第九章 Z 变换
§ 9.1 Z 变换的概念与性质
§ 9.2 Z 逆变换
§ 9.3 Z 变换的应用主 要 内 容
Fourier变换和 Laplace变换是研究连续时间函数的重要工具,本章将要介绍的
Z变换则是研究离散时间函数的重要工具,
1 Z变换的定义
2 Z变换的性质
§ 9.1 Z 变换的概念与性质
9.1.1 Z变换的定义定义 9.1 设 是无限序列,( ) 0,1,2,f n n
如果级数 在 z 平面的某一区域内收敛,() n
n
f n z
其中 z为复参变量,则由这个级数所确定的函数
( ) ( ) n
n
F z f n z
称为序列 f (n)的 Z变换,记为 [ ( )],Z f n
显然 Z变换的定义式是 Laurent级数,所以如果存在收敛域,则为圆环域,且 F(z)在圆环域内解析,
序列 通常称为双边序列,( ) ( 0,1,2,)f n n
如果在 时 则称右 (左 )边序列,0 ( 0 )nn ( ) 0,fn?
果存在常数 使得1 0,R?
1( ) ( 0 ),nf n M R n
则右边序列 f (n)的 Z变换 在
0
( ) ( ) n
n
F z f n z
1zR?
定理 9.1(Z变换存在定理 ) 设 为常数,如0M?
内存在,如果存在常数 使得2 0,R?
2( ) ( 0 ),nf n M R n
则左边序列 f (n)的 Z 变换 在
1
( ) ( ) n
n
F z f n z
2zR? 内存在,如果 且上面两个不等式都12,RR?
成立,则双边序列 f (n)的 Z 变换 ( ) ( ) n
n
F z f n z
在 内存在,12R z R
证明 如果 那么 1( ) ( 0 ),nf n M R n
1
0 0 0
( ) ( ),nn n n
n n n
f n z f n z MR z
当 时,收敛,则1zR? 1
0
nn
n
MR z
0
( ) ( ) n
n
F z f n z
在 内存在,1zR?
如果 那么 2( ) ( 0 ),nf n M R n
1 1 1
2( ) ( ),
nn n n
n n n
f n z f n z MR z
令 于是,kn
1
22
1
.nknk
nk
MR z MR z
当 时,收敛,于是2zR? 2
1
kk
k
MR z
1
( ) ( ) n
n
F z f n z
在 内存在,2zR?
例 9.1 设序列 其中 n是非负整数，( ),f n n?
求 F(z),
23
0
1 2 3( ),n
n
F z n z z z z
23
2 3 4( ) 1,z F z
z z z
23
1 1 1( 1 ) ( ) 1,
1
zz F z
z z z z
2( ) 1,( 1 )zF z zz
根据 Z 变换的定义,当 时,1z?解 运行下面的 MATLAB语句,
>> symsn z
>> f=n;Z=ztrans(f)
Z =
z/(z-1)^2
注 利用符号运算工具箱中提供的 ztrans() 和
iztrans() 函数可得出给定函数的 Z变换及其逆变换，默认变量是 k.
下面再给出几个序列 Z变换的例子,注意它们之间的差异,
例 9.2 设序列 求 F(z),
2,0( ),
3,0
n
n
nfn
n
1
0
( ) ( ) 2 3n n n n n
n n n
F z f n z z z
( 2 5 ),
2 3 ( 2 ) ( 3 )
z z z z
z z z z
根据 Z 变换的定义,当 时,23z解 运行下面的 MATLAB语句,
>> symsn z
>> f=2^n;Z=ztrans(f)+symsum(-3^(-n)*z^n,n,1,inf)
Z =
1/2*z/(1/2*z-1)+1/3*z/(1/3*z-1)
>> r=simple(Z)
r =
z*(2*z-5)/(z-2)/(z-3)
例 9.3 设序列
2,0,2,4,( ),
3,1,3,5,
n
n
nfn
n
求 F(z),
0
( ) ( ) n
n
F z f n z
2
2 2 2 1 ( 2 1 )
22
00
32 3,
49
m m m m
mm
zzzz
zz
2 ( 2 1 )
00
( 2 ) ( 2 1 )mm
mm
f m z f m z
根据 Z 变换的定义,当 时,3z?解 运行下面的 MATLAB语句,
>> symsn z
>> Z=symsum(2^(2*n)*z^(-2*n),n,0,inf)
+symsum(-3^(2*n+1)*z^(-(2*n+1)),n,0,inf)
Z =
z^2/(-4+z^2)-3*z/(-9+z^2)
例 9.4 设指数序列 其中( ) ( 0 ),nf n a n
为复数，求 F(z),0a?
0
( ) ( ) n
n
F z f n z
0
.nn
n
zaz
za
根据 Z 变换的定义,当 时,za?解 运行下面的 MATLAB语句,
>> symsn z a
>> f=a^n;Z=ztrans(f)
Z =
z/a/(z/a-1)
>> r=simple(Z)
r =
-z/(-z+a)
9.1.2 Z变换的性质以下假定所讨论的序列均满足 Z变换存在定理的条件,
(1) 线性性质 设 a,b 是常数,11( ) [ ( ) ],F z Z f n?
22( ) [ ( ) ],F z Z f n?则
1 2 1 2[ ( ) ( ) ] ( ) ( )Z f n f n F z F za b a b
12[ ( ) ] [ ( ) ],Z f n Z f nab
例 9.5 求正弦序列 和余弦序列10( ) s i nf n n
20( ) c o sf n n的 Z变换,其中 0.n?
00
10
1 ( ) [ sin ]
2
i n i nF z Z n Z e e
i
00
0
2
0
s in1,
2 2 c o s 1ii
zzz
i z e z e z z
同样可得
00
20
1 ( ) [ c o s ]
2
i n i nF z Z n Z e e
0
2
0
( c o s ),
2 c o s 1
zz
zz
利用线性性质和,当 时,例 9.4 设指数序列 其中( ) ( 0),nf n a n
为复数，求 F(z).0a?
解 根据 Z 变换的定义,当 时,za?
0( ) ( ) nnF z f n z
0,nnn zaz za
1z?解 运行下面的 MATLAB语句,
>> symsn z w_0
>> f_1=sin(w_0*n);f_2=cos(w_0*n);
>> Z_1=ztrans(f_1)
Z_1 =
z*sin(w_0)/(z^2-2*z*cos(w_0)+1)
>> Z_2=ztrans(f_2)
Z_2 =
(z-cos(w_0))*z/(z^2-2*z*cos(w_0)+1)
(2) 位移性质双边序列的位移性质,设 f (n)是双边序列,
( ) [ ( ) ],F z Z f n? 则对整数 m,有
[ ( ) ] ( ),mZ f n m z F z
证明 根据 Z 变换的定义,
[ ( ) ] ( ),n
n
Z f n m f n m z
令 于是,k n m
[ ( ) ] ( ) ( ),m k m
k
Z f n m z f k z z F z
右边序列的位移性质,设 f (n)是右边序列,
( ) [ ( ) ],F z Z f n? 则对正整数 m,有
[ ( ) ] ( )mZ f n m z F z(右移 ),
1
0
[ ( ) ] ( ) ( )
m
mn
n
Z f n m z F z f n z
(左移 ).
