理 论 力 学李 俊 峰
——刚体动力学第七章 刚体动力学刚体质量几何下面介绍描述质量分布的物理量：
质心，转动惯量，惯性张量等。
质点的运动与什么有关?
—— 外力，质量 。
质点系（刚体）的运动与什么有关？
—— 外力，质量,质量分布 。
§ 7-1 刚体质量几何
1） 张量是向量的推广，回忆一下向量的性质。
设向量 在坐标系 中的分量写成列阵为：
它在坐标系 中的分量写成列阵为：
r?
Trrrr 321,,?
Trrrr 321,,
oxyz
zyxo
一、张量第七章 刚体动力学刚体质量几何如果从 到 的变换矩阵为 S，
则 之间关系为,（ 7.1)
oxyz zyxo
rr?,rSr
可见，并不是任意三个数组成的列阵都是某个向量的分量。 向量的分量随着坐标系不同而不同，并且满足上面的关系式。
我们重新给出向量的定义：向量是一个包含 3个分量的量，当坐标变换时，它在不同坐标系中的分量满足坐标变换关系式 (7.1) 。
第七章 刚体动力学刚体质量几何向量是自然界中存在的许多物理量的概括，不是人们凭空杜撰出来的。
2）张量也是一些物理量的抽象和概括，它是这样定义的,张量 P是一个包含 9个分量的量，
当坐标变换时，它在不同坐标系 和中分量 和 满足关系式
zyxo
PP?
TSPSP
oxyz
第七章 刚体动力学刚体质量几何我们发现：标量有 个分量（零阶张量）
向量有 个分量（一阶张量）
张量有 个分量（二阶张量）
N 阶张量有 个分量
03
13
23
N3
第七章 刚体动力学刚体质量几何我们可以用列阵表示向量在某个坐标系中的分量；
用矩阵表示张量在某个坐标系中的分量。
由于张量有 9个分量，用矩阵表示比较方便。用表示张量在坐标系 oxyz 中的矩阵。?P
如果,则称 P为对称张量。
，则称 P为反对称张量 。
TPP?
TPP
第七章 刚体动力学刚体质量几何例 7-1 试验证刚体角速度是二阶反对称张量。
设 在坐标系 中和在 中列阵为和,在另一固定坐标系 中列阵为
OXYZr? oxyz r
ZYXO r?
第七章 刚体动力学刚体质量几何
R? r? rRR
o
证：刚体上某点在固定参考系 和固连系中的向径为 和,于是有
OXYZ
oxyz
Ar? rSr SAr
在 中角速度矩阵定义为OXYZ TAA ][
TSASA
dt
d ))((][在 中角速度矩阵定义为ZYXO
TTT SSSAAS ][][
故角速度是二阶张量，反对称性在运动学中已证。
bSbaSa,
TTT SbaSba
例 7-2 证明并矢 是二阶张量，其矩阵为
（两向量并列在一起称并矢 ）
ba Tba
证：
第七章 刚体动力学刚体质量几何例 7-3 任何二阶张量都可以用并矢表示。
证,设张量 P在 oxyz中的矩阵为
333231
232221
131211
ppp
ppp
ppp
P
第七章 刚体动力学刚体质量几何令：
TTT pppPpppPpppP 333231323222121312111,,,,,,,,
TTT eee 1,0,0,0,1,0,0,0,1 321
则,
TTT PePePeP
332211
332211 eeeeeeE
100
010
001
E
单位张量：
332211 PePePeP
证毕。
3）张量的代数运算
（ 1）相等：两个张量的各分量都相等
QPQP
QPRQPR
第七章 刚体动力学刚体质量几何
（ 2）加法：两张量 P,Q之和为一新张量
（ 3）张量与向量的点乘为向量
aPeaPeaPeaP 332211
332211 PeaPeaPeaPa
PaaP可见：
（ 4）张量与向量的叉乘为张量
aPeaPeaPeaP 332211
332211 PeaPeaPeaPa
（ 5）张量与张量的点乘为张量
RQPRQP?
