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第 6章代数方程与最优化问题的计算机求解高等应用数学问题的 MATLAB求解清华大学出版社 2008
CAI课件开发：薛定宇、刘莹莹、董雯彬高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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第 6章 代数方程与最优化问题的计算机求解代数方程的求解无约束最优化问题求解有约束最优化问题的计算机求解混合整数规划问题的计算机求解线性矩阵不等式问题求解多目标优化问题求解动态规划及其在路径规划中的应用高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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6.1 代数方程的求解代数方程的图解法多项式型方程的准解析解法一般非线性方程数值解非线性矩阵方程求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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6.1.1 代数方程的图解法一元方程的图解法二元方程的图解法高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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6.1.1.1 一元方程的图解法用 ezplot()函数可以绘制出给定的隐函数曲线，所以可以用图解法从给出的曲线和 线的交点上读出所有的实数解。
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例 6.1
用图解法求解方程：
MATLAB求解命令证明：
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6.1.1.2 二元方程的图解法使用 ezplot()函数将所有的方程都画出来，得出曲线后就可以通过读取交点坐标的方式得出联立方程的根高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 6.2
用图解法求解联立方程：
画第一个函数：
画第二个函数：
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6.1.2 多项式型方程的准解析解法特殊的高阶方程如多项式型方程，可以被求解出
Abel-Ruffini定理证明 5阶以上的多项式型方程没有解析解一般的数值算法得出的解不精确得出高精度解的方法存在很多方程可以转换成多项式方程高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 6.3
试用图解方法求解二元方程
MATLAB求解命令：
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求解多项式型方程的函数调用格式最简调用方式直接得出根指定变量高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 6.4
使用 solve()函数求解
MATLAB求解命令：
证明：
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例 6.5
试求解
MATLAB求解命令：
证明：
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最后一个式子改写成
MATLAB求解命令：
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例 6.6
试求解
MATLAB求解命令：
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证明：
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例 6.7
试求解带有参数的方程
MATLAB求解命令：
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6.1.3 一般非线性方程数值解求出已知多元方程的一个实数根的函数调用格式最简求解语句一般求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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选择方法和修改控制精度的函数调用格式获得默认的常用变量设置控制参数或高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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求解数值代数方程组的步骤设置变量，使等式变成如下所示按如下方式描述等式
M-函数匿名函数
Inline函数,不推荐使用求解方程组检验阶的正确性高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 6.8
Lambert 函数,是变量,是方程 的解,对不同的,求解然后绘制求解策略和过程使用 for循环使用匿名函数描述生成 w向量绘制函数曲线
MATLAB求解语句：
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MATLAB表述直接求解，使用 lambertw函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 6.9
数值方法求解选择变量把原始常微分方程组 (ODEs)变为变成矩阵形式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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描述方程的方法
M-函数匿名函数
Inline函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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当初值选为当使用另一个搜索初始点注意：选择不同的初值可以得出不同的结果高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 6.10
数值方法解使用 solve()函数：
使用图解法求初始值：
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重新设置相关精度的控制变量所期望的精度可能无法达到然而，在算精度制下的最好结果可以得到高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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6.1.4 非线性矩阵方程求解
Riccati 方程（第 4章）
更多的非线性矩阵方程，例如，
广义 Riccati方程类 Riccati方程还有很多很多的矩阵方程高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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函数 fsolve()只能求解出,而不是,其中,是向量不是矩阵将矩阵方程转换成向量方程向量转换成矩阵数学表述
MATLAB表述矩阵转换成向量数学表述
MATLAB表述
Riccati方程求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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以向量的形式描述 Riccati方程的残差求解 Riccati方程的新函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 6.11
求解下列 Riccati方程组：
其中高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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are()函数可能会得出一个解重新 使用 MATLAB命令：
另一个解：
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例 6.12
给定其中求出并检验全部的根高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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对于类 Riccati方程另一个 M-函数另一个矩阵方程求解函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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重新使用 MATLAB命令注意：有些解可能很难得到，需要反复调用多次上述函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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已通过检验的可能解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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6.2 无约束最优化问题求解解析解法和图解法基于 MATLAB的数值解法全局最优解与局部最优解利用梯度求解最优化问题带有变量边界约束的最优化问题求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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无约束最小化问题的数学描述目标函数是一个标量函数向量决定变量,或优化变量物理意义：求取一组 向量，使得最优化目标函数 为最小最大化问题数学描述高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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6.2.1 解析解法和图解法无约束最优化问题的必要条件：
其中,是最优点方程的求解可能会更难，有时可能需要二阶导数运算高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 6.13
研究下式的最优性绘制函数 的一阶导数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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求一阶导数为零的点，并验证二阶导数为正高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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6.2.2 基于 MATLAB的数值解法得出数值解的函数调用格式最简求解语句或一般求解格式或高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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描述目标函数
M-函数匿名函数
Inline函数（不推荐使用）
在匿名函数或 inline函数中无法使用中间变量高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 6.14
给定,求其最小值使用函数 fminsearch()：
使用函数 fminunc()：
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绘制出搜索过程中间点的轨线：
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结果：
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6.2.3 全局最优解与局部最优解最小值存在的必要条件是使用搜索方法，从初始值出发，可能找到唯一的一个这样的点，它是全局最小值高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 6.15
给定观察不同的初值得出的最小值构造目标函数初值是高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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初值是在 内的曲线：