证明 根据 Z 变换的定义,
0
[ ( ) ] ( ),n
n
Z f n m f n m z
令 于是,k n m [ ( ) ] ( ),mk
km
Z f n m z f k z
因为 f (n)是右边序列,所以
( ) 0 (,1,,1 ),f k k m m
0
[ ( ) ] ( ) ( ),m k m
k
Z f n m z f k z z F z
同样,对
0
[ ( ) ] ( ),n
n
Z f n m f n m z
令,k n m
[ ( ) ] ( )mk
km
Z f n m z f k z
1
00
( ) ( )
m
m k k
kk
z f k z f k z
1
0
( ) ( ),
m
mn
n
z F z f n z
例 9.6 求变换 和22[ ],( 1 )Z n Z n2( 1 ),Zn
其中 n为非负整数,
利用线性性质和 可得,(2) 位移性质双边序列的位移性质,设 f (n )是双边序列,( ) [ ( ) ],F z Z f n?
则对整数 m,有[ ( ) ] ( ),mZ f n m z F z
右边序列的位移性质,设 f (n )是右边序列,( ) [ ( ) ],F z Z f n?
则对正整数 m,有[ ( ) ] ( )mZ f n m z F z
(右移 ),1
0[ ( ) ] ( ) ( )mmn nZ f n m z F z f n z(左移 ).
1 1( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ),zZ f n f n F z z F z F zz
再利用线性性质及,例 9.1 设序列 其中 n是非负整数，( ),f n n?
求 F(z),
解 根据 Z 变换的定义,当 时,1z?
230 1 2 3( ),nnF z n z z z z
232 3 4( ) 1,z F z z z z
231 1 1( 1 ) ( ) 1,1zz F z z z z z
2( ) 1,( 1 )zF z zz
222 1 1[ 2 1 ] 1,( 1 ) 1 ( 1 )zzZ n zz z z
注 因为 n为非负整数,所以考虑的是右边序列,
故 因此在求 时,从而( 1) 0.f[2 1]Zn? 1,n
1 1[1] 1,1nnZ z zz
如果与本问题无关,应该是
0[1] 1,1nn zZ z zz
2( ),f n n?设 ( ) [ ( ) ],F z Z f n?解 运行下面的 MATLAB语句,
>> symsn z
>> f_1=n^2;f_2=(n+1)^2;
>> Z_1=ztrans(f_1)
Z_1 =
z*(z+1)/(z-1)^3
>> Z_2=ztrans(f_2)
Z_2 =
z*(z+1)/(z-1)^3+2*z/(z-1)^2+z/(z-1)
>> r=simple(Z_2)
r =
z^2*(z+1)/(z-1)^3
因为 ( ) ( 1 ) 2 1,f n f n n所以当 时,1z?
2
3
( 1 )( ) [ ],
( 1 )
zzF z Z n
z
从而利用 可得,(2) 位移性质双边序列的位移性质,设 f (n )是双边序列,( ) [ ( ) ],F z Z f n?
则对整数 m,有[ ( ) ] ( ),mZ f n m z F z
右边序列的位移性质,设 f (n )是右边序列,( ) [ ( ) ],F z Z f n?
则对正整数 m,有[ ( ) ] ( )mZ f n m z F z
(右移 ),1
0[ ( ) ] ( ) ( )mmn nZ f n m z F z f n z(左移 ).
2 1 2 31( 1 ) [ ] 1,( 1 )zZ n z Z n zz
222 3( 1 )( 1 ) [ ] 1,( 1 )zzZ n zZ n zz
例 9.7 求变换 和1( 1 ) !Z n
1,
( 2 ) !Z n
其中 n为非负整数,
1
0
11,
!!
n z
n
Z z enn
所以由,当 时,(2) 位移性质双边序列的位移性质,设 f (n )是双边序列,( ) [ ( ) ],F z Z f n?
则对整数 m,有[ ( ) ] ( ),mZ f n m z F z
右边序列的位移性质,设 f (n )是右边序列,( ) [ ( ) ],F z Z f n?
则对正整数 m,有[ ( ) ] ( )mZ f n m z F z
(右移 ),1
0[ ( ) ] ( ) ( )mmn nZ f n m z F z f n z(左移 ).
0z?
11
1,( 1 ) ! zZ z en
1
211 1.
( 2 ) !
zZ z e
nz
因为当 时,0z?解 运行下面的 MATLAB语句,
>> symsn z>> f_1=sym('1/(n+1)!');f_2=sym('1/(n+2)!');
>> Z_1=ztrans(f_1)Z_1 =
z*exp(1/z)*(1-exp(-1/z))>> Z_2=ztrans(f_2)
Z_2 =z^2*exp(1/z)*(1-exp(-1/z)*(1+1/z))
>> r=simple(Z_2)r =
z^2*exp(1/z)-z^2-z
(3) 微分性质 设 则( ) [ ( ) ],F z Z f n?
[ ( ) ] ( ),Z n f n z F z
所以在收敛区域内,
1( ) ( ) n
n
F z n f n z
11 ( ) [ ( ) ],n
n
z n f n z z Z n f n
于是 [ ( ) ] ( ),Z n f n z F z
因为 ( ) [ ( ) ] ( ),n
n
F z Z f n f n z
证明 运行下面的 MATLAB语句,
>> syms n z
>> g=n*sym('f(n)');Z=ztrans(g)
Z =
-z*diff(ztrans(f(n),n,z),z)
例 9.8 利用微分性质求变换 (参见例 9.6),2[]Zn
解 由,已知例 9.1 设序列 其中 n是非负整数，( ),f n n?
求 F(z),
解 根据 Z 变换的定义,当 时,1z?
230 1 2 3( ),nnF z n z z z z
232 3 4( ) 1,z F z z z z
231 1 1( 1 ) ( ) 1,1zz F z z z z z
2( ) 1,( 1 )zF z zz
2[ ] ( 1 ),( 1 )
zZ n z
z
所以
2
2[] ( 1 )
zZ n z
z
33( 1 ) 2 ( 1 ) 1,( 1 ) ( 1 )z z z zzzzz
(4) 相似性质 设 则对任意( ) [ ( ) ],F z Z f n? 0,a?