PPEEP
第七章 刚体动力学刚体质量几何二、质心、转动惯量
1）质心设质系由 N个质点组成，第 个质点的质量为在参考系中向径为,则质心定义空间中某个几何点 C，其向径为
i im
ir
N
i
i
N
i
ii
C
m
rm
r
1
1
第七章 刚体动力学刚体质量几何若为连续体，则定义中 变为
注：质心与重心是不同的两个概念，
质心描述质量分布，重心与力系等效有关。
2）转动惯量，回转半径设质点 到 轴距离为 则定义：
iP oo? i?
N
i
iioo mJ
1
2?
为质系对 轴的 转动惯量 。oo? o
o?
e?
i?
iP
im
ir
第七章 刚体动力学刚体质量几何若 则称 为相对 轴的回转半径 。
N
i ioo
mMMJ
1
2
0,
0? oo?
3）平行轴定理。
设 C为质系质心,轴平行于 轴，它们间距离为 则
CC? oo?
d
2MdJJ CCoo
第七章 刚体动力学刚体质量几何
CCoo JJ
可见：
4）复合形体的转动惯量。
例 7-4 设杆与圆盘质量都是 m，尺寸如图，求对轴 的 和回转半径。o
oJ
第七章 刚体动力学刚体质量几何
o
l
r
解,为杆对 o的转动惯量，
为盘对 o的转动惯量。21 ooo
JJJ 1oJ
2oJ
222
2
1 3
1
4
1
12
1
2 mlmlml
lmJJ
Co
222222 22321 mlm r lmrlrmmrlrmJJ co
22
3
42
2
3 mlm r lmrJ
o
22
0 3
2
4
3
2 lrlrm
J
M
J oo
第七章 刚体动力学刚体质量几何三、惯量张量和惯性椭球
1）惯量张量
222 err iii2errr iii
o
o?
e?
im
ir?
第七章 刚体动力学刚体质量几何其中 是一个二阶对称张量，
iiiiio rrErrmJ
我们称之为 质系对 o点的惯性张量 。描述质系的质量相对 o点的分布。
i
iioo mJ
2?
前面讲过：
可以证明：, errErre
iiiii
2? eJeJ
ooo
则,kzjyixr
i
222
222
222
00
00
00
zyx
zyx
zyx
Err ii
2
2
2
zyzxz
yzyxy
xzxyx
rr ii
第七章 刚体动力学刚体质量几何取直角坐标系 oxyz，单位向量为
kji,,
22
22
22
yxmyzmxzm
yzmzxmxym
xzmxymzym
J
iii
iii
iii
o
zzyzxz
yzyyxy
xzxyxx
o
JJJ
JJJ
JJJ
J ][
记为：
第七章 刚体动力学刚体质量几何容易验证：
是质系对坐标轴的转动惯量。
iJiJ oxx
jJjJ oyy
kJkJ ozz
yzxzxy JJJ,,
称为质系对 o点的惯性积第七章 刚体动力学刚体质量几何
2）移心公式讨论质系对 o点和质心 C的惯性张量的关系。
srr ii
srssrrrr iiiii 2
iiiiii rssrssrrrr
第七章 刚体动力学刚体质量几何
occpiopi rsrrrr ii
,,设
iiiiio rrErrmJ
ssEssmrrErrm iiiiii ''''
srmrsmsrm iiiiii ''' 2
0'ii rm? 后三项为零。 记 则 imM
ssEssMJJ co 称为移心公式第七章 刚体动力学刚体质量几何平行轴定理是该定理的一个特殊情况，对此公式两边左右乘单位向量,即可得到平行轴定理。e?
3）主惯性轴、主惯量设 A是任意的 实对称矩阵，则存在 个标准正交特征向量,他们对应的特征值依次为,若记正交矩阵则
nn? n
nXXX,..,21
n,,,21
nXXXQ,,,,21nT d i a gAQQ,,,,21?
