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第 7章微分方程问题的计算机求解高等应用数学问题的 MATLAB求解清华大学出版社 2008
CAI课件开发：薛定宇、刘莹莹、董雯彬高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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第 7章 微分方程问题的计算机求解常系数线性微分方程的解析解方法微分方程问题的数值解法微分方程转换特殊微分方程的数值解边值问题的计算机求解偏微分方程求解入门微分方程的框图求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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7.1 常系数线性微分方程的解析解方法线性常系数微分方程解析解的数学描述微分方程的解析解方法
Laplace变换在线性微分方程求解中的应用线性状态空间方程的解析解特殊非线性微分方程的解析解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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7.1.1 线性常系数微分方程解析解的数学描述常系数线性微分方程的一般描述方法为其中,均为常数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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对零初值问题：
对应得出 Laplace变换为设代数方程的特征根 si均相异，则解析解为其中 Ci为待定系数，并且 g(t)是满足 u(t)输入的一个特解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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简单形式，自变量设为 t
指明自变量 x
7.1.2 微分方程的解析解方法高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 7.1
假设输入信号为试求出下面微分方程的通解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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假设有如下初值条件结果为：
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假设则可以获得方程的解析解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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最终的近似结果为：
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例 7.2
给定输入信号,求解其中，
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结果：
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例 7.3
试求解线性微分方程组的解析解直接求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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7.1.3 Laplace变换在线性微分方程求解中的应用传递函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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那么，输出信号可以表示成如下的 s-域函数其中，
如果 U(s) 是一个有理函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 7.4
给定输入信号 u(t)=e-5tcos(2t+1)+5，假定所有的初始条件都为 0，试求出下述微分方程的解析解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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用 Laplace变换法高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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在时域中输出信号的解析解：
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使用 dsolve()函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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绘制解曲线：
解析解相同高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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7.1.4 线性状态空间方程的解析解假设线性状态空间模型的一般表示为其中,A,B,C,D是常数矩阵,且已知状态向量初值,该方程的解析解是：
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例 7.5
给定输入信号为 u(t) = 2 + 2e-3t sin 2t，求出下面矩阵描述的状态空间方程的解析解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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直接积分法求出结果高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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7.1.5 特殊非线性微分方程的解析解只有少数非线性微分方程可以通过
dsolve()函数得出解析解通过例子演示非线性方程的解析解求解同时还将演示不能求解的例子高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 7.6
求解非线性微分方程：
改变原微分方程的形式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 7.7
试求出著名的 Van der Pol方程的解析解尝试如下的 MATLAB命令高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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7.2 微分方程问题的数值解法微分方程问题算法概述四阶定步长 Runge-Kutta算法及 MATLAB实现一阶微分方程组的数值解微分方程数值解的验证高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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7.2.1 微分方程问题算法概述一阶显式的微分方程组标准形式其中，
状态向量非线性函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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7.2.1.1 微分方程求解的误差与步长问题
Euler算法：
设初始时刻系统状态向量的值为微分方程左侧的导数近似为：
时刻微分方程的近似解为,
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在 时刻系统状态向量的值为：
简记为故可以假设在 tk时刻系统的状态向量为 xk在时刻 Euler算法的数值解为：
h 被称为步长高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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不能无限制地减小 h的值的两条原因：
减慢计算速度增加累积误差在对微分方程求解过程中应采取的三个措施：
选择适当的步长改进近似算法精度采用变步长方法高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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7.2.2 四阶定步长 Runge-Kutta
算法及 MATLAB实现四阶定步长 Runge-Kutta算法的数学描述：
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其中 h为计算步长下一个步长的状态变量值为：
MATLAB调用格式函数中使用了循环结构高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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构造 MATLAB函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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7.2.3 一阶微分方程组的数值解四阶五级 Runge-Kutta-Felhberg算法基于 MATLAB的微分方程求解函数
MATLAB下带有附加参数的微分方程求解微分方程数值解的验证高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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7.2.3.1 四阶五级 Runge-Kutta-
Felhberg算法
Runge-Kutta-Felhberg算法假设当前的步长为 hk,定义 6 个 ki变量：
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下一步的状态向量定义一个误差向量：
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7.2.3.2 基于 MATLAB
的微分方程求解函数求解常微分方程的 MATLAB函数调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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描述需要求解的微分方程组,
修改控制变量,
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微分方程的求解步骤写出微分方程的数学形式编辑方程的 MATLAB代码
M-函数匿名函数
Inline函数，不推荐使用求解方程将绘制结果证明结果的正确性高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 7.8
求解下列 Lorenz模型式中参数为初始条件为高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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方程的描述
Inline函数（不推荐使用）
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MATLAB求解命令用 comet3()绘制相空间轨迹高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 7.9
试用匿名函数描述例 7.8的 该方程，并求出该微分方程的数值解，与前面的结果进行比较定义该方程：
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MATLAB求解语句：
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引入附加参数的目的在前面的例子中，如果参数改变,不需要修改原函数可以利用附带的参数新的函数编辑格式新的函数调用命令
7.2.3.3 MATLAB下带有附加参数的微分方程求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 7.10
试编写带有附加参数的 MATLAB函数来描述
Lorenz方程,求解 和一组新参数 下方程的数值解编写带附加参数的方程，并求解：
