第七章 刚体动力学陀螺近似理论陀螺,定点运动的轴对称刚体（ A=B）
我们知道若,则刚体作规则进动； BAM eo,0?
反之，若刚体规则进动且 A=B,那么
eoM?
c o s
c o ss i n
s i ns i n
z
y
x
欧拉动力学方程 欧拉运动学方程
§ 7-5 陀螺近似理论
1 陀螺基本公式
zz
zxyy
zyxx
CM
ACAM
CAAM
利用规则进动特点第七章 刚体动力学陀螺近似理论
c o s
c o ss i n
s i ns i n
z
y
x对欧拉运动学方程 求导得：
0
,s ins ins ins in
,c o ss inc o ss in
021
021
z
y
x
c o n st
c o n st
c o n st
1
2
0
,
,
第七章 刚体动力学陀螺近似理论得：
c o ss i n]c o s[ 002221 CACM x
0?zM
s i ns i n]c o s[ 002221 CACM y
代入欧拉动力学方程
zz
zxyy
zyxx
CM
ACAM
CAAM
第七章 刚体动力学陀螺近似理论
Z
z y
o
Y
X
N x
k2
31 e
oM
)s i nc o s( yxoyyxxo eeMeMeMM
我们知道节线 ON的单位向量
]/c o s)([s i n 120021 CACM o其中
s i nc o s yxN eee
故
Noo eMM?
容易验证：
Ne 01212 s i n
]c o s[ 0
1
212?
ACCM
o
此式称为 陀螺基本公式。
当 或 时当 时
900? CBA 12 CM o
21 12
CM
o
第七章 刚体动力学陀螺近似理论最后，轴对称刚体作规则进动所受的力矩为：
特殊情况：
例 7-3 碾磨机的滚子质量为 m，半径为 a，对滚子轴 oz的回转半径为,滚子只滚不滑,oz轴以常角速度 绕 oZ轴转动，求碾子对水平底面压力。
Z
z
a
R
O
第七章 刚体动力学陀螺近似理论
]c o s[ 0
1
212?
ACCM
o
解：碾子做规则进动, 90,,21 ke x
纯滚条件：
aR? 2?mC?
yo eRNM?
yyo ea
RmeCCM 22
12
可见,转速越快，碾磨压力越大。 N?
第七章 刚体动力学陀螺近似理论
2
2
amN?
]c o s[ 0
1
212?
ACCM
o
代入陀螺基本公式：
现代科技中采用的陀螺仪，转子速度极高,21
kkji zyx 1
kCkCjAiAG zyxo 1
第七章 刚体动力学陀螺近似理论
12x
12y
112 co s oz
于是有陀螺仪有如下性质：
2 陀螺近似理论
//oG
性质 3 当某一力 作用在陀螺对称轴上时，对称轴将向 的方向运动；当该力停止作用时，对称轴将停止运动。
F?
FrM o
第七章 刚体动力学陀螺近似理论性质 1 当 时,沿着对称轴方向，
并且在惯性空间中保持不变。近似的永久转动。
0?oM? 1,oG
性质 2 当 时,0?
oM
oo MG
oG
oM?“向量 的端点在空间中运动的速度等于,
(赖柴尔定理 )
性质 4 设短时间 内作用在陀螺上的力 将使对称轴偏离原方向 角。
F?
a
a?
oG?
F?
h
o
av?
FhMvaaoa a
1?
C
Fh
G
Fh
oa
Fh
o
若冲量 为有限量，则由,可知极小，在实际中很难观测到 的大小。
F 11C
1
第七章 刚体动力学陀螺近似理论陀螺具有短时间的方向保持能力（抗干扰能力）。
例如自旋卫星受干扰力矩作用，经过较长时间后，
自旋轴的方向将有较大的变化，必须实施控制。
陀螺仪表会“漂移”，使用过程中必须定期校准。
陀螺的方向保持能力，在工程中有很多应用。如自旋卫星，导弹，鱼雷，轮船的定向、定位等等。
性质 5 当陀螺高速旋转时，反过来会对其载体产生陀螺力矩，记为,则有
gM
21
CMM
og
第七章 刚体动力学陀螺近似理论
但当陀螺受长时间干扰力作用时,不再是小量。
第七章 刚体动力学陀螺近似理论例 7-4 航模以速度 v水平盘旋，半径 (转弯 )为,
螺旋桨转动惯量为 C，转速为,求螺旋桨对飞机的陀螺力矩。
1?
21
CM
g
解：
kv2 i
11
21
CM
g
1CvM
g?
可见，若飞机螺旋桨转动方向如图，当飞机向左转弯时，形成的陀螺力矩使飞机头部抬起；
当飞机向右转弯时，陀螺力矩使飞机头部底下。
第七章 刚体动力学陀螺近似理论
21
第七章 刚体动力学陀螺近似理论例 7-5 利用陀螺近似理论研究轴对称重刚体（即
Lagrange情况 ）的运动特性。
解：设 A=B，刚体绕对称轴 oz
高速自旋，自转角速度为,
进动角速度为,且 。212?
1?
12
CM
o
根据陀螺近似理论这个力矩由重力提供，故
12
CMkmgr
ooc
第七章 刚体动力学陀螺近似理论写成标量形式为
s i ns i n 12CMm g r ooc
于是有
Cm g roc /21
结论,自转角速度和进动角速度的积是常数，该常数与刚体质量、质心高度和绕对称轴的转动惯量有关，与章动角无关。自转角速度越大（小），
进动角速度就越小（大）。这与陀螺定向性一致。
例 7-6 火车沿着曲率半径为 R的弯道以速度 v行驶，
设轨距为 s，车轮半径为 r，在下面两种情况下，求钢轨对车轮的反力。 1)假设内、外轨在同一水平面内； 2)假设外轨高于内轨，在曲线的上升段内均匀递增，超出高度为 h，曲线的上升段长度为 l。
Z
N
2? Ne?
