第六章 积分变换的预备知识
§ 6.1 几个典型函数
§ 6.2 卷积的概念与性质主 要 内 容本章介绍几个以后经常要用到的典型的函数，以及函数的卷积和序列的卷积，
1 单位阶跃函数
2 矩形脉冲函数
§ 6.1 几个典型函数
3 d 函数
O t
u(t)
0t
.
O t
u(t)
6.1.1 单位阶跃函数单位阶跃函数 (简称阶跃函数,又称 Heaviside
函数 )定义为
1,0 ;()
0,0,
tut
t
显然,u(t)在 t=0处从 0跃变为 1.
延迟 t0的阶跃函数为
0
0
0
1,;
() 0,.
tt
u t t tt
利用阶跃函数可以将分段函数用一个表达式表示,例如设 1
20
30
( ),0 ;
( ) ( ),0 ;
( ),.
x t t
x t x t t t
x t t t
于是可以用阶跃函数表示为
1 2 0( ) ( ) [ 1 ( ) ] ( ) [ ( ) ( ) ]x t x t u t x t u t u t t
1 2 1 3 2 0( ) [ ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ( ) ] ( ),x t x t x t u t x t x t u t t
30( ) ( )x t u t t
6.1.2 矩形脉冲函数宽度为 t,幅度为 的矩形脉冲函数为( 0 )EE?,;
2
()
0,t,
2
Et
pt
t
t
t
o t
2t2t?
E
()ptt
.
.,
6.1.3 d 函数在物理学和工程技术中,除了连续分布量之外，
还有集中作用在一点的量,例如，点电荷、点热源、
质点、单位脉冲等,下面分析在原点处分布单位质量的情况,
如果一单位质量的物质均匀分布在原点的闭邻域 [-e,e]之内,这时 [-e,e]内的每一点的密度 1,2e? e? 1
,[,] ;
() 2
0,[,],
x
x
x
e
ee
e
ee
很自然,原点处分布单位质量的质点情形可认为是上述情形当 时的极限,并用 d (x)表示密0e
度分布的极限,在直观上可以看作
,0 ;()
0,0,
xx
xd
根据密度的定义，密度函数在区间内的积分应该是在此区间上分布的总质量,因此，应有
( ) d 1,xxd
针对这类问题,20世纪 30年代,英国物理学家
Dirac引进了满足以上性质的“函数”,称为,d 函数”
并且要求对任何连续函数 f (x),都有
( ) ( ) d ( 0 ),x f x x fd
但是,从古典意义下的函数积分概念来看,这些都是不合理的,因为?不是确定的数,它表明变量的变化趋势,所以,d (0)=+?无意义,而积分值与函数在个别点的值无关,这样,除一点外,处处为零的函数积分也应为零,从而,d 函数的上述性质在古典意义下都不可能成立,也是不合理的,因此,在很长一段时期,d 函数没有被数学家们接受,但以 Dirac
为代表的物理学家们继续使用这个“怪”函数,因为这个结论完全符合物理实验的结果,物理学家们觉得它是一个“很好用” 的有力工具,直到 20世纪 50年代，
法国数学家 L,Shwartz建立了广义函数的理论,在他的理论中,d 函数已不是通常意义下的函数,而属于更广泛意义下的函数,从而为 d 函数建立了坚实的理论基础,并且也使得这一类函数在数学的其他分支、物理学及其他工程技术中得到了广泛应用,
这些理论的建立是以泛函分析为基础的,下面仅作简单概括的介绍,
d 函数不是通常意义下的函数，而是满足一定条件下的函数在新的意义下的极限,这类极限称为弱极限,
设 是当 时,在()xed 0x?
0l i m ( ) 0,xee d
(,)
上可积的函数，并且对任何无穷可微的函数 f (x),有
0li m ( ) ( ) d ( 0 ),x f x x fee d?
特别地，当 时，( ) 1fx?
0li m ( ) 1,x d xee d?
满足这些条件的函数 称为 d 逼近函数,d 函()xed
数 d (x) 就是这类 d 逼近函数的弱极限,所谓弱极限,
就是对任何无穷可微函数 f (x),由极限式
0lim ( ) ( ) d ( 0 )x f x x fee d?
