高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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第 3章微积分问题的计算机求解高等应用数学问题的 MATLAB求解清华大学出版社 2008
CAI课件开发：薛定宇、刘莹莹、董雯彬高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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第 3章 微积分问题的计算机求解极限问题的解析解函数导数的解析解积分问题的解析解函数的级数展开与级数求和问题求解曲线积分与曲面积分的计算数值微分问题数值积分问题高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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3.1 极限问题的解析解单变量函数的极限多变量函数的极限高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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3.1.1 单变量函数的极限极限的定义
MATLAB函数左右极限
MATLAB函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.1
试求解极限问题
MATLAB代码高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.2
试求解单边极限问题
MATLAB代码高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB绘图语句求出极限高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.3
试分别求出 tan t函数关于 p/2点处的左右极限
MATLAB代码高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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3.1.2 多变量函数的极限函数 的极限的定义嵌套使用 limit()函数或高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.4
试求出二元函数极限值
MATLAB代码高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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3.2 函数导数的解析解函数的导数和高阶导数多元函数的偏导数多元函数的 Jacobian矩阵
Hessian偏导数矩阵隐函数的偏导数参数方程的导数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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3.2.1 函数的导数和高阶导数如果函数和自变量都已知，且均为符号变量，则可以用 diff()函数解出给定函数的各阶导数函数语法或高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.5
给定函数,试求出
MATLAB求解绘制原函数和其一阶导数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4阶导数化简函数 diff()的高效率高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.6
试推导函数 的 3阶导函数公式，
并得出 时的 3阶导数，将这样得出的结果与直接求导的结果相比较
MATLAB求解当 时求 3阶导数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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3.2.2 多元函数的偏导数双变量函数 求导
MATLAB语法或高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.7
试求出下列二元函数的偏导数，并用图形表示和高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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绘制三维曲面引力线高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.8
求函数 的偏导数
MATLAB求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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3.2.3 多元函数的 Jacobian矩阵多元函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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它的 Jacobian矩阵为
MATLAB函数为其中
：变量构成的向量
：各个函数构成的向量高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.9
直角坐标和极坐标变换公式如下，推导其
Jacobian矩阵
MATLAB代码高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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3.2.4 Hessian偏导数矩阵定的 n元函数,其 Hessian矩阵的定义为高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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Hessian矩阵实际上就是 函数的二阶偏导数矩阵,该矩阵可以由两次嵌套调用
jacobian()的方式直接获得
MATLAB语法其中,向量高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.10
试求出下列二元函数的 Hessian矩阵
MATLAB代码高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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3.2.5 隐函数的偏导数已知隐函数,其自变量之间的偏导数
MATLAB代码高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.11
给定函数,试求出
MATLAB求解结果高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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3.2.6 参数方程的导数参数方程,则 为高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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编辑递归函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.12
已知参数方程,试求
MATLAB求解命令高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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3.3 积分问题的解析解不定积分的推导定积分与无穷积分计算多重积分问题的 MATLAB求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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3.3.1 不定积分的推导函数 int()可以被用于计算不定积分
MATLAB函数积分多重积分，嵌套调用高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.13
对如下的函数,求其一阶导数，再积分,检验是否可以得出一致的结果。
求其四阶导数，再积分,检验结果高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.14
试 证明对等号左侧进行化简高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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比较并化简高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.15
考虑如下两个不可积问题的积分问题求解。
MATLAB求解结果特殊函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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求解,其中
MATLAB命令无法获得显示的解并不是所有的积分都能被计算出，应为原始函数不一定存在高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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3.3.2 定积分与无穷积分计算函数 int()可以被用于计算 定积分或无穷积分问题语句格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.16
函数 和 求当或 时的定积分值。
MATLAB求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.17
求解
MATLAB求解结果高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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3.3.3 多重积分问题的 MATLAB求解函数 int()仍可以被用于计算多重积分注意：需要根据实际情况先选择积分顺序，可积的部分作为内积分，然后再处理外积分。否则，会的不出解析解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.18
