第六章 质点动力学质点碰撞
§ 6-4 两质点碰撞问题
1,碰撞问题的特点
(1)两小球之间作用力*ttItF
0t t 0
0tt0- t
0t t 0
*
**
*
*tt?
10
0
**
*
*
dtttdttt
t
t
第六章 质点动力学质点碰撞
(2)两球之间作用冲量为有限量
IdttF
t
t
0
0
*
*
(3)常规力可忽略
IttFdtFt
t
c o m
00 **m a x
0
0
*
*
第六章 质点动力学
(4)速度突变而位置不变
Fvm
Itvmtvm 00 **
mItvtv /00 **
0
0
**
*
*00
t
t
dttvtrtr
100 **00** tttvdttvtt
000 ** trtr
质点碰撞速度突变！
位置保持不变！
第六章 质点动力学碰撞问题：
1）已知碰撞前之运动,冲量求碰撞后之运动
2）已知碰撞前后运动，求冲量
0*?tv? I?
0*?tv?
I?
2,两球碰撞前后速度变化由于常规力都可以忽略，冲击力是内力，
故质系动量守恒（碰撞前后的动量相等）：
质点碰撞第六章 质点动力学
22112211 umumvmvm
0
0
*
11
*
11
tvu
tvv
0
0
*
22
*
22
tvu
tvv
11 vu?
22 vu?
质点碰撞其中
1C 2C
1m
2m1v?
1u?
2u?
2v?
n?
由于 每个小球在 方向不受力，该方向的速度保持不变：
第六章 质点动力学碰撞过程可分为两个阶段,压缩阶段和恢复阶段压缩,
恢复,21CCr? m i n21
,rrrr
21m i n,rrrr
当 时，两球在法线方向速度相等，记为 V
压缩冲量恢复冲量
minrr?
nn vmVmvmVmI 2221111
VmumVmumI nn 2221112
质点碰撞第六章 质点动力学定义,恢复系数当 时，,无恢复冲量，
完全塑性碰撞。
当 时，,恢复冲量等于压缩冲量，完全弹性碰撞。
12 / IIk?
0?k nn uVuI 212,0
1?k 21 II?
由定义可以算出：
nn
nn
vv
uuIIk
21
21
12 /?
恢复系数是两球沿公法线方向相对分离速度与相对接近速度之比。
质点碰撞第六章 质点动力学恢复系数与材料性质有关 。
测定两材料恢复系数的常见方法：
方法一：将一种材料做成平板固连在地面，另一种材料做成小球。小球从高度 H处自由落下，
测出回弹高度为 h，可求出恢复系数：
022 nn uv
ghugHv nn 2 2 11
H
h
v
uk
n
n
1
1
质点碰撞第六章 质点动力学方法二：将两种材料都做成小球，质量相同，用长绳挂起，将其中一球拉过偏角,无初速释放，
撞到另一球使其产生最大偏角,测定,可求出 k。
,
l
n
质点碰撞第六章 质点动力学
0 c o s12 21 nn vglv?
c o s12? 21 gluu nn
动量守恒：
nnn mumumv 211 0
nnn uvu 211
1c o s1 c o s122
1
21
21
21?
n
nn
nn
nn
v
uv
vv
uuk
质点碰撞
l
n
第六章 质点动力学
3,两球碰撞时动能的变化
2222221211 2121 vumvumT
2222211111 2121 vuvumvuvum
iniiinii vvvuuu,
单个 的 方向动量定理知,
故,
im ii vu
nvuvu ininii
iiininii vunvuvu
质点碰撞第六章 质点动力学
ininininiiii vuvuvuvu
inininini
i
vuvumT
2
1 2
1?
两球的 方向动量守恒知,n?
nnnn umumvmvm 22112211
恢复系数,
nnnn vvkuu 2121
质点碰撞第六章 质点动力学解出,
质点碰撞
21
22121
1
1
mm
vkmvkmmu nn
n?
21
11212
2
1
mm
vkmvkmmu nn
n?
nnnn vvmm mkvu 21
21
2
11 1
nnnn vvmm mkvu 21
21
1
22 1
第六章 质点动力学由 知12?k 0?T?
当 时时
1?k 0?T?
1?k 0?T?
质点碰撞
221221 21 12 nn vvkmm
mmT
最后算出：
碰撞后动能不会增加！
第六章 质点动力学例 6-5 设质量为 的小球同质量为 的静止球碰撞，恢复系数为 k，碰撞后两小球速度方向垂直，求 与 之间的关系。
1m 2m
1m 2m
解,静止 运动，有2m?
nuuv 222,0
0112 nuuu
n
n
n
n
v
u
v
uk
1
2
1
2
0
0?
质点碰撞第六章 质点动力学动量守恒：
2211211 0 umummvm
在法线方向有
nn umvm 2211 00
kvumm
n
n
1
2
2
1
21 kmm?