所确定的新的元素,把这样的新元素记为 d (x),并且规定 d (x)的积分 (已不是通常意义下的积分 )为
( ) d 1,xxd
除了上面已提到过的函数 1,[,] ;
() 2
0,[,]
x
x
x
e
ee
e
ee
外,还有很多不同的 d 逼近函数，例如
11 s i n
( ) ( 0 ),xHx xe e e?
22
1( ) ( 0 )Kx
xe
e e
e
等都是 d 逼近函数，其弱极限都是 d (x),
d (x)是具有以下性质的广义函数 (d 函数又称为单位脉冲函数,或称为 Dirac函数 )：
(1) 即 d 函数是偶函数,( ) ( ),xxdd
(2) 特别地，( ) ( ) d ( 0 )x f x x fd,( ) d 1xxd,
其中 f (x)是任意连续函数,更一般地
00( ) ( ) d ( ),x x f x x f xd
(3) d (x)是无穷可微函数,其导函数 也是广()()n xd
义函数,使得对任意无穷可微函数 f (x),有
( ) ( )( ) ( ) d ( 1 ) ( ) ( ) dn n nx f x x x f x xdd
()( 1 ) ( 0 ),nnf
(4) 其中 u(t)是单位( ) ( ) d,tu t x xd
( ) ( ),u t td
阶跃函数,
§ 6.2 卷积的概念与性质
1 函数的卷积
2 序列的卷积
6.2.1 函数的卷积定义 6.1 设函数 和 都是 上的1()ft 2()ft (,)
绝对可积函数,积分
12( ) ( ) df x f t x x
称为 函数 和 在区间 上 的卷积,记1()ft 2()ft (,)
为 或,即12( ) ( )f f t? 12( ) ( )f t f t?
1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d,f t f t f f t f x f t x x
如果 t<0 时,则卷积变为12( ) 0,( ) 0,f t f t
12( ) ( ) ( )f t f f t
0
1 2 1 20( ) ( ) d ( ) ( ) d
tf x f t x x f x f t x x
12( ) ( ) dt f x f t x x
120 ( ) ( ) d,
t f x f t x x
12( ) ( ) df x f t x x
这是 上的卷积公式,[0,)
例 6.1 求 和 在 上的1 ()f t t? 2 ( ) s i nf t t? [0,)
卷积,
解 由 上的卷积公式[0,)
12( ) ( ) s i nf t f t t t
0 s in ( ) d
t x t x x
0 0c o s ( ) c o s ( ) d
ttx t x t x x
s in,tt
卷积具有下面一些性质 (这里假定所有的广义积分均收敛,并且允许积分交换次序 ):
(1) 交换律 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( ),f t f t f t f t
证明 由卷积的定义
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) d,f t f t f x f t x x
令 则 并且,t x u d d,xu
1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( ) df t f t f u f t u u
2 1 2 1( ) ( ) d ( ) ( ),f u f t u u f t f t
(2) 分配律
1 2 3 1 2 1 3( ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ),f t f t f t f t f t f t f t
证明 由卷积的定义
1 2 3( ) ( ) ( )f t f t f t
1 2 1 3( ) ( ) d ( ) ( ) df x f t x x f x f t x x
1 2 3( ) ( ) ( ) df x f t x f t x x
1 2 1 3( ) ( ) ( ) ( ),f t f t f t f t
(3) 结合律
1 2 3 1 2 3[ ( ) ( ) ] ( ) ( ) [ ( ) ( ) ],f t f t f t f t f t f t
证明 由卷积的定义
1 2 3( ) ( ) ( )f t f t f t
1 2 3( ) ( ) ( ) df x f t x f t x x
1 2 3( ) ( ) ( ) d d,f x f u f t x u u x
令 则 并且,xu t d d,u t?
1 2 3( ) ( ) ( )f t f t f t
1 2 3( ) ( ) ( ) d d,f x f x f t xt t t
再交换积分次序可得
1 2 3( ) ( ) ( )f t f t f t
1 2 3( ) ( ) ( ) df f f tt t t t
1 2 3( ) ( ) d ( ) df x f x x f tt t t
1 2 3( ) ( ) ( ),f t f t f t
(4) 与单位脉冲函数的卷积设 f (t)是 上的连续函数,则(,)
( ) ( ) ( ),f t t f td
证明 由卷积的定义以及 d 函数的性质可得
( ) ( )f t td?
( ) ( ) df x t x xd
( ).ft?
