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第 9章概率论与数理统计问题的计算机求解高等应用数学问题的 MATLAB求解清华大学出版社 2008
CAI课件开发：薛定宇、刘莹莹、董雯彬高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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第 9章 概率论与数理统计问题的计算机求解概率分布与伪随机数生成统计量分析数理统计分析方法及计算机实现统计假设检验方差分析与主成分分析高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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9.1 概率分布与伪随机数生成概率密度函数与分布函数概述常见分布的概率密度函数与分布函数概率问题的求解随机数与伪随机数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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9.1.1 概率密度函数与分布函数概述连续随机变量概率密度记为,概率密度函数满足：
，且由概率密度可以定义出概率分布函数：
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概率分布函数 的物理意义,随机变量
x 满足 x? x发生的概率函数 为单调递增函数，并且满足：
和高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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9.1.2 常见分布的概率密度函数与分布函数
Poisson分布正态分布
F分布
T分布
c2 分布
G分布
Rayleigh分布高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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相关 MATLAB函数后缀,pdf,cdf,inv,rnd,stat,fit
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9.1.2.1 Poisson分布
Poisson分布的概率密度为：
其中,l为正整数
Poisson分布的概率密度函数：
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Poisson分布的分布函数：
Poisson分布的逆概率分布函数：
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例 9.1
试分别绘制出 l=1,2,5,10时 Poisson分布的概率密度函数与分布函数曲线
MATLAB求解语句：
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9.1.2.2 正态分布正态分布的概率密度函数为：
其中,m和 s2分别为正态分布的均值和方差正态分布的概率密度函数调用格式：
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正态分布的分布函数：
正态分布的逆概率分布函数：
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例 9.2
分别绘制出 (m,s2) 为 (-1,1),(0,0.1),(0,1),
(0,10),(1,1)时正态分布的概率密度函数与分布函数曲线高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解语句：
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9.1.2.3 F 分布
F 分布的概率密度为：
F 分布的概率密度是参数 p和 q的函数，且 p
和 q均为正整数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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F 分布的概率密度函数调用格式：
F 分布的分布函数：
F 分布的逆概率分布函数：
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例 9.3
给定 (p,q)对为 (1,1),(2,1),(3,1),(3,2),(4,1)，
试绘制出 F分布的概率密度和分布曲线
MATLAB求解语句：
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9.1.2.4 T 分布
T 分布的概率密度为：
T 分布的概率密度是参数 k的函数，且 k为正整数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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T 分布的概率密度函数调用格式：
T 分布的分布函数：
T 分布的逆概率分布函数：
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例 9.4
绘制出 k=1,2,5,10时 T分布的概率密度函数与分布函数曲线
MATLAB求解语句：
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9.1.2.5 c2分布
c2 分布的概率密度为：
其中,k为正整数
c2分布是一种特殊的 G分布,其中，
且高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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c2 分布的概率密度函数调用格式：
c2 分布的分布函数：
c2 分布的逆概率分布函数：
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例 9.5
绘制出 k=1,2,3,4,5时的 c2分布的概率密度函数与分布函数曲线
MATLAB求解语句：
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9.1.2.6 G分布
G分布的概率密度为：
其中，,G(a)为 G-函数满足,G(a)=aG(a-1),G(1)=1并且 G(1/2)=p
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G分布的概率密度函数调用格式：
G分布的分布函数：
G分布的逆概率分布函数：
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例 9.6
试分别绘制出 (a,l)为 (1,1),(1,0.5),(2,1),(1,2),
(3,1) 时 G分布的概率密度和分布曲线
MATLAB求解语句：
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接上页为了避免函数图像在 0附近的跳变，选择横坐标向量：
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9.1.2.7 Rayleigh分布
Rayleigh分布的概率密度为：
该函数是 b的函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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Rayleigh分布的概率密度函数调用格式：
Rayleigh分布的分布函数：
Rayleigh分布的逆概率分布函数：
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例 9.7
试分别绘制出 b=0.5,1,3,5时 Rayleigh分布的概率密度函数与分布函数曲线
MATLAB求解语句：
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9.1.3 概率问题的求解三个求取概率的公式：
的概率的概率的概率高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 9.8
已知某随机变量 x为 Rayleigh分布，且 b=1，
分别求出该随机变量 x值落入区间 [0.2,2]及区间 [1,?)的概率
MATLAB求解语句：
落入区间 [0.2,2]
落入区间 [1,?)
