高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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第 4章线性代数问题的计算机求解高等应用数学问题的 MATLAB求解清华大学出版社 2008
CAI课件开发：薛定宇、刘莹莹、董雯彬高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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第 4章 线性代数问题的计算机求解特殊矩阵的输入矩阵基本分析矩阵的基本变换与分解矩阵方程的计算机求解非线性运算与矩阵函数求值高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.1 特殊矩阵的输入数值矩阵的输入符号矩阵的输入高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.1.1 数值矩阵的输入零矩阵、幺矩阵及单位矩阵随机元素矩阵对角元素矩阵
Hankel矩阵
Hilbert矩阵及 Hilbert逆矩阵
Vandermonde 矩阵伴随矩阵高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.1.1.1 零矩阵、幺矩阵及单位矩阵生成 零矩阵、幺矩阵及单位矩阵 的语法格式方阵高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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矩形矩阵生成和矩阵 同样维数的矩阵支持多维数组和其他数据结构高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.1
生成一个 的零矩阵,并可以 生成一个和 维数相同的扩展单位阵
MATLAB求解语句注意,zeros()和 ones()也 可用于多维数组的生成高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.1.1.2 随机元素矩阵矩阵的随机元素满足在 区间上的均匀分布调用格式生成 阶标准均匀分布伪随机数方阵生成 阶标准均匀分布伪随机数矩阵高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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函数 rand()也可以用于定义多维数组定义一个与 同样大小的随机矩阵生成 区间上均匀分布的随机数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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生成满足 N(0,1)的正态分布的随机矩阵生成满足 N(m,s2)正态分布的随机数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.1.1.3 对角元素矩阵对角矩阵的数学描述其中，所有的非对角元素都为 0
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已知向量生成对角矩阵已知矩阵提取对角元素列向量生成主对角线上第 k条对角线为 V的矩阵注意,k可以是负整数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.2
diag()函数的不同调用格式生成对角矩阵对角元素提取生成主对角线上第 k条对角线为 V的矩阵高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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构造三对角矩阵构造矩阵高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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构造块对角矩阵调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.1.1.4 Hankel 矩阵
Hankel矩阵的一般形式给定两个向量 和高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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其中,是第一列,是第一行构造上三角 Hankel矩阵高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.3
建立如下的 Hankel矩阵
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.1.1.5 Hilbert矩阵及 Hilbert逆矩阵
Hilbert矩阵的一般形式其中，
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产生 Hilbert矩阵的 MATLAB函数求取 Hilbert逆矩阵的 MATLAB函数注意,Hilbert矩阵本身接近奇异的性质，在处理该矩阵时建议尽量采用符号运算工具箱高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.1.1.6 Vandermonde 矩阵
Vandermonde矩阵的数学描述其中，
生成 Vandermonde矩阵高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.4
试建立 Vandermonde 矩阵
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.1.1.7 Companion matrices
一个首一化的多项式其伴随矩阵高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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生成伴随矩阵的 MATLAB函数调用格式其中,为一多项式向量，该函数将自动对多项式进行首一化处理高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.5
考虑一个多项式求出它的伴随矩阵
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.1.2 符号矩阵的输入将数值矩阵 A转换成符号矩阵，以便求出解析解转换成符号矩阵的语法格式一些特殊矩阵，需要编写重载的函数，并置于目录 @sym下
compan,hankel,vander
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构造符号伴随矩阵高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.6
给定多项式如下用解析方法建立其伴随矩阵
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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构造符号 Hankel矩阵高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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构造符号 Vandermonde 矩阵以上三个函数应当存在 @sym目录下避免与现有的函数冲突高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.2 矩阵基本分析矩阵基本概念与性质逆矩阵与广义逆矩阵矩阵的特征值问题高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.2.1 矩阵基本概念与性质行列式矩阵的迹矩阵的秩矩阵范数特征多项式矩阵多项式的求解符号多项式与数值多项式的转换高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.2.1.1 行列式矩阵 的行列式定义为函数调用格式注意：该函数既可用于数值运算又可用于符号运算高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.7
计算如下矩阵的行列式
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.8
用解析方法计算出 的 Hilbert 矩阵的行列式
MATLAB求解语句结果高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.2.1.2 矩阵的迹假设一个方阵为它的迹定义为函数调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.2.1.3 矩阵的秩矩阵 A的秩定义为为列秩,为行秩调用格式数值方法或符号方法求秩给定精度 下求数值秩高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.9
求下列矩阵的秩
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.10
用数值方法和解析方法求解 的 Hilbert
矩阵的秩
MATLAB求解语句数值方法解析方法数值方法可能得出错误的结果高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.2.1.4 矩阵范数函数 为 向量的范数的条件：
且 的充要条件是
,a为任意标量对向量 和,有高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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以下的 p-范数满足以上的三个条件并且为向量范数的记号高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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对任意非 0向量,矩阵 A的范数是常用的矩阵范数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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为 矩阵的特征值，而 为矩阵 的最大 特征值函数调用格式默认的格式选项可以是 1,2,inf,‘fro’
注意,norm()函数仅用于数值矩阵高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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计算下列矩阵的各种范数
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.2.1.5 特征多项式由矩阵 得如下多项式多项式 是矩阵 的特征多项式函数调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.11
求出如下矩阵的特征多项式直接计算高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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使用符号运算工具箱
Leverrier-Faddeev 递推算法其中这里使用了循环结构高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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编写 MATLAB函数函数主体高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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代码，接上页高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.12