[ ( ) ],n zZ a f n F a
证明 根据 Z变换的定义,
[ ( ) ] ( )n n n
n
Z a f n a f n z
( ),
n
n
zzf n F
aa
(5) 卷积性质 设 1 1 2 2( ) [ ( ) ],( ) [ ( ) ],F z Z f n F z Z f n
则1 2 1 2[ ( ) ] ( ) ( ),Z f f n F z F z
证明 根据 Z变换和卷积定义,
1 2 1 2 ( ) ( ) n
n
Z f f n f f n z
12( ) ( )
n
nk
f k f n k z
12( ) ( ),
n
kn
f k f n k z
令 于是,m n k
()1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) mk
kn
Z f f n f k f m z
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ),
km
kn
f k z f m z F z F z
(6) 初值定理设 则( ) [ ( ) ],F z Z f n? ( 0) l i m ( ),zf F z
(7) 终值定理设 且 存在,则( ) [ ( ) ],F z Z f n? lim ( )n fn
1l i m ( ) l i m ( 1 ) ( ),nzf n z F z
§ 9.2 Z逆变换已知 F(z)及其收敛域,求对应的序列 f (n),这样的运算过程称为 Z逆变换，记为1( ) ( ),f n Z F z
可以将 F(z)在其收敛域内展开为 Laurent级数来求 Z逆变换,
例 9.9 求 的 Z逆变换,其收 1() ( 1 ) ( 2 )Fz zz
敛域分别为 和1 z 2 2.z?
解 根据例 3.17,F(z)在 展开 Laurent1 z 2
级数为
12
1 1 1 1()
nnFz z z z z
2
2 3 1
1,
2 2 2 2
n
n
z z z
1( ) 1 ( 1,2,),( ) 2 ( 0,1,2,),nf n n f n n
F(z)在 展开的 Laurent级数为2z?
1
2 3 4
1
1 3 7( ) ( 2 1 ),nn
n
F z zzzz
1( ) 2 1 ( 1,2,),nf n n
下面的定理给出了 Z逆变换的积分表达式，从而可以应用复变函数论中的留数理论作为工具,来求出 Z逆变换,
定理 9.2 设 ( ) [ ( ) ],F z Z f n? 收敛域 12,R z R
则
1( ) ( )f n Z F z
11 ( ) d ( 0,1,2,),
2
n
C F z z z ni?
其中 C为 内任意一条包含原点的正向光12R z R
滑闭曲线,
证明 由 Z变换的定义有 ( ) ( ),k
k
F z f k z
于是 由于 11( ) ( ),n n k
k
F z z f k z
1 2,d,
0,
nk
C
i k nzz
kn
所以沿曲线 C求积分可得
11( ) d ( ) dn n k
CC k
F z z z f k z z
1( ) d 2 ( ),nk
Ck
f k z z i f n?
如果 在 C的内部区域中只有有限个1() nF z z?
奇点 1 2 ( ),,,,knz z z则由 和,定理 9.2 设 ( ) [ ( )],F z Z f n?收敛域 12,R z R
则1( ) ( )f n Z F z
11 ( ) d ( 0,1,2,),2 nC F z z z ni
其中 C为 内任意一条包含原点的正向光12R z R
滑闭曲线,
定理 4.5 ( 留数基本定理 ) 设函数 f ( z ) 在区域 D
内除有限个孤立奇点 12,,,nz z z外处处解析,C 是 D
内包含所有奇点在其内部的分段光滑正向 Jor dan
曲线,则
1( ) d 2 R e s ( ),.
n k
kC f z z i f z z
根据留数基本定理,函数在闭曲线 f ( z ) 上的积分可归结为函数在曲线内部各孤立奇点处留数的计算问题,
可以利用留数来求 Z逆变换,即
()
1
1
( ) R e s [ ( ),],0,1,2,.
kn
n
m
m
f n F z z z n?
如果 F(z)的收敛域为 一般将 f (n)看做,zR?
右边序列,这时只需求 时的留数,0n?
因为 所以当
1
5
3( ),
1
( 2 )
3
n
n
z
F z z
zz
0n?
例 9.10 求 的 Z逆变换,其 25() 7 3 2zFz zz
收敛域分别为 和1 z23 2.z?
时,在 C的内部区域中只有一个 1级极点 当1 ;3z?
(1) 收敛域为 1 z 2.3解 使用 MATLAB求 Z逆变换时,
默认 f (n)是右边序列,即 n?0.运行下面的 MATLAB语句,
>> symsn z>> F=5*z/(7*z-3*z^2-2);f=iztrans(F)
f =-2^n+(1/3)^n
时,在 C的内部区域中除 1级极点 外,0n? 13z?
还有级数随 n变化的极点 0.z?
故当 时,0,1,2,n?
5
113
( ) R e s,.
1 33
( 2 )
3
n
nz
fn
zz
当 时,是 1级极点,所以1n 0z?
5
13
( 1 ) R e s,
1 3
( 2 )
3
f
z z z
5
3R e s,0
1
( 2 )
3
z z z
513.
22
当 时,是 2级极点,所以2n 0z?
2
5
13
( 2 ) R e s,
1 3
( 2 )
3
f
z z z
2
5
3R e s,0
1
( 2 )
3
z z z
23 5 1
9.42
可以得到 ( ) 2,1,2,.nf n n
(2) 收敛域为 此时将 f (n)看做右边序列,2,z?
即只考虑 0.n?
对 内的任意一条包含原点的正向光滑闭2z?
曲线 C,其内部区域含有函数 1
5
3()
1
( 2 )
3
n
n
z
F z z
zz
的两个 1级极点 和 所以13z? 2,z?
5
13
( ) R e s,
1 3
( 2 )
3
n
z
fn
zz
5
3R e s,2
1
( 2 )
3
n
z
zz
1 2,0,1,2,.
3
n
n n
§ 9.3 Z变换的应用
Z变换在离散系统分析中得到广泛应用,描述线性时不变离散系统的数学模型是常系数线性差分方程,利用 Z变换的位移性质可把差分方程变成代数方程,然后求出待求量的 Z变换表达式,再经逆变换得到原差分方程的解,应用 Z变换求解离散系统中出现的常系数线性差分方程,与用 Laplace 变换解微分方程的过程是类似的,
像原函数
(差分方程的解 ) 像函数差分方程 像函数的代数方程
Z逆变换
Z变换解代数方程例 9.11 求二阶常系数线性差分方程
( 2 ) 3 ( 1 ) 2 ( ) 0y n y n y n
满足初始条件 的解,( 0 ) 0,( 1 ) 1yy
解 设 对差分方程取 Z变换,[ ( ) ] ( ),Z y n Y z?
并利用 (右边序列的左移性质 )可得(2) 位移性质双边序列的位移性质,设 f (n )是双边序列,( ) [ ( ) ],F z Z f n?
则对整数 m,有[ ( ) ] ( ),mZ f n m z F z
右边序列的位移性质,设 f (n )是右边序列,( ) [ ( ) ],F z Z f n?
则对正整数 m,有[ ( ) ] ( )mZ f n m z F z
(右移 ),1
0[ ( ) ] ( ) ( )mmn nZ f n m z F z f n z(左移 ).
21[ ( ) ( 0 ) ( 1 ) ] 3 [ ( ) ( 0 ) ] 2 ( ) 0,z Y z y y z z Y z y Y z
代入初始条件求出
( ),( 1 ) ( 2 )zYz zz
在 中将 Y(z)展开为 Laurent级数为2z?
0
1( ) ( 1 ) ( 2 ),nn
n
n
Yz z
所以 ( ) ( 1 ) ( 2 ),nnyn
例 9.12 求二阶常系数线性差分方程
( 2 ) 2 ( 1 ) ( ) 1y n y n y n
满足初始条件 的解,( 0 ) 1,( 1 ) 0yy
解 设 对差分方程取 Z变换,[ ( ) ] ( ),Z y n Y z?
