理 论 力 学李 俊 峰
——质点 动力学及应用第六章 质点动力学 运动方程
§ 6.1 质点运动微分方程及应用正问题：已知,求反问题：已知,求
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Ftr?
F?
对于质点动力学，反问题很简单，属于微分学问题。正问题较难些，属于常微分方程求解问题。正问题是本章的主要内容。
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第六章 质点动力学 运动方程运动方程的解的存在唯一性比卡定理：设初值问题若 在 上连续，且满足条件
00,,xtxxtfx
xtf,bxxatt 00,
L ip sch itz
2121,,xxLxtfxtf
则方程的解存在且唯一（在区间 上），
h由 a,b 确定。
htt 0
第六章 质点动力学 运动方程拉普拉斯关于确定性的名言：
“设有位智者在每一瞬间得知激励大自然的所有力，以及组成它的所有物体的相互位置，如果这位智者如此博大精深，他能对这样众多的数据进行分析，把宇宙最庞大物体和最轻微原子的运动凝聚到一个公式之中，
对他来说没有什么事情是不确定的，将来就像过去一样展现在他的眼前。”
不过，通常简单的力学问题中，运动微分方程的解总是存在且唯一的。
当然,解的存在和能找到解析表达式是两回事。
第六章 质点动力学 运动方程
“混沌（ chaos）”现象的发现告诉人们，
即使是简单的力学模型（如三体问题），都会产生非常复杂的运动，决定论方程可导致无法预测的结果。
第六章 质点动力学 运动方程简单可积情况：
Fmtvtrtr 2 200
xFmtxtxtx 2 200
1）当 为常矢量时F?
F?2）当 的某个分量为常数时第六章 质点动力学 运动方程
3）一维运动，当 时，例如保守力xfF
x?
dx
xdx
dt
dx
dx
xd
dt
xdx
dxxfxdxm
1221 cdxxfxm

2
1
2
ct
cdxxf
m
dx

第六章 质点动力学 运动方程
4）当 时，例如阻尼力xgF
x
1ctxg xmdxG
5）当 时xgxfF
x
dxxgxfxdxm
txxthx可反解出：
第六章 质点动力学 运动方程
xFdxxf
xg
xdxmxG

xHx
ctxH
dx
可以解出如下形式的表达式：
进一步解出：