留数理论及其应用习题课试求下列各解析函数多多值函数的解析分支在指定各点的留数：
（1），在；
（2），在，n为整数；
（3），在；
（4），在；
2．函数的各解析分支在各有怎样的孤立奇点？求它们在这些点的留数。
3．计算下列积分：
（1），其中是；
（2），其中是；
（3），其中是；
4．设函数在区域内解析，C表示圆

我们把积分

定义作为函数在无穷远点的留数，记作，在这里积分中的表示积分是沿着按顺时针方向取的。试证明：如果表示在

的洛朗展开式中的系数，那么
。
试求下列函数在无穷远点的留数：
(1)； (2) ;
(3) ；
试把关于留数的基本定理1.1设在转移到D是扩充复平面上含无穷远点区域的情形。
证明：如果在扩充复平面除了有限各奇点外，在每一个点解析，那么函数在所有奇点上的留数（包括无穷远点的留数）之和为零。
用此结果计算积分：
。。
求下列积分：
（1） ；
（2），其中0<a<1；
（3），其中a>0；
（4）； （5）；
（6）； （7），其中0<a<2;
(8),其中；
(9) ; (10) ;
(11) ;
(12) ,其中整数n大于或等于2;
（13）；（14）；
（15）
试由
，
证明；（1）
（2）其中h>0；
10、试证：在定理5.1的条件下，如果在闭区域上解析，并且及分别是在D内零点和极点，而其阶数分别是及，那么

应用儒歇定理，求下列方程在|z|<1内根的个数：
（1）；
（2）；
（3），在这里在上解析，并且；
12．试用儒歇定理证明代数基本定理。
13．（1）计算积分：

（2）设P(z)及Q(z)是两个多项式，而且P(z)的次数小于Q(z)的次数；设Q(z)在原点及正实轴上没有零点。证明：当整数时，积分

的值可以用在角形中的留数表示出来：
,
其中Z是在A内的所有零点构成的集合。