6.2.2 序列的卷积定义 6.2 设 和 是两1()fn2 ( ) 0,1,2,f n n
个无限序列,并且 和 均绝对收敛,1 ()
n
fn
2 ()
n
fn
序列
12( ) ( ) ( 0,1,2,)
k
f k f n k n
称为 序列 和1()fn 2()fn的卷积,记为 或12( ) ( )f f n?
12( ) ( ),f n f n? 即
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( 0,1,2,),
k
f f n f k f n k n
在工程中常用有限序列的卷积,设
1 1 1 1 1 1( ),1,2,,1,f n n n n n n N
2 2 2 2 2 2( ),1,2,,1f n n n n n n N
是两个有限序列,记做
( ) ( ),( 1 ),( 2 ),,( 1 )i i i i i i i i i if n f n f n f n f n N
( 1,2 ),i?
这里正整数 N1和 N2分别叫做序列 和 的1()fn 2()fn
序列长度,n1和 n2是整数,
在序列的卷积公式
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( 0,1,2,),
k
f f n f k f n k n
中,当 或 时,取 1iin n Ninn?
( ) 0 1,2),if n i（
得到有限序列 和 的卷积公式为1()fn 2()fn
11
1
1
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )
nN
kn
f f n f k f n k
1 2 1 2 1 1 2 2(,1,,2)n n n n n n N n N,
1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2
1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2
( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 )
( 1 ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
( 2 ) ( ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 )
( 1 ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) (
f n f n f n f n f n f n N
f n f n f n f n f n f n N
f n f n f n f n f n f n N
f n N f n f n N f n f n N f n
22
1)N
其中当 或 时,取22 1n n N2nn? 2 ( ) 0,fn?
显然此时序列 的长度为12( ) ( )f f n? 12 1,NN
并且卷积序列 可由下面 阶的12( ) ( )f f n? 12NN?
卷积矩阵次对角线方向上的元素之和给出,即
1 2 1 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ),f f n n f n f n
1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( ),f f n n f n f n f n f n
1 2 1 2 1 1 2 2( ) ( 2) ( ) ( 2)f f n n f n f n
1 1 2 2 1 1 2 2( 1 ) ( 1 ) ( 2) ( ),f n f n f n f n
1 2 1 1 2 2( ) ( 2)f f n N n N
1 1 1 2 2 2( 1 ) ( 1 ),f n N f n N
容易验证,序列的卷积同样满足交换律、分配律和结合律,
例 6.2 设
1 ( ) 1,2,3,4 ( 1,0,1,2 ),f n n
2 ( ) 1,0,1 ( 0,1,2 ),f n n
求卷积 12( ) ( ),f f n?
写出下面的 4?3阶卷积矩阵
1 1 1 0 1 ( 1 ) 1 0 1
2 1 2 0 2 ( 1 ) 2 0 2
.
3 1 3 0 3 ( 1 ) 3 0 3
4 1 4 0 4 ( 1 ) 4 0 4
卷积 的序列长度为 4+3-1=6,12( ) ( )f f n?解 运行下面的 MATLAB语句,
>> f1=[1 2 3 4];f2=[1 0 -1]; % 输入两个序列
>> F=conv(f1,f2)
F =
1 2 2 2 -3 -4
下面我们通过编写循环语句,利用卷积矩阵,将序列卷积过程按步骤进行演示,
作为一种程序设计语言,MATLAB提供一些用来控制程序的流程语言,其中包括 for循环语句结构,
所以
12( ) ( )f f n?
1,0 2,( 1 ) 0 3,( 2 ) 0 4,3 0,4
1,2,2,2,3,4 ( 1,0,1,2,3,4 ),n
本章内容总结函数卷积序列卷积单位阶跃函数矩形脉冲函数
d 函数几个典型函数交换率分配率结合率本章的重点
2,函数的卷积和序列的卷积
1,几个典型的函数第六章 完
Paul Adrien Maurice Dirac
(1902 – 1984)
英国物理学家,剑桥大学博士,
英国剑桥大学和美国佛罗里达州立大学教授,英国皇家学会会员,他创立量子电动力学,
建立狄拉克方程,曾预言存在正电子和反粒子,
Laurent Schwartz
法国数学家,1915年 9月 15日出生,
创立了广义函数论,在其它一些数学领域也有建树,35岁时获得数学最高奖 Fields奖,
§ 6.1 几个典型函数
§ 6.2 卷积的概念与性质主 要 内 容本章介绍几个以后经常要用到的典型的函数，以及函数的卷积和序列的卷积，
1 单位阶跃函数
2 矩形脉冲函数
§ 6.1 几个典型函数
3 d 函数
O t
u(t)
0t
.