在 内的曲线高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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6.2.4 利用梯度求解最优化问题有时，仅利用目标函数提供的信息，很难得到最优解。这是由于求解最优化问题收敛速度一般较慢，尤其是变量较多的最优化问题可以利用梯度信息解决上述问题高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 6.16
求 Rosenbrock 函数的无约束最优化问题绘制三维等高线图：
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无梯度信息求梯度矩阵：
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编写目标函数：
求解最优化问题高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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6.2.5 带有变量边界约束的最优化问题求解带有变量边界约束的最优化问题的数学描述其中，符号 s.t,表示 subject to
John D'Errico,woodchips@rochester.rr.com
fminsearchbnd()函数 在随书光盘中给出高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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带有变量边界约束的最优化问题求解的语句调用格式最简求解语句一般求解格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 6.17
求解 Rosenbrock问题其中,和
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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6.3 有约束最优化问题的计算机求解约束条件与可行解区域线性规划问题的计算机求解二次型规划的求解一般非线性规划问题的求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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6.3.1 约束条件与可行解区域有约束非线性最优化问题的一般描述为其中，
所有的 满足约束条件该范围称为可行解区域高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 6.18
图解方法求解：
目标函数描述可行解区域描述高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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可行区域图解说明高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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6.3.2 线性规划问题的计算机求解线性规划 (LP)问题的一般数学描述为所有都是线性的注意，约束的标准形式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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求解 LP问题的函数调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 6.19
试求解下面的线性规划问题高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解语句：
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例 6.20
求解下列 LP问题：
先将原问题转换为最小值问题高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解命令高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 6.21
是求解下列 LP问题双下标描述高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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将原问题转换成单下标自变量原问题改写成高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解命令高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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6.3.3 二次型规划的求解一般二次型规划问题的数学表示为首先建立矩阵表述高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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求解二次型规划问题的函数调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 6.22
试求解下面的四元二次型规划问题首先求出相关矩阵形式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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展开目标函数得写成矩阵形式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解语句其中，忽略了常数 30
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6.3.4 一般非线性规划问题的求解一般非线性规划问题其中，
物理解释：在给出的约束条件下，找出向量,使目标函数达到最小值高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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简化描述求解出非线性规划问题高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 6.23
试求解下面非线性规划问题为目标函数和约束函数编辑 M-函数，后者返回两个变量高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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编辑非线性约束函数编辑目标函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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使用函数 fmincon()求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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简化非线性约束条件函数：
求出结果：
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例 6.24
利用梯度信息求解如下问题，并比较结果高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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推导 Jacobian矩阵编写目标函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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使用函数 fmincon()得出结果高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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6.4 混合整数规划问题的计算机求解整数线性规划问题的求解一般非线性整数规划问题与求解
0-1规划问题求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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6.4.1 整数线性规划问题的求解整数线性规划的一般数学描述其中,为变量 的子集高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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求解整数线性规划问题的函数调用格式该免费工具箱，可以由 MathWorks公司网站下载，也可以由本书光盘得出当前版本的 ipslv_mex()函数不能用于低于 MATLAB 7.*的版本高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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求解下列线性整数规划问题，其中，各个变量全为整数例 6.25
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MATLAB求解命令高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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采用穷举算法，假定 的各个元素均为 20
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得出次最优解混合整数规划问题，要求 为整数，
其他两个变量为任意数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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6.4.2一般非线性整数规划问题与求解分枝定界算法是一种最常用的处理非线性整数规划或混合规划问题的算法免费工具箱由 Mr.Keort Kuipers提供
koertkuipers@yahoo.com
该工具箱也附在由随书光盘上在 MATLAB R2008a 中，薛定宇老师对其进行了简单的修改高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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函数调用格式向量 表示变量 必须是整数，当 表示变量可以是实数
fun变量要是一个被引用的文件名，而不能是 @...的形式如果 err返回空，则求解成功高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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补丁语句调用前调用后，截断多余的数字高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 6.26
假定,使用函数 bnb20()求解线性整数规划问题 (ILP)
编辑目标函数（不要编辑非匿名函数）
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求解出 ILP
errmsg是空，求解成功高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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如果要求 为整数，其他两个变量为任意数，则高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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穷举法小结优点保证得出全局最优值除了最优值，还可以得出次最优值对于小规模问题，求解简便缺点带来很重的计算负担和极大的内存使用不可能求解大型甚至中型问题高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 6.27
求出修改的 Rosenbrock问题其中，
并且 是整数目标函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解语句：
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选择区间给定区间,使用穷举法高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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6.4.3 0-1规划问题求解
0-1线性规划问题
