上次课内容回顾一、约束及分类：
完整、非完整定常、非定常理想、非理想二、虚位移：
真实位移、可能位移、虚位移、虚功、自由度可能位移与虚位移的关系三、广义坐标
)3,...2,1( 0),,...,( 31 Nlstxxf Ns
Jacobi矩阵
N
ll
N
N
l
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
xx
ff
J
31
3
1
2
1
1
1
31
1
....
.
.
.,,
),.,,,(
),.,,,(
约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步只考虑完整约束情况 。设 N个质点组成的系统有 l
个独立的完整约束：
由隐函数存在定理：若矩阵 J的秩为 l(即 l个约束独立 )，则由约束方程 可唯一的解出
0?sf
),,.,,,(
:
),,.,,,(
31
3111
txxgx
txxgx
Nlll
Nl
可见系统的位形由 3N-l个独立参数 完全 确定，而不必用 3N个。选取 3N-l个独立参数时，可以选 3N
个坐标中的任何 3N-l个，也可以选取 3N-l个关于的函数，他们相互独立。例如：可取
Nxx 31...
约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步
lNn
qxxh
qxxh
nNn
N
3
),.,,,(
:
),.,,,(
31
1311
如果有,与 相互独立。即 矩阵
nhh,...,1 lff,...,1
),.,,,(
),.,,,,,.,,,(
31
11
N
nl
xx
hhff
满秩。于是从 及 中可唯一地解出0?
sf ii qh?
约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步
),,.,,,(
:
),,.,,,(
133
111
tqqxx
tqqxx
nNN
n
简记为 ),...,1( ),,...,(
1 Nitqqrr nii
因此 n个独立的参数 完全确定了系统的位形，称之为 广义坐标 。
nqq,...,1
若约束都是定常约束，则一定可以选到 使nqq,...,1
),...,1( ),...,( 1 Niqqrr nii
约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步例 8-12 双摆：如图所示。
o
y
1?
1l
2?
2l
x
约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步选 为广义坐标
21,
例 8-13 椭圆摆：如图所示
y
Ax
A
l
B
x
取 为广义坐标?,Ax
广义速度,广义坐标对时间的导数
nqq,...,1
nqq,...,1
广义加速度,广义坐标对时间的二次导数四、准坐标、准速度如果系统除了受 l个完整约束 外还受到 k个非完整约束
0),,.,,,( 31?txxf Ns
),...,1( 0),,...,,,...,( 3131 krtxxxxf NNr
根据 l个完整约束我们选取为广义坐标，则
)3(,,,1 lNnqq n
约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步
n
i
j
i
i
j
j
njj
t
x
q
q
x
x
Njtqqxx
1
1
3,.,,,1 ),,.,,,(
代入非完整约束式可得
),...,1( 0),,...,(),,...,( 10
1
1 krtqqAqtqqA nr
n
i
inri
可见广义速度 之间相互不独立。
nqq,...,1
约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步可以选取 m=n-k个 的函数，例如
nqq,...,1
msqqqB
n
i
insis,.,,,1 ),.,,,(
1
1
如果 与 组成的方阵 是满秩的，
siB riA nn
si
ri R
B
A
则可唯一解出 nitqqqq
mnii,...,1 ),,...,,,...,( 11
约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步称为 准速度 。 称为 准坐标 。m,...,1
n,...,1
注意,准坐标的函数形式一般是不存在的，因为一般 不是一个全微分形式，如角速度。
isi qB
例如：描述刚体运动的角速度的三个分量，就是三个准速度，它们是欧拉角及其对时间导数的组合。
例 8-14 纯滚的球广义坐标,
非完整约束
,,,,cc yx
0)s i ns i ns i n(
0)c o sc o ss i n(
ry
rx
c
c
选准速度
c o s
3
2
1
z
c
c
y
x
约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步则广义速度为
312
12
12
2
1
)c o ss i n(
1
)s i nc o s(
1
)c o ss i n(
s i n
1
c tg
r
r
r
y
x
c
c
约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步五、达朗伯 -拉格朗日 (d’Alembert--Lagrange)原理力学原理可以作为整个力学学科的基石，在此基础上可以建立起完整的力学理论。
1）力学原理分类非变分原理,牛顿三定律、守恒定律等变分原理：
积分变分原理,Hamilton,Jacobi等约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步微分变分原理,d’Alembert，
Jourdian,Gauss等不同的变分原理在处理同一类力学系统时是等价的，只是适用范围不通，出发点不同。
牛顿定律直接给出系统真实运动必须遵循的力（包括主动力和约束力）与运动的关系。从牛顿定律出发的力学称为 牛顿力学 或 向量力学 。
变分原理给出的是从所有可能运动中选出真实运动的准则。以变分原理出发的力学称为 分析力学,静力学部分称为 分析静力学 。
约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步
2）达朗伯 -拉格朗日原理 (动力学普遍方程 )
设质系的质点 受主动力,质系的约束都是 理想约束,则 是真实运动当且仅当
iP iF?
)(trr ii
0 )(
1
iii
n
i i
rrmF
约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步对 任意一组虚位移 都成立。
ir
例 8-15 建立如图所示系统的运动微分方程。
o
x
1m
2m
0)()( 22221111 xxmgmxxmgm
由约束 c o n s txx
21
0,0 2121 xxxx
0)()( 222112 xxmmgmm
由于 是任意的，可以得出运动微分方程：
2x?
