例 8-21 在光滑水平面上放置一个质量为 的三棱柱 ABC,它的 AB斜面倾角为 。一质量为,半径为 r 的均质圆柱沿着三棱柱的斜面 AB无滑动的滚动，求三棱柱的加速度。
2m
1m
Lagrange方程第 八 章 分析动力学初步
A
BC
22
1
2
2 2
1
2
1
2
1?
oo IvmxmT
222 ooo yxv 2
12
1,rmI
o
Lagrange方程第 八 章 分析动力学初步
xxA
广义坐标,和柱转角 (D与 A重合时为零 )
解：平面内描述系统可以用 4个参数?,,,
ooA yxx
y
x
o
A
B
D
C
约束：纯滚和斜面支撑，因此系统有两个自由度。


c o ss i nc o s
s i nc o ss i n
rrACryy
rrxrxx
Do
Do




s i n
c o s


ry
rxx
o
o


代入拉氏方程可得
0c o s)( 121 rmxmmdtd
( 1 ) 0 co s)( 121 rmxmm
Lagrange方程第 八 章 分析动力学初步
s i nc o s43)(21 11221221 grmxrmrmxmmL
s i n)co s( 11 grmrACygmV o
c o s43)(21 1221221 xrmrmxmmT
（设 A点势能点为零）
由 (1)(2)可解出：
2
121
1
c o s2)(3
2s in
mmm
gmx


Lagrange方程第 八 章 分析动力学初步
0s inc o s23 1121 grmxrmrmdtd
( 2 ) 0s i n32c o s32 111 gmxmrm
s i nc o s43)(21 11221221 grmxrmrmxmmL
0?x 三棱柱加速度向左。
一、动能表达式分析
kj
k
in
j
n
k j
iN
i i
qqqrqrmT

)(21
1 112?



拉氏方程第一积分第八章 分析动力学初步
§ 8-3 Lagrange方程的第一积分
,
1

n
j
i
j
j
i
i t
rq
q
rr利用
2
1
1 ii
N
i i
rrmT
动能
012 TTTT
可以写成为其中
nT qqq,.,,,1 ),,(,
1
tqaqrqrmaaA ij
j
k
i
kN
k
kijnnij




qAq T21?
广义速度的二次型
),(,...,
1
1 tqbt
r
q
rmbbbb
i
k
i
k
N
k
kin
T?


),(21
10
tqctrtrmT kkN
k k



拉氏方程第一积分第八章 分析动力学初步


N
i
n
j
j
i
j
i
i qt
r
q
rmT
1 1
1 )(?
qbT 广义速度的一次齐次式与广义速度无关项二、广义能量积分如果拉格朗日函数 L不显含时间 t，则 。0?
t
L
)(
1
j
j
j
n
j j
qqLqqLdtdL
如果主动力有势，则 )(
jj q
L
dt
d
q
L




n
j
j
j
j
j
q
q
L
dt
dq
dt
d
q
L
dt
dL
1
)( )(
1
j
n
j j
qqLdtd


拉氏方程第一积分第八章 分析动力学初步于是
0
1

n
j
j
j
Lq
q
L
dt
d?
此式称为广义能量积分,E称为广义能量 。
利用 VTTTL
012
12
12 2 TTq
q
Tq
q
Tq
q
L
j
j
j
j
j
j