MATLAB求解函数
0-1非线性规划问题，使用函数 bnb20()
将下界定义一个全为 0的向量将上界定义一个全为 1的向量直接使用函数 bnb20()
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例 6.28
求解 0-1线性规划问题
MATLAB求解语句：
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枚举方法高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 6.29
运用函数 bnb20()求解下列问题构造目标函数：
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MATLAB求解语句：
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6.5 线性矩阵不等式问题求解线性矩阵不等式的一般描述
Lyapunov不等式线性矩阵不等式问题分类线性矩阵不等式问题的 MATLAB求解基于 YALMIP工具箱的最优化求解方法高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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6.5.1 线性矩阵不等式的一般描述线性矩阵不等式 (LMI)的数学描述其中,为多项式系数向量，
又称为决策向量,为实对称矩阵或复 Hermit
矩阵高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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如果 LMI矩阵 是负定矩阵，那么解是凸集其中，
多个线性矩阵不等式可以合并成单一的线性矩阵不等式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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6.5.2 Lyapunov不等式
Lyapunov不等式的数学描述其中,是对称矩阵高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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构造 MATLAB函数求取高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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接上页函数调用格式：
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例 6.30
给定试求出其线性矩阵不等式表示。对于矩阵，写出相应的线性矩阵不等式
MATLAB求解语句：
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对于 X 矩阵线性矩阵不等式形式的数学描述高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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对于 的符号矩阵结果：
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给定分块矩阵其中,是方阵，那么，下述三种况等价
Schur补性质高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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数学描述其中，
原非线性不等式可以等价地变换成下述线性矩阵不等式代数 Riccati不等式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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6.5.3 线性矩阵不等式问题分类可行解问题可行解问题实际上就是求下述的解其中要找到最小值如果找到的,则得出的解是原问题的可行解，否则会提示无法找到可行解。
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线性目标函数最优化问题给定这样的问题可以用普通的线性规划方法求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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广义特征值最优化问题广义特征值问题可以视为线性矩阵不等式问题的最一般的问题,
表达式由该式演化可以得到更一般的不等式其中,是矩阵的广义特征值归纳出下面的最优化问题高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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6.5.4 线性矩阵不等式问题的 MATLAB求解用 MATLAB描述线性矩阵不等式创建 LMI模型定义需要求解的变量其中,是未知矩阵类型的标记高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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描述分块形式给出线性矩阵不等式其中通常，该项是 APB
如果,那么 k=-k
如果 flag==‘s’,该项是如果该项是常数，那么 P=0，并且忽略 B
完成 LMI模型描述高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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求解 LMI问题可行解问题线性目标函数问题广义特征值问题高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 6.31
给定对于 Riccati不等式试求出该不等式的一个正定可行解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解语句：
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6.5.5 基于 YALMIP工具箱的最优化求解方法
YALMIP(yet another LMIpackage)由瑞典
Link?ping 大学电子工程专业的 Johan
L?fberg博士开发,
johanl@isy.liu.se
现在,它以成为最优化问题建模和求解的一种简便求解方法接近数学形式本书的随书光盘附带最新的版本高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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决策变量的声明对称矩阵长方形矩阵整数变量二项形式其它形式，例如 Hankel矩阵,hankel()
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约束可以通过 [ ] 来声明最优化问题求解求解可行解问题求解目标函数的最优化问题高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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允许设定选项，如算法选择提取得出的解矩阵高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 6.32
给定使用 YALMIP工具箱求解 Riccati不等式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解命令比使用鲁棒控制工具箱 (RCT)更方便高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 6.33
求解线性规划问题
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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假设决策变量是整数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 6.34
对于线性系统其中高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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采用 LMI方法也可以求解系统的范数，其数学描述为求解线性系统模型的 范数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解命令：
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6.6 多目标优化问题求解多目标优化模型无约束多目标函数的最小二乘求解多目标问题转换为单目标问题求解多目标优化问题的 Pareto解集极小极大问题求解目标规划问题求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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6.6.1 多目标优化模型多目标最优化问题的一般表示为其中，
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例 6.35
三种糖果，单价每公斤 4,2.8和
2.4元，买糖果不超过 20元，总量不得少于 6
公斤,和 不得少于 3公斤，设计方案设 购买量为 公斤，则高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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6.6.2 无约束多目标函数的最小二乘求解设目标函数将其转换成单目标问题
MATLAB函数调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 6.36
求解下面无约束非线性多目标规划问题的最小二乘解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解语句使用函数 fmincon()
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6.6.3 多目标问题转换为单目标问题求解线性加权变换及求解线性规划问题的最佳妥协解线性规划问题的最小二乘解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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6.6.3.1 线性加权变换及求解单目标优化算法不能直接由于求解多目标优化问题，需要将其变换成单目标优化问题线性加权变换的数学描述其中,且高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 6.37
重新考虑例 6.35，求解如下最优化问题高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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不同加权系数下的方案高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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不同加权系数下的最优方案高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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6.6.3.2 线性规划问题的最佳妥协解特殊的线性规划数学描述目标函数不是一个向量，而是一个矩阵每一个目标函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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最佳妥协解的求解步骤如下单独求解每个单目标函数的最优化问题，得出最优解通过规范化构造单独的目标函数最佳妥协解变换成单目标线性规划高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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最佳妥协解（最大值）的求解程序高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 6.38
重新考虑例 6.35，求解如下最优化问题高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解语句：
