第八章 Laplace变换
§ 8.4 Laplace变换的应用
§ 8.3 Laplace 逆变换
§ 8.2 Laplace变换的性质
§ 8.1 Laplace变换的概念主 要 内 容本章介绍 Laplace变换的概念、性质以及 Laplace逆变换,最后给出 Laplace变换一些应用的例子,
Fourier变换在许多领域中发挥着重要的作用,
但是在通常意义下,Fourier变换存在的条件需要实函数 f (t)在 (-?,+?)上绝对可积,很多常见的初等函数 (例如，常数函数、多项式函数、正弦与余弦函数等 )都不满足这个要求,另外，很多以时间 t 为为自变量的函数，当 t<0时，往往没有定义，或者不需要知道 t<0的情况,因此,Fourier变换在实际应用中受到一些限制,
当函数 f (t)在 t<0时没有定义或者不需要知道时,可以认为当 t<0时,f (t)?0,这时,Fourier
变换的表达式为
0[ ( ) ] ( ) d,
itf t f t e tF
但是仍然需要 f (t)在 [0,)上绝对可积的条件，
这个要求限制了它的应用,
对定义在 [0,) 上的函数 f (t),如果考虑
1 ( ) ( ) ( 0 ),tf t f t e
那么 1()ft容易满足在 [0,) 上绝对可积的要求,例如,()ft为常数、多项式、正弦与余弦函数时,
1 ( ) ( ) ( 0 )tf t f t e
都在 [0,)上绝对可积,这是因为 时,t te
是衰减速度很快的函数，称它为指数衰减函数,
如果 0 取得适当大，那么
1
( ),0()
0,0
tf t e t
ft
t
的 Fourier变换可能有意义,1()ft的 Fourier变换可表示为
()
00( ) d ( ) d,
t i t i tf t e e t f t e t
将 i 记为 s,可写成
0( ) ( ) d,
stF s f t e t
这就是本章要讨论的 Laplace变换,它放宽了对函数的限制并使之更适合工程实际,并且仍然保留
Fourier变换中许多好的性质,更实用、更方便,
1 Laplace变换的定义
2 周期函数和 d 函数的 Laplace变换
§ 8.1 Laplace变换的概念定义 8.1 设 ()ft在 0t? 上有定义,并且积分
0( ) ( ) d
stF s f t e t(s是复参变量 )关于某一范围
s 收敛，则由这个积分确定的函数
0( ) ( ) d,
stF s f t e t
称为函数 ()ft的 Laplace变换,并记做 [ ( )],ftL 即
0[ ( ) ] ( ) ( ) d,
stf t F s f t e tL
8.1.1 Laplace变换的定义的 像函数，()Fs称为 ()ft ()ft称为 ()Fs
的 像原函数,
已知 ()Fs是 ()ft的 Laplace变换，则记
1( ) [ ( ) ],f t F s L
并称 ()ft为 ()Fs的 Laplace逆变换,
00
11[ ( ) ] d,st stu t e t e
ss
L
因为在 Laplace变换中不必考虑 0t? 时的情况，
所以经常记作 1[1 ],s?L
例 8.1 求单位阶跃函数
1,0()
0,0
tut
t
的 Laplace变换,
根据 Laplace变换的定义,当 R e 0s? 时，解 运行下面的 MATLAB语句,
>> symst s
>> f=sym('Heaviside(t)');L=laplace(f)
L =
1/s
注 首先使用命令 syms来定义基本符号对象,否则默认的 t为时域变量,然后定义出原函数为 f,再调用
Laplace变换求解函数 L=laplace(),得出 f的 Laplace
变换式 L(s),Laplace逆变换求解函数为 ilaplace(),
得出 Laplace逆变换 f(t).
例 8.2 求指数函数 () atf t e? (其中 a是实数 )
的 Laplace变换,
()
00( ) [ ( ) ] [ ] d d,
a t a t s t s a tF s f t e e e t e tLL
这个积分当 Re sa? 时收敛，且
()
0
1d,s a tet
sa
所以 1
[ ] ( R e ),ate s asaL
根据 Laplace变换的定义解 运行下面的 MATLAB语句,
>> symst s a
>> f=exp(a*t);L=laplace(f)
L =
1/(s-a)
内分段连续,并且当 t时,()ft的增长速度不超过某一指数函数,即 存在常数 0M? 和 0 0,s?
使得在 [0,)上，
在定理 8.1 设函数 ()ft 0t? 的任何有限区间
0( ),stf t M e?
则在半平面 0Re ss?上,[ ( )]ftL 存在,且
( ) [ ( ) ]F s f t? L
是 s的解析函数,其中 0s 称为 ()ft的增长指数,
Laplace变换存在定理证明 对任何 0Re ss? 内的点 s,0R e,ss
故 绝对收敛，即
0( ) ( ) d
stF s f t e t
0
00( ) d d
sts t tf t e t M e e t
0()
0 0
d.st MM e t s
所以在 0Re ss?上,()ft的 Laplace变换存在,
可以证明 0Re ss? 上 的解析函数,且()Fs是
0( ) ( ) ( ) d,
stF s t f t e t
定理 8.2 如果 0 ( ) dstf t e t 在 1 1 1si
处收敛，则这个积分在 1Re s上处处收敛,且由这个积分确定的函数 ()Fs在 1Re s上解析；
如果 0 ( ) dstf t e t 在 2 2 2si处发散,则这个积分在 2Re s 上处处发散,
类似于幂级数中,有下面定理,定理 3.6 ( Abel 定理 ) 若级数 在0 nnn cz 1 0z?
处收敛，则当 时,级数 绝对收敛 ; 0 nnn cz1zz?
若级数 在 处发散，则当 时,级数0 nnn cz 2z 2zz?
0 nnn cz 发散,
根据定理 8.2，存在实数 s (或是)使得在
Re s s?上,积分 0 ( ) dstf t e t 收敛,而在 Re s s?
上，积分
0 ( ) d
stf t e t 处处发散,在收敛区域上，
Laplace变换的 像函数
( ) [ ( ) ]F s f t? L是 s的解析函数,O 实轴虚轴
s
例 8.3 求 ( ) sinf t t 的 Laplace变换,
Laplace变换存在，且
22 00 s in d [ s in c o s ]
st
st ee t t s t t
s
22,s
于是 22[ sin ] ( R e 0 ),tssL
类似可得 22[ c o s ] ( R e 0 ),stssL
因为 0( ) 1,f t e故在 R e 0s? 上，解 运行下面的 MATLAB语句,
>> symst s;symsomega
>> f=sin(omega*t);L=laplace(f)
L =
omega/(s^2+omega^2)
例 8.4 求 ( ) ( 1 )f t t的 Laplace变换,
解 如果?是正整数 m,则由分部积分法,易求得
1
! ( R e 0 ),m
m
mts
sL
方法,可求出当 1不是正整数时,利用复变函数论的
1
1[ ] ( 1 ) ( R e 0 ),ts
s
L
其中
0( 1 ) d
xx e x是?函数,
设 ()ft是以 T 为周期的函数,即
( ) ( ) ( 0 ),f t T f t t
且在一个周期内分段连续，则
( 1 )
0 0
[ ( ) ] ( ) d ( ) d,kTst st
kTk
f t f t e t f t e t
L
令,[ 0,),t k T T则
( 1 ) ()
0( ) d ( ) d,
k T Ts t s k T
kT f t e t f k T e
8.1.2 周期函数和 d 函数的 Laplace变换
( 1 )
0( ) d ( ) d,
k T Ts t k T s s
kT f t e t e f e
而当 R e 0s? 时,1,Tse 所以
( 1 )
000
( ) d ( ) dk T Tst kT s st
kTkk
f t e t e f t e t
0
1 ( ) d,
1
T st
sT f t e te
于是
0
1[ ( ) ] ( ) d,
1
T st
sTf t f t e te
L
这就是 周期函数的 Laplace变换公式,
例 8.5 求全波整流函数
( ) s i nf t t?的 Laplace变换,
0
1[ ( ) ] sin d
1
st
sf t e t te
L
2
0
1 ( sin c o s )
11
st
s
e tt
es
22
1 1 1 c t h,
1 1 1 2
s
s
es
e s s
所以由 周期函数的 Lap lace 变换公式
01[ ( ) ] ( ) d,1 T stsTf t f t e teL
()ft的周期,T解 运行下面的 MATLAB语句,
>> symst s
>> f=abs(sin(t));L=laplace(f)
L =
1/(s^2+1)*coth(1/2*pi*s)
t
f (t)
o? 2?
包含单位脉冲函数 ( ),td 积分理解为广义函数下如果满足 Laplace变换存在条件的函数 ()ft
在 0t? 处有界时，积分
0[ ( ) ] ( ) d
stf t f t e tL
的下限取 0? 或 0? 不影响其结果,如果在 0t? 处的积分时，取 0? 与 0? 是不同的,因为
0[ ( ) ] ( ) d,
stf t f t e t
L
0
00[ ( ) ] ( ) d ( ) d [ ( ) ],
s t s tf t f t e t f t e t f t?
LL
如果 ()ft在 0t? 附近有界或在通常意义下如果 在 0t? 处包含了单位脉冲函数时,则
0
0 ( ) d 0,
stf t e t?
即 [ ( ) ] [ ( ) ],f t f t
LL
因此把 0t? 上定义的函数延拓到 0t? 上,
0
0 ( ) d 0,
stf t e t?
即 [ ( ) ] [ ( ) ] ;f t f t
LL可积时，
并且把 Laplace变换定义为
0[ ( ) ] [ ( ) ] ( ) d,
stf t f t f t e t
LL
例 8.6 求单位脉冲函数 ()td 的 Laplace变换,
解 因为
( ) ( ) d ( 0 ),t f t t fd
[ ( ) ] [ ( ) ]ttddLL
0 ( ) d
stt e td
( ) d 1,stt e td
所以例 8.7 求 ( ) ( ) ( ) ( 0 )ttf t e t e u td
的 Laplace变换 (其中 ()ut为单位阶跃函数 ).
0[ ( ) ] ( ) ( ) d
t t s tf t e t e u t e td?
L
( ) ( )
00( ) d d
s t s tt e t e td?
