第七章 共形映射习题课如果单叶解析函数w=f(z)把z平面上可求面积的区域D映射成w平面上的区域D*，证明D*的面积是
。
如果函数w=f(z)在z平面上可求面积的区域D内单叶解析，并且满足条件，证明
。
如果函数w=f(z)在z=0解析，并且，证明w=f(z)在z=0的一邻域内单叶。
如果函数w=f(z)在区域D内解析，不为常数，证明|f(z)|不可能在D内达到最小值。
设f(z)在内解析，在圆|z|=a上有|f(z)|>m，并且
,
其中a及m是有限正数，证明f(z)在|z|<a内至少有一个零点。
设在|z|<1内，f(z)解析，并且|f(z)|<1，但f(a)=0，其中|a|<1。证明：在|z|<1内，有不等式：
.
应用施瓦茨引理，证明：把|z|<1变为|w|<1，且把a变为0的保形双射一定有下列形状：
,
其中是实常数，a是满足|a|<1的复常数。
试作保形映射：
把带形区域映射成上半平面；
把去掉上半虚轴的复平面映射成上半平面。
函数及分别把及映射成z平面及w平面上的什么曲线？这里x及y与u及v分别是z与w的实部与虚部，是实常数。
试作保形映射：
把椭圆以外的区域映射成单位圆的外区域；
把双曲线两支之间的区域映射成上半平面；
把抛物线左方的区域映射成上半平面；
试把圆盘|z|<1保形映射成上半平面Imw>0，并且把点-1,1,i映射成（1）或（2）-1，0，1。
试把Imz>0保形映射成Imw>0，并且把点（1）-1,0,1；或（2）映射成。
试作一单叶解析函数w=f(z)，把|z|<1映射成|w|<1,并且使f(0)=1/2，f’(0)>0。
根据第一章，习题一第12题，证明及是关于圆的对称点。
在圆盘|z|<1中除去实轴上的半区间，得一区域。试把这一区域保形映射成圆盘|w|<1.
试作保形映射：
把|z|<1及|z-1|<1的公共部分映射成|w|<1；
把扇形，|z|<1映射成|w|<1；
把圆|z|=2及|z-1|=1所夹的区域映射成|w|<1；
把圆|z|<1映射成带形0<v<1，把-1,1,i映射成。
设

是一个级整函数，这就是说，
，
其中
，

证明M(r)是增函数；
设p>0及t>0都是有限数，证明

在时达到最小值
，
由此及柯西不等式导出：如果，那么
；
设p及r都是正有限数，证明

在时达到最大值。由此导出：如果，并且
，
那么整函数f(z)的级小于；
由(2)及(3)导出：如果，那么整函数f(z)的级是
。
18．设是z平面上不同的单连通区域序列，而且。证明:
（1）是一个单连通区域；
（2）设满足，并且是把映射成|w|<1的唯一保形映射（n=1,2,…,）。设是内所含有以0为心的最大圆盘的半径。还设是的反函数。那么应用施瓦茨引理：可以导出
,
（3）由(2)导出：无界；
（4）如果D=C，那么在{w|0<w<1}中任何紧集上一致趋于。