高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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第 5章积分变换与复变函数问题的计算机求解高等应用数学问题的 MATLAB求解清华大学出版社 2008
CAI课件开发：薛定宇、刘莹莹、董雯彬高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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第 5章 积分变换与复变函数问题的计算机求解
Laplace变换及其反变换
Fourier变换及其反变换其他积分变换问题及求解
Z变换及其反变换复变函数问题的计算机求解差分方程迭代求解与复平面映射分形高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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5.1 Laplace变换及其反变换
Laplace变换及反变换定义与性质
Laplace变换的计算机求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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5.1.1 Laplace变换及反变换定义与性质
Laplace变换的数学描述
Laplace变换的性质线性性质其中,a 与 b 均为标量高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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时域平移性质,
s-域平移性质,
微分性质
n阶微分,
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当所有的初值为 0时，那么积分性质零初始条件：
多重积分：
初值性质高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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终值性质如果 没有 的极点，
卷积性质：
其中卷积算子 的定义,
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其他性质：
Laplace反变换,
其中,s大于函数 奇点的实部高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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5.1.2 Laplace变换的计算机求解
Laplace变换问题的求解步骤：
定义符号变量,在定义时域函数直接调用 laplace()函数采用默认的 为时域变量用户指定时域变量 和复域变量名高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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调用 pretty()函数或 latex()函数对结果进行进一步处理
Laplace反变换：
函数调用格式：
采用默认的 为时域变量用户指定时域变量 和复域变量名高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 5.1
给定函数,求它的
Laplace变换
MATLAB求解语句化简答案结果高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 5.2
给定,求它的
Laplace变换和 Laplace反变换
Laplace变换
Laplace反变换高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 5.3
求下列函数的 Laplace反变换直接求解高精度数值解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 5.4
给定,推导 和之间的关系和与 两者之间的比较高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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考虑到初值条件,
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例 5.5
试推导出 的微分公式
MATLAB求解语句函数 8阶导数的 Laplace变换高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 5.6
对 求
MATLAB求解语句：
分子多项式合并同类项：
结果：
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5.2 Fourier变换及其反变换
Fourier变换及反变换定义与性质
Fourier变换的计算机求解
Fourier正弦和余弦变换离散 Fourier正弦、余弦变换高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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5.2.1 Fourier变换及反变换定义与性质
Fourier变换的定义：
Fourier反变换的定义：
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Fourier变换的性质线性性质：其中 与 均为标量平移性质：
复域平移性质：
微分性质：
n阶微分的 Fourier变换高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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积分性质
n重积分的 Fourier变换尺度变换性质卷积性质：
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5.2.2 Fourier变换的计算机求解
Fourier变换的函数调用格式按默认变量进行 Fourier变换将 的函数变换成 的函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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Fourier反变换的函数调用格式按默认变量进行 Fourier反变换将 的函数变换成 的函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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在 MATLAB下定义的 Fourier变换在 MATLAB下定义的 Fourier变换高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 5.7
给定,试 写出该函数的 Fourier变换式
Fourier变换
Fourier反变换高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 5.8
给定,试求出其
Fourier变换
Fourier变换化简结果：
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例 5.9
给定,试用 fourier()和直接积分的方法分别求解 Fourier变换使用 fourier()命令高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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使用直接积分方法注意,MATLAB不是对任一个函数都能求其 Fourier变换的高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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5.2.3 Fourier正弦和余弦变换
Fourier正弦变换的一般定义为
Fourier余弦变换的一般定义为高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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Fourier正弦反变换的一般定义为
Fourier余弦反变换的一般定义为高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 5.10
给定试求出其余弦 Fourier变换
MATLAB求解命令高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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求解 Fourier正弦变换求解 Fourier余弦变换直接调用 Maple中的函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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求解 Fourier反正弦变换求解 Fourier反余弦变换高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 5.11
给定,用 Maple
中的函数求其 Fourier余弦变换和 Fourier余弦反变换问题
Fourier余弦变换
Fourier余弦反变换高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 5.12
给定试求其 Fourier余弦变换
