第四章 级数----习题课设已给复数序列。如果，其中是一个有限复数，那么
。
2．证明：任何有界的复数序列一定有一个收敛的子序列。
3．证明在两相乘级数中，一个收敛，一个绝对收敛时，第1段中关于柯西乘积的结果仍成立。
4．证明定理2.1及2.2。
5．试求下列幂级数的收敛半径：
(1)，其中； (2) ;
(3) ，其中是一正数；(4) ；
(5) ；
(6)
其中a、b、c是复数，但c不是零或负整数。
设在内解析的函数有泰勒展式
试证：（1）令，我们有
（柯西不等式），
在这里
（2）由(1)证明刘维尔定理；
（3）当时
。
证明：如果在上及内，我们分别有
及 ，
其中，而且在内连续，那么在内，
。
设是任一复数，证明。
求下列解析函数或多值函数的解析分支在的泰勒展式：
；（2）（3）；
（4）；（5）（计算到的系数）。
10．设是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个正数R及M，使得当时
，
证明是一个至多n次的多项式或一常数。
11．求下列解析函数或多值函数的解析分支在指定区域内的洛朗展式：
（1）在内；
（2）在内；
（3）在内；
（4）在内；
（5）在内，其中，；
（6）在及内，；
12．问下列函数有哪些孤立奇点？各属于哪一种类型？
（1）； （2）；
（3），其中是一个常数；
（4）； （5）。
13．证明：在扩充复平面只有一个极点的解析函数必有下面的形式：
14．设函数在解析，并且它不恒于一个常数，试证是的m阶零点的必要与充分条件是：是的m阶极点。。
15．设函数和满足下列条件之一：
（1）和在分别有m阶及n阶零点；
（2）和在分别有m阶及n阶极点；
（3）在解析或有极点，在有孤立奇点。
试问及、及在具有什么性质？
16．设函数在区域内解析。证明：如果对某一点有
，
那么在区域内为常数。
17．问是否存在满足下列条件，并且在原点解析的函数？
（1）；
（2）；
（3）；
在这里。
18．函数的零点所成的集有聚点1，但这函数不恒等于零。问这与解析函数的唯一性是否矛盾？
19．设区域含有一段实轴，由设函数及都在内解析，求证在内
。
20．按照下列步骤，证明整函数可以写成下列形式：
其中是复常数。
（1）用表示圆，其中。
a)、证明：对于，积分
的值与无关；取极限求出它的值。同时计算
及
b)、设整函数上面的展开式在C中任何紧集上一致收敛，证明对于，展开式的系数可由下列积分给出
；
（2）,a)、如果及由上面的公式给出，那么对于，
把上式右边记作。
b)、设表示圆心在0、半径为r的圆盘，证明：对任意正数r，当时，在上一致趋近于零。
（3）、最后证得：整函数有上面得展开式。这一展开式是唯一的，并且在C中任何紧集上一致收敛。
21．设是一复数序列。
（1）、设，并且。证明级数的收敛半径，并且它的和是在单位圆内确定的单射。
（2）、设。证明如果级数的收敛半径不是零，那么存在，使得级数的和是在内确定的单射。
（3）、设函数在一点的邻域内解析，并且，那么是在的一个邻域内确定的单射。
。
2．证明：任何有界的复数序列一定有一个收敛的子序列。
3．证明在两相乘级数中，一个收敛，一个绝对收敛时，第1段中关于柯西乘积的结果仍成立。
4．证明定理2.1及2.2。
5．试求下列幂级数的收敛半径：
(1)，其中； (2) ;
(3) ，其中是一正数；(4) ；
(5) ；
(6)
其中a、b、c是复数，但c不是零或负整数。
设在内解析的函数有泰勒展式
试证：（1）令，我们有
（柯西不等式），
在这里
（2）由(1)证明刘维尔定理；
（3）当时
。
证明：如果在上及内，我们分别有
及 ，
其中，而且在内连续，那么在内，
。
设是任一复数，证明。
求下列解析函数或多值函数的解析分支在的泰勒展式：
；（2）（3）；
（4）；（5）（计算到的系数）。
10．设是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个正数R及M，使得当时
，
证明是一个至多n次的多项式或一常数。
11．求下列解析函数或多值函数的解析分支在指定区域内的洛朗展式：
（1）在内；
（2）在内；
（3）在内；
（4）在内；
（5）在内，其中，；
（6）在及内，；
12．问下列函数有哪些孤立奇点？各属于哪一种类型？
（1）； （2）；
（3），其中是一个常数；
（4）； （5）。
13．证明：在扩充复平面只有一个极点的解析函数必有下面的形式：
14．设函数在解析，并且它不恒于一个常数，试证是的m阶零点的必要与充分条件是：是的m阶极点。。
15．设函数和满足下列条件之一：
（1）和在分别有m阶及n阶零点；
（2）和在分别有m阶及n阶极点；
（3）在解析或有极点，在有孤立奇点。
试问及、及在具有什么性质？
16．设函数在区域内解析。证明：如果对某一点有
，
那么在区域内为常数。
17．问是否存在满足下列条件，并且在原点解析的函数？
（1）；
（2）；
（3）；
在这里。
18．函数的零点所成的集有聚点1，但这函数不恒等于零。问这与解析函数的唯一性是否矛盾？
19．设区域含有一段实轴，由设函数及都在内解析，求证在内
。
20．按照下列步骤，证明整函数可以写成下列形式：
其中是复常数。
（1）用表示圆，其中。
a)、证明：对于，积分
的值与无关；取极限求出它的值。同时计算
及
b)、设整函数上面的展开式在C中任何紧集上一致收敛，证明对于，展开式的系数可由下列积分给出
；
（2）,a)、如果及由上面的公式给出，那么对于，
把上式右边记作。
b)、设表示圆心在0、半径为r的圆盘，证明：对任意正数r，当时，在上一致趋近于零。
（3）、最后证得：整函数有上面得展开式。这一展开式是唯一的，并且在C中任何紧集上一致收敛。
21．设是一复数序列。
（1）、设，并且。证明级数的收敛半径，并且它的和是在单位圆内确定的单射。
（2）、设。证明如果级数的收敛半径不是零，那么存在，使得级数的和是在内确定的单射。
（3）、设函数在一点的邻域内解析，并且，那么是在的一个邻域内确定的单射。
