第二章 力系简化理论
§ 2-1 基本力系的简化
§ 2-2 力向一点的平移定理
§ 2-3 一般力系向一点的简化
§ 2-4 力系简化的最后结果
§ 2-5 分布载荷的简化理论力学 第二章 力系简化理论
§ 2-1 基本力系的简化
(1) 汇交力系的简化
汇交力系简化为一合力，合力作用在各力汇交点，大小及方向为各力之矢量和（力多边形的封闭边）
解析法求合力 (应用合矢量投影定理 )
会计算各种情况下力之投影是一项基本功理论力学 第二章 力系简化理论
(2) 力偶系的简化
1m?
2m?
1F
2F
2F R
1F
R?
m?
1m
2m
m?
两个力偶合成仍为一个力偶，
合力偶矩为分力偶矩的矢量和
力偶系可简化为一力偶，其力偶矩为力偶系各力偶矩之矢量和
用解析法处理力偶系简化时与处理汇交力系的简化完全相似理论力学 第二章 力系简化理论
§ 2-2 力向一点的平移定理
F?
F? 'O
反之，同平面内的一个作用在 O点的力 和一个力偶也可以合成一个力，所得力大小方向与 相同，作用在点,
且：
)( AB Fmm
AF 作用在刚体 A点上的力 可以向刚体上任意点 B平移而不改变对刚体的作用，但必须附加一力偶，其力偶矩为理论力学 第二章 力系简化理论
§ 2-3 一般力系向一点的简化
主矢量不随简化中心而改变 (力系第一不变量 )
Rrmm OO'? 主矩随简化中心不同而改变常量 0mR
主矢量与主矩的点积不随简化中心而改变 (力系第二不变量 )
R?
0m
一般力系向任一点 O(简化中心 )简化，可得一个力 (矢量 )
及一个力偶 (力偶矩矢量 )
iFR 力系主矢量
)(00 iFmm 力系对 O点主矩理论力学 第二章 力系简化理论力系简化应用举例
C--质心 P--压心
- 攻角 T - 推力 R - 阻力 L - 升力
xyz - 结体坐标系 x’y’z’ - 速度坐标系来流方向飞行方向作用在飞机上的力系对飞机的运动效应理论力学 第二章 力系简化理论
§ 2-4 力系简化的最后结果第二不变量 第一不变量 主矩 简化结果 说明
1 0
0
m
通过简化中心
2
0?R
Rm
m
0
0
0 合力 通过 O?,
2
0
R
mR
OO
3
0
0
m 力偶与简化中心无关
4
0
0
mR
0?R
0
0
m
平衡 平衡力系
5 0
0
mR 0?R 0
0
m
力螺旋
)','( mR
2
0
0
,/
R
mR
OO
RmRm
理论力学 第二章 力系简化理论例 1 已知立方体边长为 a，
求合力及对 A点的合力矩 PPPPPPP 2,54321
x
y
z
A
1P
2P
3P
4P
5P
解,(1),解析法
PaaPm
aPaPaPaPm
aPaPm
PPR
PPR
PPPPR
z
y
x
z
y
x
2
2
0
2
2
0
2
2
0
0
2
2
2
2
2
2
2
2
4
3412
43
32
45
541
(2),几何法
x
y
z
R?
m?
A
x
y
z
R?
A
d
R
md?
理论力学 第二章 力系简化理论力螺旋
0m 0m?
0m?
R
z
0m?
z'
R'
x
yo o'
R 0m
),( 0mR
空间任意力系向 O点简化得,,
),'(),( 00 mRmR可以证明：
),'( 0mR?力系 称为 力螺旋
RR?'(1),力,(力系的主矢量 )
RpRR Rmm 200
(2),力偶,p 称为 螺旋参数
R
mOO 0'
2
0'
R
mROO
(3),作用线 O'Z'称为中心轴理论力学 第二章 力系简化理论力螺旋的应用钻头上受到的切削阻力系是一力螺旋。 R与 L0
同向，为右手力螺旋。
空气作用在螺旋桨上的推进力和阻力矩是一力螺旋。 R
与 L0反向，为左手力螺旋。
理论力学 第二章 力系简化理论例 1 平面力系简化
O A
BC
x
y
R
Mo?
O A
BC
x
y
d
a
a
a
a
1F
2F
3F
O A
BC
3
45
R
45?
已知,求此力系的合成结果 KNFKNFKNF 10,4,2
321
)(4c o ss in)(
)(44)s in()c o s(
331
3231
mKNaaFaFaFFmM
KNjijFFiFFkZjYiXR
oo
2
a
R
Md o
o RM?