()
0
1 1,
stes
s s s
由 Laplace变换的定义，当 Re s时，解 运行下面的 MATLAB语句,
>> symst s;symsbeta positive
>> g=sym('Dirac(t)');h=sym('Heaviside(t)');
>> f=exp(-beta*t)*g-beta*exp(-beta*t)*h;L=laplace(f)
L =
1-beta/(s+beta)
>> r=simple(L)
r =
s/(s+beta)
1 线性性质
3 像函数的微分性质
6 位移性质5 像函数的积分性质
2 微分性质
4 积分性质
7 延迟性质
10 卷积定理9 初值和终值定理
8 相似性质
§ 8.2 Laplace变换的性质以下假定所考虑的 Laplace 变换的像原函数都满足存在定理的条件,
(1) 线性性质 设?,? 是常数,11( ) [ ( ) ],F s f t? L
22( ) [ ( ) ],F s f t? L则
1 2 1 2[ ( ) ( ) ] ( ) ( )f t f t F s F sL
12[ ( ) ] [ ( ) ],f t f tLL
1 1 11 2 1 2[ ( ) ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ],F s F s F s F sL L L
由 Laplace变换的定义及积分的线性性质可证,
(2) 微分性质 设 ( ) [ ( ) ],F s f t? L则
[ ( ) ] ( ) ( 0 ),f t s F s fL
证明 根据 Laplace变换的定义和分部积分公式
0[ ( ) ] ( ) d
stf t f t e tL
0 0( ) ( ) d
s t s tf t e s f t e t
[ ( ) ] ( 0 )s f t fL
0( ) ( 0) ( R e ),s F s f s s
推论 对正整数 n,有
( ) 1 ( 1 )[ ( ) ] ( ) ( 0 ) ( 0 ),n n n nf t s F s s f fL
特别地，当 ( 1 )( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) 0nf f f时，
()[ ( ) ] ( ),nnf t s F s?L
在这个性质中，要求 ()()kft存在且满足 Laplace
变换存在定理的条件 ( 1 ),kn
( )证明 n=2时 laplace变换的微分性质证明 运行下面的 MATLAB语句,
>> symst s
>> y=sym('f(t)');L=laplace(diff(y,t,2))
L =
s*(s*laplace(f(t),t,s)-f(0))-D(f)(0)
22[ c o s ] [ c o s ] ( 0 ) ( 0 ),t s t s f fLL
例 8.8 求 ( ) c osf t t 的 Laplace变换,
解 因为
2( 0 ) 1,( 0 ) 0,( ) c o s t,f f f t
22[ c o s ] [ c o s ],t s t sLL
所以 22[ c os ],st sL
使用同样方法，可得 22[ sin ],t sL
参见例 8.3,与这里方法不同根据 和线性性质微分性质对正整数 n,有
( ) 1 ( 1 )[ ( ) ] ( ) ( 0 ) ( 0 ),n n n nf t s F s s f fL
特别地，当 ( 1 )( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) 0nf f f时，
()[ ( ) ] ( ),nnf t s F s?L
例 8.9 求 2( ) s i nf t t t的 Laplace变换,
解 根据线性性质与 例 8.8 及例 8.4
22[ c os ],st sL 22[ si n ],t sL
例 8.8
例 8.4
1! ( R e 0 ),m mmtssL
2[ s i n ]ttL
2[ ] [ s i n ]ttLL
3 2 2
2!,
ss
利用 也可以求出当 m是正整数时，微分性质对正整数 n,有
( ) 1 ( 1 )[ ( ) ] ( ) ( 0 ) ( 0 ),n n n nf t s F s s f fL
特别地，当 ( 1 )( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) 0nf f f时，
()[ ( ) ] ( ),nnf t s F s?L 1
!,m
m
mt
sL
参见例 8.4
事实上,设 ( ),mf t t? 则
( 1 )( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) 0,mf f f
因为 () ( ) !,mf t m? 1[1 ],s?L 所以
! [ 1 ] [ ],mmm s t?LL
于是 1!,m mmt sL
(3) 像函数的微分性质 设 ( ) [ ( ) ],F s f t? L则
( ) [ ( ) ],F s tf t L
一般地，对正整数 n,有
() ( ) ( 1 ) [ ( ) ],n n nF s t f t L
证明 对解析函数
0( ) ( ) d
stF s f t e t
求导,右端求导时可在积分号下进行，即得,
例 8.10 求 ( ) sinf t t t 的 Laplace变换,
d[ sin ] [ sin ]
dt t tsLL
2 2 2 2 2
d2,
d ( )
s
s s s
使用同样方法，可得
22
2 2 2
d[ c o s ] [ c o s ],
d ( )
st t t
ss
LL
根据 与像函数的微分性质设 ( ) [ ( ) ],F s f t? L则( ) [ ( ) ],F s tf t L
一般地，对正整数 n,有() ( ) ( 1 ) [ ( ) ],n n nF s t f t L
例 8.8
22[c os ],st sL
22[si n ],t sL
解 运行下面的 MATLAB语句,
>> symst s a
>> f=t*sin(a*t);L=laplace(f)
L =
1/(s^2+a^2)*sin(2*atan(a/s))
>> simple(L) % 这时使用各种化简函数,供比较
simplify:
1/(s^2+a^2)*sin(2*atan(a/s))
(4) 积分性质 设 ( ) [ ( ) ],F s f t? L则
0
1( ) d ( ),t f t t F s
s
L
证明 设 0( ) ( ) d,tt f t t则
( ) ( ),( 0 ) 0,t f t
故由 微分性质对正整数 n,有
( ) 1 ( 1 )[ ( ) ] ( ) ( 0 ) ( 0 ),n n n nf t s F s s f fL
特别地，当 ( 1 )( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) 0nf f f时，
()[ ( ) ] ( ),nnf t s F s?L 0
[ ( ) ] ( ) d ( 0),tf t s f t tLL
于是结论得证,一般地，对 n次积分有
0 0 0
1d d ( ) d ( ),t t t
nt t f t t F ss
L
(5) 位移性质 设 ( ) [ ( ) ],F s f t? L则
0[ ( ) ] ( ) R e ( ),ate f t F s a s a sL
其中 0s 是 ()ft的增长指数,
证明 根据定义，有
0[ ( ) ] ( ) d
a t a t s te f t e f t e tL
()
0 ( ) d ( ),
s a tf t e t F s a
例 8.11 求 [ s i n ]att e a tL 和 [ c o s ],att e a tL
2 2 2
2[ sin ],
()
ast a t
saL
故根据 位移性质设 ( ) [ ( ) ],F s f t? L则 0[ ( ) ] ( ) ( R e ( ) ),ate f t F s a s a sL
其中 0s 是 ()ft的增长指数,
2 2 2
2 ( )[ s in ],
[ ( ) ]
at a s ate a t
s a a
L
使用同样方法，可得
22
2 2 2 2 2 2
( ) ( 2 )[ c o s ],
[ ( ) ] [ ( ) ]
at s a a s s ate a t
s a a s a a
L
由 例 8.10
2 2 22[ sin ],()stt sL
222 2 2[ c o s ],stt sL
解 运行下面的 MATLAB语句,>> symst s a
>> f=t*exp(a*t)*sin(a*t);L=laplace(f)L =
2*a/((s-a)^2+a^2)^2*(s-a)>> g=t*exp(a*t)*cos(a*t);L=laplace(g)
L =-1/((s-a)^2+a^2)+2*(s-a)^2/((s-a)^2+a^2)^2
>> r=simple(L)r =
-s*(-s+2*a)/(s^2-2*s*a+2*a^2)^2
例 8.12 求 0 s i n d,t att e a t tL
2 2 20
2 ( )s in d,
[ ( ) ]
t at a s ate a t t
s s a a
L
使用同样方法，可得
2 2 20
2c o s d,
[ ( ) ]
t at sate a t t
s a a
L
根据 例 8.11
2 2 22 ( )[ s in ],[ ( ) ]at a s ate a t s a aL
2 2 2( 2 )[ c o s ],[ ( ) ]at s s ate a t s a aL
与 积分性质设 ( ) [ ( ) ],F s f t? L则
0 1( ) d ( ),t f t t F ssL
解 运行下面的 MATLAB语句,>> symst s x a
>> f=int(x*exp(a*x)*sin(a*x),0,t);L=laplace(f)L =
1/2/a^2*(-a*(-1/((s-a)^2+a^2)+2*(s-a)^2/((s-a)^2+a^2)^2)+(s-a)/((s-a)^2+a^2)+2*a^2/((s-
a)^2+a^2)^2*(s-a)-1/s)>> r=simple(L)
r =-2*a*(-s+a)/(s^2-2*s*a+2*a^2)^2/s
(6) 像函数的积分性质 设 ( ) [ ( ) ],F s f t? L且
0
()lim
t
ft
t 存在，积分 ( ) ds F u u
收敛，则
()( ) d,
s
ftF u u
t
L
证明 根据,解析函数的惟一性定理推论 3.3 设函数 与 在区域 D 内解析,()fz ()gz ( 1,2,)nzn?是 D 内的点列,( ),mnz z m n并且
00( ),.nz z n z D如果 ( ) ( ) ( 1,2,),nnf z g z n则在 D 内,( ) ( ),f z g z?
推论 3.3 说明了解析函数一个非常重要的特性,它指出定义在区域 D 内的两个解析函数，只要在 D 内的某一部分 ( 子区域或孤段 ) 上的值相等，则它们在整个区域 D 上的值相等,
u取在正实轴从 s 到 则,
0( ) d d ( ) d
ut
ssF u u u f t e t
00
( ) ( )( ) d d d,ut ut
s
f t f tf t t e u e t
tt
L
推论 如果像函数积分性质的条件满足,且积分
0
() dft t
t
收敛，则
00
() d ( ) d,ft t F s s
t
事实上，对于像函数积分性质
()( ) d,
s
ftF u u
t
L
令 0s 即可,
例 8.13 求 sin() tft t? 的 Laplace变换，并
0
sin d.t t
t
求积分解 由 已知例 8.3
22[ sin ] ( R e 0 ),tssL
22[ c o s ] ( R e 0 ),ssL
2
1[ sin ],
1t sL 故根据像函数的积分性质设 ( ) [ ( ) ],F s f t? L且 0 ()limt ftt 存在，积分( ) d
s F u u 收敛，则 ()( ) d,
s ftF u u t L
2
sin 1 d a r c t a n
12s
t ss
ts
L
再利用 像函数的积分性质的推论如果像函数积分性质的条件满足,且积分 0 () dft tt 收敛，则
00 () d ( ) d,ft t F s st 200
sin 1d d,
12
t ts
ts
(7) 延迟性质 设 ( ) [ ( ) ],F s f t? L若当 时,0t?
( ) 0,ft? 则对任何非负实数?,有
[ ( ) ] ( ),sf t e F sL
证明 根据定义
0[ ( ) ] ( ) d
stf t f t e tL
0 ( ) d ( ) d,
s t s tf t e t f t e t?
因为当 t<0 时,( ) 0,ft? 所以在 [0,]? 上,有
( ) 0,ft从而
O t?
f (t)
f (t)
利用单位阶跃函数 ( ),ut 可以将
[ ( ) ] ( ) dstf t f t e tL
()
00( ) d ( ) d
u s s u sf u e u e f u e u
0( ) R e,se F s s s
[ ( ) ] ( ),sf t e F sL
写成
[ ( ) ( ) ] ( ),sf t u t e F sL
例 8.14 求如图所示阶梯函数的 Laplace变换,
解法 1 利用 Heaviside函数
1,0()
0,0
tut
t
图中的函数 ()ft可表示为
( ) [ ( ) ( ) ( 2 ) ]f t A u t u t u t
0
( ).
k
A u t k?
因为 1[ ( ) ],ut s?L 所以由 延迟性质设 ( ) [ ( ) ],F s f t? L若当 时,0t?( ) 0,ft?
则对任何非负实数?,有[ ( ) ] ( ),sf t e F sL
4A
3A
2A
A
2? 3? t
f (t)
O
1[ ( ) ],ksu t k e
s
L
再注意到 1 ( R e 0),ses于是
0
[ ( ) ] ( 1 )ks s
k
AAf t e
s s e
22
1
( 1 ) ( 1 )ss
A
s ee
1 c t h ( R e 0 ),22As ss
解法 2 ( ) ( ),A Atf t t f t则 () Atft
是以?为周期的函数,由 周期函数的 Lap lace 变换公式
01[ ( ) ] ( ) d,1 T stsTf t f t e teL
0
1[ ( ) ] [ ] ( ) d
1
st
s
A Atf t t f t e t
e
LL
2 0
11 d
1
st
s
AA A t e t
se
22
0
1 1 1
1
st
s
A A t e
s e s s s
2 2 2
1 1 1 1
[ ( ) ]
1
s
s
AA
f t e
s e s s s
L
1 1 c t h,
1 2 2s
A A s
s e s?
(8) 相似性质 设 ( ) [ ( ) ],F s f t? L则
1[ ( ) ] ( 0 ),sf a t F a
aa
L 其中 0R e,s a s?
0
11[ ( ) ] ( ) d,s ua sf a t f u e u F
a a a
L
证明 根据定义 0[ ( ) ] ( ) d,stf a t f a t e tL 故例 8.15 求 [ ( 5 )]utL 和 [ ( 5 2 ) ],ut?L
1 1 1[ ( 5 ) ],
5
5
ut s
s
L
实际上,由 ( 5 ) ( ),u t u t?可直接得到结论,又由于
2( 5 2 ) 5,
5u t u t
故由 和延迟性质设 ( ) [ ( ) ],F s f t? L若当 时,0t?( ) 0,ft?
则对任何非负实数?,有[ ( ) ] ( ),sf t e F sL
相似性质设 ( ) [ ( ) ],F s f t? L则 1[ ( ) ] ( 0 ),sf a t F aaa
L
其中 0R e,s a s?
22
55 1[ ( 5 2 ) ] [ ( 5 ) ],ssu t e u t e
s
LL
因为 1[ ( ) ],ut s?L 所以解 运行下面的 MATLAB语句,
>> symst s>> h=sym('Heaviside(5*t)');L=laplace(h)
L =1/s
>> g=sym('Heaviside(5*t-2)');L=laplace(g)L =
exp(-2/5*s)/s
(9) 初值定理和终值定理初值定理则设 ( ) [ ( ) ],F s f t? L且 lim ( )s s F s 存在,
( 0) l i m ( ),sf s F s
终值定理 设 ( ) [ ( ) ],F s f t? L且 ()sF s 的所有奇点都在 s平面的左半部，则
0l i m ( ) l i m ( ),tsf t s F s
下面介绍 Laplace变换的卷积性质 — 卷积定理,
Laplace变换的卷积性质不仅能用来求出某些函数的 Laplace逆变换,而且在线性系统的研究中起着重要作用,
因为在 Laplace变换中,总认为 t <0时像原函数恒为零,因此,()ft 1()ft与 2()ft的卷积为
1 2 1 2 1 20( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d,tf t f t f f t f f t
卷积定理 设 1()ft和 2()ft满足 Laplace变换存在的条件，即存在 0M? 和 0 0,s? 使得
0012( ),( ),s t s tf t M e f t M e
如果
1 1 2 2( ) [ ( ) ],( ) [ ( ) ],F s f t F s f tLL
则
1 2 1 2( ) ( ) ( ),f f t F s F sL
或
1 1 2 1 2( ) ( ) ( ),F s F s f f tL
证明 当 1()ft和 2()ft分段连续时，其卷积
12 ()f f t? 也是分段连续的,不妨设 0 1,s? 由于
1 2 1 200( ) ( ) d ( ) ( ) d
ttf f t f f t
0 0 0 0( ) 222
0 d,
t s s t s t s tM e M e M te M e
因此,12 ()f f t? 也满足 Laplace变换存在的条件,
12( ) ( ) d d,
st
A
f f t e t
其中 A是 tO? 平面内 t 轴和第一象限的角平分线
t 围成的角形区域,
交换积分次序
1 2 1 200( ) ( ) ( ) d d,t stf f t f f t e tL
t
tO
A
120 ( ) d ( ) d
stf f t e t
()
1200( ) d ( ) d
usf f u e u
1200( ) d ( ) d
s s uf e f u e u
1 2 1 2[ ( ) ] [ ( ) ] ( ) ( ),f t f t F s F sLL
1 2 1 2( ) ( ) ( ) d dst
A
f f t f f t e t
120 d ( ) ( ) d
stf f t e t
t
tO
A
例 8.16 设 ( ) [ ( ) ],F s f t? L利用卷积定理证明 Laplace变换的积分性质
0
1( ) d ( ),t f F s
s
L
证明 设 12( ) ( ),( ) 1,f t f t f t则
12
1( ) ( ),( ),f t F s f t
sL L
于是
12 0 1( ) ( ) d ( ),tf f t f F ssLL
应用卷积定理可求某些 Laplace逆变换,
例 8.17 求
1,
t
L 并证明
21
0
12 d.
( 1 )
ttue e u
ss?
L
2
1
2
00
1 d 2 d,
2
xtΓ x e x e t
故根据 例 8.4
11[ ] ( 1 ) ( R e 0 ),tssL
其中 0( 1 ) dxx e x是?函数,
因为解 运行下面的 MATLAB语句,
>> symst s
>> f=1/sqrt(t);L=laplace(f)
L =
(pi/s)^(1/2)
1
2
1
1 2
.