试推导出向量 对应的
Hankel矩阵的 特征多项式
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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如果多项式的表述如下则并且这里使用了循环结构高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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构造一个 MATLAB函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.13
提取由向量 构成的
Hankel矩阵的特征多项式的系数
MATLAB solutions:
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4.2.1.6 矩阵多项式的求解矩阵多项式的数学表示函数调用格式其中,是特征多项式的按降幂排列的系数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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点运算方式定义多项式运算函数调用格式给出多项式 p (符号运算工具箱 )
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Cayley-Hamilton 定理,
若矩阵 的特征多项式为那么,，即高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.14
以 Vandermonde矩阵为一个例，证明 Cayley-
Hamilton定理
MATLAB求解语句 (错误的 ):
使用 poly1()函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.2.1.7 符号多项式与数值多项式的转换给定向量数值多项式系数构成的向量转换成多项式表示符号表达式转换成系数向量的形式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.15
分别用数值形式和符号形式表示下面的多项式转换成符号形式的多项式转换成数值形式的多项式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.2.2 逆矩阵与广义逆矩阵矩阵的逆矩阵矩阵的广义逆高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.2.2.1 矩阵的逆矩阵逆矩阵的数学描述其中,是一个 的非奇异方阵，那么函数调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.16
求 Hilbert矩阵的逆
Hilbert矩阵使用 invhilb()函数来直接得到逆矩阵高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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Hilbert矩阵
Hilbert矩阵高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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符号矩阵
Hilbert逆矩阵
Hilbert逆矩阵高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.17
求如下奇异矩阵的逆矩阵
MATLAB求解语句使用符号运算工具箱高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.18
推导如下 Hankel矩阵的逆矩阵
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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本行变换的方式求解矩阵的逆高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.2.2.2 矩阵的广义逆适用于奇异或 /和矩形矩阵如果存在,那么 就叫做的广义逆矩阵，记为不唯一定义范数最小化指标高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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矩阵 为矩阵 的 Moore-Penrose广义逆矩阵的条件：
(i)
(ii)
(iii) 和 均为 Hermite对称矩阵记为唯一的
Moore-Penrose广义逆高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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调用格式按默认精度求取 Moore-Penrose广义逆按指定精度 求解广义逆矩阵高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.19
使用 pinv()函数来计算下述矩阵的逆
MATLAB 求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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检验 Moore-Penrose广义逆的三个条件检验高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.20
对下述矩阵进行基本分析求秩高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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求广义逆并验证结果高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.2.3 矩阵的特征值问题一般矩阵的特征值与特征向量矩阵的广义特征向量问题高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.2.3.1 一般矩阵的特征值与特征向量数学描述非零向量 是特征向量,数值 是特征值调用格式或高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.21
计算下述矩阵的特征值和特征向量直接运算高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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求出特征根的精确解结果：
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4.2.3.2 矩阵的广义特征向量问题数学描述非零向量 是特征向量,数值 是特征值，
是整定对称矩阵调用格式或高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.22
已知 如下，试求它们的广义特征值与特征向量矩阵。
矩阵高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.3 矩阵的基本变换与分解矩阵的相似变换与正交矩阵矩阵的三角分解和 Cholesky分解矩阵的伴随变换、对角变换和 Jordan变换矩阵的奇异值分解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.3.1 矩阵的相似变换与正交矩阵矩阵的相似变换的数学描述正交矩阵的数学描述函数调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.23
求下列矩阵的正交矩阵
MATLAB求解语句和证明高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.24
给定试求出其正交基矩阵并证明其性质高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.3.2 矩阵的三角分解和 Cholesky分解一般矩阵的三角分解对称矩阵的三角分解 —— Cholesky分解正定、正规矩阵的定义与判定高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.3.2.1 一般矩阵的三角分解数学描述其中高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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递推计算公式：
递推初值：
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MATLAB函数调用格式
LU分解为置换矩阵,
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LU分解的 MATLAB解析程序,置于 @sym下高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.25
给定两种方法调用 lu()函数
MATLAB求解语句步骤 1：
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步骤 2：
证明：
解析解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.3.2.2 对称矩阵的三角分解 —— Cholesky分解数学描述其中 是对称矩阵高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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对称矩阵的 Cholesky 分解算法函数调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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重载函数 chol()，求解析解,置于目录
@sym下注意,Cholesky分解不能用于非对称矩阵高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.26
对下列矩阵进行 Cholesky分解
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.3.2.3 正定、正规矩阵的定义与判定数学描述正定矩阵：对称矩阵所有的主子行列式均为正数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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判定正定矩阵的调用格式正规矩阵其中 是负数方阵,是 的 Hermite转置检验正规矩阵的调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.27
给定判定它是否为正定矩阵，并对其进行
Cholesky分解,
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.3.3 矩阵的伴随变换、对角变换和 Jordan变换一般矩阵变换成伴随矩阵矩阵的对角化矩阵的 Jordan变换高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.3.3.1 一般矩阵变换成伴随矩阵如果存在非奇异矩阵和列向量矩阵 可以转换成一个与类似伴随矩阵的形式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.28
给定将该矩阵转换成伴随矩阵