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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5.2.4 离散 Fourier正弦,余弦变换离散 Fourier正弦变换离散 Fourier余弦变换高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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离散 Fourier正弦反变换离散 Fourier余弦反变换高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 5.13
给定其中,计算其离散 Fourier正弦变换
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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5.3 其他积分变换问题及求解
Mellin变换
Hankel变换及求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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5.3.1 Mellin变换
Mellin变换的定义
Mellin反变换的定义高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 5.14
给定,试求其 Mellin
变换
MATLAB求解语句结果高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 5.15
给定,对若干个 n值求取 Mellin变换，并总结出对一般 n值的规律
MATLAB求解语句（对 ）
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一般的 Mellin 变换规律：
函数调用格式
Mellin变换
Mellin反变换高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 5.16
给定,用 Maple
函数求其 Mellin变换，并对结果进行反变换
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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5.3.2 Hankel变换及求解阶 Hankel变换的数学表达式为其中,为 Bessel函数求解 Hankel变换的语句调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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阶 Hankel反变换的数学表达式为求解 Hankel反变换的语句调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 5.17
给定,求取函数的 0阶 Hankel变换
MATLAB 求解语句结果：
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给定,求取函数的 0阶
Hankel变换
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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5.4 Z 变换及其反变换
Z 变换及反变换定义与性质
Z 变换的计算机求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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5.4.1 Z变换及反变换定义与性质离散序列信号 的 Z变换的定义
Z 变换的性质：
线性性质：其中,与 均为标量高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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时域平移性质：
Z域比例性质：
频域微分性质：
频域积分性质：
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初值性质：
终值性质：
其中,无单位圆外的极点高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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卷积性质：
式中离散信号的卷积算子 定义为函数 的 Z 反变换定义为高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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5.4.2 Z 变换的计算机求解
Z 变换的函数调用格式
Z 反变换的函数调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 5.18
给定试求出其 Z 变换
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 5.19
给定试对其中不同的 值进行 Z反变换，并总结出一般的规律对 进行求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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Z 变换的一般形式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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5.5 复变函数问题的计算机求解复数矩阵及其变换复变函数映射及其微积分运算留数的概念与计算有理函数的部分分式展开基于部分分式展开的 Laplace变换封闭曲线积分问题计算高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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5.5.1 复数矩阵及其变换函数调用格式（已知复数矩阵 Z）
共轭复数矩阵实部、虚部提取幅值、相位表示高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 5.20
试求出下述矩阵的对角矩阵变换
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5.5.2 复变函数映射及其微积分运算生成极坐标网络数据的函数调用格式绘制复变函数映射 3D曲面函数调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 5.21
试绘制出复变函数 的映射曲面
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例 5.22
已知某复变函数如下，其中 z为复数变量，
试求出 的值
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5.5.3 留数的概念与计算如果 为 函数的单奇点，则留数的定义为单极点的函数调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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若 为函数 的 重奇点，则该点的留数定义为重极点的函数调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 5.23
计算下列函数的留数
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 5.24
计算下面函数的留数
MATLAB求解语句：
结果：
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改变 的值高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 5.25
试求下列函数的留数点的留数：
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试探不同的值,
得出通项公式：
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5.5.4 有理函数的部分分式展开有理函数其中,和 均为常数直接求出两个多项式的最大公约数 (GCD)
的函数调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 5.26
给定判定它们是否互质
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化简两个多项式假设 和 互质，并且 的根都为单根,那么留数的计算如下：
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假设 是 k重根留数如下高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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有理函数的部分分式展开的函数调用格式其中,并且高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 5.27
求部分分式展开
MATLAB求解语句：
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例 5.28
给定,其中求其部分分式展开
