第四章、级数----试题库：
第一部分、判断与填空：
若，则为的n阶零点。
若级数收敛，则与均收敛，其中。
若与至少一个不收敛，则发散，其中。
若级数与至少一个发散，则发散。
若与在内解析，且在内一小弧段上相等，则。
若函数可以在的某邻域内展开成幂级数，则在点解析。
为的____点。
为的____点。
的孤立奇点为________。
的孤立奇点为________。
第二部分、证明与计算：
1、设已给复数序列。如果，其中是一个有限复数，那么
。
2、证明：任何有界的复数序列一定有一个收敛的子序列。
3、求幂级数，其中的收敛半径。
4、求幂级数的收敛半径。
5、求幂级数，其中是一正数，的收敛半径。
6、求幂级数的收敛半径。
7、试求幂级数的收敛半径。
8、试求幂级数


其中a、b、c是复数，但c不是零或负整数，的收敛半径。
9、设在内解析的函数有泰勒展式

试证：令，我们有
,
在这里。
10、证明：如果在上及内，我们分别有
 及 ，
其中，而且在内连续，那么在内，
。
11、设是任一复数，证明。
12、求解析函数在的泰勒展式。
13、求解析函数在的泰勒展式。
14、求多值函数的解析分支在的泰勒展式。
15、求多值函数的解析分支在的泰勒展式。
16、求解析函数在的泰勒展式（计算到的系数）。
17、设是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个正数R及M，使得当时
，
证明是一个至多n次的多项式或一常数。
18、求解析函数在内的洛朗展式。
19、求解析函数在内的洛朗展式。
20、求解析函数在内的洛朗展式。
21、求解析函数在内的洛朗展式。
22、求多值函数的解析分支在内，
的洛朗展式，其中，。
21、求多值函数的解析分支在内的洛朗展式，其中。
21、求多值函数的解析分支在内的洛朗展式，其中。
22、问下列函数有哪些孤立奇点？各属于哪一种类型？
（1）； （2）；
23、问函数有哪些孤立奇点？各属于哪一种类型？其中是一个常数。
24、问函数有哪些孤立奇点？各属于哪一种类型？；
25、证明：在扩充复平面只有一个极点的解析函数必有下面的形式：

26、设函数在解析，并且它不恒于一个常数，试证是的m阶零点的必要与充分条件是：是的m阶极点。
27、设函数在区域内解析。证明：如果对某一点有
，
那么在区域内为常数。
28、问是否存在满足下列条件，并且在原点解析的函数？
，这里。
29、问是否存在满足下列条件，并且在原点解析的函数？
，在这里。
30、问是否存在满足下列条件，并且在原点解析的函数？
，在这里。