第七章 刚体动力学刚体定轴转动
1 运动方程
Y
x
Z
z
y
X
1o
1F
o
F?
C
h
设 为转角 。
§ 7-3 刚体定轴转动
1O
设刚体上有两个固定点 O和
。取固定系 OXYZ和固联系 Oxyz。
刚体所受主动力主向量为,对 O点主矩为R?
oM
动量矩定理：
1 1FFRvM c
2 11 FrMG oooo
oo
occ
JG
rv
反问题：已知 求t?
1,,,FFMR o
第七章 刚体动力学刚体定轴转动动量定理：
oMR
,t?动力学正问题：已知 求在求解具体问题时，需要将这两个向量方程写成在 OXYZ中或 oxyz中 的 分量形式 。
设 OXYZ中的单位向量为：
oxyz中的单位向量为：
kji,,
321,,eee
321 ezeyexr cccoc
kZjYiXr cccoc
其中,为常数 (已知 )
为时间的函数 (未知 )
ccc zyx,,
ccc ZYX,,
第七章 刚体动力学刚体定轴转动
Y
x
Zz
y
X
1o
1F?
o
F?
Ch
在 oxyz中写方程更方便
3ek
12 eyexv ccc
代入 (1)和 (2)并利用,即可得方程在 oxyz 中的分量形式。
1221,eeee
另外方法：利用绝对导数和相对导数的关系
dtddtd?
第七章 刚体动力学刚体定轴转动方程 (1)和 (2)变为：
1
~
FFRvMdtvdM cc
11
~
FrMGdtGd ooooo
记 oxyz中
TzyxoTzyx MMMMRRRR,,,,,
TzyxTzyx FFFFFFFF 1111,,,,,
TcccT zyxOC,,,,0,0
第七章 刚体动力学刚体定轴转动最后得到运动方程的分量形式为：
第七章 刚体动力学刚体定轴转动
xxxcc FFRMxMy 12
yyycc FFRMyMx 12
zzz FFR 10
yxyzxz hFMJJ 12
xyxzyz hFMJJ 12
zz MJ
Y
x
Zz
y
X
1o
1F?
o
F?
Ch
例 7-2 等腰直角三角板绕直角边转动，设求使板对 o点的侧压力为零的 。
aoo?1
z
1o
C
mg
o
x
y
第七章 刚体动力学刚体定轴转动
xxxcc FFRMxMy 12
yyycc FFRMyMx 12
zzz FFR 10
yxyzxz hFMJJ 12
xyxzyz hFMJJ 12
zz MJ
解：已知
ahayx cc,3/,0
,4/,0 2maJJ yzxz mgRRR zyx,0
0,3/ zyx MMm g aM
可解出
ag /2
第七章 刚体动力学刚体定轴转动
xFma 13
yFma 12 3
01 mgFF zz
yFmgma 12 1243
xFma 14
0
0 yx FF，侧压力
c o n st
z
1o
C
mg
o
y
2 动反力为零条件：
显然当 时，动反力等于零。但刚体转动时,不会都为零，需要研究方程：
0
,
1
0
0
2
2
cc
cc
xy
xy
2
0
0
2
2
yzxz
yzxz
JJ
JJ
第七章 刚体动力学刚体定轴转动方程 (1)和 (2)可看做是关于 和 的齐次线性方程组，它们的系数行列式是：
cc yx,yzxz JJ,
42
2
2
当刚体转动时
042
0,0 yzxzcc JJyx
结论,刚体定轴转动时，动反力为零的充要条件是 转动轴是中心惯性主轴 。
第七章 刚体动力学刚体定轴转动
3 物理摆的运动方程
X
x
o
C
Y
y
设则
aOC?
s i nm g aMJ zz
令,称为物理摆折合长度。
ma
Jl z?
第七章 刚体动力学刚体定轴转动
0s in
zJ
m g a即当 时 5sin
l
g
J
m g a
z
22 0
解得,由初始条件定。,,c o s AtA
此方法只能得到 条件下的近似解，无法给出任意 的性质。
5?