第七章 刚体动力学刚体质量几何线性代数中有如下定理设 到 的转换矩阵为 S，则oxyz zyxo
Too SJSJ
由上面的定理，可以选择 S使得 (即选择 ) zyxo
C
B
A
J o
00
00
00
这样的坐标系 称为 惯性主轴坐标系,坐标轴称为 惯性主轴,A,B,C 称为 主转动惯量,
通过质心的惯性主轴称为 中心惯性主轴 。
zyxo
第七章 刚体动力学刚体质量几何求主惯量就是求特征值求主轴就是求特征向量
321,,
321,,XXX
例 7-5 均质长方体三边长为 4,4,7米，质量为
m=3kg，求它对于一个顶点的主惯量及主方向。
z
y
xo
第七章 刚体动力学刚体质量几何解：取如图坐标系 oxyz
240 40 70 22 65 mkgd z d x d yzyJ xx
265 mkgJJ xxyy 232 mkgJ zz
212 mkgJ xy 221 mkgJJ zxyz
第七章 刚体动力学刚体质量几何
z
y
xo
322121
216512
211265
oJ
特征方程：
06 2 6 7 87 3 5 91 6 2
322121
216512
211265
23
三个主惯量 11,74,77
321
第七章 刚体动力学刚体质量几何
6/2,6/1,6/1
3/1,3/1,3/1
0,2/1,2/1
3
2
1
T
T
T
X
X
X
是三个主惯性轴的方向，简称主方向。
4）有关主轴的几个结论：
（ 1）如果质系有一个质量对称轴，则它一定是该轴上任意点的惯性主轴。
（ 2）如果质系有一个质量对称面，则垂直于此面的任意直线必是此直线于对称面交点的惯性主轴。
（ 3）如果质系是均质旋转体，则旋转轴必是中心主轴。
第七章 刚体动力学刚体质量几何
5）惯性椭球在 轴上取点 R，使当 轴绕 o点在空间转动时，动点 R划出一个曲面。设 轴的单位向量为,则 R点向径为：
oo?
ooJoR /1
oo?
oo? e?
e
J
r
oo
1
由于 可知eJeJ
ooo
1 rJr
o
第七章 刚体动力学刚体质量几何取坐标系 oxyz，则,动点 R所在曲面的方程可具体写成
kzjyixr
1222222 yzJxzJxyJzJyJxJ yzxzxyzzyyxx
这是一个二次曲面。又由于,曲面上不会有无穷远点 ( )，因此此曲面一定是椭球，
称之为对固定点 o的惯性椭球。它从几何上描述了质系质量分布。
0ooJ
r
第七章 刚体动力学刚体质量几何由解析几何知，椭球有三个相互垂直的轴，这就是惯性主轴，在主轴坐标系 中，椭球方程为
zyxo
1222 CzByAx
对于均质刚体，其质心惯性椭球形状大致与刚体本身形状类似。细长刚体的质心惯性椭球也细长，圆形薄片刚体的质心惯性椭球也是扁形旋转椭球。
第七章 刚体动力学刚体质量几何
——刚体动力学第七章 刚体动力学刚体质量几何下面介绍描述质量分布的物理量：
质心，转动惯量，惯性张量等。
质点的运动与什么有关?
—— 外力，质量 。
质点系（刚体）的运动与什么有关？
—— 外力，质量,质量分布 。
§ 7-1 刚体质量几何
1） 张量是向量的推广，回忆一下向量的性质。
设向量 在坐标系 中的分量写成列阵为：
它在坐标系 中的分量写成列阵为：
r?
Trrrr 321,,?
Trrrr 321,,
oxyz
zyxo
一、张量第七章 刚体动力学刚体质量几何如果从 到 的变换矩阵为 S，
则 之间关系为,（ 7.1)
oxyz zyxo
rr?,rSr
可见，并不是任意三个数组成的列阵都是某个向量的分量。 向量的分量随着坐标系不同而不同，并且满足上面的关系式。
我们重新给出向量的定义：向量是一个包含 3个分量的量，当坐标变换时，它在不同坐标系中的分量满足坐标变换关系式 (7.1) 。
第七章 刚体动力学刚体质量几何向量是自然界中存在的许多物理量的概括，不是人们凭空杜撰出来的。
2）张量也是一些物理量的抽象和概括，它是这样定义的,张量 P是一个包含 9个分量的量，
当坐标变换时，它在不同坐标系 和中分量 和 满足关系式
zyxo
PP?
