第一章 复变函数与解析函数
§ 1.1 复 数
§ 1.2 平 面 点 集
§ 1.3 连续函数
§ 1.4 解析函数
§ 1.5 函数可导的充要条件
§ 1.6 初等解析函数复变函数与积分变换及应用背景
(,古今数学思想,(Mathematical
Thought from Ancient to Modern Times)的作者,美国数学史家 ) 指出,从技术观点来看,十九世纪最独特的创造是单复变函数的理论,这个新的数学分支统治了十九世纪,几乎象微积分的直接扩展统治了十八世纪那样,这一丰饶的数学分支,一直被称为这个世纪的数学享受,它也被欢呼为抽象科学中最和谐的理论之一,
Mor ri s K line (1 90 8 - 1992 ),纽约大学 Cour ant 数学研究所的教授,他的著作包括,数学,确定性的丧失,等,
M.Kli ne
的概念,从而建立了复变函数理论,
为了建立代数方程的普遍理论，人们引入复数
(2) 复变函数理论可以应用于计算某些复杂的实函数的积分,
(1) 代数方程 在实数范围内无解,2 10x
代数基本定理,
111 0nn nnz a z a z a
在复数域必有 n个根,
复系数 n次代数方程
J,Hadamard
用复变函数理论证明了当 x =1 时,Rieman n? 函数 从而证( ) 0,z
Ja cques Ha damar d(1 86 5.12.8 - 19 63.10.1 7)
法国数学家,他在 1896 年应明了素数定理,他曾于 1 93 6 年来华在清华大学讲学,
Rieman n? 函数
1 1() nnz z
说,实域中两个真理之间的最短路程是通过复域,
(3) 复变函数理论可以应用于流体的平面平行流动等问题的研究,
Gauss
青年时代老年时代
Carl Fr iedrich Gau ss(1777.4.30-1855.2.23)
伟大的德国数学家、天文学家和物理学家,幼时家境贫困,但聪敏异常,曾被誉为数学神童,1795～ 1798年在哥廷根大学学习,1796年发现正十七边形的尺规作图法,解决了 Euclid以来悬而未决函数理论证明了应用复变
(4) 应用于计算绕流问题中的压力和力矩等,
(5) 应用于计算渗流问题,
例如：大坝、钻井的浸润曲线,
(6) 应用于平面热传导问题、电 (磁 )场强度,
例如：热炉中温度的计算,
最著名的例子是飞机机翼剖面压力的计算,
从而研究机翼的造型问题,
变换应用于频谱分析和信号处理等,
(8) 复变函数理论也是积分变换的重要基础,
积分变换在许多领域被广泛地应用，如电力工程、通信和控制领域以及信号分析、图象处理和其他许多数学、物理和工程技术领域．
频谱分析是对各次谐波的频率、振幅、相位之间的关系进行分析,随着计算机的发展，语音、图象等作为信号，在频域中的处理要方便得多,
Jo seph Fo urier
(1 76 8.3,2 1 -18 30,5.16 )
法国数学家和物理学家,他致力于研究固体的热传导问题,1822 年出版名著,热的分析理论,,形成了一种在数学物理问题中有普遍意义的方法,它开辟了 Fourier 分析这样 一个近代数学
Fourier 分析在物理、数学和工程技术上都有广泛的应用,
的重要分支,
对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉,
(9)
变换应用于控制问题,
在控制问题中，传递函数是输入量的 Laplace
变换与输出量的 Laplace变换之比,
(11) Z变换应用于离散控制系统,
(12) 小波分析的应用领域十分广泛,如信号分析和图象处理、语音识别与合成、医学成像与诊断、
地质勘探与地震预报等等,
(13) 复变函数与积分变换的计算可以使用为科学和工程计算设计的软件 MAT LAB 基础
MAT LA B 是一个为科学和工程计算而专门设计 的 高级交互式软件包,是一种高性能的编程软件,具有通用科技计算、图形交互系统和程序设计语言,并且语法规则简单,容易掌握和调试方便,在 Wi ndo w s系统中,
点击 MA T LA B 图标启动程序,进入 MAT L AB 界面,
Pier re Si mon de La pla ce(1 74 9.3,2 3-18 27,3.5)
法国数学家和天文学家,曾经短期担任过 Nap ol eon 的内政部长,
凡是有助于解释世界的任何事情,他都感兴趣,最著名的著作有,天体力学,(1799 -1825,5 卷本 )和
,概率的分析理论,(1812).提出了太阳系生成的星云假说,以他的名字命名的 Lapl ace 变换和 Lapl ace 方程有广泛的应用,我们知道的，是很微小的；我们不知道的，是无限的,
(10)
主 要 内 容本章首先引入复数的概念及其运算、
平面点集的概念,然后讨论复变函数的连续性，重点研究解析函数,最后介绍几个基本的初等解析函数,
§ 1.1 复 数
1 复数的概念
2 复数的四则运算
3 复数的表示方法
4 乘幂与方根
1.1.1 复数的概念由于解代数方程的需要,人们引进了复数,
例如，简单的代数方程
2 10x
在实数范围内无解,为了建立代数方程的普遍理论，引入等式
2 1.i
由该等式所定义的数称为
1.i
虚数单位为 i=j=sqrt (-1),其数值在 MATLAB
工作空间显示如下
>> sqr t(-1)
ans =
0 + 1,000 0i
虚数单位
R e,xz? Im,yz?
当复数的虚部为零、实部不为零 (即 y=0,)
时，复数 x+iy 等于 x+i0 为实数 x,而虚部不为零 (即
)的复数称为虚数,在虚数中,实部为零 (即 x=0,
)的称为纯虚数,例如,3+0i=3是实数,4+5i,-3i都是虚数,而 -3i是纯虚数,
0x?
0y?
0y?
数 x+iy (或 x+yi )的,并记做实部和虚部求复变量的实部和虚部可用 命令 real()
和 imag () 来实现,例如
>> sym s x y re al;
>> z= x+y *i;
>> Re= rea l(z )
Re =
x
>> Im =ima g(z )
Im =y
称形如 x+iy 或 x+yi 的表达式为复数，其中
x和 y是任意两个实数,把这里的 x和 y分别称为复显然,z=x+iy 是 x-yi 的共轭复数,即
,zzz
共轭复数复数 x-iy 称为复数 x+yi 的 (其中 x,y
均为实数 ),并记做,z
复数的共轭可用 co nj( ) 来实现,例如
>> sy ms x y r eal ;
>> z= x+y *i;
>> co nj( z )
ans =
x-i*y
共轭复数
1.1.2 复数的四则运算注意 复数不能比较大小,
设 z1=x1+iy1,z2=x2+iy2是两个复数,如果 x1=x2,
y1=y2,则称 z1和 z2相等,记为 z1=z2,
复数 z1=x1+iy1和 z2=x2+iy2的加、减、乘、除运算定义如下：
(1) 复数的和与差
)()( 212121 yyixxzz
(2) 复数的积
)()( 2112212121 yxyxiyyxxzz
(3) 复数的商
2
2
2
2
2112
2
2
2
2
2121
2
1
yx
yxyxi
yx
yyxx
z
z
22
21
zz
zz
复数运算的性质
1 2 2 1 ;z z z z1 2 2 1,z z z z
1,交换律
1 2 3 1 2 3( ) ( ) ;z z z z z z
1 2 3 1 2 1 3( ),z z z z z z z
2,结合律
3,分配律
1 2 1 24,;z z z z ;2121 zz
11
22
.zz
zz
5,,zz?
226,R e ( ) I m ( ),z z z z
7,2 R e ( ),2 Im( ),z z z z z i z
1 2 3 1 2 3( ) ( ),z z z z z z
解 1
2
34
1
zi
zi
( 3 4 ) ( 1 )
( 1 ) ( 1 )
ii
ii
( 3 4 ) ( 4 3 )
2
i 71,
22 i
2
1
z
z 71,
22 i
例 1.1 设 123 4,1,z i z i1
2
z
z求 与
1
2
,z
z
例 1.2
1,ii?
2 1,i
32,i i i i
4 2 2 1,i i i
……
,14?ni
,14 ii n
,124ni
43,nii
44 1.ni
例 1.3 设 z1,z2是两个复数,证明
2 1 21 2 12 R e,z z z z z z
证明 因为
2 1 2 112,z z z z z z
所以由运算规律 7，有
2 1 2 2 21 2 1 1 12 R e,z z z z z z z z z z
本例也可以用乘法和共轭复数的定义证明,
给定一复数 z=x+yi,在坐标平面 XOY上存在惟一的点 P(x,y)与 z=x+yi对应,反之,对 XOY
平面上的点 P(x,y),存在惟一的复数 z=x+yi与它对应,根据复数的代数运算及向量的代数运算的定义知这种对应构成了同构映射,因此可以用 XOY平面上的点表示复数 z.
),( yx?
x
y
x
y
o
iyxz这时把 XOY平面平面称为复平面,有时简称为 z平面,
1.1.3 复平面与复数的表示法显然,实数与 x轴上的点一一对应,而 x轴以外的点都对应一个虚数,纯虚数 与 y轴上的点 (除原点 )对应,因此,称 x轴为实轴,y轴为虚轴,
0iy y?
今后把复平面上的点和复数 z不加区别,即
“点 z”和“复数 z”是同一个意思,有时用 C 表示全体复数或复平面,
x
y
x
y
o
iyxzP复数 z也可以用以原点为起点而以点 P为终点的向量表示 (如图 ),
这时复数加、减法满足向量加、减法中的平行四边形法则,
用 表示复数 z时,这个向量在 x轴和 y轴上的投影分别为 x和 y.
OP
把向量 的长度 r 称为复数 z的 或称为 z
的绝对值,并记做 |z|,
OP
使用函数命令 abs()可以求出复数的模,
>> symsx y real;
>> z=x+y*i;
>> abs(z)
ans=
(x^2+y^2)^(1/2)
模
x
y
x
y
o
iyxzP
显然
22,z r x y
,,.z x y x z y z
0z?如果点 P不是原点 (即 ),那么把 x 轴的正向与向量 的夹角 q 称为复数 z 的辐角,记做 Argz,
OP
对每个,都有无穷多个辐角,因为用
q0表示复数 z的一个辐角时,
0z?
0 2 0,1,2,kkq q
就是 z的辐角的一般表达式,
A r g ar g 2 0,1,2,.z z k k
有时,在进行说明后,把主辐角定义为满足的方向角；但当 z=0时,|z|=0,
满足 的复数 z的 称为主辐角? q
使用函数命令 angle()可以求出复数的辐角,但是只能对数值量进行运算,并且计算出的是辐角主值,单位是弧度,
>> x=sym('x','real');y=sym('y','real');
>> x=3;y=4;z=x+y*i;
>> theta=angle(z)
theta =
0.9273
辐角
(或称辐角的主值 ),记做 argz,则
02q的辐角,这时上式仍然成立,
当 z=0时,Argz没有意义,即零向量没有确定当 时,有0zt an A r g,yz x?
利用直角坐标与极坐标之间的关系
c o s,xr q? sin,yr q?
数 z的 三角表示式,再利用 Euler公式
c o s s i n,ieiq qq
复数 z=x+yi 可表示为 称为复( c os sin ),z r iqq
复数 z=x+yi 又可表示为 称为复数的,iz re q?
指数表示式,其中 r=|z|,q=Argz.
当 0z? 时,A rg A rg,zz
当 时,iz re q?,iz re q
共轭复数的几何性质一对共轭复数 z和 在复平面的位置是关于实轴对称的,
z
x
y
o
iyxz
iyxz
复数和与差的模的性质
1 2 1 2,z z z z
1 2 1 2 ;z z z z
,2121 故之间的距离和表示点因为 zzzz?
1z
2z
21 zz?
x
y
o
2z
1z
从几何上看,复数 z2-z1所表示的向量,与以
z1为起点,z2为终点的向量相等 (方向相同,模相等 ),复数的加、减运算对应于复平面上相应向量的加、减运算,
1.1.4 乘幂与方根
,s in( c o s 1111 ）qq irz 2 2 2 2( c o s s i n,z r iqq ）
)s in( c o s)s in( c o s 22211121 qqqq irirzz
1 2 1 2 1 2[ ( c o s c o s s i n s i n )rr q q q q
1 2 1 2 1 2 1 2[ c o s ( ) s in( ) ],z z r r iq q q q
设复数 z1和 z2的三角表示式为
1 2 1 2( s i n c o s c o s s i n ) ],i q q q q
根据乘法定义和运算法则及两角和公式,
于是
.A r gA r g)(A r g 2121 zzzz
1 2 1 2 1 2,z z r r z z
应该注意的是 中的A r g A r g A r g1 2 1 2()z z z z
加法是集合的加法运算：即将两个集合中所有的
1 2 1 2 1 1 2 2A r g A r g,A r g,z z z zq q q q
两个复数乘积的模等于它们的模的乘积 ; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和,
元素相加构成的集合两个复数相乘的几何意义设两个复数对应的向量分别为
q
2qo x
y
r
2r
1r?
2z
1z
z
1q
先将 z1按逆时针方向
,s in( c o s 1111 ）qq irz
2 2 2 2( c o s s i n,z r iqq ）
旋转角度,再将模2q
变到原来的 r2倍,于是所得的向量 z就表示乘积 12.zz?
利用数学归纳法可以证明：如果
( c os sin ) 1,2,,,k k k kz r i k nqq
1 2 1 2 1 2[ c o s ( )n n nz z z r r r q q q
12s i n ( ) ],ni q q q
特别地,如果
12 ( c o s s i n ),nz z z r iqq
( c o s s i n ),nnz r n i nqq
那么那么如果写成指数形式，即如果
1,2,,,kikkz r e k nq,iz re q?
那么
121 2 1 2,ninnz z z r r r e q q q,n n inz r e q?
特别地，当 |z|=r=1时,
1 2 1 2 1 2[ c o s ( )n n nz z z r r r q q q
12s i n ( ) ],ni q q q
变为
c o s s i n ( c o s s i n ),ni n i nq q q q
c o s s i n ( c o s s i n )ni n i nq q q q
称为 De Movie公式,
那么
De Movie公式仍然成立,设
1 1 1 1( c o s s i n ),z r iqq2 2 2 2( c o s s i n ),z r iqq
如果定义负整数幂为 1,n nz z
当 2 0z? (即 )时,2 0r?
211
22112 2
2222 2
11z z z z z z z
zrzz z
1
1 2 1 2
2
[ c os( ) si n ( ) ],r ir q q q q
,111 qierz?
.)(
2
1
2
1 21 qq ie
r
r
z
z
,222 qierz?
则如果将 z1和 z2写成指数形式
,
2
1
2
1
z
z
z
z?,A r gA r gA r g
21
2
1 zz
z
z
于是两个复数商的模等于它们模的商；两个复数商的辐角等于被除数与除数的辐角之差,
方根,记做 或 如果nz 1.nz
( c os sin ),z r iqq ),s in( co s iw
于是,
,n r,c o sc o s qn s i n s i n,n?q?