Γ
ts
s
L
根据 位移性质设 ( ) [ ( ) ],F s f t? L则 0[ ( ) ] ( ) ( R e ( ) ),ate f t F s a s a sL
其中 0s 是 ()ft的增长指数,
1[ ],
1
te
sL
1 11
( 1 )
te
s s t?
L
0
1 dt te
2
0
2 d.ttue e u
0
11 dttee
则由卷积定理 设 1()ft和 2()ft满足 Lap l ac e 变换存在的条件，即存在 0M?和 0 0,s?使得 0012( ),( ),s t s tf t Me f t Me
如果 1 1 2 2( ) [ ( )],( ) [ ( )],F s f t F s f tLL
则1 2 1 2( ) ( ) ( ),f f t F s F sL
或1 1 2 1 2( ) ( ) ( ).F s F s f f tL
例 8.18 若 221( ),( 1 )Fs ss求 1( ) [ ( ) ],f t F s L
111 1 2 2( ) [ ( ) ],( ) [ ( ) ] s i n,f t F s t f t F s tLL
11 1 2 1 2[ ( ) ] [ ( ) ( ) ] ( )F s F s F s f f tLL
s i n s i n,t t t t
令 12 2211( ) ( ),1F s F sss则解 运行下面的 MATLAB语句,
>> symst s>> F=1/(s^2*(1+s^2));f=ilaplace(F)
f =t-sin(t)
故根据 及,有卷积定理 设 1()ft和 2()ft满足 Lap lac e 变换存在的条件，即存在 0M?和 00,s?使得 0012( ),( ),s t s tf t Me f t Me
如果 1 1 2 2( ) [ ( )],( ) [ ( )],F s f t F s f tLL
则1 2 1 2( ) ( ) ( ),f f t F s F sL
或1 1 2 1 2( ) ( ) ( ).F s F s f f tL
例 6.1
0s in s in ( ) d s in,tt t x t x x t t
例 8.19 求
2
1
22,( 1 )
s
s
L
2
11
2 2 2 2 c os c os( 1 ) 1 1
s s s tt
s s s
LL
00
1c o s c o s( ) d [ c o s c o s( 2 ) ] d
2
tt t t t
1 ( c o s sin ),
2 t t t
因为 2[ c o s ],1st sL解 运行下面的 MATLAB语句,>> symst s
>> F=s^2/(s^2+1)^2;f=ilaplace(F)f =
1/2*t*cos(t)+1/2*sin(t)
故由,
卷积定理 设 1()ft和 2()ft满足 Lap l ac e 变换存在的条件，即存在 0M?和 0 0,s?使得 0012( ),( ),s t s tf t Me f t Me
如果 1 1 2 2( ) [ ( )],( ) [ ( )],F s f t F s f tLL
则1 2 1 2( ) ( ) ( ),f f t F s F sL
或1 1 2 1 2( ) ( ) ( ).F s F s f f tL
例 8.20 设 221( ),( 4 1 3 )ft ssL 求 ( ).ft
1 1 2
2 2 2
33 s in 3,
4 1 3 ( 2 ) 3
tet
s s s
LL
221( ) ( sin 3 ) ( sin 3 )
9
ttf t e t e t
21 ( sin 3 3 c os 3 ),
54
te t t t
由 位移性质设 ( ) [ ( ) ],F s f t? L则 0[ ( ) ] ( ) ( R e ( ) ),ate f t F s a s a sL
其中 0s 是 ()ft的增长指数,
解 运行下面的 MATLAB语句,
>> symst s
>> F=1/(s^2+4*s+13)^2;f=ilaplace(F)
f =
-1/18*exp(-2*t)*t*cos(3*t)+1/54*exp(-2*t)*sin(3*t)
>> r=simple(f)
r =
-1/54*exp(-2*t)*(3*t*cos(3*t)-sin(3*t))因此，根据卷积定理 设 1()ft和 2()ft满足 Lap l ac e 变换存在的条件，即存在 0M?和 0 0,s?使得 0012( ),( ),s t s tf t Me f t Me
如果 1 1 2 2( ) [ ( )],( ) [ ( )],F s f t F s f tLL
则1 2 1 2( ) ( ) ( ),f f t F s F sL
或1 1 2 1 2( ) ( ) ( ).F s F s f f tL
§ 8.3 Laplace 逆变换由例 8.17 — 例 8.20可见,应用 Laplace变换的性质,特别是卷积定理，能够解决某些 Laplace逆变换问题,但是当 比较复杂时,仅用前面的()Fs
方法是不够的,因此,本节给出 Laplace逆变换积分表达式，应用复变函数论中的留数理论作为工具，
给出一种较一般的方法,
( ) [ ( ) ]F s f t? L已知 在收敛域内解析,但并不是所有解析函数都是某一函数的 Laplace变换像函数,例如，由初值定理可以看出,多项式不存在 Laplace逆变换,由,Re l i m ( ) 0,s Fs初值定理设 ( ) [ ( ) ],F s f t? L且 lim ( )s sF s 存在,
则 ( 0) l i m ( ),sf s F s这实际上是 ()Fs存在 Laplace逆变换的必要条件,
另外，函数 ()ft的 Laplace变换实际上就是
( ) ( ) tf t u t e的 Fourier变换,因此,当 ( ) ( ) tf t u t e
满足 Fourier积分定理的条件时,根据 Fourier积分公式,()ft在连续点处
1( ) ( ) ( ) ( ) d d
2
t i i tf t u t e f u e e e
()
0
1 d ( ) d
2
i t ie f e
1 ( ) d ( 0 ),
2
itF i e t
在等式两端同乘以,te? 故当 t>0时,
()1( ) ( ) d,
2
itf t F i e
令,is则
1( ) ( ) d ( 0 ),
2
i st
if t F s e s ti
其中 0,s 0s 是 ()ft的增长指数,
0 x
y
积分路径是在右半平面 0Re ss?上的任意一条直线 R e,s
这就是 Laplace逆变换的一般公式,称为 Laplace 变换的 反演积分,这是复变函数的积分,在一定条件下,可利用留数来计算,
定理 8.3 设 12,,,ns s s是 ()Fs的所有孤立奇点 (有限个 ),除这些点外,()Fs处处解析,且存在 0 0,R? 当 0||sR? 时,( ) ( | |),F s M s?其中 ()Mr
是 r 的实函数,且 li m ( ) 0,r Mr选取,? 使 所有孤立奇点都在 Re s 内,则当 0t? 时，
1
1 ( ) d R e s [ ( ),]
2
ni
st st
ki
k
F s e s F s e si?
利用留数求 Laplace逆变换的公式
O
x
y
CR
+iR
iR
奇点证明 取 0R? 充分大,
使得 12,,,ns s s都在圆弧
RC 和直线 Re s 所围成的区域内,因为 ste 是全平面上的解析函数，因此,12,,,ns s s是 () stF s e 的孤立奇点,除这些奇点之外,() stF s e 处处解析,
1
1 ( ) ( ) d R e s [ ( ),],
2
R
niR
s t s t s t
kiR
kC
F s e d s F s e s F s e s
i
于是，根据 定理 4.5 ( 留数基本定理 ) 设函数 f ( z ) 在区域 D
内除有限个孤立奇点 12,,,nz z z外处处解析,C 是 D
内包含所有奇点在其内部的分段光滑正向 Jor dan
曲线,则
1( ) d 2 R e s ( ),.
n k
kC f z z i f z z
根据留数基本定理,函数在闭曲线 f ( z ) 上的积分可归结为函数在曲线内部各孤立奇点处留数的计算问题,
lim ( ) d 0 ( 0 ),
R
st
R C
F s e s t
令,R得
1
1 ( ) d R e s [ ( ),],
2
ni
st st
ki
k
F s e s F s e si?
特别当 ()Fs是有理函数，且为分母 次数高于分子次数的有理真分式，则 Laplace逆变换存在，
1
1
( ) ( ) R e s [ ( ),],
n
st
k
k
f t F s F s e s?
L
利用 Jo rdan 引理的另一种形式设 f ( z ) 在区域 上解析,且当00,Rez R z
是实常数,M ( r ) 是 r 的实值函数,且 则li m ( ) 0,r Mr
lim ( ) d 0,R mzR C f z e z
R
O
x
y
C R
时,其中 是常数,是0zR( ),f z M z? 0 0R? 0?
对任何实数 m >0,
其中 0 0 0:RC z R R
逆时针方向,0R e,z
例 8.21 求 2() 1sFs s的 Laplace逆变换,
解 si 是 2 1 sts es? 的 1级极点,由计算留数的法则，
2
1R e s,,
1 2 2
st
st it
si
s see i e
ss
1 22( ) R e s,R e s,11s t s tssF s e i e issL
1 ( ) c o s,
2
it ite e t
例 8.22 求 21() ( 1 )Fs ss的 Laplace逆变换,
解和 2级极点,
1 0s? 和 2 1s? 分别是 2
1
( 1 )
ste
ss? 的 1级故由计算留数的法则
22 0
1R e s,0 li m 1,
( 1 ) ( 1 )
st
st
s
ee
s s s?
2 1
1R e s,1 lim ( 1 ),
( 1 )
st
s t t
s
ee e t
s s s?
1
2
1 1 ( 1 ) ( 0 ),
( 1 )
te t t
ss
L
例 8.23 求 1 32,( 1 ) ( 1 )
s
ss
L
解 1 1s 和 2 1s? 分别是 32( 1 ) ( 1 ) sts ess
的 3级和 2级极点,故由计算留数的法则
2
3 2 2 21
1dR e s,1 li m
( 1 ) ( 1 ) 2 ! d ( 1 )
s t s t
s
ssee
s s s s
2( 1 2 ),
16
te
t
3 2 31
dR e s,1 li m
( 1 ) ( 1 ) d ( 1 )
s t s t
s
ss ee
s s s s?
( 2 1 ),16
te
t
12
32
1 ( 1 2 ) ( 2 1 ),
( 1 ) ( 1 ) 1 6
tts e t e t
ss
L
当 ()Fs是有理函数时,可把它 化为部分分式再求逆变换，一般来说这样更为方便,
例 8.24 求
2
3
5 1 5 1 1()
( 1 ) ( 2 )
ssFs
ss
的 Laplace
逆变换,
解法 1 1 1s和 2 2s? 分别是 () stF s e 的 1级和 3级极点,故由计算留数的法则
2
31
5 1 5 1 1 1R e s ( ),1 lim,
( 2 ) 3
s t s t t
s
ssF s e e e
s
22
22
1 d 5 15 11R e s ( ),2 l i m
2 ! d 1
st st
s
ssF s e e
ss?
2 2 2 2174.
32
t t te te t e
2
22
1 d 9li m 5 2 0
2 ! d 1
st
s
sess
322
1 18 9li m 2 5
2 ! ( 1 ) ( 1 )
st st
s
e t ess
295 2 0
1
sts t e
s
2
1 2 2
3
5 15 11 1 1 74.
( 1 ) ( 2 ) 3 3 2
ttss e t t e
ss
L
解法 2 ()Fs可分解为形如
2
3 3 2
5 1 5 1 1,
( 1 ) ( 2 ) 1 ( 2 ) ( 2 ) 2
s s A B C D
s s s s s s
可以求得
11,7,4,.
33A B C D
因为 1 !,()a t n nnet saL 所以
2
1 2 2 2 2
3
5 15 11 1 7 14.
( 1 ) ( 2 ) 3 2 3
t t t tss e t e t e e
ss
L
到目前为止,已介绍了多种求 Laplace逆变换的方法,例如,利用卷积定理 ; 利用留数定理 ; 利用部分分式等,在使用时,应该根据具体情形采用简便的方法,有时也可以利用 Laplace变换的一些基本性质,在以上方法中，除利用留数定理之外,
都需要知道一些最基本的 Laplace 变换的像函数和像原函数,
例 8.25 求
22
1
2 2 2 ( 0 ),()
sa a
sa
L
解 因为
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
d 1 2,
d ( ) ( )
s s a s
s s a s a s a s a
22 d[ c o s ],( ) ( ),dsa t tf t f ts a sLL
所以
22
1
2 2 2 c os,()
sa t at
sa
L
§ 8.4 Laplace变换的应用
Laplace变换在线性系统的分析和研究中起着重要作用,线性系统在许多场合，可以用线性常微分方程来描述,这类系统在电路原理和自动控制理论中，都占有重要地位,
方程和方程组特解的方法,
下面首先介绍利用 Laplace变换求线性常微分像原函数
(常微分方程的解 ) 像函数常微分方程 像函数的代数方程
Laplace逆变换
Laplace变换解代数方程对所给方程的两端进行 Laplace变换,根据
Laplace变换的性质 (如微分性质 ),得出有关像函数的代数方程,从而求出未知函数的像函数,最后通过求其逆变换,得出所给方程的解,
例 8.26 求常系数线性微分方程的初值问题
( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 c o s
( 0 ) ( 0 ) 0
tx t x t x t e t
xx
的解,
基本思路解 设 ( ) [ ( ) ]X s x t? L是初值问题解 ()xt 的
Laplace变换的像,对方程两边进行 Laplace变换，
根据 和初值条件,微分性质对正整数 n,有
( ) 1 ( 1 )[ ( ) ] ( ) ( 0 ) ( 0 ),n n n nf t s F s s f fL
特别地，当 ( 1 )( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) 0nf f f时，
()[ ( ) ] ( ),nnf t s F s?L
2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) [ 2 c o s ],ts X s s X s X s e t L
利用 2[ c o s ] 1st sL 及 位移性质设 ( ) [ ( ) ],F s f t? L则 0[ ( ) ] ( ) ( R e ( ) ),ate f t F s a s a sL
其中 0s 是 ()ft的增长指数,
2
2 ( 1 )[ 2 c o s ],
( 1 ) 1
t set
s
L
2 2 2
2 ( 1 ) 1( ),
[ ( 1 ) 1 ] ( 1 ) 1
sXs
ss
因为 2 1[ sin ],1t sL 所以
2
1[ sin ],
( 1 ) 1
tet
sL
由 像函数的微分性质设 ( ) [ ( ) ],F s f t? L则( ) [ ( ) ],F s tf t L
一般地，对正整数 n,有() ( ) ( 1 ) [ ( ) ],n n nF s t f t L
2
1[ si n ],
( 1 ) 1
tte t
s
L
于是 11
2 2 2
2 ( 1 ) 1
()
[ ( 1 ) 1 ] ( 1 ) 1
s
xt
ss
LL
si n,tte t?