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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构造高精度 MATLAB部分分式展开函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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接上页函数调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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如果分母多项式 的解析解无法获得，则应使用高精度数值解数学表示其中,是数值解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 5.29
求下式的部分分式展开
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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结果留数为,-17/8,2,1/8
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例 5.30
给定其中使用解析方法求出求下式的部分分式展开高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解命令：
结果：
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例 5.31
给定
MATLAB求解命令：
结果：
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例 5.32
给定,其中计算出部分分式展开高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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解析方法：
由于解析解不存在，结果很难被表达高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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5.5.5 基于部分分式展开的 Laplace变换基于下列等式其中,和构造 MATLAB函数以扩展函数 residue()
的功能高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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接上页函数调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 5.33
给定,其中计算出部分分式展开
MATLAB求解命令：
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5.5.6 封闭曲线积分问题计算封闭曲线积分的数学表达式其中,是一个逆时针方向的闭曲线，那么该封闭曲线内包围 个奇点高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 5.34
给定计算在 上的封闭曲线积分高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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部分分式展开：
其中,和 是单奇点，
和 是 3重奇点留数计算如下
7198933/144,-1349779/27,11/9,1/432
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封闭曲线积分的解圆周 代表的积分路径,可以表示成高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解命令高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 5.35
计算其中,是 （逆时针圆周封闭曲线）
MATLAB求解语句：
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与 进行比较直接曲线积分方法高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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改变积分路径 为
MATLAB求解语句直接曲线积分方法高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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5.6 差分方程迭代求解与复平面映射分形差分方程求解复平面映射分形迭代与图形绘制高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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5.6.1 差分方程求解线性时变差分方程的数值解法线性时不变系统的解法一般非线性离散系统的求解方法高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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常系数线性差分方程的一般形式为其中,T为采样周期,和 是常数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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方程简记为高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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5.6.1.3 线性时变差分方程的数值解法线性时变差分状态方程其中，
高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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最终结果高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 5.36
求解离散线性时变差分方程其中，
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采用迭代方法高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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5.6.1.2 线性时不变系统的解法若线性时不变系统有则有使用 Z变换法可得出解析解为高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 5.37
离散系统的状态方程如下其中，,试求出各个状态阶跃响应的解析解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解语句：
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5.6.1.3 一般非线性离散系统的求解方法假设已知差分方程的显式形式，即则可以通过递推的方法直接求解该方程，
得出方程的数值解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 5.38
给定非线性系统设输入为,采样周期为 T=0.05，
试求解该方程的数值解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解语句：
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5.6.2 复平面映射分形迭代与图形绘制分形树
Julia图的仿真与绘制
Mandelbrot图的仿真与绘制高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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5.6.2.1 分形树分形的特色在于其自相似性自相似性是指图形中的小图形是比较大的图形的按比例缩小后的结果先 构造一个图形，然后根据它生成各级子图形高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 5.39
任选初始点坐标,生成一个 [0,1]上均匀分布随机数,按下面的公式生成新的坐标点高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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试将这些计算点用圆点表示，观察得出的结果先构造一个 MATLAB函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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接上页高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解语句改变点的大小高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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5.6.2.2 Julia图的仿真与绘制设有一个映射关系 取遍某一复数区域内所有的网格点，对映射点定义一种测度，根据这样的测度，配以适当的颜色绘图，则得出 Julia图该复数映射表达式可以看成是一种系统，
这样的系统又称为复动力系统高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 5.40