O t
u(t)
6.1.1 单位阶跃函数单位阶跃函数 (简称阶跃函数,又称 Heaviside
函数 )定义为
1,0 ;()
0,0,
tut
t
显然,u(t)在 t=0处从 0跃变为 1.
延迟 t0的阶跃函数为
0
0
0
1,;
() 0,.
tt
u t t tt
利用阶跃函数可以将分段函数用一个表达式表示,例如设 1
20
30
( ),0 ;
( ) ( ),0 ;
( ),.
x t t
x t x t t t
x t t t
于是可以用阶跃函数表示为
1 2 0( ) ( ) [ 1 ( ) ] ( ) [ ( ) ( ) ]x t x t u t x t u t u t t
1 2 1 3 2 0( ) [ ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ( ) ] ( ),x t x t x t u t x t x t u t t
30( ) ( )x t u t t
6.1.2 矩形脉冲函数宽度为 t,幅度为 的矩形脉冲函数为( 0 )EE?,;
2
()
0,t,
2
Et
pt
t
t
t
o t
2t2t?
E
()ptt
.
.,
6.1.3 d 函数在物理学和工程技术中,除了连续分布量之外，
还有集中作用在一点的量,例如，点电荷、点热源、
质点、单位脉冲等,下面分析在原点处分布单位质量的情况,
如果一单位质量的物质均匀分布在原点的闭邻域 [-e,e]之内,这时 [-e,e]内的每一点的密度 1,2e? e? 1
,[,] ;
() 2
0,[,],
x
x
x
e
ee
e
ee
很自然,原点处分布单位质量的质点情形可认为是上述情形当 时的极限,并用 d (x)表示密0e
度分布的极限,在直观上可以看作
,0 ;()
0,0,
xx
xd
根据密度的定义，密度函数在区间内的积分应该是在此区间上分布的总质量,因此，应有
( ) d 1,xxd
针对这类问题,20世纪 30年代,英国物理学家
Dirac引进了满足以上性质的“函数”,称为,d 函数”
并且要求对任何连续函数 f (x),都有
( ) ( ) d ( 0 ),x f x x fd
但是,从古典意义下的函数积分概念来看,这些都是不合理的,因为?不是确定的数,它表明变量的变化趋势,所以,d (0)=+?无意义,而积分值与函数在个别点的值无关,这样,除一点外,处处为零的函数积分也应为零,从而,d 函数的上述性质在古典意义下都不可能成立,也是不合理的,因此,在很长一段时期,d 函数没有被数学家们接受,但以 Dirac
为代表的物理学家们继续使用这个“怪”函数,因为这个结论完全符合物理实验的结果,物理学家们觉得它是一个“很好用” 的有力工具,直到 20世纪 50年代，
法国数学家 L,Shwartz建立了广义函数的理论,在他的理论中,d 函数已不是通常意义下的函数,而属于更广泛意义下的函数,从而为 d 函数建立了坚实的理论基础,并且也使得这一类函数在数学的其他分支、物理学及其他工程技术中得到了广泛应用,
这些理论的建立是以泛函分析为基础的,下面仅作简单概括的介绍,
d 函数不是通常意义下的函数，而是满足一定条件下的函数在新的意义下的极限,这类极限称为弱极限,
设 是当 时,在()xed 0x?
0l i m ( ) 0,xee d
(,)
上可积的函数，并且对任何无穷可微的函数 f (x),有
0li m ( ) ( ) d ( 0 ),x f x x fee d?
特别地，当 时，( ) 1fx?
0li m ( ) 1,x d xee d?
满足这些条件的函数 称为 d 逼近函数,d 函()xed
数 d (x) 就是这类 d 逼近函数的弱极限,所谓弱极限,
就是对任何无穷可微函数 f (x),由极限式
0lim ( ) ( ) d ( 0 )x f x x fee d?