由 (右边序列的左移性质 ),在 内,(2) 位移性质双边序列的位移性质,设 f (n )是双边序列,( ) [ ( ) ],F z Z f n?
则对整数 m,有[ ( ) ] ( ),mZ f n m z F z
右边序列的位移性质,设 f (n )是右边序列,( ) [ ( ) ],F z Z f n?
则对正整数 m,有[ ( ) ] ( )mZ f n m z F z
(右移 ),1
0[ ( ) ] ( ) ( )mmn nZ f n m z F z f n z(左移 ).
1z?
21[ ( ) ( 0 ) ( 1 ) ]z Y z y y z
2 [ ( ) ( 0 ) ] ( ),1zz Y z y Y z z
代入初始条件 求出( 0 ) 1,( 1 ) 0,yy
2
2
( 1 )( ),
( 1 ) ( 1 )
z z zYz
zz
对 内任意一条包含原点的正向光滑闭曲线 C,1z?
其内部区域含有函数
2
1
2
( 1 )()
( 1 ) ( 1 )
n
n z z zY z z
zz
的 1级极点 和 2级极点 于是利用留数1z? 1.z
方法可求出
2
2
( 1 )( ) Re s,1
( 1 ) ( 1 )
nz z z
yn zz
2
2
( 1 )R e s,- 1
( 1 ) ( 1 )
nz z z
zz
1 ( 1 ) ( 3 2 )
44
n n
0,1,2,.n?
1,0,()
0,0,
kuk
k
例 9.13 已知离散控制系统的状态方程为
1 1
22
( 1 ) ()0,5 0,3 1
( ),()( 1 ) 0,2 0 0
xk xk
ukxkxk
初始条件为 控制变量为12( 0) 0,( 0) 0,xx
求 2( ).xk
解 对状态方程组取 Z变换,得
1 1
22
() ()0,5 0,3 1
.() 1( ) 0,2 0 0
Xz Xz z
z Xz zXz
于是
1
1
2
() 0,5 0,3 1
1( ) 0,2 0
Xz z z
zX z z
2
0,3 11
0,5 0,0 6 10,2 0,5 0
z z
z z zz
.( 1 ) ( 0,2 ) ( 0,3 ) 0,2zzz z z
所以
2
0,2()
( 1 ) ( 0,2 ) ( 0,3 )
zXz
z z z
112 ( ) 0,1 2 8 0,3 3 3 ( 0,2) 0,4 6 1 ( 0,3)kkxk
0,1 2 8 0,3 3 3 0,4 6 1,
1 0,2 0,3z z z
从而 2 ( 0 ) 0,x?
(k 1).?
例 9.14 考虑单输入单输出离散系统
11( ) ( 1 ) ( 1 )ny k n a y k n a y k
( ) ( ),na y k u k
假设初始条件都为 0,对系统方程取 Z变换,得
111( ) ( ) ( ) ( ) ( ),nn nnz Y z a z Y z a z Y z a Y z U z
从而有
1
11
( ) 1( ),
() nn nn
YzHz
U z z a z a z a
称 H(z)为上述单输入单输出离散系统的传递函数,
考虑由状态方程和输出方程
( 1 ) ( ) ( ),x k Ax k Bu k( ) ( ) ( )y k Cx k D u
描述的多输入多输出系统,其中 x(k) 是状态向量,
u(k) 是输入向量,y(k) 是输出向量,同样假设初始状态为 0,对状态方程取 Z变换,得
( ) ( ) ( ),zX z AX z BU z( ) ( ) ( ),Y z CX z D U z
于是可以求出
1( ) ( ) ( ),X z z I A B U z
1( ) [ ( ) ] ( ),Y z C z I A B D U z
称 为上述多输入多输出 1( ) ( )H z C z I A B D
离散系统的传递矩阵,
对于由状态方程和输出方程
( ) ( ) ( ),x t A x t B u t( ) ( ) ( )y t Cx t D u t
描述的多输入多输出线性连续系统,其中 x(t)是状态向量,u(t)是输入向量,y(t)是输出向量,由线性方程组解的公式可知
0
0
() ()
0( ) ( ) ( ) d,
tA t t At
tx t e x t e B u
当系统用计算机进行控制时,控制信号在一个采样周期内取常值,即
1( ) ( ),,k k ku u t t t
其中 tk为第 k次采样时刻,这样在时间区间 中,1[,)kktt?
() ()( ) ( ) d ( ),k ktA t t Atkktx t e x t e B u t
由 x(t)的连续性,令 得到1,ktt
111( ) ( )1( ) ( ) d ( ),kk k kktA t t A tk k ktx t e x t e B u t
设 T为采样周期,记
1( 1 ) ( ) ( 1 ),kx k x t x k T
( ) ( ) ( ),ku k u t u k T
则得到离散化的状态方程为
0( 1 ) ( ) d ( ),TA T Ax k e x k e B u k
其中 22
,1 ! 2 !AT A T A TeI
2 2 3
0
d,2 ! 3 !T A A T A Te I T
如果矩阵 A可逆,可见
10 d.T A A Te A e I
离散化的输出方程为 ( ) ( ) ( ),y k Cx k D u k
e1(t) R
C
e2(t)
L
v1 v
2
i2i1考虑 RLC网络系统,其状态方程和输出方程为
1
11
222
1 1 1
0
,
1 1 1
0
di
iedt L L L
vedv
C R C R Cdt
1 1 1
2 2 2
1 0 0 0
,1 1 1
0
i i e
i v e
C R C R C
其中 1()et和 2()et是加在网络两端的电压,设采样
11,,1,
23L R C
周期 T=1,当时,将其离散化得到状态方程为
1 1
22
( 1 ) ()0,6 0 1 0,4 6 6
()( 1 ) 0,2 3 3 0,0 9 8
ik ik
vkvk
1
2
()1,66 4 0,46 7,
()0,40 0 1,09 9
ek
ek
输出方程为
1 1 1
2 2 2
( ) ( ) ( )1 0 0 0,
( ) ( ) ( )1 3 0 3
i k i k e k
i k v k e k
于是这个离散系统的传递矩阵为
()Hz
11 0 0,6 0 1 0,4 6 6 1,6 6 4 0,4 6 7
1 3 0,2 3 3 0,0 9 8 0,4 0 0 1,0 9 9
z
z
00
03
1,6 6 4 0,0 2 3 0,4 6 6 0,4 6 6 0 0,
0,4 6 4 0,4 6 5 2,8 3 1 0,1 1 8 9 0 3
zz
2
1
0,5 0 3 0,0 4 9 7zz
解差分方程解差分方程组本章内容总结基本性质逆变换线性性质位移性质微分性质相似性质卷积定理初值定理终值定理
Z 变换留数基本定理
Laurent 级数本章的重点
3,Z变换在解差分方程中的应用
2,Z逆变换
1,Z 变换的定义及其性质第九章 完
§ 9.1 Z 变换的概念与性质
§ 9.2 Z 逆变换
§ 9.3 Z 变换的应用主 要 内 容
Fourier变换和 Laplace变换是研究连续时间函数的重要工具,本章将要介绍的
Z变换则是研究离散时间函数的重要工具,
1 Z变换的定义
2 Z变换的性质
§ 9.1 Z 变换的概念与性质
9.1.1 Z变换的定义定义 9.1 设 是无限序列,( ) 0,1,2,f n n
如果级数 在 z 平面的某一区域内收敛,() n
n
f n z
其中 z为复参变量,则由这个级数所确定的函数
( ) ( ) n
n
F z f n z
称为序列 f (n)的 Z变换,记为 [ ( )],Z f n
显然 Z变换的定义式是 Laurent级数,所以如果存在收敛域,则为圆环域,且 F(z)在圆环域内解析,
序列 通常称为双边序列,( ) ( 0,1,2,)f n n
如果在 时 则称右 (左 )边序列,0 ( 0 )nn ( ) 0,fn?