(合力之矩定理 )
理论力学 第二章 力系简化理论
§ 2-5 分布载荷的简化
xAO
x dx
d
Rq(x)
l
合力大小 (载荷集度图的面积 ) l dxxqR
0 )(
合力作用线位置 (由合力之矩定理确定 )
l
l
dxxq
dxxxq
d
0
0
)(
)(
1),均布载荷
2
ldqlR
2),三角形载荷
2 2
1
0
ldlqR
3),梯形载荷
ldlqqR
l
dlqR
3
2
)(
2
1
2
2122
111
1q
1d
2q1R 2R
2d
理论力学 第二章 力系简化理论例 3 物体的重心作用在物体各质点上的重力可认为是一分布平行力系重心在物体上的相对位置与物体在空间的位置无关，可由合力之矩定理来确定。
,,V V Vc c c
V V V
x d V y d V z d V
x y z
d V d V d V
对均质物体，其重心与形心重合。
理论力学 第二章 力系简化理论例 4 复合形体的重心
(1),分割法将复合形体分割成几个简单的形体，因而每个简单形体的重心容易求得，应用重心坐标公式，即可求得复合形体的重心坐标。
(2),负面积法分割法的推广
(3),实验法
① 悬挂法
② 称重法
A
A
B
C
h
l BR
A
B
( ) 0 BA Rm F h lP
理论力学 第二章 力系简化理论例 5 液体静压力帕斯卡定理,在静止液体内，任意点处的压强在各个方向上是相等的，即：
0p p g h
0p — 自由表面（或测压面）的压强静止液体对于容器壁或浸没于其中的物体表面的压力总是垂直于接触表面的，而与表面相切的剪力只有在流体运动时才存在。
理论力学 第二章 力系简化理论
1),作用于平面上的液体静压力
sin
d R g h d A
g y d A
R
y
dA
py
x
y
hdR
sin
sin
c
c
c
R g yd A
g y A
g h A
pA
ch
— 形心到液面的高度
cp
— 作用于形心处的压强作用于任一平面图形上的液体压力合力的大小等于作用于平面图形形心处的压强与平面图形面积的乘积。压力重心的位置由合力之矩定理来确定理论力学 第二章 力系简化理论
2),作用于曲面上的液体静压力
A
B
C
D
E F
dR
xdR
ydR
xR
yR
P
ph
h
dA
x
y
()d R d R
sin
sin
c o s
c o s
x
y
d R d R
ghdA
d R d R
ghdA
()
()
x x V c VAA
y y hAA
R dR g h dA gh A
R dR g h dA gV
VA
— 曲面积 A在铅锤方向的投影
ch
— 液面到侧面积的形心的深度
V — 曲面上方液体的体积是作用于平面 CD上压力的合力，它通过 CD的压力中心 P点。
xR
xR 是曲面上方液体的总重，作用线必通过体积 ABCDEFA的形心。
§ 2-1 基本力系的简化
§ 2-2 力向一点的平移定理
§ 2-3 一般力系向一点的简化
§ 2-4 力系简化的最后结果
§ 2-5 分布载荷的简化理论力学 第二章 力系简化理论
§ 2-1 基本力系的简化
(1) 汇交力系的简化
汇交力系简化为一合力，合力作用在各力汇交点，大小及方向为各力之矢量和（力多边形的封闭边）
解析法求合力 (应用合矢量投影定理 )
会计算各种情况下力之投影是一项基本功理论力学 第二章 力系简化理论
(2) 力偶系的简化
1m?
2m?
1F
2F
2F R
1F
R?
m?
1m
2m
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两个力偶合成仍为一个力偶，
合力偶矩为分力偶矩的矢量和
力偶系可简化为一力偶，其力偶矩为力偶系各力偶矩之矢量和
用解析法处理力偶系简化时与处理汇交力系的简化完全相似理论力学 第二章 力系简化理论
§ 2-2 力向一点的平移定理
F?
F? 'O
反之，同平面内的一个作用在 O点的力 和一个力偶也可以合成一个力，所得力大小方向与 相同，作用在点,
且：
)( AB Fmm
AF 作用在刚体 A点上的力 可以向刚体上任意点 B平移而不改变对刚体的作用，但必须附加一力偶，其力偶矩为理论力学 第二章 力系简化理论
§ 2-3 一般力系向一点的简化
主矢量不随简化中心而改变 (力系第一不变量 )
Rrmm OO'? 主矩随简化中心不同而改变常量 0mR
主矢量与主矩的点积不随简化中心而改变 (力系第二不变量 )
R?
