第六章 质点动力学第一积分与首恒定律
§ 6.2 第一积分与守恒定律第一积分（首次积分、初积分）
( 1 ),,rrtFrm
( 2 ),,c o n s trrtf
定义：若运动微分方程的任何一组解都满足：
则称表达式（ 2）是方程（ 1）的第一积分。
若 则0?
xF 0xx mvmv?
第六章 质点动力学第一积分与首恒定律
1）动量积分：
tFP
tIvmvm 0
若 则 即 0?tI?
0vmvm 0vv
02 vv则
0,s i n eettF例：
第六章 质点动力学第一积分与首恒定律动量矩定理：
定理成立的条件：
1) 惯性参考系； 2) O点为惯性坐标系中固定点。
oo MG
2）动量矩积分（角动量积分）
若 则 常矢由于故质点的运动轨迹是一条平面曲线，所在平面与 垂直。
0?oMoG?
popp vmrv
oG
c o n stmr2
221 rS? constS?
令 为面积速度。故第六章 质点动力学第一积分与首恒定律
eemrerermervmrG rrrpopo 2
又由于
0?oxM c o n s tiGG oox若 则
3）能量积分：
若力 有势,且 不显含 t，则FF
co n s tT
例 6-1 有心力作用下质点运动
rerFF
势能：
能量守恒：
drrFr
c o n s tErrm 22221
第六章 质点动力学第一积分与首恒定律
c o n stmrG o2因此轨迹是平面曲线，且常矢?
oG
0 FrM
o
由 可知：
解出：
2222 mrGrEmr o
2mr
G o
222 o
o
GEmrGrddr
rr
oGEmrr
drG
0 220 2
第六章 质点动力学第一积分与首恒定律开普勒问题,0
2 kr
krF
o
r
r
oGEmrr
drG?
0 22
0 2
2
22
0
22
uu
G
mk
G
mE
du
oo
第六章 质点动力学第一积分与首恒定律
2,
1
r
drdu
ru
令,则
2
4
22
2
0
2
s
G
km
G
mE
ds
oo
sepa rc c o s
第六章 质点动力学第一积分与首恒定律
2
oG
mkus mkGp o2?
2
22
1 mk EGe o
其中
epusep /1c o s 0
0c o s1
1
e
p
ur
比内（ Binet方程）：
在 中，令rFrrm 2
ru
1?
第六章 质点动力学第一积分与首恒定律
21 ku
uF
开普勒问题：
uFuG mud ud
o
1
222
2
则
02 c o s AGmku
o
第六章 质点动力学第一积分与首恒定律
22
2
oG
mku
d
ud
000 uu对应的齐次方程为：
0210 c o ss i nc o s Accu
齐次方程的通解为：
开普勒问题的特解为：
第六章 质点动力学质点的一维振动
1）自由振动
0 kxxm
解出：
txtxx s in0c o s0
mk /2 02 xx令 则例 6-2 质点的一维振动可写成, tAx s i n
第六章 质点动力学质点的一维振动
m
cnxxnx
2,02
2
2）有阻尼振动：阻尼 xcR
xckxxm则运动方程为：
解出：
tnAex nt 22s i n
n当 时这是小阻尼情况的衰减振动，
22
22
n
T
第六章 质点动力学质点的一维振动
tccex nt 21
当 时n
这是临界阻尼情形，也不具有振动性质 。
tntnnt ececex 2222 21
n当 时这是大阻尼情况，运动不在有振动的性质。
第六章 质点动力学质点的一维振动
3）受迫振动,tHxckxxm s in
0lim 0?
tx
t
其中 是有阻尼的瞬态解：tx0
tx*而 是稳态的特解。
若仅考虑稳态特解,可验证 tAtx s i n*
222
2
22
2
2
,
14
/
n
tg
n
kH
A
txtxtx *0解出：
第六章 质点动力学质点的一维振动可见,1）频率 =周期外力的频率
2） 与初始条件无关，仅依赖于
（系统本身性质）
,A
Hckm,,,,?
3）影响振幅的量, AH,
A,? 共振！
第六章 质点动力学质点多自由度运动
pv
T?
o
p
Q T?
例 6-3 光滑桌面上有一质量为 m的小球 P，用不可伸长的绳子与另一小球 Q相连,Q的质量是 km。
绳子穿过桌面上的光滑小孔 O，绳子 OQ部分是自由悬挂着的。在初始时刻,
，试分析两小球运动。,opp rvaop
gav p 8)0(?
第六章 质点动力学质点多自由度运动
pv
T?
o
p
Q T?
解：
reTTP?
,
kNN
Trrm 2111
avc o n s tr 121?