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接上页高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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选择新参数新的调用命令高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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7.2.4 微分方程数值解的验证仿真算法和控制参数选择不当，如相对误差限，则可能得出不可信的结果，甚至是错误的结果修改仿真控制参数，如可以接受的误差限，
再判断是否和上次得出的结果一致选择不同的微分方程求解算法高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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7.3 微分方程转换单个高阶常微分方程处理方法高阶常微分方程组的变换方法矩阵微分方程的变换与求解方法高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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7.3.1 单个高阶常微分方程处理方法一个高阶常微分方程的一般形式为：
输出变量的各阶导数初始值为：
选择一组状态变量：
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原高阶常微分方程模型变换为下述一阶微分方程组：
初值为：
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例 7.11
Van der Pol 方程初值为选择初值为新微分方程组
MATLAB代码：
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MATLAB求解：
一个反例高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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一个反例给定如下参数建议,不要运行下述语句应该使用刚性微分方程的算法高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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7.3.2 高阶常微分方程组的变换方法多元高阶常微分方程组的处理状态变量的选择不唯一建议：选择如下状态变量高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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新的状态方程是：
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例 7.12
Apollo卫星的运动轨迹 (x,y)满足下面的方程其中,并且初始状态高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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选择一组状态变量：
得出一阶常微分方程组：
其中，
并且高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB描述高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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求解：
改变精度：
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绘制计算步长的曲线，求解全程所采用的最小步长：
评注不应当太依赖于默认值最好设置一下控制精度到步长值必须达到 0.0001
对结果应该进行验证高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 7.13
用定步长的四阶 Runge-Kutta算法求下式其中，
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选择步长为 0.01：
选择步长为 0.001：
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例 7.14
转换成一阶微分方程组选择状态变量：
并且高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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带入第二个等式得出得出一阶微分方程组：
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使用 solve()函数和前面完全一致的结果高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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7.3.3 矩阵微分方程的变换与求解方法
Lagrange方程其中,均为 矩阵均为 矩阵选择状态变量高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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写出系统的状态方程模型可以重新写为其中，
因此，矩阵方程可以通过函数 ode45()或
ode15s()来求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 7.15
考虑二级倒立摆系统的数学模型其中,q= [a,q1,q2]T，和 a为小车位置,q1，
q2为 下摆杆、上摆杆与垂直方向夹角，则矩阵 为：
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参数为高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB描述语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解代码：
原系统并不稳定高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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若矩阵 与 无关，则该微分方程为线性微分方程，相应的线性状态方程模型为高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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Riccati微分方程
Riccati微分方程的数学描述求解这样的方程同样需要转换成向量型一阶显式微分方程组，然后进行求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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描述微分 Riccati方程的 MATLAB函数
MATLAB求解语句调用格式允许终止时间小于起始时间高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 7.16
若已知某微分 Riccati方程中矩阵及初值如下，
试求解该方程高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解语句：
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7.4 特殊微分方程的数值解刚性微分方程的求解隐式微分方程求解微分代数方程的求解延迟微分方程求解切换微分方程的求解随机线性微分方程的求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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7.4.1 刚性微分方程的求解
Van der Pol方程中与上述方程类似的微分方程中，某些状态的解变化缓慢，另一些变化快这类方程被称为刚性方程而应该使用函数 ode15s()求解该类方程,
函数的调用格式和 ode45()完全一致高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 7.17
试求解 m=1000时的 Van der Pol方程的数值解
MATLAB求解语句：
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例 7.18
求解该微分方程传统的教科书中，都认为上式为刚性的解析解：
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该问题的数值解：
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使用定步长算法：
为了得到更好的结果，需要减小步长值，
但是，计算的速度会随之降低高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 7.19
对下式用数值解法求解：
初值条件
MATLAB求解语句：
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变步长解法：
用函数 ode15s()替代函数 ode45()：
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7.4.2 隐式微分方程求解所谓隐式微分方程，就是那些不能转换成式一阶显式常微分方程组的微分方程可以借用显式微分方程求解的函数来求解这类问题或者使用函数 ode15i()
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例 7.20
给定 x1(0)=x2(0)=0，求下式的数值解令 x=[x1,x2]T，可以将原微分方程改写成矩阵形式：
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其中
MATLAB求解语句：
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例 7.21
给定 x(0)=[1,0,0,1]T，求下式的数值解定义状态变量：
改写原隐式方程：
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用 MATLAB描述原方程求解方程：
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使用函数 ode15i()
MATLAB 7.0版本的新函数 ode15i()可以直接用于隐式微分方程的求解,
隐式微分方程的数学描述为：
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编写函数 fun()描述该隐式微分方程，再
decic()函数求出未完全定义的初值条件函数 decic()的 调用格式求解隐式微分方程的函数调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 7.22
给定初始状态 x(0)=[1,0,0,1]T，用隐式微分方程求解的方法解出：
选择状态变量：
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原方程可以变换成：
考虑下述形式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解语句：
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7.4.3 微分代数方程的求解所谓微分代数方程 (DAE)，是指在微分方程中，某些变量间满足某些代数方程的约束微分方程的更一般形式可以写成：
微分代数方程中,矩阵为奇异矩阵微分代数方程的求解中不能使用高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 7.23
给定初值条件,x1(0)=0.8,x2(0)=x3(0)=0.1,求数值解,
矩阵形式表示该微分代数方程：
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MATLAB求解语句：
解此微分代数方程高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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可以将这个微分代数方程可以转换成常微分方程求解，从约束式子中求出代入其他两个微分方程式子可以写出匿名函数描述微分方程高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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再次求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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通过的隐式微分方程求解函数 ode15i()求解描述隐式微分方程：