质点碰撞作业题
19-7
§ 6-4 两质点碰撞问题
1,碰撞问题的特点
(1)两小球之间作用力*ttItF
0t t 0
0tt0- t
0t t 0
*
**
*
*tt?
10
0
**
*
*
dtttdttt
t
t
第六章 质点动力学质点碰撞
(2)两球之间作用冲量为有限量
IdttF
t
t
0
0
*
*
(3)常规力可忽略
IttFdtFt
t
c o m
00 **m a x
0
0
*
*
第六章 质点动力学
(4)速度突变而位置不变
Fvm
Itvmtvm 00 **
mItvtv /00 **
0
0
**
*
*00
t
t
dttvtrtr
100 **00** tttvdttvtt
000 ** trtr
质点碰撞速度突变！
位置保持不变！
第六章 质点动力学碰撞问题：
1）已知碰撞前之运动,冲量求碰撞后之运动
2）已知碰撞前后运动，求冲量
0*?tv? I?
0*?tv?
I?
2,两球碰撞前后速度变化由于常规力都可以忽略，冲击力是内力，
故质系动量守恒（碰撞前后的动量相等）：
质点碰撞第六章 质点动力学
22112211 umumvmvm
0
0
*
11
*
11
tvu
tvv
0
0
*
22
*
22
tvu
tvv
11 vu?
22 vu?
质点碰撞其中
1C 2C
1m
2m1v?
1u?
2u?
2v?
n?
由于 每个小球在 方向不受力，该方向的速度保持不变：
第六章 质点动力学碰撞过程可分为两个阶段,压缩阶段和恢复阶段压缩,
恢复,21CCr? m i n21
,rrrr
21m i n,rrrr
当 时，两球在法线方向速度相等，记为 V
压缩冲量恢复冲量
minrr?
nn vmVmvmVmI 2221111
VmumVmumI nn 2221112
质点碰撞第六章 质点动力学定义,恢复系数当 时，,无恢复冲量，
完全塑性碰撞。
当 时，,恢复冲量等于压缩冲量，完全弹性碰撞。
12 / IIk?
0?k nn uVuI 212,0
1?k 21 II?
由定义可以算出：
nn
nn
vv
uuIIk
21
21
12 /?
恢复系数是两球沿公法线方向相对分离速度与相对接近速度之比。
质点碰撞第六章 质点动力学恢复系数与材料性质有关 。
测定两材料恢复系数的常见方法：
方法一：将一种材料做成平板固连在地面，另一种材料做成小球。小球从高度 H处自由落下，
测出回弹高度为 h，可求出恢复系数：
022 nn uv
ghugHv nn 2 2 11
H
h
v
uk
n
n
1
1
质点碰撞第六章 质点动力学方法二：将两种材料都做成小球，质量相同，用长绳挂起，将其中一球拉过偏角,无初速释放，
撞到另一球使其产生最大偏角,测定,可求出 k。
,
l
n
质点碰撞第六章 质点动力学
0 c o s12 21 nn vglv?
c o s12? 21 gluu nn
动量守恒：
nnn mumumv 211 0
nnn uvu 211
1c o s1 c o s122
1
21
21
21?
n
nn
nn
nn
v
uv
vv
uuk
质点碰撞
l
n
第六章 质点动力学
3,两球碰撞时动能的变化
2222221211 2121 vumvumT
2222211111 2121 vuvumvuvum
iniiinii vvvuuu,
单个 的 方向动量定理知,
故,
im ii vu
nvuvu ininii
iiininii vunvuvu
质点碰撞第六章 质点动力学
ininininiiii vuvuvuvu
inininini
i
vuvumT
2
1 2
1?
两球的 方向动量守恒知,n?
nnnn umumvmvm 22112211
恢复系数,
nnnn vvkuu 2121
质点碰撞第六章 质点动力学解出,
质点碰撞
21
22121
1
1
mm
vkmvkmmu nn
n?
21
11212
2
1
mm
vkmvkmmu nn
n?
nnnn vvmm mkvu 21
21
2
11 1
nnnn vvmm mkvu 21
21
1
22 1
第六章 质点动力学由 知12?k 0?T?
当 时时
1?k 0?T?
1?k 0?T?
质点碰撞
221221 21 12 nn vvkmm
mmT
最后算出：
碰撞后动能不会增加！
第六章 质点动力学例 6-5 设质量为 的小球同质量为 的静止球碰撞，恢复系数为 k，碰撞后两小球速度方向垂直，求 与 之间的关系。
1m 2m
1m 2m
解,静止 运动，有2m?
nuuv 222,0
0112 nuuu
n
n
n
n
v
u
v
uk
1
2
1
2
0
0?
质点碰撞第六章 质点动力学动量守恒：
2211211 0 umummvm
在法线方向有
nn umvm 2211 00
kvumm
n
n
1
2
2
1
21 kmm?
质点碰撞作业题
19-7