例 8.27 求积分方程
0( ) ( ) s in ( ) d
ty t a t y t
的解,
解 设 ( ) [ ( ) ],Y s y t? L因为
0 ( ) s in ( ) d ( ) s in,
t y t y t t
对方程两边进行 Laplace变换，根据卷积定理 设 1()ft和 2()ft满足 Laplace 变换存在的条件，即存在 0M? 和 0 0,s? 使得
0012( ),( ),s t s tf t M e f t M e
如果
1 1 2 2( ) [ ( ) ],( ) [ ( ) ],F s f t F s f tLL
则
1 2 1 2( ) ( ) ( ),f f t F s F sL
或1
1 2 1 2( ) ( ) ( ),F s F s f f tL
以及 2 1[ sin ],1t sL 有
22
()( ),
1
a Y sYs
ss
解出 ( ),Ys 得
2
4 2 4
( 1 )( ),a s a aYs
s s s
再求逆变换，从而
31( ),
6y t a t t
例 8.28 求一阶微分方程组
2
2
2 2 1 0
27
t
t
x x y e
x y y e
满足初值条件 ( 0 ) 1,( 0 ) 3xy的解,
解 设 ( ),( )x t y t是所要求的解，记
( ) [ ( ) ],( ) [ ( ) ],X s x t Y s y tLL
对方程组两边进行 Laplace变换,由 和微分性质对正整数 n,有
( ) 1 ( 1 )[ ( ) ] ( ) ( 0 ) ( 0 ),n n n nf t s F s s f fL
特别地，当 ( 1 )( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) 0nf f f时，
()[ ( ) ] ( ),nnf t s F s?L
初值条件
10
( ) 1 2 ( ) 2 ( ),
2
7
2 ( ) ( ) 3 ( ),
2
s X s X s Y s
s
X s s Y s Y s
s
8
( 2 ) ( ) 2 ( ),
2
31
2 ( ) ( 1 ) ( ),
2
s
s X s Y s
s
s
X s s Y s
s
解线性方程组，得 13( ),( ),22X s Y sss
求 Laplace逆变换,22( ),( ) 3,ttx t e y t e
整理得例 8.29 求二阶微分方程组
2
22
ty x x y e
y x y x t
满足初值条件
( 0 ) ( 0 ) 0
( 0 ) ( 0 ) 0
yy
xx
的解,
解 设 ( ),( )x t y t是所要求的解，记
( ) [ ( ) ],( ) [ ( ) ],X s x t Y s y tLL
对方程组两边求 Laplace变换,并考虑初值条件，
则得
22
22
2
12
( ) ( ) ( ) ( ),
1
1
2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ),
s Y s s X s s X s Y s
ss
s Y s s X s s Y s X s
s
整理化简后为
2
2
2
( 1 ) ( ) ( ),
( 1 )
1
2 ( ) ( 1 ) ( ),
( 1 )
s
s Y s sX s
ss
sY s s X s
ss
解这个代数方程组，即得
2 2 2
2 1 1( ),( ),
( 1 ) ( 1 )
sX s Y s
s s s s
根据例 8.22,
1
2
1( ) 1,
( 1 )
tty t te e
ss
L
2 2 2 2
2 1 1 1()
( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
sXs
s s s s s s
2
1 1 1( ),
1Ys s s s
故 ( ) ( ) 1,ttx t y t e t t e t于是方程的解为
( ),( ) 1,t t tx t t e t y t t e e
从以上例子可以看出,利用 Laplace变换求解常系数微分方程和方程组时，初值条件已经用到,
所得的解就是满足初值条件的特解,避免了先求通解，再求特解的过程,对有些变系数方程,也可以利用 Laplace变换求解,
例 8.30 求微分方程 40ty y ty满足初值条件 ( 0 ) 3,( 0 ) 0yy的解,
解 设 ( ) [ ( ) ],Y s y t? L注意到
d[ ( ) ] [ ],
dty t ysLL
dd[ ( ) ] [ ( ) ] ( ),ty t y t Y s
ssLL
对方程两边进行 Laplace变换得
2d ( ) ( 0 ) ( 0 )
d s Y s sy ys
d( ) ( 0 ) 4 ( ) 0,
dsY s y Y ss
把 ( 0 ) 3,( 0 ) 0yy代入到上式，整理得
2( 4 ) ( ) ( ) 0,s Y s s Y s
这是关于 Y 的齐次线性方程 (也是变量可分离的方程 )，于是其通解为
2 4
2
( ),
4
s ds
s CY s C e
s
求 Laplace逆变换,可得
0( ) ( 2 ),y t C J t?
其中 0()Jt是零阶第一类 Bessel函数,且 0 ( 0 ) 1,J?
于是,由初值条件 (0 ) 3y?得 3,C? 即
0( ) 3 ( 2 ),y t J t?
例 8.31 质量为 m的物体挂在弹性系数为 k的弹簧一端,
外力为 f (t),物体自平衡位置
x=0处开始运动,求运动方程,
解 根据 Newton定律,
( ) ( ) ( ),( 0 ) ( 0 ) 0,m x t k x t f t x x
m
x(t)
x=0kx(t)
f (t)
设 ( ) [ ( ) ],( ) [ ( ) ],X s x t F s f tLL对方程两边进行 Laplace变换得 2 ( ) ( ) ( ),ms X s k X s F s
22
0
11( ) ( ),X s F s
ms
记 20,km 于是因为
1 0
22
00
sin1,tL
s
所以根据卷积定理 设 1()ft和 2()ft满足 Laplace 变换存在的条件，即存在 0M? 和 0 0,s? 使得
0012( ),( ),s t s tf t M e f t M e
如果
1 1 2 2( ) [ ( ) ],( ) [ ( ) ],F s f t F s f tLL
则
1 2 1 2( ) ( ) ( ),f f t F s F sL
或1
1 2 1 2( ) ( ) ( ),F s F s f f tL
0
00
00
sin11( ) ( ) ( ) sin ( ) d,ttx t f t f t
mm
i(t)
e(t)
K R
C
例 8.32 在图示电路中,
求开关闭合后,电容器两端的电压 uC(t).
解 因为 ( ),RCu u e t其中
d( ),( ),
d
C
R
uu Ri t i t C
t
所以 d ( ),d C CuR C u e tt设
[ ( ) ] ( ),[ ( ) ] ( ),CCu t U s e t E sLL
i(t)表示回路中电流,
则对方程两边进行 Laplace变换得
( ) ( ) ( ),CCR C s U s U s E s
()( ),
1C
EsUs
RCs于是 设 ( ) e,ite t a 其中 a是常数,
则 ( ),aEs si ( ),( 1 ) ( )C aUs RCs s i
求 Laplace逆变换,可得
1
( ) e e,1 tit RCC aut iRC
例 8.33 在图示的 RLC
电路中串接直流电源 E,求回路中电流 i(t).
解 因为,R C Lu u u E
其中 d( ),( ),d CR uu Ri t i t C t故 01 ( ) d,tCu i t tC
d ( ),
dLu L i tt? 所以得到微分积分方程
0
1d( ) d ( ) ( ),( 0 ) ( 0 ) 0,
d
t i t t Ri t L i t E i i
Ct
i(t)E
K R
C
L
设 ( ) [ ( ) ],I s i t? L对方程两边进行 Laplace变换,
1 ( ) ( ) ( ),EI s RI s L sI s
Cs s
2 12
( ),
1 ( ) ( )
EE
Is
R L s r s r
L s s
L L C
其中 是方程 的根,12,rr 2 1 0RssL LC
2211
,.2 4 2 4R R R RL L L C L L L C
记 2 1,,2 R L L C则
12,.rr
求 Laplace逆变换,可得
1 2 1 2
1 2 2 1 1 2
e e e e() r t r t r t r tEEit
L r r r r L r r
e e e e sinh,
2
t t t
tEE t
LL
例 8.34 考虑单输入单输出的线性定常系统
( ) ( 1 )1 1 0nnnna y a y a y a y
( ) ( 1 )1 1 0,mmmmb u b u b u b u
其中,nm? ( ),( )u t y t分别是系统的输入函数 (激励 )和输出函数 (响应 ),当初始条件为零时,对系统进行 Laplace变换,令
( ) [ ( ) ],( ) [ ( ) ],Y s y t U s u tLL
则有
11 1 0( ) ( )nnnna s a s a s a Y s
11 1 0( ) ( ),mmmmb s b s b s b U s
从而
1
1 1 0
1
1 1 0
()( ),
()
mm
mm
nn
nn
b s b s b s bYsGs
U s a s a s a s a
称 为线性定常系统的传递函数,()Gs
传递函数是系统数学模型的另一种表达形式,
通过系统输入和输出之间的关系来描述系统本身的特性,它只与系统的结构和参数有关,与输入函数的变化形式无关,设 ( ) [ ( ) ],g t G s? L因为
Y(s)=G(s)U(s),所以由卷积定理 设 1()ft和 2()ft满足 La pl ac e 变换存在的条件，即存在 0M? 和 0 0,s? 使得
0012( ),( ),s t s tf t M e f t M e
如果
1 1 2 2( ) [ ( ) ],( ) [ ( ) ],F s f t F s f tLL
则
1 2 1 2( ) ( ) ( ),f f t F s F sL
或1
1 2 1 2( ) ( ) ( ),F s F s f f tL
0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d,
ty t g t u t g u t
即系统的响应等于其激励与 g(t)=L -1[G(s)]的卷积,
传递函数
G(s)
u(t) y(t)
U(s) Y(s)
可以根据传递函数的极点可以判断系统的稳定性,
下面我们给出一个具体的汽车悬挂系统 的例子,图 a)所示为汽车悬挂系统原理图,汽车在道路上行驶时,轮胎的垂直位移是一个运动激励,作用在汽车的悬挂系统上,该系统的运动,由质心的平移运动和围绕质心的旋转运动组成,建立车体在垂直方向上运动的简化数学模型,如图 b),
设汽车轮胎的垂直运动 xi为系统的输入量,车体的垂直运动 xo 为系统的输出量,则根据 Newton
定律,得到系统运动方程为
1 2 1( ) ( ) ( ),o o im x B x x K x x K x x
22 ( ) ( ),o o om x B x x K x x
因此,有
1 1 2 2 1( ),o o im x B x K K x B x K x K x
2 2 2,o o om x B x K x B x K x
假设初始条件为零,对上面两式进行 Laplace变换,
得到
21 1 2[ ( ) ] ( )m s B s K K X s
21( ) ( ) ( ),oiB s K X s K X s
22 2 2[ ] ( ) ( ) ( ),om s B s K X s B s K X s
消去中间变量 X(s),整理后即得简化的汽车悬挂系统的传递函数为
()( ),
()
o
i
XsGs
Xs?
