理 论 力 学李 俊 峰
——点的运动学
§ 1.1 运动学的任务和基本概念
任务,描述质点系的运动，包括研究描述运动的方式，确定质点的速度、加速度和其它运动学量的方法。
不考虑运动产生和变化的原因，仅从几何的观点分析质点系如何运动，以及确立合适的方法描述运动。
经典力学的绝对时间和绝对空间假设空间是均匀的、各向同性的、不动的三维欧氏空间；
时间是均匀的、连续的、一维的。
参考系,与参考物固连的整个空间。
注意,参考系和坐标系是两个不同的概念。
第一章 点的 运动学 任务和基本概念
向量运算,加、减、数乘、点乘、叉乘、微积分。
向量导数：
设向量 是时间 的函数，,
,对时间的导数为
单位向量的导数：
单位向量的导数垂直于单位向量本身！
第一章 点的 运动学
)()()( tetata t )()( tata
1)(?te? )()()()()( tetatetata
1ee 0)( ee
dt
d
02 eeeeee
任务和基本概念第一章 点的 运动学
§ 1.2 向量 描述与直角坐标描述
向量 描述 法
o
p
)(tr? 向量端图向量 描述法第一章 点的 运动学
)()( trtv
向量 描述法
)( trr
)()( tvta
向量形式的运动方程：
P点的速度：
P点的加速度：
第一章 点的 运动学
直角坐标描述法直角坐标描述法
p
)(tr?
x
y
z
o
i?
j?
k?
ktzjtyitxtr )()()()(
kvjvivtv zyx)(
kzjyix
kajaiata zyx)(
kzjyix
第一章 点的 运动学
向量与列阵的区别,列阵是向量在给定坐标系中的分量形式，它依赖于坐标系的选择，而向量不依赖于坐标系的选择。相同的向量在不同坐标系中的列阵是不同的。
直角坐标描述法
Ti zyxr ),,(?
Teeee zyxr ),,(?
irkjir ),,(
ereee ),,( 321
i?
j?
k?
1e?
2e?3e?
第一章 点的 运动学 直角坐标描述法
例题 1.1 梯子上一点的运动设梯子的两个端点 A和 B
分别沿着墙和地面滑动，它和地面夹角 是时间的已知函数，求梯子上 M点的运动轨迹、速度和加速度。
A
B
)(t?
M
a
b
)(t?
第一章 点的 运动学 直角坐标描述法
M点的速度为
jbiajyixv )c o s()s i n(
M点的加速度为
jbiajyixa )s i nc o s()c o ss i n( 22
12222 byax 0?x 0?y
cosaxsinby?
解：取如图所示的直角坐标系，则 M点的坐标为由此得 M点的轨迹方程为
o
A
B
M
a
y
x
)(t?
第一章 点的 运动学 直角坐标描述法
例题 1.2
半径为 R的轮子沿直线轨道纯滚动 (无滑动地滚动 )。设轮子保持在同一竖直平面内运动，且轮心的速度为已知值,试分析轮子边缘一点 M的运动。u
M
o
R M
第一章 点的 运动学 直角坐标描述法解：取坐标系 Axy如图所示，并设 M点所在的一个最低位置为原点 A,则当轮子转过一个角度后,M点坐标为
)s i n(s i n ROMACx
)c o s1(c o s ROMOCy
这是旋轮线的参数方程。
M点的速度为
jRiRjyixv )s i n()c o s1(
其中 可由轮心速度求出： RdtRdxu /)(0
容易发现,当 M点与地面接触时，即 时,M点速度等于零 。 请自己验证此时 M点的加速度并不为零 。
k2?
y
o
C
R
A x
M
第一章 点的 运动学
§ 1.3 自然 坐标描述
o
p
)(tss?
))(( tsrr
n?
b?
)()( ssdtdsds rddt rdtv
)()()(
2
snsssta
其中
ds
rds)(?
ds
dsn)(
分别是曲线在 P点的 切向 和 法向 单位向量,? 是曲线在 P
点的曲率半径。
sa?
称为 切向加速度,而
nsan
2
称为 法向加速度 。
弧坐标形式的运动方程,)(tss?
自然坐标 描述法第一章 点的 运动学
例题 1.3 圆周运动的自然坐标描述。
自然 坐标描述
)(t?
o
p
R弧坐标形式的运动方程为
)( tRs
速度和加速度分别为
Rv?
nRRa 2
设点 P沿着以固定点 O为圆心、半径为 R的圆周运动 。
)(t? 为已知函数。 则点 P的第一章 点的 运动学
例题 1.4
自然 坐标描述设点 M的运动轨迹为平面曲线，其向径和速度分别为和 。直线 OA垂直于过 M点的切线与切线相交于 A点。
试证 A点的速率为,其中 为轨迹在 M点的曲率半径。
v?
r?
