第二章、复变函数 试题库第一部分、判断与填空：
1、若在区域D上满足柯西黎曼条件，则它在区域D内解析。
2、若在点可导，则在点解析。
3、若在点解析，则存在，使得在内解析。
4、若在点不连续，则在点不可导。
5、设，则.
6、当时，为实数。
7、求的值。
8、求的值。
9、的周期为___。
10、的解析区域为___，其导数为____。
11、设，则。
12、的周期为___。
13、设在区域D上，若与在D上有界，则在D上有界。
第二部分、证明与计算：
试问函数在单位圆盘内是否连续？是否一致连续？
证明函数除去在外，处处不可微。
函数在区域内解析。证明：如果对每一点，有，那么在内为常数。
函数在区域内解析。证明：如果在内为常数，那么它在内为常数。
函数在区域内解析。证明：如果在内为常数，那么它在内为常数。
证明：若函数在上半平面解析，则函数在下半平面解析。
试用柯西-黎曼条件，证明下列函数在复平面解析：

而下列函数不解析：
。
证明在极坐标下的柯西-黎曼条件是：
。
8、已知任何区域内的解析函数一定有任意阶导数。证明：
的实部和虚部在内也有任意阶导数，并且满足拉普拉斯方程：

在内，

9、试求出的、、值。
10、试求出的、值。
11、由及所定义的函数分别称为的反正弦函数和反余弦函数，利用对数函数求出它们的解析表达式。
12、设两个实变数的函数有偏导数。这一个函数可以写成及的函数：
。
证明：
设复变函数的实部及虚部分别是及，并且它们都有偏导数，求证，对于，柯西-黎曼条件可以写成
。
13、在复平面上取上半虚轴作割线。试在所得的区域内分别取定函数和在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它们在上半虚轴左沿的点及右沿的点处的值。
14、在复平面上取正实轴作割线。试在所得的区域内：取定函数在正实轴上沿取正实值的一个解析分支，并求这个分支在处的值。
15、在复平面上取正实轴作割线。试在所得的区域内：取定函数在正实轴上沿取实值的一个解析分支，并求这个分支在处的值；在正实轴下沿的值。
16、找出下列推理的错误：因为，所以，因此。
17、求的值。
18、设，求其解析区域和导数。
19、设在D内解析，若也在D内解析，则为常数。