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第 10章数学问题的非传统解法高等应用数学问题的 MATLAB求解清华大学出版社 2008
CAI课件开发：薛定宇、刘莹莹、董雯彬高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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第 10章 数学问题的非传统解法集合论、模糊集与模糊推理粗糙集理论与应用人工神经网络及其在数据拟合中的应用进化算法及其在最优化问题中的应用小波变换及其在数据处理中的应用分数阶微积分学问题求解及应用高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.1 集合论、模糊集与模糊推理经典可枚举集合论问题及 MATLAB求解模糊集合与隶属度函数模糊推理系统及其 MATLAB求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.1.1 经典可枚举集合论问题及 MATLAB求解集合论是现代数学的基础集合：一些事物的全体，而其中每一个事物均称为集合中的一个元素。
可枚举集合：该集合中的所有元素均可以一一列出的集合在 MATLAB中，可枚举集合用向量或单元数组的形式就可以表示这样的集合高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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集合表示举例数字构成的集合，可以有重复元素上述集合的单元数组表示方法，二者等价字符串集合，可以为人名等高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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MATLAB下集合运算的函数常用的集合运算函数适用于几何变量高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.1
给定
，对这些集合进行各种运算，并验证：
进行各种集合运算：
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验证交换律：
使用 ismember()函数求集合的交高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.2
给定试求集合 与 的并集与交集，并验证结合律高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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进行集合运算：
验证结合律：
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求解 的函数调用格式求解 的函数调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.3
给定
,,
验证是否,并证明集合 的自反律亦即判定集合的包含关系：
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证明集合的自反律：
A不是 A的真子集
A是 A的子集高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.4
考虑哥德巴赫猜想的证明，即，任何大于 2
的偶数均能分解两个质数的和该猜想是 Euler时代以来，尚未严格证明的最古老的数论问题计算机现在证明从 4到 1019，猜想都是正确的
http://mathworld.wolfram.com/GoldbachConjecture.html
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计算机“验证”而非“证明”
用集合运算的方法验证小于 2000的偶数均满足该猜想由某范围内的两质数所有的可能的和构造出一个集合，然后判定是否有限偶数均属于该集合高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.1.2 模糊集合与隶属度函数经典集合,一个事物 a,要么就属于集合 A，
要么就不属于集合 A
美国控制论专家 Lotfi A Zadeh 教授,1965
Zadeh 教授指出，当问题的复杂性增加时，
精确的描述将失去意义，而有意义的描述将失去精度。
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例 10.5
年老与年轻的模糊表示及隶属度函数，假设论域,则高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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和绘制出隶属度函数：
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钟形隶属度函数数学描述：
函数调用格式：
其中,是独立变量的值,包含隶属度函数的值高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.6
绘制出不同参数 a,b,c组合下的钟形隶属度函数曲线
MATLAB求解语句：
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Gauss隶属度函数数学描述：
函数调用格式：
其中,是独立变量的值,包含隶属度函数的值高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.7
绘制不同参数 c,s组合 下 Gauss隶属度函数
MATLAB求解语句：
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Sigmoid型隶属度函数数学描述：
函数调用格式：
其中,是独立变量的值,包含隶属度函数的值高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.8
绘制不同参数 a,c组合 下 Gauss隶属度函数
MATLAB求解语句：
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隶属度函数的图形编辑界面使用 GUI编辑隶属度函数打开编辑界面的函数调用格式修改隶属度函数的参数添加隶属度函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.1.3 模糊推理系统及其 MATLAB求解模糊化模糊规则解模糊化高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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模糊逻辑工具箱中提供的函数可以构建出模糊推理系统的数据结构,函数的调用格式其中,name为字符串，表示模糊推理系统的名称，通过该函数可以建立起结构体 fis，其内容包括模糊的与、或运算，解模糊算法等高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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添加系统的输入和输出变量的调用格式定义一个输入变量 iname
定义一个输出变量 oname
其中,及 为输入或输出变量的取值范围每个变量的隶属函数可以用 addmf()函数定义，也可以用 mfedit()定义高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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某模糊推理系统有两个输入变量,
并有一个输出变量,又有,
分为 3个区间，隶属函数选择为钟形函数，
和,分为 3个区间，隶属函数选择为 Gauss型函数；,隶属函数为 Sigmoid型函数，则可以用下面的语句构造模糊推理系统例 10.9
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MATLAB求解语句：
在对话框中定义隶属函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.1.3.1 模糊化若将某信号用三个隶属函数表示，则一般对应的物理意义是“很小”、“中等”与
“较大”，若分为 5段，则可以表示为“很小”、“较小”、“中等”、“较大”和
“很大”，一个精确的信号可以通过这样一组隶属函数模糊化，变成模糊信号高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.1.3.2 模糊规则模糊推理关系可以表示成规则矩阵不加到模糊推理系统 fis
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10.1.3.3 解模糊化通过模糊推理可以得出模糊输出量 op,此模糊量可以通过指定的算法精确化，亦称解模糊化模糊逻辑工具箱提供了多种解模糊化的算法高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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求解模糊推理问题的函数调用格式其中,为矩阵，其各列为各个输入信号的精确值，变量 是输出信号的精确值高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.10
某模糊推理系统有两个输入变量,
并有一个输出变量 。又有,
分为 3个区间，隶属函数选择为钟形函数，
和,分为 3个区间，隶属函数选择为 Gauss型函数；,隶属函数为 Sigmoid型函数，用此模糊推理系统绘制出输出的三维曲面高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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MATLAB求解语句：
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10.2 粗糙集理论与应用粗糙集理论简介粗糙集的基本概念信息决策系统粗糙集数据处理问题的 MATLAB求解粗糙集约简的 MATLAB程序界面高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.2.1 粗糙集理论简介粗糙集 (rough set) 是波兰数学家 Z Pawlak 为开发自动规则生成系统及研究软计算问题于
1982 年提出的粗糙集理论是一种处理不精确、不确定与不完全数据的新的数学方法能有效地分析和处理不精确、不一致、不完整等各种不完备信息，并从中发现隐含的知识，揭示潜在的规律高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.2.2 粗糙集的基本概念下近似集,根据现有知识判断肯定属于 X的对象组成的最大的集合，称为正区，记为上近似集,那些可能属于 X的对象组成的最小集合高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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边界集 c：
如果 BND(X)是空集，则称 X关于 R是清晰的若 BND(X)非空，则称 X为关于 R的粗糙集高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.11
玩具积木集合具有“颜色,、“形状,、“体积,
这 3种属性
，分别对应红色、黄色和绿色；,分别对应方、圆、三角形；,分别对应于“大”和“小”
的物体高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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因此有红色的积木绿色的积木蓝色的积木用粗集理论符号表示为：
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10.2.3 信息决策系统信息决策系统可以表示为是对象的集合，即论域是属性集合，
条件属性集决策属性集其中,并且高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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粗糙集理论中使用决策表来描述论域中对象高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.12
积木集合的 4个相关属性,（ 颜色,形状,大小,价位）
黄色,红色,绿色；
方形,圆形,三角形；
大，其余小；
价低,价中,价高销售情况,好,一般,较差高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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信息决策系统表高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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函数调用格式求出下近似集求出上近似集利用 MATLAB的差集函数可以求出边界集高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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编辑函数 rslower()
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编辑函数 rsupper()
函数 ind()用于求取不可分辨关系高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.13
论域关系为 且若,试求出集合 X的上近似集和下近似集高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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旋转的信息系统决策表
MATLAB求解语句：
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不可分辨关系的定义：
构造 MATLAB函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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接上页高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.2.4 粗糙集数据处理问题的 MATLAB求解利用粗糙集理论的约简粗糙集理论在信息约简中的应用举例高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.2.4.1 利用粗糙集理论的约简条件约简,不含多余属性并保证分类正确的最小条件属性集找出从 属性中选定条件推出 的最小集合核集：所有不可约去的关系求取从 属性中选定条件推出 的核集高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.14
试用粗糙集的方法对进行约简，找出不必要的数码管高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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数码管显示真值表高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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MATLAB求解语句：
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例 10.15
SARS是 2003年给全球带来恐慌的疾病，其准确诊断是很困难的。这里给出从报刊提取出的一些数据，如下表所示，试利用粗糙集理论对给出的 12个条件进行约简，找出辅助诊断的最主要的条件高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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SARS患者和正常人若干检测指标表高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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MATLAB求解语句：