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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接上页标准伴随形式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.3.3.2 矩阵的对角化如果矩阵 的特征值互异，则特征向量矩阵 为非奇异矩阵，可将原矩阵变换成对角矩阵含有复数特征根的矩阵能得出复数的对角矩阵和复数相似变换矩阵。
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例 4.29
试求出下述矩阵的对角矩阵及变换矩阵
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.30
试求出下述矩阵的对角矩阵变换
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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如若得出实矩阵可以得出改进的 Jordan矩阵及其变换矩阵为高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.3.3.3 矩阵的 Jordan变换
Jordan变换用于处理含有重特征值的矩阵函数调用格式只返回 Jordan矩阵返回 Jordan矩阵,和广义特征向量矩阵高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.31
给定分别用数值方法和解析方法求出该矩阵的特征值与特征向量矩阵高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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数值和解析方法高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.32
求如下矩阵的 Jordan分解
MATLAB 求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.33
试得出下面矩阵的 Jordan标准型和变换矩阵高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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得出实矩阵直接进行相似变换高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.3.4 矩阵的奇异值分解数学描述理论上奇异值定义其中,是非负特征值高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.34
给定计算它的秩，其中计算
MATLAB直接求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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奇异值分解 (SVD)的数学描述其中,是一个 矩阵,和 为正交矩阵是对角矩阵对角元素满足高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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函数调用格式只计算矩阵的奇异值矩阵奇异值与变换矩阵高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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矩阵的条件数其中,和 是最大的奇异值，
和 是最大的奇异值函数调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.35
对下列矩阵进行奇异值分解
MATLAB求解语句：
条件数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.36
对下面的矩阵进行奇异值分解，并验证结果
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.4 矩阵方程的计算机求解线性方程组的计算机求解
Lyapunov方程的计算机求解
Sylvester方程的计算机求解
Riccati方程的计算机求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.4.1 线性方程组的计算机求解数学描述其中,和 为给定矩阵高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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存在定理：
当 并且,则唯一解存在函数调用格式注意：推荐使用符号运算方法唯一解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.37
求解线性代数方程高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解语句：
高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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解的判定矩阵当,则方程组有无穷多个解方程组有无穷多解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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通解其中,是任意常数函数调用格式求解 矩阵的化零矩阵求解 矩阵的化零矩阵的规范形式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.38
求下列方程组的解
MATLAB求解语句判定矩阵方程的可解性高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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通解采用基本行变换方法：
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例 4.39
试求解线性代数方程组高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解语句：
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如果,则只能利用
Moore-Penrose广义逆求解出方程的最小二乘解它使误差的范数测度取最小值,
方程组无解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.40
试求方程组
MATLAB求解语句最小二乘解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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如果线性方程组为对上式两端进行转置处理式中，
再套用上述的几种情况，则可以求解原始线性方程组高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.4.2 Lyapunov方程的计算机求解连续 Lyapunov方程
Lyapunov方程的解析解
Stein方程的求解离散 Lyapunov方程高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.4.2.1 连续 Lyapunov方程书序描述这里，假定 为对称正定的 矩阵函数调用格式（该函数为控制系统工具箱中的函数）
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例 4.41
给定求解相应的 Lyapunov方程，并验证精度
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.4.2.2 Lyapunov方程的解析解数学描述将 Lyapunov方程的各个矩阵参数表示为高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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接前页可以将 Lyapunov方程改写成,
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表示矩阵 和 的 Kronecker乘积函数调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.42
给定试求解得到 Lyapunov方程的解析解
MATLAB求解语句：
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例 4.43
假定其中,不为实对称正定矩阵考察，由它们构成的 Lyapunov方程是否有解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解语句结论：不考虑 Lyapunov方程稳定性的物理意义和函数的能量意义，矩阵 C可以是任一个高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.4.2.3 Stein方程的求解数学描述所有矩阵都为 方阵令 为 矩阵的向量展开,为 矩阵的向量展开,Stein方程可以由下面的线性方程直接解出高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.44
试求解 Stein方程
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.4.2.4 离散 Lyapunov方程数学描述函数调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.45
求解离散 Lyapunov方程
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.4.3 Sylvester方程的计算机求解广义 Lyapunov方程的数学描述函数调用格式使用 Kronecker乘积得到解析解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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构造 MATLAB函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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函数调用格式连续 Lyapunov方程离散 Lyapunov方程，重新写成
Sylvester方程高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.46
求解下面的 Sylvester方程高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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数值解解析解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.47
是得到如下方程的解析解
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.48
求解下面的 Sylvester方程
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.4.4 Riccati方程的计算机求解
Riccati方程的数学描述函数调用格式注意：函数 are( )是基于数值运算的方法，
ARE表示,algebraic Riccati equation.”