已知下面的三元函数试求出高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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交换积分顺序比较结果高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.19
求解积分问题
MATLAB求解注意,eulergamma为 Euler常数 g
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3.4 函数的级数展开与级数求和问题求解
Taylor幂级数展开
Fourier级数展开级数求和的计算序列求积问题高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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3.4.1 Taylor幂级数展开单变量函数的 Taylor幂级数展开多变量函数的 Taylor幂级数展开高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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3.4.1.1 单变量函数的 Taylor幂级数展开数学表示在 x=0点附近的 Taylor幂级数其中
MATLAB语句格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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关于 x = a点的 Taylor展开其中
MATLAB语句格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.20
对如下的函数，在 x=0,x=2和 x=a求其 Taylor
幂级数展开的前 9项在 x=0进行 Taylor展开结果高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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检查有限项的近似结果在区间 [0,5]内绘图更小的区间 [0,0.5]
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在 x=2进行 Taylor展开结果高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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在 x=a进行 Taylor展开数学描述高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.21
对函数 进行 Taylor展开，观察近似效果
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3.4.1.2 多变量函数的 Taylor幂级数展开多元函数 的 Taylor幂级数展开其中高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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使用 Maple
MATLAB语法在原点进行 Taylor展开在点 进行 Taylor展开注意：引号不能漏掉高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.22
求函数 的 Taylor
级数 展开在原点展开 Taylor级数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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数学描述高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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在点 展开 Taylor级数数学描述高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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用函数 mtaylor()进行单变量 Taylor 级数的展开数学描述高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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3.4.2 Fourier级数展开给定周期函数由此它的 Fourier级数展开是高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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求 Fourier级数展开得 MATLAB代码高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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函数 fseries() 的调用法则高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.23
函数,其中求它的 Fourier级数展开结果比较高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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更大的区域数学描述一般形式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.24
给定函数,其中求它的 Fourier级数展开，并与原函数进行比较原函数可以表示成高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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前 14项的 Fourier级数展开数学形式一般形式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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在区间 [-2p,2p]进行拟合效果比较回忆一下开始的假设高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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3.4.3 级数求和的计算求已知通项的有穷或无穷级数的和。
数学表示
MATLAB语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.25
计算数值计算方法使用 symsum()
更多项的扩展高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.26
求解无穷级数的和使用函数 symsum()
使用数值方法高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.27
试求解含有变量 x的无穷级数符号运算方法高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.28
试求解级数与极限综合问题
MATLAB求解注意：求解该问题不能先求解无穷级数的和，
然后再减去 ln n，这样做前后均为无穷大，
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3.4.4 序列求积问题
Maple内核的函数 product()可以 直接进行序列求积运算
MATLAB语句或高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.29
试计算序列的乘积
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3.5 曲线积分与曲面积分的计算曲线积分及 MATLAB求解曲面积分与 MATLAB语言求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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3.5.1 曲线积分及 MATLAB求解第一类曲线积分第二类曲线积分高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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3.5.1.1 第一类曲线积分第一类曲线积分将 带入或高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.30
计算,其中 l是如下定义的螺线
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例 3.31
试求,其中 l曲线为 与围成的正向曲线绘制曲线 l
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化成两段曲线的积分问题来求解结果高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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3.5.1.2 第二类曲线积分第二类曲线积分其中并且上式化为高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.32
求出曲线积分其中,l为正向圆周
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例 3.33
计算 。其中,l为抛物线
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3.5.2 曲面积分与
MATLAB语言求解第一类曲面积分第二类曲面积分高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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3.5.2.1 第一类曲面积分第一类曲面积分的数学定义为其中曲面 S是变换为 x-y平面的二重积分其中 为积分区域高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.34
