第二章 复变函数的积分
§ 2.1 复变函数的积分
§ 2.2 Cauchy积分定理
§ 2.3 Cauchy积分公式
§ 2.4 解析函数的原函数主 要 内 容本章介绍复变函数的积分概念，解析函数积分的主要性质,重点是 Cauchy积分定理,Cauchy积分公式,Cauchy(高阶 )导数公式,
§ 2.1 复变函数的积分
1 积分的概念
2 积分存在条件及性质
3 积分的计算
2.1.1 积分的概念
1,,,,k n nz z z Z
定义 2.1 设 C是复平面上以 z0为起点,Z为终
o x
y
0z
Z
1?nz
kz
1?kz2z1z
C
有向简单连续曲线,()fz是 C上的复变函数,
在 C上依次取分点把曲线 C分割为 n个小段,
(如图 )
0 1 1,,,,kz z z?
o x
y
0z
Z
1?nz
kz
1?kz2z1z
k?
C
1? 2?
在每个小弧段1 1,2,,kkz z k n上任取一点 ( 1,2,,),n kn 做和数
1
( ),
n
n k k
k
S f z?
其中,1k k kz z z
1,2,,.kn?
令
1m a x,kkn z
如果分点的个数无限增多，并且极限存在,则称该极限值为函数 在曲线 C上的积分,()fz
00 1
l i m l i m ( )
n
n k k
k
S f z
并记作 ( )d,C f z z? 即
0 1
( ) d l i m ( ),
n
kkC
k
f z z f z
如果 C是闭曲线，经常记作 ( )d,C f z z?
当 C是实轴上的区间,,ab 方向从 a到 b,并且
()fz为实值函数，那么这个积分就是定积分,
2.1.2 积分存在的条件及积分性质
n
k
kkkkkk
n
k
kkkkkk
n
k
kk
yuxvi
yvxuzf
1
11
]),(),([
]),(),([)(
C zzf d)(C yvxu dd d d,C v x u y i?
定理 2.1 设 C是分段光滑 (或可求长 )的有向曲线,( ) (,) (,)f z u x y iv x y在 C上连续，则
( )dC f z z? 存在，并且
C zzf d)( C yixivu )dd)((
C yvyiuxivxu dddd
.dddd CC yuxviyvxu
从 形式上 可以看成
C zzf d)(C yvxu ddC yuxv dd? i?
定理 2.2 设光滑曲线
,( ) ( ) ( ) ( ),C z z t x t iy t t
()z? 是起点,()z? 是终点，则
( ) d [ ( ) ] ( ) dC f z z f z t z t t
[ ( ),( ) ] ( ) [ ( ),( ) ] ( ) du x t y t x t v x t y t y t t
[ ( ),( ) ] ( ) [ ( ),( ) ] ( ) d,i v x t y t x t u x t y t y t t
[ ( ),( ) ] [ ( ),( ) ] ( ) ( ) du x t y t iv x t y t x t iy t t
复变函数的积分具有如下一些性质,
( 1 ) ( ) d ( ) d ;CCf z z f z z;d)(d)(d)]()([)3( CCC zzgzzfzzgzf
(4) 设 C1的终点是 C2的起点,C=C1+C2,则
(k是复常数 );( 2 ) ( ) d ( ) dCCk f z z k f z z
12
( ) d ( ) d ( ) d ;C C Cf z z f z z f z z
11
( ) ( )
nn
k k k k
kk
f z f z
1
()
n
kk
k
fs?
1
,
n
k
k
M s ML
其中,ks? 是 kz 与 1kz? 两点之间弧段的长度,
根据积分定义，令 0, 即得性质 (5),
估值不等式事实上,
(5) 设曲线 C的长度为 L,函数 f (z)在 C上满足
( ) d ( ) d,CCf z z f z s M L( ),f z M?则例 2.1 设 C是复平面上以 z0为起点,z为终点的分段光滑 (或可求长 )曲线，则
01 d,C z z z
解 根据积分的定义
100
11
1 d li m li m ( )
nn
k k kC
kk
z z z z
000l i m ( ),z z z z
2.1.3 积分的计算解
z
x
y
o
r0z?
积分路径的参数方程为
),π20(0irezz
C n zzz d)( 1 1
0
π20 )1(1 d
nin
i
er
ir e
,dπ20inn er i
例 2.2 计算积分 1
0
1 d
() nC zzz (n是整数 ),
其中 C是圆周,0 ( 0 )z z r r
的正向,
z
x
y
o
r0z
,0 时当?n
C n zzz d)( 1 1
0?
