第三章 复合运动 刚体复合运动
§ 3-2 刚体复合运动
角速度合成定理设某刚体以角速度 相对参考系 作定点转动,而参考系 相对于另一个参考系以角速度 作定点转动,则刚体相对参考系的角速度为 。
r
e
re
111 ZYOX
222 ZYOX
111 ZYOX
222 ZYOX
O
2Z
1Z
z
2X 1Xx
1Y
2Y
y
第三章 复合运动 刚体复合运动证明：
rv rr
p
r?
O
2Z
1Z
2X 1X
1Y
2Y
设 p 点为刚体上的一个点，其相对 O 的向径为,则该点的相对速度和牵连速度分别为
r?
rv ee
rvvv rerep )(
根据点的复合运动速度合成公式，
p 点的绝对速度 (即 相对的速度 )为
222 ZYOX
re
又根据定点运动的速度公式
rv p
由以上两式得思考题,若刚体相对运动和牵连运动都是一般运动，这个结论还正确吗？
第三章 复合运动 刚体复合运动
角加速度合成公式将角速度公式两边对时间求导所以，刚体的绝对角加速度为
rrerrer dt
d
dt
d ~
dt
d
dt
d
dt
d
dt
d r
ere
利用向量绝对导数和相对导数的关系得
rere
第三章 复合运动 刚体复合运动
两种特殊情况
相对运动和牵连运动都是 常角速度 的 定轴 转动，并且转动轴 相交 。
相对运动和牵连运动都是 定轴 转动，并且转动轴相互 平行 。
re
re
re
re
第三章 复合运动 刚体复合运动例题 3.3 利用刚体复合运动推导欧拉运动学方程
(用欧拉角及其导数表示刚体角速度在固联系中的分量 )
o
X
y
x
Z
Y
z
N
M
L
Ze
Ne
ze
解,按照欧拉角的定义，
刚体的角速度 (即 oxyz 相对于 oXYZ 的 角速度 )由三个定轴转动合成：
)()( NMrNMe
)( )()()( LzrLzeNMe
zNZ eee
第三章 复合运动 刚体复合运动将 分别用 表示出来并代入上式得：NZ ee,
zyx eee,,
c o s
s i nc o ss i n
c o ss i ns i n
z
y
x
0
0
0
~
12
13
23
1AA?
AAAA
注,这个表达式也可以利用变换矩阵和角速度矩阵求出来。
第三章 复合运动 刚体复合运动例题 3.4 重做例题 2.2,2.3半径为 r 的车轮沿圆弧作纯滚动，如图所示，已知轮心 E 的速度是常数 u,轮心轨道半径是 R 。求车轮上最高点 B 的速度和加速度。
解,取轮轴 OE 为动系，则车轮的相对运动是绕 OE 轴的定轴转动，车轮的牵连运动是随着 OE
轴绕着竖直轴 OD 的定轴转动。
根据轮心速度可得牵连角速度
E
O
R
r
u
B
C
D
B
O E
C
e
r
Rue /
re
根据角速度合成公式以及几何关系得 sin/
e
第三章 复合运动 刚体复合运动根据角加速度合成公式
c o ss i n2rere
再根据定点运动的速度公式和加速度公式可求出
B 点的速度和加速度。
第三章 复合运动 刚体复合运动例题 3.5 一个机构有三个齿轮互相啮合，并用一曲柄相连，轮子中心在同一直线上。设定轮 0与动轮 2的半径相等，曲柄的绝对角速度 为已知，
求动轮 2的绝对角速度 。 30
20?
30?
定轮 0 惰轮 1
动轮 2
第三章 复合运动 刚体复合运动解,取曲柄为动系，并将其标号为 3；又设用表示第 个刚体相对与第 个刚体的角速度，则根据齿轮啮合的无滑动条件得：
ij?
i j
232131030 rrr
0302320
20 rr?
300323
由 得：
根据角速度合成公式得：
即动轮 2 作平动 。
30?
定轮
0
惰轮 1
动轮 2
第三章 复合运动 刚体复合运动作业题
11-6,11-7
§ 3-2 刚体复合运动
角速度合成定理设某刚体以角速度 相对参考系 作定点转动,而参考系 相对于另一个参考系以角速度 作定点转动,则刚体相对参考系的角速度为 。
r
e
re
111 ZYOX
222 ZYOX
111 ZYOX
222 ZYOX
O
2Z
1Z
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1Y
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y
第三章 复合运动 刚体复合运动证明：
rv rr
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O
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1Z
2X 1X
1Y
2Y
设 p 点为刚体上的一个点，其相对 O 的向径为,则该点的相对速度和牵连速度分别为
r?
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根据点的复合运动速度合成公式，
p 点的绝对速度 (即 相对的速度 )为
222 ZYOX
re
又根据定点运动的速度公式
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由以上两式得思考题,若刚体相对运动和牵连运动都是一般运动，这个结论还正确吗？
第三章 复合运动 刚体复合运动
角加速度合成公式将角速度公式两边对时间求导所以，刚体的绝对角加速度为
rrerrer dt
d
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d ~
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利用向量绝对导数和相对导数的关系得
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第三章 复合运动 刚体复合运动
两种特殊情况
相对运动和牵连运动都是 常角速度 的 定轴 转动，并且转动轴 相交 。
相对运动和牵连运动都是 定轴 转动，并且转动轴相互 平行 。
re
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第三章 复合运动 刚体复合运动例题 3.3 利用刚体复合运动推导欧拉运动学方程
(用欧拉角及其导数表示刚体角速度在固联系中的分量 )
o
X
y
x
Z
Y
z
N
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解,按照欧拉角的定义，
刚体的角速度 (即 oxyz 相对于 oXYZ 的 角速度 )由三个定轴转动合成：
)()( NMrNMe
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第三章 复合运动 刚体复合运动将 分别用 表示出来并代入上式得：NZ ee,
zyx eee,,
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c o ss i ns i n
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x
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0
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12
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AAAA
注,这个表达式也可以利用变换矩阵和角速度矩阵求出来。
第三章 复合运动 刚体复合运动例题 3.4 重做例题 2.2,2.3半径为 r 的车轮沿圆弧作纯滚动，如图所示，已知轮心 E 的速度是常数 u,轮心轨道半径是 R 。求车轮上最高点 B 的速度和加速度。
解,取轮轴 OE 为动系，则车轮的相对运动是绕 OE 轴的定轴转动，车轮的牵连运动是随着 OE
轴绕着竖直轴 OD 的定轴转动。
根据轮心速度可得牵连角速度
E
O
R
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u
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C
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C
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根据角速度合成公式以及几何关系得 sin/
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第三章 复合运动 刚体复合运动根据角加速度合成公式
c o ss i n2rere
再根据定点运动的速度公式和加速度公式可求出
B 点的速度和加速度。
第三章 复合运动 刚体复合运动例题 3.5 一个机构有三个齿轮互相啮合，并用一曲柄相连，轮子中心在同一直线上。设定轮 0与动轮 2的半径相等，曲柄的绝对角速度 为已知，
求动轮 2的绝对角速度 。 30
20?
30?
定轮 0 惰轮 1
动轮 2
第三章 复合运动 刚体复合运动解,取曲柄为动系，并将其标号为 3；又设用表示第 个刚体相对与第 个刚体的角速度，则根据齿轮啮合的无滑动条件得：
ij?
i j
232131030 rrr
0302320
20 rr?
300323
由 得：
根据角速度合成公式得：
即动轮 2 作平动 。
30?
定轮
0
惰轮 1
动轮 2
第三章 复合运动 刚体复合运动作业题
11-6,11-7