计算,其中 S是如下定义的外侧面
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若曲面的参数方程为曲面积分为其中高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.35
计算积分,S 是如下曲面
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接上页高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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3.5.2.2 第二类曲面积分第二类曲面积分的数学定义为被积函数是并且正向曲面 由 给出高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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第二类曲面积分转换为第一类曲面积分其中,并且高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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整个曲面积分又可以写成若曲面由下述方程给出那么高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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其中整个曲面积分可以化简为高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.36
试求出曲面积分,S是下面的椭球面的上半部，且积分沿椭球面的上面引入参数方程高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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原曲面积分化为可以转换为一般双重积分
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3.6 数值微分问题数值微分算法中心差分方法及其 MATLAB实现二元函数的梯度计算高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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3.6.1 数值微分算法前向差分公式后向差分公式算法精度高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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中心差分算法公式 1
定义一阶微分为记为高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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Taylor级数展开为算法精度高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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该中心差分算法的高阶微分公式为高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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公式 2
差分方程算法精度高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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3.6.2 中心差分方法及其 MATLAB实现中心差分方法的 M-函数的调用格式为高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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数值微分的 MATLAB函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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接上页高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.37
对函数 用数值微分法求取其 1～ 4阶导数，并与其导数的解析解比较精度输入函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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比较不同阶的导数分析误差高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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3.6.3 二元函数的梯度计算函数 gradient()的调用格式计算梯度其中 Dx 和 Dy 分别为 x 和 y 生成网格的步距高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.38
已知,计算梯度并分析误差
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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绘制误差曲面高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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将网格加密一倍：
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3.7 数值积分问题由给定数据进行梯形求积单变量数值积分问题求解广义数值积分问题求解双重积分问题的数值解三重定积分的数值求解多重积分数值求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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3.7.1 由给定数据进行梯形求积梯形近似方法的基本思想
MATLAB的调用格式或高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.39
试用梯形法求出函数,在区间的定积分值
MATLAB求解语句结论：由于选择的步距较大，有很大的误差高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.40
用定步长方法求解积分并比较不同步距下的结果首先绘图在求解区域内被积函数有很强的振荡高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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对不同的步距比较近似结果高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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3.7.2 单变量数值积分问题求解
Simpson方法求解 区间上的积分其中，
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调用格式求定积分限定精度的定积分求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.41
用数值方法计算积分方法 1，一般函数方法方法 3，匿名函数 (MATLAB 7.0)
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方法 2,inline函数方法
MATLAB求解语句运用符号工具箱高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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过高的精度可能导致运算失效函数 quadl()可能更精确函数 quadl()的调用格式或高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.42
计算积分,并使精度提高到 1e-20
使用函数 quadl() 来提高精度
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.43
给定如下分段函数计算积分值高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解语句调用函数 quad()和 quadl()
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把原问题分解成,并求解析解获得更精确的解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.44
重新计算积分
MATLAB求解语句结论：求解变化不均匀的函数的积分不宜采用定步长方法，应采用变步长方法高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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用 quad()函数求解该问题给出 的精度要求高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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3.7.3 广义数值积分问题求解采用 MATLAB2007b版本及其以上中提供的基于 Gauss-Kronrod算法实现的数值积分函数函数调用格式或高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.45
重新计算积分
MATLAB求解语句和结果比较高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.46
试求出无穷积分
MATLAB求解语句和结果比较高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.47
试求解复数积分问题