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例 9.9
二维随机变量 (x,h)的联合概率密度为求出
MATLAB求解语句：
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9.1.4 随机数与伪随机数生成不同种类分布的随机数的函数调用格式生成 n?m的 G分布的伪随机数矩阵生成 c2分布的伪随机数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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生成 T 分布的伪随机数生成 F 分布的伪随机数生成 Rayleigh分布的伪随机数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 9.10
令 b=1，生成 30000?1个 Rayleigh分布的随机数,并用直方图检验生成数据的概率分布情况
MATLAB求解语句：
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9.2 统计量分析随机变量的均值与方差随机变量的矩多变量随机数的协方差分析多变量正态分布的联合概率密度即分布函数基于 Monte Carlo法的数学问题求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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9.2.1 随机变量的均值与方差假设连续随机变量 x的概率密度函数为数学期望 E[x]：
数学方差 D[x]：
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例 9.11
用积分方法求取 G分布 (a>0,l>0)的均值与方差
MATLAB求解语句：
结果：
和高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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在实际中测出一组样本数据则它们的均值和方差分别为：
无偏的方差：
称 为“标准差”
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已知一组随机变量样本数据构成的向量：
求向量各个元素的均值：
求向量各个元素的方差：
求向量各个元素的标准差：
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例 9.12
生成一组 30000个正态分布随机数，均值为
0.5，标准差为 1.5，分析数据实际的均值、
方差和标准差，及减小随机变量个数的结果
MATLAB求解语句：
使用 300个随机数,
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对于常见的分布函数，可以通过 MATLAB
命令直接求出该分布的均值和方差（分布类型标识后加后缀,stat”）：
返回的变量为相关分布的均值和方差高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 9.13
求出 Rayleigh分布（ b=0.45）的均值与方差
MATLAB求解语句：
结果：
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9.2.2 随机变量的矩假设 为连续随机变量，且 为其概率密度函数，则该变量的 阶原点矩阶中心矩为：
可见，
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例 9.14
考虑 G分布 (a>0,l>0)的原点矩和中心矩，并由前几项结果总结一般规律
MATLAB求解命令：
通项表达式：
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直接求出：
计算原问题的中心矩：
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给定的随机数为一些样本点该随机变量的 阶原点矩该随机变量的 阶中心矩高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 9.15
给生成一组 30000个正态分布随机数，均值为
0.5，标准差为 1.5，试求出随机数的各阶矩
MATLAB求解命令：
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求出各阶矩的理论值：
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9.2.3 多变量随机数的协方差分析随机数为二维随机变量对 的样本二维样本的协方差：
二维样本的相关系数：
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协方差矩阵：
其中，
计算协方差矩阵的函数调用格式其中,的各列均表示不同的随机变量的样本值高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 9.16
试用 MATLAB语言产生 4个满足标准正态分布的随机变量，并求出其协方差矩阵
MATLAB求解语句：
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9.2.4 多变量正态分布的联合概率密度即分布函数给定 n组正态分布随机变量,
它们的均值分别为,可以构成一个均值向量,这些变量的协方差矩阵为,这些随机变量的联合概率密度为其中，
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求随机变量的联合概率密度的函数调用格式：
其中,为 n列的矩阵，每一列表示一个随机变量高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 9.17
给定,绘制联合概率密度函数；若协方差矩阵的非对角线元素为 0，绘制新的概率密度函数
MATLAB求解语句：
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消除协方差矩阵的非对角元素：
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产生多变量正态分布随机数的函数调用格式该函数可以生成 m组满足多变量正态分布的随机变量，返回的 为 m?n矩阵,每一列表示一个随机变量。
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例 9.18
观察均值为,协方差矩阵为的二维正态分布的伪随机数的分布情况
MATLAB求解语句：
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9.2.5 基于 Monte Carlo
法的数学问题求解
Monte Carlo法是通过大量实验来求取随机变量近似值的一种采用的方法在现代科学研究中,Monte Carlo法经常用来求解一些建模困难的问题高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 9.19
试用 Monte Carlo法近似求出 p的值数学求解公式：
MATLAB求解语句：
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例 9.20
试用 Monte Carlo法计算积分假设高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解语句：
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9.3 数理统计分析方法及计算机实现参数估计与区间估计多元线性回归与区间估计非线性函数的最小二乘参数估计与区间估计高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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9.3.1 参数估计与区间估计求取参数与区间估计的函数调用格式：
其中,是实测一组数据,m是该分布的均值,s2是该分布的 方差,Dm及 Ds2是置信区间,为用户指定的置信度高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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函数 norminv()可用于 求出相关值，这样就可以得出所需的参数
G分布的均值和方差可以通过 gamfit()
函数求出,Rayleigh分布的参数估计函数为 raylfit(),均匀分布的参数估计函数为 unifit(),Poisson分布的参数估计函数为 poissfit()