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例 6.39
求解如下最优化问题高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解语句：
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6.6.3.3 线性规划问题的最小二乘解多目标线性规划问题的最小二乘表示则最小二乘解可以由函数直接得出高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 6.40
给定如下最优化问题，试求其最小二乘解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解语句：
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6.6.4 多目标优化问题的 Pareto解集对于双目标函数的问题，将可行解的离散点在二维平面上显示出来从得出的可行解离散点提取出区域左下角的一条曲线，这个曲线上的点都是原问题的解，称为 Pareto解集高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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Yi Cao 在 Gianluca Dorini 贡献的 Pareto
解集提取程序的基础上，开发了改进的快速提取程序函数调用格式其中,为可行解、离散点构成的列向量,向量为标志向量，指示可行解离散点是否为 Pareto解集中的点高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 6.41
采用上述的离散点分析方法重新研究下述的多目标优化问题高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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对原始问题中花费的钱数取一系列离散点原始问题可以改写成单目标的线性规划问题高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解语句：
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例 6.42
重新考虑例 6.35，试提取其 Pareto解集高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解语句：
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6.6.5 极小极大问题求解极小极大问题的数学描述极小极大问题是在最不利的条件下寻找最有利决策方案的一种方法高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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直接求解极小极大问题的函数调用格式其中，目标函数为向量形式描述，用匿名函数,inline()函数和 M-函数均可以表示新目标函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 6.43
试求解下面的极小极大问题高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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选择随机数为初值高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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有了 fminimax()函数，还可以求解相关的变形问题极小极小问题极小极大问题高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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6.6.6 目标规划问题求解最优化问题求解过程中，发现找不到可行解时，要放松约束条件。如，不等式约束条件 改写成将偏差对 引入目标函数使得严格的不等式约束尽可能小地被突破，
相应的最优化问题称为目标规划问题。
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数学描述形式其中,为原始的多目标向量,为各个目标函数的加权系数,为用户人为引入的目标高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB函数调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 6.44
试用目标规划方法求解下式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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两个目标函数可以接受的目标分别是 20和 6，
将其权重设置 80%和 20%
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6.7 动态规划及其在路径规划中的应用图的矩阵表示方法有向图的路径寻优无向图的路径最优搜索高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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6.7.1 图的矩阵表示方法图是由节点和边构成的。边是连接两个节点的直接路径。如果边是有向的，则图称为有向图，否则称为无向图在计算机中，图用矩阵表示，即关联矩阵
MATLAB语言还支持关联矩阵的稀疏矩阵表示方法高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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构造关联矩阵的稀疏矩阵函数调用格式其中,为起始节点向量,为终止节点向量,为边权值向量，这里各个向量最后的一个值使得关联矩阵为方阵高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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稀疏矩阵可以由 full()函数变换成常规矩阵，而常规矩阵可以由 sparse()函数转换成稀疏矩阵注意：在若第 i和 j节点间不存在边，则可令,当然，也有的算法要求高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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6.7.2 有向图的路径寻优有向图最短路径问题的手工求解有向图搜索及图示
Dijkstra最短路径算法及实现高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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6.7.2.1 有向图最短路径问题的手工求解有向图与最优路径搜索是很多领域都能遇到的常见问题应用动态规划理论，通常需要由终点反推回起点，搜索最优路径高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 6.45
有向图路径如下，数字为从该路径所花费的时间，试求出从节点①到节点⑨的最优路径。
最短路径为：
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6.7.2.2 有向图搜索及图示函数调用格式建立有向图对象求解最短路径问题函数 view()可以显示有向图高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 6.46
试求出从节点①到节点⑨的最优路径。
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建立关联矩阵并显示图高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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求出最短路径高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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6.7.2.3 Dijkstra最短路径算法及实现编辑 MATLAB程序实现 Dijkstra算法高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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接上页高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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函数的调用格式其中,W为关联矩阵,s和 t为起始节点和终止节点,d为最短路径长度,p为最优路径节点的序号向量,0的权值自动设置为高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 6.47
用 Dijkstra算法求解下题高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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6.7.3 无向图的路径最优搜索无向图的关联矩阵的构造方法先按照有向图的方式构造关联矩阵无向图的关联矩阵为如果无向图中，某些边是有向的，则手工修改该矩阵若由节点 i到 j与由节点 j到 i的边权值是不同的，
用手工方法重新定义和修改高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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6.7.4 绝对坐标节点的最优路径规划算法与应用如果各个节点以绝对坐标 的方式给出，且给出节点间的连接关系，则边权值可以由两点间的 Euclid距离计算处理，这样就可以直接进行路径规划问题的求解了高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 6.48
有如下 11个城市，其间的公路如下图，试求出由城市 A到城市 B的最短路径，如果城市 6与 8之间修路，试重新搜索最优路径。
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MATLAB求解语句：
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接上页可以设置,表示节点
6和 8之间的路不通高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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本章内容简介数学方程求解是科学与工程研究中经常遇到的问题，本章先介绍了简单方程的图解法，给出了方程求解的基本概念，并介绍了基于符号运算工具箱中 solve( ) 函数的多项式类方程的准解析求解算法，还介绍了基于最优化工具箱 fsolve( ) 函数求取一般非线性方程的数值解法。
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本章介绍了无约束最优化问题及 MATLAB
解决方案，并引入了全局最优解与局部最优解的概念。
本章还介绍了若干种有约束最优化问题，
介绍了可行解区域的概念，并介绍了最优化问题求解算法的 MATLAB 求解方法，如线性规划问题、二次型规划问题及一般非线性规划问题，用这样的方法可以轻易求解出较复杂的非线性规划问题。
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本章中系统介绍了整数规划问题的计算机求解方法，引入了整数线性规划问题求解工具箱、一般非线性整数规划问题求解函数 bnb20()
由 MATLAB 7.0 版本中给出的新函数
bintprog()探讨了 0-1 整数线性规划问题的计算机求解。借助分枝定界法的 bnb20()
函数还可以求解 0-1 非线性规划问题高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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最优化问题目前最好的工具箱是商品软件
TOMLAB，其功能很强大，然而限于篇幅，
并未详细介绍该工具。另外，基于遗传算法的最优化方法是当前被认为有可能获得全局最优解的有前途的最优化方法，基于遗传算法的最优化方法及其 MATLAB 实现问题在第 10.3 节还有详细介绍