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令,其中 *表示自由值解出相容的初始条件，并直接求解该微分代数方程高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 7.24
用微分代数方程求解的方式求解 下述隐式微分方程其中，初始条件为高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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描述微分方程与质量矩阵求解微分代数方程高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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7.4.4 延迟微分方程求解延迟微分方程组的一般形式为：
其中,为状态变量 x(t)的延迟常数隐式 Runge-Kutta算法 dde23()
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例 7.25
用数值法求解下述延迟微分方程组初始状态：
选择状态变量：
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新的标准形式
M-函数描述方程组：
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MATLAB求解语句：
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例 7.26
中性延迟微分方程不能用函数 dde23()来求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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7.4.5 切换微分方程的求解切换系统是控制理论中的一个重要的研究领域，切换系统就是在某种规律下其模型在多个模型间切换的系统切换微分方程的数学描述高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 7.27
假设已知系统模型若,切换到系统,而切换到初始状态为试求解该系统的微分方程高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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切换系统的 M-函数表示由匿名函数表示切换系统高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解语句：
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7.4.6 随机线性微分方程的求解随机线性连续状态方程模型为式中,为兼容矩阵,为确定性输入向量,为 Gauss白噪声向量，满足高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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定义一个变量,亦为
Gauss白噪声，满足其中,为一个协方差矩阵有下式成立状态变量的解析解可以写成：
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离散化解析解，则有式中，
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且有其中，
对 V进行 Taylor幂级数展开高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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其中,与 可以由下式递推地求出递推初值为由 Cholesky分解,且高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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其中,为向量，且有 各个分量系统的离散形式的递推解可以写成高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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构造随机输入下连续线性系统离散化函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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函数的调用格式为其中,G为系统模型,s输入信号协方差矩阵,Dt为采样周期,(F,G,D,C)为离散化状态方程的相应矩阵高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 7.28
受控对象的传递函数模型为用白噪声信号激励该系统，试对其进行仿真分析并得出输出信号的统计规律高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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得出离散化的状态方程模型进行仿真高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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分析统计规律，叠印理论概率密度函数曲线高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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7.5 边值问题的计算机求解线性方程边值问题的打靶算法非线性方程边值问题的打靶算法一般边值微分方程的求解方法高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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二阶微分方程的边值问题的数学描述为：
假设想在区间 [a,b]上研究该方程的解，且已知在这两个边界点上满足上面的方程称为边界 a和 b的边界条件高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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7.5.1 线性方程边值问题的打靶算法给定下列微分方程其中,均为给定函数，且可以得出取变量,得一阶微分方程组高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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运用打靶算法求解上述方程求出下面方程初值问题的数值解求出下面方程初值问题的数值解求出下面方程初值问题的数值解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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若,则计算计算下面初值问题的数值解，则 即为原边值问题的数值解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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构造 MATLAB函数实现上述算法高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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该函数中,tspan为初始和终止仿真时间构成的向量； 为边界值定义两个辅助函数 f1()和 f2()来描述原模型
f2()描述
f1()描述原来方程的齐次高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 7.29
试求下述线性微分方程在 [0,1]段方程的数值解编辑出下面的两个匿名函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解语句：
由微分方程理论得出原方程的解析解为：
结果检验：
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7.5.2非线性方程边值问题的打靶算法假定原始问题可以转换成下面的初值问题则问题转换成求解
Newton迭代法求取 m
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式中且可以由下面的微分方程初值问题来求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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其中，要求能显式地求出下式：
构造 MATLAB函数实现上述算法：
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试求解如下非线性微分方程边值问题推导出偏导数得出：
例 7.30
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构造 MATLAB匿名函数：
MATALB求解语句：
解析解为：
验证：
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7.5.3一般边值微分方程的求解方法
bvp5c()函数求解出一般边值微分方程参数初始化微分方程和边值问题的 MATLAB函数描述和边值问题的求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 7.31
试用 bvp5c()数重新求解下述边值问题选择状态变量状态方程变为高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解语句：
注意最后一条命令高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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若边值问题修改成则可以如下修改 f2()，并求解该方程高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 7.32
已知某常微分方程模型为且已知试求出 并求解本微分方程高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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令描述系统的动态模型和边值问题高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解语句：
初值向量 选择若不当，可能使得求解过程中的 Jacobian矩阵奇异，若出现此现象，选择其他的初值高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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7.6 偏微分方程求解入门偏微分方程组求解二阶偏微分方程的数学描述偏微分方程的求解界面应用举例高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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7.6.1 偏微分方程组求解
MATLAB语言提供的 pdepe()函数，可以直接求解以下类型的偏微分方程高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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偏微分方程可以编写下面的函数描述，其入口为其中,pdefun为函数名。这样，由给定的输入变量即可计算出 这 3个函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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边界条件可以用下面的函数描述为初始条件函数简单函数描述初始条件，函数调用格式求解偏微分方程的函数调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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试求解下面的偏微分方程其中，
例 7.33
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初始条件：
边界条件：
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将原方程改写为如下的形式：
