第六章 质点动力学 变质量系统
§ 6-5 变质量系统动力学变质量系统,质量随时间 连续 变化的质点系。
又如：火箭、电梯、洒水车等 (工程技术中的变质量系统 )
例：雨滴下降过程中由于蒸发而质量变小，
由于水汽凝结使质量增加；浮冰在天热时由于溶解而质量变小，也会由于下雪而质量变大。 (自然界的变质量系统 )
tMtMMtM 210
—— 从零时刻到 t 时刻离开系统的质量，
—— 从零时刻到 t 时刻进入系统的质量，
是时间的非负、非递减、连续可微函数。
tM1
tM2
21,MM
第六章 质点动力学 变质量系统模型假设,设质点系的质量 M(t) 在 t=0 时为
，在任意时刻为0M
变质量系统动量定理
cec vMRvM
第六章 质点动力学 变质量系统即
eRP由动量定理
tvtMP c变质量系统瞬时动量由此看出，当变质量质点不受力沿直线运动且质量按 规律变化时，
于是
)1/(/ tdtvdvtM 1
)1/(1 tv
以前的动力学普遍定理是研究 同样质点组成的质系的动力学量变化规律,而变质量系统在不同时刻组成质系的质点不同,不能直接应用！
这个结论合理吗？为什么?
第六章 质点动力学 变质量系统结论：质量减少，速度增加；质量增加，速度减少。 与增加（或减少）质量的速度无关 ！
)1/(1 tv
cec vMRvM
在 的动量edcbtStStt,,,,***** tPtP
cbattSttt,,,** 的动量ttPPtP **
edcbtSttS,,,** 的动量ttPPtP **
设 是变质量系统,是常质量系统。?tStS?
第六章 质点动力学 变质量系统正确的推导变质量系统动量定理的思路在 时刻系统 与系统 的动量之间的关系为
tt* S S?
21** PPttPttP
与常质量系统相比，研究变质量系统动量变化规律的 特殊困难 是什么？ 研究对象 (质系 )也在变化！
即, 21** PPPtPPtP
21 PPPP
第六章 质点动力学 变质量系统两边同时除以,取极限后可得,t?
t
P
t
P
dt
Pd
dt
Pd
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21
0
li m**
对常质量系统 用动量定理：S*
* tRdt
Pd e
tt
t
P
t
PtRtP
t
e 21
0
*)(* lim)()(
第六章 质点动力学 变质量系统设 S是惯性系中运动的封闭曲面，在运动 (包括变形 )中有质点并入或离开 S围成的区域，这是个变质量系统。
第六章 质点动力学 变质量系统记 Q为任意时刻 S内质点构成的质系，其动量为 P?
对一般变质量系统的推导
S
)( *tQ
在某时刻,S内的质点构成的系统为,
动量为 。
*tt?
** )( QtQ?
** )( PtP
经过时间 后，
S内质系 Q的动量变化为而在 时刻在 S内的 的动量变为
t?
PP*?
*tt?
*Q
** PP
显然：
21*** PPPPPP
第六章 质点动力学 变质量系统是 内离开 S的部分质量 的动量。
是 内进入 S的部分质量 的动量。
1P
2P
t?
t?
1Q
2Q
21* PPPP
1Q
2Q
S
Q(t)
S
)( *tQ
FRFFP
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dt
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21
*
对系统 用动量定理,
是 时刻作用在 上的外力主向量。
*QeR
dt
Pd*
eR? *tt? *Q
第六章 质点动力学 变质量系统
t
PF
t
PF
2
2
1
1 lim,lim
变质量系统动量矩定理设 O为惯性空间不动点或质心，同上可推出：
FFe
o
o MMM
dt
Gd
21
t
GM
t
GM oFoF
2
2
1
1 lim,lim
第六章 质点动力学 变质量系统变质量质点动力学记变质量质点 (质点是一种模型，不一定是几何点 )为 Q。 设 是 时刻离开 Q的部分质量的绝对速度,是 时刻并入 Q的部分质量的绝对速度。则
1u?
2u?
*tt?
*tt?
第六章 质点动力学 变质量系统
222111,uMPuMP
是 内离开 Q的质量是 内并入 Q的质量
1M?
2M?
t?
t?
2
2
21
1
1,udt
dMFu
dt
dMF
是从 到 时刻离开 Q的质量之和，
是从 到 时刻离开 Q的质量之和。
1M
2M
0?t *t
0?t *t
第六章 质点动力学 变质量系统而,为质点 Q的绝对速度。?vtMP v?
