第七章 刚体动力学刚体平面运动可得到 刚体平面运动微分方程
zz
yc
xc
MJ
RYM
RXM
§ 7-6 刚体平面运动动力学绕质心的转动质心运动前面介绍过刚体一般运动微分方程：
)(ec RrM
)( ecc MJ
zyxcZ,0,0对平面运动，令：
第七章 刚体动力学刚体平面运动例 7-7 设均质细杆 AB，长 l，
重 P，两端分别沿铅垂墙和水平面滑动，不计摩擦，如图所示。若杆在铅垂位置受干扰后，由静止状态沿铅垂面滑下，求杆在任意位置受到墙的约束反力（表示为的函数形式）。
解,1）受力分析如图所示。
2）取如图所示固定坐标系，
则质心的坐标为质心的速度和加速度分别为第七章 刚体动力学刚体平面运动由这三个方程可解出：
列写平面运动微分方程：
第七章 刚体动力学刚体平面运动最后得到墙对杆的约束反力为根据物理意义，这个力的大小应该总是正数。当它等于零时，杆开始脱离墙的约束。
第七章 刚体动力学刚体平面运动
（当 时最大）07.26
例 7-8 杂技演员使杂耍圆盘高速转动，并在地面上向前抛出，不久杂耍圆盘可自动返回到演员跟前。求完成这种运动所需的条件?(设开始时盘心速度为,盘角速度为,求 与 应该满足的关系 )
0v 0? 0v 0?
0v
0?
o
A
第七章 刚体动力学刚体平面运动解：设任意时刻质心速度为,角速度为,
圆盘半径为 R，质量为 m，与地面摩擦系数为圆盘与地面接触点 A的速度为
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当 时，有0?
Av mgf
第七章 刚体动力学刚体平面运动
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gtvv 0mgvm由质心运动定理：
m g RmR221
由对质心的动量矩定理：
R
gt 2
0
f
03 00* gRvt
第七章 刚体动力学刚体平面运动
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R
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0
可见，如果初始时刻,则滑动摩擦力的作用将使 减小，直至 时刻，?,v
0)( 000Rvtv A
*tt?
即0)( *?tvA 02 *
0*0 gtRgtv
由此可求出当 时，滑动摩擦力也与 同时变为零，
并在此刻以后一直为零。（ 请考虑为什么？ ）
*tt? Av
可以滚回的条件为 即0)( *?tv
R
v0
0
2
第七章 刚体动力学刚体平面运动因此当 时，由于圆盘在水平方向不受力，
而且相对质心的动量矩也为零，因此圆盘将作等速纯滚动，即
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0)()()( tRtvtv A?
3//2)()(
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*
00
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例 7-9 长为 的均匀杆 AB，以铰固连于 A点，
如果初始时杆自水平位置无初速度的开始运动，
当杆通过铅直位置时去掉铰使杆成为自由体。
试分析杆的运动，并求去掉铰以后，杆的质心下降 h时，杆转了几圈?
l2
A C B
x
y
第七章 刚体动力学刚体平面运动解,1)解除约束之前，杆作定轴转动，系统能量守恒：
0)34(21 22 cm g yml?
设 时*tt? ly
c?
0,23,23 *** tyglltxlgt cc
2)解除约束之后，杆做平面运动第七章 刚体动力学刚体平面运动
A C B
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y
再积分一次可得质心 C轨迹：
抛物线第七章 刚体动力学刚体平面运动
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去掉铰以后，当杆的质心下降 h时，杆的转动圈数为第七章 刚体动力学刚体平面运动
0?cM由于,所以 c o n s ttt )()( *
例 7-10 质量为 m，半径为 r的均质圆柱体，在半径为 R的固定圆柱槽内作无滑动的滚动。试分析圆柱的运动规律。
第七章 刚体动力学刚体平面运动解：由于槽对圆柱的正压力和摩擦力不做功，圆柱的机械能守恒。
由柯尼希定理，圆柱的动能为由运动学知：
第七章 刚体动力学刚体平面运动圆柱的机械能守恒：
圆柱的动能：
圆柱的势能：
上式对时间求导得：
圆柱的运动规律与摆长为 的单摆相同。2/)(3 rRl
第七章 刚体动力学刚体平面运动作业
17-30,17-40,18-60
第七章 刚体动力学刚体平面运动
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第七章 刚体动力学刚体平面运动例 7-7 设均质细杆 AB，长 l，
重 P，两端分别沿铅垂墙和水平面滑动，不计摩擦，如图所示。若杆在铅垂位置受干扰后，由静止状态沿铅垂面滑下，求杆在任意位置受到墙的约束反力（表示为的函数形式）。
解,1）受力分析如图所示。
2）取如图所示固定坐标系，
则质心的坐标为质心的速度和加速度分别为第七章 刚体动力学刚体平面运动由这三个方程可解出：
列写平面运动微分方程：
第七章 刚体动力学刚体平面运动最后得到墙对杆的约束反力为根据物理意义，这个力的大小应该总是正数。当它等于零时，杆开始脱离墙的约束。
第七章 刚体动力学刚体平面运动
（当 时最大）07.26
例 7-8 杂技演员使杂耍圆盘高速转动，并在地面上向前抛出，不久杂耍圆盘可自动返回到演员跟前。求完成这种运动所需的条件?(设开始时盘心速度为,盘角速度为,求 与 应该满足的关系 )
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第七章 刚体动力学刚体平面运动解：设任意时刻质心速度为,角速度为,
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第七章 刚体动力学刚体平面运动解,1)解除约束之前，杆作定轴转动，系统能量守恒：
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2)解除约束之后，杆做平面运动第七章 刚体动力学刚体平面运动
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第七章 刚体动力学刚体平面运动解：由于槽对圆柱的正压力和摩擦力不做功，圆柱的机械能守恒。
由柯尼希定理，圆柱的动能为由运动学知：
第七章 刚体动力学刚体平面运动圆柱的机械能守恒：
圆柱的动能：
圆柱的势能：
上式对时间求导得：
圆柱的运动规律与摆长为 的单摆相同。2/)(3 rRl
第七章 刚体动力学刚体平面运动作业
17-30,17-40,18-60
第七章 刚体动力学刚体平面运动
