第二章、复变函数习题课：
试问函数在圆盘（称为单位圆盘）内是否连续？是否一致连续？
证明函数除去在外，处处不可微。
设函数在区域内解析。证明：如果对每一点，有，那么在内为常数。
设函数在区域内解析。证明：如果满足下列条件之一，那么它在内为常数：
（1）、或在内为常数；
（2）、在内为常数。
证明：若函数在上半平面解析，则函数在下半平面解析。
试用柯西-黎曼条件，证明下列函数在复平面解析：

而下列函数不解析：
。
证明在极坐标下的柯西-黎曼条件是：
。
8、已知任何区域内的解析函数一定有任意阶导数。证明：
的实部和虚部在内也有任意阶导数，并且满足拉普拉斯方程：

在内，

9、试求出的、、、、值。
10、由及所定义的函数分别称为的反正弦函数和反余弦函数，利用对数函数求出它们的解析表达式。
11、由
及
所定义的函数分别称为的双曲正弦函数和双曲余弦函数，证明：

由此从关于三角函数的有关公式导出：
，
，
，
，
，
。
12、设两个实变数的函数有偏导数。这一个函数可以写成及的函数：
。
证明：
设复变函数的实部及虚部分别是及，并且它们都有偏导数，求证，对于，柯西-黎曼条件可以写成
。
13、设函数在解析，那么我们说在解析。下列函数中，哪些在无穷远点解析？
，
。
14、在复平面上取上半虚轴作割线。试在所得的区域内分别取定函数和在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它们在上半虚轴左沿的点及右沿的点处的值。
15、在复平面上取正实轴作割线。试在所得的区域内：
取定函数在正实轴上沿取正实值的一个解析分支，并求这个分支在处的值；在正实轴下沿的值。
取定函数在正实轴上沿取实值的一个解析分支，并求这个分支在处的值；在正实轴下沿的值。
16、求函数的支点，证明它在线段
，
的外部，能求在取正值的那个分支。
17、研究函数

如果规定时，。任作两种适当的割线，求这函数的一个解析分支在的值。
18、找出下列推理的错误：因为，所以，因此。