其中
12( ) ( ),oX s K B s K
431 2 1 2( ) ( )iX s m m s m m B s
21 2 1 2 2[ ( ) ]K m m m K s
1 1 2,K B s K K
给定传递函数中的参数值后,可以求出传递函数的极点,并根据极点的位置,就可以判断该汽车悬挂系统的稳定性,
例 8.35 考虑由状态方程
( ) ( ) ( )dx t Ax t Bu tdt
和输出方程 ( ) ( ) ( )y t Cx t D u t描述的多输入多输出系统,其中 x(t)是状态向量,u(t)是输入向量,
y(t)是输出向量,设初始状态为零,对状态方程和输出方程取 Laplace变换,得
( ) ( ) ( ),sX s A X s B U s
( ) ( ) ( ),Y s C X s D U s
于是可解出
1( ) ( ) ( ),X s s I A B U s
1( ) [ ( ) ] ( ),Y s C s I A B D U s
称 1( ) ( )H s C s I A B D为多输入多输出系统的传递矩阵,
e1(t) R
C
e2(t)
L
v1 v
2
i2i1
下面给出一个例子,图示的 RLC
网络系统,其状态方程为
1
11
222
1 1 1
0
,
1 1 1
0
di
iedt L L L
vedv
C R C R Cdt
输出方程为
1 1 1
2 2 2
1 0 0 0
,1 1 1
0
i i e
i v e
C R C R C
其中 1()et和 2()et是加在网络两端的电压,如果
11,,1,
23L R C
传递函数矩阵为
11 0 2 2 2 0 0
()
1 3 1 3 0 3 0 3
sHz
s
2
2 6 2 0 01,
32 2 7 6 0 3
ss
ss ss
本章内容总结基本性质逆变换线性性质微分性质像函数微分积分性质像函数积分位移性质延迟性质相似性质卷积定理初值定理终值定理
Laplace变换解常微分方程解常微分方程组解积分方程留数公式分部分式变换性质卷积定理本章的重点
3,Laplace变换在解微分方程中的应用
2,Laplace逆变换
1,Laplace变换的定义及其性质第八章 完
§ 8.4 Laplace变换的应用
§ 8.3 Laplace 逆变换
§ 8.2 Laplace变换的性质
§ 8.1 Laplace变换的概念主 要 内 容本章介绍 Laplace变换的概念、性质以及 Laplace逆变换,最后给出 Laplace变换一些应用的例子,
Fourier变换在许多领域中发挥着重要的作用,
但是在通常意义下,Fourier变换存在的条件需要实函数 f (t)在 (-?,+?)上绝对可积,很多常见的初等函数 (例如，常数函数、多项式函数、正弦与余弦函数等 )都不满足这个要求,另外，很多以时间 t 为为自变量的函数，当 t<0时，往往没有定义，或者不需要知道 t<0的情况,因此,Fourier变换在实际应用中受到一些限制,
当函数 f (t)在 t<0时没有定义或者不需要知道时,可以认为当 t<0时,f (t)?0,这时,Fourier
变换的表达式为
0[ ( ) ] ( ) d,
itf t f t e tF
但是仍然需要 f (t)在 [0,)上绝对可积的条件，
这个要求限制了它的应用,
对定义在 [0,) 上的函数 f (t),如果考虑
1 ( ) ( ) ( 0 ),tf t f t e
那么 1()ft容易满足在 [0,) 上绝对可积的要求,例如,()ft为常数、多项式、正弦与余弦函数时,
1 ( ) ( ) ( 0 )tf t f t e
都在 [0,)上绝对可积,这是因为 时,t te
是衰减速度很快的函数，称它为指数衰减函数,
如果 0 取得适当大，那么
1
( ),0()
0,0
tf t e t
ft
t
的 Fourier变换可能有意义,1()ft的 Fourier变换可表示为
()
00( ) d ( ) d,
t i t i tf t e e t f t e t
将 i 记为 s,可写成
0( ) ( ) d,
stF s f t e t
这就是本章要讨论的 Laplace变换,它放宽了对函数的限制并使之更适合工程实际,并且仍然保留
Fourier变换中许多好的性质,更实用、更方便,
1 Laplace变换的定义
2 周期函数和 d 函数的 Laplace变换
§ 8.1 Laplace变换的概念定义 8.1 设 ()ft在 0t? 上有定义,并且积分
0( ) ( ) d
stF s f t e t(s是复参变量 )关于某一范围
s 收敛，则由这个积分确定的函数
0( ) ( ) d,
stF s f t e t
称为函数 ()ft的 Laplace变换,并记做 [ ( )],ftL 即
0[ ( ) ] ( ) ( ) d,
stf t F s f t e tL
8.1.1 Laplace变换的定义的 像函数，()Fs称为 ()ft ()ft称为 ()Fs
的 像原函数,
已知 ()Fs是 ()ft的 Laplace变换，则记
1( ) [ ( ) ],f t F s L
并称 ()ft为 ()Fs的 Laplace逆变换,
00
11[ ( ) ] d,st stu t e t e
ss
L
因为在 Laplace变换中不必考虑 0t? 时的情况，
所以经常记作 1[1 ],s?L
例 8.1 求单位阶跃函数
1,0()
0,0
tut
t
的 Laplace变换,
根据 Laplace变换的定义,当 R e 0s? 时，解 运行下面的 MATLAB语句,
>> symst s
>> f=sym('Heaviside(t)');L=laplace(f)
L =
1/s
注 首先使用命令 syms来定义基本符号对象,否则默认的 t为时域变量,然后定义出原函数为 f,再调用
Laplace变换求解函数 L=laplace(),得出 f的 Laplace
变换式 L(s),Laplace逆变换求解函数为 ilaplace(),
得出 Laplace逆变换 f(t).
例 8.2 求指数函数 () atf t e? (其中 a是实数 )
的 Laplace变换,
()
00( ) [ ( ) ] [ ] d d,
a t a t s t s a tF s f t e e e t e tLL
这个积分当 Re sa? 时收敛，且
()
0
1d,s a tet
sa
所以 1
[ ] ( R e ),ate s asaL
根据 Laplace变换的定义解 运行下面的 MATLAB语句,
>> symst s a
>> f=exp(a*t);L=laplace(f)
L =
1/(s-a)
内分段连续,并且当 t时,()ft的增长速度不超过某一指数函数,即 存在常数 0M? 和 0 0,s?
使得在 [0,)上，
在定理 8.1 设函数 ()ft 0t? 的任何有限区间
0( ),stf t M e?
则在半平面 0Re ss?上,[ ( )]ftL 存在,且
( ) [ ( ) ]F s f t? L
是 s的解析函数,其中 0s 称为 ()ft的增长指数,
Laplace变换存在定理证明 对任何 0Re ss? 内的点 s,0R e,ss
故 绝对收敛，即
0( ) ( ) d
stF s f t e t
0
00( ) d d
sts t tf t e t M e e t
0()
0 0
d.st MM e t s
所以在 0Re ss?上,()ft的 Laplace变换存在,
可以证明 0Re ss? 上 的解析函数,且()Fs是
0( ) ( ) ( ) d,
stF s t f t e t
定理 8.2 如果 0 ( ) dstf t e t 在 1 1 1si
处收敛，则这个积分在 1Re s上处处收敛,且由这个积分确定的函数 ()Fs在 1Re s上解析；
如果 0 ( ) dstf t e t 在 2 2 2si处发散,则这个积分在 2Re s 上处处发散,
类似于幂级数中,有下面定理,定理 3.6 ( Abel 定理 ) 若级数 在0 nnn cz 1 0z?
处收敛，则当 时,级数 绝对收敛 ; 0 nnn cz1zz?
若级数 在 处发散，则当 时,级数0 nnn cz 2z 2zz?
0 nnn cz 发散,
根据定理 8.2，存在实数 s (或是)使得在
Re s s?上,积分 0 ( ) dstf t e t 收敛,而在 Re s s?
上，积分
0 ( ) d
stf t e t 处处发散,在收敛区域上，
Laplace变换的 像函数
( ) [ ( ) ]F s f t? L是 s的解析函数,O 实轴虚轴
s
例 8.3 求 ( ) sinf t t 的 Laplace变换,
Laplace变换存在，且
22 00 s in d [ s in c o s ]
st
st ee t t s t t
s
22,s
于是 22[ sin ] ( R e 0 ),tssL
类似可得 22[ c o s ] ( R e 0 ),stssL
因为 0( ) 1,f t e故在 R e 0s? 上，解 运行下面的 MATLAB语句,
>> symst s;symsomega
>> f=sin(omega*t);L=laplace(f)
L =
omega/(s^2+omega^2)
例 8.4 求 ( ) ( 1 )f t t的 Laplace变换,
解 如果?是正整数 m,则由分部积分法,易求得
1
! ( R e 0 ),m
m
mts
sL
方法,可求出当 1不是正整数时,利用复变函数论的
1
1[ ] ( 1 ) ( R e 0 ),ts
s
L
其中
0( 1 ) d
xx e x是?函数,
设 ()ft是以 T 为周期的函数,即
( ) ( ) ( 0 ),f t T f t t
且在一个周期内分段连续，则
( 1 )
0 0
[ ( ) ] ( ) d ( ) d,kTst st
kTk
f t f t e t f t e t
L
令,[ 0,),t k T T则
( 1 ) ()
0( ) d ( ) d,
k T Ts t s k T
kT f t e t f k T e
8.1.2 周期函数和 d 函数的 Laplace变换
( 1 )
0( ) d ( ) d,
k T Ts t k T s s
kT f t e t e f e
而当 R e 0s? 时,1,Tse 所以
( 1 )
000
( ) d ( ) dk T Tst kT s st
kTkk
f t e t e f t e t
0
1 ( ) d,
1
T st
sT f t e te
于是
0
1[ ( ) ] ( ) d,
1
T st
sTf t f t e te
L
这就是 周期函数的 Laplace变换公式,
例 8.5 求全波整流函数
( ) s i nf t t?的 Laplace变换,
0
1[ ( ) ] sin d
1
st
sf t e t te
L
2
0
1 ( sin c o s )
11
st
s
e tt
es
22
1 1 1 c t h,
1 1 1 2
s
s
es
e s s
所以由 周期函数的 Lap lace 变换公式
01[ ( ) ] ( ) d,1 T stsTf t f t e teL
()ft的周期,T解 运行下面的 MATLAB语句,
>> symst s
>> f=abs(sin(t));L=laplace(f)
L =
1/(s^2+1)*coth(1/2*pi*s)
t
f (t)
o? 2?
包含单位脉冲函数 ( ),td 积分理解为广义函数下如果满足 Laplace变换存在条件的函数 ()ft
在 0t? 处有界时，积分
0[ ( ) ] ( ) d
stf t f t e tL
的下限取 0? 或 0? 不影响其结果,如果在 0t? 处的积分时，取 0? 与 0? 是不同的,因为
0[ ( ) ] ( ) d,
stf t f t e t
L
0
00[ ( ) ] ( ) d ( ) d [ ( ) ],
s t s tf t f t e t f t e t f t?
LL
如果 ()ft在 0t? 附近有界或在通常意义下如果 在 0t? 处包含了单位脉冲函数时,则
0
0 ( ) d 0,
stf t e t?
即 [ ( ) ] [ ( ) ],f t f t
LL
因此把 0t? 上定义的函数延拓到 0t? 上,
0
0 ( ) d 0,
stf t e t?
即 [ ( ) ] [ ( ) ] ;f t f t
LL可积时，
并且把 Laplace变换定义为
0[ ( ) ] [ ( ) ] ( ) d,
stf t f t f t e t
LL
例 8.6 求单位脉冲函数 ()td 的 Laplace变换,
解 因为
( ) ( ) d ( 0 ),t f t t fd
[ ( ) ] [ ( ) ]ttddLL
0 ( ) d
stt e td
( ) d 1,stt e td
所以例 8.7 求 ( ) ( ) ( ) ( 0 )ttf t e t e u td
的 Laplace变换 (其中 ()ut为单位阶跃函数 ).
0[ ( ) ] ( ) ( ) d
t t s tf t e t e u t e td?
L
( ) ( )
00( ) d d
s t s tt e t e td?
