第二章 刚体运动学 平面运动
§ 2-3 刚体平面运动
定义,刚体上所有点的运动始终平行于某个固定平面 。
例如，刚体定轴转动就是平面运动的一种。刚体在此平面上的投影形成是一个平面图形，只要知道这个平面图形的运动，刚体的运动就完全知道了。
X
y
x
Y
o
p
r?
速度公式，加速度公式设 O 是平面图形上的一点，其运动已知。选它为基点建立平动坐标系 OXY 和固联坐标系
Oxy,则任意点 p 的速度和加速度为：
第二章 刚体运动学 平面运动
rkvv o
rrkaa o 2
若 O 点是平面图形上的固定点，则该平面运动就是定轴转动。这时 是切向加速度,是向心加速度。在 O 点速度不为零时，我们可以认为这两项是相对 O 点的切向加速度和向心加速度。
rk r2
X
Y
o
p
r?
rk
r2
第二章 刚体运动学 平面运动
瞬心定理,如果在给定时刻平面图形不作瞬时平动，
则在此瞬时平面图形 (或其延拓部分 )上存在唯一的一点，其速度为零，而其它点的速度就象整个平面图形绕着这一点转动一样。该点称为瞬时速度中心,简称 瞬心 。
证明,设,则
0
0)()( jxviyvrkvv coycoxococ
jyixr ccoc
显然只要,则 有唯一解。 证完。
cc yx,
以瞬心为基点的速度公式为,rkv
瞬心是给定时刻平面上速度为零的点，这一点的位置是随时间变化的。瞬心在固定坐标系中的轨迹叫做 定瞬心轨迹,在固连的动坐标系中的轨迹称为 动瞬心轨迹 。
第二章 刚体运动学 平面运动如何求瞬心？ 1）几何法 (如图 所示 ),2）解析法
B
A c
Av?
Bv? c Bv?
Av?
B
A
第二章 刚体运动学 平面运动定理,在平面运动中，在某个时刻只要角速度和角加速度有一个不为零，则平面图形 (或其延拓部分 )上存在唯一的点，其加速度等于零。该点称为 瞬时 加 速度中心。
证明,设,则该点加速度为,
)()( 2 jyixjyixkjaiaa ccccoyoxc
0)()( 22 jxyaiyxa ccoyccox
显然只要,则 有唯一解。证完。024
cc yx,
jyixr ccc
以加速度瞬心为基点的加速度公式为,
rrka 2
第二章 刚体运动学 平面运动
刚体平面运动的分析方法例 2.3 梯子 AB长 l，一端靠在墙上，
如图所示。如将梯子下端 A 以等速
u 向右水平地拖动。求当梯子与墙的夹角为 30度时,B 点的加速度和杆的角加速度，并用 l 及 u 表示。
B
A
u
l
第二章 刚体运动学 平面运动方法一：基点法 B
A
u
l
O
y
x
1e?2e?
以 A 为基点，按加速度公式有
jliluelkiujv B s i n)c o s(2
ABABAB rrkaa
2
若取如图的固联坐轴标 和则上式可写成为
1e? 2e?
2220 elelkja B
jllill )c o ss i n()s i nc o s( 22
这个向量式相当于两个方程，要从中解出 需知道 。
利用速度公式可类似地得到一个向量式，可从中解出,
Ba,
第二章 刚体运动学 平面运动方法二：瞬心法根据已知条件，杆的瞬时速度中心位于图中的 C 点。
由速度公式得
co slACvu A
c o sl
u
由 A 点加速度等于零可知,A 点为瞬时加速度中心。
B
A
u
l
O
y
x
C
na?
ta?
)c o s/( 222 lula n
32 c o s/c o s/ uaa nB
s i nBt aal
3
2
c o s
sin
l
u
第二章 刚体运动学 平面运动方法三：直接求导法设 OB=y(t),OA=ut,
则有：
)(t
B
A
u
l
O
y
x
l
utt a r c s i n)( 222)( tulty
jtyta B )()(? ktt )()(
根据定义可知：在任意时刻当 时，030
u
ltt
2
*
jtyta B )()( **? ktt )()( ** 具体运算如下：
第二章 刚体运动学 平面运动为了得到 y 的两次导数，可以对下式求导两次：
2222 tuly
tuyy 2
22 uyyy
2222 / tultuy
yyuy /)( 22
例 2.4 试求上例题中的定瞬心轨迹和动瞬心轨迹。
第二章 刚体运动学 平面运动解：在固定坐标系 Oxy 中瞬心 C 点的坐标为：
sinlx C c o sly C
定瞬心轨迹为以 O 为圆心的 1/4圆周。
在固联坐标系 中瞬心 C 的坐标为：A
s i nco slC 2c o slC
4/)2/( 222 llCC
动瞬心轨迹为以杆中点为圆心的 1/2圆周。
A x
B
u
l
O
y
C
第二章 刚体运动学 平面运动作业题
9-21,9-22,9-30,9-38
§ 2-3 刚体平面运动
定义,刚体上所有点的运动始终平行于某个固定平面 。
例如，刚体定轴转动就是平面运动的一种。刚体在此平面上的投影形成是一个平面图形，只要知道这个平面图形的运动，刚体的运动就完全知道了。
X
y
x
Y
o
p
r?