MATLAB求解语句和结果比较高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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3.7.4 双重积分问题的数值解定义在矩形区域内的双重积分
MATLAB函数调用格式矩形区域的双重积分高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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限定精度的双重积分注意，本函数不能返回被积函数调用次数，故用户可以自己在被积函数中设置一个计数器，从而测出调用次数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.48
试求出双重定积分
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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定义在非矩形区域的双重积分
MATLAB调用命令一般双重积分限定精度的双重积分高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.49
试求出双重定积分
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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解析解方法积分问题变成高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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解析解法无法应用数值解法高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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3.7.5 三重定积分的数值求解长方体区域的三重定积分函数调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.50
用数值方法求三重定积分问题
MATLAB求解语句对非长方体区域，没有现成 MATLAB算法高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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3.7.6 多重积分数值求解
NIT工具箱（数值积分工具箱）还可以解决多重超长方体边界的定积分问题调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.51
用数值和解析解方法求解下面的 5重定积分问题
MATLAB求解析解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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用 MATLAB求数值解注意：该工具箱单重积分函数 quadg()的调用格式和 quad()一致,其效率也高于
quadl()，故在进行数值求积分时建议使用此工具箱高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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本章要点简介
ssac Newton 和 Gattfried Wilhelm Leibnitz 创立的微积分学是很多科学科学的基础，借助 MATLAB
语言的符号运算工具箱可以直接对微积分学中最常见的问题，如单变量与多变量微积分、极限、
级数求和,Taylor幂级数展开,Fourier 级数展开等问题直接求解。 I
如果只有实验数据而未知函数原型，则需要通过数值微分的方法求其各阶微分函数，本章介绍了中心差分算法及 MATLAB实现，经验证有很好的精度。
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本章还给出了各种数值积分算法，介绍并比较了一般定积分、重积分的数值算法及其 MATLAB 现成函数，可以很好地用数值方法求出所需积分的解。
列出了两类曲线积分、两类曲面积分的公式，并通过例子演示了直接求解这些问题的方法，有了这些内容，读者可以容易地由计算机计算出这些积分问题。
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有关微积分问题在其他章节第 8 章通过三次分段样条插值技术介绍了给定数据的数值积分函数和数值微分函数，
还介绍了改进精度的内容第 10 章介绍的分数阶微积分学是这里介绍的整数阶微积分学内容的直接扩展，目前在很多领域的理论研究中有其作用。
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第 3章微积分问题的计算机求解高等应用数学问题的 MATLAB求解清华大学出版社 2008
CAI课件开发：薛定宇、刘莹莹、董雯彬高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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第 3章 微积分问题的计算机求解极限问题的解析解函数导数的解析解积分问题的解析解函数的级数展开与级数求和问题求解曲线积分与曲面积分的计算数值微分问题数值积分问题高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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3.1 极限问题的解析解单变量函数的极限多变量函数的极限高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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3.1.1 单变量函数的极限极限的定义
MATLAB函数左右极限
MATLAB函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.1
试求解极限问题
MATLAB代码高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.2
试求解单边极限问题
MATLAB代码高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB绘图语句求出极限高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.3
试分别求出 tan t函数关于 p/2点处的左右极限
MATLAB代码高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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3.1.2 多变量函数的极限函数 的极限的定义嵌套使用 limit()函数或高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.4
试求出二元函数极限值
MATLAB代码高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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3.2 函数导数的解析解函数的导数和高阶导数多元函数的偏导数多元函数的 Jacobian矩阵
Hessian偏导数矩阵隐函数的偏导数参数方程的导数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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3.2.1 函数的导数和高阶导数如果函数和自变量都已知，且均为符号变量，则可以用 diff()函数解出给定函数的各阶导数函数语法或高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.5
给定函数,试求出
MATLAB求解绘制原函数和其一阶导数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4阶导数化简函数 diff()的高效率高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.6
试推导函数 的 3阶导函数公式，
并得出 时的 3阶导数，将这样得出的结果与直接求导的结果相比较
MATLAB求解当 时求 3阶导数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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3.2.2 多元函数的偏导数双变量函数 求导
MATLAB语法或高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.7
试求出下列二元函数的偏导数，并用图形表示和高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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绘制三维曲面引力线高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.8
求函数 的偏导数
MATLAB求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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3.2.3 多元函数的 Jacobian矩阵多元函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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它的 Jacobian矩阵为
MATLAB函数为其中
：变量构成的向量
：各个函数构成的向量高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.9
直角坐标和极坐标变换公式如下，推导其
Jacobian矩阵
MATLAB代码高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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3.2.4 Hessian偏导数矩阵定的 n元函数,其 Hessian矩阵的定义为高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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Hessian矩阵实际上就是 函数的二阶偏导数矩阵,该矩阵可以由两次嵌套调用