()
0
1 1,
stes
s s s
由 Laplace变换的定义，当 Re s时，解 运行下面的 MATLAB语句,
>> symst s;symsbeta positive
>> g=sym('Dirac(t)');h=sym('Heaviside(t)');
>> f=exp(-beta*t)*g-beta*exp(-beta*t)*h;L=laplace(f)
L =
1-beta/(s+beta)
>> r=simple(L)
r =
s/(s+beta)
1 线性性质
3 像函数的微分性质
6 位移性质5 像函数的积分性质
2 微分性质
4 积分性质
7 延迟性质
10 卷积定理9 初值和终值定理
8 相似性质
§ 8.2 Laplace变换的性质以下假定所考虑的 Laplace 变换的像原函数都满足存在定理的条件,
(1) 线性性质 设?,? 是常数,11( ) [ ( ) ],F s f t? L
22( ) [ ( ) ],F s f t? L则
1 2 1 2[ ( ) ( ) ] ( ) ( )f t f t F s F sL
12[ ( ) ] [ ( ) ],f t f tLL
1 1 11 2 1 2[ ( ) ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ],F s F s F s F sL L L
由 Laplace变换的定义及积分的线性性质可证,
(2) 微分性质 设 ( ) [ ( ) ],F s f t? L则
[ ( ) ] ( ) ( 0 ),f t s F s fL
证明 根据 Laplace变换的定义和分部积分公式
0[ ( ) ] ( ) d
stf t f t e tL
0 0( ) ( ) d
s t s tf t e s f t e t
[ ( ) ] ( 0 )s f t fL
0( ) ( 0) ( R e ),s F s f s s
推论 对正整数 n,有
( ) 1 ( 1 )[ ( ) ] ( ) ( 0 ) ( 0 ),n n n nf t s F s s f fL
特别地，当 ( 1 )( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) 0nf f f时，
()[ ( ) ] ( ),nnf t s F s?L
在这个性质中，要求 ()()kft存在且满足 Laplace
变换存在定理的条件 ( 1 ),kn
( )证明 n=2时 laplace变换的微分性质证明 运行下面的 MATLAB语句,
>> symst s
>> y=sym('f(t)');L=laplace(diff(y,t,2))
L =
s*(s*laplace(f(t),t,s)-f(0))-D(f)(0)
22[ c o s ] [ c o s ] ( 0 ) ( 0 ),t s t s f fLL
例 8.8 求 ( ) c osf t t 的 Laplace变换,
解 因为
2( 0 ) 1,( 0 ) 0,( ) c o s t,f f f t
22[ c o s ] [ c o s ],t s t sLL
所以 22[ c os ],st sL
使用同样方法，可得 22[ sin ],t sL
参见例 8.3,与这里方法不同根据 和线性性质微分性质对正整数 n,有
( ) 1 ( 1 )[ ( ) ] ( ) ( 0 ) ( 0 ),n n n nf t s F s s f fL
特别地，当 ( 1 )( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) 0nf f f时，
()[ ( ) ] ( ),nnf t s F s?L
例 8.9 求 2( ) s i nf t t t的 Laplace变换,
解 根据线性性质与 例 8.8 及例 8.4
22[ c os ],st sL 22[ si n ],t sL
例 8.8
例 8.4
1! ( R e 0 ),m mmtssL
2[ s i n ]ttL
2[ ] [ s i n ]ttLL
3 2 2
2!,
ss
利用 也可以求出当 m是正整数时，微分性质对正整数 n,有
( ) 1 ( 1 )[ ( ) ] ( ) ( 0 ) ( 0 ),n n n nf t s F s s f fL
特别地，当 ( 1 )( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) 0nf f f时，
()[ ( ) ] ( ),nnf t s F s?L 1
!,m
m
mt
sL
参见例 8.4
事实上,设 ( ),mf t t? 则
( 1 )( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) 0,mf f f
因为 () ( ) !,mf t m? 1[1 ],s?L 所以
! [ 1 ] [ ],mmm s t?LL
于是 1!,m mmt sL
(3) 像函数的微分性质 设 ( ) [ ( ) ],F s f t? L则
( ) [ ( ) ],F s tf t L
一般地，对正整数 n,有
() ( ) ( 1 ) [ ( ) ],n n nF s t f t L
证明 对解析函数
0( ) ( ) d
stF s f t e t
求导,右端求导时可在积分号下进行，即得,
例 8.10 求 ( ) sinf t t t 的 Laplace变换,
d[ sin ] [ sin ]
dt t tsLL
2 2 2 2 2
d2,
d ( )
s
s s s
使用同样方法，可得
22
2 2 2
d[ c o s ] [ c o s ],
d ( )
st t t
ss
LL
根据 与像函数的微分性质设 ( ) [ ( ) ],F s f t? L则( ) [ ( ) ],F s tf t L
一般地，对正整数 n,有() ( ) ( 1 ) [ ( ) ],n n nF s t f t L
例 8.8
22[c os ],st sL
22[si n ],t sL
解 运行下面的 MATLAB语句,
>> symst s a
>> f=t*sin(a*t);L=laplace(f)
L =
1/(s^2+a^2)*sin(2*atan(a/s))
>> simple(L) % 这时使用各种化简函数,供比较
simplify:
1/(s^2+a^2)*sin(2*atan(a/s))
(4) 积分性质 设 ( ) [ ( ) ],F s f t? L则
0
1( ) d ( ),t f t t F s
s
L
证明 设 0( ) ( ) d,tt f t t则
( ) ( ),( 0 ) 0,t f t
故由 微分性质对正整数 n,有
( ) 1 ( 1 )[ ( ) ] ( ) ( 0 ) ( 0 ),n n n nf t s F s s f fL
特别地，当 ( 1 )( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) 0nf f f时，
()[ ( ) ] ( ),nnf t s F s?L 0
[ ( ) ] ( ) d ( 0),tf t s f t tLL
于是结论得证,一般地，对 n次积分有
0 0 0
1d d ( ) d ( ),t t t
nt t f t t F ss
L
(5) 位移性质 设 ( ) [ ( ) ],F s f t? L则
0[ ( ) ] ( ) R e ( ),ate f t F s a s a sL
其中 0s 是 ()ft的增长指数,
证明 根据定义，有
0[ ( ) ] ( ) d
a t a t s te f t e f t e tL
()
0 ( ) d ( ),
s a tf t e t F s a
例 8.11 求 [ s i n ]att e a tL 和 [ c o s ],att e a tL
2 2 2
2[ sin ],
()
ast a t
saL
故根据 位移性质设 ( ) [ ( ) ],F s f t? L则 0[ ( ) ] ( ) ( R e ( ) ),ate f t F s a s a sL
其中 0s 是 ()ft的增长指数,
2 2 2
2 ( )[ s in ],
[ ( ) ]
at a s ate a t
s a a
L
使用同样方法，可得
22
2 2 2 2 2 2
( ) ( 2 )[ c o s ],
[ ( ) ] [ ( ) ]
at s a a s s ate a t
s a a s a a
L
由 例 8.10
2 2 22[ sin ],()stt sL
222 2 2[ c o s ],stt sL
解 运行下面的 MATLAB语句,>> symst s a
>> f=t*exp(a*t)*sin(a*t);L=laplace(f)L =
2*a/((s-a)^2+a^2)^2*(s-a)>> g=t*exp(a*t)*cos(a*t);L=laplace(g)
L =-1/((s-a)^2+a^2)+2*(s-a)^2/((s-a)^2+a^2)^2
>> r=simple(L)r =
-s*(-s+2*a)/(s^2-2*s*a+2*a^2)^2
例 8.12 求 0 s i n d,t att e a t tL
2 2 20
2 ( )s in d,
[ ( ) ]
t at a s ate a t t
s s a a
L
使用同样方法，可得
2 2 20
2c o s d,
[ ( ) ]
t at sate a t t
s a a
L
根据 例 8.11
2 2 22 ( )[ s in ],[ ( ) ]at a s ate a t s a aL
2 2 2( 2 )[ c o s ],[ ( ) ]at s s ate a t s a aL
与 积分性质设 ( ) [ ( ) ],F s f t? L则
0 1( ) d ( ),t f t t F ssL
解 运行下面的 MATLAB语句,>> symst s x a
>> f=int(x*exp(a*x)*sin(a*x),0,t);L=laplace(f)L =
1/2/a^2*(-a*(-1/((s-a)^2+a^2)+2*(s-a)^2/((s-a)^2+a^2)^2)+(s-a)/((s-a)^2+a^2)+2*a^2/((s-
a)^2+a^2)^2*(s-a)-1/s)>> r=simple(L)
r =-2*a*(-s+a)/(s^2-2*s*a+2*a^2)^2/s
(6) 像函数的积分性质 设 ( ) [ ( ) ],F s f t? L且
0
()lim
t
ft
t 存在，积分 ( ) ds F u u
收敛，则
()( ) d,
s
ftF u u
t
L
证明 根据,解析函数的惟一性定理推论 3.3 设函数 与 在区域 D 内解析,()fz ()gz ( 1,2,)nzn?是 D 内的点列,( ),mnz z m n并且
00( ),.nz z n z D如果 ( ) ( ) ( 1,2,),nnf z g z n则在 D 内,( ) ( ),f z g z?
推论 3.3 说明了解析函数一个非常重要的特性,它指出定义在区域 D 内的两个解析函数，只要在 D 内的某一部分 ( 子区域或孤段 ) 上的值相等，则它们在整个区域 D 上的值相等,
u取在正实轴从 s 到 则,
0( ) d d ( ) d
ut
ssF u u u f t e t
00
( ) ( )( ) d d d,ut ut
s
f t f tf t t e u e t
tt
L
推论 如果像函数积分性质的条件满足,且积分
0
() dft t
t
收敛，则
00
() d ( ) d,ft t F s s
t
事实上，对于像函数积分性质
()( ) d,
s
ftF u u
t
L
令 0s 即可,
例 8.13 求 sin() tft t? 的 Laplace变换，并
0
sin d.t t
t
求积分解 由 已知例 8.3
22[ sin ] ( R e 0 ),tssL
22[ c o s ] ( R e 0 ),ssL
2
1[ sin ],
1t sL 故根据像函数的积分性质设 ( ) [ ( ) ],F s f t? L且 0 ()limt ftt 存在，积分( ) d
s F u u 收敛，则 ()( ) d,
s ftF u u t L
2
sin 1 d a r c t a n
12s
t ss
ts
L
再利用 像函数的积分性质的推论如果像函数积分性质的条件满足,且积分 0 () dft tt 收敛，则
00 () d ( ) d,ft t F s st 200
sin 1d d,
12
t ts
ts
(7) 延迟性质 设 ( ) [ ( ) ],F s f t? L若当 时,0t?
( ) 0,ft? 则对任何非负实数?,有
[ ( ) ] ( ),sf t e F sL
证明 根据定义
0[ ( ) ] ( ) d
stf t f t e tL
0 ( ) d ( ) d,
s t s tf t e t f t e t?
因为当 t<0 时,( ) 0,ft? 所以在 [0,]? 上,有
( ) 0,ft从而
O t?
f (t)
f (t)
利用单位阶跃函数 ( ),ut 可以将
[ ( ) ] ( ) dstf t f t e tL
()
00( ) d ( ) d
u s s u sf u e u e f u e u
0( ) R e,se F s s s
[ ( ) ] ( ),sf t e F sL
写成
[ ( ) ( ) ] ( ),sf t u t e F sL
例 8.14 求如图所示阶梯函数的 Laplace变换,
解法 1 利用 Heaviside函数
1,0()
0,0
tut
t
图中的函数 ()ft可表示为
( ) [ ( ) ( ) ( 2 ) ]f t A u t u t u t
0
( ).
k
A u t k?
因为 1[ ( ) ],ut s?L 所以由 延迟性质设 ( ) [ ( ) ],F s f t? L若当 时,0t?( ) 0,ft?
则对任何非负实数?,有[ ( ) ] ( ),sf t e F sL
4A
3A
2A
A
2? 3? t
f (t)
O
1[ ( ) ],ksu t k e
s
L
再注意到 1 ( R e 0),ses于是
0
[ ( ) ] ( 1 )ks s
k
AAf t e
s s e
22
1
( 1 ) ( 1 )ss
A
s ee
1 c t h ( R e 0 ),22As ss
解法 2 ( ) ( ),A Atf t t f t则 () Atft
是以?为周期的函数,由 周期函数的 Lap lace 变换公式
01[ ( ) ] ( ) d,1 T stsTf t f t e teL
0
1[ ( ) ] [ ] ( ) d
1
st
s
A Atf t t f t e t
e
LL
2 0
11 d
1
st
s
AA A t e t
se
22
0
1 1 1
1
st
s
A A t e
s e s s s
2 2 2
1 1 1 1
[ ( ) ]
1
s
s
AA
f t e
s e s s s
L
1 1 c t h,
1 2 2s
A A s
s e s?
(8) 相似性质 设 ( ) [ ( ) ],F s f t? L则
1[ ( ) ] ( 0 ),sf a t F a
aa
L 其中 0R e,s a s?
0
11[ ( ) ] ( ) d,s ua sf a t f u e u F
a a a
L
证明 根据定义 0[ ( ) ] ( ) d,stf a t f a t e tL 故例 8.15 求 [ ( 5 )]utL 和 [ ( 5 2 ) ],ut?L
1 1 1[ ( 5 ) ],
5
5
ut s
s
L
实际上,由 ( 5 ) ( ),u t u t?可直接得到结论,又由于
2( 5 2 ) 5,
5u t u t
故由 和延迟性质设 ( ) [ ( ) ],F s f t? L若当 时,0t?( ) 0,ft?
则对任何非负实数?,有[ ( ) ] ( ),sf t e F sL
相似性质设 ( ) [ ( ) ],F s f t? L则 1[ ( ) ] ( 0 ),sf a t F aaa
L
其中 0R e,s a s?
22
55 1[ ( 5 2 ) ] [ ( 5 ) ],ssu t e u t e
s
LL
因为 1[ ( ) ],ut s?L 所以解 运行下面的 MATLAB语句,
>> symst s>> h=sym('Heaviside(5*t)');L=laplace(h)
L =1/s
>> g=sym('Heaviside(5*t-2)');L=laplace(g)L =
exp(-2/5*s)/s
(9) 初值定理和终值定理初值定理则设 ( ) [ ( ) ],F s f t? L且 lim ( )s s F s 存在,
( 0) l i m ( ),sf s F s
终值定理 设 ( ) [ ( ) ],F s f t? L且 ()sF s 的所有奇点都在 s平面的左半部，则
0l i m ( ) l i m ( ),tsf t s F s
下面介绍 Laplace变换的卷积性质 — 卷积定理,
Laplace变换的卷积性质不仅能用来求出某些函数的 Laplace逆变换,而且在线性系统的研究中起着重要作用,
因为在 Laplace变换中,总认为 t <0时像原函数恒为零,因此,()ft 1()ft与 2()ft的卷积为
1 2 1 2 1 20( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d,tf t f t f f t f f t
卷积定理 设 1()ft和 2()ft满足 Laplace变换存在的条件，即存在 0M? 和 0 0,s? 使得
0012( ),( ),s t s tf t M e f t M e
如果
1 1 2 2( ) [ ( ) ],( ) [ ( ) ],F s f t F s f tLL
则
1 2 1 2( ) ( ) ( ),f f t F s F sL
或
1 1 2 1 2( ) ( ) ( ),F s F s f f tL
证明 当 1()ft和 2()ft分段连续时，其卷积
12 ()f f t? 也是分段连续的,不妨设 0 1,s? 由于
1 2 1 200( ) ( ) d ( ) ( ) d
ttf f t f f t
0 0 0 0( ) 222
0 d,
t s s t s t s tM e M e M te M e
因此,12 ()f f t? 也满足 Laplace变换存在的条件,
12( ) ( ) d d,
st
A
f f t e t
其中 A是 tO? 平面内 t 轴和第一象限的角平分线
t 围成的角形区域,
交换积分次序
1 2 1 200( ) ( ) ( ) d d,t stf f t f f t e tL
t
tO
A
120 ( ) d ( ) d
stf f t e t
()
1200( ) d ( ) d
usf f u e u
1200( ) d ( ) d
s s uf e f u e u
1 2 1 2[ ( ) ] [ ( ) ] ( ) ( ),f t f t F s F sLL
1 2 1 2( ) ( ) ( ) d dst
A
f f t f f t e t
120 d ( ) ( ) d
stf f t e t
t
tO
A
例 8.16 设 ( ) [ ( ) ],F s f t? L利用卷积定理证明 Laplace变换的积分性质
0
1( ) d ( ),t f F s
s
L
证明 设 12( ) ( ),( ) 1,f t f t f t则
12
1( ) ( ),( ),f t F s f t
sL L
于是
12 0 1( ) ( ) d ( ),tf f t f F ssLL
应用卷积定理可求某些 Laplace逆变换,
例 8.17 求
1,
t
L 并证明
21
0
12 d.
( 1 )
ttue e u
ss?
L
2
1
2
00
1 d 2 d,
2
xtΓ x e x e t
故根据 例 8.4
11[ ] ( 1 ) ( R e 0 ),tssL
其中 0( 1 ) dxx e x是?函数,
因为解 运行下面的 MATLAB语句,
>> symst s
>> f=1/sqrt(t);L=laplace(f)
L =
(pi/s)^(1/2)
1
2
1
1 2
.