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接上页最后得出的条件为,表示第 3和 4列是诊断 SARS的重要因素，亦即“血液检测呈阳性”和“高烧,
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10.2.5 粗糙集约简的 MATLAB程序界面启动粗糙集约简界面的函数调用格式用户可以由其中的 Browse按钮读入信息系统决策表，给出 C属性和 D属性所需的列号，
则可以进一步进行分析高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.3 人工神经网络及其在数据拟合中的应用神经网络基础知识径向基网络结构与应用神经网络界面高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.3.1 神经网络基础知识前馈神经网络结构与应用神经网络的训练与泛化高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.3.1.1 前馈神经网络结构与应用单个人工神经元的数学表示形式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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常用的传输函数
Sigmoid函数对数 Sigmoid函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.16
试绘制出各种常用的传输函数曲线。
MATLAB求解语句：
结果：
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BP 神经网络结构示意图高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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构造 BP网络的函数调用格式：
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神经网络对象的常用属性高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.17
假设输入信号为 2路，其信号范围分别为
[0,1]和 (-1,5)，且输出信号为单路信号，试利用 newff()函数建立所需的前馈神经网络对象
MATLAB求解语句：
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建立另一个前馈神经网络对象设定其他参数或高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.3.1.2 神经网络的训练与泛化神经网络训练函数调用格式其中，变量 为 矩阵,为输入变量的路数,为样本的组数,为矩阵,为输出变量的路数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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绘制出目标值曲线的调用格式：
神经网络的仿真或泛化的函数调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.18
用下面语句生成一组数据，试用神经网络对其进行拟合选择 2个隐层，隐层节点选择为 5：
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接上页显示出神经网络的权值高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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选择不同的训练算法高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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使用不同的 传输函数 组合：
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增加隐层节点个数到 15
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例 10.19
对下列二元函数进行曲面拟合
MATLAB求解语句：
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设定第 2层选择 20个节点高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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给定更密集的样本点：
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10.3.2 径向基网络结构与应用径向基函数 (RBF)的数学描述其中,为聚类中心点，而 为调节聚类效果的参数神经网络工具箱中,radbas()函数可以计算出标准径向基函数 的曲线参数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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若隐层的传输函数 为径向基函数，输出层的传输函数 为线性函数，则此结构的网络称为径向基网络高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.20
试绘制不同参数 (c,b)下的径向基函数曲线取中心点 c=-2,0,2，并假设 b=1
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选择中心点 c=0，并假设 b=[0.1,1,5]
径向基网络的训练方式不是采用反向误差传播实现的，故不是 BP网络用函数 newrbe()和 sim()可以实现神经网络的建立、训练和泛化全过程高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.21
用下面语句生成一组数据，试用径向基神经网络对其进行拟合高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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MATLAB求解语句：
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例 10.22
试用径向基神经网络拟合下列二维曲面
MATLAB求解语句：
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接上页这样得出的拟合效果远远优于 BP网络，略差于二维样条插值效果。径向基函数网络自动选择的隐层节点个数为 121
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10.3.3 神经网络界面启动神经网络工具箱的图形用户界面的函数调用格式该界面可以建立所需的神经网络模型，并可以由已知数据对该网络进行训练、仿真高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.23
用神经网络工具箱的界面对例 10.21中的数据进行拟合
MATLAB求解语句：
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单击按钮 Import来导入数据单击主界面中的 New Network按钮来选择神经网络的结构单击按钮 Train来训练神经网络单击按钮 Export将训练得出的网络模型输出 到 MATLAB环境中绘制出曲线拟合与泛化结果高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.4 进化算法及其在最优化问题中的应用遗传算法的基本概念介绍及 MATLAB实现遗传算法在求解最优化问题中的应用举例遗传算法在有约束最优化问题中的应用粒子群优化算法与求解求取精确的全局最优解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.4.1 遗传算法的基本概念介绍及 MATLAB实现遗传算法是基于进化论，在计算机上模拟生命进化机制而发展起来的一门新学科，它根据适者生存、优胜劣汰等自然进化规则搜索和计算问题的解美国 Michigen 大学的 John Holland 于 1975
年提出的
GAOT：最早的遗传算法最优化工具箱
MATLAB 7.0的遗传算法与直接搜索工具箱高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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遗传算法的基本思想从一个代表最优化问题解的一组初值开始进行搜索，这组解称为一个种群，这里种群由一定数量的、通过基因编码的个体组成，其中每一个个体称为染色体，不同个体通过染色体的复制、交叉或变异又生成新的个体，依照适者生存的规则，个体也在一代一代进化，通过若干代的进化最终得出条件最优的个体。
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1,选择 n个个体构成初始种群,求出各个个体的函数值,可以随机生成
2,设置代数为,即设置其为第一代。
3,计算选择函数的值，所谓选择即通过概率的形式从种群中选择若干个个体的方式
4,通过染色体个体基因的复制、交叉、变异等创造新的个体，构成新的种群
5.,若终止条件不满足，则继续进化简单遗传算法的一般步骤高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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不同于从一个点开始搜索最优解的传统的最优化算法，遗传算法从一个种群开始对问题的最优解进行并行搜索，所以更利于全局最优化解的搜索。
遗传算法并不依赖于导数信息或其他辅助信息来进行最优解搜索。
遗传算法采用的是概率型规则而不是确定性规则，所以每次得出的结果不一定完全相同，
有时甚至会有较大的差异。
遗传算法和传统优化算法比较高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.4.2 遗传算法在求解最优化问题中的应用举例
GAOT工具箱中的函数调用格式
MATLAB 7.0
打开遗传算法程序界面,gatool()
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例 10.24
给定试求出 取最大值时 的值绘制目标函数曲线：
试测不同初值：
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不同初值下搜索到的“最优解”及目标函数值高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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编写目标函数：
调用 gaopt()函数：
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与用最优化工具箱得出的结果进行比较：
更大的求解空间，假设改变遗传算法的求解区间高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.25
给定试求其的最小值描述最优化问题的目标函数：
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假设 为 自变量的求解范围高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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gaopt()函数稍复杂一点的调用格式其中,为附加参数,为精度及显示控制向量,为初始种群,fun1为终止函数的名称，默认值为’ maxGenTerm’,n为最大的允许代数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.26
给定试设置更多的允许代数，观察寻优的结果，
并和最优化搜索算法得出结果在时间、精度上的差异进行比较高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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MATLAB求解语句：
利用 ga()函数，编写目标函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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指定一些搜索参数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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用传统的无约束最优化方法求解得出更高的求解精度，求解时间大大减少高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.4.3 遗传算法在有约束最优化问题中的应用
GAOT工具箱不能直接用于有约束最优化问题的求解对于有约束最优化问题，应该将其转变为无约束最优化问题不等式约束则可以通过惩罚函数方法转换到目标函数中等式约束，则可以通过等式求解的方式将其中若干个自变量用其他自变量表示高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.27
试用遗传算法求解线性规划问题对于等式，用 和 表示高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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描述目标函数：
运用遗传算法求解问题：
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用线性规划方法求解：
linprog()得出的结果更精确建议求解方法：用 GA 找出全局最优解的大致位置以其为初值调用最优化函数求精确解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.4.4 粒子群优化算法与求解粒子群优化算法是一种进化算法，该算法是受生物界鸟群觅食的启发而提出的搜索食物假设某个区域内有一个全局最优点，和位于随机初始位置的粒子，每一个粒子有到目前为止自己的个体最优值,整个粒子群有到目前为止群体的最优值高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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粒子按下式更新自己的速度和位置其中,为 [0,1]区间内均匀分布的随机数,为惯量函数,为加速常数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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求解粒子群优化的函数调用格式其中,fun为目标函数（不支持匿名函数），
n是 向量的维数，这两个量是必须提供的该函数在随书的 CD中提供支持向量化运算，目标函数的描述有所不同高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.28
给定用粒子群算法求其最小值编辑向量化的目标函数：
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求解该最优化问题：
最优解的近似值为：
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例 10.29
试用粒子群优化算法，求解下列线性规划问题高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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编写向量化的模式的目标函数得出精确的最优解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.4.5 求取精确的全局最优解传统的最优化方法可能得出精确的最优解，