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第 6章代数方程与最优化问题的计算机求解高等应用数学问题的 MATLAB求解清华大学出版社 2008
CAI课件开发：薛定宇、刘莹莹、董雯彬高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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第 6章 代数方程与最优化问题的计算机求解代数方程的求解无约束最优化问题求解有约束最优化问题的计算机求解混合整数规划问题的计算机求解线性矩阵不等式问题求解多目标优化问题求解动态规划及其在路径规划中的应用高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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6.1 代数方程的求解代数方程的图解法多项式型方程的准解析解法一般非线性方程数值解非线性矩阵方程求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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6.1.1 代数方程的图解法一元方程的图解法二元方程的图解法高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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6.1.1.1 一元方程的图解法用 ezplot()函数可以绘制出给定的隐函数曲线，所以可以用图解法从给出的曲线和 线的交点上读出所有的实数解。
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例 6.1
用图解法求解方程：
MATLAB求解命令证明：
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6.1.1.2 二元方程的图解法使用 ezplot()函数将所有的方程都画出来，得出曲线后就可以通过读取交点坐标的方式得出联立方程的根高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 6.2
用图解法求解联立方程：
画第一个函数：
画第二个函数：
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6.1.2 多项式型方程的准解析解法特殊的高阶方程如多项式型方程，可以被求解出
Abel-Ruffini定理证明 5阶以上的多项式型方程没有解析解一般的数值算法得出的解不精确得出高精度解的方法存在很多方程可以转换成多项式方程高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 6.3
试用图解方法求解二元方程
MATLAB求解命令：
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求解多项式型方程的函数调用格式最简调用方式直接得出根指定变量高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 6.4
使用 solve()函数求解
MATLAB求解命令：
证明：
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例 6.5
试求解
MATLAB求解命令：
证明：
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最后一个式子改写成
MATLAB求解命令：
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例 6.6
试求解
MATLAB求解命令：
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证明：
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例 6.7
试求解带有参数的方程
MATLAB求解命令：
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6.1.3 一般非线性方程数值解求出已知多元方程的一个实数根的函数调用格式最简求解语句一般求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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选择方法和修改控制精度的函数调用格式获得默认的常用变量设置控制参数或高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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求解数值代数方程组的步骤设置变量，使等式变成如下所示按如下方式描述等式
M-函数匿名函数
Inline函数,不推荐使用求解方程组检验阶的正确性高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 6.8
Lambert 函数,是变量,是方程 的解,对不同的,求解然后绘制求解策略和过程使用 for循环使用匿名函数描述生成 w向量绘制函数曲线
MATLAB求解语句：
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MATLAB表述直接求解，使用 lambertw函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 6.9
数值方法求解选择变量把原始常微分方程组 (ODEs)变为变成矩阵形式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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描述方程的方法
M-函数匿名函数
Inline函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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当初值选为当使用另一个搜索初始点注意：选择不同的初值可以得出不同的结果高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 6.10
数值方法解使用 solve()函数：
使用图解法求初始值：
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重新设置相关精度的控制变量所期望的精度可能无法达到然而，在算精度制下的最好结果可以得到高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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6.1.4 非线性矩阵方程求解
Riccati 方程（第 4章）
更多的非线性矩阵方程，例如，
广义 Riccati方程类 Riccati方程还有很多很多的矩阵方程高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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函数 fsolve()只能求解出,而不是,其中,是向量不是矩阵将矩阵方程转换成向量方程向量转换成矩阵数学表述
MATLAB表述矩阵转换成向量数学表述
MATLAB表述
Riccati方程求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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以向量的形式描述 Riccati方程的残差求解 Riccati方程的新函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 6.11
求解下列 Riccati方程组：
其中高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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are()函数可能会得出一个解重新 使用 MATLAB命令：
另一个解：
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例 6.12
给定其中求出并检验全部的根高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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对于类 Riccati方程另一个 M-函数另一个矩阵方程求解函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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重新使用 MATLAB命令注意：有些解可能很难得到，需要反复调用多次上述函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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已通过检验的可能解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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6.2 无约束最优化问题求解解析解法和图解法基于 MATLAB的数值解法全局最优解与局部最优解利用梯度求解最优化问题带有变量边界约束的最优化问题求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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无约束最小化问题的数学描述目标函数是一个标量函数向量决定变量,或优化变量物理意义：求取一组 向量，使得最优化目标函数 为最小最大化问题数学描述高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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6.2.1 解析解法和图解法无约束最优化问题的必要条件：
其中,是最优点方程的求解可能会更难，有时可能需要二阶导数运算高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 6.13
研究下式的最优性绘制函数 的一阶导数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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求一阶导数为零的点，并验证二阶导数为正高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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6.2.2 基于 MATLAB的数值解法得出数值解的函数调用格式最简求解语句或一般求解格式或高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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描述目标函数
M-函数匿名函数
Inline函数（不推荐使用）
在匿名函数或 inline函数中无法使用中间变量高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 6.14
给定,求其最小值使用函数 fminsearch()：
使用函数 fminunc()：
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绘制出搜索过程中间点的轨线：
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结果：
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6.2.3 全局最优解与局部最优解最小值存在的必要条件是使用搜索方法，从初始值出发，可能找到唯一的一个这样的点，它是全局最小值高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 6.15
给定观察不同的初值得出的最小值构造目标函数初值是高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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初值是在 内的曲线：
在 内的曲线高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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6.2.4 利用梯度求解最优化问题有时，仅利用目标函数提供的信息，很难得到最优解。这是由于求解最优化问题收敛速度一般较慢，尤其是变量较多的最优化问题可以利用梯度信息解决上述问题高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 6.16