TSPSP
oxyz
第七章 刚体动力学刚体质量几何我们发现：标量有 个分量（零阶张量）
向量有 个分量（一阶张量）
张量有 个分量（二阶张量）
N 阶张量有 个分量
03
13
23
N3
第七章 刚体动力学刚体质量几何我们可以用列阵表示向量在某个坐标系中的分量；
用矩阵表示张量在某个坐标系中的分量。
由于张量有 9个分量，用矩阵表示比较方便。用表示张量在坐标系 oxyz 中的矩阵。?P
如果,则称 P为对称张量。
，则称 P为反对称张量 。
TPP?
TPP
第七章 刚体动力学刚体质量几何例 7-1 试验证刚体角速度是二阶反对称张量。
设 在坐标系 中和在 中列阵为和,在另一固定坐标系 中列阵为
OXYZr? oxyz r
ZYXO r?
第七章 刚体动力学刚体质量几何
R? r? rRR
o
证：刚体上某点在固定参考系 和固连系中的向径为 和,于是有
OXYZ
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在 中角速度矩阵定义为OXYZ TAA ][
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TTT SSSAAS ][][
故角速度是二阶张量，反对称性在运动学中已证。
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例 7-2 证明并矢 是二阶张量，其矩阵为
（两向量并列在一起称并矢 ）
ba Tba
证：
第七章 刚体动力学刚体质量几何例 7-3 任何二阶张量都可以用并矢表示。
证,设张量 P在 oxyz中的矩阵为
333231
232221
131211
ppp
ppp
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第七章 刚体动力学刚体质量几何令：
TTT pppPpppPpppP 333231323222121312111,,,,,,,,
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E
单位张量：
332211 PePePeP
证毕。
3）张量的代数运算
（ 1）相等：两个张量的各分量都相等
QPQP
QPRQPR
第七章 刚体动力学刚体质量几何
（ 2）加法：两张量 P,Q之和为一新张量
（ 3）张量与向量的点乘为向量
aPeaPeaPeaP 332211
332211 PeaPeaPeaPa
PaaP可见：
（ 4）张量与向量的叉乘为张量
aPeaPeaPeaP 332211
332211 PeaPeaPeaPa
（ 5）张量与张量的点乘为张量
RQPRQP?
PPEEP
第七章 刚体动力学刚体质量几何二、质心、转动惯量
1）质心设质系由 N个质点组成，第 个质点的质量为在参考系中向径为,则质心定义空间中某个几何点 C，其向径为
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N
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1
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第七章 刚体动力学刚体质量几何若为连续体，则定义中 变为
注：质心与重心是不同的两个概念，
质心描述质量分布，重心与力系等效有关。
2）转动惯量，回转半径设质点 到 轴距离为 则定义：
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N
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1
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为质系对 轴的 转动惯量 。oo? o
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第七章 刚体动力学刚体质量几何若 则称 为相对 轴的回转半径 。
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3）平行轴定理。
设 C为质系质心,轴平行于 轴，它们间距离为 则
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第七章 刚体动力学刚体质量几何
CCoo JJ
可见：
4）复合形体的转动惯量。
例 7-4 设杆与圆盘质量都是 m，尺寸如图，求对轴 的 和回转半径。o
oJ
第七章 刚体动力学刚体质量几何
o
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解,为杆对 o的转动惯量，
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J
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第七章 刚体动力学刚体质量几何三、惯量张量和惯性椭球
1）惯量张量
222 err iii2errr iii
o
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第七章 刚体动力学刚体质量几何其中 是一个二阶对称张量，
iiiiio rrErrmJ
我们称之为 质系对 o点的惯性张量 。描述质系的质量相对 o点的分布。
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前面讲过：
可以证明：, errErre
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第七章 刚体动力学刚体质量几何取直角坐标系 oxyz，单位向量为
kji,,
22
22
22
yxmyzmxzm
yzmzxmxym
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J
iii
iii
iii
o
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yzyyxy
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JJJ
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记为：
第七章 刚体动力学刚体质量几何容易验证：
是质系对坐标轴的转动惯量。
iJiJ oxx
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称为质系对 o点的惯性积第七章 刚体动力学刚体质量几何
2）移心公式讨论质系对 o点和质心 C的惯性张量的关系。
srr ii
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iiiiii rssrssrrrr
第七章 刚体动力学刚体质量几何
occpiopi rsrrrr ii
,,设
iiiiio rrErrmJ
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srmrsmsrm iiiiii ''' 2
0'ii rm? 后三项为零。 记 则 imM
ssEssMJJ co 称为移心公式第七章 刚体动力学刚体质量几何平行轴定理是该定理的一个特殊情况，对此公式两边左右乘单位向量,即可得到平行轴定理。e?