/rvv A
o
M
A
r?
v?
第一章 点的 运动学 自然 坐标描述证,设,则lMA?
nvMAlvdtlrdv A )/(/)(
由于,故 rl
nrvvrvl )/(
于是有
/)( vnMAOAv A
// rvvOMv A
因此
o
M
A
r?
v?
第一章 点的 运动学
§ 1.4 平面运动的极 坐标描述设 点 P沿着平面曲线运动,P点在任意时刻的位置可以由极坐标 )(),( tt 确定。 P点的向径可以写作,
)()()( tettr
e?
其中 是径向单位向量，方向与向径一致，它在直角坐标系中的列阵为 Te )s in,( c o s
又设
e?
是 横向单位向量，方向与
e?
垂直并指向? 角增加的方向，它在直角坐标系中的列阵为 Te )c o s,s i n(
由此容易验证：
极 坐标描述第一章 点的 运动学于是 P点的速度为极 坐标描述
ee eeeeee
eeeetrtv )()(
vv其中 分别称为 径向 速度和 横向 速度。
P点的 加 速度为
eetvta )2()()()( 2
2a其中 )(12 2
dt
da
分别称为 径向 加速度和 横向 加速度。
第一章 点的 运动学
请注意径向和法向、横向和切向之间的差别！
例题 1.5 一点沿着椭圆运动，椭圆方程为极 坐标描述
c o s1 e
p
在运动过程中始终保持 c o n stC2 求该点的加速度。
解,由已知条件得 0)(1 2
dt
da
因此，加速度方向沿着径向。下面计算径向加速度：
322 / Ca
利用已知条件及复合函数求导，可得：
ep
Ca?
2
2
加速度的方向指向椭圆的一个焦点，其大小与距离成反比 。
第一章 点的 运动学
§ 1.5 曲线 坐标描述空间一点可以由三个独立变量
321,,qqq 来描述，运动点的向径写成为
ktzjtyitxtqtqtqrr )()()())(),(),(( 321
设
ii
i q
r
He?
1? 222 )()()(
iiii
i q
z
q
y
q
x
q
rH
3,2,1?i
如果
ie? 相互垂直，则点的速度和加速度分别为曲线 坐标描述第一章 点的 运动学 曲线 坐标描述
3
1
3
1 i iiii iq
eqHevv i31i iq eaa i
其中
])([1
iii
q q
T
q
T
dt
d
Ha i?
3
1
22 )(2121
i ii qHvT
例题 1.6 试求柱坐标形式的速度和加速度公式。
zqqq 321,,
zzyx,s i n,c o s
解：令 则有：
1,,1 zHHH
第一章 点的 运动学 曲线 坐标描述
zvvv z,,
径向、横向和 z方向速度为由此得 )(
2
1 2222 zT
于是 径向、横向和 z方向加速度为
zaaa z,2,2
第一章 点的 运动学
§ 1.6 追击问题假设追击者只知道目标现在的位置，不能预知目标将来的位置，因此追击者的速度方向总是指向目标现在的位置，
例如狗追兔子、导弹打飞机等 。
B A
目标追击者追击问题第一章 点的 运动学 追击问题由假设知 RRvv
AA /
AB rrR
又由可得追击问题的相对运动微分方程：
RRvvR AB /
当 0?R 时，目标被击中或捕获。
通常追击者速率是已知的,如果目标的速度或轨迹也是已知函数，则求解上面微分方程可得相对运动轨迹。
o
A
目标追击者
R?
Br? Ar?
第一章 点的 运动学 追击问题
例题,设靶机以水平速度 u飞行，飞行高度为 h，
地对空导弹从 o点发射，其飞行速率为常数 v,试求相对飞行轨迹。
解：根据已知条件，在图示平面直角坐标系中有：
x
y
o
h
u
v
Y
XR
0
uv
B
vvA?