求 Rosenbrock 函数的无约束最优化问题绘制三维等高线图：
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无梯度信息求梯度矩阵：
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编写目标函数：
求解最优化问题高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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6.2.5 带有变量边界约束的最优化问题求解带有变量边界约束的最优化问题的数学描述其中，符号 s.t,表示 subject to
John D'Errico,woodchips@rochester.rr.com
fminsearchbnd()函数 在随书光盘中给出高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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带有变量边界约束的最优化问题求解的语句调用格式最简求解语句一般求解格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 6.17
求解 Rosenbrock问题其中,和
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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6.3 有约束最优化问题的计算机求解约束条件与可行解区域线性规划问题的计算机求解二次型规划的求解一般非线性规划问题的求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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6.3.1 约束条件与可行解区域有约束非线性最优化问题的一般描述为其中，
所有的 满足约束条件该范围称为可行解区域高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 6.18
图解方法求解：
目标函数描述可行解区域描述高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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可行区域图解说明高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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6.3.2 线性规划问题的计算机求解线性规划 (LP)问题的一般数学描述为所有都是线性的注意，约束的标准形式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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求解 LP问题的函数调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 6.19
试求解下面的线性规划问题高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解语句：
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例 6.20
求解下列 LP问题：
先将原问题转换为最小值问题高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解命令高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 6.21
是求解下列 LP问题双下标描述高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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将原问题转换成单下标自变量原问题改写成高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解命令高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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6.3.3 二次型规划的求解一般二次型规划问题的数学表示为首先建立矩阵表述高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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求解二次型规划问题的函数调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 6.22
试求解下面的四元二次型规划问题首先求出相关矩阵形式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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展开目标函数得写成矩阵形式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解语句其中，忽略了常数 30
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6.3.4 一般非线性规划问题的求解一般非线性规划问题其中，
物理解释：在给出的约束条件下，找出向量,使目标函数达到最小值高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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简化描述求解出非线性规划问题高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 6.23
试求解下面非线性规划问题为目标函数和约束函数编辑 M-函数，后者返回两个变量高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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编辑非线性约束函数编辑目标函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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使用函数 fmincon()求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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简化非线性约束条件函数：
求出结果：
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例 6.24
利用梯度信息求解如下问题，并比较结果高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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推导 Jacobian矩阵编写目标函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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使用函数 fmincon()得出结果高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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6.4 混合整数规划问题的计算机求解整数线性规划问题的求解一般非线性整数规划问题与求解
0-1规划问题求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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6.4.1 整数线性规划问题的求解整数线性规划的一般数学描述其中,为变量 的子集高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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求解整数线性规划问题的函数调用格式该免费工具箱，可以由 MathWorks公司网站下载，也可以由本书光盘得出当前版本的 ipslv_mex()函数不能用于低于 MATLAB 7.*的版本高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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求解下列线性整数规划问题，其中，各个变量全为整数例 6.25
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MATLAB求解命令高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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采用穷举算法，假定 的各个元素均为 20
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得出次最优解混合整数规划问题，要求 为整数，
其他两个变量为任意数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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6.4.2一般非线性整数规划问题与求解分枝定界算法是一种最常用的处理非线性整数规划或混合规划问题的算法免费工具箱由 Mr.Keort Kuipers提供
koertkuipers@yahoo.com
该工具箱也附在由随书光盘上在 MATLAB R2008a 中，薛定宇老师对其进行了简单的修改高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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函数调用格式向量 表示变量 必须是整数，当 表示变量可以是实数
fun变量要是一个被引用的文件名，而不能是 @...的形式如果 err返回空，则求解成功高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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补丁语句调用前调用后，截断多余的数字高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 6.26
假定,使用函数 bnb20()求解线性整数规划问题 (ILP)
编辑目标函数（不要编辑非匿名函数）
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求解出 ILP
errmsg是空，求解成功高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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如果要求 为整数，其他两个变量为任意数，则高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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穷举法小结优点保证得出全局最优值除了最优值，还可以得出次最优值对于小规模问题，求解简便缺点带来很重的计算负担和极大的内存使用不可能求解大型甚至中型问题高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 6.27
求出修改的 Rosenbrock问题其中，
并且 是整数目标函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解语句：
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选择区间给定区间,使用穷举法高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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6.4.3 0-1规划问题求解
0-1线性规划问题
MATLAB求解函数
0-1非线性规划问题，使用函数 bnb20()