第七章 刚体动力学刚体定轴转动
4 研究非线性问题的相平面方法
c o n s th c o s2/0s i n 222
第七章 刚体动力学刚体定轴转动
坐标平面叫做 相平面,任意时刻的运动状态状态对应相平面上一个点，
称为 相点 。方程的一个解对应相平面上一条曲线，
称相轨迹 。通过相轨迹分析可以了解运动特性。
第七章 刚体动力学刚体定轴转动
1)当 时，2h 1co s,02
即 (稳定 )平衡位置0,2k
22
第七章 刚体动力学刚体定轴转动
2)当 时22 h 2c o s1
22
当 时,相轨迹方向如图 )12(2 kk 0
dtd
相轨迹是封闭曲线
kk 22 0
dtd
当 时,相轨迹方向如图
3)当 时2h
当 时,平衡位置 (不稳定 ) k2 0
第七章 刚体动力学刚体定轴转动
k2当 时，同 2)。
22
4)当 时2h
0
0 02
单向转动第七章 刚体动力学刚体定轴转动
22
kFkK,2? 称为完全椭圆积分反函数记为 amu
定义椭圆三角函数：
正弦余弦
a m ukusn s i ns i n),(
a m ukucn c o sc o s),(
第七章 刚体动力学刚体定轴转动
5 物理摆运动方程的积分
kF
xk
dxu,
s in10 22
称为第一类椭圆积分,称为模,k 10 k
1)当 时，令22 h 0 c o s2h
c o sc o s2 22
求出
2s in,a r c s i n2
ktk s nt
这是周期为 的函数当 很小时，
/4 kKT?
1612
2?
glT
第七章 刚体动力学刚体定轴转动
2)当 时2h
设 时则
0?t 00,00
tamt 0212
3)当 时2h2/c o s4 222
设 时则
0?t 00,00
tea r ct gt 4
第七章 刚体动力学刚体定轴转动作业
17-5,17-48
1 运动方程
Y
x
Z
z
y
X
1o
1F
o
F?
C
h
设 为转角 。
§ 7-3 刚体定轴转动
1O
设刚体上有两个固定点 O和
。取固定系 OXYZ和固联系 Oxyz。
刚体所受主动力主向量为,对 O点主矩为R?
oM
动量矩定理：
1 1FFRvM c
2 11 FrMG oooo
oo
occ
JG
rv
反问题：已知 求t?
1,,,FFMR o
第七章 刚体动力学刚体定轴转动动量定理：
oMR
,t?动力学正问题：已知 求在求解具体问题时，需要将这两个向量方程写成在 OXYZ中或 oxyz中 的 分量形式 。
设 OXYZ中的单位向量为：
oxyz中的单位向量为：
kji,,
321,,eee
321 ezeyexr cccoc
kZjYiXr cccoc
其中,为常数 (已知 )
为时间的函数 (未知 )
ccc zyx,,
ccc ZYX,,
第七章 刚体动力学刚体定轴转动
Y
x
Zz
y
X
1o
1F?
o
F?
Ch
在 oxyz中写方程更方便
3ek
12 eyexv ccc
代入 (1)和 (2)并利用,即可得方程在 oxyz 中的分量形式。
1221,eeee
另外方法：利用绝对导数和相对导数的关系
dtddtd?
第七章 刚体动力学刚体定轴转动方程 (1)和 (2)变为：
1
~
FFRvMdtvdM cc
11
~
FrMGdtGd ooooo
记 oxyz中
TzyxoTzyx MMMMRRRR,,,,,
TzyxTzyx FFFFFFFF 1111,,,,,
TcccT zyxOC,,,,0,0
第七章 刚体动力学刚体定轴转动最后得到运动方程的分量形式为：
第七章 刚体动力学刚体定轴转动
xxxcc FFRMxMy 12
yyycc FFRMyMx 12
zzz FFR 10
yxyzxz hFMJJ 12
xyxzyz hFMJJ 12
zz MJ
Y
x
Zz
y
X
1o
1F?
o
F?