3）主惯性轴、主惯量设 A是任意的 实对称矩阵，则存在 个标准正交特征向量,他们对应的特征值依次为,若记正交矩阵则
nn? n
nXXX,..,21
n,,,21
nXXXQ,,,,21nT d i a gAQQ,,,,21?
第七章 刚体动力学刚体质量几何线性代数中有如下定理设 到 的转换矩阵为 S，则oxyz zyxo
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由上面的定理，可以选择 S使得 (即选择 ) zyxo
C
B
A
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00
00
00
这样的坐标系 称为 惯性主轴坐标系,坐标轴称为 惯性主轴,A,B,C 称为 主转动惯量,
通过质心的惯性主轴称为 中心惯性主轴 。
zyxo
第七章 刚体动力学刚体质量几何求主惯量就是求特征值求主轴就是求特征向量
321,,
321,,XXX
例 7-5 均质长方体三边长为 4,4,7米，质量为
m=3kg，求它对于一个顶点的主惯量及主方向。
z
y
xo
第七章 刚体动力学刚体质量几何解：取如图坐标系 oxyz
240 40 70 22 65 mkgd z d x d yzyJ xx
265 mkgJJ xxyy 232 mkgJ zz
212 mkgJ xy 221 mkgJJ zxyz
第七章 刚体动力学刚体质量几何
z
y
xo
322121
216512
211265
oJ
特征方程：
06 2 6 7 87 3 5 91 6 2
322121
216512
211265
23
三个主惯量 11,74,77
321
第七章 刚体动力学刚体质量几何
6/2,6/1,6/1
3/1,3/1,3/1
0,2/1,2/1
3
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1
T
T
T
X
X
X
是三个主惯性轴的方向，简称主方向。
4）有关主轴的几个结论：
（ 1）如果质系有一个质量对称轴，则它一定是该轴上任意点的惯性主轴。
（ 2）如果质系有一个质量对称面，则垂直于此面的任意直线必是此直线于对称面交点的惯性主轴。
（ 3）如果质系是均质旋转体，则旋转轴必是中心主轴。
第七章 刚体动力学刚体质量几何
5）惯性椭球在 轴上取点 R，使当 轴绕 o点在空间转动时，动点 R划出一个曲面。设 轴的单位向量为,则 R点向径为：
oo?
ooJoR /1
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由于 可知eJeJ
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o
第七章 刚体动力学刚体质量几何取坐标系 oxyz，则,动点 R所在曲面的方程可具体写成
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1222222 yzJxzJxyJzJyJxJ yzxzxyzzyyxx
这是一个二次曲面。又由于,曲面上不会有无穷远点 ( )，因此此曲面一定是椭球，
称之为对固定点 o的惯性椭球。它从几何上描述了质系质量分布。
0ooJ
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第七章 刚体动力学刚体质量几何由解析几何知，椭球有三个相互垂直的轴，这就是惯性主轴，在主轴坐标系 中，椭球方程为
zyxo
1222 CzByAx
对于均质刚体，其质心惯性椭球形状大致与刚体本身形状类似。细长刚体的质心惯性椭球也细长，圆形薄片刚体的质心惯性椭球也是扁形旋转椭球。
第七章 刚体动力学刚体质量几何