果存在常数 使得1 0,R?
1( ) ( 0 ),nf n M R n
则右边序列 f (n)的 Z变换 在
0
( ) ( ) n
n
F z f n z
1zR?
定理 9.1(Z变换存在定理 ) 设 为常数,如0M?
内存在,如果存在常数 使得2 0,R?
2( ) ( 0 ),nf n M R n
则左边序列 f (n)的 Z 变换 在
1
( ) ( ) n
n
F z f n z
2zR? 内存在,如果 且上面两个不等式都12,RR?
成立,则双边序列 f (n)的 Z 变换 ( ) ( ) n
n
F z f n z
在 内存在,12R z R
证明 如果 那么 1( ) ( 0 ),nf n M R n
1
0 0 0
( ) ( ),nn n n
n n n
f n z f n z MR z
当 时,收敛,则1zR? 1
0
nn
n
MR z
0
( ) ( ) n
n
F z f n z
在 内存在,1zR?
如果 那么 2( ) ( 0 ),nf n M R n
1 1 1
2( ) ( ),
nn n n
n n n
f n z f n z MR z
令 于是,kn
1
22
1
.nknk
nk
MR z MR z
当 时,收敛,于是2zR? 2
1
kk
k
MR z
1
( ) ( ) n
n
F z f n z
在 内存在,2zR?
例 9.1 设序列 其中 n是非负整数，( ),f n n?
求 F(z),
23
0
1 2 3( ),n
n
F z n z z z z
23
2 3 4( ) 1,z F z
z z z
23
1 1 1( 1 ) ( ) 1,
1
zz F z
z z z z
2( ) 1,( 1 )zF z zz
根据 Z 变换的定义,当 时,1z?解 运行下面的 MATLAB语句,
>> symsn z
>> f=n;Z=ztrans(f)
Z =
z/(z-1)^2
注 利用符号运算工具箱中提供的 ztrans() 和
iztrans() 函数可得出给定函数的 Z变换及其逆变换，默认变量是 k.
下面再给出几个序列 Z变换的例子,注意它们之间的差异,
例 9.2 设序列 求 F(z),
2,0( ),
3,0
n
n
nfn
n
1
0
( ) ( ) 2 3n n n n n
n n n
F z f n z z z
( 2 5 ),
2 3 ( 2 ) ( 3 )
z z z z
z z z z
根据 Z 变换的定义,当 时,23z解 运行下面的 MATLAB语句,
>> symsn z
>> f=2^n;Z=ztrans(f)+symsum(-3^(-n)*z^n,n,1,inf)
Z =
1/2*z/(1/2*z-1)+1/3*z/(1/3*z-1)
>> r=simple(Z)
r =
z*(2*z-5)/(z-2)/(z-3)
例 9.3 设序列
2,0,2,4,( ),
3,1,3,5,
n
n
nfn
n
求 F(z),
0
( ) ( ) n
n
F z f n z
2
2 2 2 1 ( 2 1 )
22
00
32 3,
49
m m m m
mm
zzzz
zz
2 ( 2 1 )
00
( 2 ) ( 2 1 )mm
mm
f m z f m z
根据 Z 变换的定义,当 时,3z?解 运行下面的 MATLAB语句,
>> symsn z
>> Z=symsum(2^(2*n)*z^(-2*n),n,0,inf)
+symsum(-3^(2*n+1)*z^(-(2*n+1)),n,0,inf)
Z =
z^2/(-4+z^2)-3*z/(-9+z^2)
例 9.4 设指数序列 其中( ) ( 0 ),nf n a n
为复数，求 F(z),0a?
0
( ) ( ) n
n
F z f n z
0
.nn
n
zaz
za
根据 Z 变换的定义,当 时,za?解 运行下面的 MATLAB语句,
>> symsn z a
>> f=a^n;Z=ztrans(f)
Z =
z/a/(z/a-1)
>> r=simple(Z)
r =
-z/(-z+a)
9.1.2 Z变换的性质以下假定所讨论的序列均满足 Z变换存在定理的条件,
(1) 线性性质 设 a,b 是常数,11( ) [ ( ) ],F z Z f n?
22( ) [ ( ) ],F z Z f n?则
1 2 1 2[ ( ) ( ) ] ( ) ( )Z f n f n F z F za b a b
12[ ( ) ] [ ( ) ],Z f n Z f nab
例 9.5 求正弦序列 和余弦序列10( ) s i nf n n
20( ) c o sf n n的 Z变换,其中 0.n?
00
10
1 ( ) [ sin ]
2
i n i nF z Z n Z e e
i
00
0
2
0
s in1,
2 2 c o s 1ii
zzz
i z e z e z z
同样可得
00
20
1 ( ) [ c o s ]
2
i n i nF z Z n Z e e
0
2
0
( c o s ),
2 c o s 1
zz
zz
利用线性性质和,当 时,例 9.4 设指数序列 其中( ) ( 0),nf n a n
为复数，求 F(z).0a?
解 根据 Z 变换的定义,当 时,za?
0( ) ( ) nnF z f n z
0,nnn zaz za
1z?解 运行下面的 MATLAB语句,
>> symsn z w_0
>> f_1=sin(w_0*n);f_2=cos(w_0*n);
>> Z_1=ztrans(f_1)
Z_1 =
z*sin(w_0)/(z^2-2*z*cos(w_0)+1)
>> Z_2=ztrans(f_2)
Z_2 =
(z-cos(w_0))*z/(z^2-2*z*cos(w_0)+1)
(2) 位移性质双边序列的位移性质,设 f (n)是双边序列,
( ) [ ( ) ],F z Z f n? 则对整数 m,有
[ ( ) ] ( ),mZ f n m z F z
证明 根据 Z 变换的定义,
[ ( ) ] ( ),n
n
Z f n m f n m z
令 于是,k n m
[ ( ) ] ( ) ( ),m k m
k
Z f n m z f k z z F z
右边序列的位移性质,设 f (n)是右边序列,
( ) [ ( ) ],F z Z f n? 则对正整数 m,有
[ ( ) ] ( )mZ f n m z F z(右移 ),
1
0
[ ( ) ] ( ) ( )
m
mn
n
Z f n m z F z f n z
(左移 ).