追击问题的相对运动微分方程：
22/ YXvXuX 22/ YXvYY 如何求解？
第一章 点的 运动学 追击问题若用极坐标系，则有：
R
RR
s in
c o s
u
uv
B
0
vv
A
于是追击问题的相对运动微分方程在极坐标下写成：
vuRco s c o suR
s in
c o s
u
vu
Rd
dR
uuvuuvCR /)(/)( )2/c o s ()2/s in (
vuvuvBB hhxxC /)(/22 00 /21 结论？
第一章 点的 运动学本章作业题
1,某点以常速率沿曲线运动，试证其速度与加速度垂直。
2,一点在平面内运动，其速度为,加速度为,
其中 和 分别是常数和常向量。试证该点的加速度方向不变。
3,一点沿空间曲线运动，其速度为,加速度为,试证其轨迹的曲率半径为
4,某点的运动轨迹为平面曲线，其速度在 轴上的投影始终是常数,试证该点的加速度大小为,其中 为曲线的曲率半径,为速率。
v? bvka
k b?
v? a?
avv /3?
y
c?cva /3?
v
第一章 点的 运动学本章作业题
5,某点的运动规律为,,,其中 均为常数，求该点的轨迹、速度和加速度。
6,一点在平面内运动，其径向速度为和横向速度分别为和,试证该点的径向加速度和横向加速度分别为
，
7,一点沿半径为 的球面等速运动，初始时刻该点位于赤道上，速度 与经线（子午线）的夹角 为常数。试求该点到达球的顶点所需时间。
8,飞机以等速 沿水平航线飞行，高度为 。当飞机在正上空时，由地面发射一导弹，导弹始终瞄准飞机，且速率为 。试证导弹追上飞机所需时间为
r?
v?
a
btax co s? btay sin? ctz?
cba,,
rra r /222 )/( ra
V H
V2 VH 3/2
——点的运动学
§ 1.1 运动学的任务和基本概念
任务,描述质点系的运动，包括研究描述运动的方式，确定质点的速度、加速度和其它运动学量的方法。
不考虑运动产生和变化的原因，仅从几何的观点分析质点系如何运动，以及确立合适的方法描述运动。
经典力学的绝对时间和绝对空间假设空间是均匀的、各向同性的、不动的三维欧氏空间；
时间是均匀的、连续的、一维的。
参考系,与参考物固连的整个空间。
注意,参考系和坐标系是两个不同的概念。
第一章 点的 运动学 任务和基本概念
向量运算,加、减、数乘、点乘、叉乘、微积分。
向量导数：
设向量 是时间 的函数，,
,对时间的导数为
单位向量的导数：
单位向量的导数垂直于单位向量本身！
第一章 点的 运动学
)()()( tetata t )()( tata
1)(?te? )()()()()( tetatetata
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02 eeeeee
任务和基本概念第一章 点的 运动学
§ 1.2 向量 描述与直角坐标描述
向量 描述 法
o
p
)(tr? 向量端图向量 描述法第一章 点的 运动学
)()( trtv
向量 描述法
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向量形式的运动方程：
P点的速度：
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第一章 点的 运动学
直角坐标描述法直角坐标描述法
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第一章 点的 运动学
向量与列阵的区别,列阵是向量在给定坐标系中的分量形式，它依赖于坐标系的选择，而向量不依赖于坐标系的选择。相同的向量在不同坐标系中的列阵是不同的。
直角坐标描述法
Ti zyxr ),,(?
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i?
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2e?3e?
第一章 点的 运动学 直角坐标描述法
例题 1.1 梯子上一点的运动设梯子的两个端点 A和 B
分别沿着墙和地面滑动，它和地面夹角 是时间的已知函数，求梯子上 M点的运动轨迹、速度和加速度。
A
B
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第一章 点的 运动学 直角坐标描述法
M点的速度为
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M点的加速度为
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解：取如图所示的直角坐标系，则 M点的坐标为由此得 M点的轨迹方程为
o
A
B
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第一章 点的 运动学 直角坐标描述法
例题 1.2
半径为 R的轮子沿直线轨道纯滚动 (无滑动地滚动 )。设轮子保持在同一竖直平面内运动，且轮心的速度为已知值,试分析轮子边缘一点 M的运动。u
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第一章 点的 运动学 直角坐标描述法解：取坐标系 Axy如图所示，并设 M点所在的一个最低位置为原点 A,则当轮子转过一个角度后,M点坐标为
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这是旋轮线的参数方程。
M点的速度为
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其中 可由轮心速度求出： RdtRdxu /)(0
容易发现,当 M点与地面接触时，即 时,M点速度等于零 。 请自己验证此时 M点的加速度并不为零 。
k2?
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第一章 点的 运动学
§ 1.3 自然 坐标描述
o
p
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2
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其中
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分别是曲线在 P点的 切向 和 法向 单位向量,? 是曲线在 P
点的曲率半径。
sa?
称为 切向加速度,而
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2
称为 法向加速度 。
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自然坐标 描述法第一章 点的 运动学
例题 1.3 圆周运动的自然坐标描述。
自然 坐标描述
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o
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R弧坐标形式的运动方程为
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速度和加速度分别为
Rv?
nRRa 2
设点 P沿着以固定点 O为圆心、半径为 R的圆周运动 。
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例题 1.4
自然 坐标描述设点 M的运动轨迹为平面曲线，其向径和速度分别为和 。直线 OA垂直于过 M点的切线与切线相交于 A点。
试证 A点的速率为,其中 为轨迹在 M点的曲率半径。
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第一章 点的 运动学 自然 坐标描述证,设,则lMA?