然而，经常可能得到的是局部最优解而不是全局最优解，而进化方法通常能得出全局最优解，但解的精度可能很低在实际最优化问题求解中可以考虑将二者的优势结合起来，得到精确的全局最优解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.30
试求出下面最优化问题的精确全局最优解绘制目标函数的三维曲面高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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用传统非线性规划问题求解方法：
编辑目标函数：
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用遗传算法求解问题：
将遗传算法得出的求解最优解作为搜索起点，采用传统最优化方法高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.5 小波变换及其在数据处理中的应用小波变换及基小波波形小波变换技术在信号处理中的应用小波问题的程序界面高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.5.1 小波变换及基小波波形连续小波变换离散小波变换小波工具箱中提供的基小波函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.5.1.1 连续小波变换连续小波变换的变换公式为其中，
且 称为基小波,为基小波通过平移、比例缩放构成的小波信号高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.31
假设,墨西哥帽,基小波函数由 下式给出试绘制出不同 a,b值变换下的小波函数。
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MATLAB求解语句：
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小波反变换的数学描述为：
其中，
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计算连续小波变换的系数的函数调用格式计算小波系数矩阵直接绘制小波系数绝对值图其中,fun为基小波名称高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.32
试对信号 进行连续小波分解，并绘制出其系数图绘制出时域信号曲线：
选择 ’ mexh’基小波作为模板高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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绘制出小波系数的三维表面图：
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10.5.1.2 离散小波变换离散信号的小波变换的数学描述：
求解离散小波变换的函数调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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离散小波反演公式的数学描述函数调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.33
给定信号,信号叠加均值为 0，
标准差为 0.1的 Gaussian白噪声信号，试对其进行离散小波分解，对结果离散小波反变换
MATLAB求解语句：
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检验反变换对信号的还原精度,
结果：得出的信号基本上还原了原始信号，
误差达高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.5.1.3 小波工具箱中提供的基小波函数生成和测试显示基小波类型的函数调用格式计算基小波函数的函数调用格式
Gauss、墨西哥帽等基小波函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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Daubechies族,Symlets族等正交基小波函数
Bior族等基小波函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.34
绘制出不同阶次下的 Daubechies 6基小波波形
MATLAB求解语句：
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例 10.35
试绘制出常用基小波波形
MATLAB求解语句：
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10.5.2 小波变换技术在信号处理中的应用小波分解的过程高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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一维信号的小波分解的函数调用格式分解结果及存储方式：
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提取系数的函数调用格式提取近似系数提取第 i段细节系数信号重建的函数调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.36
给定信号,信号叠加均值为 0，
标准差为 0.1的 Gaussian白噪声信号，对 数据进行 3次小波分解,各种基小波函数对其进行降噪处理，比较降噪效果绘制原信号波形曲线：
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对给定的数据进行 3次小波分解：
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采用 基小波采用基小波 和高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.37
如下数字滤波问题试用小波对其进行滤波，并比较滤波效果高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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MATLAB求解语句：
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10.5.3 小波问题的程序界面启动 小波变换问题的图形用户界面他可以用于求解一维、二维小波变换问题高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.6 分数阶微积分学问题求解及应用分数阶微积分的定义与性质分数阶微积分的计算方法对象编程实例 —— 分数阶传递函数模型分数阶微分方程的求解方法分数阶系统的模型降阶研究高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.6.1 分数阶微积分的定义与性质分数阶微积分的定义分数阶微积分的一般性质分数阶微积分的积分变换高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.6.1.1 分数阶微积分的定义分数阶 Cauchy积分公式
Grünwald-Letnikov分数阶微积分定义
Riemann-Liouville分数阶微积分公式
Caputo分数阶微分定义高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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分数阶 Cauchy积分公式数学描述：
其中,C为包围 单值与解析开区域的光滑曲线高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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Grünwald-Letnikov
分数阶微积分定义数学描述：
其中,为二项式系数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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Riemann-Liouville
分数阶微积分公式积分的数学描述：
其中,0<a<1，且 a为初值分数阶微分定义的数学描述：
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Caputo分数阶微分定义微分的数学描述：
其中,a=m+g,m为整数,0<g?1
当 g<0时,Caputo分数阶积分的数学描述高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.6.1.2 分数阶微积分的一般性质解析函数 的分数阶导数 对 t和 a
都是解析的
a=n为整数时，分数阶微分与整数阶微分的值完全一致，且高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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分数阶微积分算子为线性的，即对任意常数 a,b，有分数阶微积分算子满足交换律，并满足叠加关系高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.6.1.3 分数阶微积分的积分变换函数的分数阶积分表达式的 Laplace变换函数分数阶微分的 Laplace变换高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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在 0初始条件下：
分数阶微积分的 Fourier变换统一写成其中,a既可以为正数，表示分数阶微分，
也可以为负值，表示积分高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.6.2 分数阶微积分的计算方法利用 Fourier级数计算周期函数的分数阶微积分用 Grünwald-Letnikov定义求解分数阶微分
Oustaloup滤波算法改进的 Oustaloup滤波器方法离散滤波器近似方法高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.6.2.1 利用 Fourier级数计算周期函数的分数阶微积分周期为 2L的函数，的 Fourier展开高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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对于正弦、余弦函数其中,k为任意实数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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用整数阶 Fourier级数展开去逼近已知函数若 g为大于 1的分数，则可以将其分解成 m+g*，
其中,m为正整数,0<g*<1
若 g为负数，则立即计算出 | g |阶积分的值。
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构造 MATLAB函数，求取分数阶微积分高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.38
给定函数 试用 Fourier级数展开的方法绘制出该函数的一些分数阶微分与积分函数曲线
Fourier级数拟合高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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各个阶次下的微积分函数曲线高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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绘制出分数阶微积分曲面高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.6.2.2 用 Grünwald-Letnikov
定义求解分数阶微分数学描述：
其中，
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构造一个 MATLAB函数函数调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.39
考虑一个初值非零的函数试求出其分数阶导数。
MATLAB求解语句：
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对不同的 g选值，可以调用下面的语句绘制出分数阶导函数的三维图高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.40
试用不同定义求取函数为的 0.75阶微分，并比较得出的结果。
MATLAB求解语句：
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10.6.2.3 Oustaloup滤波算法连续滤波器的传递函数模型为,Oustaloup
算法高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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构造 MATLAB函数，设计连续滤波器函数调用格式其中,g为分数阶的阶次,2N+1为滤波器的阶次高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.41
假设,试设计出连续滤波器，对 信号计算 0.5阶微分
MATLAB求解语句：
绘制分数阶微分曲线：
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更大的频率范围内拟合分数阶微分函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.6.2.4 改进的
Oustaloup滤波器方法数学描述：
其中，
通常可以选择加权参数 b=10,d=9
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编写出下面的 MATLAB函数函数调用格式：
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例 10.42
给定,试观察新的滤波逼近和分数阶导数求取效果，其中，仍选择
MATLAB求解语句：
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10.6.2.5 离散滤波器近似方法对离散系统来说，需要用 FIR滤波器或 IIR滤波器的形式对其近似分数阶微积分器的 FIR滤波器设计函数的核心部分高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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接上页：
其中,n为期望的滤波器阶次,T为滤波器的采样周期,r为所需的导数阶次，用该函数可以直接设计出滤波器 H
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例 10.43
试用离散 FIR滤波器对例 10.41中给出的信号求取分数阶微分
MATLAB求解语句：
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IIR滤波器其中，
T为离散化的采样周期高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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基于连分式的滤波器设计方法和程序高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.44
试用不同的 n,a组合构造出 s0.5阶滤波器，并比较其频域响应效果
