动方向为：
在南半球 顺时针（从摆的上面向下看）
在北半球 逆时针。
0,0
0,0
作业题
14-8,14-18
§ 6-3 质点在非惯性系中的运动
非惯性系中的质点运动微分方程
相对地球的运动地球自转角速度：
火车、汽车等的速度：
cer aaaa
Fam
cer aamFa
/
s/1107 5
smhkmv r /33/1 2 0
35 105107332ca
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第六章 质点动力学在非惯性系中运动
常规力：
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0,0 ce aa Famamaa rr,
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对于精度要求不高，时间间隔短的工程问题，
可以认为 则与惯性系中的动力学一样处理。
对于精度要求高或时间间隔长的问题，例如：
发射洲际导弹。 不能忽略。必须研究非惯性系中的动力学问题。
第六章 质点动力学在非惯性系中运动例 6-4 匀加速运动汽车中的单摆
amgmTrm
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第六章 质点动力学在非惯性系中运动例 6-5 自由落体相对地球的运动
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解：运动微分方程为：
取东北天坐标系 oxyz，
如图所示，初始时刻物体在 o点的正上方。
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如何求解？0)0()0( yx
0)0()0()0( zyx
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第六章 质点动力学在非惯性系中运动求解方法：近似解法，数值积分法
1）近似解法：考虑到解必定与 有关,又是小量，可以将解写成 的幂级数形式：
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其中 满足方程和初始条件：
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第六章 质点动力学在非惯性系中运动而 （ ） 满足方程和初始条件：)(tr
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显然，零次近似解就是不考虑地球自转时的自由落体的解。一次近似解为：
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010 yy
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结论,从一次近似解可以看出,落体偏东 。
第六章 质点动力学在非惯性系中运动二次近似解中的 y 为：
2s i n121 42210 gtyyy
结论,从二次近似解可以看出,在北半球，
落体偏东南；在南半球,落体偏东北 。
0
0
第六章 质点动力学在非惯性系中运动
0 1 2 3 4 5
-1.6
-1.2
-0.8
-0.4
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Y
(10
-3
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Time (s )
0 1 2 3 4 5
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X
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2）数值积分结果：
在数值计算中地球角速度取 7e-5,h=100m，
位置在北纬 40度。
第六章 质点动力学在非惯性系中运动思考题,若上抛小球，小球上升时会偏向哪个方向？
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02/3/ 02020 zgttvgttv上升过程小球回落时呢？
03/ 020 zgttv下落过程
2
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1,0 gttvzyx零次近似解一次近似解
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解出
01?x
偏西；
仍偏西。 怎么理解？
北半球，右偏；
南半球，左偏。
第一次世界大战，英德在马尔维纳斯群岛发生海战 …...
第六章 质点动力学在非惯性系中运动
v
弹道偏差,
第六章 质点动力学在非惯性系中运动例 6-6 Foucault 摆的运动
Foucault(1819-1868)，法国科学家,1851年用单摆摆动平面的进动证明了地球是自转的。
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取东北天坐标系 oxyz
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假设摆角很小，考虑在 oxy面内的运动，则有：
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第六章 质点动力学在非惯性系中运动
kkz s i n
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用极坐标写出的运动微分方程为：
s i n方程（ 2）有特解：
可见，单摆的摆动平面转动，其转动方向为：
在南半球 顺时针（从摆的上面向下看）
在北半球 逆时针。
0,0
0,0
作业题
14-8,14-18