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第一章 点的 运动学
§ 1.4 平面运动的极 坐标描述设 点 P沿着平面曲线运动,P点在任意时刻的位置可以由极坐标 )(),( tt 确定。 P点的向径可以写作,
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其中 是径向单位向量，方向与向径一致，它在直角坐标系中的列阵为 Te )s in,( c o s
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e?
是 横向单位向量，方向与
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垂直并指向? 角增加的方向，它在直角坐标系中的列阵为 Te )c o s,s i n(
由此容易验证：
极 坐标描述第一章 点的 运动学于是 P点的速度为极 坐标描述
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vv其中 分别称为 径向 速度和 横向 速度。
P点的 加 速度为
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分别称为 径向 加速度和 横向 加速度。
第一章 点的 运动学
请注意径向和法向、横向和切向之间的差别！
例题 1.5 一点沿着椭圆运动，椭圆方程为极 坐标描述
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p
在运动过程中始终保持 c o n stC2 求该点的加速度。
解,由已知条件得 0)(1 2
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因此，加速度方向沿着径向。下面计算径向加速度：
322 / Ca
利用已知条件及复合函数求导，可得：
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2
2
加速度的方向指向椭圆的一个焦点，其大小与距离成反比 。
第一章 点的 运动学
§ 1.5 曲线 坐标描述空间一点可以由三个独立变量
321,,qqq 来描述，运动点的向径写成为
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ie? 相互垂直，则点的速度和加速度分别为曲线 坐标描述第一章 点的 运动学 曲线 坐标描述
3
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其中
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例题 1.6 试求柱坐标形式的速度和加速度公式。
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解：令 则有：
1,,1 zHHH
第一章 点的 运动学 曲线 坐标描述
zvvv z,,
径向、横向和 z方向速度为由此得 )(
2
1 2222 zT
于是 径向、横向和 z方向加速度为
zaaa z,2,2
第一章 点的 运动学
§ 1.6 追击问题假设追击者只知道目标现在的位置，不能预知目标将来的位置，因此追击者的速度方向总是指向目标现在的位置，
例如狗追兔子、导弹打飞机等 。
B A
目标追击者追击问题第一章 点的 运动学 追击问题由假设知 RRvv
AA /
AB rrR
又由可得追击问题的相对运动微分方程：
RRvvR AB /
当 0?R 时，目标被击中或捕获。
通常追击者速率是已知的,如果目标的速度或轨迹也是已知函数，则求解上面微分方程可得相对运动轨迹。
o
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目标追击者
R?
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第一章 点的 运动学 追击问题
例题,设靶机以水平速度 u飞行，飞行高度为 h，
地对空导弹从 o点发射，其飞行速率为常数 v,试求相对飞行轨迹。
解：根据已知条件，在图示平面直角坐标系中有：
x
y
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追击问题的相对运动微分方程：
22/ YXvXuX 22/ YXvYY 如何求解？
第一章 点的 运动学 追击问题若用极坐标系，则有：
R
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于是追击问题的相对运动微分方程在极坐标下写成：
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vuvuvBB hhxxC /)(/22 00 /21 结论？
第一章 点的 运动学本章作业题
1,某点以常速率沿曲线运动，试证其速度与加速度垂直。
2,一点在平面内运动，其速度为,加速度为,
其中 和 分别是常数和常向量。试证该点的加速度方向不变。
3,一点沿空间曲线运动，其速度为,加速度为,试证其轨迹的曲率半径为
4,某点的运动轨迹为平面曲线，其速度在 轴上的投影始终是常数,试证该点的加速度大小为,其中 为曲线的曲率半径,为速率。
v? bvka
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第一章 点的 运动学本章作业题
5,某点的运动规律为,,,其中 均为常数，求该点的轨迹、速度和加速度。
6,一点在平面内运动，其径向速度为和横向速度分别为和,试证该点的径向加速度和横向加速度分别为
，
7,一点沿半径为 的球面等速运动，初始时刻该点位于赤道上，速度 与经线（子午线）的夹角 为常数。试求该点到达球的顶点所需时间。
8,飞机以等速 沿水平航线飞行，高度为 。当飞机在正上空时，由地面发射一导弹，导弹始终瞄准飞机，且速率为 。试证导弹追上飞机所需时间为
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V2 VH 3/2