证明 根据 Z 变换的定义,
0
[ ( ) ] ( ),n
n
Z f n m f n m z
令 于是,k n m [ ( ) ] ( ),mk
km
Z f n m z f k z
因为 f (n)是右边序列,所以
( ) 0 (,1,,1 ),f k k m m
0
[ ( ) ] ( ) ( ),m k m
k
Z f n m z f k z z F z
同样,对
0
[ ( ) ] ( ),n
n
Z f n m f n m z
令,k n m
[ ( ) ] ( )mk
km
Z f n m z f k z
1
00
( ) ( )
m
m k k
kk
z f k z f k z
1
0
( ) ( ),
m
mn
n
z F z f n z
例 9.6 求变换 和22[ ],( 1 )Z n Z n2( 1 ),Zn
其中 n为非负整数,
利用线性性质和 可得,(2) 位移性质双边序列的位移性质,设 f (n )是双边序列,( ) [ ( ) ],F z Z f n?
则对整数 m,有[ ( ) ] ( ),mZ f n m z F z
右边序列的位移性质,设 f (n )是右边序列,( ) [ ( ) ],F z Z f n?
则对正整数 m,有[ ( ) ] ( )mZ f n m z F z
(右移 ),1
0[ ( ) ] ( ) ( )mmn nZ f n m z F z f n z(左移 ).
1 1( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ),zZ f n f n F z z F z F zz
再利用线性性质及,例 9.1 设序列 其中 n是非负整数，( ),f n n?
求 F(z),
解 根据 Z 变换的定义,当 时,1z?
230 1 2 3( ),nnF z n z z z z
232 3 4( ) 1,z F z z z z
231 1 1( 1 ) ( ) 1,1zz F z z z z z
2( ) 1,( 1 )zF z zz
222 1 1[ 2 1 ] 1,( 1 ) 1 ( 1 )zzZ n zz z z
注 因为 n为非负整数,所以考虑的是右边序列,
故 因此在求 时,从而( 1) 0.f[2 1]Zn? 1,n
1 1[1] 1,1nnZ z zz
如果与本问题无关,应该是
0[1] 1,1nn zZ z zz
2( ),f n n?设 ( ) [ ( ) ],F z Z f n?解 运行下面的 MATLAB语句,
>> symsn z
>> f_1=n^2;f_2=(n+1)^2;
>> Z_1=ztrans(f_1)
Z_1 =
z*(z+1)/(z-1)^3
>> Z_2=ztrans(f_2)
Z_2 =
z*(z+1)/(z-1)^3+2*z/(z-1)^2+z/(z-1)
>> r=simple(Z_2)
r =
z^2*(z+1)/(z-1)^3
因为 ( ) ( 1 ) 2 1,f n f n n所以当 时,1z?
2
3
( 1 )( ) [ ],
( 1 )
zzF z Z n
z
从而利用 可得,(2) 位移性质双边序列的位移性质,设 f (n )是双边序列,( ) [ ( ) ],F z Z f n?
则对整数 m,有[ ( ) ] ( ),mZ f n m z F z
右边序列的位移性质,设 f (n )是右边序列,( ) [ ( ) ],F z Z f n?
则对正整数 m,有[ ( ) ] ( )mZ f n m z F z
(右移 ),1
0[ ( ) ] ( ) ( )mmn nZ f n m z F z f n z(左移 ).
2 1 2 31( 1 ) [ ] 1,( 1 )zZ n z Z n zz
222 3( 1 )( 1 ) [ ] 1,( 1 )zzZ n zZ n zz
例 9.7 求变换 和1( 1 ) !Z n
1,
( 2 ) !Z n
其中 n为非负整数,
1
0
11,
!!
n z
n
Z z enn
所以由,当 时,(2) 位移性质双边序列的位移性质,设 f (n )是双边序列,( ) [ ( ) ],F z Z f n?
则对整数 m,有[ ( ) ] ( ),mZ f n m z F z
右边序列的位移性质,设 f (n )是右边序列,( ) [ ( ) ],F z Z f n?
则对正整数 m,有[ ( ) ] ( )mZ f n m z F z
(右移 ),1
0[ ( ) ] ( ) ( )mmn nZ f n m z F z f n z(左移 ).
0z?
11
1,( 1 ) ! zZ z en
1
211 1.
( 2 ) !
zZ z e
nz
因为当 时,0z?解 运行下面的 MATLAB语句,
>> symsn z>> f_1=sym('1/(n+1)!');f_2=sym('1/(n+2)!');
>> Z_1=ztrans(f_1)Z_1 =
z*exp(1/z)*(1-exp(-1/z))>> Z_2=ztrans(f_2)
Z_2 =z^2*exp(1/z)*(1-exp(-1/z)*(1+1/z))
>> r=simple(Z_2)r =
z^2*exp(1/z)-z^2-z
(3) 微分性质 设 则( ) [ ( ) ],F z Z f n?
[ ( ) ] ( ),Z n f n z F z
所以在收敛区域内,
1( ) ( ) n
n
F z n f n z
11 ( ) [ ( ) ],n
n
z n f n z z Z n f n
于是 [ ( ) ] ( ),Z n f n z F z
因为 ( ) [ ( ) ] ( ),n
n
F z Z f n f n z
证明 运行下面的 MATLAB语句,
>> syms n z
>> g=n*sym('f(n)');Z=ztrans(g)
Z =
-z*diff(ztrans(f(n),n,z),z)
例 9.8 利用微分性质求变换 (参见例 9.6),2[]Zn
解 由,已知例 9.1 设序列 其中 n是非负整数，( ),f n n?
求 F(z),
解 根据 Z 变换的定义,当 时,1z?
230 1 2 3( ),nnF z n z z z z
232 3 4( ) 1,z F z z z z
231 1 1( 1 ) ( ) 1,1zz F z z z z z
2( ) 1,( 1 )zF z zz
2[ ] ( 1 ),( 1 )
zZ n z
z
所以
2
2[] ( 1 )
zZ n z
z
33( 1 ) 2 ( 1 ) 1,( 1 ) ( 1 )z z z zzzzz
(4) 相似性质 设 则对任意( ) [ ( ) ],F z Z f n? 0,a?