拉氏方程第一积分第八章 分析动力学初步
c o n s tELqqL j
n
j j


1
co n s tVTTE 02
当约束为定常时，
210,0,0 TTTT
c o n s tVTE 机械能守恒。
例 8-22 如图所示，半径为 r的圆环以匀角速度绕 O轴在水平面内转动，环上有一质量为 m的质点。
求质点运动微分方程的首次积分。
y
),( yxm
r
x
拉氏方程第一积分第八章 分析动力学初步解：质点的坐标为
)c o s (c o s trtrx
)s i n (s i n trtry
)(21 22 yxmT
)c o s1()c o s1(21 22222 mrmrmr
拉氏方程第一积分第八章 分析动力学初步
y
),( yxm
r
x
2T 1T 0T
TLV,0
L中不显含时间 t，有广义能量积分：
02 TTE c o n s tmrmr )c o s1(
2
1 2222
思考题：机械能守恒吗？
co n s tTTTVT 012
因为要保证,驱动力一定做功。c o n st
拉氏方程第一积分第八章 分析动力学初步
222 )s i n()co s( rtrytrx
约束是非定常的：
三、系统机械能的变化设系统受理想、完整约束，受有势广义力 和非有势广义力 的作用,拉氏 方程为
iQ
),.,,,1(* niQ i?
*
ii
ii
QQqTqTdtd
由 得
i
i q
VQ

i
i
ii q
T
dt
dQ
q
V
q
T



*
拉氏方程第一积分第八章 分析动力学初步系统机械能
VTTTVTE 012
dt
dV
dt
dT
dt
dE
dt
dV
t
Tq
q
Tq
dt
d
q
T
i
i
i
i
)(
dt
dV
t
TqQq
q
Vq
q
T
dt
d
iii
i
i
i
*)(
t
V
t
TqQVTT
dt
d
ii?

*
12 )22(
ii qQtVtTTTdtddtdE?*01 )2(2
拉氏方程第一积分第八章 分析动力学初步
i
i
i q
T
dt
dQ
q
V


*
t
V
dt
dV

ii qQt
V
t
TTT
dt
d
dt
dE

*
01 )2(
非定常约束力输入功率非定常势输入功率非有势力功率拉氏方程第一积分第八章 分析动力学初步下面讨论几种特殊情况：
1)若约束定常，则
0 2 tTVTVTE
i
n
i
i qQt
V
dt
dE

1
*
2)若定常约束，势能定常，则
i
n
i
i qQdt
dE
1
*
3)若约束定常，主动力有势，势能定常，则
c o n s tE? 保守系统拉氏方程第一积分第八章 分析动力学初步下面介绍几种常见的非有势力：
1)陀螺力
0,
1
*
jiijj
n
j
iji ggqgQ?
0
1 11
*

qGqqqgqQ Tjin
i
n
j iji
n
i i

nTnnij qqqgG,.,,,,1
GG T 反对称矩阵的实二次型恒等于零。
陀螺力不影响系统机械能的变化 !
拉氏方程第一积分第八章 分析动力学初步
2)耗散力
0
1
*
i
n
i
i qQ?
特,Rayleigh耗散力
qBqqqbRqRQ Tji
i j
ij
i
i

2
1
2
1,*

BBT? 对称正定矩阵
022* RdtdERqQ i
i
i?
拉氏方程第一积分第八章 分析动力学初步
Rayleigh耗散力使系统机械能减少 !
3)循环力
0,
1
*
jiijj
n
j
iji ddqdQ
ji
n
i
n
j
iji
n
i
i qqdqQ

1 11
*
拉氏方程第一积分第八章 分析动力学初步循环力对机械能的影响很复杂，目前正在研究。
也称约束阻尼、非保守位形力、径向修正力、
跟随力等等。
四、广义动量积分 (循环积分 )
若主动力有势,L 不显含某个广义坐标,则jq
称为 循环积分 或 广义动量积分 。 称为循环坐标。jq
拉氏方程第一积分第八章 分析动力学初步
c o n s tP
q
L
q
L
q
L
dt
d
j
j
jj

0)(
例 8-23 椭圆摆运动微分方程的第一积分。
c o sc o s21)(21 22222221 glmxlmlmxmmL
L不显含 x
c o n s tlmxmmxLP x c o s)( 221
021 BA xmxm
水平方向动量守恒 !
拉氏方程第一积分第八章 分析动力学初步拉氏方程第一积分第八章 分析动力学初步例 8-24 在有心力作用下的质点
)(2121 2222 rrmmvT )( rVV?
VTL 不显含?
c o n s tmrLP 2
对 o点动量矩守恒 !
P
r
o
从以上两个例子可以看出：广义动量积分概括了动量守恒和动量矩守恒。
作业
22-9,22-21