第四章、级数----习题课：
试求下列各解析函数多多值函数的解析分支在指定各点的留数：
（1），在；
（2），在，n为整数；
（3），在；
（4），在；
函数的各解析分支在各有怎样的孤立奇点？求它们在这些点的留数。
计算下列积分：
（1），其中是；
（2），其中是；
（3），其中是；
设函数在区域内解析，C表示圆

我们把积分

定义作为函数在无穷远点的留数，记作，在这里积分中的表示积分是沿着按顺时针方向取的。试证明：如果表示在

的洛朗展开式中的系数，那么
。
试求下列函数在无穷远点的留数：
(1)； (2) ;
(3) ；
试把关于留数的基本定理1.1设在转移到D是扩充复平面上含无穷远点区域的情形。
证明：如果在扩充复平面除了有限各奇点外，在每一个点解析，那么函数在所有奇点上的留数（包括无穷远点的留数）之和为零。
用此结果计算积分：
。。
求下列积分：
（1） ；
（2），其中0<a<1；
（3），其中a>0；
（4）； （5）；
（6）； （7），其中0<a<2;
(8),其中；
(9) ; (10) ;
(11) ;
(12) ,其中整数n大于或等于2;
（13）；（14）；
（15）；
（16），其中被积函数是关于多值函数的任意一个解析分支，并且积分路径是沿圆|z|=2按反时针方向取的；
试由
，
证明；（1）
（2）其中h>0；
10、试证：在定理5.1的条件下，如果在闭区域上解析，并且及分别是在D内零点和极点，而其阶数分别是及，那么

应用儒歇定理，求下列方程在|z|<1内根的个数：
（1）；
（2）；
（3），在这里在上解析，并且；
12、试用儒歇定理证明代数基本定理。
13、（1）计算积分：

（2）设P(z)及Q(z)是两个多项式，而且P(z)的次数小于Q(z)的次数；设Q(z)在原点及正实轴上没有零点。证明：当整数时，积分

的值可以用在角形中的留数表示出来：
,
其中Z是在A内的所有零点构成的集合。
14、设解析函数序列在区域D内内闭一致收敛于不恒等于零的函数。应用儒歇定理，证明：
如果在D内没有零点，那么在D内也没有零点。
用是及Z分别表示及在D内的零点集，那么对于任何正整数p，
,而且
其中表示的闭包，即与其所有聚点组成的集的并集。