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例 4.49
解由如下矩阵构成的 Riccati方程高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解语句结果遗留问题：对于二次方程，只能得到一个解，见第六章高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.5 非线性运算与矩阵函数求值面向矩阵元素的非线性运算矩阵函数求值高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.5.1 面向矩阵元素的非线性运算常用的面向矩阵元素的非线性运算函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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接上页函数调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.50
给定对该矩阵进行面向矩阵元素的指数和正弦运算
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4.5.2 矩阵函数求值矩阵指数的运算矩阵的三角函数运算矩阵三角函数的解析求解一般矩阵函数的运算高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.5.2.1 矩阵指数的运算共有 19种不同的数值算法可以求解出矩阵指数
MATLAB的内置函数的调用格式也可以同样用于符号运算高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.51
给定求出,和解析解数值求解法高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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函数 expm()也可用于符号矩阵的求解结果高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.52
给定矩阵试求出
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使用基于 Jordan矩阵变换的矩阵处理方法：
那么，原矩阵的指数函数为高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.5.2.2 矩阵的三角函数运算
MATLAB下没有对矩阵进行三角函数运算的现成函数求解任意非线性矩阵函数的函数调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.53
给定求出
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正弦函数的 Taylor级数展开构造一个 MATLAB函数,实现正弦函数幂级数的展开高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.54
给定试求出
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根据著名的 Euler公式推导出此公式可以直接用于矩阵的形式
4.5.2.3 矩阵三角函数的解析求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.55
给定求解
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例 4.56
给定已知该矩阵有重特征根,试求出该矩阵的正弦函数 和余弦函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.5.2.4 一般矩阵函数的运算将 Jordan块记成其中,为 Jordan矩阵的 重特征值为幂零矩阵，即下式成立矩阵函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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将任意已知矩阵 进行 Jordan分解则对该矩阵的任意函数运算符如下高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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构造 MATLAB函数，求取矩阵函数的解析解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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解上页高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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接上页高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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该函数的调用格式其中,为符号型自变量,为 的函数表示高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.57
给定矩阵求下列矩阵函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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输入到 MATLAB环境中,并求解冗余结果，只给出左上角的一项高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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合并同类项的化简化简结果当 精确数值解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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本章要点简介本章介绍了零矩阵、幺矩阵、单位矩阵、
随机数矩阵、对角矩阵等特殊矩阵的
MATLAB 函数，并介绍用 MATLAB 语言的符号运算工具箱语句编写输出符号矩阵的方法。
可以利用 MATLAB 语句对给定矩阵进行数值解与解析解分析，如计算矩阵的行列式、
迹、秩、范数、特征多项式、逆矩阵和广义逆矩阵、特征值与特征向量等。
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本章还介绍了矩阵的分解方法，如 LU 分解、
正交分解、对称矩阵的 Cholesky 分解、
Jordan 分解、奇异值分解等，介绍利用
MATLAB 语言直接对矩阵分解的数值解和解析解方法。
本章分析了线性代数方程可解的条件，分别对唯一解、无穷解和无解等问题进行处理，给出了基于 MATLAB 语言的无穷解的基础解系与通解求取方法，还介绍了无解方程的最小二乘求解方法等。
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分析了连续、离散 Lyapunov 方程及 Sylvester 方程的数值解法和基于 Kronecker 乘积的解析解算法，
并给出了解析解函数实现。还研究了基于
MATLAB语言的二次型 Riccatti 方程的数值解法。
引入了逐点函数求值和矩阵函数求值的概念，并对指数函数、三角函数等矩阵函数求值给出了基于
MATLAB 语言的解析解、数值解方法，并给出了基于 Jordan 分解的矩阵一般矩阵函数求值方法和
MATLAB 程序，可以推出诸如 型的任意矩阵函数求值 MATLAB 解析程序，理论上可以求解任意复杂的矩阵函数求值问题。
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第 4章线性代数问题的计算机求解高等应用数学问题的 MATLAB求解清华大学出版社 2008
CAI课件开发：薛定宇、刘莹莹、董雯彬高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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第 4章 线性代数问题的计算机求解特殊矩阵的输入矩阵基本分析矩阵的基本变换与分解矩阵方程的计算机求解非线性运算与矩阵函数求值高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.1 特殊矩阵的输入数值矩阵的输入符号矩阵的输入高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.1.1 数值矩阵的输入零矩阵、幺矩阵及单位矩阵随机元素矩阵对角元素矩阵
Hankel矩阵
Hilbert矩阵及 Hilbert逆矩阵
Vandermonde 矩阵伴随矩阵高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.1.1.1 零矩阵、幺矩阵及单位矩阵生成 零矩阵、幺矩阵及单位矩阵 的语法格式方阵高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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矩形矩阵生成和矩阵 同样维数的矩阵支持多维数组和其他数据结构高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.1
生成一个 的零矩阵,并可以 生成一个和 维数相同的扩展单位阵
MATLAB求解语句注意,zeros()和 ones()也 可用于多维数组的生成高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.1.1.2 随机元素矩阵矩阵的随机元素满足在 区间上的均匀分布调用格式生成 阶标准均匀分布伪随机数方阵生成 阶标准均匀分布伪随机数矩阵高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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函数 rand()也可以用于定义多维数组定义一个与 同样大小的随机矩阵生成 区间上均匀分布的随机数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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生成满足 N(0,1)的正态分布的随机矩阵生成满足 N(m,s2)正态分布的随机数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.1.1.3 对角元素矩阵对角矩阵的数学描述其中，所有的非对角元素都为 0
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已知向量生成对角矩阵已知矩阵提取对角元素列向量生成主对角线上第 k条对角线为 V的矩阵注意,k可以是负整数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.2