给定复数 c，在对 到 的每个点 做映射,
映射至点无界后，将结果赋给,
由此生成的数据画出 Julia图构造测度高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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接上页
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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定义新的测度高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB语句来计算 Julia集选择其他的 c值，如高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 5.41
给定映射函数，试绘制出 Julia图求解 Julia集的函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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得出 映射函数下的 Julia图高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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5.6.2.3 Mandelbrot
图的仿真与绘制在 映射中,取区域到 所有的点，由各个点处的测度绘制出 Mandelbrot图不同的 值变化区域，则可以绘制出各种
Mandelbrot图形高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 5.42
写出 Mandelbrot集的求取函数构造 MATLAB函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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绘制出相应的 Mandelbrot图高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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缩小区域高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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本章内容小结
Laplace 变换是一种很重要的积分变换方法，本章中介绍了 Laplace 变换及其反变换的定义和性质，
并着重介绍了正反 Laplace 变换的 MATLAB 求解方法。
Fourier 变换是另一类常用的积分变换方法，可以用于信号的频域分析，本章介绍了 Fourier 正反变换的定义和性质，介绍了利用 MATLAB 语言求解 Fourier 变换的方法，还探讨了几种特殊的
Fourier 变换及 MATLAB 求解方法，如正弦、余弦 Fourier 变换、离散 Fourier 正余弦变换等，并介绍了直接积分方法和用 MATLAB 调用 Maple
语言现成变换函数的方法。
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本章还介绍了两种不那么常用的积分变换
Mellin变换和 Hankel 变换，这些变换在
MATLAB 的符号运算工具箱中没有直接对应的函数，但可以通过符号运算工具箱中积分功能直接计算，也可以从 MATLAB 调用 Maple 语言的相应函数计算。本章同时还指出了这些正反变换有些函数是不难用计算机数学语言求解的，只能通过手工推导或查阅数学手册的方式求解。
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在离散系统研究中一类很重要的变换 —— Z 变换的定义和性质等也在本章中给出，在此基础上着重介绍了 Z 变换及其反变换的 MATLAB 求解方法，并通过例子演示了各类函数 Z 变换的实际求解。
复变函数中一类重要的问题是奇点与留数的概念与求取，本章介绍了利用 MATLAB 语言进行留数运算的方法，并以其为基础编写了有理函数部分分式展开的求解函数，比 MATLAB 自己提供的 residue()
函数更进了一步，本章还讨论了有理函数 Laplace
反变换的求解方法和化简方法，基于留数定理还探讨了封闭曲线积分的求解方法。
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第 5章积分变换与复变函数问题的计算机求解高等应用数学问题的 MATLAB求解清华大学出版社 2008
CAI课件开发：薛定宇、刘莹莹、董雯彬高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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第 5章 积分变换与复变函数问题的计算机求解
Laplace变换及其反变换
Fourier变换及其反变换其他积分变换问题及求解
Z变换及其反变换复变函数问题的计算机求解差分方程迭代求解与复平面映射分形高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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5.1 Laplace变换及其反变换
Laplace变换及反变换定义与性质
Laplace变换的计算机求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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5.1.1 Laplace变换及反变换定义与性质
Laplace变换的数学描述
Laplace变换的性质线性性质其中,a 与 b 均为标量高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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时域平移性质,
s-域平移性质,
微分性质
n阶微分,
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当所有的初值为 0时，那么积分性质零初始条件：
多重积分：
初值性质高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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终值性质如果 没有 的极点，
卷积性质：
其中卷积算子 的定义,
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其他性质：
Laplace反变换,
其中,s大于函数 奇点的实部高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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5.1.2 Laplace变换的计算机求解
Laplace变换问题的求解步骤：
定义符号变量,在定义时域函数直接调用 laplace()函数采用默认的 为时域变量用户指定时域变量 和复域变量名高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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调用 pretty()函数或 latex()函数对结果进行进一步处理
Laplace反变换：
函数调用格式：
采用默认的 为时域变量用户指定时域变量 和复域变量名高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 5.1
给定函数,求它的
Laplace变换
MATLAB求解语句化简答案结果高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 5.2
给定,求它的
Laplace变换和 Laplace反变换
Laplace变换
Laplace反变换高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 5.3
求下列函数的 Laplace反变换直接求解高精度数值解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 5.4
给定,推导 和之间的关系和与 两者之间的比较高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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考虑到初值条件,
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例 5.5
试推导出 的微分公式
MATLAB求解语句函数 8阶导数的 Laplace变换高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 5.6
对 求
MATLAB求解语句：
分子多项式合并同类项：
结果：
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5.2 Fourier变换及其反变换
Fourier变换及反变换定义与性质
Fourier变换的计算机求解
Fourier正弦和余弦变换离散 Fourier正弦、余弦变换高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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5.2.1 Fourier变换及反变换定义与性质
Fourier变换的定义：
Fourier反变换的定义：