jacobian()的方式直接获得
MATLAB语法其中,向量高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.10
试求出下列二元函数的 Hessian矩阵
MATLAB代码高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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3.2.5 隐函数的偏导数已知隐函数,其自变量之间的偏导数
MATLAB代码高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.11
给定函数,试求出
MATLAB求解结果高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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3.2.6 参数方程的导数参数方程,则 为高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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编辑递归函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.12
已知参数方程,试求
MATLAB求解命令高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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3.3 积分问题的解析解不定积分的推导定积分与无穷积分计算多重积分问题的 MATLAB求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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3.3.1 不定积分的推导函数 int()可以被用于计算不定积分
MATLAB函数积分多重积分，嵌套调用高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.13
对如下的函数,求其一阶导数，再积分,检验是否可以得出一致的结果。
求其四阶导数，再积分,检验结果高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.14
试 证明对等号左侧进行化简高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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比较并化简高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.15
考虑如下两个不可积问题的积分问题求解。
MATLAB求解结果特殊函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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求解,其中
MATLAB命令无法获得显示的解并不是所有的积分都能被计算出，应为原始函数不一定存在高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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3.3.2 定积分与无穷积分计算函数 int()可以被用于计算 定积分或无穷积分问题语句格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.16
函数 和 求当或 时的定积分值。
MATLAB求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.17
求解
MATLAB求解结果高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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3.3.3 多重积分问题的 MATLAB求解函数 int()仍可以被用于计算多重积分注意：需要根据实际情况先选择积分顺序，可积的部分作为内积分，然后再处理外积分。否则，会的不出解析解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.18
已知下面的三元函数试求出高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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交换积分顺序比较结果高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.19
求解积分问题
MATLAB求解注意,eulergamma为 Euler常数 g
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3.4 函数的级数展开与级数求和问题求解
Taylor幂级数展开
Fourier级数展开级数求和的计算序列求积问题高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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3.4.1 Taylor幂级数展开单变量函数的 Taylor幂级数展开多变量函数的 Taylor幂级数展开高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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3.4.1.1 单变量函数的 Taylor幂级数展开数学表示在 x=0点附近的 Taylor幂级数其中
MATLAB语句格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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关于 x = a点的 Taylor展开其中
MATLAB语句格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.20
对如下的函数，在 x=0,x=2和 x=a求其 Taylor
幂级数展开的前 9项在 x=0进行 Taylor展开结果高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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检查有限项的近似结果在区间 [0,5]内绘图更小的区间 [0,0.5]
高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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在 x=2进行 Taylor展开结果高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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在 x=a进行 Taylor展开数学描述高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.21
对函数 进行 Taylor展开，观察近似效果
MATLAB求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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3.4.1.2 多变量函数的 Taylor幂级数展开多元函数 的 Taylor幂级数展开其中高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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使用 Maple
MATLAB语法在原点进行 Taylor展开在点 进行 Taylor展开注意：引号不能漏掉高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.22
求函数 的 Taylor
级数 展开在原点展开 Taylor级数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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数学描述高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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在点 展开 Taylor级数数学描述高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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用函数 mtaylor()进行单变量 Taylor 级数的展开数学描述高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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3.4.2 Fourier级数展开给定周期函数由此它的 Fourier级数展开是高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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求 Fourier级数展开得 MATLAB代码高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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函数 fseries() 的调用法则高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.23
