复数与复平面习题课二
6．试证：分别以、、及、、为顶点的两个三角形相似的必要与充分条件是
。
证明：






所以,
同理，有
所以

即三角形的三边成比例，所以相似，反之，若三角形相似，则对应三边成比例，对应角相等，可以证明，所以结论成立。
7．如果，且，证明、、是内接于单位圆的一个正三角形。
证明：由于，所以它们在单位圆上；又因为，故
如图，则与的夹角和与的夹角相等；
同理，与的夹角和与的夹角相等；
与的夹角和与的夹角相等；
因此，容易证明，、、的夹角为120度，所以结论成立。
8．求证：

证明：

，
所以，

故
。
9．设，证明：
如果，那么
；
如果，那么
（1）；
（2）；
（3）；
（4）。
证明：，所以，因此
；
(1)、
，
所以


即，
所以；
(2)、由上面的讨论，有：
，
即
(3)、








，
所以，；








所以

；
(4)、类似于(3)，可以证明结论。
10．满足下列条件的点所组成的点集是什么？如果是区域，是单连通区域还是多连通区域：
（1）；
解：直线，不是区域；
（2）；
解：半平面，单连通无界区域；
（3）；
解：，圆心在i，
半径为的闭圆盘，
有界闭区域；
（4）；
解：椭圆，不是区域；
（5）；
解：半射线，不是区域；
（6）；
解：半圆，不是区域，因为既不是开集，也不是闭集；
（7）；
解：去心圆盘，有界多连通区域；
（8）；
解：圆盘的外区域，无界多连通闭区域；
，；
（9）；
解：梯形区域，有界单连通区域；
（10）；
解：
圆盘的外区域，无界多连通闭区域。