( c o s s i n ) ( c o s s i n ),n n i n r i q q
0r?当 时,
对给定的复数 z,方程 wn=z的解 w称为 z的 n次满足以上三式的充分必要条件是
1,
nr 2 π ( 0,1,2,),n k k?q
其中 表示算术根,于是1nr
n kin krzw nn π2s inπ2c o s
1 qq
( 0,1,2,),k
当取 k=0,1,2,···,n-1时,对一个取定的 q,可得
n个相异根如下
,s inc o s
1
0
ninrw
n qq
,π2s inπ2c o s
1
1
ninrw
n qq
.π)1(2s inπ)1(2c o s
1
1
n
ni
n
nrw n
n
qq
由三角函数的周期性
1 2 π 2 πc o s sinn
kn
k n k nw r i
nn
qq
1 2 π 2 π
c o s s in,n kkkr i wnnqq
可见,除 w0,w1,···,wn-1外,均是重复出现的,故当 z=0时,w=0就是它的 n次方根,
常取主辐角,若用指数表示式,则当 z=reiq时,
21
0,1,2,,1,
ik
nnkw r e k n
q
这 n个复数就是所要求的 n个根,
在上面的推导过程中,可取 q为一个定值,通例 1.4 求方程 w4+16=0的四个根,
1214 4242 2 0,1,2,3,
k i
kiw e e k
4
0 2 2 c o s sin 2 ( 1 ),44
iw e i i
3
4
1
332 2 c o s s in 2 ( 1 ),
44
iw e i i
因为 -16=24e(2k+1)?i,所以 w4=24e(2k+1)?i,于是解 用 MATLAB函数命令可以进行复数的四则运算和乘幂运算,但是方根运算只能得到求方根公式中 k=0时的结果,
>> (-16)^(1/4)
ans=
1.4142 + 1.4142i
5
4
2
552 2 c o s s in 2 ( 1 ),
44
iw e i i
7
4
3
772 2 c o s s in 2 ( 1 ),
44
iw e i i
w1,w2,w3,w4恰好是以原点为圆心、半径为 2的圆一般情况下,
1
n nzz?
n个根就是以原点为中心、
半径为 1nr 的圆的内接正多边形的 n个顶点所表示的复数,
|z|=2的内接正方形的四个顶点 (如图 ).
o x
y
1w
2w 3w
0w
复数可以用平面上的点表示，这是复数的几何表示法的一种，另外还可以用球面上的点表示复数,
设 S是与复平面 C切于原点 O的球面,过原点 O
做垂直于平面 C的直线,
与 S的另一交点为 N,原点 O称为 S的南极 (S极 ),
点 N称为 S的北极 (如图 ),x
y
N
OS
1.1.5 复球面与无穷远点球面上的点,除去北极 N 外,与复平面内的点之间存在着一一对应的关系,我们用球面上的点来表示复数,
球面上的北极 N不能对应复平面上的定点,
当 球面上的点离北极 N 越近,它所表示的复数的模越大,
x
y
P
N
OS
),( yx
1P
),( 11 yx
规定,复数中有一个唯一的,无穷大” 与复平面上的无穷远点相对应,记作?,球面上的北极 N就是复数无穷大的几何表示,
x
y
N
OS
不包括无穷远点的复平面称为有限 复平面,
或简称复平面,包括无穷远点的复平面称为 扩充复平面,
球面上的点与扩充复平面的点构成了一一对应,这样的球面称为 复球面,
,的四则运算规定如下关于?
对于复数 的无穷远点而言,它的实部、虚部,
辐角等概念均无意义,规定 它的模为正无穷大,
( ) ;(1) 加法
( ) ;(2) 减法
( 0 ) ;(3) 乘法
0,( ),( 0 ),0(4) 除法
§ 1.2 平 面 点 集
1 区域
2 Jordan曲线、连通性
1.2.1 区域
1,邻域
z0是复平面内的定点,满足不等式 |z-z0|<d
的一切点所组成的集合 { z| |z-z0|<d }称为 z0的 d
邻域,简称为 z0的邻域,其中 d>0,z0的邻域实际上是以 z0为中心,d为半径的圆的内部所有点组成的点集,简记为 B(z0,d),
由满足不等式 0<|z-z0|<d的一切点所组成的集合称为 z0的去心邻域,
满足不等式 |z|>R (R>0)的一切点 (包括无穷远点 )的集合称为无穷远点的邻域,
用 R<|z|<+?表示无穷远点的去心邻域,
2,内点设 E是复平面上的点集,z0是一个定点,若存在 z0的一个邻域,使得该邻域内的一切点均属于
E,则称 z0是 E的内点,即存在? >0,满足
00,.B z z z z E
3,外点
4,边界点设 E是复平面上的点集,z0是一个定点,若存在 z0的一个邻域,使得在此邻域内的一切点均不属于 E,则称 z0是 E的外点,即存在? >0,满足
10,.B z E z z z E
设 E是复平面上的点集,z0是一个定点,若 z0
的任何邻域内都含有属于 E的点和不属于 E的点,则称 z0是 E的边界点,
即对任意的0,存在 z1,z2?B(z0,?),满足
12,.z E z E
显然,E的内点属于 E,而外点不属于 E,但边界点既可能属于 E,也可能不属于 E.
E的边界点的全体所组成的集合称为 E的边界,记做?E.
5,开集设 G是复平面上的点集,如果 G 内每一点都是它的内点,则称 G 为开集,
例 1.5 设 z0是定点,r >0是常数,则 z0为中心,
以 r为半径的圆的内部点,即满足不等式 |z-z0|<r
的一切点 z所组成的点集 (z0的 r邻域 ) 是开集,
当 0?r<R (r 和 R 均是常数 ) 时,满足不等式
r <|z-z0|<R的一切 z所组成的点集也是开集,
但满足不等式 r<|z-z0|?R的一切点所组成的点集不是开集,因为在圆周 |z-z0|=R上的点属于集合 r<|z-z0|?R,但这些点不是它的内点,而是边界点,
在圆周 |z-z0|=r和圆周 |z-z0|=R上的点都是点集 r<|z-z0|<R和 r<|z-z0|?R 的边界点,
两个圆周上的点都不属于点集 r<|z-z0|<R,内圆周 |z-z0|=r不属于点集 r<|z-z0|?R,外圆周 |z-z0|=R
属于点集 r<|z-z0|?R.
6,区域设 D是复平面上的点集，如果满足以下两个条件,
(1) D是开集；
(2) D内的任何两点 z1和 z2都可以用一条完全在 D内的折线,把 z1和 z2连接起来 (具有这个性质的点集叫做连通的 ),
则称 D是复平面上的区域,
简单地说,连通开集称为区域,
基本概念的图示
1z?
2z?
区域 d0z?
邻域
P? 边界点边界为闭区域,记做,D
例如,满足不等式 |z-z0|? r 和 r?|z-z0|?R的一切点所组成的点集都是有界的闭区域,满足不等式 |z|?R 的一切点所组成的点集是无界的闭区域,
如果一个平面点集完全包含在原点的某一个邻域内,那么称它是有界的,不是有界集的点集叫做无界集,
由区域 D和它的边界?D所组成的点集，称
(1) 圆环域,;201 rzzr
0z?
2r1r
例 1.6 判断下列区域是否有界?
(2) 上半平面,;0Im?z
(3) 角形域,;a r g 21 z
(4) 带形域,,Im bza
答案 (1)有界 ; (2) (3) (4)无界,
x
y
o
1.2.2 Jordan曲线、连通性
(1) 连续曲线,Jordan曲线
( ) ( ) ( ) ( ),z z t x t iy t t
参数方程 x=x(t),y=y(t) (t) 在 XOY平面上表示一条曲线 C.把 XOY平面视为复平面时,曲线 C的参数方程可表示为如果 x=x(t),y=y(t) (t)为连续函数时,则称曲线 C为连续曲线,
曲线 C 在复平面上的参数方程不仅确定了曲线的形状,实际上还给出了曲线的方向,也就是说,曲线是沿着 t 增加的方向变化的,
复平面上对应于 z(?)=x(?)+iy(?)的点称为曲线 C的起点,对应于 z(?)=x(?)+iy(?)的点称为曲线
C 的终点,
若曲线 C的起点与终点重合,即 z(?)= z(?),
则称 C是闭曲线,
例如,z=z(t)=r(cost+isint) (0?t?2?)是一条闭曲线,因为 z(0)=z(2?)=r,
对曲线 C的参数方程
( ) ( ) ( ) ( ),z z t x t iy t t
做变量代换可得
( ),z z t t
这两个方程所确定的曲线形状相同,起点和终点互易,从而方向相反,
用 Cˉ 表示与 C形状相同、方向相反的曲线,
如果 t1?t2,有 z(t1)=z(t2),则称 z(t1)=z(t2) 是曲线
z=z(t)的重点,
如果曲线 C,z=z(t) (t) 除起点与终点外无重点,即除 t1=?,t2=? 之外,如果 t1?t2,有 z(t1)?z(t2),
则称曲线 C是简单曲线,
连续的简单闭曲线称为 Jordan曲线,
任何 Jordan曲线 C将平面分为两个区域,即内部区域 (有界 )与外部区域
(无界 ),C是它们的公共边界,
x
y
o
内部外部边界下列曲线是否为简单闭曲线?
答案简单闭简单不闭不简单闭不简单不闭
()z()z
()z ()z ()z()z
()z
()z
关于曲线方向的说明,
设 C 为平面上给定的一条连续曲线,如果选定 C 的两个可能方向中的一个作为正向,则称
C为 有向曲线,
如果从 A 到 B 作为曲线
C 的正向,那么从 B 到 A 为曲线 C 的负向,就是 Cˉ.
x
y
o
除特殊声明外,正向总是指从起点到终点的方向,
C
A
Bˉ
Jordan曲线 C有两个方向,当点 z沿着 C 的一个给定方向变化时,若 C的内部出现在点 z前进方向的左侧,就规定这个方向是正的 ; 否则就说是负的,
如果没有特别说明,约定 Jordan
曲线的正向为这条曲线的方向,
x
y
o P
P
PP
对于圆周曲线可以简单地说,逆时针方向为曲线的正向,顺时针方向为曲线的负向,
(2) 光滑曲线如果曲线 C参数方程中的 x(t)和 y(t)都在 [?,?]
上存在连续的导函数,且对任何 t?[?,?],都有
22 0,x t y t
称 C是一条 光滑曲线,
由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为 分段光滑曲线,
x
y
o x
y
o
能求出长度的曲线称为可求长曲线,分段光滑曲线是可求长曲线,
光滑曲线 分段光滑曲线
(3) 单连通区域与多连通区域设 D是复平面上的一个区域,如果位于 D内的任何 Jordan曲线的内部区域也都包含于 D,则称 D为单连通区域,若区域 D不是单连通区域,则称它为 多连通区域,
单连通域 多连通域练习 1 指出下列不等式所确定的点集,是否有界? 是否区域? 如果是区域,单连通的还是多连通的?
2 1( 1 ) R e ( ) 1 ; ( 2 ) a r g ; ( 3 ) 3 ;
3zz z
,)R e ( 222 yxz
,11)R e ( 222 yxz
无界的单连通区域 (如图 ).
解 (1) 当 时,z x iy
( 4 ) 1 1 4 ; ( 5 ) 1 1 1.z z z z
( 2 ) a r g,3z
,3a rg33a rg zz
是角形域,无界的单连通域 (如图 ).
1( 3 ) 3,
z?,3
131 z
z
周外部,无界多连通区域 (如图 ).
是以原点为中心,半径为 的圆13
( 4 ) 1 1 4.zz
表示到 1,–1两点的距离之表示该椭圆的内部,这是有界的单连通区域 (如图 ).
和为定值 4 的点的轨迹,
1 1 4zz因为所以这是椭圆曲线,
1 1 4zz
( 5 ) 1 1 1.zz
111 zz
2 2 2 2 2 2[ ( c o s 1 ) s i n ] [ ( c o s 1 ) s i n ] 1,r r r rq q q q
22( 2 c o s 1 ) ( 2 c o s 1 ) 1,r r r rqq
1)c o s(4)1( 222 qrr 2 2 c o s 2,r q
内部,这是有界集,但不是区域,
c o s s i n,z r i rqq令
2 2 c os 2r q? 是双叶玫瑰线 (也称双纽线 ).
1 1 1zz表示双纽线 的练习 2 满足下列条件的点集是否区域? 如果是区域,是单连通区域还是多连通区域?
( 1 ) Im 3 ;z?
这是一条平行于实轴的直线,
-3 -2 -1 1 2 3
x
1
2
3
4
5
6
y
不是区域,
( 2 ) R e 2 ;z
它是单连通区域,
这是以为 右边界的半R e 2z
平面,不包括直线 R e 2,z
( 3 ) 0 1 2 ;zi
它是多连通区域,
( 4 ) a r g ( ),4zi
它不是区域,
这是以 为圆心,以 2为(1 )i
半径的去心圆盘,
这是以 i为端点,斜率为 1的半射线,不包括端点 i.
§ 1.3 连续函数
1 复变函数的定义
2 复变函数的极限
3 函数的连续性
1.3.1 复变函数的定义定义 1.1 设 E是复平面上的点集,若对任何
z?E,都存在惟一确定的复数 w和 z对应,称在 E
上确定了一个单值复变函数，用 w=f (z)表示,
E 称为该函数的定义域,
在上述对应中,当 z?E所对应的 w不止一个时,称在 E上确定了一个多值 复变 函数,
数,而 A r g a r g 2 ( 0,1,2,)w z z k k
例如,w=|z|是以复平面 C为定义域的单值函是定义在 C \{0}上的多值函数,
以后不特别申明时，所指的复变函数都是单值函数,
因为 z=x+iy和 w都是复数,若把 w记为 u+iv时,
u与 v也是 z的函数,因此也是 x 和 y 的函数,于是,
可以写成
( ) (,) (,),f z u x y iv x y
其中 u(x,y)和 v(x,y)都是实变量的二元函数,
例如,w=z2 是一个 复变函数,令
,.z x iy w u iv
因为 于是 函数 w=z2对2 2 2( ) 2,x i y x y x y i
22,2,u x y v x y
应于两个二元实函数令 于是,.22z z z zxy i
反之,如果 22(,) (,) 2,w u x y i v x y x y x y i
22
22.
2 2 2 2
z z z z z z z zw i z
ii
反函数的定义设函数 w=f(z)的定义域为复平面上的点集 D,
称复平面上的点集
( ),G w w f z z D
为函数 w=f(z)的值域,
对于任意的 w?G,必有 D中一个或几个复数与之对应,
于是,确定了 G上一个单值或多值函数 z=?(w),
称之为函数 w=f(z)的反函数,
定义 1.2 设复变函数 w=f(z)在 z0的某个去心邻域内有定义,A是复常数,若对任意给定的 e>0,
存在 d >0,使得对一切满足 0<|z-z0|<d 的 z,都有
()f z A e
成立,则称当 z趋于 z0时,f(z)以 A为极限，并记做
0
l i m ( )zz f z A或 0( ) ( ),f z A z z
注意,定义中 z?z0的方式是任意的,
1.3.2 复变函数的极限例 1.7 当 z?0 时,函数
( ) ( 0 )zf z zz
极限不存在,
事实上,当 z沿直线 y=kx趋于零时,
00
1l i m ( ) l i m,
1zx y k x
x i k x i kfz
x i k x i k
该极限值随 k值的变化而变化,所以极限
0lim ( )z fz?
不存在,
定义 1.3 设 f (z)在 z0的邻域内有定义,且
0 0
l i m ( ) ( )zz f z f z
则称 f(z)在 z0处连续,
若 f(z)在区域 D内的每一点都连续，则称 f(z)
在区域 D上连续,
关于函数 f(z)在连续曲线 C上的连续性和闭区域 上的连续性,只要把上述定义中的 z限制在 C或 上即可,
D
D
1.3.3 函数的连续性定理 1.1 设 ( ) (,) (,),f z u x y iv x y则 f (x)
在 0 0 0z x i y处连续的充分必要条件是 (,),u x y
(,)v x y 都在 00(,)xy点连续,
证明 只须注意,由等式
0()f z f z?
122 20 0 0 0(,) (,) (,) (,),u x y u x y v x y v x y
可得不等式
0 0 0(,) (,) ( ) ( ),u x y u x y f z f z
0 0 0(,) (,) ( ) ( ),v x y v x y f z f z
0( ) ( )f z f z?