π20 d?i ;2 i
,0 时当?n
C n zzz d)( 1 1
0
2 π
0 ( c os sin ) d 0.n
i n i n
r
rzz
n zzz
0
d)( 1 1
0
所以
.0,0
,0,2
n
ni
重要结论：积分值与圆周的中心、半径无关,
解 (1) 积分路径的参数方程为 ( ) ( 0 1 ),z t t it t
R e,d ( 1 ) d,z t z i t
C zzdRe 10 d)1( tit );1(21 i x
y
o
i1
1
i
d)1(d 10 2 ttizzC 12 0( 1 ) d,i t t i
例 2.3 计算积分 Re dC zz? 与 d,C zz? 其中 C为
(1) 从原点到 1+i 的直线段；
(2) 抛物线 y=x2 上从原点到 1+i 的弧段；
(3) 从原点沿 x轴到 1,再从 1到 1+i 的折线,
(2) 积分路径的参数方程为
x
y
o
i1
1
i
2xy? ),10()(
2 titttz
R e,d ( 1 2 ) d,z t z ti t
C zzdRe 10 d)21( titt
12
3
0
2 1 2 ;
2 3 2 3
ti ti
dC zz10 2 d)21)(( tititt
1 32
0 [ ( 2 ) 3 ] d,t t i t t i
x
y
o
i1
1
i
2xy?
(3) 积分路径由两段直线段构成
x轴上直线段的参数方程为 ( ) ( 0 1 ),z t t t
1到 1+i直线段的参数方程为 ),10(1)( tittz
Re,d d,z t z t
R e 1,d d,z z i t
C zzdRe10 d tt10 d1 ti,21 i
dd 10 ttzzC d)1(10 tiit
.i?
都是从相同的起点到相同的终点,沿着三条不注意 1 从例 2.3看到,积分 d,C zz?R e ( )dC zz? 和相同的路径进行,但是 积分值不同,R e ( )d
C zz?
dC zz? 积分值相同,是否可以讨论积分与积分路径的关系?
注意 2 一般不能将函数 f (z)在以?为起点,以?
为终点的曲线 C上的积分记成 因为( ) d,f z z
积分值可能与积分路径有关,所以记 ( )d,C f z z?
§ 2.2 Cauchy积分定理
1 Cauchy积分定理
2 复合闭路定理
3 典型例题首先给出推广的 Gre en 公式,
设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围成,函数(,)P x y
和 (,)Q x y在 D 上具有一阶连续偏导数,
则有 d d d d,
DL
QP x y P x Q yxy
其中 L 是 D 的取正向的边界曲线,
2.2.1 Cauchy积分定理在单连通区域 D上连续,设 (,),(,)P x y Q x y
在 D上存在,,QPxy并且 QPxy在 D上连续,
则对任何 D内的可求长 Jordan曲线 C,都有
d d ( ) d d,
CG
QPP x Q y x y
xy
其中 G是 C围成的区域,C 取正向,
定理 2.3 (Cauchy积分定理 ) 设 f (z)是单连
D C
说明,该定理的主要部分是
Cauchy 于 1825 年建立的,
它是复变函数理论的基础,
通区域 D上的解析函数，则对 D内的任何可求长 Jordan曲线 C,都有
( ) d 0,
C
f z z
证明 根据
( ) d d d d d,C C Cf z z u x v y i v x u y
C yvxu dd () d d
D
vu xy
xy
0,?
C yuxv dd d d
D
uv xy
xy
0.?
0,uvyx 0.uvxy
由改进的 Green公式定理 2.1 设 C 是分段光滑 (或可求长 )的有向曲线,( ) (,) (,)f z u x y iv x y在 C 上连续，则( )d
C f z z? 存在，并且 ( ) d d d d d,
C C Cf z z u x v y i v x u y
定理 2.1
因为 f (z)解析,所以 u(x,y)和 v(x,y)在 D内可微,且注意 2 若曲线 C是区域 D 的边界,函注意 1 定理中的 C
可以不是简单曲线,D C
函数 f (z)在 D内解析,在闭区域 上连D D C
( ) d 0,C f z z续,则注意 3 定理中 D是单连通区域的假设不可缺少,
例如函数 1 ( ) fz z?在区域 13,22Dz内的曲线,1Cz?上积分,参看
0 10
2,0,1 d() 0,0,nz z r inzzz n例 2.2.