所确定的新的元素,把这样的新元素记为 d (x),并且规定 d (x)的积分 (已不是通常意义下的积分 )为
( ) d 1,xxd
除了上面已提到过的函数 1,[,] ;
() 2
0,[,]
x
x
x
e
ee
e
ee
外,还有很多不同的 d 逼近函数，例如
11 s i n
( ) ( 0 ),xHx xe e e?
22
1( ) ( 0 )Kx
xe
e e
e
等都是 d 逼近函数，其弱极限都是 d (x),
d (x)是具有以下性质的广义函数 (d 函数又称为单位脉冲函数,或称为 Dirac函数 )：
(1) 即 d 函数是偶函数,( ) ( ),xxdd
(2) 特别地，( ) ( ) d ( 0 )x f x x fd,( ) d 1xxd,
其中 f (x)是任意连续函数,更一般地
00( ) ( ) d ( ),x x f x x f xd
(3) d (x)是无穷可微函数,其导函数 也是广()()n xd
义函数,使得对任意无穷可微函数 f (x),有
( ) ( )( ) ( ) d ( 1 ) ( ) ( ) dn n nx f x x x f x xdd
()( 1 ) ( 0 ),nnf
(4) 其中 u(t)是单位( ) ( ) d,tu t x xd
( ) ( ),u t td
阶跃函数,
§ 6.2 卷积的概念与性质
1 函数的卷积
2 序列的卷积
6.2.1 函数的卷积定义 6.1 设函数 和 都是 上的1()ft 2()ft (,)
绝对可积函数,积分
12( ) ( ) df x f t x x
称为 函数 和 在区间 上 的卷积,记1()ft 2()ft (,)
为 或,即12( ) ( )f f t? 12( ) ( )f t f t?
1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d,f t f t f f t f x f t x x
如果 t<0 时,则卷积变为12( ) 0,( ) 0,f t f t
12( ) ( ) ( )f t f f t
0
1 2 1 20( ) ( ) d ( ) ( ) d
tf x f t x x f x f t x x
12( ) ( ) dt f x f t x x
120 ( ) ( ) d,
t f x f t x x
12( ) ( ) df x f t x x
这是 上的卷积公式,[0,)
例 6.1 求 和 在 上的1 ()f t t? 2 ( ) s i nf t t? [0,)
卷积,
解 由 上的卷积公式[0,)
12( ) ( ) s i nf t f t t t
0 s in ( ) d
t x t x x
0 0c o s ( ) c o s ( ) d
ttx t x t x x
s in,tt
卷积具有下面一些性质 (这里假定所有的广义积分均收敛,并且允许积分交换次序 ):
(1) 交换律 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( ),f t f t f t f t
证明 由卷积的定义
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) d,f t f t f x f t x x
令 则 并且,t x u d d,xu
1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( ) df t f t f u f t u u
2 1 2 1( ) ( ) d ( ) ( ),f u f t u u f t f t
(2) 分配律
1 2 3 1 2 1 3( ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ),f t f t f t f t f t f t f t
证明 由卷积的定义
1 2 3( ) ( ) ( )f t f t f t
1 2 1 3( ) ( ) d ( ) ( ) df x f t x x f x f t x x
1 2 3( ) ( ) ( ) df x f t x f t x x
1 2 1 3( ) ( ) ( ) ( ),f t f t f t f t
(3) 结合律
1 2 3 1 2 3[ ( ) ( ) ] ( ) ( ) [ ( ) ( ) ],f t f t f t f t f t f t
证明 由卷积的定义
1 2 3( ) ( ) ( )f t f t f t
1 2 3( ) ( ) ( ) df x f t x f t x x
1 2 3( ) ( ) ( ) d d,f x f u f t x u u x
令 则 并且,xu t d d,u t?
1 2 3( ) ( ) ( )f t f t f t
1 2 3( ) ( ) ( ) d d,f x f x f t xt t t
再交换积分次序可得
1 2 3( ) ( ) ( )f t f t f t
1 2 3( ) ( ) ( ) df f f tt t t t
1 2 3( ) ( ) d ( ) df x f x x f tt t t
1 2 3( ) ( ) ( ),f t f t f t
(4) 与单位脉冲函数的卷积设 f (t)是 上的连续函数,则(,)
( ) ( ) ( ),f t t f td
证明 由卷积的定义以及 d 函数的性质可得
( ) ( )f t td?
( ) ( ) df x t x xd
( ).ft?