0 0 0 0(,) (,) (,) (,),u x y u x y v x y v x y
又有不等式这个定理说明复变函数
( ) (,) (,)f z u x y iv x y
的连续性等价两个二元实函数 (,),(,)u x y v x y
的连续性,
利用这些不等式及,结论易证,定义 1.3 设 f (z)在 z0的邻域内有定义,且
0 0lim ( ) ( )zz f z f z则称 f(z)在 z
0处连续,
例 1.8 设复变函数 f (z)在点 z0 连续，并且
f (z0)?0,则存在 z0的某个邻域，使 f (z)在此邻域内恒不为 0,
证明 由于 f (z)在点 z0 连续,(,),(,)u x y v x y
在 00(,)xy点连续,故 22( ) (,) (,)f z u x y v x y
在 点连续,因00(,)xy 0( ) 0,fz?所以 0( ) 0.fz?
由二元函数的连续性,必存在 00(,)xy的某个邻域,
使得在此邻域内,( ) 0,fz?即在此邻域内 f (z)?0.
定理 1.2 设 ( ),( )f z g z都在 0zz? 点连续,
则 ( ) ( ),( ) ( )f z g z f z g z? 都在 0zz? 点连续，而当 0( ) 0gz?时,()()fzgz 也在 0zz? 点连续,
定理 1.3 设 ()z? 在 0z 处连续,00( ),zw
而 ()fw在 0ww? 点连续，则 复合函数 [ ( )]f g z
在 0zz? 点连续,
应用 或仿证明实函数类似结论的方定理 1.1 设 ( ) (,) (,),f z u x y iv x y则 f (x)
在 0 0 0z x iy处连续的充分必要条件是 (,),u x y(,)v x y
都在 00(,)xy点连续,
定理 1.1
法可以证明上述两个定理,
由前面的结论可知,多项式
10 1 1() nn nnP z c z c z c z c
在复平面内处处连续,有理分式
1
0 1 1
1
0 1 1
()
nn
nn
mm
mm
a z a z a z aRz
b z b z b z b
在复平面内除分母为零的点之外,处处连续,
,0,1,2,,,iia c i n0,1,2,,jb j m?
都是复常数,
定理 1.4 设 f (z)在有界闭区域 ( 或有限D
长的连续曲线 C )上连续，则 f (z)在 ( 或 C )上D
有界,即存在 M>0,当 或 z?C时，有zD?
( ),f z M?
为了后面的需要,给出下面一个关于函数有界性的定理,
§ 1.4 解析函数
1 复变函数的导数
2 解析函数
1.4.1 复变函数的导数
0
0
0
( ) ( ) li m
zz
f z f z
zz?
(1) 导数的定义定义 1.4 设 是定义在区域 D上的()w f z?
存在，则称 在 点可导,并把这个极()fz 0zz?
限值称为 在 点的导数，记做 0( ).fz?()fz 0zz?
复变函数,z0是区域 D内的定点,若极限定义中的极限式可以写为
00
0
( ) ( ) lim,
z
f z z f z
z
即当 在 点可导时,()fz 0zz?
0
0
0
0
( ) ( )( ) lim
zz
f z f zfz
zz?
注意 0 ( 0 )z z z的方式是任意的,
00
0
( ) ( )li m,
z
f z z f z
z
此时，对 D内任意一点 z,有
0
( ) ( )( ) lim,
z
f z z f zfz
z
也可用
d d ( ),
dd
w f z
zz
等表示 在 z点的导数,()fz
若 在区域 D内每一点都可导,则称()fz ()fz
在区域 D内可导,
则例 1.9 设 2( ),f z z? ()fz在复平面内处处可导，且 ( ) 2,f z z
解 因为
z
zfzzfzf
z?
)()(li m)(
0
z
zzz
z?
22
0
)(li m
0l i m ( 2 ),z zz
2 2.zz所以例 1.10 证明 ( ) 2f z x y i在复面内处处连续，但处处不可导,
证明 对复平面内任意点 z,有
( ) ( )f z z f z
2.x y i
( ) 2 ( ) 2x x y y i x y i
故 0l i m[ ( ) ( ) ] 0,z f z z f z
这说明 ( ) 2f z x y i在复面内处处连续,
( ) ( )f z z f z
z
( ) 2 ( ) 2x x y y i x y i
x y i
2,x y i
x y i
x
y
o
z 0y
但是,
设 沿着平行于 x 轴的z?
方向趋向于 0,即
0,0,xy于是
x
y
o
z 0y
00
0
2l i m l i m 1,
xx
y
x y i x
x y i x
0x
0
0
2lim
x
y
x y i
x y i
0
2li m 2,
y
yi
yi
所以 ( ) 2f z x y i的导数不存在,
设 沿着平行于 y 轴的方向趋向于 0,即z?
0,0,xy
(2) 可导与连续的关系
00
00
( ) ( )lim ( ) 0,
z
f z z f z fz
z
函数 f (z)在 z0处可导，则在 z0处一定连续,但函数 f (z)在 z0处连续不一定在 z0处可导,
事实上,由 f (z)在 z0点可导,必有
).()()()( 000 zfz zfzzfz令
0 0 0( ) ( ) ( ) ( ),f z z f z f z z z z
,)()(lim 00
0
zfzzf
z
所以
0l i m ( ) 0,z z
再由即 ()fz在 0z 处连续,
反之,由 知,不可导,
例 1.9 证明 ( ) 2f z x yi在复面内处处连续，但处处不可导,
例 1.10 ( ) 2f z x y i
但是二元实函数 连续,(,),(,) 2u x y x v x y y
于是根据 知,函数 连续,
定理 1.1 设 ( ) (,) (,),f z u x y iv x y则 f (x) 在 0 0 0z x iy处连续的充分必要条件是 (,),u x y(,)v x y
都在 00(,)xy点连续,
定理 1.1 ( ) 2f z x y i
(3) 求导法则由于复变函数中导数的定义与一元实函数导数的定义在形式上完全一致，同时，复变函数中的极限运算法则也和实函数中一样，因而实函数中的求导法则可推广到复变函数中，且证明方法相同,
求导公式与法则,
(1) ( ) 0,c 其中 c为复常数,
(2) 1( ),nnz n z 其中 n为正整数,
).()()()()3( zgzfzgzf
).()()()()()()4( zgzfzgzfzgzf
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( 5 ),( ( ) 0 ),
( ) ( )
f z f z g z f z g z gz
g z g z
1( 7 ) ( ),
()fz w
( 6 ) [ ( ) ] ( ) ( ),f g z f w g z( ).w g z?其中其中 ()w f z? 与 ()zw
是两个互为反函数的单值函数,且 ( ) 0,w
1.4.2 解析函数定义 1.5 设 在区域 D有定义,fz
(1) 设,若存在 的一个邻域，使得0zD? 0z
在此邻域内处处可导,则称 在 处解析,()fz 0z()fz
也称 是 的解析点,0z ()fz
(2) 若 在区域 D内每一点都解析，则称()fz
在区域 D内解析,或者称 是区域 D内的()fz ()fz
解析函数,
(3) 设 G是一个区域，若闭区域,DG?
且 在 G内解析，则称 在闭区域 上()fz ()fz D
解析,
函数 在 处解析和在 处可导意义()fz 0z 0z
不同，前者指的是在 的某一邻域内可导,0z
但后者只要求在 处可导,0z
函数 在 处解析和在 的某一个邻()fz 0z 0z
域内解析意义相同,
复变函数在 区域内解析 与在该 区域内可导是 等价 的,
事实上，复变函数在区域内解析显然在该区域内可导,
反之,设函数 在区域 D内可导,则对()fz
任意 存在 z的某一个邻域 U,使得 U? D,,zD?
由 在 D内可导,可知 在 U内可导,即()fz ()fz
在 z处解析,()fz
若函数 在 处不解析，则称 是()fz 0z 0z ()fz
的奇点,若 是 的奇点,但在 的某邻域内,0z ()fz 0z
除 外,没有其他的奇点，则称 是函数0z 0z ()fz
的孤立奇点,
由例 1.9和例 1.10知,函数 是全 2()f z z?
平面内的解析函数，但是函数 ( ) 2f z x y i
是处处不解析的连续函数,
根据求导法则，很容易得到下面的结论,
设函数 在区域 D内解析,则( ),( )f z g z
( ) ( ),( ) ( )f z g z f z g z?
也在 D内解析,当 时,是00,( ) 0z D g z0z
fz
gz
的解析点,特别地,多项式 P(z)在全平面内解析,
有理分式在复平面内除分母为零的点之外解析,
分母为零的点是有理分式的孤立奇点,
例 1.11 证明 在 处可导,2()f z z z? 0z?
但处处不解析,
证明 根据导数的定义,
2
00
( ) ( 0 )lim lim 0,
zz
f z f z
z
因此 在 处可导，且()fz 0z? ( 0 ) 0.f
当 时,由 得0 0z? 22 0 0 0,z z z z z z
220 0 0( ) ( )f z f z z z z z
2 2 2 20 0 0 0( ) ( ),z z z z z z z z
故 200 00
00
( ) ( ) ( ),f z f z z zz z z z
z z z z
虽然
0
2
0 0 0 0l i m ( ) 2 2,zz z z z z z z但是当
z分别从平行于 x,y轴方向趋于 z0时,分别0
0
zz
zz
以 1和 -1为极限，因此 不存在,又因为
0
0
0
lim
zz
zz
zz?
0 0,z? 所以 不存在，即0
0
0
( ) ( )lim
zz
f z f z
zz?
()fz
在 时不可导,从而在复平面内处处不解析,0z?
§ 1.5 函数可导的充要条件
2 函数可导的充要条件
1 函数可微的概念复变函数可微的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致,
复变函数可微与可导是否也具有一元实变函数可微与可导的关系？
00( ) ( ),f z z f z A z z
1.5.1 函数可微的概念定义 1.6 设函数 在 的某邻域内有定义,()fz 0z
若存在复常数 A,使得其中 则称 在 点可微,
0lim 0,z ()fz 0z
00
0
( ) ( ) li m,
z
f z z f z A
z
引理 复变函数 在点 可导的充分必要()fz 0z
条件是 在 点可微，且()fz 0z 0( ),A f z
证明 若 存在，设 则0()fz? 0()A f z,
令 则 00( ) ( ),f z z f z Az
00( ) ( ),f z z f z A z z
且,0lim 0z
反之，如果
00( ) ( ),f z z f z A z z
则
00( ) ( ),f z z f z A
z?
令 则 存在,0,z 0()f z A
这个引理表明,函数 在 可导与在()fz 0z
0z 可微等价,
与一元实函数类似,记
0 0 0d ( ) ( ) ( ) d,f z f z z f z z
d ( ) ( ) d,f z f z z
称之为 在 处的微分,()fz 0z
如果函数 在区域 D内处处可微,则称()fz
()fz在区域 D内可微,并记为
1.5.2 函数可导的充要条件定理 1.5 复变函数 ( ) (,) (,)f z u x y iv x y
在点 处可微 ( 即可导 ) 的充分必要0 0 0z x i y
条件是二元函数 在 处都(,),(,)u x y v x y00(,)xy
可微，并且满足 Cauchy-Riemann方程
,.u v u vx y y x
此时 0 0 0( ) (,),uvf z i x yxx
证明 必要性,若 存在，设0()fz?
0()f z a i b(a,b是实常数 ),
由,
引理 复变函数 在点 可导的充分必要()fz0z
条件是 在 点可微，且()fz0z 0( ).A f z
引理
0 0 0( ) ( ) ( )f z z f z f z z z
12( ) ( ) ( ) ( )a i b x i y i x i y
12()a x b y x y
21(,i b x a y x y
其中 12R e,I m,
显然,当 时，0z 120,0,
0 0 0 0(,) (,),u u x x y y u x y
0 0 0 0(,) (,),v v x x y y v x y
则 于是有00( ) ( ),f z z f z u i v
12()u i v a x b y x y
21( ),i b x a y x y
由两个复数相等的条件可得设
21,v b x a y x y
12,u a x b y x y
因此,在 处可微，且(,),(,)u x y v x y00(,)xy
.vubxy,uvaxy
充分性,若 在 处可微,(,),(,)u x y v x y00(,)xy
且满足 Cauchy-Riemann方程,令
,,u v v uabx y x y
则
1,u a x b y?e
2,v b x a y?e
其中 且当 时，22,x y z0
120,0,ee于是
00( ) ( )f z z f z u i v
12()a x b y i b x a y? e? e
12( ) ( ) ( )a x i y b i x y i? e e
12( ) ( ),a b i z i? e e
由 可得22,x y z
12( ) 0,i o z z? e e
由,
引理 复变函数 在点 可导的充分必要()fz0z
条件是 在 点可微，且()fz0z 0( ).A f z
引理 可知 在 处可微,且()fz 0z
0 0 0( ),.uvf z a ib i x yxx
0( ),
u v u u v v v uf z i i i i
x x x y y x y y
显然,有如下结论成立定理 1.6 复变函数 ( ) (,) (,)f z u x y iv x y
在区域 D内解析的充分必要条件是 (,),(,)u x y v x y
在区域 D 内可微,且在 D内满足 Cauchy-Riemann
方程
,.u v v ux y x y
在区域 D内
( ),u v u u v v y uf z i i i ix x x y y x y y
解析函数的判定方法,
(1) 如果能够用求导公式或求导法则验证复变函数 f (z)的导数在区域 D内处处存在,则可直接断定 f (z) 在区域 D内解析,
(2) 如果复变函数 f (z)=u(x,y)+iv(x,y)中的函数 u(x,y)和 v(x,y)在区域 D内各个一阶偏导数连续 (因而 u(x,y)和 v(x,y)在区域 D内可微 ),并且满足 Cauchy-Riemann方程,则由解析函数的充要条件可以断定函数 f (z)在区域 D解析,
例 1.12 证明函数 ( ) ( c o s s i n )xf z e y i y
是复平面 C上的解析函数，且 ( ) ( ),f z f z
证明 显然，
(,) c o s,(,) s i nxxu x y e y v x y e y
在全平面上可微，且
c o s,sin,xxuue y e yxy
s in,c o s,xxvve y e yxy
在全平面处处满足 Cauchy-(,),(,)u x y v x y
Riemann方程,所以 是复平面 C上的解析()fz
函数,并且
( ) ( c o s sin ) ( ),xuvf z i e y i y f zxx
Cauchy-Riemann方程在解析函数论及其在力学、物理学等的应用中具有根本性的意义,
特别是在流体力学和静电场理论中，起到重要作用,
和 在全平面内处处可微，但(,)u x y (,)v x y
2,2,2,2,u u v vx y y xx y x y
只有在实轴 上满足 Cauchy-Riemann方程,0y?
所以 在实轴上可微,但在任何一点的邻域()fz
内都有不可微的点，因此,处处不解析,()fz
例 1.13 设 问 22( ) 2,f z x y x y i()fz
在何处可微? 是否解析?
解 记 显然,函数22,2,u x y v x y
例 1.14 设
2 2 2 2( ) ( ),f z x a x y b y i c x d x y y
其中 a,b,c,d是常数，问它们取何值时,函数 f (z)
在复平面上解析,
解 显然，
22,u x a x y b y
在全平面可微，且
22v c x d x y y
2,2,vvc x d y d x yxy
2,2,uux a y a x b yxy
容易看出,当 时,函数2,1,1,2a b c d
(,),(,)u x y v x y满足 Cauchy-Riemann方程,这时函数 在全平面解析,()fz
x
vi
x
uzf
)(,0?
y
ui
y
v
0,u v u vx y y x
例 1.15 如果 在区域 D内处处为零,()fz?