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例 9.21
试用 gamrnd()函数生成一组 a=1.5,l=3的伪随机数，用参数估计的方法以不同的置信度进行估计，比较估计结果选择置信度为,
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选择 300,3000,30000,300000,3000000个随机数，将置信度设为
MATLAB求解语句：
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9.3.2 多元线性回归与区间估计输出信号 为 n路输入信号的线性组合：
其中,为待定系数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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进行 m次实验，将实测数据列表如下：
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建立起如下的矩阵形式的方程：
其中为待定系数向量为误差构成的向量为各个观测值高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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测出的自变量值构成矩阵：
目标函数选择为使得残差的平方和最小：
系数向量 为：
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求最小二乘解的函数调用格式：
或求多变量线性回归参数估计与置信区间估计的函数调用格式：
其中,1-a为用户指定的置信度高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 9.22
给定线性回归方程如下，生成 120组随机输入值,计算输出向量,估计出系数用最小二乘计算公式：
计算出 的置信度的置信区间高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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给输出样本叠加 N(0,0.5)区间的正态分布噪声，
再 绘制参数估计的置信区间：
将噪声方差设为 0.1：
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9.3.3 非线性函数的最小二乘参数估计与区间估计假设数据 满足函数原 函数严格写成引入目标函数：
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参数估计的函数调用格式最小二乘拟合由置信度为 的置信区间与函数 lsqcurvefit()的功能相似高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 9.23
给定得出 置信度的置信区间，并叠加均匀分布的噪声信号再进行参数与区间估计
MATLAB求解语句：
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给样本点数据 叠加上 区间均匀分布的噪声信号
MATLAB求解语句：
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例 9.24
给定原型函数如下试利用 nlinfit()函数求解多变量非线性回归问题高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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定义函数并且生成观测数据高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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用非线性回归参数估计函数求出 的值，
并绘制出原观测数据与拟合数据高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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9.4 统计假设检验统计假设检验的概念及步骤假设检验问题求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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9.4.1 统计假设检验的概念及步骤先假设总体具有某种统计特征（如具有某种参数或遵从某种分布），然后再检验这个假设是否可信，这种方法称为 统计假设检验方法统计假设检验在统计学中是有重要地位的高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 9.25
已知某产品的平均强度 公斤，
现改变制作方法，从新产品中随意抽取 200
件，得平均强度为 公斤，标准差为 公斤，问强度有无显著影响引入两个命题：
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选取统计量该统计量满足标准正态分布给出显著性水平，引入 a判定出现“取伪”
错误的概率用 1-a表示假设可以被接受的的概率高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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用逆正态分布函数求出 的值，使得：
MATLAB求解命令：
计算统计量 u的值，若,则不拒绝 假设，否则拒绝该假设高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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9.4.2 假设检验问题求解正态分布的均值假设检验正态分布假设检验其他分布的 Kolmogorov-Smirnov检验高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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9.4.2.1 正态分布的均值假设检验假设检验的函数调用格式若已知正态分布的标准差 s
若未知正态分布的标准差 s
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例 9.26
试用正态分布随机数函数生成一组随机数，
并对该随机数进行均值假设检验生成一组 400个 的正态分布随机数，
并引入假设
MATLAB求解语句：
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假设设置为采用 T-检验对假设 进行检验：
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9.4.2.2 正态分布假设检验
Jarque-Bera检验的函数调用格式：
Lilliefors检验的函数调用格式：
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例 9.27
某工厂生产的白炽灯的流明为随机变量 x，
满足正态分布 N(m,s2)，随机抽取 120个样的流明数如下，试检验正态分布的假设高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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接上页高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解语句：
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接上页：
调用正态分布拟合函数 normfit()：
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例 9.28
用统计学工具箱生成一组 G分布数据，用现成函数验证其是否为正态分布数据，显然这些数据不是正态分布的，所以假设检验结果应该是 1
MATLAB求解语句：
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9.4.2.3 其他分布的
Kolmogorov-Smirnov检验
Kolmogorov-Smirnov检验是检验任意已知分布函数的一种有效的假设检验算法函数调用格式：
其中,cdffun为两列的均值，第 1列为自变量，第 2列应该为要检验的分布函数在自变量处的值高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 9.29