MATLAB求解语句：
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绘制出各个滤波器的滤波效果高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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Padé近似方法进行 滤波器设计高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.45
仍考虑例 10.43中给出的函数，试提高滤波器的阶次，观察近似效果
MATLAB求解语句：
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绘制出滤波效果高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.6.3 对象编程实例 —— 分数阶传递函数模型
FOTF对象定义
FOTF对象的重载和互联高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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常系数线性分数阶微分方程的一般形式为在零初始条件下，分数阶传递函数对象为高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.6.3.1 FOTF对象定义
FOTF类用于描述分数阶传递函数，其作用类似于 MATLAB控制系统工具箱中的,tf”
建立类的最基本步骤是建立一个 @FOTF目录在目录中编写两个函数 fotf()和
display()，前者描述该类的内容，后者描述该类的显示方法还可以选择性地建立其他函数用于函数重载
plus(),minus(),mtimes(),feedback()
unique(),bode() 等高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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建立起 fotf.m文件高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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接上页：
函数调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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定义 对象显示函数,也置于目录 @fotf下高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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接上页，该函数为子函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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接上页：
有了这两个函数，就可以在 MATLAB工作空间中直接建立起一个分数阶传递函数类高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.46
给定试将分数阶传递函数输入到
MATLAB求解语句：
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重载常规的整数阶传递函数模型对象 tf,该函数应该置于 @tf目录下高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.6.3.2 FOTF对象的重载和互联分数阶系统模型的串联、并联和反馈连接可以通过乘法、加法和 feedback()函数的重载而实现这些函数可以在 @fotf目录下编写高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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实现分数阶模块的并联,加法函数 plus()
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实现模块的串联：乘法函数 mtimes()
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实现模块的反馈连接：反馈函数 feedback()
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化简函数 unique()
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计算 -G：自减函数 uminus()
计算,减法函数 minus()
计算 1/G：逆函数 inv()
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例 10.47
给定试求出以上构成单位负反馈系统闭环系统的传递函数模型高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.6.4 分数阶微分方程的求解方法分数阶线性微分方程的解法一类分数阶线性系统时域响应解析解方法非线性分数阶微分方程近似解法连续分数阶传递函数的频域分析高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.6.4.1 分数阶线性微分方程的解法分数阶线性常微分方程其中，
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分数阶传递函数可以写成高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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考虑分数阶的 Grünwald-Letnikov定义其中，
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微分方程数值解为分数阶微分方程的一般形式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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构造 MATLAB函数重载函数 lsim()
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接上页函数调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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重载 step()函数，绘制分数阶系统的阶跃响应曲线函数调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.48
用数值方法求解分数阶线性微分方程
MATLAB求解语句：
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10.6.4.2 一类分数阶线性系统时域响应解析解方法
Mittag-Leffler函数的数学描述并且高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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其它特例：
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由 n项构成的分数阶微分方程的解可以表示为高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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其中对于 成立求解 的 MATLAB调用格式其中,为可以接受的误差限,为自变量向量高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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构造 Mittag-Lettler函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.49
分别绘制出 和 曲线
MATLAB求解语句：
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只考虑一个特殊模型其阶跃响应为其中，
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构造函数求取阶跃响应数值解函数调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.50
给定试用 Mittag-Leffler函数的形式求解该系统的阶跃响应曲线，并比较前面得出的结果
MATLAB求解语句：
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10.6.4.3 非线性分数阶微分方程近似解法利用改进的 Oustaloup 滤波器近似，然后搭建 Simulink 模块
c10mfode.mdl
考虑到该滤波器分子和分母阶次一致，可能导致在仿真过程中出现代数环，所以应该在其后面再接一个低通滤波器高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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在模块封装初始化栏目应该填写下面的语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.51
重新求解分数阶线性微分方程并将结果与其他方法得出的结果进行比较引入辅助变量,
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原来的微分方程可以直接变换成下面的形式搭建 Simulink模型,c10mfode1.mdl
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微分方程求解的 Simulink框图高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.52
试用近似方法求解下面的分数阶非线性微分方程高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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根据方程本身，可以容易地写出 函数的显式表达式为搭建 Simulink模型,c10mfode2.mdl
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方程求解的 Simulink框图高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.6.4.4 连续分数阶传递函数的频域分析分数阶传递函数 \中，用 直接取代传递函数中的 s，则可以简单地得出分数阶系统的频域响应数据在 @fotf目录下的重载函数 bode.m、
nyquist.m,nichols.m文件绘制出系统的
Bode图,Nyquist图和 Nichols图。
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重载函数 bode()
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函数 bode()的调用格式重载函数 nyquist()
重载函数 nichols()
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例 10.53
试比较 Oustaloup滤波器及其改进滤波器对 x
下列模型的逼近效果
MATLAB求解语句：
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10.6.5 分数阶系统的模型降阶研究改进 Oustaloup滤波器近似分数阶微分算子的形式去逼近线性模型的方法会导致非常高阶的整数阶模型用低阶整数阶模型去逼近原模型是有必要的高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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假设降阶模型可以表示为引入一个目标函数来最小化误差信号的 范数其中，
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将时间延迟项可以用 Padé近似，得出则目标函数改进为构造 MATLAB函数求分数阶模型的最优降阶模型高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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接上页：
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直接描述目标函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.54
试选择合适的阶次，求出下列模型的降阶模型选择拟合阶次 N=4，频段为高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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接上页用降阶模型拟合高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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本章主要内容本章介绍了经典集合论问题的 MATLAB 语言求解方法，然后引入模糊集合的概念，
并介绍基于 MATLAB 语言的模糊集合与模糊推理的实现方法引入人工神经网络的数学表示及反馈时神经网络结构，介绍由 MATLAB语言进行神经网络结构设置、训练及网络泛化的全过程，利用 MATLAB神经网络工具箱直接求解数拟合问题的方法高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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介绍了遗传算法的基本概念及 MATLAB 求解，并介绍了遗传算法最优化工具箱中的关键函数 gaopt()及其使用方法，通过例子演示了该函数的各种调用方法和参数设置等，注意，和传统最优化工具箱函数不同，遗传算法最优化工具箱中应该将目标函数定义成最大值。本章还介绍了随着
MATLAB 7.0 版本推出的遗传算法与直接搜索工具箱及其应用。
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小波分析与变换是目前信号处理及图像处理领域很常用的方法，该方法利用比传统
Fourier 变换更具优势的小波信号对原始信号进行近似与分解。本章介绍了连续、离散小波变换的概念及 MATLAB 求解，介绍了各种基小波波形，还介绍了小波分解与小波重建问题，演示了小波分析技术在信号处理与降噪中的应用高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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粗糙集理论是近 20 年内才首次提出的理论，
本章首先简要介绍了粗糙集理论及要点，
引入信息系统决策表的概念与建立，侧重介绍粗糙集理论问题的 MATLAB 求解并举例介绍了该理论在条件约简中的应用，本章还介绍了基于粗糙集理论的图形用户界面程序高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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本章引入了分数阶微积分的各种定义及求解方法，给出了这些方法的 MATLAB 实现，
并给出了未知信号的滤波器设计算法，还分别提出了分数阶线性及非线性微分方程的数值求解方法，为使用分数阶微积分理论解决实际问题打下了一定的基础
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第 10章数学问题的非传统解法高等应用数学问题的 MATLAB求解清华大学出版社 2008