可见，,且高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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描述偏微分方程的 M-函数：
写出边值方程：
左边界：
右边界：
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描述边界条件的函数：
描述初值条件的函数：
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MATLAB求解语句：
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7.6.2 二阶偏微分方程的数学描述椭圆型偏微分方程抛物线型偏微分方程双曲型偏微分方程特征值型偏微分方程高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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7.6.2.1 椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程的一般表示形式为：
其中，
梯度：
散度：
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若 c为常数，上式可以化简为：
椭圆型偏微分方程可以更简单地写成：
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抛物型偏微分方程的一般形式为：
若 c为常数，则该方程可以更简单地写成
7.6.2.2 抛物线型偏微分方程高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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双曲型偏微分方程的一般形式为：
若 c为常数，则该方程可以更简单地写成
7.6.2.3 双曲型偏微分方程高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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特征值型偏微分方程的一般形式为：
若 c为常数，则该方程可以更简单地写成
7.6.2.4 特征值型偏微分方程高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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7.6.3 偏微分方程的求解界面应用举例偏微分方程求解程序概述偏微分方程求解区域绘制偏微分方程边界条件描述偏微分方程求解举例时变解的动画显示函数参数的偏微分方程求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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7.6.3.1 偏微分方程求解程序概述偏微分方程工具箱 —— 概述启动偏微分方程工具箱求解界面 GUI
在 MATLAB下键入 pdetool
该界面分为四个部分菜单系统工具栏集合编辑求解区域高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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7.6.3.2 偏微分方程求解区域绘制绘制并且定义偏微分方程求解区域绘制好求解区域后，单击工具栏中 按钮就可以定义求解区域单击 D按钮将求解区域用三角形划分，单击右侧的按钮加密网格；网格越密，计算的结果越精确，但计算时间则越长高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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Dirichlet条件：
其中,表示求解区域的边界
Neumann条件：
其中,为 向量法向的偏导数
7.6.3.3 偏微分方程边界条件描述高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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7.6.3.4 偏微分方程求解举例设置了求解区域和边界条件，并选择了合适的偏微分方程后，就可以单击工具栏的等号按钮 = 立即得出微分方程的解微分方程的结果可以用其他很多方式显示，
如绘制等值线图，引力线图，网格型三维图形高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 7.34
试求解双曲型偏微分方程：
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设置时间向量选择其中的动画 Animation选项设置动画的播放速度 Options
动画输出到 MATLAB工作空间在 MATLAB图形窗口中播放得出的动画
7.6.3.5 时变解的动画显示高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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7.6.3.6 函数参数的偏微分方程求解偏微分方程工具箱能处理含有非线性系数的椭圆偏微分方程问题使用 x,y表示微分方程中 或
ux和 uy表示 和高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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假设偏微分方程为它满足椭圆型偏微分方程其中边界为 u=0，试求解该偏微分方程例 7.35
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7.7 微分方程的框图求解
Simulink简介
Simulink相关模块微分方程的 Simulink建模与求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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7.7.1 Simulink简介
1990 年前后出现最早的 Simulink，当时名为 SimuLAB,1992 年改为 Simulink
Simulink 的名字有两重含义仿真 (simu) 与模型 /模块连接 (link)
使用 odegroup命令可以打开自定义模块集,
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7.7.2 Simulink相关模块常用的模块：
输入输出端口 (In1,out1)
时钟模块：产生时间变量 t
常用输入模块：
Sine模块产生正弦信号
Step模块产生阶跃信号
Constant模块产生恒值信号积分器模块 (Int),描述一阶导数,搭建积分的动态系统延迟模块 (Transport Delay)
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增益模块,
Gain：主要用于信号的放大
Sliding Gain：滚动杆，实时地改变模块的增益
Matrix Gain：矩阵增益模块数学运算模块
+,-,*,÷
数学函数模块
Sin,exp
信号向量化模块
Mux：将若干路信号混成向量型的信号
DeMux：将向量型信号解出单路的信号高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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7.7.3 微分方程的
Simulink建模与求解建立起相应的微分方程的 Simulink 模型可以用 sim()函数对其模型直接求解，该函数的调用格式得出微分方程的数值解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 7.36
求解 Lorenz方程的问题,其中,b=8/3,r=10,
s=28,各个状态变量的初值为 x1(0)= x2(0)=
0,x3(0)=10-10,试用 Simulink搭建该模型并得出仿真结果,
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搭建 Simulink框图高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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创建文件 c7mlor1b.mdl
求解系统与函数 ode45()的结果进行比较高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 7.37
给定下列延迟微分方程式用 Simulink搭建该微分方程模型，并得出其数值解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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搭建 Simulink框图,以文件 c7mdde2.mdl存在 MATLAB的工作空间下高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解语句：
设定新的状态变量：
得出一阶状态方程模型：
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例 7.38
其中,t1=0.15,t2=0.5
用 Simulink搭建系统模型，并进行仿真高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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搭建 Simulink框图，以文件 c7mdde3.mdl存在 MATLAB的工作空间下高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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输入已知的矩阵：
MATLAB求解语句：
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例 7.39
如果各个状态变量初始条件为零，试求解下面的变时间延迟微分方程高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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搭建 Simulink框图，以文件 c7mdde5.mdl存在 MATLAB的工作空间下高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解语句：
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本章内容简介本章介绍了基于 MATLAB 符号运算工具箱
dsolve()函数的线性微分方程的解析解方法，并介绍基于该函数的特殊非线性微分方程的解析解。
对一般非线性微分方程来说，解析解是不存在的，只能依赖数值解的方法对其进行研究。
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引入了数值解的概念，并以最简单的一阶微分方程的 Euler算法为例，介绍了一般数值解法的思路并介绍了变步长求解的概念，
还介绍了 MATLAB下的微分方程数值求解函数 ode45()，通过例子演示了该函数的使用方法微分方程初值函数能直接求解的方程是一阶显式微分方程组，若给出的方程不是这类函数，则需要通过本书介绍的方法选择一组状态变量，将原方程变换成一阶显式微分方程组，以便用给定的求解函数直接求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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若某微分方程模型求解速度极慢，则有可能为刚性方程，需要调用 ode15s()等函数来求解，此外，其他类型的微分方程，如微分代数方程、隐式微分方程与延迟微分方程等，也可以由 MATLAB 语言提供的现成函数直接求解。
二阶微分方程的边值问题可以由本书提供的三种算法求解。
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偏微分方程可以由 MATLAB 提供的现成函数直接求解，而 x-y平面的偏微分方程可以由 MATLAB 语言的偏微分方程工具箱提供的界面直接求解，而高维偏微分方程可以由该工具箱提供的现成函数直接求解。
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Simulink 是 MATLAB 中的一个很重要的系统仿真平台，可以用该高阶以框图的形式建立起系统的模型，本书介绍其入门知识，
然后侧重于微分方程求解，介绍了 Simulink
如何搭建微分方程框图，其中一个重要的方法就是用积分器来定义状态变量和其导数，则可以用已知信号搭建起这样的微分方程，然后用该工具提供的求解按钮直接求解。