diag()函数的不同调用格式生成对角矩阵对角元素提取生成主对角线上第 k条对角线为 V的矩阵高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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构造三对角矩阵构造矩阵高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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构造块对角矩阵调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.1.1.4 Hankel 矩阵
Hankel矩阵的一般形式给定两个向量 和高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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其中,是第一列,是第一行构造上三角 Hankel矩阵高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.3
建立如下的 Hankel矩阵
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.1.1.5 Hilbert矩阵及 Hilbert逆矩阵
Hilbert矩阵的一般形式其中，
高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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产生 Hilbert矩阵的 MATLAB函数求取 Hilbert逆矩阵的 MATLAB函数注意,Hilbert矩阵本身接近奇异的性质，在处理该矩阵时建议尽量采用符号运算工具箱高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.1.1.6 Vandermonde 矩阵
Vandermonde矩阵的数学描述其中，
生成 Vandermonde矩阵高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.4
试建立 Vandermonde 矩阵
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.1.1.7 Companion matrices
一个首一化的多项式其伴随矩阵高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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生成伴随矩阵的 MATLAB函数调用格式其中,为一多项式向量，该函数将自动对多项式进行首一化处理高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.5
考虑一个多项式求出它的伴随矩阵
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.1.2 符号矩阵的输入将数值矩阵 A转换成符号矩阵，以便求出解析解转换成符号矩阵的语法格式一些特殊矩阵，需要编写重载的函数，并置于目录 @sym下
compan,hankel,vander
高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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构造符号伴随矩阵高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.6
给定多项式如下用解析方法建立其伴随矩阵
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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构造符号 Hankel矩阵高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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构造符号 Vandermonde 矩阵以上三个函数应当存在 @sym目录下避免与现有的函数冲突高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.2 矩阵基本分析矩阵基本概念与性质逆矩阵与广义逆矩阵矩阵的特征值问题高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.2.1 矩阵基本概念与性质行列式矩阵的迹矩阵的秩矩阵范数特征多项式矩阵多项式的求解符号多项式与数值多项式的转换高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.2.1.1 行列式矩阵 的行列式定义为函数调用格式注意：该函数既可用于数值运算又可用于符号运算高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.7
计算如下矩阵的行列式
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.8
用解析方法计算出 的 Hilbert 矩阵的行列式
MATLAB求解语句结果高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.2.1.2 矩阵的迹假设一个方阵为它的迹定义为函数调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.2.1.3 矩阵的秩矩阵 A的秩定义为为列秩,为行秩调用格式数值方法或符号方法求秩给定精度 下求数值秩高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.9
求下列矩阵的秩
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.10
用数值方法和解析方法求解 的 Hilbert
矩阵的秩
MATLAB求解语句数值方法解析方法数值方法可能得出错误的结果高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.2.1.4 矩阵范数函数 为 向量的范数的条件：
且 的充要条件是
,a为任意标量对向量 和,有高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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以下的 p-范数满足以上的三个条件并且为向量范数的记号高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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对任意非 0向量,矩阵 A的范数是常用的矩阵范数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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为 矩阵的特征值，而 为矩阵 的最大 特征值函数调用格式默认的格式选项可以是 1,2,inf,‘fro’
注意,norm()函数仅用于数值矩阵高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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计算下列矩阵的各种范数
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.2.1.5 特征多项式由矩阵 得如下多项式多项式 是矩阵 的特征多项式函数调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.11
求出如下矩阵的特征多项式直接计算高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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使用符号运算工具箱
Leverrier-Faddeev 递推算法其中这里使用了循环结构高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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编写 MATLAB函数函数主体高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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代码，接上页高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.12
试推导出向量 对应的
Hankel矩阵的 特征多项式
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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如果多项式的表述如下则并且这里使用了循环结构高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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构造一个 MATLAB函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.13
提取由向量 构成的
Hankel矩阵的特征多项式的系数
MATLAB solutions:
高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.2.1.6 矩阵多项式的求解矩阵多项式的数学表示函数调用格式其中,是特征多项式的按降幂排列的系数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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点运算方式定义多项式运算函数调用格式给出多项式 p (符号运算工具箱 )
高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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Cayley-Hamilton 定理,
若矩阵 的特征多项式为那么,，即高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.14
以 Vandermonde矩阵为一个例，证明 Cayley-
Hamilton定理
MATLAB求解语句 (错误的 ):