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Fourier变换的性质线性性质：其中 与 均为标量平移性质：
复域平移性质：
微分性质：
n阶微分的 Fourier变换高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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积分性质
n重积分的 Fourier变换尺度变换性质卷积性质：
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5.2.2 Fourier变换的计算机求解
Fourier变换的函数调用格式按默认变量进行 Fourier变换将 的函数变换成 的函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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Fourier反变换的函数调用格式按默认变量进行 Fourier反变换将 的函数变换成 的函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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在 MATLAB下定义的 Fourier变换在 MATLAB下定义的 Fourier变换高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 5.7
给定,试 写出该函数的 Fourier变换式
Fourier变换
Fourier反变换高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 5.8
给定,试求出其
Fourier变换
Fourier变换化简结果：
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例 5.9
给定,试用 fourier()和直接积分的方法分别求解 Fourier变换使用 fourier()命令高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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使用直接积分方法注意,MATLAB不是对任一个函数都能求其 Fourier变换的高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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5.2.3 Fourier正弦和余弦变换
Fourier正弦变换的一般定义为
Fourier余弦变换的一般定义为高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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Fourier正弦反变换的一般定义为
Fourier余弦反变换的一般定义为高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 5.10
给定试求出其余弦 Fourier变换
MATLAB求解命令高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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求解 Fourier正弦变换求解 Fourier余弦变换直接调用 Maple中的函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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求解 Fourier反正弦变换求解 Fourier反余弦变换高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 5.11
给定,用 Maple
中的函数求其 Fourier余弦变换和 Fourier余弦反变换问题
Fourier余弦变换
Fourier余弦反变换高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 5.12
给定试求其 Fourier余弦变换
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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5.2.4 离散 Fourier正弦,余弦变换离散 Fourier正弦变换离散 Fourier余弦变换高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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离散 Fourier正弦反变换离散 Fourier余弦反变换高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 5.13
给定其中,计算其离散 Fourier正弦变换
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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5.3 其他积分变换问题及求解
Mellin变换
Hankel变换及求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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5.3.1 Mellin变换
Mellin变换的定义
Mellin反变换的定义高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 5.14
给定,试求其 Mellin
变换
MATLAB求解语句结果高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 5.15
给定,对若干个 n值求取 Mellin变换，并总结出对一般 n值的规律
MATLAB求解语句（对 ）
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一般的 Mellin 变换规律：
函数调用格式
Mellin变换
Mellin反变换高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 5.16
给定,用 Maple
函数求其 Mellin变换，并对结果进行反变换
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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5.3.2 Hankel变换及求解阶 Hankel变换的数学表达式为其中,为 Bessel函数求解 Hankel变换的语句调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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阶 Hankel反变换的数学表达式为求解 Hankel反变换的语句调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 5.17
给定,求取函数的 0阶 Hankel变换
MATLAB 求解语句结果：
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给定,求取函数的 0阶
Hankel变换
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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5.4 Z 变换及其反变换
Z 变换及反变换定义与性质
Z 变换的计算机求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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5.4.1 Z变换及反变换定义与性质离散序列信号 的 Z变换的定义
Z 变换的性质：
线性性质：其中,与 均为标量高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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时域平移性质：
Z域比例性质：
频域微分性质：
频域积分性质：
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初值性质：
终值性质：
其中,无单位圆外的极点高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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卷积性质：
式中离散信号的卷积算子 定义为函数 的 Z 反变换定义为高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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5.4.2 Z 变换的计算机求解
Z 变换的函数调用格式
Z 反变换的函数调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 5.18
给定试求出其 Z 变换
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 5.19