将下界定义一个全为 0的向量将上界定义一个全为 1的向量直接使用函数 bnb20()
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例 6.28
求解 0-1线性规划问题
MATLAB求解语句：
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枚举方法高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 6.29
运用函数 bnb20()求解下列问题构造目标函数：
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MATLAB求解语句：
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6.5 线性矩阵不等式问题求解线性矩阵不等式的一般描述
Lyapunov不等式线性矩阵不等式问题分类线性矩阵不等式问题的 MATLAB求解基于 YALMIP工具箱的最优化求解方法高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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6.5.1 线性矩阵不等式的一般描述线性矩阵不等式 (LMI)的数学描述其中,为多项式系数向量，
又称为决策向量,为实对称矩阵或复 Hermit
矩阵高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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如果 LMI矩阵 是负定矩阵，那么解是凸集其中，
多个线性矩阵不等式可以合并成单一的线性矩阵不等式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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6.5.2 Lyapunov不等式
Lyapunov不等式的数学描述其中,是对称矩阵高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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构造 MATLAB函数求取高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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接上页函数调用格式：
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例 6.30
给定试求出其线性矩阵不等式表示。对于矩阵，写出相应的线性矩阵不等式
MATLAB求解语句：
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对于 X 矩阵线性矩阵不等式形式的数学描述高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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对于 的符号矩阵结果：
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给定分块矩阵其中,是方阵，那么，下述三种况等价
Schur补性质高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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数学描述其中，
原非线性不等式可以等价地变换成下述线性矩阵不等式代数 Riccati不等式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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6.5.3 线性矩阵不等式问题分类可行解问题可行解问题实际上就是求下述的解其中要找到最小值如果找到的,则得出的解是原问题的可行解，否则会提示无法找到可行解。
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线性目标函数最优化问题给定这样的问题可以用普通的线性规划方法求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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广义特征值最优化问题广义特征值问题可以视为线性矩阵不等式问题的最一般的问题,
表达式由该式演化可以得到更一般的不等式其中,是矩阵的广义特征值归纳出下面的最优化问题高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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6.5.4 线性矩阵不等式问题的 MATLAB求解用 MATLAB描述线性矩阵不等式创建 LMI模型定义需要求解的变量其中,是未知矩阵类型的标记高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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描述分块形式给出线性矩阵不等式其中通常，该项是 APB
如果,那么 k=-k
如果 flag==‘s’,该项是如果该项是常数，那么 P=0，并且忽略 B
完成 LMI模型描述高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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求解 LMI问题可行解问题线性目标函数问题广义特征值问题高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 6.31
给定对于 Riccati不等式试求出该不等式的一个正定可行解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解语句：
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6.5.5 基于 YALMIP工具箱的最优化求解方法
YALMIP(yet another LMIpackage)由瑞典
Link?ping 大学电子工程专业的 Johan
L?fberg博士开发,
johanl@isy.liu.se
现在,它以成为最优化问题建模和求解的一种简便求解方法接近数学形式本书的随书光盘附带最新的版本高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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决策变量的声明对称矩阵长方形矩阵整数变量二项形式其它形式，例如 Hankel矩阵,hankel()
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约束可以通过 [ ] 来声明最优化问题求解求解可行解问题求解目标函数的最优化问题高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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允许设定选项，如算法选择提取得出的解矩阵高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 6.32
给定使用 YALMIP工具箱求解 Riccati不等式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解命令比使用鲁棒控制工具箱 (RCT)更方便高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 6.33
求解线性规划问题
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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假设决策变量是整数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 6.34
对于线性系统其中高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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采用 LMI方法也可以求解系统的范数，其数学描述为求解线性系统模型的 范数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解命令：
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6.6 多目标优化问题求解多目标优化模型无约束多目标函数的最小二乘求解多目标问题转换为单目标问题求解多目标优化问题的 Pareto解集极小极大问题求解目标规划问题求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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6.6.1 多目标优化模型多目标最优化问题的一般表示为其中，
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例 6.35
三种糖果，单价每公斤 4,2.8和
2.4元，买糖果不超过 20元，总量不得少于 6
公斤,和 不得少于 3公斤，设计方案设 购买量为 公斤，则高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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6.6.2 无约束多目标函数的最小二乘求解设目标函数将其转换成单目标问题
MATLAB函数调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 6.36
求解下面无约束非线性多目标规划问题的最小二乘解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解语句使用函数 fmincon()
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6.6.3 多目标问题转换为单目标问题求解线性加权变换及求解线性规划问题的最佳妥协解线性规划问题的最小二乘解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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6.6.3.1 线性加权变换及求解单目标优化算法不能直接由于求解多目标优化问题，需要将其变换成单目标优化问题线性加权变换的数学描述其中,且高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 6.37
重新考虑例 6.35，求解如下最优化问题高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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不同加权系数下的方案高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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不同加权系数下的最优方案高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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6.6.3.2 线性规划问题的最佳妥协解特殊的线性规划数学描述目标函数不是一个向量，而是一个矩阵每一个目标函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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最佳妥协解的求解步骤如下单独求解每个单目标函数的最优化问题，得出最优解通过规范化构造单独的目标函数最佳妥协解变换成单目标线性规划高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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最佳妥协解（最大值）的求解程序高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 6.38
重新考虑例 6.35，求解如下最优化问题高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解语句：