CAI课件开发：薛定宇、刘莹莹、董雯彬高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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第 10章 数学问题的非传统解法集合论、模糊集与模糊推理粗糙集理论与应用人工神经网络及其在数据拟合中的应用进化算法及其在最优化问题中的应用小波变换及其在数据处理中的应用分数阶微积分学问题求解及应用高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.1 集合论、模糊集与模糊推理经典可枚举集合论问题及 MATLAB求解模糊集合与隶属度函数模糊推理系统及其 MATLAB求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.1.1 经典可枚举集合论问题及 MATLAB求解集合论是现代数学的基础集合：一些事物的全体，而其中每一个事物均称为集合中的一个元素。
可枚举集合：该集合中的所有元素均可以一一列出的集合在 MATLAB中，可枚举集合用向量或单元数组的形式就可以表示这样的集合高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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集合表示举例数字构成的集合，可以有重复元素上述集合的单元数组表示方法，二者等价字符串集合，可以为人名等高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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MATLAB下集合运算的函数常用的集合运算函数适用于几何变量高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.1
给定
，对这些集合进行各种运算，并验证：
进行各种集合运算：
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验证交换律：
使用 ismember()函数求集合的交高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.2
给定试求集合 与 的并集与交集，并验证结合律高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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进行集合运算：
验证结合律：
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求解 的函数调用格式求解 的函数调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.3
给定
,,
验证是否,并证明集合 的自反律亦即判定集合的包含关系：
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证明集合的自反律：
A不是 A的真子集
A是 A的子集高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.4
考虑哥德巴赫猜想的证明，即，任何大于 2
的偶数均能分解两个质数的和该猜想是 Euler时代以来，尚未严格证明的最古老的数论问题计算机现在证明从 4到 1019，猜想都是正确的
http://mathworld.wolfram.com/GoldbachConjecture.html
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计算机“验证”而非“证明”
用集合运算的方法验证小于 2000的偶数均满足该猜想由某范围内的两质数所有的可能的和构造出一个集合，然后判定是否有限偶数均属于该集合高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.1.2 模糊集合与隶属度函数经典集合,一个事物 a,要么就属于集合 A，
要么就不属于集合 A
美国控制论专家 Lotfi A Zadeh 教授,1965
Zadeh 教授指出，当问题的复杂性增加时，
精确的描述将失去意义，而有意义的描述将失去精度。
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例 10.5
年老与年轻的模糊表示及隶属度函数，假设论域,则高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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和绘制出隶属度函数：
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钟形隶属度函数数学描述：
函数调用格式：
其中,是独立变量的值,包含隶属度函数的值高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.6
绘制出不同参数 a,b,c组合下的钟形隶属度函数曲线
MATLAB求解语句：
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Gauss隶属度函数数学描述：
函数调用格式：
其中,是独立变量的值,包含隶属度函数的值高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.7
绘制不同参数 c,s组合 下 Gauss隶属度函数
MATLAB求解语句：
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Sigmoid型隶属度函数数学描述：
函数调用格式：
其中,是独立变量的值,包含隶属度函数的值高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.8
绘制不同参数 a,c组合 下 Gauss隶属度函数
MATLAB求解语句：
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隶属度函数的图形编辑界面使用 GUI编辑隶属度函数打开编辑界面的函数调用格式修改隶属度函数的参数添加隶属度函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.1.3 模糊推理系统及其 MATLAB求解模糊化模糊规则解模糊化高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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模糊逻辑工具箱中提供的函数可以构建出模糊推理系统的数据结构,函数的调用格式其中,name为字符串，表示模糊推理系统的名称，通过该函数可以建立起结构体 fis，其内容包括模糊的与、或运算，解模糊算法等高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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添加系统的输入和输出变量的调用格式定义一个输入变量 iname
定义一个输出变量 oname
其中,及 为输入或输出变量的取值范围每个变量的隶属函数可以用 addmf()函数定义，也可以用 mfedit()定义高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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某模糊推理系统有两个输入变量,
并有一个输出变量,又有,
分为 3个区间，隶属函数选择为钟形函数，
和,分为 3个区间，隶属函数选择为 Gauss型函数；,隶属函数为 Sigmoid型函数，则可以用下面的语句构造模糊推理系统例 10.9
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MATLAB求解语句：
在对话框中定义隶属函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.1.3.1 模糊化若将某信号用三个隶属函数表示，则一般对应的物理意义是“很小”、“中等”与
“较大”，若分为 5段，则可以表示为“很小”、“较小”、“中等”、“较大”和
“很大”，一个精确的信号可以通过这样一组隶属函数模糊化，变成模糊信号高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.1.3.2 模糊规则模糊推理关系可以表示成规则矩阵不加到模糊推理系统 fis
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10.1.3.3 解模糊化通过模糊推理可以得出模糊输出量 op,此模糊量可以通过指定的算法精确化，亦称解模糊化模糊逻辑工具箱提供了多种解模糊化的算法高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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求解模糊推理问题的函数调用格式其中,为矩阵，其各列为各个输入信号的精确值，变量 是输出信号的精确值高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.10
某模糊推理系统有两个输入变量,
并有一个输出变量 。又有,
分为 3个区间，隶属函数选择为钟形函数，
和,分为 3个区间，隶属函数选择为 Gauss型函数；,隶属函数为 Sigmoid型函数，用此模糊推理系统绘制出输出的三维曲面高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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MATLAB求解语句：
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10.2 粗糙集理论与应用粗糙集理论简介粗糙集的基本概念信息决策系统粗糙集数据处理问题的 MATLAB求解粗糙集约简的 MATLAB程序界面高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.2.1 粗糙集理论简介粗糙集 (rough set) 是波兰数学家 Z Pawlak 为开发自动规则生成系统及研究软计算问题于
1982 年提出的粗糙集理论是一种处理不精确、不确定与不完全数据的新的数学方法能有效地分析和处理不精确、不一致、不完整等各种不完备信息，并从中发现隐含的知识，揭示潜在的规律高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.2.2 粗糙集的基本概念下近似集,根据现有知识判断肯定属于 X的对象组成的最大的集合，称为正区，记为上近似集,那些可能属于 X的对象组成的最小集合高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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边界集 c：
如果 BND(X)是空集，则称 X关于 R是清晰的若 BND(X)非空，则称 X为关于 R的粗糙集高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.11
玩具积木集合具有“颜色,、“形状,、“体积,
这 3种属性
，分别对应红色、黄色和绿色；,分别对应方、圆、三角形；,分别对应于“大”和“小”
的物体高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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因此有红色的积木绿色的积木蓝色的积木用粗集理论符号表示为：
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10.2.3 信息决策系统信息决策系统可以表示为是对象的集合，即论域是属性集合，
条件属性集决策属性集其中,并且高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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粗糙集理论中使用决策表来描述论域中对象高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.12
积木集合的 4个相关属性,（ 颜色,形状,大小,价位）
黄色,红色,绿色；
方形,圆形,三角形；
大，其余小；
价低,价中,价高销售情况,好,一般,较差高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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信息决策系统表高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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函数调用格式求出下近似集求出上近似集利用 MATLAB的差集函数可以求出边界集高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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编辑函数 rslower()
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编辑函数 rsupper()
函数 ind()用于求取不可分辨关系高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.13
论域关系为 且若,试求出集合 X的上近似集和下近似集高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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旋转的信息系统决策表
MATLAB求解语句：
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不可分辨关系的定义：
构造 MATLAB函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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接上页高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.2.4 粗糙集数据处理问题的 MATLAB求解利用粗糙集理论的约简粗糙集理论在信息约简中的应用举例高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.2.4.1 利用粗糙集理论的约简条件约简,不含多余属性并保证分类正确的最小条件属性集找出从 属性中选定条件推出 的最小集合核集：所有不可约去的关系求取从 属性中选定条件推出 的核集高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.14
试用粗糙集的方法对进行约简，找出不必要的数码管高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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数码管显示真值表高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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MATLAB求解语句：
高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.15
SARS是 2003年给全球带来恐慌的疾病，其准确诊断是很困难的。这里给出从报刊提取出的一些数据，如下表所示，试利用粗糙集理论对给出的 12个条件进行约简，找出辅助诊断的最主要的条件高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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SARS患者和正常人若干检测指标表高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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MATLAB求解语句：