[ ( ) ],n zZ a f n F a
证明 根据 Z变换的定义,
[ ( ) ] ( )n n n
n
Z a f n a f n z
( ),
n
n
zzf n F
aa
(5) 卷积性质 设 1 1 2 2( ) [ ( ) ],( ) [ ( ) ],F z Z f n F z Z f n
则1 2 1 2[ ( ) ] ( ) ( ),Z f f n F z F z
证明 根据 Z变换和卷积定义,
1 2 1 2 ( ) ( ) n
n
Z f f n f f n z
12( ) ( )
n
nk
f k f n k z
12( ) ( ),
n
kn
f k f n k z
令 于是,m n k
()1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) mk
kn
Z f f n f k f m z
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ),
km
kn
f k z f m z F z F z
(6) 初值定理设 则( ) [ ( ) ],F z Z f n? ( 0) l i m ( ),zf F z
(7) 终值定理设 且 存在,则( ) [ ( ) ],F z Z f n? lim ( )n fn
1l i m ( ) l i m ( 1 ) ( ),nzf n z F z
§ 9.2 Z逆变换已知 F(z)及其收敛域,求对应的序列 f (n),这样的运算过程称为 Z逆变换，记为1( ) ( ),f n Z F z
可以将 F(z)在其收敛域内展开为 Laurent级数来求 Z逆变换,
例 9.9 求 的 Z逆变换,其收 1() ( 1 ) ( 2 )Fz zz
敛域分别为 和1 z 2 2.z?
解 根据例 3.17,F(z)在 展开 Laurent1 z 2
级数为
12
1 1 1 1()
nnFz z z z z
2
2 3 1
1,
2 2 2 2
n
n
z z z
1( ) 1 ( 1,2,),( ) 2 ( 0,1,2,),nf n n f n n
F(z)在 展开的 Laurent级数为2z?
1
2 3 4
1
1 3 7( ) ( 2 1 ),nn
n
F z zzzz
1( ) 2 1 ( 1,2,),nf n n
下面的定理给出了 Z逆变换的积分表达式，从而可以应用复变函数论中的留数理论作为工具,来求出 Z逆变换,
定理 9.2 设 ( ) [ ( ) ],F z Z f n? 收敛域 12,R z R
则
1( ) ( )f n Z F z
11 ( ) d ( 0,1,2,),
2
n
C F z z z ni?
其中 C为 内任意一条包含原点的正向光12R z R
滑闭曲线,
证明 由 Z变换的定义有 ( ) ( ),k
k
F z f k z
于是 由于 11( ) ( ),n n k
k
F z z f k z
1 2,d,
0,
nk
C
i k nzz
kn
所以沿曲线 C求积分可得
11( ) d ( ) dn n k
CC k
F z z z f k z z
1( ) d 2 ( ),nk
Ck
f k z z i f n?
如果 在 C的内部区域中只有有限个1() nF z z?
奇点 1 2 ( ),,,,knz z z则由 和,定理 9.2 设 ( ) [ ( )],F z Z f n?收敛域 12,R z R
则1( ) ( )f n Z F z
11 ( ) d ( 0,1,2,),2 nC F z z z ni
其中 C为 内任意一条包含原点的正向光12R z R
滑闭曲线,
定理 4.5 ( 留数基本定理 ) 设函数 f ( z ) 在区域 D
内除有限个孤立奇点 12,,,nz z z外处处解析,C 是 D
内包含所有奇点在其内部的分段光滑正向 Jor dan
曲线,则
1( ) d 2 R e s ( ),.
n k
kC f z z i f z z
根据留数基本定理,函数在闭曲线 f ( z ) 上的积分可归结为函数在曲线内部各孤立奇点处留数的计算问题,
可以利用留数来求 Z逆变换,即
()
1
1
( ) R e s [ ( ),],0,1,2,.
kn
n
m
m
f n F z z z n?
如果 F(z)的收敛域为 一般将 f (n)看做,zR?
右边序列,这时只需求 时的留数,0n?
因为 所以当
1
5
3( ),
1
( 2 )
3
n
n
z
F z z
zz
0n?
例 9.10 求 的 Z逆变换,其 25() 7 3 2zFz zz
收敛域分别为 和1 z23 2.z?
时,在 C的内部区域中只有一个 1级极点 当1 ;3z?
(1) 收敛域为 1 z 2.3解 使用 MATLAB求 Z逆变换时,
默认 f (n)是右边序列,即 n?0.运行下面的 MATLAB语句,
>> symsn z>> F=5*z/(7*z-3*z^2-2);f=iztrans(F)
f =-2^n+(1/3)^n
时,在 C的内部区域中除 1级极点 外,0n? 13z?
还有级数随 n变化的极点 0.z?
故当 时,0,1,2,n?
5
113
( ) R e s,.
1 33
( 2 )
3
n
nz
fn
zz
当 时,是 1级极点,所以1n 0z?
5
13
( 1 ) R e s,
1 3
( 2 )
3
f
z z z
5
3R e s,0
1
( 2 )
3
z z z
513.
22
当 时,是 2级极点,所以2n 0z?
2
5
13
( 2 ) R e s,
1 3
( 2 )
3
f
z z z
2
5
3R e s,0
1
( 2 )
3
z z z
23 5 1
9.42
可以得到 ( ) 2,1,2,.nf n n
(2) 收敛域为 此时将 f (n)看做右边序列,2,z?
即只考虑 0.n?
对 内的任意一条包含原点的正向光滑闭2z?
曲线 C,其内部区域含有函数 1
5
3()
1
( 2 )
3
n
n
z
F z z
zz
的两个 1级极点 和 所以13z? 2,z?
5
13
( ) R e s,
1 3
( 2 )
3
n
z
fn
zz
5
3R e s,2
1
( 2 )
3
n
z
zz
1 2,0,1,2,.
3
n
n n
§ 9.3 Z变换的应用
Z变换在离散系统分析中得到广泛应用,描述线性时不变离散系统的数学模型是常系数线性差分方程,利用 Z变换的位移性质可把差分方程变成代数方程,然后求出待求量的 Z变换表达式,再经逆变换得到原差分方程的解,应用 Z变换求解离散系统中出现的常系数线性差分方程,与用 Laplace 变换解微分方程的过程是类似的,
像原函数
(差分方程的解 ) 像函数差分方程 像函数的代数方程
Z逆变换
Z变换解代数方程例 9.11 求二阶常系数线性差分方程
( 2 ) 3 ( 1 ) 2 ( ) 0y n y n y n
满足初始条件 的解,( 0 ) 0,( 1 ) 1yy
解 设 对差分方程取 Z变换,[ ( ) ] ( ),Z y n Y z?
并利用 (右边序列的左移性质 )可得(2) 位移性质双边序列的位移性质,设 f (n )是双边序列,( ) [ ( ) ],F z Z f n?
则对整数 m,有[ ( ) ] ( ),mZ f n m z F z
右边序列的位移性质,设 f (n )是右边序列,( ) [ ( ) ],F z Z f n?
则对正整数 m,有[ ( ) ] ( )mZ f n m z F z
(右移 ),1
0[ ( ) ] ( ) ( )mmn nZ f n m z F z f n z(左移 ).
21[ ( ) ( 0 ) ( 1 ) ] 3 [ ( ) ( 0 ) ] 2 ( ) 0,z Y z y y z z Y z y Y z
代入初始条件求出
( ),( 1 ) ( 2 )zYz zz
在 中将 Y(z)展开为 Laurent级数为2z?
0
1( ) ( 1 ) ( 2 ),nn
n
n
Yz z
所以 ( ) ( 1 ) ( 2 ),nnyn
例 9.12 求二阶常系数线性差分方程
( 2 ) 2 ( 1 ) ( ) 1y n y n y n
满足初始条件 的解,( 0 ) 1,( 1 ) 0yy
解 设 对差分方程取 Z变换,[ ( ) ] ( ),Z y n Y z?