使用 poly1()函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.2.1.7 符号多项式与数值多项式的转换给定向量数值多项式系数构成的向量转换成多项式表示符号表达式转换成系数向量的形式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.15
分别用数值形式和符号形式表示下面的多项式转换成符号形式的多项式转换成数值形式的多项式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.2.2 逆矩阵与广义逆矩阵矩阵的逆矩阵矩阵的广义逆高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.2.2.1 矩阵的逆矩阵逆矩阵的数学描述其中,是一个 的非奇异方阵，那么函数调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.16
求 Hilbert矩阵的逆
Hilbert矩阵使用 invhilb()函数来直接得到逆矩阵高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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Hilbert矩阵
Hilbert矩阵高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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符号矩阵
Hilbert逆矩阵
Hilbert逆矩阵高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.17
求如下奇异矩阵的逆矩阵
MATLAB求解语句使用符号运算工具箱高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.18
推导如下 Hankel矩阵的逆矩阵
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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本行变换的方式求解矩阵的逆高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.2.2.2 矩阵的广义逆适用于奇异或 /和矩形矩阵如果存在,那么 就叫做的广义逆矩阵，记为不唯一定义范数最小化指标高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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矩阵 为矩阵 的 Moore-Penrose广义逆矩阵的条件：
(i)
(ii)
(iii) 和 均为 Hermite对称矩阵记为唯一的
Moore-Penrose广义逆高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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调用格式按默认精度求取 Moore-Penrose广义逆按指定精度 求解广义逆矩阵高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.19
使用 pinv()函数来计算下述矩阵的逆
MATLAB 求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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检验 Moore-Penrose广义逆的三个条件检验高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.20
对下述矩阵进行基本分析求秩高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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求广义逆并验证结果高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.2.3 矩阵的特征值问题一般矩阵的特征值与特征向量矩阵的广义特征向量问题高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.2.3.1 一般矩阵的特征值与特征向量数学描述非零向量 是特征向量,数值 是特征值调用格式或高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.21
计算下述矩阵的特征值和特征向量直接运算高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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求出特征根的精确解结果：
高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.2.3.2 矩阵的广义特征向量问题数学描述非零向量 是特征向量,数值 是特征值，
是整定对称矩阵调用格式或高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.22
已知 如下，试求它们的广义特征值与特征向量矩阵。
矩阵高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.3 矩阵的基本变换与分解矩阵的相似变换与正交矩阵矩阵的三角分解和 Cholesky分解矩阵的伴随变换、对角变换和 Jordan变换矩阵的奇异值分解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.3.1 矩阵的相似变换与正交矩阵矩阵的相似变换的数学描述正交矩阵的数学描述函数调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.23
求下列矩阵的正交矩阵
MATLAB求解语句和证明高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.24
给定试求出其正交基矩阵并证明其性质高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.3.2 矩阵的三角分解和 Cholesky分解一般矩阵的三角分解对称矩阵的三角分解 —— Cholesky分解正定、正规矩阵的定义与判定高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.3.2.1 一般矩阵的三角分解数学描述其中高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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递推计算公式：
递推初值：
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MATLAB函数调用格式
LU分解为置换矩阵,
高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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LU分解的 MATLAB解析程序,置于 @sym下高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.25
给定两种方法调用 lu()函数
MATLAB求解语句步骤 1：
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步骤 2：
证明：
解析解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.3.2.2 对称矩阵的三角分解 —— Cholesky分解数学描述其中 是对称矩阵高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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对称矩阵的 Cholesky 分解算法函数调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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重载函数 chol()，求解析解,置于目录
@sym下注意,Cholesky分解不能用于非对称矩阵高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.26
对下列矩阵进行 Cholesky分解
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.3.2.3 正定、正规矩阵的定义与判定数学描述正定矩阵：对称矩阵所有的主子行列式均为正数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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判定正定矩阵的调用格式正规矩阵其中 是负数方阵,是 的 Hermite转置检验正规矩阵的调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.27
给定判定它是否为正定矩阵，并对其进行
Cholesky分解,
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.3.3 矩阵的伴随变换、对角变换和 Jordan变换一般矩阵变换成伴随矩阵矩阵的对角化矩阵的 Jordan变换高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.3.3.1 一般矩阵变换成伴随矩阵如果存在非奇异矩阵和列向量矩阵 可以转换成一个与类似伴随矩阵的形式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.28
给定将该矩阵转换成伴随矩阵
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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接上页标准伴随形式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.3.3.2 矩阵的对角化如果矩阵 的特征值互异，则特征向量矩阵 为非奇异矩阵，可将原矩阵变换成对角矩阵含有复数特征根的矩阵能得出复数的对角矩阵和复数相似变换矩阵。
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例 4.29
试求出下述矩阵的对角矩阵及变换矩阵
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例 4.30
试求出下述矩阵的对角矩阵变换