生成一组 G分布数据，对生成的随机数进行假设检验：该随机数满足 G分布生成 G分布的数据假设进行检验高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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9.5 方差分析与主成分分析方差分析主成分分析方法高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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9.5.1 方差分析单因子方差分析双因子方差分析多因子方差分析高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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9.5.1.1 单因子方差分析单因子方差分析就是指对一些观察来说，
只有一个外界因素可能对观测的现象产生影响求解单因子方差分析的函数调用格式其中,为需要分析的数据高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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单因子方差分析表高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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接上页高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 9.30
有 5种药物比较疗效，将 30个病人随机地分成 5组，每组使用同一种药物，并记录病人治疗时间如下表，试评价疗效高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解语句：
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9.5.1.2 双因子方差分析如果有两种因子可能影响到某现象的统计规律，则应该引入双因子方差分析的概念观测量 可以表示为一个三维数组,
表示第 1个因子取第 i个水平，第 2个因子取第 j个水平时，组内第 k个对象的观测指标。
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三个假设,
为第一因子单独作用的效应为第二因子单独作用的效应为两个因子同时作用的效应高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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3个概率的定义及意义为若 则拒绝假设若 则拒绝假设若 则拒绝假设高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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求解双因子方差分析问题的函数调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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双因素方差表高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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接上页高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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其中高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 9.31
设为比较 3种松树在 4个不同地区的生长情况有无差别，在每个地区对每种松树随机地选择 5株，测量它们的胸径，得出的数据在下文的表中给出，试对它们进行双因子方差分析高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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松树数据高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB command solutions
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计算均值：
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9.5.1.3 多因子方差分析
MATLAB语言的统计学工具箱还可以进行三因子甚至多因子的方差分析，
可以采用 manova1()函数进行多因子方差分析高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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9.5.2 主成分分析方法假设某一事件发生可能受这 N个因素影响，而实测数据共有 M组，这样可以假设这些数据由一个 矩阵表示。记该矩阵的每一列的均值为高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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主成分分析方法的一般步骤调用 corr()函数，由矩阵 可以建立起协方差矩阵高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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由 矩阵可以分别得出特征向量 和对应的排序特征值,特征向量矩阵的每一列也都进行了相应的归一化，即或求解函数,eig()和 fliplr()
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计算主成分贡献率和累计贡献率主成分贡献率,累计贡献率：
如果前 n个特征值的累计贡献率大于某个预期的指标，如,则可以认为这 n
个因素是原问题的主成分高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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建立新变量指标,即其中变换矩阵第 i列的系数 可以如下计算
，
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若前 m个成分作主成分，则矩阵 的 m列以后各值应该趋于 0，上式化为：
即，在适当的线性变换下，原来的 N维问题就可以简化成 m维问题高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 9.32
假设某三维曲线上的样本点由下列函数直接生成出来，试用主成分分析的方法对其降维处理
MATLAB生成数据：
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降维处理：
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本章内容简介本章介绍了各种常用的概率密度函数、概率分布函数，并绘制了用户指定参数下的概率密度、分布函数曲线，读者可以自己调用这些函数绘制出任意参数的曲线
MATLAB 的统计学工具箱提供了一组函数，
可以按照指定的分布生成伪随机数，这些函数的名称也可以根据表查出，可以用这些函数生成伪随机数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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给出了一些常用统计量的数学定义和
MATLAB语言求解方法及函数，如均值、
方差，原点矩与中心矩、协方差矩阵等。
还介绍了多变量分布伪随机数生成方法介绍了参数估计与区间估计问题的
MATLAB 语言求解，并对线性多元回归和一般非线性回归问题介绍了参数与区间估计算法。
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介绍了假设检验的概念，并对均值假设检验、正态分布假设检验和给定分布假设检验等问题给出了基于 MATLAB 语言的求解方法介绍了方差分析问题及其 MATLAB 求解，
介绍单因子方差分析、双因子方差分析等内容及基于 MATLAB 语言的求解方法
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第 9章概率论与数理统计问题的计算机求解高等应用数学问题的 MATLAB求解清华大学出版社 2008