由 (右边序列的左移性质 ),在 内,(2) 位移性质双边序列的位移性质,设 f (n )是双边序列,( ) [ ( ) ],F z Z f n?
则对整数 m,有[ ( ) ] ( ),mZ f n m z F z
右边序列的位移性质,设 f (n )是右边序列,( ) [ ( ) ],F z Z f n?
则对正整数 m,有[ ( ) ] ( )mZ f n m z F z
(右移 ),1
0[ ( ) ] ( ) ( )mmn nZ f n m z F z f n z(左移 ).
1z?
21[ ( ) ( 0 ) ( 1 ) ]z Y z y y z
2 [ ( ) ( 0 ) ] ( ),1zz Y z y Y z z
代入初始条件 求出( 0 ) 1,( 1 ) 0,yy
2
2
( 1 )( ),
( 1 ) ( 1 )
z z zYz
zz
对 内任意一条包含原点的正向光滑闭曲线 C,1z?
其内部区域含有函数
2
1
2
( 1 )()
( 1 ) ( 1 )
n
n z z zY z z
zz
的 1级极点 和 2级极点 于是利用留数1z? 1.z
方法可求出
2
2
( 1 )( ) Re s,1
( 1 ) ( 1 )
nz z z
yn zz
2
2
( 1 )R e s,- 1
( 1 ) ( 1 )
nz z z
zz
1 ( 1 ) ( 3 2 )
44
n n
0,1,2,.n?
1,0,()
0,0,
kuk
k
例 9.13 已知离散控制系统的状态方程为
1 1
22
( 1 ) ()0,5 0,3 1
( ),()( 1 ) 0,2 0 0
xk xk
ukxkxk
初始条件为 控制变量为12( 0) 0,( 0) 0,xx
求 2( ).xk
解 对状态方程组取 Z变换,得
1 1
22
() ()0,5 0,3 1
.() 1( ) 0,2 0 0
Xz Xz z
z Xz zXz
于是
1
1
2
() 0,5 0,3 1
1( ) 0,2 0
Xz z z
zX z z
2
0,3 11
0,5 0,0 6 10,2 0,5 0
z z
z z zz
.( 1 ) ( 0,2 ) ( 0,3 ) 0,2zzz z z
所以
2
0,2()
( 1 ) ( 0,2 ) ( 0,3 )
zXz
z z z
112 ( ) 0,1 2 8 0,3 3 3 ( 0,2) 0,4 6 1 ( 0,3)kkxk
0,1 2 8 0,3 3 3 0,4 6 1,
1 0,2 0,3z z z
从而 2 ( 0 ) 0,x?
(k 1).?
例 9.14 考虑单输入单输出离散系统
11( ) ( 1 ) ( 1 )ny k n a y k n a y k
( ) ( ),na y k u k
假设初始条件都为 0,对系统方程取 Z变换,得
111( ) ( ) ( ) ( ) ( ),nn nnz Y z a z Y z a z Y z a Y z U z
从而有
1
11
( ) 1( ),
() nn nn
YzHz
U z z a z a z a
称 H(z)为上述单输入单输出离散系统的传递函数,
考虑由状态方程和输出方程
( 1 ) ( ) ( ),x k Ax k Bu k( ) ( ) ( )y k Cx k D u
描述的多输入多输出系统,其中 x(k) 是状态向量,
u(k) 是输入向量,y(k) 是输出向量,同样假设初始状态为 0,对状态方程取 Z变换,得
( ) ( ) ( ),zX z AX z BU z( ) ( ) ( ),Y z CX z D U z
于是可以求出
1( ) ( ) ( ),X z z I A B U z
1( ) [ ( ) ] ( ),Y z C z I A B D U z
称 为上述多输入多输出 1( ) ( )H z C z I A B D
离散系统的传递矩阵,
对于由状态方程和输出方程
( ) ( ) ( ),x t A x t B u t( ) ( ) ( )y t Cx t D u t
描述的多输入多输出线性连续系统,其中 x(t)是状态向量,u(t)是输入向量,y(t)是输出向量,由线性方程组解的公式可知
0
0
() ()
0( ) ( ) ( ) d,
tA t t At
tx t e x t e B u
当系统用计算机进行控制时,控制信号在一个采样周期内取常值,即
1( ) ( ),,k k ku u t t t
其中 tk为第 k次采样时刻,这样在时间区间 中,1[,)kktt?
() ()( ) ( ) d ( ),k ktA t t Atkktx t e x t e B u t
由 x(t)的连续性,令 得到1,ktt
111( ) ( )1( ) ( ) d ( ),kk k kktA t t A tk k ktx t e x t e B u t
设 T为采样周期,记
1( 1 ) ( ) ( 1 ),kx k x t x k T
( ) ( ) ( ),ku k u t u k T
则得到离散化的状态方程为
0( 1 ) ( ) d ( ),TA T Ax k e x k e B u k
其中 22
,1 ! 2 !AT A T A TeI
2 2 3
0
d,2 ! 3 !T A A T A Te I T
如果矩阵 A可逆,可见
10 d.T A A Te A e I
离散化的输出方程为 ( ) ( ) ( ),y k Cx k D u k
e1(t) R
C
e2(t)
L
v1 v
2
i2i1考虑 RLC网络系统,其状态方程和输出方程为
1
11
222
1 1 1
0
,
1 1 1
0
di
iedt L L L
vedv
C R C R Cdt
1 1 1
2 2 2
1 0 0 0
,1 1 1
0
i i e
i v e
C R C R C
其中 1()et和 2()et是加在网络两端的电压,设采样
11,,1,
23L R C
周期 T=1,当时,将其离散化得到状态方程为
1 1
22
( 1 ) ()0,6 0 1 0,4 6 6
()( 1 ) 0,2 3 3 0,0 9 8
ik ik
vkvk
1
2
()1,66 4 0,46 7,
()0,40 0 1,09 9
ek
ek
输出方程为
1 1 1
2 2 2
( ) ( ) ( )1 0 0 0,
( ) ( ) ( )1 3 0 3
i k i k e k
i k v k e k
于是这个离散系统的传递矩阵为
()Hz
11 0 0,6 0 1 0,4 6 6 1,6 6 4 0,4 6 7
1 3 0,2 3 3 0,0 9 8 0,4 0 0 1,0 9 9
z
z
00
03
1,6 6 4 0,0 2 3 0,4 6 6 0,4 6 6 0 0,
0,4 6 4 0,4 6 5 2,8 3 1 0,1 1 8 9 0 3
zz
2
1
0,5 0 3 0,0 4 9 7zz
解差分方程解差分方程组本章内容总结基本性质逆变换线性性质位移性质微分性质相似性质卷积定理初值定理终值定理
Z 变换留数基本定理
Laurent 级数本章的重点
3,Z变换在解差分方程中的应用
2,Z逆变换
1,Z 变换的定义及其性质第九章 完