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例 6.39
求解如下最优化问题高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解语句：
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6.6.3.3 线性规划问题的最小二乘解多目标线性规划问题的最小二乘表示则最小二乘解可以由函数直接得出高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 6.40
给定如下最优化问题，试求其最小二乘解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解语句：
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6.6.4 多目标优化问题的 Pareto解集对于双目标函数的问题，将可行解的离散点在二维平面上显示出来从得出的可行解离散点提取出区域左下角的一条曲线，这个曲线上的点都是原问题的解，称为 Pareto解集高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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Yi Cao 在 Gianluca Dorini 贡献的 Pareto
解集提取程序的基础上，开发了改进的快速提取程序函数调用格式其中,为可行解、离散点构成的列向量,向量为标志向量，指示可行解离散点是否为 Pareto解集中的点高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 6.41
采用上述的离散点分析方法重新研究下述的多目标优化问题高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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对原始问题中花费的钱数取一系列离散点原始问题可以改写成单目标的线性规划问题高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解语句：
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例 6.42
重新考虑例 6.35，试提取其 Pareto解集高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解语句：
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6.6.5 极小极大问题求解极小极大问题的数学描述极小极大问题是在最不利的条件下寻找最有利决策方案的一种方法高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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直接求解极小极大问题的函数调用格式其中，目标函数为向量形式描述，用匿名函数,inline()函数和 M-函数均可以表示新目标函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 6.43
试求解下面的极小极大问题高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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选择随机数为初值高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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有了 fminimax()函数，还可以求解相关的变形问题极小极小问题极小极大问题高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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6.6.6 目标规划问题求解最优化问题求解过程中，发现找不到可行解时，要放松约束条件。如，不等式约束条件 改写成将偏差对 引入目标函数使得严格的不等式约束尽可能小地被突破，
相应的最优化问题称为目标规划问题。
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数学描述形式其中,为原始的多目标向量,为各个目标函数的加权系数,为用户人为引入的目标高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB函数调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 6.44
试用目标规划方法求解下式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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两个目标函数可以接受的目标分别是 20和 6，
将其权重设置 80%和 20%
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6.7 动态规划及其在路径规划中的应用图的矩阵表示方法有向图的路径寻优无向图的路径最优搜索高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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6.7.1 图的矩阵表示方法图是由节点和边构成的。边是连接两个节点的直接路径。如果边是有向的，则图称为有向图，否则称为无向图在计算机中，图用矩阵表示，即关联矩阵
MATLAB语言还支持关联矩阵的稀疏矩阵表示方法高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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构造关联矩阵的稀疏矩阵函数调用格式其中,为起始节点向量,为终止节点向量,为边权值向量，这里各个向量最后的一个值使得关联矩阵为方阵高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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稀疏矩阵可以由 full()函数变换成常规矩阵，而常规矩阵可以由 sparse()函数转换成稀疏矩阵注意：在若第 i和 j节点间不存在边，则可令,当然，也有的算法要求高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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6.7.2 有向图的路径寻优有向图最短路径问题的手工求解有向图搜索及图示
Dijkstra最短路径算法及实现高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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6.7.2.1 有向图最短路径问题的手工求解有向图与最优路径搜索是很多领域都能遇到的常见问题应用动态规划理论，通常需要由终点反推回起点，搜索最优路径高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 6.45
有向图路径如下，数字为从该路径所花费的时间，试求出从节点①到节点⑨的最优路径。
最短路径为：
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6.7.2.2 有向图搜索及图示函数调用格式建立有向图对象求解最短路径问题函数 view()可以显示有向图高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 6.46
试求出从节点①到节点⑨的最优路径。
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建立关联矩阵并显示图高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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求出最短路径高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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6.7.2.3 Dijkstra最短路径算法及实现编辑 MATLAB程序实现 Dijkstra算法高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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接上页高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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函数的调用格式其中,W为关联矩阵,s和 t为起始节点和终止节点,d为最短路径长度,p为最优路径节点的序号向量,0的权值自动设置为高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 6.47
用 Dijkstra算法求解下题高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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6.7.3 无向图的路径最优搜索无向图的关联矩阵的构造方法先按照有向图的方式构造关联矩阵无向图的关联矩阵为如果无向图中，某些边是有向的，则手工修改该矩阵若由节点 i到 j与由节点 j到 i的边权值是不同的，
用手工方法重新定义和修改高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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6.7.4 绝对坐标节点的最优路径规划算法与应用如果各个节点以绝对坐标 的方式给出，且给出节点间的连接关系，则边权值可以由两点间的 Euclid距离计算处理，这样就可以直接进行路径规划问题的求解了高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 6.48
有如下 11个城市，其间的公路如下图，试求出由城市 A到城市 B的最短路径，如果城市 6与 8之间修路，试重新搜索最优路径。
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MATLAB求解语句：
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接上页可以设置,表示节点
6和 8之间的路不通高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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本章内容简介数学方程求解是科学与工程研究中经常遇到的问题，本章先介绍了简单方程的图解法，给出了方程求解的基本概念，并介绍了基于符号运算工具箱中 solve( ) 函数的多项式类方程的准解析求解算法，还介绍了基于最优化工具箱 fsolve( ) 函数求取一般非线性方程的数值解法。
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本章介绍了无约束最优化问题及 MATLAB
解决方案，并引入了全局最优解与局部最优解的概念。
本章还介绍了若干种有约束最优化问题，
介绍了可行解区域的概念，并介绍了最优化问题求解算法的 MATLAB 求解方法，如线性规划问题、二次型规划问题及一般非线性规划问题，用这样的方法可以轻易求解出较复杂的非线性规划问题。
高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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本章中系统介绍了整数规划问题的计算机求解方法，引入了整数线性规划问题求解工具箱、一般非线性整数规划问题求解函数 bnb20()
由 MATLAB 7.0 版本中给出的新函数
bintprog()探讨了 0-1 整数线性规划问题的计算机求解。借助分枝定界法的 bnb20()
函数还可以求解 0-1 非线性规划问题高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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最优化问题目前最好的工具箱是商品软件
TOMLAB，其功能很强大，然而限于篇幅，
并未详细介绍该工具。另外，基于遗传算法的最优化方法是当前被认为有可能获得全局最优解的有前途的最优化方法，基于遗传算法的最优化方法及其 MATLAB 实现问题在第 10.3 节还有详细介绍