CAI课件开发：薛定宇、刘莹莹、董雯彬高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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第 9章 概率论与数理统计问题的计算机求解概率分布与伪随机数生成统计量分析数理统计分析方法及计算机实现统计假设检验方差分析与主成分分析高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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9.1 概率分布与伪随机数生成概率密度函数与分布函数概述常见分布的概率密度函数与分布函数概率问题的求解随机数与伪随机数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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9.1.1 概率密度函数与分布函数概述连续随机变量概率密度记为,概率密度函数满足：
，且由概率密度可以定义出概率分布函数：
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概率分布函数 的物理意义,随机变量
x 满足 x? x发生的概率函数 为单调递增函数，并且满足：
和高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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9.1.2 常见分布的概率密度函数与分布函数
Poisson分布正态分布
F分布
T分布
c2 分布
G分布
Rayleigh分布高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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相关 MATLAB函数后缀,pdf,cdf,inv,rnd,stat,fit
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9.1.2.1 Poisson分布
Poisson分布的概率密度为：
其中,l为正整数
Poisson分布的概率密度函数：
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Poisson分布的分布函数：
Poisson分布的逆概率分布函数：
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例 9.1
试分别绘制出 l=1,2,5,10时 Poisson分布的概率密度函数与分布函数曲线
MATLAB求解语句：
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9.1.2.2 正态分布正态分布的概率密度函数为：
其中,m和 s2分别为正态分布的均值和方差正态分布的概率密度函数调用格式：
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正态分布的分布函数：
正态分布的逆概率分布函数：
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例 9.2
分别绘制出 (m,s2) 为 (-1,1),(0,0.1),(0,1),
(0,10),(1,1)时正态分布的概率密度函数与分布函数曲线高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解语句：
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9.1.2.3 F 分布
F 分布的概率密度为：
F 分布的概率密度是参数 p和 q的函数，且 p
和 q均为正整数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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F 分布的概率密度函数调用格式：
F 分布的分布函数：
F 分布的逆概率分布函数：
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例 9.3
给定 (p,q)对为 (1,1),(2,1),(3,1),(3,2),(4,1)，
试绘制出 F分布的概率密度和分布曲线
MATLAB求解语句：
高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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9.1.2.4 T 分布
T 分布的概率密度为：
T 分布的概率密度是参数 k的函数，且 k为正整数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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T 分布的概率密度函数调用格式：
T 分布的分布函数：
T 分布的逆概率分布函数：
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例 9.4
绘制出 k=1,2,5,10时 T分布的概率密度函数与分布函数曲线
MATLAB求解语句：
高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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9.1.2.5 c2分布
c2 分布的概率密度为：
其中,k为正整数
c2分布是一种特殊的 G分布,其中，
且高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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c2 分布的概率密度函数调用格式：
c2 分布的分布函数：
c2 分布的逆概率分布函数：
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例 9.5
绘制出 k=1,2,3,4,5时的 c2分布的概率密度函数与分布函数曲线
MATLAB求解语句：
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9.1.2.6 G分布
G分布的概率密度为：
其中，,G(a)为 G-函数满足,G(a)=aG(a-1),G(1)=1并且 G(1/2)=p
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G分布的概率密度函数调用格式：
G分布的分布函数：
G分布的逆概率分布函数：
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例 9.6
试分别绘制出 (a,l)为 (1,1),(1,0.5),(2,1),(1,2),
(3,1) 时 G分布的概率密度和分布曲线
MATLAB求解语句：
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接上页为了避免函数图像在 0附近的跳变，选择横坐标向量：
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9.1.2.7 Rayleigh分布
Rayleigh分布的概率密度为：
该函数是 b的函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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Rayleigh分布的概率密度函数调用格式：
Rayleigh分布的分布函数：
Rayleigh分布的逆概率分布函数：
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例 9.7
试分别绘制出 b=0.5,1,3,5时 Rayleigh分布的概率密度函数与分布函数曲线
MATLAB求解语句：
高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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9.1.3 概率问题的求解三个求取概率的公式：
的概率的概率的概率高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 9.8
已知某随机变量 x为 Rayleigh分布，且 b=1，
分别求出该随机变量 x值落入区间 [0.2,2]及区间 [1,?)的概率
MATLAB求解语句：
落入区间 [0.2,2]
落入区间 [1,?)