1?
zOR
s
v?
第七章 刚体动力学陀螺近似理论解,1) 90
21 c o n s tR
v
r
v
可见，外轨压力大，内轨压力小。
第七章 刚体动力学陀螺近似理论陀螺力矩 方向沿,作用在钢轨上。 Rr
CvCM
g
2
21 Ne
钢轨对车的力矩 方向沿
Rr
CvM
N
2
Ne?
Z
N
2? Ne?
1?
zOR
s
v?
21显然记质心到轨道的高度为 a，则离心力矩为
2v
R
amM
e
可见，陀螺力矩与离心力矩的作用方向一致，
并且都与 成正比。
2v
实际计算某车辆知，
不可忽视。 0
06?
e
N
M
M
NM
第七章 刚体动力学陀螺近似理论作用在车辆质心上的惯性力 (离心力 )等于
R
vmmRS
e
2
2
2
以上两种力矩将使列车转弯时有向外翻倒的趋势，
为此设计弯道时让外轨高些，这就是本题情况 2)。
这时 不再是常数。
sl
hv
v
l
s
h / Ne3
1
321
CG o?
第七章 刚体动力学陀螺近似理论
Z
N
2? Ne?
1?
zOR
s
v?
3
11 )(
~
CCdtdG o zN MM
若 v为常数，
则 为常数。1?
132 )( C
这个力矩只能由水平方向的力偶提供，即轮对受到摩擦力偶作用。
该比值可能大于 1，很重要 !
第七章 刚体动力学陀螺近似理论作业
17-44 17-47
sl
hR
M
M
N
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跟陀螺力矩相比
)/(231 r lshCvCM z其中 也与 成正比。2v
我们知道若,则刚体作规则进动； BAM eo,0?
反之，若刚体规则进动且 A=B,那么
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§ 7-5 陀螺近似理论
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第七章 刚体动力学陀螺近似理论最后，轴对称刚体作规则进动所受的力矩为：
特殊情况：
例 7-3 碾磨机的滚子质量为 m，半径为 a，对滚子轴 oz的回转半径为,滚子只滚不滑,oz轴以常角速度 绕 oZ轴转动，求碾子对水平底面压力。
Z
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解：碾子做规则进动, 90,,21 ke x
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可见,转速越快，碾磨压力越大。 N?
第七章 刚体动力学陀螺近似理论
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现代科技中采用的陀螺仪，转子速度极高,21
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第七章 刚体动力学陀螺近似理论
12x
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于是有陀螺仪有如下性质：
2 陀螺近似理论
//oG
性质 3 当某一力 作用在陀螺对称轴上时，对称轴将向 的方向运动；当该力停止作用时，对称轴将停止运动。
F?
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第七章 刚体动力学陀螺近似理论性质 1 当 时,沿着对称轴方向，
并且在惯性空间中保持不变。近似的永久转动。
0?oM? 1,oG
性质 2 当 时,0?
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oM?“向量 的端点在空间中运动的速度等于,
(赖柴尔定理 )
性质 4 设短时间 内作用在陀螺上的力 将使对称轴偏离原方向 角。
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第七章 刚体动力学陀螺近似理论陀螺具有短时间的方向保持能力（抗干扰能力）。
例如自旋卫星受干扰力矩作用，经过较长时间后，
自旋轴的方向将有较大的变化，必须实施控制。
陀螺仪表会“漂移”，使用过程中必须定期校准。
陀螺的方向保持能力，在工程中有很多应用。如自旋卫星，导弹，鱼雷，轮船的定向、定位等等。
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21
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第七章 刚体动力学陀螺近似理论
但当陀螺受长时间干扰力作用时,不再是小量。
第七章 刚体动力学陀螺近似理论例 7-4 航模以速度 v水平盘旋，半径 (转弯 )为,
螺旋桨转动惯量为 C，转速为,求螺旋桨对飞机的陀螺力矩。
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可见，若飞机螺旋桨转动方向如图，当飞机向左转弯时，形成的陀螺力矩使飞机头部抬起；
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第七章 刚体动力学陀螺近似理论
21
第七章 刚体动力学陀螺近似理论例 7-5 利用陀螺近似理论研究轴对称重刚体（即
Lagrange情况 ）的运动特性。
解：设 A=B，刚体绕对称轴 oz
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进动角速度为,且 。212?
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第七章 刚体动力学陀螺近似理论写成标量形式为
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进动角速度就越小（大）。这与陀螺定向性一致。
例 7-6 火车沿着曲率半径为 R的弯道以速度 v行驶，
设轨距为 s，车轮半径为 r，在下面两种情况下，求钢轨对车轮的反力。 1)假设内、外轨在同一水平面内； 2)假设外轨高于内轨，在曲线的上升段内均匀递增，超出高度为 h，曲线的上升段长度为 l。
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第七章 刚体动力学陀螺近似理论解,1) 90
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第七章 刚体动力学陀螺近似理论陀螺力矩 方向沿,作用在钢轨上。 Rr
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可见，陀螺力矩与离心力矩的作用方向一致，
并且都与 成正比。
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实际计算某车辆知，
不可忽视。 0
06?
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第七章 刚体动力学陀螺近似理论作用在车辆质心上的惯性力 (离心力 )等于
R
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以上两种力矩将使列车转弯时有向外翻倒的趋势，
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第七章 刚体动力学陀螺近似理论
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这个力矩只能由水平方向的力偶提供，即轮对受到摩擦力偶作用。
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第七章 刚体动力学陀螺近似理论作业
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