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第 7章微分方程问题的计算机求解高等应用数学问题的 MATLAB求解清华大学出版社 2008
CAI课件开发：薛定宇、刘莹莹、董雯彬高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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第 7章 微分方程问题的计算机求解常系数线性微分方程的解析解方法微分方程问题的数值解法微分方程转换特殊微分方程的数值解边值问题的计算机求解偏微分方程求解入门微分方程的框图求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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7.1 常系数线性微分方程的解析解方法线性常系数微分方程解析解的数学描述微分方程的解析解方法
Laplace变换在线性微分方程求解中的应用线性状态空间方程的解析解特殊非线性微分方程的解析解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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7.1.1 线性常系数微分方程解析解的数学描述常系数线性微分方程的一般描述方法为其中,均为常数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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对零初值问题：
对应得出 Laplace变换为设代数方程的特征根 si均相异，则解析解为其中 Ci为待定系数，并且 g(t)是满足 u(t)输入的一个特解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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简单形式，自变量设为 t
指明自变量 x
7.1.2 微分方程的解析解方法高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 7.1
假设输入信号为试求出下面微分方程的通解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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假设有如下初值条件结果为：
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假设则可以获得方程的解析解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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最终的近似结果为：
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例 7.2
给定输入信号,求解其中，
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结果：
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例 7.3
试求解线性微分方程组的解析解直接求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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7.1.3 Laplace变换在线性微分方程求解中的应用传递函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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那么，输出信号可以表示成如下的 s-域函数其中，
如果 U(s) 是一个有理函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 7.4
给定输入信号 u(t)=e-5tcos(2t+1)+5，假定所有的初始条件都为 0，试求出下述微分方程的解析解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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用 Laplace变换法高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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在时域中输出信号的解析解：
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使用 dsolve()函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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绘制解曲线：
解析解相同高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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7.1.4 线性状态空间方程的解析解假设线性状态空间模型的一般表示为其中,A,B,C,D是常数矩阵,且已知状态向量初值,该方程的解析解是：
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例 7.5
给定输入信号为 u(t) = 2 + 2e-3t sin 2t，求出下面矩阵描述的状态空间方程的解析解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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直接积分法求出结果高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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7.1.5 特殊非线性微分方程的解析解只有少数非线性微分方程可以通过
dsolve()函数得出解析解通过例子演示非线性方程的解析解求解同时还将演示不能求解的例子高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 7.6
求解非线性微分方程：
改变原微分方程的形式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 7.7
试求出著名的 Van der Pol方程的解析解尝试如下的 MATLAB命令高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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7.2 微分方程问题的数值解法微分方程问题算法概述四阶定步长 Runge-Kutta算法及 MATLAB实现一阶微分方程组的数值解微分方程数值解的验证高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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7.2.1 微分方程问题算法概述一阶显式的微分方程组标准形式其中，
状态向量非线性函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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7.2.1.1 微分方程求解的误差与步长问题
Euler算法：
设初始时刻系统状态向量的值为微分方程左侧的导数近似为：
时刻微分方程的近似解为,
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在 时刻系统状态向量的值为：
简记为故可以假设在 tk时刻系统的状态向量为 xk在时刻 Euler算法的数值解为：
h 被称为步长高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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不能无限制地减小 h的值的两条原因：
减慢计算速度增加累积误差在对微分方程求解过程中应采取的三个措施：
选择适当的步长改进近似算法精度采用变步长方法高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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7.2.2 四阶定步长 Runge-Kutta
算法及 MATLAB实现四阶定步长 Runge-Kutta算法的数学描述：
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其中 h为计算步长下一个步长的状态变量值为：
MATLAB调用格式函数中使用了循环结构高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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构造 MATLAB函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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7.2.3 一阶微分方程组的数值解四阶五级 Runge-Kutta-Felhberg算法基于 MATLAB的微分方程求解函数
MATLAB下带有附加参数的微分方程求解微分方程数值解的验证高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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7.2.3.1 四阶五级 Runge-Kutta-
Felhberg算法
Runge-Kutta-Felhberg算法假设当前的步长为 hk,定义 6 个 ki变量：
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下一步的状态向量定义一个误差向量：
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7.2.3.2 基于 MATLAB
的微分方程求解函数求解常微分方程的 MATLAB函数调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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描述需要求解的微分方程组,
修改控制变量,
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微分方程的求解步骤写出微分方程的数学形式编辑方程的 MATLAB代码
M-函数匿名函数
Inline函数，不推荐使用求解方程将绘制结果证明结果的正确性高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 7.8
求解下列 Lorenz模型式中参数为初始条件为高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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方程的描述
Inline函数（不推荐使用）
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MATLAB求解命令用 comet3()绘制相空间轨迹高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 7.9
试用匿名函数描述例 7.8的 该方程，并求出该微分方程的数值解，与前面的结果进行比较定义该方程：
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MATLAB求解语句：
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引入附加参数的目的在前面的例子中，如果参数改变,不需要修改原函数可以利用附带的参数新的函数编辑格式新的函数调用命令
7.2.3.3 MATLAB下带有附加参数的微分方程求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 7.10
试编写带有附加参数的 MATLAB函数来描述
Lorenz方程,求解 和一组新参数 下方程的数值解编写带附加参数的方程，并求解：