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例 9.9
二维随机变量 (x,h)的联合概率密度为求出
MATLAB求解语句：
高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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9.1.4 随机数与伪随机数生成不同种类分布的随机数的函数调用格式生成 n?m的 G分布的伪随机数矩阵生成 c2分布的伪随机数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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生成 T 分布的伪随机数生成 F 分布的伪随机数生成 Rayleigh分布的伪随机数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 9.10
令 b=1，生成 30000?1个 Rayleigh分布的随机数,并用直方图检验生成数据的概率分布情况
MATLAB求解语句：
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9.2 统计量分析随机变量的均值与方差随机变量的矩多变量随机数的协方差分析多变量正态分布的联合概率密度即分布函数基于 Monte Carlo法的数学问题求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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9.2.1 随机变量的均值与方差假设连续随机变量 x的概率密度函数为数学期望 E[x]：
数学方差 D[x]：
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例 9.11
用积分方法求取 G分布 (a>0,l>0)的均值与方差
MATLAB求解语句：
结果：
和高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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在实际中测出一组样本数据则它们的均值和方差分别为：
无偏的方差：
称 为“标准差”
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已知一组随机变量样本数据构成的向量：
求向量各个元素的均值：
求向量各个元素的方差：
求向量各个元素的标准差：
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例 9.12
生成一组 30000个正态分布随机数，均值为
0.5，标准差为 1.5，分析数据实际的均值、
方差和标准差，及减小随机变量个数的结果
MATLAB求解语句：
使用 300个随机数,
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对于常见的分布函数，可以通过 MATLAB
命令直接求出该分布的均值和方差（分布类型标识后加后缀,stat”）：
返回的变量为相关分布的均值和方差高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 9.13
求出 Rayleigh分布（ b=0.45）的均值与方差
MATLAB求解语句：
结果：
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9.2.2 随机变量的矩假设 为连续随机变量，且 为其概率密度函数，则该变量的 阶原点矩阶中心矩为：
可见，
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例 9.14
考虑 G分布 (a>0,l>0)的原点矩和中心矩，并由前几项结果总结一般规律
MATLAB求解命令：
通项表达式：
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直接求出：
计算原问题的中心矩：
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给定的随机数为一些样本点该随机变量的 阶原点矩该随机变量的 阶中心矩高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 9.15
给生成一组 30000个正态分布随机数，均值为
0.5，标准差为 1.5，试求出随机数的各阶矩
MATLAB求解命令：
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求出各阶矩的理论值：
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9.2.3 多变量随机数的协方差分析随机数为二维随机变量对 的样本二维样本的协方差：
二维样本的相关系数：
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协方差矩阵：
其中，
计算协方差矩阵的函数调用格式其中,的各列均表示不同的随机变量的样本值高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 9.16
试用 MATLAB语言产生 4个满足标准正态分布的随机变量，并求出其协方差矩阵
MATLAB求解语句：
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9.2.4 多变量正态分布的联合概率密度即分布函数给定 n组正态分布随机变量,
它们的均值分别为,可以构成一个均值向量,这些变量的协方差矩阵为,这些随机变量的联合概率密度为其中，
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求随机变量的联合概率密度的函数调用格式：
其中,为 n列的矩阵，每一列表示一个随机变量高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 9.17
给定,绘制联合概率密度函数；若协方差矩阵的非对角线元素为 0，绘制新的概率密度函数
MATLAB求解语句：
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消除协方差矩阵的非对角元素：
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产生多变量正态分布随机数的函数调用格式该函数可以生成 m组满足多变量正态分布的随机变量，返回的 为 m?n矩阵,每一列表示一个随机变量。
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例 9.18
观察均值为,协方差矩阵为的二维正态分布的伪随机数的分布情况
MATLAB求解语句：
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9.2.5 基于 Monte Carlo
法的数学问题求解
Monte Carlo法是通过大量实验来求取随机变量近似值的一种采用的方法在现代科学研究中,Monte Carlo法经常用来求解一些建模困难的问题高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 9.19
试用 Monte Carlo法近似求出 p的值数学求解公式：
MATLAB求解语句：
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例 9.20
试用 Monte Carlo法计算积分假设高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解语句：
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9.3 数理统计分析方法及计算机实现参数估计与区间估计多元线性回归与区间估计非线性函数的最小二乘参数估计与区间估计高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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9.3.1 参数估计与区间估计求取参数与区间估计的函数调用格式：
其中,是实测一组数据,m是该分布的均值,s2是该分布的 方差,Dm及 Ds2是置信区间,为用户指定的置信度高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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函数 norminv()可用于 求出相关值，这样就可以得出所需的参数
G分布的均值和方差可以通过 gamfit()