则 f (z)在区域 D内为常数,
证明 根据 定理 1.6 复变函数 ( ) (,) (,)f z u x y iv x y
在区域 D 内解析的充分必要条件是 (,),(,)u x y v x y
在区域 D 内可微,且在 D 内满足 Cau ch y-Riema nn
方程,uv
xy,vuxy
在区域 D 内 ( ),u v u u v v y uf z i i i i
x x x y y x y y
所以 都是常数,(,),(,)u x y v x y
因此 f (z)在区域 D内为常数,
§ 1.6 初等解析函数
1 指数函数
2 对数函数
3 幂函数
4 三角函数和双曲函数由
1.6.1 指数函数
( ) ( c o s s i n )xf z e y i y
在 z平面上解析，且 当 z为实数,即( ) ( ),f z f z
当 y=0时,与通常实指数函数一致,因此() xf z e?
给出下面定义,
定义 1.7 假设 则由,z x iy
( c o s s i n )xe y i y?
例 1,12
例 1.1 2 证明函数 ( ) ( c o s s i n )xf z e y i y
是复平面 C 上的解析函数，且 ( ) ( ).f z f z
可知,函数定义复指数函数，记
e x p ( ) ( c o s s i n ),xz e y i y
或简记为 ( c o s s i n ),zxe e y i y
显然
R e ( e x p ( ) ) c o s,xz e y?
I m ( e x p ( ) ) s i n,xz e y?
e x p ( ),xze?
A r g ( e x p( ) ) 2 ( 0,1,2,),z y k k
与指数函数符号一致与 相一致但也有不妥之处以后说明
Euler 公式 c o s sin,
ieiq qq
定理 1.7 设 为指数函数，则 在全平面ze ze
解析,且,zzee
从而 其中 n正整数 ;(1) 1 2 1 2,z z z ze e e( ),z n n zee?
0,ze?(2) 当 时,其中I m ( ) 0z? ( ),xf z e? R e ( ) ;xz?
(3) ze 是周期函数,其周期是 n非零整数,2,T n i
(4) 1ze? 的充分必要条件是 n为整数,2,z n i
2 ;z n i zee即证明 只证明 (1),令
1 1 1,z x i y 2 2 2,z x iy
于是由指数函数定义
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )z z x iy x iy x x i y ye e e
12.zzee
12 1 2 1 2[ c o s ( ) s i n ( ) ]xxe y y i y y
12 1 2 1 2[ ( c o s c o s s i n s i n )xxe e y y y y
1 2 1 2( s i n c o s c o s s i n ) ]i y y y y
12 1 1 2 2[ ( c o s s i n ) ] [ ( c o s s i n ) ]xxe y i y e y i y
例 1.16 求 的实部与虚部,exp( )ze
解 令 因为,z x iy
c o s s i nz x xe e y i e y,
所以
c o se x p ( ) [ c o s ( s in ) s in ( s in ) ],xz e y x xe e e y i e y
从而有
c o sR e [ e x p( ) ] c o s ( s in ),xz e y xe e e y?
c o sI m[ e x p( ) ] s in( s in ),xz e y xe e e y?
1.6.2 对数函数定义 1.8 指数函数的反函数称为对数函数,
即把满足方程 的函数 称 ( 0 )we z z ()w f z?
为 z的对数函数，记作 L n,wz?
令 则由,,iw u i v z r e q ( 0 ),we z z
可得 从而由复数的相等的定义知,,u iv ie r e q
,2,ue r v kq即 其l n,2,u r v kq
中 k为整数,或 l n,Ar g,u z v z
所以
Ln ln A r g ln ( a r g 2 )w z z i z z i z k
0,1,2,.k
由于 是多值的，所以 是多值函数,Argz Lnz
如果记 则对数函数可写为ln ln ar g,z z i z
Ln ln 2 0,1,2,.z z ik k
对应某个确定的 k,称为对数函数的第 k个个分支,对应 k=0 的分支，称为对数函数主支,
于是 即是对数主支,称l n l n ar gz z i z lnz
为对数函数的主值,
对数函数各分支之间，其虚部仅差 的2?
倍数，因此，当给定特殊分支 (即给定 k的值 )
时,的值就被确定,Argz
例如,如果给定分支的虚部落在区间 (,)
中，那么 即取 k=0 的那Ln ( 1 ) ln 2,4ii
个对数分支,
如果给定分支的虚部落在区间 中,(,3 )
那么 即取 k=1 的那个 9Ln( 1 ) ln 2,4ii
对数分支,这可在
ln 2 2 ( 0,1,2 )4i k k
Ln ( 1 ) ln 1 A r g ( 1 )i i i i
l n 2 ar g( 1 ) 2i i i k
中取 k=1 得到,
利用复数的乘积与商的辐角公式易证，复变函数的对数函数保持了实对数函数的乘积与商的相应公式
1 2 1 2L n ( ) L n L n,z z z z
1
2 1 2 1 2L n ( ) L n L n (,0 ),
zz z z z z
在实函数对数中，负数不存在对数；但在复变数对数中，负数的对数是有意义的,例如
( 2 1 ) ( 0,1,2,),k i k
L n ( 1 ) ln 1 ar g( 1 ) 2i i k
下面讨论对数函数的解析性,
对于对数主支 ln ln ar g,z z i z其实部
lnz 在除原点外的复平面上处处连续 ; 但其虚部 a r g (,],z在原点与负实轴上都不连续,
因为对于负实轴上的点 ( 0 ),z x x有
00l i m a r g,l i m a r g,yy zz
所以,在 \ { 0,0},C x iy y x即在除去原点与负实轴的复平面上,lnz 处处连续,
定理 1.8 对数主支 l n l n ar gz z i z在区域 \ { 0,0}D C x iy y x上解析 (如图 ),
并且 1ln,z z
证明 记
( ) ln,( ) ( ),f z z w h f z h
则 0li m ( ) ( ),h w h f z由 (),fzez? 对任意的
0,h? 有
x
y
o
D
( ) ( )00
( ) ( ) ( ) ( )li m li m
f z h f zhh
f z h f z f z h f z
h e e
( ) ( ) ()( ) ( )
( ) ( )
1 1 1lim,
w h f z fzeew h f z
w h f z ez
对于其他各给定的对数分支，因为
L n l n 2z z i k(k确定 ),
所以也有 1[ L n ] ( ln 2 ),z z ik z因此，对于确定的 k,称 Lnz 为一个单值解析分支,
例 1.17 求 ln [ ( 1 ) ( 1 ) ]ii的值,
解 因为
3ln( 1 ) ln 2,
4ii
ln( 1 ) ln 2,4ii
所以
Ln [ ( 1 ) ( 1 ) ]ii
3ln 2 ln 2 2,
44i i k i
Ln [ ( 1 ) ( 1 ) ] 2 ln 2 2i i i k i
ln 2 ( 2 1 ),ki
于是
ln [ ( 1 ) ( 1 ) ] ln 2,i i i
事实上，以上结果还可以由
ln[ ( 1 ) ( 1 ) ] ln( 2 ) ln 2i i i
直接得到．
1.6.3 幂函数
Ln e x p( Ln ),zz z e
定义 1.9 设 z为不等于零的复变数,?为任意为一个复数，定义幂函数 z? Ln,ze? 即当 z为正实变数,?为实数时，它与实幂函数的定义一致，而 z为复变数,?为复数时
l n a r g 2Ln z i z i kzz e e
( l n 2 ) l n 2 ( 0,1,2,),z i k z k ie e e k
由于 Lnz 的多值性，所以 z? 也是多值的，
lnze? 称为 z? 的主值,易见：
1,当?是整数时,Ln zze 是单值函数；
2,当?为有理数 pq 时,其中 为既约pq
分数,那么 z? 是有限多值的，且
Ln ( 0,1,2,,1 ) ;zz e k q
3,当?为无理数或虚部不为零的复数时,z?
是无穷多值的,
上述定义实质上包含了复数的 n次幂函数与 n次方根函数的定义,因为
(1) 当?=n (n是正整数 )时,
L n L n L n L nn n z z z zz e e(指数为 n项之和 )
Ln Ln Lnz z ze e e (n个因子 之积 )Lnze;z z z (n个因子 z 之积 )
(2) 当 1n 时，有
11 l n a r g 2,z i z k innze
1 1 a r g 2 a r g 2ln z k z k izi
n n n nnz e e z e
( 0,1,2,,1 ),n z k n
当 z给定时，它与复数 z的 n次方根的定义完全一致,
例 1.18 求 ii 的值,
解 按照定义，有
Ln ( ln 2 )i i i i i k ii e e
2222 ( 0,1,2,),i i k i ke e k
例 1.19 求 21 的值,
解 2 2 L n 1 2 ( l n 1 2 ) 2 21 k i k ie e e
( 0,1,2,),k
因为 Lnz 在区域
\ { 0,0}D C x iy y x
上解析,所以幂函数 在该区域上解析,Ln zze
并且根据复合函数求导公式,可得
L n L n 11,zzz e e zz
注意ikie?21 2?kiee
,,2,1,0k
eii ee Ln?
因为 e x p ( ) c o s 1 sin 1,ii
)]21(e xp [)Lne xp ( ikieie i
)2ex p (?ki
22 ( c o s 1 s i n 1 ) e x p ( ),kke i e i
所以
exp( )i与 ie 的不一致性,约定,
() e x p ( ( ) ),fze f z?
() e x p ( ( ) L n ) ( ),fza f z a a e
因为 c o s s i n,iye y i y,s i nc o s yiye iy
将两式相加与相减,得
,2c o s
iyiy ee
y
,2s in ieey
iyiy
定义 1.10 定义三角函数与双曲函数如下,
正弦函数 s in ;2
i z i zee
z i
余弦函数 c o s ;2
i z i zee
z
1.6.4 三角函数和双曲函数双曲正弦函数 s h ;2
zzee
z
双曲余弦函数 c h,2
zzee
z
当 z是实变数时，它们与实的正弦、余弦、
双曲正弦、双曲余弦函数是一致的,
由于,z izee在复平面上是解析的，所以正弦、余弦、双曲正弦、双曲余弦函数在整个复平面上都是解析的,
容易证明
( s in ) c o s,( c o s ) s in,z z z z
( s h ) c h,( c h ) s h,z z z z
并且具有下面的一些性质,
是以(1) sin,c o szz2? 为周期的周期函数；
sh,chzz是以 2 i? 为周期的周期函数,
(2) sin,shzz为奇函数 ;
co s,chzz为偶函数,
(3) 一些恒等式关系仍成立,
22s i n c o s 1 ;zz
1 2 1 2 1 2s i n ( ) s i n c o s c o s s i n ;z z z z z z
1 2 1 2 1 2c o s ( ) c o s c o s s i n s i n ;z z z z z z
s i n 2 2 s i n c o s ;z z z? 2c o 2 2 c o s 1 ;zz
22c h s h 1 ;zzs h c h ;zz z e
1 2 1 2 1 2s h ( ) s h c h c h s h ;z z z z z z
1 2 1 2 1 2c h ( ) c h c h s h s h,z z z z z z
(4) 三角函数与双曲函数满足关系式
c o s( ) c h,sin ( ) sh ;iz z iz i z
c h ( ) c o s,s h ( ) sin,iz z iz i z
(5) s i n,c o szz不是有界函数,
因为
sin sin( )z x iy
sin c h c o s sh,x y i x y
sin c o s( ) c o s sin( )x iy x iy
2 2 2 2s i n ( c h s h ) s hx y y y
22s i n s h,xy
虽然 20 s i n 1,x但是当 y时,2s h,y
所以当 y时,s in,z即 sinz 是无界函数,
这与实正弦函数有本质区别,余弦函数类似,
所以
2 2 2 2 2s i n s i n c h c o s s h,z x y x y
例 1.20 解方程 s in ( ),iz i?
解 因为 sin( ) sh,iz i z?所以原方程可改写为 sh 1,z? 即
1.2
zzee
所以可化简得 2 2 1 0.zzee解方程可得
1 2 4 4 1 2,2ze
因此,可以求出
( 1 ) L n ( 1 2)kz
( 0,1,2 )k
ln 1 2 2 ki
1 ln3 2,
2 ki
( 2 ) Ln ( 1 2 )kz
ln 1 2 2 1ki
1 ln 3 2 1,2 ki
可以定义其它的三角函数及反三角函数与反双曲函数,例如正切函数和余切函数分别为
s in c o st a n,c o t,
c o s s in
zzzz
z
zz
co s
s i nt a n?
解 设,z x iy
)(
)(
yix
yix
s in c h c o s s h
c o s c h s in s h
x y i x y
x y i x y
2 2 2 2
sin c o s c h sh
c o s c h ( 1 c o s ) sh
x x i y y
x y x y
2 2 2 2
s in 2 s h 2,
2 c o s 2 s h 2 c o s 2 s h
xy i
x y x y
)R e ( t a n z? )I m ( t a n z?
例 1.21 确定 的实部和虚部,tanz
复数平面表示法定义表示法三角表示法曲线与区域 球面表示法复数表示法指数表示法复数的运算共轭运算代数运算乘幂与方根本章内容总结 (一 )
向量表示法复变函数连续初等解析函数判别方法可导解析指数函数对数函数三角函数双曲函数幂 函 数本章内容总结 (二 )
1,复数运算和各种表示法
2,复数方程表示曲线以及不等式表示区域本章的重点
3,解析函数的概念
4,函数解析的充要条件
5,初等解析函数第一章 完
Leonhard Euler
(1707.4.15-1783.9.18)
伟大的瑞士数学家及自然科学家,出生于牧师家庭,自幼受父亲的教育,13 岁时入读巴塞尔大学,在数学领域内,18世纪可以称为是 Euler的世纪,
他对数学的研究非常广泛,在半个多世纪的研究生涯中,写下了浩如烟海的书籍和论文,几乎每一个数学领域都可以看到 Euler的名字,作出了非凡贡献,
28岁时,过度的工作使他右眼失明,年近花甲时,双目失明,Euler完全失明以后，仍然以惊人的毅力,凭着记忆和心算进行研究,直到逝世,竟达 17年之久．
他在物理、天文、建筑等方面也取得了辉煌的成就,
Gauss说,,研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法,”
Laplace说,,读读 Euler,他 是我们大家的老师,”
生于法国,1688年移居英国,在概率论、复数理法国数学家,在分析学、代数学和几何学等方面都有很大的成就,1887 年给出曲线的第一个定义,
Abraham de Moivre (1667.5.26-1754.11.27)
论等领域做了一些出色的工作,
Camille Jordan (1838.1.5-19221.21)
Augustin Louis Cauchy
(1789.8.21-1857.5.23)
法国数学家,历史上有数的大分析学家,1805年入理工科大学,1816年成为那里的教授,
他给出了微积分的严密基础,同时其工作遍及数学的各个领域,而且在天文学、光学、弹性力学等方面也做出了突出的贡献,他的论文超过了七百篇,在数量上仅次于 Euler,他甚至研究过诗歌,
Georg Friedrich Bernhard Riemann
(1826.9.17-1866.7.20)
德国数学家,1846年入哥廷根大学,成为 Gauss晚年的学生,1851年以论文“复变函数论的基础”取得博士学位,
Gauss在审阅这篇论文时给予极高的评价,1854年写出了将函数表示成三角级数的一篇重要论文,同年另一篇论文开辟了几何学的新领域,1859年成为哥廷根大学教授,同年提出著名的 Riemann? 函数,Riemann?函数猜想
Riemann?函数 1 1() nnz z()z?
在带形闭区域 中的一切零点都位01x
于 这条线上,12x?