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接上页高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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选择新参数新的调用命令高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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7.2.4 微分方程数值解的验证仿真算法和控制参数选择不当，如相对误差限，则可能得出不可信的结果，甚至是错误的结果修改仿真控制参数，如可以接受的误差限，
再判断是否和上次得出的结果一致选择不同的微分方程求解算法高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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7.3 微分方程转换单个高阶常微分方程处理方法高阶常微分方程组的变换方法矩阵微分方程的变换与求解方法高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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7.3.1 单个高阶常微分方程处理方法一个高阶常微分方程的一般形式为：
输出变量的各阶导数初始值为：
选择一组状态变量：
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原高阶常微分方程模型变换为下述一阶微分方程组：
初值为：
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例 7.11
Van der Pol 方程初值为选择初值为新微分方程组
MATLAB代码：
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MATLAB求解：
一个反例高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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一个反例给定如下参数建议,不要运行下述语句应该使用刚性微分方程的算法高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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7.3.2 高阶常微分方程组的变换方法多元高阶常微分方程组的处理状态变量的选择不唯一建议：选择如下状态变量高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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新的状态方程是：
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例 7.12
Apollo卫星的运动轨迹 (x,y)满足下面的方程其中,并且初始状态高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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选择一组状态变量：
得出一阶常微分方程组：
其中，
并且高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB描述高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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求解：
改变精度：
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绘制计算步长的曲线，求解全程所采用的最小步长：
评注不应当太依赖于默认值最好设置一下控制精度到步长值必须达到 0.0001
对结果应该进行验证高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 7.13
用定步长的四阶 Runge-Kutta算法求下式其中，
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选择步长为 0.01：
选择步长为 0.001：
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例 7.14
转换成一阶微分方程组选择状态变量：
并且高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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带入第二个等式得出得出一阶微分方程组：
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使用 solve()函数和前面完全一致的结果高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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7.3.3 矩阵微分方程的变换与求解方法
Lagrange方程其中,均为 矩阵均为 矩阵选择状态变量高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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写出系统的状态方程模型可以重新写为其中，
因此，矩阵方程可以通过函数 ode45()或
ode15s()来求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 7.15
考虑二级倒立摆系统的数学模型其中,q= [a,q1,q2]T，和 a为小车位置,q1，
q2为 下摆杆、上摆杆与垂直方向夹角，则矩阵 为：
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参数为高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB描述语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解代码：
原系统并不稳定高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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若矩阵 与 无关，则该微分方程为线性微分方程，相应的线性状态方程模型为高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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Riccati微分方程
Riccati微分方程的数学描述求解这样的方程同样需要转换成向量型一阶显式微分方程组，然后进行求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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描述微分 Riccati方程的 MATLAB函数
MATLAB求解语句调用格式允许终止时间小于起始时间高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 7.16
若已知某微分 Riccati方程中矩阵及初值如下，
试求解该方程高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解语句：
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7.4 特殊微分方程的数值解刚性微分方程的求解隐式微分方程求解微分代数方程的求解延迟微分方程求解切换微分方程的求解随机线性微分方程的求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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7.4.1 刚性微分方程的求解
Van der Pol方程中与上述方程类似的微分方程中，某些状态的解变化缓慢，另一些变化快这类方程被称为刚性方程而应该使用函数 ode15s()求解该类方程,
函数的调用格式和 ode45()完全一致高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 7.17
试求解 m=1000时的 Van der Pol方程的数值解
MATLAB求解语句：
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例 7.18
求解该微分方程传统的教科书中，都认为上式为刚性的解析解：
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该问题的数值解：
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使用定步长算法：
为了得到更好的结果，需要减小步长值，
但是，计算的速度会随之降低高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 7.19
对下式用数值解法求解：
初值条件
MATLAB求解语句：
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变步长解法：
用函数 ode15s()替代函数 ode45()：
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7.4.2 隐式微分方程求解所谓隐式微分方程，就是那些不能转换成式一阶显式常微分方程组的微分方程可以借用显式微分方程求解的函数来求解这类问题或者使用函数 ode15i()
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例 7.20
给定 x1(0)=x2(0)=0，求下式的数值解令 x=[x1,x2]T，可以将原微分方程改写成矩阵形式：
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其中
MATLAB求解语句：
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例 7.21
给定 x(0)=[1,0,0,1]T，求下式的数值解定义状态变量：
改写原隐式方程：
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用 MATLAB描述原方程求解方程：
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使用函数 ode15i()
MATLAB 7.0版本的新函数 ode15i()可以直接用于隐式微分方程的求解,
隐式微分方程的数学描述为：
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编写函数 fun()描述该隐式微分方程，再
decic()函数求出未完全定义的初值条件函数 decic()的 调用格式求解隐式微分方程的函数调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 7.22
给定初始状态 x(0)=[1,0,0,1]T，用隐式微分方程求解的方法解出：
选择状态变量：
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原方程可以变换成：
考虑下述形式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解语句：
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7.4.3 微分代数方程的求解所谓微分代数方程 (DAE)，是指在微分方程中，某些变量间满足某些代数方程的约束微分方程的更一般形式可以写成：
微分代数方程中,矩阵为奇异矩阵微分代数方程的求解中不能使用高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 7.23
给定初值条件,x1(0)=0.8,x2(0)=x3(0)=0.1,求数值解,
矩阵形式表示该微分代数方程：
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MATLAB求解语句：
解此微分代数方程高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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可以将这个微分代数方程可以转换成常微分方程求解，从约束式子中求出代入其他两个微分方程式子可以写出匿名函数描述微分方程高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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再次求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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通过的隐式微分方程求解函数 ode15i()求解描述隐式微分方程：