积分值与圆周的中心、半径无关,
解 因为函数
1
1 d 0,
23z zz
例 2.4 计算积分
z1
1 d.
23 zz
1()
23fz z
在 上解析,所以根据 Cauchy积分定理,有1z?
解 2
1 1 1 1 1,
( 1 ) 2z z z z i z i
根据 Cauchy积分定理得
2
1
2 d)1(
1
iz
z
zz?
2
1
d1
2
11
2
11
iz
z
izizz
例 2.5 计算积分 2
1
2
1 d.
( 1 )
zi
z
zz
因为 1z 和 1zi? 都在 12zi上解析,所以
2
1
2
1
2
1
d1
2
1d1
2
1d1
iziziz
z
iz
z
iz
z
z
0?
2
1
d1
2
1
iz
z
iz i 221,i
这里用到了
0 10
2,0,1 d() 0,0,nz z r inzzz n例 2.2.
积分值与圆周的中心、半径无关,
2.2.2 复合闭路定理
D
C
1C
2C
3C
都在 C 的内部,它们互不包含也 互不相交,并且以定理 2.4 设 12,,,,nC C C C是多连通区域 D内是 D上的解析函数,那么
1
( ) d ( ) d,
k
n
CC kf z z f z z
其中 C和 Ck(1?k?n)取正向,
若 f (z)
分段光滑 (或可求长 ) Jordan曲线,都12,,,nC C C
为边界的闭区域含于 D内,12,,,,nC C C C
D
C
A1 A2 A3
A4
C1
C2
E
F
G
IH
证明 不妨设 n=2,作两条辅助线 (如图 ).1 2 3 4,A A A A
这样由 1 2 3 4 4 3 2 1E A A F A A G A A H A A I E作为边界 G,
围成单连通区域,
( ) d 0.f z zG
11,C E A A I I E
1 1 2 2 3 3 4 4
4 4 3 3 2 2 1 1
,
E A A A A F F A A A A G
G A A A A H H A A A A I I E
G
1 2 3 3 2C A F F A A H H A
2 4 4,C A G G A
f (z)在 G 所围的区域内解析,由定理 2.3 ( Cau chy 积分定理 ) 设 f ( z ) 是单连
D C 说明,该定理的主要部分是Cau chy 于 1825 年建立的,
它是复变函数理论的基础,
通区域 D 上的解析函数，则对 D 内的任何可求长 Jo rdan 曲线 C,都有 ( ) d 0,
C f z z
21,0d)(CCC zzf
,0d)(d)(d)(
21
C CC zzfzzfzzf
.d)(d)(d)(
21
C CC zzfzzfzzf
当 n 为其它值时，可同样证明,
在公共边界 (辅助线 )上,积分两次,方向相反,积分值之和等于 0,所以
2.2.3 典型例题解 显然函数
x
y
o1
G
例 2.6 计算积分 其中 G为包含圆周221 d,z zzz
G
在内的任意分段光滑正向简单闭 曲线,1z?
2
21() zfz
zz
在复平面有两个奇点 0和 1,
并且 G 包含了这两个奇点,
x
y
o1
G
1C 2C
G
zzz z d12 2
21
d12d12 22
CC
zzz zzzz z
2211
d1d11d1d11
CCCC
zzzzzzzz
0220 ii.4
在 G内作两个互不包含也互不相交的正向圆周 C1和 C2,使得 C1只包含奇点 0,C2 只包含奇点 1,根据,复合闭路定理
D C 1C 2C 3C
都在 C 的内部,它们互不包含也 互不相交,并且以定理 2.4 设 12,,,,nC C C C是多连通区域 D 内是 D 上的解析函数,那么
1( ) d ( ) d,knCC kf z z f z z其中 C 和 C
k (1? k? n ) 取正向,
若 f ( z )
分段光滑 ( 或可求长 ) Jo rdan 曲线,都12,,,nC C C
为边界的闭区域含于 D 内,12,,,,nC C C C
x
y
o 1 2
1C
2C解 显然 C1和 C2围成一
12
d d d 0.
z z z
CC
e e ez z z
z z zG
例 2.7 计算积分 d,
ze
zz
G
其中 G 由正向圆周
2z? 和负向圆周 1z? 组成,
个圆环域,函数 ()
ze
fz z?