Γ
ts
s
L
根据 位移性质设 ( ) [ ( ) ],F s f t? L则 0[ ( ) ] ( ) ( R e ( ) ),ate f t F s a s a sL
其中 0s 是 ()ft的增长指数,
1[ ],
1
te
sL
1 11
( 1 )
te
s s t?
L
0
1 dt te
2
0
2 d.ttue e u
0
11 dttee
则由卷积定理 设 1()ft和 2()ft满足 Lap l ac e 变换存在的条件，即存在 0M?和 0 0,s?使得 0012( ),( ),s t s tf t Me f t Me
如果 1 1 2 2( ) [ ( )],( ) [ ( )],F s f t F s f tLL
则1 2 1 2( ) ( ) ( ),f f t F s F sL
或1 1 2 1 2( ) ( ) ( ).F s F s f f tL
例 8.18 若 221( ),( 1 )Fs ss求 1( ) [ ( ) ],f t F s L
111 1 2 2( ) [ ( ) ],( ) [ ( ) ] s i n,f t F s t f t F s tLL
11 1 2 1 2[ ( ) ] [ ( ) ( ) ] ( )F s F s F s f f tLL
s i n s i n,t t t t
令 12 2211( ) ( ),1F s F sss则解 运行下面的 MATLAB语句,
>> symst s>> F=1/(s^2*(1+s^2));f=ilaplace(F)
f =t-sin(t)
故根据 及,有卷积定理 设 1()ft和 2()ft满足 Lap lac e 变换存在的条件，即存在 0M?和 00,s?使得 0012( ),( ),s t s tf t Me f t Me
如果 1 1 2 2( ) [ ( )],( ) [ ( )],F s f t F s f tLL
则1 2 1 2( ) ( ) ( ),f f t F s F sL
或1 1 2 1 2( ) ( ) ( ).F s F s f f tL
例 6.1
0s in s in ( ) d s in,tt t x t x x t t
例 8.19 求
2
1
22,( 1 )
s
s
L
2
11
2 2 2 2 c os c os( 1 ) 1 1
s s s tt
s s s
LL
00
1c o s c o s( ) d [ c o s c o s( 2 ) ] d
2
tt t t t
1 ( c o s sin ),
2 t t t
因为 2[ c o s ],1st sL解 运行下面的 MATLAB语句,>> symst s
>> F=s^2/(s^2+1)^2;f=ilaplace(F)f =
1/2*t*cos(t)+1/2*sin(t)
故由,
卷积定理 设 1()ft和 2()ft满足 Lap l ac e 变换存在的条件，即存在 0M?和 0 0,s?使得 0012( ),( ),s t s tf t Me f t Me
如果 1 1 2 2( ) [ ( )],( ) [ ( )],F s f t F s f tLL
则1 2 1 2( ) ( ) ( ),f f t F s F sL
或1 1 2 1 2( ) ( ) ( ).F s F s f f tL
例 8.20 设 221( ),( 4 1 3 )ft ssL 求 ( ).ft
1 1 2
2 2 2
33 s in 3,
4 1 3 ( 2 ) 3
tet
s s s
LL
221( ) ( sin 3 ) ( sin 3 )
9
ttf t e t e t
21 ( sin 3 3 c os 3 ),
54
te t t t
由 位移性质设 ( ) [ ( ) ],F s f t? L则 0[ ( ) ] ( ) ( R e ( ) ),ate f t F s a s a sL
其中 0s 是 ()ft的增长指数,
解 运行下面的 MATLAB语句,
>> symst s
>> F=1/(s^2+4*s+13)^2;f=ilaplace(F)
f =
-1/18*exp(-2*t)*t*cos(3*t)+1/54*exp(-2*t)*sin(3*t)
>> r=simple(f)
r =
-1/54*exp(-2*t)*(3*t*cos(3*t)-sin(3*t))因此，根据卷积定理 设 1()ft和 2()ft满足 Lap l ac e 变换存在的条件，即存在 0M?和 0 0,s?使得 0012( ),( ),s t s tf t Me f t Me
如果 1 1 2 2( ) [ ( )],( ) [ ( )],F s f t F s f tLL
则1 2 1 2( ) ( ) ( ),f f t F s F sL
或1 1 2 1 2( ) ( ) ( ).F s F s f f tL
§ 8.3 Laplace 逆变换由例 8.17 — 例 8.20可见,应用 Laplace变换的性质,特别是卷积定理，能够解决某些 Laplace逆变换问题,但是当 比较复杂时,仅用前面的()Fs
方法是不够的,因此,本节给出 Laplace逆变换积分表达式，应用复变函数论中的留数理论作为工具，
给出一种较一般的方法,
( ) [ ( ) ]F s f t? L已知 在收敛域内解析,但并不是所有解析函数都是某一函数的 Laplace变换像函数,例如，由初值定理可以看出,多项式不存在 Laplace逆变换,由,Re l i m ( ) 0,s Fs初值定理设 ( ) [ ( ) ],F s f t? L且 lim ( )s sF s 存在,
则 ( 0) l i m ( ),sf s F s这实际上是 ()Fs存在 Laplace逆变换的必要条件,
另外，函数 ()ft的 Laplace变换实际上就是
( ) ( ) tf t u t e的 Fourier变换,因此,当 ( ) ( ) tf t u t e
满足 Fourier积分定理的条件时,根据 Fourier积分公式,()ft在连续点处
1( ) ( ) ( ) ( ) d d
2
t i i tf t u t e f u e e e
()
0
1 d ( ) d
2
i t ie f e
1 ( ) d ( 0 ),
2
itF i e t
在等式两端同乘以,te? 故当 t>0时,
()1( ) ( ) d,
2
itf t F i e
令,is则
1( ) ( ) d ( 0 ),
2
i st
if t F s e s ti
其中 0,s 0s 是 ()ft的增长指数,
0 x
y
积分路径是在右半平面 0Re ss?上的任意一条直线 R e,s
这就是 Laplace逆变换的一般公式,称为 Laplace 变换的 反演积分,这是复变函数的积分,在一定条件下,可利用留数来计算,
定理 8.3 设 12,,,ns s s是 ()Fs的所有孤立奇点 (有限个 ),除这些点外,()Fs处处解析,且存在 0 0,R? 当 0||sR? 时,( ) ( | |),F s M s?其中 ()Mr
是 r 的实函数,且 li m ( ) 0,r Mr选取,? 使 所有孤立奇点都在 Re s 内,则当 0t? 时，
1
1 ( ) d R e s [ ( ),]
2
ni
st st
ki
k
F s e s F s e si?
利用留数求 Laplace逆变换的公式
O
x
y
CR
+iR
iR
奇点证明 取 0R? 充分大,
使得 12,,,ns s s都在圆弧
RC 和直线 Re s 所围成的区域内,因为 ste 是全平面上的解析函数，因此,12,,,ns s s是 () stF s e 的孤立奇点,除这些奇点之外,() stF s e 处处解析,
1
1 ( ) ( ) d R e s [ ( ),],
2
R
niR
s t s t s t
kiR
kC
F s e d s F s e s F s e s
i
于是，根据 定理 4.5 ( 留数基本定理 ) 设函数 f ( z ) 在区域 D
内除有限个孤立奇点 12,,,nz z z外处处解析,C 是 D
内包含所有奇点在其内部的分段光滑正向 Jor dan
曲线,则
1( ) d 2 R e s ( ),.
n k
kC f z z i f z z
根据留数基本定理,函数在闭曲线 f ( z ) 上的积分可归结为函数在曲线内部各孤立奇点处留数的计算问题,
lim ( ) d 0 ( 0 ),
R
st
R C
F s e s t
令,R得
1
1 ( ) d R e s [ ( ),],
2
ni
st st
ki
k
F s e s F s e si?
特别当 ()Fs是有理函数，且为分母 次数高于分子次数的有理真分式，则 Laplace逆变换存在，
1
1
( ) ( ) R e s [ ( ),],
n
st
k
k
f t F s F s e s?
L
利用 Jo rdan 引理的另一种形式设 f ( z ) 在区域 上解析,且当00,Rez R z
是实常数,M ( r ) 是 r 的实值函数,且 则li m ( ) 0,r Mr
lim ( ) d 0,R mzR C f z e z
R
O
x
y
C R
时,其中 是常数,是0zR( ),f z M z? 0 0R? 0?
对任何实数 m >0,
其中 0 0 0:RC z R R
逆时针方向,0R e,z
例 8.21 求 2() 1sFs s的 Laplace逆变换,
解 si 是 2 1 sts es? 的 1级极点,由计算留数的法则，
2
1R e s,,
1 2 2
st
st it
si
s see i e
ss
1 22( ) R e s,R e s,11s t s tssF s e i e issL
1 ( ) c o s,
2
it ite e t
例 8.22 求 21() ( 1 )Fs ss的 Laplace逆变换,
解和 2级极点,
1 0s? 和 2 1s? 分别是 2
1
( 1 )
ste
ss? 的 1级故由计算留数的法则
22 0
1R e s,0 li m 1,
( 1 ) ( 1 )
st
st
s
ee
s s s?
2 1
1R e s,1 lim ( 1 ),
( 1 )
st
s t t
s
ee e t
s s s?
1
2
1 1 ( 1 ) ( 0 ),
( 1 )
te t t
ss
L
例 8.23 求 1 32,( 1 ) ( 1 )
s
ss
L
解 1 1s 和 2 1s? 分别是 32( 1 ) ( 1 ) sts ess
的 3级和 2级极点,故由计算留数的法则
2
3 2 2 21
1dR e s,1 li m
( 1 ) ( 1 ) 2 ! d ( 1 )
s t s t
s
ssee
s s s s
2( 1 2 ),
16
te
t
3 2 31
dR e s,1 li m
( 1 ) ( 1 ) d ( 1 )
s t s t
s
ss ee
s s s s?
( 2 1 ),16
te
t
12
32
1 ( 1 2 ) ( 2 1 ),
( 1 ) ( 1 ) 1 6
tts e t e t
ss
L
当 ()Fs是有理函数时,可把它 化为部分分式再求逆变换，一般来说这样更为方便,
例 8.24 求
2
3
5 1 5 1 1()
( 1 ) ( 2 )
ssFs
ss
的 Laplace
逆变换,
解法 1 1 1s和 2 2s? 分别是 () stF s e 的 1级和 3级极点,故由计算留数的法则
2
31
5 1 5 1 1 1R e s ( ),1 lim,
( 2 ) 3
s t s t t
s
ssF s e e e
s
22
22
1 d 5 15 11R e s ( ),2 l i m
2 ! d 1
st st
s
ssF s e e
ss?
2 2 2 2174.
32
t t te te t e
2
22
1 d 9li m 5 2 0
2 ! d 1
st
s
sess
322
1 18 9li m 2 5
2 ! ( 1 ) ( 1 )
st st
s
e t ess
295 2 0
1
sts t e
s
2
1 2 2
3
5 15 11 1 1 74.
( 1 ) ( 2 ) 3 3 2
ttss e t t e
ss
L
解法 2 ()Fs可分解为形如
2
3 3 2
5 1 5 1 1,
( 1 ) ( 2 ) 1 ( 2 ) ( 2 ) 2
s s A B C D
s s s s s s
可以求得
11,7,4,.
33A B C D
因为 1 !,()a t n nnet saL 所以
2
1 2 2 2 2
3
5 15 11 1 7 14.
( 1 ) ( 2 ) 3 2 3
t t t tss e t e t e e
ss
L
到目前为止,已介绍了多种求 Laplace逆变换的方法,例如,利用卷积定理 ; 利用留数定理 ; 利用部分分式等,在使用时,应该根据具体情形采用简便的方法,有时也可以利用 Laplace变换的一些基本性质,在以上方法中，除利用留数定理之外,
都需要知道一些最基本的 Laplace 变换的像函数和像原函数,
例 8.25 求
22
1
2 2 2 ( 0 ),()
sa a
sa
L
解 因为
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
d 1 2,
d ( ) ( )
s s a s
s s a s a s a s a
22 d[ c o s ],( ) ( ),dsa t tf t f ts a sLL
所以
22
1
2 2 2 c os,()
sa t at
sa
L
§ 8.4 Laplace变换的应用
Laplace变换在线性系统的分析和研究中起着重要作用,线性系统在许多场合，可以用线性常微分方程来描述,这类系统在电路原理和自动控制理论中，都占有重要地位,
方程和方程组特解的方法,
下面首先介绍利用 Laplace变换求线性常微分像原函数
(常微分方程的解 ) 像函数常微分方程 像函数的代数方程
Laplace逆变换
Laplace变换解代数方程对所给方程的两端进行 Laplace变换,根据
Laplace变换的性质 (如微分性质 ),得出有关像函数的代数方程,从而求出未知函数的像函数,最后通过求其逆变换,得出所给方程的解,
例 8.26 求常系数线性微分方程的初值问题
( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 c o s
( 0 ) ( 0 ) 0
tx t x t x t e t
xx
的解,
基本思路解 设 ( ) [ ( ) ]X s x t? L是初值问题解 ()xt 的
Laplace变换的像,对方程两边进行 Laplace变换，
根据 和初值条件,微分性质对正整数 n,有
( ) 1 ( 1 )[ ( ) ] ( ) ( 0 ) ( 0 ),n n n nf t s F s s f fL
特别地，当 ( 1 )( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) 0nf f f时，
()[ ( ) ] ( ),nnf t s F s?L
2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) [ 2 c o s ],ts X s s X s X s e t L
利用 2[ c o s ] 1st sL 及 位移性质设 ( ) [ ( ) ],F s f t? L则 0[ ( ) ] ( ) ( R e ( ) ),ate f t F s a s a sL
其中 0s 是 ()ft的增长指数,
2
2 ( 1 )[ 2 c o s ],
( 1 ) 1
t set
s
L
2 2 2
2 ( 1 ) 1( ),
[ ( 1 ) 1 ] ( 1 ) 1
sXs
ss
因为 2 1[ sin ],1t sL 所以
2
1[ sin ],
( 1 ) 1
tet
sL
由 像函数的微分性质设 ( ) [ ( ) ],F s f t? L则( ) [ ( ) ],F s tf t L
一般地，对正整数 n,有() ( ) ( 1 ) [ ( ) ],n n nF s t f t L
2
1[ si n ],
( 1 ) 1
tte t
s
L
于是 11
2 2 2
2 ( 1 ) 1
()
[ ( 1 ) 1 ] ( 1 ) 1
s
xt
ss
LL
si n,tte t?