函数,其中求它的 Fourier级数展开结果比较高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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更大的区域数学描述一般形式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.24
给定函数,其中求它的 Fourier级数展开，并与原函数进行比较原函数可以表示成高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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前 14项的 Fourier级数展开数学形式一般形式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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在区间 [-2p,2p]进行拟合效果比较回忆一下开始的假设高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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3.4.3 级数求和的计算求已知通项的有穷或无穷级数的和。
数学表示
MATLAB语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.25
计算数值计算方法使用 symsum()
更多项的扩展高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.26
求解无穷级数的和使用函数 symsum()
使用数值方法高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.27
试求解含有变量 x的无穷级数符号运算方法高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.28
试求解级数与极限综合问题
MATLAB求解注意：求解该问题不能先求解无穷级数的和，
然后再减去 ln n，这样做前后均为无穷大，
高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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3.4.4 序列求积问题
Maple内核的函数 product()可以 直接进行序列求积运算
MATLAB语句或高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.29
试计算序列的乘积
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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3.5 曲线积分与曲面积分的计算曲线积分及 MATLAB求解曲面积分与 MATLAB语言求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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3.5.1 曲线积分及 MATLAB求解第一类曲线积分第二类曲线积分高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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3.5.1.1 第一类曲线积分第一类曲线积分将 带入或高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.30
计算,其中 l是如下定义的螺线
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.31
试求,其中 l曲线为 与围成的正向曲线绘制曲线 l
高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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化成两段曲线的积分问题来求解结果高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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3.5.1.2 第二类曲线积分第二类曲线积分其中并且上式化为高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.32
求出曲线积分其中,l为正向圆周
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.33
计算 。其中,l为抛物线
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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3.5.2 曲面积分与
MATLAB语言求解第一类曲面积分第二类曲面积分高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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3.5.2.1 第一类曲面积分第一类曲面积分的数学定义为其中曲面 S是变换为 x-y平面的二重积分其中 为积分区域高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.34
计算,其中 S是如下定义的外侧面
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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若曲面的参数方程为曲面积分为其中高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.35
计算积分,S 是如下曲面
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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接上页高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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3.5.2.2 第二类曲面积分第二类曲面积分的数学定义为被积函数是并且正向曲面 由 给出高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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第二类曲面积分转换为第一类曲面积分其中,并且高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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整个曲面积分又可以写成若曲面由下述方程给出那么高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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其中整个曲面积分可以化简为高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.36
试求出曲面积分,S是下面的椭球面的上半部，且积分沿椭球面的上面引入参数方程高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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原曲面积分化为可以转换为一般双重积分
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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3.6 数值微分问题数值微分算法中心差分方法及其 MATLAB实现二元函数的梯度计算高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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3.6.1 数值微分算法前向差分公式后向差分公式算法精度高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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中心差分算法公式 1
定义一阶微分为记为高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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Taylor级数展开为算法精度高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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该中心差分算法的高阶微分公式为高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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公式 2
差分方程算法精度高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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3.6.2 中心差分方法及其 MATLAB实现中心差分方法的 M-函数的调用格式为高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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数值微分的 MATLAB函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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接上页高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.37