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接上页最后得出的条件为,表示第 3和 4列是诊断 SARS的重要因素，亦即“血液检测呈阳性”和“高烧,
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10.2.5 粗糙集约简的 MATLAB程序界面启动粗糙集约简界面的函数调用格式用户可以由其中的 Browse按钮读入信息系统决策表，给出 C属性和 D属性所需的列号，
则可以进一步进行分析高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.3 人工神经网络及其在数据拟合中的应用神经网络基础知识径向基网络结构与应用神经网络界面高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.3.1 神经网络基础知识前馈神经网络结构与应用神经网络的训练与泛化高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.3.1.1 前馈神经网络结构与应用单个人工神经元的数学表示形式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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常用的传输函数
Sigmoid函数对数 Sigmoid函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.16
试绘制出各种常用的传输函数曲线。
MATLAB求解语句：
结果：
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BP 神经网络结构示意图高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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构造 BP网络的函数调用格式：
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神经网络对象的常用属性高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.17
假设输入信号为 2路，其信号范围分别为
[0,1]和 (-1,5)，且输出信号为单路信号，试利用 newff()函数建立所需的前馈神经网络对象
MATLAB求解语句：
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建立另一个前馈神经网络对象设定其他参数或高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.3.1.2 神经网络的训练与泛化神经网络训练函数调用格式其中，变量 为 矩阵,为输入变量的路数,为样本的组数,为矩阵,为输出变量的路数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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绘制出目标值曲线的调用格式：
神经网络的仿真或泛化的函数调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.18
用下面语句生成一组数据，试用神经网络对其进行拟合选择 2个隐层，隐层节点选择为 5：
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接上页显示出神经网络的权值高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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选择不同的训练算法高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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接上页：
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使用不同的 传输函数 组合：
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增加隐层节点个数到 15
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例 10.19
对下列二元函数进行曲面拟合
MATLAB求解语句：
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设定第 2层选择 20个节点高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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给定更密集的样本点：
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10.3.2 径向基网络结构与应用径向基函数 (RBF)的数学描述其中,为聚类中心点，而 为调节聚类效果的参数神经网络工具箱中,radbas()函数可以计算出标准径向基函数 的曲线参数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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若隐层的传输函数 为径向基函数，输出层的传输函数 为线性函数，则此结构的网络称为径向基网络高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.20
试绘制不同参数 (c,b)下的径向基函数曲线取中心点 c=-2,0,2，并假设 b=1
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选择中心点 c=0，并假设 b=[0.1,1,5]
径向基网络的训练方式不是采用反向误差传播实现的，故不是 BP网络用函数 newrbe()和 sim()可以实现神经网络的建立、训练和泛化全过程高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.21
用下面语句生成一组数据，试用径向基神经网络对其进行拟合高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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MATLAB求解语句：
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例 10.22
试用径向基神经网络拟合下列二维曲面
MATLAB求解语句：
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接上页这样得出的拟合效果远远优于 BP网络，略差于二维样条插值效果。径向基函数网络自动选择的隐层节点个数为 121
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10.3.3 神经网络界面启动神经网络工具箱的图形用户界面的函数调用格式该界面可以建立所需的神经网络模型，并可以由已知数据对该网络进行训练、仿真高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.23
用神经网络工具箱的界面对例 10.21中的数据进行拟合
MATLAB求解语句：
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单击按钮 Import来导入数据单击主界面中的 New Network按钮来选择神经网络的结构单击按钮 Train来训练神经网络单击按钮 Export将训练得出的网络模型输出 到 MATLAB环境中绘制出曲线拟合与泛化结果高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.4 进化算法及其在最优化问题中的应用遗传算法的基本概念介绍及 MATLAB实现遗传算法在求解最优化问题中的应用举例遗传算法在有约束最优化问题中的应用粒子群优化算法与求解求取精确的全局最优解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.4.1 遗传算法的基本概念介绍及 MATLAB实现遗传算法是基于进化论，在计算机上模拟生命进化机制而发展起来的一门新学科，它根据适者生存、优胜劣汰等自然进化规则搜索和计算问题的解美国 Michigen 大学的 John Holland 于 1975
年提出的
GAOT：最早的遗传算法最优化工具箱
MATLAB 7.0的遗传算法与直接搜索工具箱高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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遗传算法的基本思想从一个代表最优化问题解的一组初值开始进行搜索，这组解称为一个种群，这里种群由一定数量的、通过基因编码的个体组成，其中每一个个体称为染色体，不同个体通过染色体的复制、交叉或变异又生成新的个体，依照适者生存的规则，个体也在一代一代进化，通过若干代的进化最终得出条件最优的个体。
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1,选择 n个个体构成初始种群,求出各个个体的函数值,可以随机生成
2,设置代数为,即设置其为第一代。
3,计算选择函数的值，所谓选择即通过概率的形式从种群中选择若干个个体的方式
4,通过染色体个体基因的复制、交叉、变异等创造新的个体，构成新的种群
5.,若终止条件不满足，则继续进化简单遗传算法的一般步骤高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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不同于从一个点开始搜索最优解的传统的最优化算法，遗传算法从一个种群开始对问题的最优解进行并行搜索，所以更利于全局最优化解的搜索。
遗传算法并不依赖于导数信息或其他辅助信息来进行最优解搜索。
遗传算法采用的是概率型规则而不是确定性规则，所以每次得出的结果不一定完全相同，
有时甚至会有较大的差异。
遗传算法和传统优化算法比较高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.4.2 遗传算法在求解最优化问题中的应用举例
GAOT工具箱中的函数调用格式
MATLAB 7.0
打开遗传算法程序界面,gatool()
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例 10.24
给定试求出 取最大值时 的值绘制目标函数曲线：
试测不同初值：
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不同初值下搜索到的“最优解”及目标函数值高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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编写目标函数：
调用 gaopt()函数：
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与用最优化工具箱得出的结果进行比较：
更大的求解空间，假设改变遗传算法的求解区间高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.25
给定试求其的最小值描述最优化问题的目标函数：
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假设 为 自变量的求解范围高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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gaopt()函数稍复杂一点的调用格式其中,为附加参数,为精度及显示控制向量,为初始种群,fun1为终止函数的名称，默认值为’ maxGenTerm’,n为最大的允许代数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.26
给定试设置更多的允许代数，观察寻优的结果，
并和最优化搜索算法得出结果在时间、精度上的差异进行比较高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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MATLAB求解语句：
利用 ga()函数，编写目标函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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指定一些搜索参数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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用传统的无约束最优化方法求解得出更高的求解精度，求解时间大大减少高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.4.3 遗传算法在有约束最优化问题中的应用
GAOT工具箱不能直接用于有约束最优化问题的求解对于有约束最优化问题，应该将其转变为无约束最优化问题不等式约束则可以通过惩罚函数方法转换到目标函数中等式约束，则可以通过等式求解的方式将其中若干个自变量用其他自变量表示高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.27
试用遗传算法求解线性规划问题对于等式，用 和 表示高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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描述目标函数：
运用遗传算法求解问题：
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用线性规划方法求解：
linprog()得出的结果更精确建议求解方法：用 GA 找出全局最优解的大致位置以其为初值调用最优化函数求精确解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.4.4 粒子群优化算法与求解粒子群优化算法是一种进化算法，该算法是受生物界鸟群觅食的启发而提出的搜索食物假设某个区域内有一个全局最优点，和位于随机初始位置的粒子，每一个粒子有到目前为止自己的个体最优值,整个粒子群有到目前为止群体的最优值高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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粒子按下式更新自己的速度和位置其中,为 [0,1]区间内均匀分布的随机数,为惯量函数,为加速常数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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求解粒子群优化的函数调用格式其中,fun为目标函数（不支持匿名函数），
n是 向量的维数，这两个量是必须提供的该函数在随书的 CD中提供支持向量化运算，目标函数的描述有所不同高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.28
给定用粒子群算法求其最小值编辑向量化的目标函数：
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求解该最优化问题：
最优解的近似值为：
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例 10.29
试用粒子群优化算法，求解下列线性规划问题高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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编写向量化的模式的目标函数得出精确的最优解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.4.5 求取精确的全局最优解传统的最优化方法可能得出精确的最优解，