在此圆环域及其边界上解析,并且 圆环域的边界构成复合闭路,所以根据,复合闭路定理
D C 1C 2C 3C
都在 C 的内部,它们互不包含也 互不相交,并且以定理 2.4 设 12,,,,nC C C C是多连通区域 D 内是 D 上的解析函数,那么
1( ) d ( ) d,knCC kf z z f z z其中 C 和 C
k (1? k? n ) 取正向,
若 f ( z )
分段光滑 ( 或可求长 ) Jo rdan 曲线,都12,,,nC C C
为边界的闭区域含于 D 内,12,,,,nC C C C
例 2.8 求积分 其中 G 为含 z0的 1
0
1 d,
n zzz?
G?
解 因为 z0在闭曲线 G 的内部,G
0z?
1G
任意分段光滑的 Jordan曲线,n为整数,
故可取充分小的正数 r,使得圆周
10,z z rG含在 G的内部,
0 10
2,0,1 d() 0,0,nz z r inzzz n例 2.2.
积分值与圆周的中心、半径无关,
可得再利用根据,复合闭路定理
D C 1C 2C 3C
都在 C 的内部,它们互不包含也 互不相交,并且以定理 2.4 设 12,,,,nC C C C是多连通区域 D 内是 D 上的解析函数,那么
1( ) d ( ) d,knCC kf z z f z z其中 C 和 C
k (1? k? n ) 取正向,
若 f ( z )
分段光滑 ( 或可求长 ) Jo rdan 曲线,都12,,,nC C C
为边界的闭区域含于 D 内,12,,,,nC C C C
1
0
2,01 d
() 0,0,n
inz
zz n
G
故这一结果很重要,
1
11
00
11 d d
( ) ( )nnzzz z z zGG
2,0 ;
0,0,
in
n
与 进行比较,
0 10
2,0,1 d() 0,0,n
z z r
inzzz n
例 2.2.
积分值与圆周的中心、半径无关,
G
0z?
1G
§ 2.3 Cauchy积分公式
1 问题的提出
2 Cauchy积分公式
3 高阶导数公式
4 典型例题
2.3.1 问题的提出定理知,
当? 充分小时,这个积分值与? 的取值无关,
设 f (z)在单连通区域 D上解析,z0是 D内的一个定点,则 在 z0 不解析,
0
()fz
zz?
Jordan曲线,当? >0充分小时,根据复合闭路如果 C是含 z0在其内部区域的分段光滑的
000
( ) ( )d d,
C z z
f z f zzz
z z z z
C zzz zf d)(
0
0 ).(2d1)(
0
0
0 zifzzzzf C
所以这个积分值只与 f (z) 在 z0 附近的值有关,
因为 f (z) 在 z0 连续,故 上 函数 f (z)0zz
的值将随着? 的减小而接近 0( ).fz
因此,随着? 的减小,应该有
0
() d
C
fz z
zz 接近于
0
0
() d,
C
fz z
zz 然而
2.3.2 Cauchy积分公式
Cauchy积分公式
C zzz zfizf,d)(π2 1)(
0
0 D?
0zC
定理 2.5 设 f (z)是单连通区域 D上的解析函数,
z0 是 D内的一个点,C是任意一条含 z0 在内部区域的分段光滑 (或可求长 ) Jordan曲线,则
D?0zC
取 R>0充分小,使得 R<d,并且正向圆周 G,
证明 f (z)在 z0连续,则?e?0,存在 d?0,使得
0
() d
C
fz z
zz 0
() dfz z
zzG
00( ) ( ) ( )ddf z f z f zzz
z z z zGG
0
0
0
( ) ( )2 ( ) d,f z f zif z z
zz? G
当 时,0zz d 0( ) ( ),f z f z e
0z z R在 C的内部,则
GR
0
0
( ) ( ) df z f z s
zzG
d2 π,sRe eG
的值与 R 无关,所以由 e 的任意性,可知
0
0
( ) ( ) df z f z z
zzG
根据估值 不等式设曲线 C 的长度为 L,函数 f ( z )在 C 上满足( ) d ( ) d,
CCf z z f z s M L( ),f z M?则估值不等式实际上,积分
0
0
( ) ( ) df z f z z
zzG
0
0
( ) ( ) d 0,f z f z z
zzG
关于 Cauchy积分公式的说明,
可见,函数在 C内部任一点的值可用它在边界上
（这是解析函数的一个重要特征）
(1) 从 Cauchy积分公式
0
0
1 ( )( ) d
2 C
fzf z z
i z z
的值通过积分来表示,
这表明了 Cauchy积分公式不但提供了计算
(这是研究解析函数的有力工具 )
(2) 如果曲线 C上的点用? 表示,C内部的点用 z 表示,则 Cauchy积分公式表示为
1 ( )( ) d,
2 C
ffz
iz
某些复变函数沿闭路积分的一种方法,而且给出了解析函数的一个积分表达式,
例 2.9 计算积分
31 d,
( 1 )C
z z
zz
其中 C是正向圆周 2.z?