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令,其中 *表示自由值解出相容的初始条件，并直接求解该微分代数方程高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 7.24
用微分代数方程求解的方式求解 下述隐式微分方程其中，初始条件为高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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描述微分方程与质量矩阵求解微分代数方程高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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7.4.4 延迟微分方程求解延迟微分方程组的一般形式为：
其中,为状态变量 x(t)的延迟常数隐式 Runge-Kutta算法 dde23()
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例 7.25
用数值法求解下述延迟微分方程组初始状态：
选择状态变量：
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新的标准形式
M-函数描述方程组：
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MATLAB求解语句：
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例 7.26
中性延迟微分方程不能用函数 dde23()来求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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7.4.5 切换微分方程的求解切换系统是控制理论中的一个重要的研究领域，切换系统就是在某种规律下其模型在多个模型间切换的系统切换微分方程的数学描述高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 7.27
假设已知系统模型若,切换到系统,而切换到初始状态为试求解该系统的微分方程高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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切换系统的 M-函数表示由匿名函数表示切换系统高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解语句：
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7.4.6 随机线性微分方程的求解随机线性连续状态方程模型为式中,为兼容矩阵,为确定性输入向量,为 Gauss白噪声向量，满足高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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定义一个变量,亦为
Gauss白噪声，满足其中,为一个协方差矩阵有下式成立状态变量的解析解可以写成：
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离散化解析解，则有式中，
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且有其中，
对 V进行 Taylor幂级数展开高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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其中,与 可以由下式递推地求出递推初值为由 Cholesky分解,且高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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其中,为向量，且有 各个分量系统的离散形式的递推解可以写成高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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构造随机输入下连续线性系统离散化函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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函数的调用格式为其中,G为系统模型,s输入信号协方差矩阵,Dt为采样周期,(F,G,D,C)为离散化状态方程的相应矩阵高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 7.28
受控对象的传递函数模型为用白噪声信号激励该系统，试对其进行仿真分析并得出输出信号的统计规律高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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得出离散化的状态方程模型进行仿真高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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分析统计规律，叠印理论概率密度函数曲线高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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7.5 边值问题的计算机求解线性方程边值问题的打靶算法非线性方程边值问题的打靶算法一般边值微分方程的求解方法高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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二阶微分方程的边值问题的数学描述为：
假设想在区间 [a,b]上研究该方程的解，且已知在这两个边界点上满足上面的方程称为边界 a和 b的边界条件高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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7.5.1 线性方程边值问题的打靶算法给定下列微分方程其中,均为给定函数，且可以得出取变量,得一阶微分方程组高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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运用打靶算法求解上述方程求出下面方程初值问题的数值解求出下面方程初值问题的数值解求出下面方程初值问题的数值解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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若,则计算计算下面初值问题的数值解，则 即为原边值问题的数值解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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构造 MATLAB函数实现上述算法高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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该函数中,tspan为初始和终止仿真时间构成的向量； 为边界值定义两个辅助函数 f1()和 f2()来描述原模型
f2()描述
f1()描述原来方程的齐次高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 7.29
试求下述线性微分方程在 [0,1]段方程的数值解编辑出下面的两个匿名函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解语句：
由微分方程理论得出原方程的解析解为：
结果检验：
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7.5.2非线性方程边值问题的打靶算法假定原始问题可以转换成下面的初值问题则问题转换成求解
Newton迭代法求取 m
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式中且可以由下面的微分方程初值问题来求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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其中，要求能显式地求出下式：
构造 MATLAB函数实现上述算法：
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试求解如下非线性微分方程边值问题推导出偏导数得出：
例 7.30
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构造 MATLAB匿名函数：
MATALB求解语句：
解析解为：
验证：
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7.5.3一般边值微分方程的求解方法
bvp5c()函数求解出一般边值微分方程参数初始化微分方程和边值问题的 MATLAB函数描述和边值问题的求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 7.31
试用 bvp5c()数重新求解下述边值问题选择状态变量状态方程变为高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解语句：
注意最后一条命令高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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若边值问题修改成则可以如下修改 f2()，并求解该方程高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 7.32
已知某常微分方程模型为且已知试求出 并求解本微分方程高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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令描述系统的动态模型和边值问题高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解语句：
初值向量 选择若不当，可能使得求解过程中的 Jacobian矩阵奇异，若出现此现象，选择其他的初值高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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7.6 偏微分方程求解入门偏微分方程组求解二阶偏微分方程的数学描述偏微分方程的求解界面应用举例高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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7.6.1 偏微分方程组求解
MATLAB语言提供的 pdepe()函数，可以直接求解以下类型的偏微分方程高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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偏微分方程可以编写下面的函数描述，其入口为其中,pdefun为函数名。这样，由给定的输入变量即可计算出 这 3个函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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边界条件可以用下面的函数描述为初始条件函数简单函数描述初始条件，函数调用格式求解偏微分方程的函数调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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试求解下面的偏微分方程其中，
例 7.33
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初始条件：
边界条件：
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将原方程改写为如下的形式：