函数求出,Rayleigh分布的参数估计函数为 raylfit(),均匀分布的参数估计函数为 unifit(),Poisson分布的参数估计函数为 poissfit()
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例 9.21
试用 gamrnd()函数生成一组 a=1.5,l=3的伪随机数，用参数估计的方法以不同的置信度进行估计，比较估计结果选择置信度为,
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选择 300,3000,30000,300000,3000000个随机数，将置信度设为
MATLAB求解语句：
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9.3.2 多元线性回归与区间估计输出信号 为 n路输入信号的线性组合：
其中,为待定系数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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进行 m次实验，将实测数据列表如下：
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建立起如下的矩阵形式的方程：
其中为待定系数向量为误差构成的向量为各个观测值高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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测出的自变量值构成矩阵：
目标函数选择为使得残差的平方和最小：
系数向量 为：
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求最小二乘解的函数调用格式：
或求多变量线性回归参数估计与置信区间估计的函数调用格式：
其中,1-a为用户指定的置信度高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 9.22
给定线性回归方程如下，生成 120组随机输入值,计算输出向量,估计出系数用最小二乘计算公式：
计算出 的置信度的置信区间高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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给输出样本叠加 N(0,0.5)区间的正态分布噪声，
再 绘制参数估计的置信区间：
将噪声方差设为 0.1：
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9.3.3 非线性函数的最小二乘参数估计与区间估计假设数据 满足函数原 函数严格写成引入目标函数：
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参数估计的函数调用格式最小二乘拟合由置信度为 的置信区间与函数 lsqcurvefit()的功能相似高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 9.23
给定得出 置信度的置信区间，并叠加均匀分布的噪声信号再进行参数与区间估计
MATLAB求解语句：
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给样本点数据 叠加上 区间均匀分布的噪声信号
MATLAB求解语句：
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例 9.24
给定原型函数如下试利用 nlinfit()函数求解多变量非线性回归问题高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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定义函数并且生成观测数据高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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用非线性回归参数估计函数求出 的值，
并绘制出原观测数据与拟合数据高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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9.4 统计假设检验统计假设检验的概念及步骤假设检验问题求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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9.4.1 统计假设检验的概念及步骤先假设总体具有某种统计特征（如具有某种参数或遵从某种分布），然后再检验这个假设是否可信，这种方法称为 统计假设检验方法统计假设检验在统计学中是有重要地位的高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 9.25
已知某产品的平均强度 公斤，
现改变制作方法，从新产品中随意抽取 200
件，得平均强度为 公斤，标准差为 公斤，问强度有无显著影响引入两个命题：
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选取统计量该统计量满足标准正态分布给出显著性水平，引入 a判定出现“取伪”
错误的概率用 1-a表示假设可以被接受的的概率高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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用逆正态分布函数求出 的值，使得：
MATLAB求解命令：
计算统计量 u的值，若,则不拒绝 假设，否则拒绝该假设高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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9.4.2 假设检验问题求解正态分布的均值假设检验正态分布假设检验其他分布的 Kolmogorov-Smirnov检验高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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9.4.2.1 正态分布的均值假设检验假设检验的函数调用格式若已知正态分布的标准差 s
若未知正态分布的标准差 s
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例 9.26
试用正态分布随机数函数生成一组随机数，
并对该随机数进行均值假设检验生成一组 400个 的正态分布随机数，
并引入假设
MATLAB求解语句：
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假设设置为采用 T-检验对假设 进行检验：
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9.4.2.2 正态分布假设检验
Jarque-Bera检验的函数调用格式：
Lilliefors检验的函数调用格式：
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例 9.27
某工厂生产的白炽灯的流明为随机变量 x，
满足正态分布 N(m,s2)，随机抽取 120个样的流明数如下，试检验正态分布的假设高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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接上页高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解语句：
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接上页：
调用正态分布拟合函数 normfit()：
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例 9.28
用统计学工具箱生成一组 G分布数据，用现成函数验证其是否为正态分布数据，显然这些数据不是正态分布的，所以假设检验结果应该是 1
MATLAB求解语句：
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9.4.2.3 其他分布的
Kolmogorov-Smirnov检验
Kolmogorov-Smirnov检验是检验任意已知分布函数的一种有效的假设检验算法函数调用格式：
其中,cdffun为两列的均值，第 1列为自变量，第 2列应该为要检验的分布函数在自变量处的值高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 9.29