然而，经常可能得到的是局部最优解而不是全局最优解，而进化方法通常能得出全局最优解，但解的精度可能很低在实际最优化问题求解中可以考虑将二者的优势结合起来，得到精确的全局最优解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.30
试求出下面最优化问题的精确全局最优解绘制目标函数的三维曲面高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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用传统非线性规划问题求解方法：
编辑目标函数：
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用遗传算法求解问题：
将遗传算法得出的求解最优解作为搜索起点，采用传统最优化方法高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.5 小波变换及其在数据处理中的应用小波变换及基小波波形小波变换技术在信号处理中的应用小波问题的程序界面高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.5.1 小波变换及基小波波形连续小波变换离散小波变换小波工具箱中提供的基小波函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.5.1.1 连续小波变换连续小波变换的变换公式为其中，
且 称为基小波,为基小波通过平移、比例缩放构成的小波信号高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.31
假设,墨西哥帽,基小波函数由 下式给出试绘制出不同 a,b值变换下的小波函数。
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MATLAB求解语句：
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小波反变换的数学描述为：
其中，
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计算连续小波变换的系数的函数调用格式计算小波系数矩阵直接绘制小波系数绝对值图其中,fun为基小波名称高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.32
试对信号 进行连续小波分解，并绘制出其系数图绘制出时域信号曲线：
选择 ’ mexh’基小波作为模板高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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绘制出小波系数的三维表面图：
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10.5.1.2 离散小波变换离散信号的小波变换的数学描述：
求解离散小波变换的函数调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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离散小波反演公式的数学描述函数调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.33
给定信号,信号叠加均值为 0，
标准差为 0.1的 Gaussian白噪声信号，试对其进行离散小波分解，对结果离散小波反变换
MATLAB求解语句：
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检验反变换对信号的还原精度,
结果：得出的信号基本上还原了原始信号，
误差达高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.5.1.3 小波工具箱中提供的基小波函数生成和测试显示基小波类型的函数调用格式计算基小波函数的函数调用格式
Gauss、墨西哥帽等基小波函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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Daubechies族,Symlets族等正交基小波函数
Bior族等基小波函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.34
绘制出不同阶次下的 Daubechies 6基小波波形
MATLAB求解语句：
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例 10.35
试绘制出常用基小波波形
MATLAB求解语句：
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10.5.2 小波变换技术在信号处理中的应用小波分解的过程高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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一维信号的小波分解的函数调用格式分解结果及存储方式：
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提取系数的函数调用格式提取近似系数提取第 i段细节系数信号重建的函数调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.36
给定信号,信号叠加均值为 0，
标准差为 0.1的 Gaussian白噪声信号，对 数据进行 3次小波分解,各种基小波函数对其进行降噪处理，比较降噪效果绘制原信号波形曲线：
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对给定的数据进行 3次小波分解：
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采用 基小波采用基小波 和高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.37
如下数字滤波问题试用小波对其进行滤波，并比较滤波效果高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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MATLAB求解语句：
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10.5.3 小波问题的程序界面启动 小波变换问题的图形用户界面他可以用于求解一维、二维小波变换问题高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.6 分数阶微积分学问题求解及应用分数阶微积分的定义与性质分数阶微积分的计算方法对象编程实例 —— 分数阶传递函数模型分数阶微分方程的求解方法分数阶系统的模型降阶研究高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.6.1 分数阶微积分的定义与性质分数阶微积分的定义分数阶微积分的一般性质分数阶微积分的积分变换高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.6.1.1 分数阶微积分的定义分数阶 Cauchy积分公式
Grünwald-Letnikov分数阶微积分定义
Riemann-Liouville分数阶微积分公式
Caputo分数阶微分定义高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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分数阶 Cauchy积分公式数学描述：
其中,C为包围 单值与解析开区域的光滑曲线高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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Grünwald-Letnikov
分数阶微积分定义数学描述：
其中,为二项式系数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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Riemann-Liouville
分数阶微积分公式积分的数学描述：
其中,0<a<1，且 a为初值分数阶微分定义的数学描述：
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Caputo分数阶微分定义微分的数学描述：
其中,a=m+g,m为整数,0<g?1
当 g<0时,Caputo分数阶积分的数学描述高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.6.1.2 分数阶微积分的一般性质解析函数 的分数阶导数 对 t和 a
都是解析的
a=n为整数时，分数阶微分与整数阶微分的值完全一致，且高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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分数阶微积分算子为线性的，即对任意常数 a,b，有分数阶微积分算子满足交换律，并满足叠加关系高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.6.1.3 分数阶微积分的积分变换函数的分数阶积分表达式的 Laplace变换函数分数阶微分的 Laplace变换高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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在 0初始条件下：
分数阶微积分的 Fourier变换统一写成其中,a既可以为正数，表示分数阶微分，
也可以为负值，表示积分高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.6.2 分数阶微积分的计算方法利用 Fourier级数计算周期函数的分数阶微积分用 Grünwald-Letnikov定义求解分数阶微分
Oustaloup滤波算法改进的 Oustaloup滤波器方法离散滤波器近似方法高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.6.2.1 利用 Fourier级数计算周期函数的分数阶微积分周期为 2L的函数，的 Fourier展开高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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对于正弦、余弦函数其中,k为任意实数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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用整数阶 Fourier级数展开去逼近已知函数若 g为大于 1的分数，则可以将其分解成 m+g*，
其中,m为正整数,0<g*<1
若 g为负数，则立即计算出 | g |阶积分的值。
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构造 MATLAB函数，求取分数阶微积分高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.38
给定函数 试用 Fourier级数展开的方法绘制出该函数的一些分数阶微分与积分函数曲线
Fourier级数拟合高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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各个阶次下的微积分函数曲线高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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绘制出分数阶微积分曲面高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.6.2.2 用 Grünwald-Letnikov
定义求解分数阶微分数学描述：
其中，
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构造一个 MATLAB函数函数调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.39
考虑一个初值非零的函数试求出其分数阶导数。
MATLAB求解语句：
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对不同的 g选值，可以调用下面的语句绘制出分数阶导函数的三维图高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.40
试用不同定义求取函数为的 0.75阶微分，并比较得出的结果。
MATLAB求解语句：
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10.6.2.3 Oustaloup滤波算法连续滤波器的传递函数模型为,Oustaloup
算法高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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构造 MATLAB函数，设计连续滤波器函数调用格式其中,g为分数阶的阶次,2N+1为滤波器的阶次高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.41
假设,试设计出连续滤波器，对 信号计算 0.5阶微分
MATLAB求解语句：
绘制分数阶微分曲线：
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更大的频率范围内拟合分数阶微分函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.6.2.4 改进的
Oustaloup滤波器方法数学描述：
其中，
通常可以选择加权参数 b=10,d=9
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编写出下面的 MATLAB函数函数调用格式：
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例 10.42
给定,试观察新的滤波逼近和分数阶导数求取效果，其中，仍选择
MATLAB求解语句：
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10.6.2.5 离散滤波器近似方法对离散系统来说，需要用 FIR滤波器或 IIR滤波器的形式对其近似分数阶微积分器的 FIR滤波器设计函数的核心部分高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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接上页：
其中,n为期望的滤波器阶次,T为滤波器的采样周期,r为所需的导数阶次，用该函数可以直接设计出滤波器 H
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例 10.43
试用离散 FIR滤波器对例 10.41中给出的信号求取分数阶微分
MATLAB求解语句：
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IIR滤波器其中，
T为离散化的采样周期高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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基于连分式的滤波器设计方法和程序高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.44
试用不同的 n,a组合构造出 s0.5阶滤波器，并比较其频域响应效果