对函数 用数值微分法求取其 1～ 4阶导数，并与其导数的解析解比较精度输入函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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比较不同阶的导数分析误差高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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3.6.3 二元函数的梯度计算函数 gradient()的调用格式计算梯度其中 Dx 和 Dy 分别为 x 和 y 生成网格的步距高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.38
已知,计算梯度并分析误差
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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绘制误差曲面高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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将网格加密一倍：
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3.7 数值积分问题由给定数据进行梯形求积单变量数值积分问题求解广义数值积分问题求解双重积分问题的数值解三重定积分的数值求解多重积分数值求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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3.7.1 由给定数据进行梯形求积梯形近似方法的基本思想
MATLAB的调用格式或高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.39
试用梯形法求出函数,在区间的定积分值
MATLAB求解语句结论：由于选择的步距较大，有很大的误差高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.40
用定步长方法求解积分并比较不同步距下的结果首先绘图在求解区域内被积函数有很强的振荡高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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对不同的步距比较近似结果高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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3.7.2 单变量数值积分问题求解
Simpson方法求解 区间上的积分其中，
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调用格式求定积分限定精度的定积分求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.41
用数值方法计算积分方法 1，一般函数方法方法 3，匿名函数 (MATLAB 7.0)
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方法 2,inline函数方法
MATLAB求解语句运用符号工具箱高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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过高的精度可能导致运算失效函数 quadl()可能更精确函数 quadl()的调用格式或高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.42
计算积分,并使精度提高到 1e-20
使用函数 quadl() 来提高精度
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.43
给定如下分段函数计算积分值高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解语句调用函数 quad()和 quadl()
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把原问题分解成,并求解析解获得更精确的解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.44
重新计算积分
MATLAB求解语句结论：求解变化不均匀的函数的积分不宜采用定步长方法，应采用变步长方法高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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用 quad()函数求解该问题给出 的精度要求高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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3.7.3 广义数值积分问题求解采用 MATLAB2007b版本及其以上中提供的基于 Gauss-Kronrod算法实现的数值积分函数函数调用格式或高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.45
重新计算积分
MATLAB求解语句和结果比较高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.46
试求出无穷积分
MATLAB求解语句和结果比较高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.47
试求解复数积分问题
MATLAB求解语句和结果比较高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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3.7.4 双重积分问题的数值解定义在矩形区域内的双重积分
MATLAB函数调用格式矩形区域的双重积分高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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限定精度的双重积分注意，本函数不能返回被积函数调用次数，故用户可以自己在被积函数中设置一个计数器，从而测出调用次数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.48
试求出双重定积分
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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定义在非矩形区域的双重积分
MATLAB调用命令一般双重积分限定精度的双重积分高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.49
试求出双重定积分
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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解析解方法积分问题变成高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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解析解法无法应用数值解法高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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3.7.5 三重定积分的数值求解长方体区域的三重定积分函数调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.50
用数值方法求三重定积分问题
MATLAB求解语句对非长方体区域，没有现成 MATLAB算法高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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3.7.6 多重积分数值求解
NIT工具箱（数值积分工具箱）还可以解决多重超长方体边界的定积分问题调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 3.51
用数值和解析解方法求解下面的 5重定积分问题
MATLAB求解析解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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用 MATLAB求数值解注意：该工具箱单重积分函数 quadg()的调用格式和 quad()一致,其效率也高于
quadl()，故在进行数值求积分时建议使用此工具箱高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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7/26/2009星期六,
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本章要点简介
ssac Newton 和 Gattfried Wilhelm Leibnitz 创立的微积分学是很多科学科学的基础，借助 MATLAB
语言的符号运算工具箱可以直接对微积分学中最常见的问题，如单变量与多变量微积分、极限、
级数求和,Taylor幂级数展开,Fourier 级数展开等问题直接求解。 I
如果只有实验数据而未知函数原型，则需要通过数值微分的方法求其各阶微分函数，本章介绍了中心差分算法及 MATLAB实现，经验证有很好的精度。
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本章还给出了各种数值积分算法，介绍并比较了一般定积分、重积分的数值算法及其 MATLAB 现成函数，可以很好地用数值方法求出所需积分的解。
列出了两类曲线积分、两类曲面积分的公式，并通过例子演示了直接求解这些问题的方法，有了这些内容，读者可以容易地由计算机计算出这些积分问题。
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有关微积分问题在其他章节第 8 章通过三次分段样条插值技术介绍了给定数据的数值积分函数和数值微分函数，
还介绍了改进精度的内容第 10 章介绍的分数阶微积分学是这里介绍的整数阶微积分学内容的直接扩展，目前在很多领域的理论研究中有其作用。