2
2
1
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dt
dMu
dt
dMR
dt
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dt
dM
21 MMMM o
dt
dM
dt
dM
dt
dM 21
vudtdMvudtdMRdt vdM
2211
第六章 质点动力学 变质量系统记 (相对速度 ),则vuu
iir
rr udr
dMu
dt
dMR
dt
vdM
2
2
1
1
1)若,即只有分离质量，没有并入质量，
则
02?M
dt
dM
dt
dM 1
rudt
dMR
dt
vdM
1
第六章 质点动力学 变质量系统
2)若,即只有并入质量，没有分离质量，
则
01?M
dt
dM
dt
dM 2?
rudt
dMR
dt
vdM
2
讨论
3)若 且,则0
2?M 01?u RvM
dt
d
即当没有并入,只有分离质量,并且其绝对速度为零 时，质系动量对时间导数等于外力。
第六章 质点动力学 变质量系统
4)若 且,则02?M 0
1?ru? R
dt
vdM
即当没有并入，只有分离质量，并且相对速度为零时，质系动量定理的形式与常系统相同。
注意,这个结论就是前面给出过的，它对一般变质量系统不成立，但对满足上面条件的系统成立。
火箭的运动设火箭在太空中运动，不受任何外力作用其中 是燃料向后喷射的相对速度，设 与共线，取公共作用线为 ox轴，则
0?R?
rudt
dM
dt
vdM
ru? v? ru?
rudt
dM
dt
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o
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x
第六章 质点动力学 变质量系统若,则c o n stu r?
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s
f
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MuvTv 1ln
0
当燃料燃完时,火箭速度为Tt?
fu elf,
s tr u c tu r es h e lls,
sf MMM0
第六章 质点动力学 变质量系统若火箭在重力场中向上运动，则
gTMMuvTv
s
f
r
1ln
0
喷气速度 目前能够达到 公里 /秒设 (鸡蛋蛋液与壳之比为 8左右 )
也只能达到 5— 7公里 /秒 < 7.9公里 /秒
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10?
s
f
M
M
Tv
第六章 质点动力学 变质量系统利用多极火箭！如何发射地球卫星呢？
1
1
1
01 1ln gtM
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s
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2
2
2
12 1ln gtM
Muvv
s
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3
3
3
23 1ln gtM
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s
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设,则 公里 /秒！6?
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M
M 9.75
3 rvv
第六章 质点动力学 变质量系统第一级第二级第三级例 6-6 雨滴下落过程由于水汽凝结使质量增加。
(1)开始下落时求 时刻
00,,00 mmc o n s tdtdmv
ttv
解,
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mgmvdtd?
c o n s tdtdm由 知 tmm 0
第六章 质点动力学 变质量系统
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0
2
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2
1
第六章 质点动力学 变质量系统结论：下降速度比自由落体小。
(2)
求最大速度
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解,
vk m vmgdtdvm
2kvg
dt
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第六章 质点动力学 变质量系统当 时
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本周作业：
16-29,16-37,16-38
§ 6-5 变质量系统动力学变质量系统,质量随时间 连续 变化的质点系。
又如：火箭、电梯、洒水车等 (工程技术中的变质量系统 )
例：雨滴下降过程中由于蒸发而质量变小，
由于水汽凝结使质量增加；浮冰在天热时由于溶解而质量变小，也会由于下雪而质量变大。 (自然界的变质量系统 )
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—— 从零时刻到 t 时刻离开系统的质量，
—— 从零时刻到 t 时刻进入系统的质量，
是时间的非负、非递减、连续可微函数。
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第六章 质点动力学 变质量系统模型假设,设质点系的质量 M(t) 在 t=0 时为
，在任意时刻为0M
变质量系统动量定理
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第六章 质点动力学 变质量系统即
eRP由动量定理
tvtMP c变质量系统瞬时动量由此看出，当变质量质点不受力沿直线运动且质量按 规律变化时，
于是
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以前的动力学普遍定理是研究 同样质点组成的质系的动力学量变化规律,而变质量系统在不同时刻组成质系的质点不同,不能直接应用！
这个结论合理吗？为什么?
第六章 质点动力学 变质量系统结论：质量减少，速度增加；质量增加，速度减少。 与增加（或减少）质量的速度无关 ！
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第六章 质点动力学 变质量系统正确的推导变质量系统动量定理的思路在 时刻系统 与系统 的动量之间的关系为
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与常质量系统相比，研究变质量系统动量变化规律的 特殊困难 是什么？ 研究对象 (质系 )也在变化！
即, 21** PPPtPPtP
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第六章 质点动力学 变质量系统两边同时除以,取极限后可得,t?
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第六章 质点动力学 变质量系统设 S是惯性系中运动的封闭曲面，在运动 (包括变形 )中有质点并入或离开 S围成的区域，这是个变质量系统。
第六章 质点动力学 变质量系统记 Q为任意时刻 S内质点构成的质系，其动量为 P?
对一般变质量系统的推导
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在某时刻,S内的质点构成的系统为,
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第六章 质点动力学 变质量系统是 内离开 S的部分质量 的动量。
是 内进入 S的部分质量 的动量。
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对系统 用动量定理,
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第六章 质点动力学 变质量系统
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第六章 质点动力学 变质量系统变质量质点动力学记变质量质点 (质点是一种模型，不一定是几何点 )为 Q。 设 是 时刻离开 Q的部分质量的绝对速度,是 时刻并入 Q的部分质量的绝对速度。则
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第六章 质点动力学 变质量系统
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即当没有并入，只有分离质量，并且相对速度为零时，质系动量定理的形式与常系统相同。
注意,这个结论就是前面给出过的，它对一般变质量系统不成立，但对满足上面条件的系统成立。
火箭的运动设火箭在太空中运动，不受任何外力作用其中 是燃料向后喷射的相对速度，设 与共线，取公共作用线为 ox轴，则
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