给定试对其中不同的 值进行 Z反变换，并总结出一般的规律对 进行求解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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Z 变换的一般形式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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5.5 复变函数问题的计算机求解复数矩阵及其变换复变函数映射及其微积分运算留数的概念与计算有理函数的部分分式展开基于部分分式展开的 Laplace变换封闭曲线积分问题计算高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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5.5.1 复数矩阵及其变换函数调用格式（已知复数矩阵 Z）
共轭复数矩阵实部、虚部提取幅值、相位表示高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 5.20
试求出下述矩阵的对角矩阵变换
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5.5.2 复变函数映射及其微积分运算生成极坐标网络数据的函数调用格式绘制复变函数映射 3D曲面函数调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 5.21
试绘制出复变函数 的映射曲面
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 5.22
已知某复变函数如下，其中 z为复数变量，
试求出 的值
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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5.5.3 留数的概念与计算如果 为 函数的单奇点，则留数的定义为单极点的函数调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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若 为函数 的 重奇点，则该点的留数定义为重极点的函数调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 5.23
计算下列函数的留数
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 5.24
计算下面函数的留数
MATLAB求解语句：
结果：
高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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改变 的值高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 5.25
试求下列函数的留数点的留数：
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试探不同的值,
得出通项公式：
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5.5.4 有理函数的部分分式展开有理函数其中,和 均为常数直接求出两个多项式的最大公约数 (GCD)
的函数调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 5.26
给定判定它们是否互质
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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化简两个多项式假设 和 互质，并且 的根都为单根,那么留数的计算如下：
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假设 是 k重根留数如下高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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有理函数的部分分式展开的函数调用格式其中,并且高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 5.27
求部分分式展开
MATLAB求解语句：
高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 5.28
给定,其中求其部分分式展开
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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构造高精度 MATLAB部分分式展开函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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接上页函数调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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如果分母多项式 的解析解无法获得，则应使用高精度数值解数学表示其中,是数值解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 5.29
求下式的部分分式展开
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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结果留数为,-17/8,2,1/8
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例 5.30
给定其中使用解析方法求出求下式的部分分式展开高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解命令：
结果：
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例 5.31
给定
MATLAB求解命令：
结果：
高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 5.32
给定,其中计算出部分分式展开高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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解析方法：
由于解析解不存在，结果很难被表达高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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5.5.5 基于部分分式展开的 Laplace变换基于下列等式其中,和构造 MATLAB函数以扩展函数 residue()
的功能高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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接上页函数调用格式高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 5.33
给定,其中计算出部分分式展开
MATLAB求解命令：
高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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5.5.6 封闭曲线积分问题计算封闭曲线积分的数学表达式其中,是一个逆时针方向的闭曲线，那么该封闭曲线内包围 个奇点高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 5.34
给定计算在 上的封闭曲线积分高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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部分分式展开：
其中,和 是单奇点，
和 是 3重奇点留数计算如下
7198933/144,-1349779/27,11/9,1/432
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封闭曲线积分的解圆周 代表的积分路径,可以表示成高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解命令高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 5.35
计算其中,是 （逆时针圆周封闭曲线）
MATLAB求解语句：
高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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与 进行比较直接曲线积分方法高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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改变积分路径 为