可见，,且高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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描述偏微分方程的 M-函数：
写出边值方程：
左边界：
右边界：
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描述边界条件的函数：
描述初值条件的函数：
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MATLAB求解语句：
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7.6.2 二阶偏微分方程的数学描述椭圆型偏微分方程抛物线型偏微分方程双曲型偏微分方程特征值型偏微分方程高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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7.6.2.1 椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程的一般表示形式为：
其中，
梯度：
散度：
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若 c为常数，上式可以化简为：
椭圆型偏微分方程可以更简单地写成：
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抛物型偏微分方程的一般形式为：
若 c为常数，则该方程可以更简单地写成
7.6.2.2 抛物线型偏微分方程高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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双曲型偏微分方程的一般形式为：
若 c为常数，则该方程可以更简单地写成
7.6.2.3 双曲型偏微分方程高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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特征值型偏微分方程的一般形式为：
若 c为常数，则该方程可以更简单地写成
7.6.2.4 特征值型偏微分方程高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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7.6.3 偏微分方程的求解界面应用举例偏微分方程求解程序概述偏微分方程求解区域绘制偏微分方程边界条件描述偏微分方程求解举例时变解的动画显示函数参数的偏微分方程求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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7.6.3.1 偏微分方程求解程序概述偏微分方程工具箱 —— 概述启动偏微分方程工具箱求解界面 GUI
在 MATLAB下键入 pdetool
该界面分为四个部分菜单系统工具栏集合编辑求解区域高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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7.6.3.2 偏微分方程求解区域绘制绘制并且定义偏微分方程求解区域绘制好求解区域后，单击工具栏中 按钮就可以定义求解区域单击 D按钮将求解区域用三角形划分，单击右侧的按钮加密网格；网格越密，计算的结果越精确，但计算时间则越长高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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Dirichlet条件：
其中,表示求解区域的边界
Neumann条件：
其中,为 向量法向的偏导数
7.6.3.3 偏微分方程边界条件描述高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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7.6.3.4 偏微分方程求解举例设置了求解区域和边界条件，并选择了合适的偏微分方程后，就可以单击工具栏的等号按钮 = 立即得出微分方程的解微分方程的结果可以用其他很多方式显示，
如绘制等值线图，引力线图，网格型三维图形高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 7.34
试求解双曲型偏微分方程：
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设置时间向量选择其中的动画 Animation选项设置动画的播放速度 Options
动画输出到 MATLAB工作空间在 MATLAB图形窗口中播放得出的动画
7.6.3.5 时变解的动画显示高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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7.6.3.6 函数参数的偏微分方程求解偏微分方程工具箱能处理含有非线性系数的椭圆偏微分方程问题使用 x,y表示微分方程中 或
ux和 uy表示 和高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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假设偏微分方程为它满足椭圆型偏微分方程其中边界为 u=0，试求解该偏微分方程例 7.35
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7.7 微分方程的框图求解
Simulink简介
Simulink相关模块微分方程的 Simulink建模与求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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7.7.1 Simulink简介
1990 年前后出现最早的 Simulink，当时名为 SimuLAB,1992 年改为 Simulink
Simulink 的名字有两重含义仿真 (simu) 与模型 /模块连接 (link)
使用 odegroup命令可以打开自定义模块集,
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7.7.2 Simulink相关模块常用的模块：
输入输出端口 (In1,out1)
时钟模块：产生时间变量 t
常用输入模块：
Sine模块产生正弦信号
Step模块产生阶跃信号
Constant模块产生恒值信号积分器模块 (Int),描述一阶导数,搭建积分的动态系统延迟模块 (Transport Delay)
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增益模块,
Gain：主要用于信号的放大
Sliding Gain：滚动杆，实时地改变模块的增益
Matrix Gain：矩阵增益模块数学运算模块
+,-,*,÷
数学函数模块
Sin,exp
信号向量化模块
Mux：将若干路信号混成向量型的信号
DeMux：将向量型信号解出单路的信号高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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7.7.3 微分方程的
Simulink建模与求解建立起相应的微分方程的 Simulink 模型可以用 sim()函数对其模型直接求解，该函数的调用格式得出微分方程的数值解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 7.36
求解 Lorenz方程的问题,其中,b=8/3,r=10,
s=28,各个状态变量的初值为 x1(0)= x2(0)=
0,x3(0)=10-10,试用 Simulink搭建该模型并得出仿真结果,
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搭建 Simulink框图高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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创建文件 c7mlor1b.mdl
求解系统与函数 ode45()的结果进行比较高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 7.37
给定下列延迟微分方程式用 Simulink搭建该微分方程模型，并得出其数值解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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搭建 Simulink框图,以文件 c7mdde2.mdl存在 MATLAB的工作空间下高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解语句：
设定新的状态变量：
得出一阶状态方程模型：
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例 7.38
其中,t1=0.15,t2=0.5
用 Simulink搭建系统模型，并进行仿真高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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搭建 Simulink框图，以文件 c7mdde3.mdl存在 MATLAB的工作空间下高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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输入已知的矩阵：
MATLAB求解语句：
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例 7.39
如果各个状态变量初始条件为零，试求解下面的变时间延迟微分方程高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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搭建 Simulink框图，以文件 c7mdde5.mdl存在 MATLAB的工作空间下高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解语句：
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本章内容简介本章介绍了基于 MATLAB 符号运算工具箱
dsolve()函数的线性微分方程的解析解方法，并介绍基于该函数的特殊非线性微分方程的解析解。
对一般非线性微分方程来说，解析解是不存在的，只能依赖数值解的方法对其进行研究。
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引入了数值解的概念，并以最简单的一阶微分方程的 Euler算法为例，介绍了一般数值解法的思路并介绍了变步长求解的概念，
还介绍了 MATLAB下的微分方程数值求解函数 ode45()，通过例子演示了该函数的使用方法微分方程初值函数能直接求解的方程是一阶显式微分方程组，若给出的方程不是这类函数，则需要通过本书介绍的方法选择一组状态变量，将原方程变换成一阶显式微分方程组，以便用给定的求解函数直接求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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若某微分方程模型求解速度极慢，则有可能为刚性方程，需要调用 ode15s()等函数来求解，此外，其他类型的微分方程，如微分代数方程、隐式微分方程与延迟微分方程等，也可以由 MATLAB 语言提供的现成函数直接求解。
二阶微分方程的边值问题可以由本书提供的三种算法求解。
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偏微分方程可以由 MATLAB 提供的现成函数直接求解，而 x-y平面的偏微分方程可以由 MATLAB 语言的偏微分方程工具箱提供的界面直接求解，而高维偏微分方程可以由该工具箱提供的现成函数直接求解。
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Simulink 是 MATLAB 中的一个很重要的系统仿真平台，可以用该高阶以框图的形式建立起系统的模型，本书介绍其入门知识，
然后侧重于微分方程求解，介绍了 Simulink
如何搭建微分方程框图，其中一个重要的方法就是用积分器来定义状态变量和其导数，则可以用已知信号搭建起这样的微分方程，然后用该工具提供的求解按钮直接求解。