这是一个极其重要的猜想,它与很多著名的数学问题有关,但是至今没有得到明确的答案,
§ 1.1 复 数
§ 1.2 平 面 点 集
§ 1.3 连续函数
§ 1.4 解析函数
§ 1.5 函数可导的充要条件
§ 1.6 初等解析函数复变函数与积分变换及应用背景
(,古今数学思想,(Mathematical
Thought from Ancient to Modern Times)的作者,美国数学史家 ) 指出,从技术观点来看,十九世纪最独特的创造是单复变函数的理论,这个新的数学分支统治了十九世纪,几乎象微积分的直接扩展统治了十八世纪那样,这一丰饶的数学分支,一直被称为这个世纪的数学享受,它也被欢呼为抽象科学中最和谐的理论之一,
Mor ri s K line (1 90 8 - 1992 ),纽约大学 Cour ant 数学研究所的教授,他的著作包括,数学,确定性的丧失,等,
M.Kli ne
的概念,从而建立了复变函数理论,
为了建立代数方程的普遍理论，人们引入复数
(2) 复变函数理论可以应用于计算某些复杂的实函数的积分,
(1) 代数方程 在实数范围内无解,2 10x
代数基本定理,
111 0nn nnz a z a z a
在复数域必有 n个根,
复系数 n次代数方程
J,Hadamard
用复变函数理论证明了当 x =1 时,Rieman n? 函数 从而证( ) 0,z
Ja cques Ha damar d(1 86 5.12.8 - 19 63.10.1 7)
法国数学家,他在 1896 年应明了素数定理,他曾于 1 93 6 年来华在清华大学讲学,
Rieman n? 函数
1 1() nnz z
说,实域中两个真理之间的最短路程是通过复域,
(3) 复变函数理论可以应用于流体的平面平行流动等问题的研究,
Gauss
青年时代老年时代
Carl Fr iedrich Gau ss(1777.4.30-1855.2.23)
伟大的德国数学家、天文学家和物理学家,幼时家境贫困,但聪敏异常,曾被誉为数学神童,1795～ 1798年在哥廷根大学学习,1796年发现正十七边形的尺规作图法,解决了 Euclid以来悬而未决函数理论证明了应用复变
(4) 应用于计算绕流问题中的压力和力矩等,
(5) 应用于计算渗流问题,
例如：大坝、钻井的浸润曲线,
(6) 应用于平面热传导问题、电 (磁 )场强度,
例如：热炉中温度的计算,
最著名的例子是飞机机翼剖面压力的计算,
从而研究机翼的造型问题,
变换应用于频谱分析和信号处理等,
(8) 复变函数理论也是积分变换的重要基础,
积分变换在许多领域被广泛地应用，如电力工程、通信和控制领域以及信号分析、图象处理和其他许多数学、物理和工程技术领域．
频谱分析是对各次谐波的频率、振幅、相位之间的关系进行分析,随着计算机的发展，语音、图象等作为信号，在频域中的处理要方便得多,
Jo seph Fo urier
(1 76 8.3,2 1 -18 30,5.16 )
法国数学家和物理学家,他致力于研究固体的热传导问题,1822 年出版名著,热的分析理论,,形成了一种在数学物理问题中有普遍意义的方法,它开辟了 Fourier 分析这样 一个近代数学
Fourier 分析在物理、数学和工程技术上都有广泛的应用,
的重要分支,
对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉,
(9)
变换应用于控制问题,
在控制问题中，传递函数是输入量的 Laplace
变换与输出量的 Laplace变换之比,
(11) Z变换应用于离散控制系统,
(12) 小波分析的应用领域十分广泛,如信号分析和图象处理、语音识别与合成、医学成像与诊断、
地质勘探与地震预报等等,
(13) 复变函数与积分变换的计算可以使用为科学和工程计算设计的软件 MAT LAB 基础
MAT LA B 是一个为科学和工程计算而专门设计 的 高级交互式软件包,是一种高性能的编程软件,具有通用科技计算、图形交互系统和程序设计语言,并且语法规则简单,容易掌握和调试方便,在 Wi ndo w s系统中,
点击 MA T LA B 图标启动程序,进入 MAT L AB 界面,
Pier re Si mon de La pla ce(1 74 9.3,2 3-18 27,3.5)
法国数学家和天文学家,曾经短期担任过 Nap ol eon 的内政部长,
凡是有助于解释世界的任何事情,他都感兴趣,最著名的著作有,天体力学,(1799 -1825,5 卷本 )和
,概率的分析理论,(1812).提出了太阳系生成的星云假说,以他的名字命名的 Lapl ace 变换和 Lapl ace 方程有广泛的应用,我们知道的，是很微小的；我们不知道的，是无限的,
(10)
主 要 内 容本章首先引入复数的概念及其运算、
平面点集的概念,然后讨论复变函数的连续性，重点研究解析函数,最后介绍几个基本的初等解析函数,
§ 1.1 复 数
1 复数的概念
2 复数的四则运算
3 复数的表示方法
4 乘幂与方根
1.1.1 复数的概念由于解代数方程的需要,人们引进了复数,
例如，简单的代数方程
2 10x
在实数范围内无解,为了建立代数方程的普遍理论，引入等式
2 1.i
由该等式所定义的数称为
1.i
虚数单位为 i=j=sqrt (-1),其数值在 MATLAB
工作空间显示如下
>> sqr t(-1)
ans =
0 + 1,000 0i
虚数单位
R e,xz? Im,yz?
当复数的虚部为零、实部不为零 (即 y=0,)
时，复数 x+iy 等于 x+i0 为实数 x,而虚部不为零 (即
)的复数称为虚数,在虚数中,实部为零 (即 x=0,
)的称为纯虚数,例如,3+0i=3是实数,4+5i,-3i都是虚数,而 -3i是纯虚数,
0x?
0y?
0y?
数 x+iy (或 x+yi )的,并记做实部和虚部求复变量的实部和虚部可用 命令 real()
和 imag () 来实现,例如
>> sym s x y re al;
>> z= x+y *i;
>> Re= rea l(z )
Re =
x
>> Im =ima g(z )
Im =y
称形如 x+iy 或 x+yi 的表达式为复数，其中
x和 y是任意两个实数,把这里的 x和 y分别称为复显然,z=x+iy 是 x-yi 的共轭复数,即
,zzz
共轭复数复数 x-iy 称为复数 x+yi 的 (其中 x,y
均为实数 ),并记做,z
复数的共轭可用 co nj( ) 来实现,例如
>> sy ms x y r eal ;
>> z= x+y *i;
>> co nj( z )
ans =
x-i*y
共轭复数
1.1.2 复数的四则运算注意 复数不能比较大小,
设 z1=x1+iy1,z2=x2+iy2是两个复数,如果 x1=x2,
y1=y2,则称 z1和 z2相等,记为 z1=z2,
复数 z1=x1+iy1和 z2=x2+iy2的加、减、乘、除运算定义如下：
(1) 复数的和与差
)()( 212121 yyixxzz
(2) 复数的积
)()( 2112212121 yxyxiyyxxzz
(3) 复数的商
2
2
2
2
2112
2
2
2
2
2121
2
1
yx
yxyxi
yx
yyxx
z
z
22
21
zz
zz
复数运算的性质
1 2 2 1 ;z z z z1 2 2 1,z z z z
1,交换律
1 2 3 1 2 3( ) ( ) ;z z z z z z
1 2 3 1 2 1 3( ),z z z z z z z
2,结合律
3,分配律
1 2 1 24,;z z z z ;2121 zz
11
22
.zz
zz
5,,zz?
226,R e ( ) I m ( ),z z z z
7,2 R e ( ),2 Im( ),z z z z z i z
1 2 3 1 2 3( ) ( ),z z z z z z
解 1
2
34
1
zi
zi
( 3 4 ) ( 1 )
( 1 ) ( 1 )
ii
ii
( 3 4 ) ( 4 3 )
2
i 71,
22 i
2
1
z
z 71,
22 i
例 1.1 设 123 4,1,z i z i1
2
z
z求 与
1
2
,z
z
例 1.2
1,ii?
2 1,i
32,i i i i
4 2 2 1,i i i
……
,14?ni
,14 ii n
,124ni
43,nii
44 1.ni
例 1.3 设 z1,z2是两个复数,证明
2 1 21 2 12 R e,z z z z z z
证明 因为
2 1 2 112,z z z z z z
所以由运算规律 7，有
2 1 2 2 21 2 1 1 12 R e,z z z z z z z z z z
本例也可以用乘法和共轭复数的定义证明,
给定一复数 z=x+yi,在坐标平面 XOY上存在惟一的点 P(x,y)与 z=x+yi对应,反之,对 XOY
平面上的点 P(x,y),存在惟一的复数 z=x+yi与它对应,根据复数的代数运算及向量的代数运算的定义知这种对应构成了同构映射,因此可以用 XOY平面上的点表示复数 z.
),( yx?
x
y
x
y
o
iyxz这时把 XOY平面平面称为复平面,有时简称为 z平面,
1.1.3 复平面与复数的表示法显然,实数与 x轴上的点一一对应,而 x轴以外的点都对应一个虚数,纯虚数 与 y轴上的点 (除原点 )对应,因此,称 x轴为实轴,y轴为虚轴,
0iy y?
今后把复平面上的点和复数 z不加区别,即
“点 z”和“复数 z”是同一个意思,有时用 C 表示全体复数或复平面,
x
y
x
y
o
iyxzP复数 z也可以用以原点为起点而以点 P为终点的向量表示 (如图 ),
这时复数加、减法满足向量加、减法中的平行四边形法则,
用 表示复数 z时,这个向量在 x轴和 y轴上的投影分别为 x和 y.
OP
把向量 的长度 r 称为复数 z的 或称为 z
的绝对值,并记做 |z|,
OP
使用函数命令 abs()可以求出复数的模,
>> symsx y real;
>> z=x+y*i;
>> abs(z)
ans=
(x^2+y^2)^(1/2)
模
x
y
x
y
o
iyxzP
显然
22,z r x y
,,.z x y x z y z
0z?如果点 P不是原点 (即 ),那么把 x 轴的正向与向量 的夹角 q 称为复数 z 的辐角,记做 Argz,
OP
对每个,都有无穷多个辐角,因为用
q0表示复数 z的一个辐角时,
0z?
0 2 0,1,2,kkq q
就是 z的辐角的一般表达式,
A r g ar g 2 0,1,2,.z z k k
有时,在进行说明后,把主辐角定义为满足的方向角；但当 z=0时,|z|=0,
满足 的复数 z的 称为主辐角? q
使用函数命令 angle()可以求出复数的辐角,但是只能对数值量进行运算,并且计算出的是辐角主值,单位是弧度,
>> x=sym('x','real');y=sym('y','real');
>> x=3;y=4;z=x+y*i;
>> theta=angle(z)
theta =
0.9273
辐角
(或称辐角的主值 ),记做 argz,则
02q的辐角,这时上式仍然成立,
当 z=0时,Argz没有意义,即零向量没有确定当 时,有0zt an A r g,yz x?
利用直角坐标与极坐标之间的关系
c o s,xr q? sin,yr q?
数 z的 三角表示式,再利用 Euler公式
c o s s i n,ieiq qq
复数 z=x+yi 可表示为 称为复( c os sin ),z r iqq
复数 z=x+yi 又可表示为 称为复数的,iz re q?
指数表示式,其中 r=|z|,q=Argz.
当 0z? 时,A rg A rg,zz
当 时,iz re q?,iz re q
共轭复数的几何性质一对共轭复数 z和 在复平面的位置是关于实轴对称的,
z
x
y
o
iyxz
iyxz
复数和与差的模的性质
1 2 1 2,z z z z
1 2 1 2 ;z z z z
,2121 故之间的距离和表示点因为 zzzz?
1z
2z
21 zz?
x
y
o
2z
1z
从几何上看,复数 z2-z1所表示的向量,与以
z1为起点,z2为终点的向量相等 (方向相同,模相等 ),复数的加、减运算对应于复平面上相应向量的加、减运算,
1.1.4 乘幂与方根
,s in( c o s 1111 ）qq irz 2 2 2 2( c o s s i n,z r iqq ）
)s in( c o s)s in( c o s 22211121 qqqq irirzz
1 2 1 2 1 2[ ( c o s c o s s i n s i n )rr q q q q
1 2 1 2 1 2 1 2[ c o s ( ) s in( ) ],z z r r iq q q q
设复数 z1和 z2的三角表示式为
1 2 1 2( s i n c o s c o s s i n ) ],i q q q q
根据乘法定义和运算法则及两角和公式,
于是
.A r gA r g)(A r g 2121 zzzz
1 2 1 2 1 2,z z r r z z
应该注意的是 中的A r g A r g A r g1 2 1 2()z z z z
加法是集合的加法运算：即将两个集合中所有的
1 2 1 2 1 1 2 2A r g A r g,A r g,z z z zq q q q
两个复数乘积的模等于它们的模的乘积 ; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和,
元素相加构成的集合两个复数相乘的几何意义设两个复数对应的向量分别为
q
2qo x
y
r
2r
1r?
2z
1z
z
1q
先将 z1按逆时针方向
,s in( c o s 1111 ）qq irz
2 2 2 2( c o s s i n,z r iqq ）
旋转角度,再将模2q
变到原来的 r2倍,于是所得的向量 z就表示乘积 12.zz?
利用数学归纳法可以证明：如果
( c os sin ) 1,2,,,k k k kz r i k nqq
1 2 1 2 1 2[ c o s ( )n n nz z z r r r q q q
12s i n ( ) ],ni q q q
特别地,如果
12 ( c o s s i n ),nz z z r iqq
( c o s s i n ),nnz r n i nqq
那么那么如果写成指数形式，即如果
1,2,,,kikkz r e k nq,iz re q?
那么
121 2 1 2,ninnz z z r r r e q q q,n n inz r e q?
特别地，当 |z|=r=1时,
1 2 1 2 1 2[ c o s ( )n n nz z z r r r q q q
12s i n ( ) ],ni q q q
变为
c o s s i n ( c o s s i n ),ni n i nq q q q
c o s s i n ( c o s s i n )ni n i nq q q q
称为 De Movie公式,
那么
De Movie公式仍然成立,设
1 1 1 1( c o s s i n ),z r iqq2 2 2 2( c o s s i n ),z r iqq
如果定义负整数幂为 1,n nz z
当 2 0z? (即 )时,2 0r?
211
22112 2
2222 2
11z z z z z z z
zrzz z
1
1 2 1 2
2
[ c os( ) si n ( ) ],r ir q q q q
,111 qierz?
.)(
2
1
2
1 21 qq ie
r
r
z
z
,222 qierz?
则如果将 z1和 z2写成指数形式
,
2
1
2
1
z
z
z
z?,A r gA r gA r g
21
2
1 zz
z
z
于是两个复数商的模等于它们模的商；两个复数商的辐角等于被除数与除数的辐角之差,
方根,记做 或 如果nz 1.nz
( c os sin ),z r iqq ),s in( co s iw
于是,
,n r,c o sc o s qn s i n s i n,n?q?