MATLAB求解语句直接曲线积分方法高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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5.6 差分方程迭代求解与复平面映射分形差分方程求解复平面映射分形迭代与图形绘制高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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5.6.1 差分方程求解线性时变差分方程的数值解法线性时不变系统的解法一般非线性离散系统的求解方法高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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常系数线性差分方程的一般形式为其中,T为采样周期,和 是常数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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方程简记为高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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5.6.1.3 线性时变差分方程的数值解法线性时变差分状态方程其中，
高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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最终结果高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 5.36
求解离散线性时变差分方程其中，
高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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采用迭代方法高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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5.6.1.2 线性时不变系统的解法若线性时不变系统有则有使用 Z变换法可得出解析解为高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 5.37
离散系统的状态方程如下其中，,试求出各个状态阶跃响应的解析解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解语句：
高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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5.6.1.3 一般非线性离散系统的求解方法假设已知差分方程的显式形式，即则可以通过递推的方法直接求解该方程，
得出方程的数值解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 5.38
给定非线性系统设输入为,采样周期为 T=0.05，
试求解该方程的数值解高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解语句：
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5.6.2 复平面映射分形迭代与图形绘制分形树
Julia图的仿真与绘制
Mandelbrot图的仿真与绘制高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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5.6.2.1 分形树分形的特色在于其自相似性自相似性是指图形中的小图形是比较大的图形的按比例缩小后的结果先 构造一个图形，然后根据它生成各级子图形高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 5.39
任选初始点坐标,生成一个 [0,1]上均匀分布随机数,按下面的公式生成新的坐标点高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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试将这些计算点用圆点表示，观察得出的结果先构造一个 MATLAB函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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接上页高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB求解语句改变点的大小高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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5.6.2.2 Julia图的仿真与绘制设有一个映射关系 取遍某一复数区域内所有的网格点，对映射点定义一种测度，根据这样的测度，配以适当的颜色绘图，则得出 Julia图该复数映射表达式可以看成是一种系统，
这样的系统又称为复动力系统高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 5.40
给定复数 c，在对 到 的每个点 做映射,
映射至点无界后，将结果赋给,
由此生成的数据画出 Julia图构造测度高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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接上页
MATLAB求解语句高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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定义新的测度高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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MATLAB语句来计算 Julia集选择其他的 c值，如高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 5.41
给定映射函数，试绘制出 Julia图求解 Julia集的函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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得出 映射函数下的 Julia图高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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5.6.2.3 Mandelbrot
图的仿真与绘制在 映射中,取区域到 所有的点，由各个点处的测度绘制出 Mandelbrot图不同的 值变化区域，则可以绘制出各种
Mandelbrot图形高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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例 5.42
写出 Mandelbrot集的求取函数构造 MATLAB函数高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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绘制出相应的 Mandelbrot图高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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缩小区域高等应用数学问题的 MATLAB求解东北大学信息学院
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本章内容小结
Laplace 变换是一种很重要的积分变换方法，本章中介绍了 Laplace 变换及其反变换的定义和性质，
并着重介绍了正反 Laplace 变换的 MATLAB 求解方法。
Fourier 变换是另一类常用的积分变换方法，可以用于信号的频域分析，本章介绍了 Fourier 正反变换的定义和性质，介绍了利用 MATLAB 语言求解 Fourier 变换的方法，还探讨了几种特殊的
Fourier 变换及 MATLAB 求解方法，如正弦、余弦 Fourier 变换、离散 Fourier 正余弦变换等，并介绍了直接积分方法和用 MATLAB 调用 Maple
语言现成变换函数的方法。
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本章还介绍了两种不那么常用的积分变换
Mellin变换和 Hankel 变换，这些变换在
MATLAB 的符号运算工具箱中没有直接对应的函数，但可以通过符号运算工具箱中积分功能直接计算，也可以从 MATLAB 调用 Maple 语言的相应函数计算。本章同时还指出了这些正反变换有些函数是不难用计算机数学语言求解的，只能通过手工推导或查阅数学手册的方式求解。
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在离散系统研究中一类很重要的变换 —— Z 变换的定义和性质等也在本章中给出，在此基础上着重介绍了 Z 变换及其反变换的 MATLAB 求解方法，并通过例子演示了各类函数 Z 变换的实际求解。
复变函数中一类重要的问题是奇点与留数的概念与求取，本章介绍了利用 MATLAB 语言进行留数运算的方法，并以其为基础编写了有理函数部分分式展开的求解函数，比 MATLAB 自己提供的 residue()
函数更进了一步，本章还讨论了有理函数 Laplace
反变换的求解方法和化简方法，基于留数定理还探讨了封闭曲线积分的求解方法。