3
1
22
111 r
vamTrm
第六章 质点动力学质点多自由度运动
kTTQ,
kgmG 2
Tk m gzkm2
c o n stzr 21
021 zr
由绳不可伸长得：
k m gTrkm1
kgrgakgrvark 31331221 /8/)1(
第六章 质点动力学质点多自由度运动下面分析两质点的运动：
kgrgark 3131 /8)1(
gkrk )8()0()1( 1
初始时刻：
可见，若 k〈 8，则 Q上升；否则 Q下降。
问,P离孔的最大距离是多少？
有约束的运动,
从理论上讲，如果约束是完整的，总可以找到更少数目的独立坐标描述系统，而不再有约束。
问题：如果有时候我们必须或者宁愿用非独立坐标加约束，那么运动方程怎么写？
第六章 质点动力学有约束的运动例：已知某质点在力 作用下沿曲面运动，则
F 0,,?zyxf
NFrm
fNfN //
fFrm
0,,?zyxf
Lagrange乘子方程（拉氏第一类方程）
§ 6.2 第一积分与守恒定律第一积分（首次积分、初积分）
( 1 ),,rrtFrm
( 2 ),,c o n s trrtf
定义：若运动微分方程的任何一组解都满足：
则称表达式（ 2）是方程（ 1）的第一积分。
若 则0?
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第六章 质点动力学第一积分与首恒定律
1）动量积分：
tFP
tIvmvm 0
若 则 即 0?tI?
0vmvm 0vv
02 vv则
0,s i n eettF例：
第六章 质点动力学第一积分与首恒定律动量矩定理：
定理成立的条件：
1) 惯性参考系； 2) O点为惯性坐标系中固定点。
oo MG
2）动量矩积分（角动量积分）
若 则 常矢由于故质点的运动轨迹是一条平面曲线，所在平面与 垂直。
0?oMoG?
popp vmrv
oG
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221 rS? constS?
令 为面积速度。故第六章 质点动力学第一积分与首恒定律
eemrerermervmrG rrrpopo 2
又由于
0?oxM c o n s tiGG oox若 则
3）能量积分：
若力 有势,且 不显含 t，则FF
co n s tT
例 6-1 有心力作用下质点运动
rerFF
势能：
能量守恒：
drrFr
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第六章 质点动力学第一积分与首恒定律
c o n stmrG o2因此轨迹是平面曲线，且常矢?
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由 可知：
解出：
2222 mrGrEmr o
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第六章 质点动力学第一积分与首恒定律开普勒问题,0
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0210 c o ss i nc o s Accu
齐次方程的通解为：
开普勒问题的特解为：
第六章 质点动力学质点的一维振动
1）自由振动
0 kxxm
解出：
txtxx s in0c o s0
mk /2 02 xx令 则例 6-2 质点的一维振动可写成, tAx s i n
第六章 质点动力学质点的一维振动
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2）有阻尼振动：阻尼 xcR
xckxxm则运动方程为：
解出：
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第六章 质点动力学质点的一维振动
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这是临界阻尼情形，也不具有振动性质 。
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n当 时这是大阻尼情况，运动不在有振动的性质。
第六章 质点动力学质点的一维振动
3）受迫振动,tHxckxxm s in
0lim 0?
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其中 是有阻尼的瞬态解：tx0
tx*而 是稳态的特解。
若仅考虑稳态特解,可验证 tAtx s i n*
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第六章 质点动力学质点的一维振动可见,1）频率 =周期外力的频率
2） 与初始条件无关，仅依赖于
（系统本身性质）
,A
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3）影响振幅的量, AH,
A,? 共振！
第六章 质点动力学质点多自由度运动
pv
T?
o
p
Q T?
例 6-3 光滑桌面上有一质量为 m的小球 P，用不可伸长的绳子与另一小球 Q相连,Q的质量是 km。
绳子穿过桌面上的光滑小孔 O，绳子 OQ部分是自由悬挂着的。在初始时刻,
，试分析两小球运动。,opp rvaop
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第六章 质点动力学质点多自由度运动
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第六章 质点动力学质点多自由度运动
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由绳不可伸长得：
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第六章 质点动力学质点多自由度运动下面分析两质点的运动：
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初始时刻：
可见，若 k〈 8，则 Q上升；否则 Q下降。
问,P离孔的最大距离是多少？
有约束的运动,
从理论上讲，如果约束是完整的，总可以找到更少数目的独立坐标描述系统，而不再有约束。
问题：如果有时候我们必须或者宁愿用非独立坐标加约束，那么运动方程怎么写？
第六章 质点动力学有约束的运动例：已知某质点在力 作用下沿曲面运动，则
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fNfN //
fFrm
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Lagrange乘子方程（拉氏第一类方程）