约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步
gmmxmm )()( 12221
这与用牛顿定律得到的一样。
约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步例 8-16 建立如图所示单摆的运动微分方程。
o
y
l
x
0 )( )0( yymmgxxm
s i n,c o s lylx
c o s
,s in
ly
lx
2
2
s i nc o s
,c o ss i n
lly
llx
由 的任意性得：
0 )s i n(lgml
0s i n)/( lg
作业试用达朗伯 -拉格朗日原理求解：
21-43,21-51
完整、非完整定常、非定常理想、非理想二、虚位移：
真实位移、可能位移、虚位移、虚功、自由度可能位移与虚位移的关系三、广义坐标
)3,...2,1( 0),,...,( 31 Nlstxxf Ns
Jacobi矩阵
N
ll
N
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x
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x
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....
.
.
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),.,,,(
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约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步只考虑完整约束情况 。设 N个质点组成的系统有 l
个独立的完整约束：
由隐函数存在定理：若矩阵 J的秩为 l(即 l个约束独立 )，则由约束方程 可唯一的解出
0?sf
),,.,,,(
:
),,.,,,(
31
3111
txxgx
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Nlll
Nl
可见系统的位形由 3N-l个独立参数 完全 确定，而不必用 3N个。选取 3N-l个独立参数时，可以选 3N
个坐标中的任何 3N-l个，也可以选取 3N-l个关于的函数，他们相互独立。例如：可取
Nxx 31...
约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步
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nhh,...,1 lff,...,1
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满秩。于是从 及 中可唯一地解出0?
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约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步
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111
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因此 n个独立的参数 完全确定了系统的位形，称之为 广义坐标 。
nqq,...,1
若约束都是定常约束，则一定可以选到 使nqq,...,1
),...,1( ),...,( 1 Niqqrr nii
约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步例 8-12 双摆：如图所示。
o
y
1?
1l
2?
2l
x
约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步选 为广义坐标
21,
例 8-13 椭圆摆：如图所示
y
Ax
A
l
B
x
取 为广义坐标?,Ax
广义速度,广义坐标对时间的导数
nqq,...,1
nqq,...,1
广义加速度,广义坐标对时间的二次导数四、准坐标、准速度如果系统除了受 l个完整约束 外还受到 k个非完整约束
0),,.,,,( 31?txxf Ns
),...,1( 0),,...,,,...,( 3131 krtxxxxf NNr
根据 l个完整约束我们选取为广义坐标，则
)3(,,,1 lNnqq n
约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步
n
i
j
i
i
j
j
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x
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Njtqqxx
1
1
3,.,,,1 ),,.,,,(
代入非完整约束式可得
),...,1( 0),,...,(),,...,( 10
1
1 krtqqAqtqqA nr
n
i
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可见广义速度 之间相互不独立。
nqq,...,1
约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步可以选取 m=n-k个 的函数，例如
nqq,...,1
msqqqB
n
i
insis,.,,,1 ),.,,,(
1
1
如果 与 组成的方阵 是满秩的，
siB riA nn
si
ri R
B
A
则可唯一解出 nitqqqq
mnii,...,1 ),,...,,,...,( 11
约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步称为 准速度 。 称为 准坐标 。m,...,1
n,...,1
注意,准坐标的函数形式一般是不存在的，因为一般 不是一个全微分形式，如角速度。
isi qB
例如：描述刚体运动的角速度的三个分量，就是三个准速度，它们是欧拉角及其对时间导数的组合。
例 8-14 纯滚的球广义坐标,
非完整约束
,,,,cc yx
0)s i ns i ns i n(
0)c o sc o ss i n(
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选准速度
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约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步则广义速度为
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约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步五、达朗伯 -拉格朗日 (d’Alembert--Lagrange)原理力学原理可以作为整个力学学科的基石，在此基础上可以建立起完整的力学理论。
1）力学原理分类非变分原理,牛顿三定律、守恒定律等变分原理：
积分变分原理,Hamilton,Jacobi等约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步微分变分原理,d’Alembert，
Jourdian,Gauss等不同的变分原理在处理同一类力学系统时是等价的，只是适用范围不通，出发点不同。
牛顿定律直接给出系统真实运动必须遵循的力（包括主动力和约束力）与运动的关系。从牛顿定律出发的力学称为 牛顿力学 或 向量力学 。
变分原理给出的是从所有可能运动中选出真实运动的准则。以变分原理出发的力学称为 分析力学,静力学部分称为 分析静力学 。
约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步
2）达朗伯 -拉格朗日原理 (动力学普遍方程 )
设质系的质点 受主动力,质系的约束都是 理想约束,则 是真实运动当且仅当
iP iF?
)(trr ii
0 )(
1
iii
n
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约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步对 任意一组虚位移 都成立。
ir
例 8-15 建立如图所示系统的运动微分方程。
o
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1m
2m
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由约束 c o n s txx
21
0,0 2121 xxxx
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由于 是任意的，可以得出运动微分方程：
2x?
约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步
gmmxmm )()( 12221
这与用牛顿定律得到的一样。
约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步例 8-16 建立如图所示单摆的运动微分方程。
o
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作业试用达朗伯 -拉格朗日原理求解：
21-43,21-51