( c o s s i n ) ( c o s s i n ),n n i n r i q q
0r?当 时,
对给定的复数 z,方程 wn=z的解 w称为 z的 n次满足以上三式的充分必要条件是
1,
nr 2 π ( 0,1,2,),n k k?q
其中 表示算术根,于是1nr
n kin krzw nn π2s inπ2c o s
1 qq
( 0,1,2,),k
当取 k=0,1,2,···,n-1时,对一个取定的 q,可得
n个相异根如下
,s inc o s
1
0
ninrw
n qq
,π2s inπ2c o s
1
1
ninrw
n qq
.π)1(2s inπ)1(2c o s
1
1
n
ni
n
nrw n
n
由三角函数的周期性
1 2 π 2 πc o s sinn
kn
k n k nw r i
nn
1 2 π 2 π
c o s s in,n kkkr i wnnqq
可见,除 w0,w1,···,wn-1外,均是重复出现的,故当 z=0时,w=0就是它的 n次方根,
常取主辐角,若用指数表示式,则当 z=reiq时,
21
0,1,2,,1,
ik
nnkw r e k n
q
这 n个复数就是所要求的 n个根,
在上面的推导过程中,可取 q为一个定值,通例 1.4 求方程 w4+16=0的四个根,
1214 4242 2 0,1,2,3,
k i
kiw e e k
4
0 2 2 c o s sin 2 ( 1 ),44
iw e i i
3
4
1
332 2 c o s s in 2 ( 1 ),
44
iw e i i
因为 -16=24e(2k+1)?i,所以 w4=24e(2k+1)?i,于是解 用 MATLAB函数命令可以进行复数的四则运算和乘幂运算,但是方根运算只能得到求方根公式中 k=0时的结果,
>> (-16)^(1/4)
ans=
1.4142 + 1.4142i
5
4
2
552 2 c o s s in 2 ( 1 ),
44
iw e i i
7
4
3
772 2 c o s s in 2 ( 1 ),
44
iw e i i
w1,w2,w3,w4恰好是以原点为圆心、半径为 2的圆一般情况下,
1
n nzz?
n个根就是以原点为中心、
半径为 1nr 的圆的内接正多边形的 n个顶点所表示的复数,
|z|=2的内接正方形的四个顶点 (如图 ).
o x
y
1w
2w 3w
0w
复数可以用平面上的点表示，这是复数的几何表示法的一种，另外还可以用球面上的点表示复数,
设 S是与复平面 C切于原点 O的球面,过原点 O
做垂直于平面 C的直线,
与 S的另一交点为 N,原点 O称为 S的南极 (S极 ),
点 N称为 S的北极 (如图 ),x
y
N
OS
1.1.5 复球面与无穷远点球面上的点,除去北极 N 外,与复平面内的点之间存在着一一对应的关系,我们用球面上的点来表示复数,
球面上的北极 N不能对应复平面上的定点,
当 球面上的点离北极 N 越近,它所表示的复数的模越大,
x
y
P
N
OS
),( yx
1P
),( 11 yx
规定,复数中有一个唯一的,无穷大” 与复平面上的无穷远点相对应,记作?,球面上的北极 N就是复数无穷大的几何表示,
x
y
N
OS
不包括无穷远点的复平面称为有限 复平面,
或简称复平面,包括无穷远点的复平面称为 扩充复平面,
球面上的点与扩充复平面的点构成了一一对应,这样的球面称为 复球面,
,的四则运算规定如下关于?
对于复数 的无穷远点而言,它的实部、虚部,
辐角等概念均无意义,规定 它的模为正无穷大,
( ) ;(1) 加法
( ) ;(2) 减法
( 0 ) ;(3) 乘法
0,( ),( 0 ),0(4) 除法
§ 1.2 平 面 点 集
1 区域
2 Jordan曲线、连通性
1.2.1 区域
1,邻域
z0是复平面内的定点,满足不等式 |z-z0|<d
的一切点所组成的集合 { z| |z-z0|<d }称为 z0的 d
邻域,简称为 z0的邻域,其中 d>0,z0的邻域实际上是以 z0为中心,d为半径的圆的内部所有点组成的点集,简记为 B(z0,d),
由满足不等式 0<|z-z0|<d的一切点所组成的集合称为 z0的去心邻域,
满足不等式 |z|>R (R>0)的一切点 (包括无穷远点 )的集合称为无穷远点的邻域,
用 R<|z|<+?表示无穷远点的去心邻域,
2,内点设 E是复平面上的点集,z0是一个定点,若存在 z0的一个邻域,使得该邻域内的一切点均属于
E,则称 z0是 E的内点,即存在? >0,满足
00,.B z z z z E
3,外点
4,边界点设 E是复平面上的点集,z0是一个定点,若存在 z0的一个邻域,使得在此邻域内的一切点均不属于 E,则称 z0是 E的外点,即存在? >0,满足
10,.B z E z z z E
设 E是复平面上的点集,z0是一个定点,若 z0
的任何邻域内都含有属于 E的点和不属于 E的点,则称 z0是 E的边界点,
即对任意的0,存在 z1,z2?B(z0,?),满足
12,.z E z E
显然,E的内点属于 E,而外点不属于 E,但边界点既可能属于 E,也可能不属于 E.
E的边界点的全体所组成的集合称为 E的边界,记做?E.
5,开集设 G是复平面上的点集,如果 G 内每一点都是它的内点,则称 G 为开集,
例 1.5 设 z0是定点,r >0是常数,则 z0为中心,
以 r为半径的圆的内部点,即满足不等式 |z-z0|<r
的一切点 z所组成的点集 (z0的 r邻域 ) 是开集,
当 0?r<R (r 和 R 均是常数 ) 时,满足不等式
r <|z-z0|<R的一切 z所组成的点集也是开集,
但满足不等式 r<|z-z0|?R的一切点所组成的点集不是开集,因为在圆周 |z-z0|=R上的点属于集合 r<|z-z0|?R,但这些点不是它的内点,而是边界点,
在圆周 |z-z0|=r和圆周 |z-z0|=R上的点都是点集 r<|z-z0|<R和 r<|z-z0|?R 的边界点,
两个圆周上的点都不属于点集 r<|z-z0|<R,内圆周 |z-z0|=r不属于点集 r<|z-z0|?R,外圆周 |z-z0|=R
属于点集 r<|z-z0|?R.
6,区域设 D是复平面上的点集，如果满足以下两个条件,
(1) D是开集；
(2) D内的任何两点 z1和 z2都可以用一条完全在 D内的折线,把 z1和 z2连接起来 (具有这个性质的点集叫做连通的 ),
则称 D是复平面上的区域,
简单地说,连通开集称为区域,
基本概念的图示
1z?
2z?
区域 d0z?
邻域
P? 边界点边界为闭区域,记做,D
例如,满足不等式 |z-z0|? r 和 r?|z-z0|?R的一切点所组成的点集都是有界的闭区域,满足不等式 |z|?R 的一切点所组成的点集是无界的闭区域,
如果一个平面点集完全包含在原点的某一个邻域内,那么称它是有界的,不是有界集的点集叫做无界集,
由区域 D和它的边界?D所组成的点集，称
(1) 圆环域,;201 rzzr
0z?
2r1r
例 1.6 判断下列区域是否有界?
(2) 上半平面,;0Im?z
(3) 角形域,;a r g 21 z
(4) 带形域,,Im bza
答案 (1)有界 ; (2) (3) (4)无界,
x
y
o
1.2.2 Jordan曲线、连通性
(1) 连续曲线,Jordan曲线
( ) ( ) ( ) ( ),z z t x t iy t t
参数方程 x=x(t),y=y(t) (t) 在 XOY平面上表示一条曲线 C.把 XOY平面视为复平面时,曲线 C的参数方程可表示为如果 x=x(t),y=y(t) (t)为连续函数时,则称曲线 C为连续曲线,
曲线 C 在复平面上的参数方程不仅确定了曲线的形状,实际上还给出了曲线的方向,也就是说,曲线是沿着 t 增加的方向变化的,
复平面上对应于 z(?)=x(?)+iy(?)的点称为曲线 C的起点,对应于 z(?)=x(?)+iy(?)的点称为曲线
C 的终点,
若曲线 C的起点与终点重合,即 z(?)= z(?),
则称 C是闭曲线,
例如,z=z(t)=r(cost+isint) (0?t?2?)是一条闭曲线,因为 z(0)=z(2?)=r,
对曲线 C的参数方程
( ) ( ) ( ) ( ),z z t x t iy t t
做变量代换可得
( ),z z t t
这两个方程所确定的曲线形状相同,起点和终点互易,从而方向相反,
用 Cˉ 表示与 C形状相同、方向相反的曲线,
如果 t1?t2,有 z(t1)=z(t2),则称 z(t1)=z(t2) 是曲线
z=z(t)的重点,
如果曲线 C,z=z(t) (t) 除起点与终点外无重点,即除 t1=?,t2=? 之外,如果 t1?t2,有 z(t1)?z(t2),
则称曲线 C是简单曲线,
连续的简单闭曲线称为 Jordan曲线,
任何 Jordan曲线 C将平面分为两个区域,即内部区域 (有界 )与外部区域
(无界 ),C是它们的公共边界,
x
y
o
内部外部边界下列曲线是否为简单闭曲线?
答案简单闭简单不闭不简单闭不简单不闭
()z()z
()z ()z ()z()z
()z
()z
关于曲线方向的说明,
设 C 为平面上给定的一条连续曲线,如果选定 C 的两个可能方向中的一个作为正向,则称
C为 有向曲线,
如果从 A 到 B 作为曲线
C 的正向,那么从 B 到 A 为曲线 C 的负向,就是 Cˉ.
x
y
o
除特殊声明外,正向总是指从起点到终点的方向,
C
A
Bˉ
Jordan曲线 C有两个方向,当点 z沿着 C 的一个给定方向变化时,若 C的内部出现在点 z前进方向的左侧,就规定这个方向是正的 ; 否则就说是负的,
如果没有特别说明,约定 Jordan
曲线的正向为这条曲线的方向,
x
y
o P
P
PP
对于圆周曲线可以简单地说,逆时针方向为曲线的正向,顺时针方向为曲线的负向,
(2) 光滑曲线如果曲线 C参数方程中的 x(t)和 y(t)都在 [?,?]
上存在连续的导函数,且对任何 t?[?,?],都有
22 0,x t y t
称 C是一条 光滑曲线,
由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为 分段光滑曲线,
x
y
o x
y
o
能求出长度的曲线称为可求长曲线,分段光滑曲线是可求长曲线,
光滑曲线 分段光滑曲线
(3) 单连通区域与多连通区域设 D是复平面上的一个区域,如果位于 D内的任何 Jordan曲线的内部区域也都包含于 D,则称 D为单连通区域,若区域 D不是单连通区域,则称它为 多连通区域,
单连通域 多连通域练习 1 指出下列不等式所确定的点集,是否有界? 是否区域? 如果是区域,单连通的还是多连通的?
2 1( 1 ) R e ( ) 1 ; ( 2 ) a r g ; ( 3 ) 3 ;
3zz z
,)R e ( 222 yxz
,11)R e ( 222 yxz
无界的单连通区域 (如图 ).
解 (1) 当 时,z x iy
( 4 ) 1 1 4 ; ( 5 ) 1 1 1.z z z z
( 2 ) a r g,3z
,3a rg33a rg zz
是角形域,无界的单连通域 (如图 ).
1( 3 ) 3,
z?,3
131 z
z
周外部,无界多连通区域 (如图 ).
是以原点为中心,半径为 的圆13
( 4 ) 1 1 4.zz
表示到 1,–1两点的距离之表示该椭圆的内部,这是有界的单连通区域 (如图 ).
和为定值 4 的点的轨迹,
1 1 4zz因为所以这是椭圆曲线,
1 1 4zz
( 5 ) 1 1 1.zz
111 zz
2 2 2 2 2 2[ ( c o s 1 ) s i n ] [ ( c o s 1 ) s i n ] 1,r r r rq q q q
22( 2 c o s 1 ) ( 2 c o s 1 ) 1,r r r rqq
1)c o s(4)1( 222 qrr 2 2 c o s 2,r q
内部,这是有界集,但不是区域,
c o s s i n,z r i rqq令
2 2 c os 2r q? 是双叶玫瑰线 (也称双纽线 ).
1 1 1zz表示双纽线 的练习 2 满足下列条件的点集是否区域? 如果是区域,是单连通区域还是多连通区域?
( 1 ) Im 3 ;z?
这是一条平行于实轴的直线,
-3 -2 -1 1 2 3
x
1
2
3
4
5
6
y
不是区域,
( 2 ) R e 2 ;z
它是单连通区域,
这是以为 右边界的半R e 2z
平面,不包括直线 R e 2,z
( 3 ) 0 1 2 ;zi
它是多连通区域,
( 4 ) a r g ( ),4zi
它不是区域,
这是以 为圆心,以 2为(1 )i
半径的去心圆盘,
这是以 i为端点,斜率为 1的半射线,不包括端点 i.
§ 1.3 连续函数
1 复变函数的定义
2 复变函数的极限
3 函数的连续性
1.3.1 复变函数的定义定义 1.1 设 E是复平面上的点集,若对任何
z?E,都存在惟一确定的复数 w和 z对应,称在 E
上确定了一个单值复变函数，用 w=f (z)表示,
E 称为该函数的定义域,
在上述对应中,当 z?E所对应的 w不止一个时,称在 E上确定了一个多值 复变 函数,
数,而 A r g a r g 2 ( 0,1,2,)w z z k k
例如,w=|z|是以复平面 C为定义域的单值函是定义在 C \{0}上的多值函数,
以后不特别申明时，所指的复变函数都是单值函数,
因为 z=x+iy和 w都是复数,若把 w记为 u+iv时,
u与 v也是 z的函数,因此也是 x 和 y 的函数,于是,
可以写成
( ) (,) (,),f z u x y iv x y
其中 u(x,y)和 v(x,y)都是实变量的二元函数,
例如,w=z2 是一个 复变函数,令
,.z x iy w u iv
因为 于是 函数 w=z2对2 2 2( ) 2,x i y x y x y i
22,2,u x y v x y
应于两个二元实函数令 于是,.22z z z zxy i
反之,如果 22(,) (,) 2,w u x y i v x y x y x y i
22
22.
2 2 2 2
z z z z z z z zw i z
ii
反函数的定义设函数 w=f(z)的定义域为复平面上的点集 D,
称复平面上的点集
( ),G w w f z z D
为函数 w=f(z)的值域,
对于任意的 w?G,必有 D中一个或几个复数与之对应,
于是,确定了 G上一个单值或多值函数 z=?(w),
称之为函数 w=f(z)的反函数,
定义 1.2 设复变函数 w=f(z)在 z0的某个去心邻域内有定义,A是复常数,若对任意给定的 e>0,
存在 d >0,使得对一切满足 0<|z-z0|<d 的 z,都有
()f z A e
成立,则称当 z趋于 z0时,f(z)以 A为极限，并记做
0
l i m ( )zz f z A或 0( ) ( ),f z A z z
注意,定义中 z?z0的方式是任意的,
1.3.2 复变函数的极限例 1.7 当 z?0 时,函数
( ) ( 0 )zf z zz
极限不存在,
事实上,当 z沿直线 y=kx趋于零时,
00
1l i m ( ) l i m,
1zx y k x
x i k x i kfz
x i k x i k
该极限值随 k值的变化而变化,所以极限
0lim ( )z fz?
不存在,
定义 1.3 设 f (z)在 z0的邻域内有定义,且
0 0
l i m ( ) ( )zz f z f z
则称 f(z)在 z0处连续,
若 f(z)在区域 D内的每一点都连续，则称 f(z)
在区域 D上连续,
关于函数 f(z)在连续曲线 C上的连续性和闭区域 上的连续性,只要把上述定义中的 z限制在 C或 上即可,
D
D
1.3.3 函数的连续性定理 1.1 设 ( ) (,) (,),f z u x y iv x y则 f (x)
在 0 0 0z x i y处连续的充分必要条件是 (,),u x y
(,)v x y 都在 00(,)xy点连续,
证明 只须注意,由等式
0()f z f z?
122 20 0 0 0(,) (,) (,) (,),u x y u x y v x y v x y
可得不等式
0 0 0(,) (,) ( ) ( ),u x y u x y f z f z
0 0 0(,) (,) ( ) ( ),v x y v x y f z f z
0( ) ( )f z f z?