速度公式，加速度公式设 O 是平面图形上的一点，其运动已知。选它为基点建立平动坐标系 OXY 和固联坐标系
Oxy,则任意点 p 的速度和加速度为：
第二章 刚体运动学 平面运动
rkvv o
rrkaa o 2
若 O 点是平面图形上的固定点，则该平面运动就是定轴转动。这时 是切向加速度,是向心加速度。在 O 点速度不为零时，我们可以认为这两项是相对 O 点的切向加速度和向心加速度。
rk r2
X
Y
o
p
r?
rk
r2
第二章 刚体运动学 平面运动
瞬心定理,如果在给定时刻平面图形不作瞬时平动，
则在此瞬时平面图形 (或其延拓部分 )上存在唯一的一点，其速度为零，而其它点的速度就象整个平面图形绕着这一点转动一样。该点称为瞬时速度中心,简称 瞬心 。
证明,设,则
0
0)()( jxviyvrkvv coycoxococ
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显然只要,则 有唯一解。 证完。
cc yx,
以瞬心为基点的速度公式为,rkv
瞬心是给定时刻平面上速度为零的点，这一点的位置是随时间变化的。瞬心在固定坐标系中的轨迹叫做 定瞬心轨迹,在固连的动坐标系中的轨迹称为 动瞬心轨迹 。
第二章 刚体运动学 平面运动如何求瞬心？ 1）几何法 (如图 所示 ),2）解析法
B
A c
Av?
Bv? c Bv?
Av?
B
A
第二章 刚体运动学 平面运动定理,在平面运动中，在某个时刻只要角速度和角加速度有一个不为零，则平面图形 (或其延拓部分 )上存在唯一的点，其加速度等于零。该点称为 瞬时 加 速度中心。
证明,设,则该点加速度为,
)()( 2 jyixjyixkjaiaa ccccoyoxc
0)()( 22 jxyaiyxa ccoyccox
显然只要,则 有唯一解。证完。024
cc yx,
jyixr ccc
以加速度瞬心为基点的加速度公式为,
rrka 2
第二章 刚体运动学 平面运动
刚体平面运动的分析方法例 2.3 梯子 AB长 l，一端靠在墙上，
如图所示。如将梯子下端 A 以等速
u 向右水平地拖动。求当梯子与墙的夹角为 30度时,B 点的加速度和杆的角加速度，并用 l 及 u 表示。
B
A
u
l
第二章 刚体运动学 平面运动方法一：基点法 B
A
u
l
O
y
x
1e?2e?
以 A 为基点，按加速度公式有
jliluelkiujv B s i n)c o s(2
ABABAB rrkaa
2
若取如图的固联坐轴标 和则上式可写成为
1e? 2e?
2220 elelkja B
jllill )c o ss i n()s i nc o s( 22
这个向量式相当于两个方程，要从中解出 需知道 。
利用速度公式可类似地得到一个向量式，可从中解出,
Ba,
第二章 刚体运动学 平面运动方法二：瞬心法根据已知条件，杆的瞬时速度中心位于图中的 C 点。
由速度公式得
co slACvu A
c o sl
u
由 A 点加速度等于零可知,A 点为瞬时加速度中心。
B
A
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l
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x
C
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32 c o s/c o s/ uaa nB
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第二章 刚体运动学 平面运动方法三：直接求导法设 OB=y(t),OA=ut,
则有：
)(t
B
A
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y
x
l
utt a r c s i n)( 222)( tulty
jtyta B )()(? ktt )()(
根据定义可知：在任意时刻当 时，030
u
ltt
2
*
jtyta B )()( **? ktt )()( ** 具体运算如下：
第二章 刚体运动学 平面运动为了得到 y 的两次导数，可以对下式求导两次：
2222 tuly
tuyy 2
22 uyyy
2222 / tultuy
yyuy /)( 22
例 2.4 试求上例题中的定瞬心轨迹和动瞬心轨迹。
第二章 刚体运动学 平面运动解：在固定坐标系 Oxy 中瞬心 C 点的坐标为：
sinlx C c o sly C
定瞬心轨迹为以 O 为圆心的 1/4圆周。
在固联坐标系 中瞬心 C 的坐标为：A
s i nco slC 2c o slC
4/)2/( 222 llCC
动瞬心轨迹为以杆中点为圆心的 1/2圆周。
A x
B
u
l
O
y
C
第二章 刚体运动学 平面运动作业题
9-21,9-22,9-30,9-38