例 8.27 求积分方程
0( ) ( ) s in ( ) d
ty t a t y t
的解,
解 设 ( ) [ ( ) ],Y s y t? L因为
0 ( ) s in ( ) d ( ) s in,
t y t y t t
对方程两边进行 Laplace变换，根据卷积定理 设 1()ft和 2()ft满足 Laplace 变换存在的条件，即存在 0M? 和 0 0,s? 使得
0012( ),( ),s t s tf t M e f t M e
如果
1 1 2 2( ) [ ( ) ],( ) [ ( ) ],F s f t F s f tLL
则
1 2 1 2( ) ( ) ( ),f f t F s F sL
或1
1 2 1 2( ) ( ) ( ),F s F s f f tL
以及 2 1[ sin ],1t sL 有
22
()( ),
1
a Y sYs
ss
解出 ( ),Ys 得
2
4 2 4
( 1 )( ),a s a aYs
s s s
再求逆变换，从而
31( ),
6y t a t t
例 8.28 求一阶微分方程组
2
2
2 2 1 0
27
t
t
x x y e
x y y e
满足初值条件 ( 0 ) 1,( 0 ) 3xy的解,
解 设 ( ),( )x t y t是所要求的解，记
( ) [ ( ) ],( ) [ ( ) ],X s x t Y s y tLL
对方程组两边进行 Laplace变换,由 和微分性质对正整数 n,有
( ) 1 ( 1 )[ ( ) ] ( ) ( 0 ) ( 0 ),n n n nf t s F s s f fL
特别地，当 ( 1 )( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) 0nf f f时，
()[ ( ) ] ( ),nnf t s F s?L
初值条件
10
( ) 1 2 ( ) 2 ( ),
2
7
2 ( ) ( ) 3 ( ),
2
s X s X s Y s
s
X s s Y s Y s
s
8
( 2 ) ( ) 2 ( ),
2
31
2 ( ) ( 1 ) ( ),
2
s
s X s Y s
s
s
X s s Y s
s
解线性方程组，得 13( ),( ),22X s Y sss
求 Laplace逆变换,22( ),( ) 3,ttx t e y t e
整理得例 8.29 求二阶微分方程组
2
22
ty x x y e
y x y x t
满足初值条件
( 0 ) ( 0 ) 0
( 0 ) ( 0 ) 0
yy
xx
的解,
解 设 ( ),( )x t y t是所要求的解，记
( ) [ ( ) ],( ) [ ( ) ],X s x t Y s y tLL
对方程组两边求 Laplace变换,并考虑初值条件，
则得
22
22
2
12
( ) ( ) ( ) ( ),
1
1
2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ),
s Y s s X s s X s Y s
ss
s Y s s X s s Y s X s
s
整理化简后为
2
2
2
( 1 ) ( ) ( ),
( 1 )
1
2 ( ) ( 1 ) ( ),
( 1 )
s
s Y s sX s
ss
sY s s X s
ss
解这个代数方程组，即得
2 2 2
2 1 1( ),( ),
( 1 ) ( 1 )
sX s Y s
s s s s
根据例 8.22,
1
2
1( ) 1,
( 1 )
tty t te e
ss
L
2 2 2 2
2 1 1 1()
( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
sXs
s s s s s s
2
1 1 1( ),
1Ys s s s
故 ( ) ( ) 1,ttx t y t e t t e t于是方程的解为
( ),( ) 1,t t tx t t e t y t t e e
从以上例子可以看出,利用 Laplace变换求解常系数微分方程和方程组时，初值条件已经用到,
所得的解就是满足初值条件的特解,避免了先求通解，再求特解的过程,对有些变系数方程,也可以利用 Laplace变换求解,
例 8.30 求微分方程 40ty y ty满足初值条件 ( 0 ) 3,( 0 ) 0yy的解,
解 设 ( ) [ ( ) ],Y s y t? L注意到
d[ ( ) ] [ ],
dty t ysLL
dd[ ( ) ] [ ( ) ] ( ),ty t y t Y s
ssLL
对方程两边进行 Laplace变换得
2d ( ) ( 0 ) ( 0 )
d s Y s sy ys
d( ) ( 0 ) 4 ( ) 0,
dsY s y Y ss
把 ( 0 ) 3,( 0 ) 0yy代入到上式，整理得
2( 4 ) ( ) ( ) 0,s Y s s Y s
这是关于 Y 的齐次线性方程 (也是变量可分离的方程 )，于是其通解为
2 4
2
( ),
4
s ds
s CY s C e
s
求 Laplace逆变换,可得
0( ) ( 2 ),y t C J t?
其中 0()Jt是零阶第一类 Bessel函数,且 0 ( 0 ) 1,J?
于是,由初值条件 (0 ) 3y?得 3,C? 即
0( ) 3 ( 2 ),y t J t?
例 8.31 质量为 m的物体挂在弹性系数为 k的弹簧一端,
外力为 f (t),物体自平衡位置
x=0处开始运动,求运动方程,
解 根据 Newton定律,
( ) ( ) ( ),( 0 ) ( 0 ) 0,m x t k x t f t x x
m
x(t)
x=0kx(t)
f (t)
设 ( ) [ ( ) ],( ) [ ( ) ],X s x t F s f tLL对方程两边进行 Laplace变换得 2 ( ) ( ) ( ),ms X s k X s F s
22
0
11( ) ( ),X s F s
ms
记 20,km 于是因为
1 0
22
00
sin1,tL
s
所以根据卷积定理 设 1()ft和 2()ft满足 Laplace 变换存在的条件，即存在 0M? 和 0 0,s? 使得
0012( ),( ),s t s tf t M e f t M e
如果
1 1 2 2( ) [ ( ) ],( ) [ ( ) ],F s f t F s f tLL
则
1 2 1 2( ) ( ) ( ),f f t F s F sL
或1
1 2 1 2( ) ( ) ( ),F s F s f f tL
0
00
00
sin11( ) ( ) ( ) sin ( ) d,ttx t f t f t
mm
i(t)
e(t)
K R
C
例 8.32 在图示电路中,
求开关闭合后,电容器两端的电压 uC(t).
解 因为 ( ),RCu u e t其中
d( ),( ),
d
C
R
uu Ri t i t C
t
所以 d ( ),d C CuR C u e tt设
[ ( ) ] ( ),[ ( ) ] ( ),CCu t U s e t E sLL
i(t)表示回路中电流,
则对方程两边进行 Laplace变换得
( ) ( ) ( ),CCR C s U s U s E s
()( ),
1C
EsUs
RCs于是 设 ( ) e,ite t a 其中 a是常数,
则 ( ),aEs si ( ),( 1 ) ( )C aUs RCs s i
求 Laplace逆变换,可得
1
( ) e e,1 tit RCC aut iRC
例 8.33 在图示的 RLC
电路中串接直流电源 E,求回路中电流 i(t).
解 因为,R C Lu u u E
其中 d( ),( ),d CR uu Ri t i t C t故 01 ( ) d,tCu i t tC
d ( ),
dLu L i tt? 所以得到微分积分方程
0
1d( ) d ( ) ( ),( 0 ) ( 0 ) 0,
d
t i t t Ri t L i t E i i
Ct
i(t)E
K R
C
L
设 ( ) [ ( ) ],I s i t? L对方程两边进行 Laplace变换,
1 ( ) ( ) ( ),EI s RI s L sI s
Cs s
2 12
( ),
1 ( ) ( )
EE
Is
R L s r s r
L s s
L L C
其中 是方程 的根,12,rr 2 1 0RssL LC
2211
,.2 4 2 4R R R RL L L C L L L C
记 2 1,,2 R L L C则
12,.rr
求 Laplace逆变换,可得
1 2 1 2
1 2 2 1 1 2
e e e e() r t r t r t r tEEit
L r r r r L r r
e e e e sinh,
2
t t t
tEE t
LL
例 8.34 考虑单输入单输出的线性定常系统
( ) ( 1 )1 1 0nnnna y a y a y a y
( ) ( 1 )1 1 0,mmmmb u b u b u b u
其中,nm? ( ),( )u t y t分别是系统的输入函数 (激励 )和输出函数 (响应 ),当初始条件为零时,对系统进行 Laplace变换,令
( ) [ ( ) ],( ) [ ( ) ],Y s y t U s u tLL
则有
11 1 0( ) ( )nnnna s a s a s a Y s
11 1 0( ) ( ),mmmmb s b s b s b U s
从而
1
1 1 0
1
1 1 0
()( ),
()
mm
mm
nn
nn
b s b s b s bYsGs
U s a s a s a s a
称 为线性定常系统的传递函数,()Gs
传递函数是系统数学模型的另一种表达形式,
通过系统输入和输出之间的关系来描述系统本身的特性,它只与系统的结构和参数有关,与输入函数的变化形式无关,设 ( ) [ ( ) ],g t G s? L因为
Y(s)=G(s)U(s),所以由卷积定理 设 1()ft和 2()ft满足 La pl ac e 变换存在的条件，即存在 0M? 和 0 0,s? 使得
0012( ),( ),s t s tf t M e f t M e
如果
1 1 2 2( ) [ ( ) ],( ) [ ( ) ],F s f t F s f tLL
则
1 2 1 2( ) ( ) ( ),f f t F s F sL
或1
1 2 1 2( ) ( ) ( ),F s F s f f tL
0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d,
ty t g t u t g u t
即系统的响应等于其激励与 g(t)=L -1[G(s)]的卷积,
传递函数
G(s)
u(t) y(t)
U(s) Y(s)
可以根据传递函数的极点可以判断系统的稳定性,
下面我们给出一个具体的汽车悬挂系统 的例子,图 a)所示为汽车悬挂系统原理图,汽车在道路上行驶时,轮胎的垂直位移是一个运动激励,作用在汽车的悬挂系统上,该系统的运动,由质心的平移运动和围绕质心的旋转运动组成,建立车体在垂直方向上运动的简化数学模型,如图 b),
设汽车轮胎的垂直运动 xi为系统的输入量,车体的垂直运动 xo 为系统的输出量,则根据 Newton
定律,得到系统运动方程为
1 2 1( ) ( ) ( ),o o im x B x x K x x K x x
22 ( ) ( ),o o om x B x x K x x
因此,有
1 1 2 2 1( ),o o im x B x K K x B x K x K x
2 2 2,o o om x B x K x B x K x
假设初始条件为零,对上面两式进行 Laplace变换,
得到
21 1 2[ ( ) ] ( )m s B s K K X s
21( ) ( ) ( ),oiB s K X s K X s
22 2 2[ ] ( ) ( ) ( ),om s B s K X s B s K X s
消去中间变量 X(s),整理后即得简化的汽车悬挂系统的传递函数为
()( ),
()
o
i
XsGs
Xs?
其中
12( ) ( ),oX s K B s K
431 2 1 2( ) ( )iX s m m s m m B s
21 2 1 2 2[ ( ) ]K m m m K s
1 1 2,K B s K K
给定传递函数中的参数值后,可以求出传递函数的极点,并根据极点的位置,就可以判断该汽车悬挂系统的稳定性,
例 8.35 考虑由状态方程
( ) ( ) ( )dx t Ax t Bu tdt
和输出方程 ( ) ( ) ( )y t Cx t D u t描述的多输入多输出系统,其中 x(t)是状态向量,u(t)是输入向量,
y(t)是输出向量,设初始状态为零,对状态方程和输出方程取 Laplace变换,得
( ) ( ) ( ),sX s A X s B U s
( ) ( ) ( ),Y s C X s D U s
于是可解出
1( ) ( ) ( ),X s s I A B U s
1( ) [ ( ) ] ( ),Y s C s I A B D U s
称 1( ) ( )H s C s I A B D为多输入多输出系统的传递矩阵,
e1(t) R
C
e2(t)
L
v1 v
2
i2i1
下面给出一个例子,图示的 RLC
网络系统,其状态方程为
1
11
222
1 1 1
0
,
1 1 1
0
di
iedt L L L
vedv
C R C R Cdt
输出方程为
1 1 1
2 2 2
1 0 0 0
,1 1 1
0
i i e
i v e
C R C R C
其中 1()et和 2()et是加在网络两端的电压,如果
11,,1,
23L R C
传递函数矩阵为
11 0 2 2 2 0 0
()
1 3 1 3 0 3 0 3
sHz
s
2
2 6 2 0 01,
32 2 7 6 0 3
ss
ss ss
本章内容总结基本性质逆变换线性性质微分性质像函数微分积分性质像函数积分位移性质延迟性质相似性质卷积定理初值定理终值定理
Laplace变换解常微分方程解常微分方程组解积分方程留数公式分部分式变换性质卷积定理本章的重点
3,Laplace变换在解微分方程中的应用
2,Laplace逆变换
1,Laplace变换的定义及其性质第八章 完