0 0 0 0(,) (,) (,) (,),u x y u x y v x y v x y
又有不等式这个定理说明复变函数
( ) (,) (,)f z u x y iv x y
的连续性等价两个二元实函数 (,),(,)u x y v x y
的连续性,
利用这些不等式及,结论易证,定义 1.3 设 f (z)在 z0的邻域内有定义,且
0 0lim ( ) ( )zz f z f z则称 f(z)在 z
0处连续,
例 1.8 设复变函数 f (z)在点 z0 连续，并且
f (z0)?0,则存在 z0的某个邻域，使 f (z)在此邻域内恒不为 0,
证明 由于 f (z)在点 z0 连续,(,),(,)u x y v x y
在 00(,)xy点连续,故 22( ) (,) (,)f z u x y v x y
在 点连续,因00(,)xy 0( ) 0,fz?所以 0( ) 0.fz?
由二元函数的连续性,必存在 00(,)xy的某个邻域,
使得在此邻域内,( ) 0,fz?即在此邻域内 f (z)?0.
定理 1.2 设 ( ),( )f z g z都在 0zz? 点连续,
则 ( ) ( ),( ) ( )f z g z f z g z? 都在 0zz? 点连续，而当 0( ) 0gz?时,()()fzgz 也在 0zz? 点连续,
定理 1.3 设 ()z? 在 0z 处连续,00( ),zw
而 ()fw在 0ww? 点连续，则 复合函数 [ ( )]f g z
在 0zz? 点连续,
应用 或仿证明实函数类似结论的方定理 1.1 设 ( ) (,) (,),f z u x y iv x y则 f (x)
在 0 0 0z x iy处连续的充分必要条件是 (,),u x y(,)v x y
都在 00(,)xy点连续,
定理 1.1
法可以证明上述两个定理,
由前面的结论可知,多项式
10 1 1() nn nnP z c z c z c z c
在复平面内处处连续,有理分式
1
0 1 1
1
0 1 1
()
nn
nn
mm
mm
a z a z a z aRz
b z b z b z b
在复平面内除分母为零的点之外,处处连续,
,0,1,2,,,iia c i n0,1,2,,jb j m?
都是复常数,
定理 1.4 设 f (z)在有界闭区域 ( 或有限D
长的连续曲线 C )上连续，则 f (z)在 ( 或 C )上D
有界,即存在 M>0,当 或 z?C时，有zD?
( ),f z M?
为了后面的需要,给出下面一个关于函数有界性的定理,
§ 1.4 解析函数
1 复变函数的导数
2 解析函数
1.4.1 复变函数的导数
0
0
0
( ) ( ) li m
zz
f z f z
zz?
(1) 导数的定义定义 1.4 设 是定义在区域 D上的()w f z?
存在，则称 在 点可导,并把这个极()fz 0zz?
限值称为 在 点的导数，记做 0( ).fz?()fz 0zz?
复变函数,z0是区域 D内的定点,若极限定义中的极限式可以写为
00
0
( ) ( ) lim,
z
f z z f z
z
即当 在 点可导时,()fz 0zz?
0
0
0
0
( ) ( )( ) lim
zz
f z f zfz
zz?
注意 0 ( 0 )z z z的方式是任意的,
00
0
( ) ( )li m,
z
f z z f z
z
此时，对 D内任意一点 z,有
0
( ) ( )( ) lim,
z
f z z f zfz
z
也可用
d d ( ),
dd
w f z
zz
等表示 在 z点的导数,()fz
若 在区域 D内每一点都可导,则称()fz ()fz
在区域 D内可导,
则例 1.9 设 2( ),f z z? ()fz在复平面内处处可导，且 ( ) 2,f z z
解 因为
z
zfzzfzf
z?
)()(li m)(
0
z
zzz
z?
22
0
)(li m
0l i m ( 2 ),z zz
2 2.zz所以例 1.10 证明 ( ) 2f z x y i在复面内处处连续，但处处不可导,
证明 对复平面内任意点 z,有
( ) ( )f z z f z
2.x y i
( ) 2 ( ) 2x x y y i x y i
故 0l i m[ ( ) ( ) ] 0,z f z z f z
这说明 ( ) 2f z x y i在复面内处处连续,
( ) ( )f z z f z
z
( ) 2 ( ) 2x x y y i x y i
x y i
2,x y i
x y i
x
y
o
z 0y
但是,
设 沿着平行于 x 轴的z?
方向趋向于 0,即
0,0,xy于是
x
y
o
z 0y
00
0
2l i m l i m 1,
xx
y
x y i x
x y i x
0x
0
0
2lim
x
y
x y i
x y i
0
2li m 2,
y
yi
yi
所以 ( ) 2f z x y i的导数不存在,
设 沿着平行于 y 轴的方向趋向于 0,即z?
0,0,xy
(2) 可导与连续的关系
00
00
( ) ( )lim ( ) 0,
z
f z z f z fz
z
函数 f (z)在 z0处可导，则在 z0处一定连续,但函数 f (z)在 z0处连续不一定在 z0处可导,
事实上,由 f (z)在 z0点可导,必有
).()()()( 000 zfz zfzzfz令
0 0 0( ) ( ) ( ) ( ),f z z f z f z z z z
,)()(lim 00
0
zfzzf
z
所以
0l i m ( ) 0,z z
再由即 ()fz在 0z 处连续,
反之,由 知,不可导,
例 1.9 证明 ( ) 2f z x yi在复面内处处连续，但处处不可导,
例 1.10 ( ) 2f z x y i
但是二元实函数 连续,(,),(,) 2u x y x v x y y
于是根据 知,函数 连续,
定理 1.1 设 ( ) (,) (,),f z u x y iv x y则 f (x) 在 0 0 0z x iy处连续的充分必要条件是 (,),u x y(,)v x y
都在 00(,)xy点连续,
定理 1.1 ( ) 2f z x y i
(3) 求导法则由于复变函数中导数的定义与一元实函数导数的定义在形式上完全一致，同时，复变函数中的极限运算法则也和实函数中一样，因而实函数中的求导法则可推广到复变函数中，且证明方法相同,
求导公式与法则,
(1) ( ) 0,c 其中 c为复常数,
(2) 1( ),nnz n z 其中 n为正整数,
).()()()()3( zgzfzgzf
).()()()()()()4( zgzfzgzfzgzf
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( 5 ),( ( ) 0 ),
( ) ( )
f z f z g z f z g z gz
g z g z
1( 7 ) ( ),
()fz w
( 6 ) [ ( ) ] ( ) ( ),f g z f w g z( ).w g z?其中其中 ()w f z? 与 ()zw
是两个互为反函数的单值函数,且 ( ) 0,w
1.4.2 解析函数定义 1.5 设 在区域 D有定义,fz
(1) 设,若存在 的一个邻域，使得0zD? 0z
在此邻域内处处可导,则称 在 处解析,()fz 0z()fz
也称 是 的解析点,0z ()fz
(2) 若 在区域 D内每一点都解析，则称()fz
在区域 D内解析,或者称 是区域 D内的()fz ()fz
解析函数,
(3) 设 G是一个区域，若闭区域,DG?
且 在 G内解析，则称 在闭区域 上()fz ()fz D
解析,
函数 在 处解析和在 处可导意义()fz 0z 0z
不同，前者指的是在 的某一邻域内可导,0z
但后者只要求在 处可导,0z
函数 在 处解析和在 的某一个邻()fz 0z 0z
域内解析意义相同,
复变函数在 区域内解析 与在该 区域内可导是 等价 的,
事实上，复变函数在区域内解析显然在该区域内可导,
反之,设函数 在区域 D内可导,则对()fz
任意 存在 z的某一个邻域 U,使得 U? D,,zD?
由 在 D内可导,可知 在 U内可导,即()fz ()fz
在 z处解析,()fz
若函数 在 处不解析，则称 是()fz 0z 0z ()fz
的奇点,若 是 的奇点,但在 的某邻域内,0z ()fz 0z
除 外,没有其他的奇点，则称 是函数0z 0z ()fz
的孤立奇点,
由例 1.9和例 1.10知,函数 是全 2()f z z?
平面内的解析函数，但是函数 ( ) 2f z x y i
是处处不解析的连续函数,
根据求导法则，很容易得到下面的结论,
设函数 在区域 D内解析,则( ),( )f z g z
( ) ( ),( ) ( )f z g z f z g z?
也在 D内解析,当 时,是00,( ) 0z D g z0z
fz
gz
的解析点,特别地,多项式 P(z)在全平面内解析,
有理分式在复平面内除分母为零的点之外解析,
分母为零的点是有理分式的孤立奇点,
例 1.11 证明 在 处可导,2()f z z z? 0z?
但处处不解析,
证明 根据导数的定义,
2
00
( ) ( 0 )lim lim 0,
zz
f z f z
z
因此 在 处可导，且()fz 0z? ( 0 ) 0.f
当 时,由 得0 0z? 22 0 0 0,z z z z z z
220 0 0( ) ( )f z f z z z z z
2 2 2 20 0 0 0( ) ( ),z z z z z z z z
故 200 00
00
( ) ( ) ( ),f z f z z zz z z z
z z z z
虽然
0
2
0 0 0 0l i m ( ) 2 2,zz z z z z z z但是当
z分别从平行于 x,y轴方向趋于 z0时,分别0
0
zz
zz
以 1和 -1为极限，因此 不存在,又因为
0
0
0
lim
zz
zz
zz?
0 0,z? 所以 不存在，即0
0
0
( ) ( )lim
zz
f z f z
zz?
()fz
在 时不可导,从而在复平面内处处不解析,0z?
§ 1.5 函数可导的充要条件
2 函数可导的充要条件
1 函数可微的概念复变函数可微的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致,
复变函数可微与可导是否也具有一元实变函数可微与可导的关系？
00( ) ( ),f z z f z A z z
1.5.1 函数可微的概念定义 1.6 设函数 在 的某邻域内有定义,()fz 0z
若存在复常数 A,使得其中 则称 在 点可微,
0lim 0,z ()fz 0z
00
0
( ) ( ) li m,
z
f z z f z A
z
引理 复变函数 在点 可导的充分必要()fz 0z
条件是 在 点可微，且()fz 0z 0( ),A f z
证明 若 存在，设 则0()fz? 0()A f z,
令 则 00( ) ( ),f z z f z Az
00( ) ( ),f z z f z A z z
且,0lim 0z
反之，如果
00( ) ( ),f z z f z A z z
则
00( ) ( ),f z z f z A
z?
令 则 存在,0,z 0()f z A
这个引理表明,函数 在 可导与在()fz 0z
0z 可微等价,
与一元实函数类似,记
0 0 0d ( ) ( ) ( ) d,f z f z z f z z
d ( ) ( ) d,f z f z z
称之为 在 处的微分,()fz 0z
如果函数 在区域 D内处处可微,则称()fz
()fz在区域 D内可微,并记为
1.5.2 函数可导的充要条件定理 1.5 复变函数 ( ) (,) (,)f z u x y iv x y
在点 处可微 ( 即可导 ) 的充分必要0 0 0z x i y
条件是二元函数 在 处都(,),(,)u x y v x y00(,)xy
可微，并且满足 Cauchy-Riemann方程
,.u v u vx y y x
此时 0 0 0( ) (,),uvf z i x yxx
证明 必要性,若 存在，设0()fz?
0()f z a i b(a,b是实常数 ),
由,
引理 复变函数 在点 可导的充分必要()fz0z
条件是 在 点可微，且()fz0z 0( ).A f z
引理
0 0 0( ) ( ) ( )f z z f z f z z z
12( ) ( ) ( ) ( )a i b x i y i x i y
12()a x b y x y
21(,i b x a y x y
其中 12R e,I m,
显然,当 时，0z 120,0,
0 0 0 0(,) (,),u u x x y y u x y
0 0 0 0(,) (,),v v x x y y v x y
则 于是有00( ) ( ),f z z f z u i v
12()u i v a x b y x y
21( ),i b x a y x y
由两个复数相等的条件可得设
21,v b x a y x y
12,u a x b y x y
因此,在 处可微，且(,),(,)u x y v x y00(,)xy
.vubxy,uvaxy
充分性,若 在 处可微,(,),(,)u x y v x y00(,)xy
且满足 Cauchy-Riemann方程,令
,,u v v uabx y x y
则
1,u a x b y?e
2,v b x a y?e
其中 且当 时，22,x y z0
120,0,ee于是
00( ) ( )f z z f z u i v
12()a x b y i b x a y? e? e
12( ) ( ) ( )a x i y b i x y i? e e
12( ) ( ),a b i z i? e e
由 可得22,x y z
12( ) 0,i o z z? e e
由,
引理 复变函数 在点 可导的充分必要()fz0z
条件是 在 点可微，且()fz0z 0( ).A f z
引理 可知 在 处可微,且()fz 0z
0 0 0( ),.uvf z a ib i x yxx
0( ),
u v u u v v v uf z i i i i
x x x y y x y y
显然,有如下结论成立定理 1.6 复变函数 ( ) (,) (,)f z u x y iv x y
在区域 D内解析的充分必要条件是 (,),(,)u x y v x y
在区域 D 内可微,且在 D内满足 Cauchy-Riemann
方程
,.u v v ux y x y
在区域 D内
( ),u v u u v v y uf z i i i ix x x y y x y y
解析函数的判定方法,
(1) 如果能够用求导公式或求导法则验证复变函数 f (z)的导数在区域 D内处处存在,则可直接断定 f (z) 在区域 D内解析,
(2) 如果复变函数 f (z)=u(x,y)+iv(x,y)中的函数 u(x,y)和 v(x,y)在区域 D内各个一阶偏导数连续 (因而 u(x,y)和 v(x,y)在区域 D内可微 ),并且满足 Cauchy-Riemann方程,则由解析函数的充要条件可以断定函数 f (z)在区域 D解析,
例 1.12 证明函数 ( ) ( c o s s i n )xf z e y i y
是复平面 C上的解析函数，且 ( ) ( ),f z f z
证明 显然，
(,) c o s,(,) s i nxxu x y e y v x y e y
在全平面上可微，且
c o s,sin,xxuue y e yxy
s in,c o s,xxvve y e yxy
在全平面处处满足 Cauchy-(,),(,)u x y v x y
Riemann方程,所以 是复平面 C上的解析()fz
函数,并且
( ) ( c o s sin ) ( ),xuvf z i e y i y f zxx
Cauchy-Riemann方程在解析函数论及其在力学、物理学等的应用中具有根本性的意义,
特别是在流体力学和静电场理论中，起到重要作用,
和 在全平面内处处可微，但(,)u x y (,)v x y
2,2,2,2,u u v vx y y xx y x y
只有在实轴 上满足 Cauchy-Riemann方程,0y?
所以 在实轴上可微,但在任何一点的邻域()fz
内都有不可微的点，因此,处处不解析,()fz
例 1.13 设 问 22( ) 2,f z x y x y i()fz
在何处可微? 是否解析?
解 记 显然,函数22,2,u x y v x y
例 1.14 设
2 2 2 2( ) ( ),f z x a x y b y i c x d x y y
其中 a,b,c,d是常数，问它们取何值时,函数 f (z)
在复平面上解析,
解 显然，
22,u x a x y b y
在全平面可微，且
22v c x d x y y
2,2,vvc x d y d x yxy
2,2,uux a y a x b yxy
容易看出,当 时,函数2,1,1,2a b c d
(,),(,)u x y v x y满足 Cauchy-Riemann方程,这时函数 在全平面解析,()fz
x
vi
x
uzf
)(,0?
y
ui
y
v
0,u v u vx y y x
例 1.15 如果 在区域 D内处处为零,()fz?