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如若得出实矩阵可以得出改进的 Jordan矩阵及其变换矩阵为高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.3.3.3 矩阵的 Jordan变换
Jordan变换用于处理含有重特征值的矩阵函数调用格式只返回 Jordan矩阵返回 Jordan矩阵,和广义特征向量矩阵高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.31
给定分别用数值方法和解析方法求出该矩阵的特征值与特征向量矩阵高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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数值和解析方法高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.32
求如下矩阵的 Jordan分解
MATLAB 求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.33
试得出下面矩阵的 Jordan标准型和变换矩阵高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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得出实矩阵直接进行相似变换高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.3.4 矩阵的奇异值分解数学描述理论上奇异值定义其中,是非负特征值高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.34
给定计算它的秩，其中计算
MATLAB直接求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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奇异值分解 (SVD)的数学描述其中,是一个 矩阵,和 为正交矩阵是对角矩阵对角元素满足高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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函数调用格式只计算矩阵的奇异值矩阵奇异值与变换矩阵高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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矩阵的条件数其中,和 是最大的奇异值，
和 是最大的奇异值函数调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.35
对下列矩阵进行奇异值分解
MATLAB求解语句：
条件数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.36
对下面的矩阵进行奇异值分解，并验证结果
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.4 矩阵方程的计算机求解线性方程组的计算机求解
Lyapunov方程的计算机求解
Sylvester方程的计算机求解
Riccati方程的计算机求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.4.1 线性方程组的计算机求解数学描述其中,和 为给定矩阵高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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存在定理：
当 并且,则唯一解存在函数调用格式注意：推荐使用符号运算方法唯一解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.37
求解线性代数方程高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解语句：
高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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解的判定矩阵当,则方程组有无穷多个解方程组有无穷多解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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通解其中,是任意常数函数调用格式求解 矩阵的化零矩阵求解 矩阵的化零矩阵的规范形式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.38
求下列方程组的解
MATLAB求解语句判定矩阵方程的可解性高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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通解采用基本行变换方法：
高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.39
试求解线性代数方程组高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解语句：
高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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如果,则只能利用
Moore-Penrose广义逆求解出方程的最小二乘解它使误差的范数测度取最小值,
方程组无解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.40
试求方程组
MATLAB求解语句最小二乘解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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如果线性方程组为对上式两端进行转置处理式中，
再套用上述的几种情况，则可以求解原始线性方程组高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.4.2 Lyapunov方程的计算机求解连续 Lyapunov方程
Lyapunov方程的解析解
Stein方程的求解离散 Lyapunov方程高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.4.2.1 连续 Lyapunov方程书序描述这里，假定 为对称正定的 矩阵函数调用格式（该函数为控制系统工具箱中的函数）
高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.41
给定求解相应的 Lyapunov方程，并验证精度
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.4.2.2 Lyapunov方程的解析解数学描述将 Lyapunov方程的各个矩阵参数表示为高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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接前页可以将 Lyapunov方程改写成,
高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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表示矩阵 和 的 Kronecker乘积函数调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.42
给定试求解得到 Lyapunov方程的解析解
MATLAB求解语句：
高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.43
假定其中,不为实对称正定矩阵考察，由它们构成的 Lyapunov方程是否有解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解语句结论：不考虑 Lyapunov方程稳定性的物理意义和函数的能量意义，矩阵 C可以是任一个高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.4.2.3 Stein方程的求解数学描述所有矩阵都为 方阵令 为 矩阵的向量展开,为 矩阵的向量展开,Stein方程可以由下面的线性方程直接解出高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.44
试求解 Stein方程
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.4.2.4 离散 Lyapunov方程数学描述函数调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.45
求解离散 Lyapunov方程
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.4.3 Sylvester方程的计算机求解广义 Lyapunov方程的数学描述函数调用格式使用 Kronecker乘积得到解析解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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构造 MATLAB函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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函数调用格式连续 Lyapunov方程离散 Lyapunov方程，重新写成
Sylvester方程高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.46
求解下面的 Sylvester方程高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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数值解解析解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.47
是得到如下方程的解析解
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.48
求解下面的 Sylvester方程
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.4.4 Riccati方程的计算机求解
Riccati方程的数学描述函数调用格式注意：函数 are( )是基于数值运算的方法，
ARE表示,algebraic Riccati equation.”