Ch
例 7-2 等腰直角三角板绕直角边转动，设求使板对 o点的侧压力为零的 。
aoo?1
z
1o
C
mg
o
x
y
第七章 刚体动力学刚体定轴转动
xxxcc FFRMxMy 12
yyycc FFRMyMx 12
zzz FFR 10
yxyzxz hFMJJ 12
xyxzyz hFMJJ 12
zz MJ
解：已知
ahayx cc,3/,0
,4/,0 2maJJ yzxz mgRRR zyx,0
0,3/ zyx MMm g aM
可解出
ag /2
第七章 刚体动力学刚体定轴转动
xFma 13
yFma 12 3
01 mgFF zz
yFmgma 12 1243
xFma 14
0
0 yx FF，侧压力
c o n st
z
1o
C
mg
o
y
2 动反力为零条件：
显然当 时，动反力等于零。但刚体转动时,不会都为零，需要研究方程：
0
,
1
0
0
2
2
cc
cc
xy
xy
2
0
0
2
2
yzxz
yzxz
JJ
JJ
第七章 刚体动力学刚体定轴转动方程 (1)和 (2)可看做是关于 和 的齐次线性方程组，它们的系数行列式是：
cc yx,yzxz JJ,
42
2
2
当刚体转动时
042
0,0 yzxzcc JJyx
结论,刚体定轴转动时，动反力为零的充要条件是 转动轴是中心惯性主轴 。
第七章 刚体动力学刚体定轴转动
3 物理摆的运动方程
X
x
o
C
Y
y
设则
aOC?
s i nm g aMJ zz
令,称为物理摆折合长度。
ma
Jl z?
第七章 刚体动力学刚体定轴转动
0s in
zJ
m g a即当 时 5sin
l
g
J
m g a
z
22 0
解得,由初始条件定。,,c o s AtA
此方法只能得到 条件下的近似解，无法给出任意 的性质。
5?
第七章 刚体动力学刚体定轴转动
4 研究非线性问题的相平面方法
c o n s th c o s2/0s i n 222
第七章 刚体动力学刚体定轴转动
坐标平面叫做 相平面,任意时刻的运动状态状态对应相平面上一个点，
称为 相点 。方程的一个解对应相平面上一条曲线，
称相轨迹 。通过相轨迹分析可以了解运动特性。
第七章 刚体动力学刚体定轴转动
1)当 时，2h 1co s,02
即 (稳定 )平衡位置0,2k
22
第七章 刚体动力学刚体定轴转动
2)当 时22 h 2c o s1
22
当 时,相轨迹方向如图 )12(2 kk 0
dtd
相轨迹是封闭曲线
kk 22 0
dtd
当 时,相轨迹方向如图
3)当 时2h
当 时,平衡位置 (不稳定 ) k2 0
第七章 刚体动力学刚体定轴转动
k2当 时，同 2)。
22
4)当 时2h
0
0 02
单向转动第七章 刚体动力学刚体定轴转动
22
kFkK,2? 称为完全椭圆积分反函数记为 amu
定义椭圆三角函数：
正弦余弦
a m ukusn s i ns i n),(
a m ukucn c o sc o s),(
第七章 刚体动力学刚体定轴转动
5 物理摆运动方程的积分
kF
xk
dxu,
s in10 22
称为第一类椭圆积分,称为模,k 10 k
1)当 时，令22 h 0 c o s2h
c o sc o s2 22
求出
2s in,a r c s i n2
ktk s nt
这是周期为 的函数当 很小时，
/4 kKT?
1612
2?
glT
第七章 刚体动力学刚体定轴转动
2)当 时2h
设 时则
0?t 00,00
tamt 0212
3)当 时2h2/c o s4 222
设 时则
0?t 00,00
tea r ct gt 4
第七章 刚体动力学刚体定轴转动作业
17-5,17-48