则 f (z)在区域 D内为常数,
证明 根据 定理 1.6 复变函数 ( ) (,) (,)f z u x y iv x y
在区域 D 内解析的充分必要条件是 (,),(,)u x y v x y
在区域 D 内可微,且在 D 内满足 Cau ch y-Riema nn
方程,uv
xy,vuxy
在区域 D 内 ( ),u v u u v v y uf z i i i i
x x x y y x y y
所以 都是常数,(,),(,)u x y v x y
因此 f (z)在区域 D内为常数,
§ 1.6 初等解析函数
1 指数函数
2 对数函数
3 幂函数
4 三角函数和双曲函数由
1.6.1 指数函数
( ) ( c o s s i n )xf z e y i y
在 z平面上解析，且 当 z为实数,即( ) ( ),f z f z
当 y=0时,与通常实指数函数一致,因此() xf z e?
给出下面定义,
定义 1.7 假设 则由,z x iy
( c o s s i n )xe y i y?
例 1,12
例 1.1 2 证明函数 ( ) ( c o s s i n )xf z e y i y
是复平面 C 上的解析函数，且 ( ) ( ).f z f z
可知,函数定义复指数函数，记
e x p ( ) ( c o s s i n ),xz e y i y
或简记为 ( c o s s i n ),zxe e y i y
显然
R e ( e x p ( ) ) c o s,xz e y?
I m ( e x p ( ) ) s i n,xz e y?
e x p ( ),xze?
A r g ( e x p( ) ) 2 ( 0,1,2,),z y k k
与指数函数符号一致与 相一致但也有不妥之处以后说明
Euler 公式 c o s sin,
ieiq qq
定理 1.7 设 为指数函数，则 在全平面ze ze
解析,且,zzee
从而 其中 n正整数 ;(1) 1 2 1 2,z z z ze e e( ),z n n zee?
0,ze?(2) 当 时,其中I m ( ) 0z? ( ),xf z e? R e ( ) ;xz?
(3) ze 是周期函数,其周期是 n非零整数,2,T n i
(4) 1ze? 的充分必要条件是 n为整数,2,z n i
2 ;z n i zee即证明 只证明 (1),令
1 1 1,z x i y 2 2 2,z x iy
于是由指数函数定义
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )z z x iy x iy x x i y ye e e
12.zzee
12 1 2 1 2[ c o s ( ) s i n ( ) ]xxe y y i y y
12 1 2 1 2[ ( c o s c o s s i n s i n )xxe e y y y y
1 2 1 2( s i n c o s c o s s i n ) ]i y y y y
12 1 1 2 2[ ( c o s s i n ) ] [ ( c o s s i n ) ]xxe y i y e y i y
例 1.16 求 的实部与虚部,exp( )ze
解 令 因为,z x iy
c o s s i nz x xe e y i e y,
所以
c o se x p ( ) [ c o s ( s in ) s in ( s in ) ],xz e y x xe e e y i e y
从而有
c o sR e [ e x p( ) ] c o s ( s in ),xz e y xe e e y?
c o sI m[ e x p( ) ] s in( s in ),xz e y xe e e y?
1.6.2 对数函数定义 1.8 指数函数的反函数称为对数函数,
即把满足方程 的函数 称 ( 0 )we z z ()w f z?
为 z的对数函数，记作 L n,wz?
令 则由,,iw u i v z r e q ( 0 ),we z z
可得 从而由复数的相等的定义知,,u iv ie r e q
,2,ue r v kq即 其l n,2,u r v kq
中 k为整数,或 l n,Ar g,u z v z
所以
Ln ln A r g ln ( a r g 2 )w z z i z z i z k
0,1,2,.k
由于 是多值的，所以 是多值函数,Argz Lnz
如果记 则对数函数可写为ln ln ar g,z z i z
Ln ln 2 0,1,2,.z z ik k
对应某个确定的 k,称为对数函数的第 k个个分支,对应 k=0 的分支，称为对数函数主支,
于是 即是对数主支,称l n l n ar gz z i z lnz
为对数函数的主值,
对数函数各分支之间，其虚部仅差 的2?
倍数，因此，当给定特殊分支 (即给定 k的值 )
时,的值就被确定,Argz
例如,如果给定分支的虚部落在区间 (,)
中，那么 即取 k=0 的那Ln ( 1 ) ln 2,4ii
个对数分支,
如果给定分支的虚部落在区间 中,(,3 )
那么 即取 k=1 的那个 9Ln( 1 ) ln 2,4ii
对数分支,这可在
ln 2 2 ( 0,1,2 )4i k k
Ln ( 1 ) ln 1 A r g ( 1 )i i i i
l n 2 ar g( 1 ) 2i i i k
中取 k=1 得到,
利用复数的乘积与商的辐角公式易证，复变函数的对数函数保持了实对数函数的乘积与商的相应公式
1 2 1 2L n ( ) L n L n,z z z z
1
2 1 2 1 2L n ( ) L n L n (,0 ),
zz z z z z
在实函数对数中，负数不存在对数；但在复变数对数中，负数的对数是有意义的,例如
( 2 1 ) ( 0,1,2,),k i k
L n ( 1 ) ln 1 ar g( 1 ) 2i i k
下面讨论对数函数的解析性,
对于对数主支 ln ln ar g,z z i z其实部
lnz 在除原点外的复平面上处处连续 ; 但其虚部 a r g (,],z在原点与负实轴上都不连续,
因为对于负实轴上的点 ( 0 ),z x x有
00l i m a r g,l i m a r g,yy zz
所以,在 \ { 0,0},C x iy y x即在除去原点与负实轴的复平面上,lnz 处处连续,
定理 1.8 对数主支 l n l n ar gz z i z在区域 \ { 0,0}D C x iy y x上解析 (如图 ),
并且 1ln,z z
证明 记
( ) ln,( ) ( ),f z z w h f z h
则 0li m ( ) ( ),h w h f z由 (),fzez? 对任意的
0,h? 有
x
y
o
D
( ) ( )00
( ) ( ) ( ) ( )li m li m
f z h f zhh
f z h f z f z h f z
h e e
( ) ( ) ()( ) ( )
( ) ( )
1 1 1lim,
w h f z fzeew h f z
w h f z ez
对于其他各给定的对数分支，因为
L n l n 2z z i k(k确定 ),
所以也有 1[ L n ] ( ln 2 ),z z ik z因此，对于确定的 k,称 Lnz 为一个单值解析分支,
例 1.17 求 ln [ ( 1 ) ( 1 ) ]ii的值,
解 因为
3ln( 1 ) ln 2,
4ii
ln( 1 ) ln 2,4ii
所以
Ln [ ( 1 ) ( 1 ) ]ii
3ln 2 ln 2 2,
44i i k i
Ln [ ( 1 ) ( 1 ) ] 2 ln 2 2i i i k i
ln 2 ( 2 1 ),ki
于是
ln [ ( 1 ) ( 1 ) ] ln 2,i i i
事实上，以上结果还可以由
ln[ ( 1 ) ( 1 ) ] ln( 2 ) ln 2i i i
直接得到．
1.6.3 幂函数
Ln e x p( Ln ),zz z e
定义 1.9 设 z为不等于零的复变数,?为任意为一个复数，定义幂函数 z? Ln,ze? 即当 z为正实变数,?为实数时，它与实幂函数的定义一致，而 z为复变数,?为复数时
l n a r g 2Ln z i z i kzz e e
( l n 2 ) l n 2 ( 0,1,2,),z i k z k ie e e k
由于 Lnz 的多值性，所以 z? 也是多值的，
lnze? 称为 z? 的主值,易见：
1,当?是整数时,Ln zze 是单值函数；
2,当?为有理数 pq 时,其中 为既约pq
分数,那么 z? 是有限多值的，且
Ln ( 0,1,2,,1 ) ;zz e k q
3,当?为无理数或虚部不为零的复数时,z?
是无穷多值的,
上述定义实质上包含了复数的 n次幂函数与 n次方根函数的定义,因为
(1) 当?=n (n是正整数 )时,
L n L n L n L nn n z z z zz e e(指数为 n项之和 )
Ln Ln Lnz z ze e e (n个因子 之积 )Lnze;z z z (n个因子 z 之积 )
(2) 当 1n 时，有
11 l n a r g 2,z i z k innze
1 1 a r g 2 a r g 2ln z k z k izi
n n n nnz e e z e
( 0,1,2,,1 ),n z k n
当 z给定时，它与复数 z的 n次方根的定义完全一致,
例 1.18 求 ii 的值,
解 按照定义，有
Ln ( ln 2 )i i i i i k ii e e
2222 ( 0,1,2,),i i k i ke e k
例 1.19 求 21 的值,
解 2 2 L n 1 2 ( l n 1 2 ) 2 21 k i k ie e e
( 0,1,2,),k
因为 Lnz 在区域
\ { 0,0}D C x iy y x
上解析,所以幂函数 在该区域上解析,Ln zze
并且根据复合函数求导公式,可得
L n L n 11,zzz e e zz
注意ikie?21 2?kiee
,,2,1,0k
eii ee Ln?
因为 e x p ( ) c o s 1 sin 1,ii
)]21(e xp [)Lne xp ( ikieie i
)2ex p (?ki
22 ( c o s 1 s i n 1 ) e x p ( ),kke i e i
所以
exp( )i与 ie 的不一致性,约定,
() e x p ( ( ) ),fze f z?
() e x p ( ( ) L n ) ( ),fza f z a a e
因为 c o s s i n,iye y i y,s i nc o s yiye iy
将两式相加与相减,得
,2c o s
iyiy ee
y
,2s in ieey
iyiy
定义 1.10 定义三角函数与双曲函数如下,
正弦函数 s in ;2
i z i zee
z i
余弦函数 c o s ;2
i z i zee
z
1.6.4 三角函数和双曲函数双曲正弦函数 s h ;2
zzee
z
双曲余弦函数 c h,2
zzee
z
当 z是实变数时，它们与实的正弦、余弦、
双曲正弦、双曲余弦函数是一致的,
由于,z izee在复平面上是解析的，所以正弦、余弦、双曲正弦、双曲余弦函数在整个复平面上都是解析的,
容易证明
( s in ) c o s,( c o s ) s in,z z z z
( s h ) c h,( c h ) s h,z z z z
并且具有下面的一些性质,
是以(1) sin,c o szz2? 为周期的周期函数；
sh,chzz是以 2 i? 为周期的周期函数,
(2) sin,shzz为奇函数 ;
co s,chzz为偶函数,
(3) 一些恒等式关系仍成立,
22s i n c o s 1 ;zz
1 2 1 2 1 2s i n ( ) s i n c o s c o s s i n ;z z z z z z
1 2 1 2 1 2c o s ( ) c o s c o s s i n s i n ;z z z z z z
s i n 2 2 s i n c o s ;z z z? 2c o 2 2 c o s 1 ;zz
22c h s h 1 ;zzs h c h ;zz z e
1 2 1 2 1 2s h ( ) s h c h c h s h ;z z z z z z
1 2 1 2 1 2c h ( ) c h c h s h s h,z z z z z z
(4) 三角函数与双曲函数满足关系式
c o s( ) c h,sin ( ) sh ;iz z iz i z
c h ( ) c o s,s h ( ) sin,iz z iz i z
(5) s i n,c o szz不是有界函数,
因为
sin sin( )z x iy
sin c h c o s sh,x y i x y
sin c o s( ) c o s sin( )x iy x iy
2 2 2 2s i n ( c h s h ) s hx y y y
22s i n s h,xy
虽然 20 s i n 1,x但是当 y时,2s h,y
所以当 y时,s in,z即 sinz 是无界函数,
这与实正弦函数有本质区别,余弦函数类似,
所以
2 2 2 2 2s i n s i n c h c o s s h,z x y x y
例 1.20 解方程 s in ( ),iz i?
解 因为 sin( ) sh,iz i z?所以原方程可改写为 sh 1,z? 即
1.2
zzee
所以可化简得 2 2 1 0.zzee解方程可得
1 2 4 4 1 2,2ze
因此,可以求出
( 1 ) L n ( 1 2)kz
( 0,1,2 )k
ln 1 2 2 ki
1 ln3 2,
2 ki
( 2 ) Ln ( 1 2 )kz
ln 1 2 2 1ki
1 ln 3 2 1,2 ki
可以定义其它的三角函数及反三角函数与反双曲函数,例如正切函数和余切函数分别为
s in c o st a n,c o t,
c o s s in
zzzz
z
zz
co s
s i nt a n?
解 设,z x iy
)(
)(
yix
yix
s in c h c o s s h
c o s c h s in s h
x y i x y
x y i x y
2 2 2 2
sin c o s c h sh
c o s c h ( 1 c o s ) sh
x x i y y
x y x y
2 2 2 2
s in 2 s h 2,
2 c o s 2 s h 2 c o s 2 s h
xy i
x y x y
)R e ( t a n z? )I m ( t a n z?
例 1.21 确定 的实部和虚部,tanz
复数平面表示法定义表示法三角表示法曲线与区域 球面表示法复数表示法指数表示法复数的运算共轭运算代数运算乘幂与方根本章内容总结 (一 )
向量表示法复变函数连续初等解析函数判别方法可导解析指数函数对数函数三角函数双曲函数幂 函 数本章内容总结 (二 )
1,复数运算和各种表示法
2,复数方程表示曲线以及不等式表示区域本章的重点
3,解析函数的概念
4,函数解析的充要条件
5,初等解析函数第一章 完
Leonhard Euler
(1707.4.15-1783.9.18)
伟大的瑞士数学家及自然科学家,出生于牧师家庭,自幼受父亲的教育,13 岁时入读巴塞尔大学,在数学领域内,18世纪可以称为是 Euler的世纪,
他对数学的研究非常广泛,在半个多世纪的研究生涯中,写下了浩如烟海的书籍和论文,几乎每一个数学领域都可以看到 Euler的名字,作出了非凡贡献,
28岁时,过度的工作使他右眼失明,年近花甲时,双目失明,Euler完全失明以后，仍然以惊人的毅力,凭着记忆和心算进行研究,直到逝世,竟达 17年之久．
他在物理、天文、建筑等方面也取得了辉煌的成就,
Gauss说,,研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法,”
Laplace说,,读读 Euler,他 是我们大家的老师,”
生于法国,1688年移居英国,在概率论、复数理法国数学家,在分析学、代数学和几何学等方面都有很大的成就,1887 年给出曲线的第一个定义,
Abraham de Moivre (1667.5.26-1754.11.27)
论等领域做了一些出色的工作,
Camille Jordan (1838.1.5-19221.21)
Augustin Louis Cauchy
(1789.8.21-1857.5.23)
法国数学家,历史上有数的大分析学家,1805年入理工科大学,1816年成为那里的教授,
他给出了微积分的严密基础,同时其工作遍及数学的各个领域,而且在天文学、光学、弹性力学等方面也做出了突出的贡献,他的论文超过了七百篇,在数量上仅次于 Euler,他甚至研究过诗歌,
Georg Friedrich Bernhard Riemann
(1826.9.17-1866.7.20)
德国数学家,1846年入哥廷根大学,成为 Gauss晚年的学生,1851年以论文“复变函数论的基础”取得博士学位,
Gauss在审阅这篇论文时给予极高的评价,1854年写出了将函数表示成三角级数的一篇重要论文,同年另一篇论文开辟了几何学的新领域,1859年成为哥廷根大学教授,同年提出著名的 Riemann? 函数,Riemann?函数猜想
Riemann?函数 1 1() nnz z()z?
在带形闭区域 中的一切零点都位01x
于 这条线上,12x?
这是一个极其重要的猜想,它与很多著名的数学问题有关,但是至今没有得到明确的答案,