0m
一般力系向任一点 O(简化中心 )简化，可得一个力 (矢量 )
及一个力偶 (力偶矩矢量 )
iFR 力系主矢量
)(00 iFmm 力系对 O点主矩理论力学 第二章 力系简化理论力系简化应用举例
C--质心 P--压心
- 攻角 T - 推力 R - 阻力 L - 升力
xyz - 结体坐标系 x’y’z’ - 速度坐标系来流方向飞行方向作用在飞机上的力系对飞机的运动效应理论力学 第二章 力系简化理论
§ 2-4 力系简化的最后结果第二不变量 第一不变量 主矩 简化结果 说明
1 0
0
m
通过简化中心
2
0?R
Rm
m
0
0
0 合力 通过 O?,
2
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R
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OO
3
0
0
m 力偶与简化中心无关
4
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平衡 平衡力系
5 0
0
mR 0?R 0
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力螺旋
)','( mR
2
0
0
,/
R
mR
OO
RmRm
理论力学 第二章 力系简化理论例 1 已知立方体边长为 a，
求合力及对 A点的合力矩 PPPPPPP 2,54321
x
y
z
A
1P
2P
3P
4P
5P
解,(1),解析法
PaaPm
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y
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43
32
45
541
(2),几何法
x
y
z
R?
m?
A
x
y
z
R?
A
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R
md?
理论力学 第二章 力系简化理论力螺旋
0m 0m?
0m?
R
z
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z'
R'
x
yo o'
R 0m
),( 0mR
空间任意力系向 O点简化得,,
),'(),( 00 mRmR可以证明：
),'( 0mR?力系 称为 力螺旋
RR?'(1),力,(力系的主矢量 )
RpRR Rmm 200
(2),力偶,p 称为 螺旋参数
R
mOO 0'
2
0'
R
mROO
(3),作用线 O'Z'称为中心轴理论力学 第二章 力系简化理论力螺旋的应用钻头上受到的切削阻力系是一力螺旋。 R与 L0
同向，为右手力螺旋。
空气作用在螺旋桨上的推进力和阻力矩是一力螺旋。 R
与 L0反向，为左手力螺旋。
理论力学 第二章 力系简化理论例 1 平面力系简化
O A
BC
x
y
R
Mo?
O A
BC
x
y
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a
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1F
2F
3F
O A
BC
3
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R
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已知,求此力系的合成结果 KNFKNFKNF 10,4,2
321
)(4c o ss in)(
)(44)s in()c o s(
331
3231
mKNaaFaFaFFmM
KNjijFFiFFkZjYiXR
oo
2
a
R
Md o
o RM?
(合力之矩定理 )
理论力学 第二章 力系简化理论
§ 2-5 分布载荷的简化
xAO
x dx
d
Rq(x)
l
合力大小 (载荷集度图的面积 ) l dxxqR
0 )(
合力作用线位置 (由合力之矩定理确定 )
l
l
dxxq
dxxxq
d
0
0
)(
)(
1),均布载荷
2
ldqlR
2),三角形载荷
2 2
1
0
ldlqR
3),梯形载荷
ldlqqR
l
dlqR
3
2
)(
2
1
2
2122
111
1q
1d
2q1R 2R
2d
理论力学 第二章 力系简化理论例 3 物体的重心作用在物体各质点上的重力可认为是一分布平行力系重心在物体上的相对位置与物体在空间的位置无关，可由合力之矩定理来确定。
,,V V Vc c c
V V V
x d V y d V z d V
x y z
d V d V d V
对均质物体，其重心与形心重合。
理论力学 第二章 力系简化理论例 4 复合形体的重心
(1),分割法将复合形体分割成几个简单的形体，因而每个简单形体的重心容易求得，应用重心坐标公式，即可求得复合形体的重心坐标。
(2),负面积法分割法的推广
(3),实验法
① 悬挂法
② 称重法
A
A
B
C
h
l BR
A
B
( ) 0 BA Rm F h lP
理论力学 第二章 力系简化理论例 5 液体静压力帕斯卡定理,在静止液体内，任意点处的压强在各个方向上是相等的，即：
0p p g h
0p — 自由表面（或测压面）的压强静止液体对于容器壁或浸没于其中的物体表面的压力总是垂直于接触表面的，而与表面相切的剪力只有在流体运动时才存在。
理论力学 第二章 力系简化理论
1),作用于平面上的液体静压力
sin
d R g h d A
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R
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y
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g y A
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— 形心到液面的高度
cp
— 作用于形心处的压强作用于任一平面图形上的液体压力合力的大小等于作用于平面图形形心处的压强与平面图形面积的乘积。压力重心的位置由合力之矩定理来确定理论力学 第二章 力系简化理论
2),作用于曲面上的液体静压力
A
B
C
D
E F
dR
xdR
ydR
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h
dA
x
y
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y y hAA
R dR g h dA gh A
R dR g h dA gV
VA
— 曲面积 A在铅锤方向的投影
ch
— 液面到侧面积的形心的深度
V — 曲面上方液体的体积是作用于平面 CD上压力的合力，它通过 CD的压力中心 P点。
xR
xR 是曲面上方液体的总重，作用线必通过体积 ABCDEFA的形心。