6.2.2 序列的卷积定义 6.2 设 和 是两1()fn2 ( ) 0,1,2,f n n
个无限序列,并且 和 均绝对收敛,1 ()
n
fn
2 ()
n
fn
序列
12( ) ( ) ( 0,1,2,)
k
f k f n k n
称为 序列 和1()fn 2()fn的卷积,记为 或12( ) ( )f f n?
12( ) ( ),f n f n? 即
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( 0,1,2,),
k
f f n f k f n k n
在工程中常用有限序列的卷积,设
1 1 1 1 1 1( ),1,2,,1,f n n n n n n N
2 2 2 2 2 2( ),1,2,,1f n n n n n n N
是两个有限序列,记做
( ) ( ),( 1 ),( 2 ),,( 1 )i i i i i i i i i if n f n f n f n f n N
( 1,2 ),i?
这里正整数 N1和 N2分别叫做序列 和 的1()fn 2()fn
序列长度,n1和 n2是整数,
在序列的卷积公式
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( 0,1,2,),
k
f f n f k f n k n
中,当 或 时,取 1iin n Ninn?
( ) 0 1,2),if n i（
得到有限序列 和 的卷积公式为1()fn 2()fn
11
1
1
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )
nN
kn
f f n f k f n k
1 2 1 2 1 1 2 2(,1,,2)n n n n n n N n N,
1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2
1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2
( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 )
( 1 ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
( 2 ) ( ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 )
( 1 ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) (
f n f n f n f n f n f n N
f n f n f n f n f n f n N
f n f n f n f n f n f n N
f n N f n f n N f n f n N f n
22
1)N
其中当 或 时,取22 1n n N2nn? 2 ( ) 0,fn?
显然此时序列 的长度为12( ) ( )f f n? 12 1,NN
并且卷积序列 可由下面 阶的12( ) ( )f f n? 12NN?
卷积矩阵次对角线方向上的元素之和给出,即
1 2 1 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ),f f n n f n f n
1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( ),f f n n f n f n f n f n
1 2 1 2 1 1 2 2( ) ( 2) ( ) ( 2)f f n n f n f n
1 1 2 2 1 1 2 2( 1 ) ( 1 ) ( 2) ( ),f n f n f n f n
1 2 1 1 2 2( ) ( 2)f f n N n N
1 1 1 2 2 2( 1 ) ( 1 ),f n N f n N
容易验证,序列的卷积同样满足交换律、分配律和结合律,
例 6.2 设
1 ( ) 1,2,3,4 ( 1,0,1,2 ),f n n
2 ( ) 1,0,1 ( 0,1,2 ),f n n
求卷积 12( ) ( ),f f n?
写出下面的 4?3阶卷积矩阵
1 1 1 0 1 ( 1 ) 1 0 1
2 1 2 0 2 ( 1 ) 2 0 2
.
3 1 3 0 3 ( 1 ) 3 0 3
4 1 4 0 4 ( 1 ) 4 0 4
卷积 的序列长度为 4+3-1=6,12( ) ( )f f n?解 运行下面的 MATLAB语句,
>> f1=[1 2 3 4];f2=[1 0 -1]; % 输入两个序列
>> F=conv(f1,f2)
F =
1 2 2 2 -3 -4
下面我们通过编写循环语句,利用卷积矩阵,将序列卷积过程按步骤进行演示,
作为一种程序设计语言,MATLAB提供一些用来控制程序的流程语言,其中包括 for循环语句结构,
所以
12( ) ( )f f n?
1,0 2,( 1 ) 0 3,( 2 ) 0 4,3 0,4
1,2,2,2,3,4 ( 1,0,1,2,3,4 ),n
本章内容总结函数卷积序列卷积单位阶跃函数矩形脉冲函数
d 函数几个典型函数交换率分配率结合率本章的重点
2,函数的卷积和序列的卷积
1,几个典型的函数第六章 完
Paul Adrien Maurice Dirac
(1902 – 1984)
英国物理学家,剑桥大学博士,
英国剑桥大学和美国佛罗里达州立大学教授,英国皇家学会会员,他创立量子电动力学,
建立狄拉克方程,曾预言存在正电子和反粒子,
Laurent Schwartz
法国数学家,1915年 9月 15日出生,
创立了广义函数论,在其它一些数学领域也有建树,35岁时获得数学最高奖 Fields奖,