MATLAB求解语句：
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绘制出各个滤波器的滤波效果高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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Padé近似方法进行 滤波器设计高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.45
仍考虑例 10.43中给出的函数，试提高滤波器的阶次，观察近似效果
MATLAB求解语句：
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绘制出滤波效果高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.6.3 对象编程实例 —— 分数阶传递函数模型
FOTF对象定义
FOTF对象的重载和互联高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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常系数线性分数阶微分方程的一般形式为在零初始条件下，分数阶传递函数对象为高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.6.3.1 FOTF对象定义
FOTF类用于描述分数阶传递函数，其作用类似于 MATLAB控制系统工具箱中的,tf”
建立类的最基本步骤是建立一个 @FOTF目录在目录中编写两个函数 fotf()和
display()，前者描述该类的内容，后者描述该类的显示方法还可以选择性地建立其他函数用于函数重载
plus(),minus(),mtimes(),feedback()
unique(),bode() 等高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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建立起 fotf.m文件高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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接上页：
函数调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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定义 对象显示函数,也置于目录 @fotf下高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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接上页，该函数为子函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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接上页：
有了这两个函数，就可以在 MATLAB工作空间中直接建立起一个分数阶传递函数类高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.46
给定试将分数阶传递函数输入到
MATLAB求解语句：
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重载常规的整数阶传递函数模型对象 tf,该函数应该置于 @tf目录下高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.6.3.2 FOTF对象的重载和互联分数阶系统模型的串联、并联和反馈连接可以通过乘法、加法和 feedback()函数的重载而实现这些函数可以在 @fotf目录下编写高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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实现分数阶模块的并联,加法函数 plus()
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实现模块的串联：乘法函数 mtimes()
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实现模块的反馈连接：反馈函数 feedback()
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化简函数 unique()
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计算 -G：自减函数 uminus()
计算,减法函数 minus()
计算 1/G：逆函数 inv()
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例 10.47
给定试求出以上构成单位负反馈系统闭环系统的传递函数模型高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.6.4 分数阶微分方程的求解方法分数阶线性微分方程的解法一类分数阶线性系统时域响应解析解方法非线性分数阶微分方程近似解法连续分数阶传递函数的频域分析高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.6.4.1 分数阶线性微分方程的解法分数阶线性常微分方程其中，
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分数阶传递函数可以写成高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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考虑分数阶的 Grünwald-Letnikov定义其中，
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微分方程数值解为分数阶微分方程的一般形式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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构造 MATLAB函数重载函数 lsim()
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接上页函数调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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重载 step()函数，绘制分数阶系统的阶跃响应曲线函数调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.48
用数值方法求解分数阶线性微分方程
MATLAB求解语句：
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10.6.4.2 一类分数阶线性系统时域响应解析解方法
Mittag-Leffler函数的数学描述并且高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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其它特例：
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由 n项构成的分数阶微分方程的解可以表示为高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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其中对于 成立求解 的 MATLAB调用格式其中,为可以接受的误差限,为自变量向量高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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构造 Mittag-Lettler函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.49
分别绘制出 和 曲线
MATLAB求解语句：
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只考虑一个特殊模型其阶跃响应为其中，
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构造函数求取阶跃响应数值解函数调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.50
给定试用 Mittag-Leffler函数的形式求解该系统的阶跃响应曲线，并比较前面得出的结果
MATLAB求解语句：
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10.6.4.3 非线性分数阶微分方程近似解法利用改进的 Oustaloup 滤波器近似，然后搭建 Simulink 模块
c10mfode.mdl
考虑到该滤波器分子和分母阶次一致，可能导致在仿真过程中出现代数环，所以应该在其后面再接一个低通滤波器高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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在模块封装初始化栏目应该填写下面的语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.51
重新求解分数阶线性微分方程并将结果与其他方法得出的结果进行比较引入辅助变量,
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原来的微分方程可以直接变换成下面的形式搭建 Simulink模型,c10mfode1.mdl
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微分方程求解的 Simulink框图高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.52
试用近似方法求解下面的分数阶非线性微分方程高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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根据方程本身，可以容易地写出 函数的显式表达式为搭建 Simulink模型,c10mfode2.mdl
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方程求解的 Simulink框图高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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10.6.4.4 连续分数阶传递函数的频域分析分数阶传递函数 \中，用 直接取代传递函数中的 s，则可以简单地得出分数阶系统的频域响应数据在 @fotf目录下的重载函数 bode.m、
nyquist.m,nichols.m文件绘制出系统的
Bode图,Nyquist图和 Nichols图。
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重载函数 bode()
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函数 bode()的调用格式重载函数 nyquist()
重载函数 nichols()
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例 10.53
试比较 Oustaloup滤波器及其改进滤波器对 x
下列模型的逼近效果
MATLAB求解语句：
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10.6.5 分数阶系统的模型降阶研究改进 Oustaloup滤波器近似分数阶微分算子的形式去逼近线性模型的方法会导致非常高阶的整数阶模型用低阶整数阶模型去逼近原模型是有必要的高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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假设降阶模型可以表示为引入一个目标函数来最小化误差信号的 范数其中，
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将时间延迟项可以用 Padé近似，得出则目标函数改进为构造 MATLAB函数求分数阶模型的最优降阶模型高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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直接描述目标函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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例 10.54
试选择合适的阶次，求出下列模型的降阶模型选择拟合阶次 N=4，频段为高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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接上页用降阶模型拟合高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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本章主要内容本章介绍了经典集合论问题的 MATLAB 语言求解方法，然后引入模糊集合的概念，
并介绍基于 MATLAB 语言的模糊集合与模糊推理的实现方法引入人工神经网络的数学表示及反馈时神经网络结构，介绍由 MATLAB语言进行神经网络结构设置、训练及网络泛化的全过程，利用 MATLAB神经网络工具箱直接求解数拟合问题的方法高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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介绍了遗传算法的基本概念及 MATLAB 求解，并介绍了遗传算法最优化工具箱中的关键函数 gaopt()及其使用方法，通过例子演示了该函数的各种调用方法和参数设置等，注意，和传统最优化工具箱函数不同，遗传算法最优化工具箱中应该将目标函数定义成最大值。本章还介绍了随着
MATLAB 7.0 版本推出的遗传算法与直接搜索工具箱及其应用。
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小波分析与变换是目前信号处理及图像处理领域很常用的方法，该方法利用比传统
Fourier 变换更具优势的小波信号对原始信号进行近似与分解。本章介绍了连续、离散小波变换的概念及 MATLAB 求解，介绍了各种基小波波形，还介绍了小波分解与小波重建问题，演示了小波分析技术在信号处理与降噪中的应用高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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粗糙集理论是近 20 年内才首次提出的理论，
本章首先简要介绍了粗糙集理论及要点，
引入信息系统决策表的概念与建立，侧重介绍粗糙集理论问题的 MATLAB 求解并举例介绍了该理论在条件约简中的应用，本章还介绍了基于粗糙集理论的图形用户界面程序高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)
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本章引入了分数阶微积分的各种定义及求解方法，给出了这些方法的 MATLAB 实现，
并给出了未知信号的滤波器设计算法，还分别提出了分数阶线性及非线性微分方程的数值求解方法，为使用分数阶微积分理论解决实际问题打下了一定的基础