高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.49
解由如下矩阵构成的 Riccati方程高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解语句结果遗留问题：对于二次方程，只能得到一个解，见第六章高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.5 非线性运算与矩阵函数求值面向矩阵元素的非线性运算矩阵函数求值高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.5.1 面向矩阵元素的非线性运算常用的面向矩阵元素的非线性运算函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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接上页函数调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.50
给定对该矩阵进行面向矩阵元素的指数和正弦运算
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.5.2 矩阵函数求值矩阵指数的运算矩阵的三角函数运算矩阵三角函数的解析求解一般矩阵函数的运算高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.5.2.1 矩阵指数的运算共有 19种不同的数值算法可以求解出矩阵指数
MATLAB的内置函数的调用格式也可以同样用于符号运算高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.51
给定求出,和解析解数值求解法高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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函数 expm()也可用于符号矩阵的求解结果高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.52
给定矩阵试求出
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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使用基于 Jordan矩阵变换的矩阵处理方法：
那么，原矩阵的指数函数为高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.5.2.2 矩阵的三角函数运算
MATLAB下没有对矩阵进行三角函数运算的现成函数求解任意非线性矩阵函数的函数调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.53
给定求出
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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正弦函数的 Taylor级数展开构造一个 MATLAB函数,实现正弦函数幂级数的展开高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.54
给定试求出
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根据著名的 Euler公式推导出此公式可以直接用于矩阵的形式
4.5.2.3 矩阵三角函数的解析求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.55
给定求解
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.56
给定已知该矩阵有重特征根,试求出该矩阵的正弦函数 和余弦函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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4.5.2.4 一般矩阵函数的运算将 Jordan块记成其中,为 Jordan矩阵的 重特征值为幂零矩阵，即下式成立矩阵函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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将任意已知矩阵 进行 Jordan分解则对该矩阵的任意函数运算符如下高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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构造 MATLAB函数，求取矩阵函数的解析解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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解上页高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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接上页高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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该函数的调用格式其中,为符号型自变量,为 的函数表示高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 4.57
给定矩阵求下列矩阵函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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输入到 MATLAB环境中,并求解冗余结果，只给出左上角的一项高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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合并同类项的化简化简结果当 精确数值解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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本章要点简介本章介绍了零矩阵、幺矩阵、单位矩阵、
随机数矩阵、对角矩阵等特殊矩阵的
MATLAB 函数，并介绍用 MATLAB 语言的符号运算工具箱语句编写输出符号矩阵的方法。
可以利用 MATLAB 语句对给定矩阵进行数值解与解析解分析，如计算矩阵的行列式、
迹、秩、范数、特征多项式、逆矩阵和广义逆矩阵、特征值与特征向量等。
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本章还介绍了矩阵的分解方法，如 LU 分解、
正交分解、对称矩阵的 Cholesky 分解、
Jordan 分解、奇异值分解等，介绍利用
MATLAB 语言直接对矩阵分解的数值解和解析解方法。
本章分析了线性代数方程可解的条件，分别对唯一解、无穷解和无解等问题进行处理，给出了基于 MATLAB 语言的无穷解的基础解系与通解求取方法，还介绍了无解方程的最小二乘求解方法等。
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分析了连续、离散 Lyapunov 方程及 Sylvester 方程的数值解法和基于 Kronecker 乘积的解析解算法，
并给出了解析解函数实现。还研究了基于
MATLAB语言的二次型 Riccatti 方程的数值解法。
引入了逐点函数求值和矩阵函数求值的概念，并对指数函数、三角函数等矩阵函数求值给出了基于
MATLAB 语言的解析解、数值解方法，并给出了基于 Jordan 分解的矩阵一般矩阵函数求值方法和
MATLAB 程序，可以推出诸如 型的任意矩阵函数求值 MATLAB 解析程序，理论上可以求解任意复杂的矩阵函数求值问题。