生成一组 G分布数据，对生成的随机数进行假设检验：该随机数满足 G分布生成 G分布的数据假设进行检验高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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9.5 方差分析与主成分分析方差分析主成分分析方法高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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9.5.1 方差分析单因子方差分析双因子方差分析多因子方差分析高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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9.5.1.1 单因子方差分析单因子方差分析就是指对一些观察来说，
只有一个外界因素可能对观测的现象产生影响求解单因子方差分析的函数调用格式其中,为需要分析的数据高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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单因子方差分析表高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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接上页高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 9.30
有 5种药物比较疗效，将 30个病人随机地分成 5组，每组使用同一种药物，并记录病人治疗时间如下表，试评价疗效高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解语句：
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9.5.1.2 双因子方差分析如果有两种因子可能影响到某现象的统计规律，则应该引入双因子方差分析的概念观测量 可以表示为一个三维数组,
表示第 1个因子取第 i个水平，第 2个因子取第 j个水平时，组内第 k个对象的观测指标。
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三个假设,
为第一因子单独作用的效应为第二因子单独作用的效应为两个因子同时作用的效应高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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3个概率的定义及意义为若 则拒绝假设若 则拒绝假设若 则拒绝假设高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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求解双因子方差分析问题的函数调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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双因素方差表高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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接上页高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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其中高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 9.31
设为比较 3种松树在 4个不同地区的生长情况有无差别，在每个地区对每种松树随机地选择 5株，测量它们的胸径，得出的数据在下文的表中给出，试对它们进行双因子方差分析高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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松树数据高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB command solutions
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计算均值：
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9.5.1.3 多因子方差分析
MATLAB语言的统计学工具箱还可以进行三因子甚至多因子的方差分析，
可以采用 manova1()函数进行多因子方差分析高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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9.5.2 主成分分析方法假设某一事件发生可能受这 N个因素影响，而实测数据共有 M组，这样可以假设这些数据由一个 矩阵表示。记该矩阵的每一列的均值为高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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主成分分析方法的一般步骤调用 corr()函数，由矩阵 可以建立起协方差矩阵高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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由 矩阵可以分别得出特征向量 和对应的排序特征值,特征向量矩阵的每一列也都进行了相应的归一化，即或求解函数,eig()和 fliplr()
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计算主成分贡献率和累计贡献率主成分贡献率,累计贡献率：
如果前 n个特征值的累计贡献率大于某个预期的指标，如,则可以认为这 n
个因素是原问题的主成分高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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建立新变量指标,即其中变换矩阵第 i列的系数 可以如下计算
，
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若前 m个成分作主成分，则矩阵 的 m列以后各值应该趋于 0，上式化为：
即，在适当的线性变换下，原来的 N维问题就可以简化成 m维问题高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 9.32
假设某三维曲线上的样本点由下列函数直接生成出来，试用主成分分析的方法对其降维处理
MATLAB生成数据：
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降维处理：
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本章内容简介本章介绍了各种常用的概率密度函数、概率分布函数，并绘制了用户指定参数下的概率密度、分布函数曲线，读者可以自己调用这些函数绘制出任意参数的曲线
MATLAB 的统计学工具箱提供了一组函数，
可以按照指定的分布生成伪随机数，这些函数的名称也可以根据表查出，可以用这些函数生成伪随机数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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给出了一些常用统计量的数学定义和
MATLAB语言求解方法及函数，如均值、
方差，原点矩与中心矩、协方差矩阵等。
还介绍了多变量分布伪随机数生成方法介绍了参数估计与区间估计问题的
MATLAB 语言求解，并对线性多元回归和一般非线性回归问题介绍了参数与区间估计算法。
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介绍了假设检验的概念，并对均值假设检验、正态分布假设检验和给定分布假设检验等问题给出了基于 MATLAB 语言的求解方法介绍了方差分析问题及其 MATLAB 求解，
介绍单因子方差分析、双因子方差分析等内容及基于 MATLAB 语言的求解方法