解 在 C内部作正向圆周
1
1:,
2Cz? 2
1,1,
4Cz
12
3 1 3 1 3 1d d d,
( 1 ) ( 1 ) ( 1 )C C C
z z zz z z
z z z z z z
根据,复合闭路定理
D C 1C 2C 3C
都在 C 的内部,它们互不包含也 互不相交,并且以定理 2.4 设 12,,,,nC C C C是多连通区域 D 内是 D 上的解析函数,那么
1( ) d ( ) d,knCC kf z z f z z其中 C 和 C
k (1? k? n ) 取正向,
若 f ( z )
分段光滑 ( 或可求长 ) Jo rdan 曲线,都12,,,nC C C
为边界的闭区域含于 D 内,12,,,,nC C C C
因为 1 31() 1zfz z在 C1围成的闭区域上解析,
2
31() zfz
z
在 C
2 围成的闭区域上解析,所以由
Cauchy积分公式
12
113 1 ( ) ( )d d d
( 1 ) 1C C C
z f z f zz z z
z z z z
122 ( 0 ) ( 1 )i f f
2 ( 1 2 ) 6,ii
2.3.3 高阶导数公式
1 ( )( ) d,
2 C
ffz
iz
如果各阶导数存在,并且导数运算可在积分号下进行,则
2
1 ( )( ) d,
2 ( )C
ffz
iz
由,解析函数的积分表达式为Cauchy 积分公式
C zzz zfizf,d)(π2 1)( 00
定理 2.5 设 f ( z ) 是单连通区域 D 上的解析函数,
z 0 是 D 内的一个点,C 是任意一条含 z 0 在内部区域的分段光滑 ( 或可求长 ) Jo rdan 曲线,则
3
2 1 ( )( ) d,
2() C
ffz
iz
()
1
! ( )( ) d,
2 ( )
n
n
C
nffz
iz
(1) 解析函数是否存在各阶导数?
(2) 导数运算可否在积分号下进行?
我们有下面的 Cauchy导数公式,
()
0 1
0
! ( )( ) d
2 π ()
n
n
C
n f zf z z
i z z
高阶导数公式
D?0zC
定理 2.6 设函数 f (z)在单连通区域 D上的解析,
C是 D内分段光滑 (或可求长 )的 Jordan曲线,z0 在
C的内部区域,则 f (z)在 z0处存在各阶导数,并且
( 1,2,3,),n?
其中 C取正向,
0
0
1 ( )( ) d,
2 C
fzf z z z
i z z z
z
zfzzf
)()( 00
证明 首先考虑 n=1的情形,因为 z0在 C的内部,
故当 |?z| 适当小时,z0+?z也 在 C的内部,所以应用于是
00
1 ( ) ( )dd
2 CC
f z f zzz
i z z z z z z?
可知Cauchy 积分公式
C zzz zfizf,d)(π2 1)( 00
定理 2.5 设 f ( z ) 是单连通区域 D 上的解析函数,
z 0 是 D 内的一个点,C 是任意一条含 z 0 在内部区域的分段光滑 ( 或可求长 ) Jo rdan 曲线,则
C zzzzzz zfi d))(( )(2 1
00
CC zzzzzz zzfizzz zfi d)()( )(2 1d)( )(2 1
0
2
0
2
0
I?
C zzzzzz zzfI d)()( )(2 1
0
2
0
C szzzzz zfz d)(2 1
0
2
0
因为 f (z)在 C上解析,所以在 C上连续,故有界,
00,2
Rz z z z z z
0
12,
z z z R
于是存在 M >0,使得 |f (z)|?M,又因为 z0 是 C
内部区域内的点,所以存在 R >0,使0z z z R
在 C的 内部区域,
DC?0z GR
因此当 z在 C上时,0,z z R
,2Rz取 则
3,
MLIz
R所以 其中 L是曲线 C的弧长,
z
zfzzfzf
z?
)()(lim)( 00
00 20
1 ( ) d.
2 ( )C
fz z
i z z
利用类似的方法可求得因此,当 时,0z 0.I? 从而
00
0 30
0
( ) ( ) 2 ! ( )( ) lim d,
2 ( )Cz
f z z f z fzf z z
z i z z
证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数,
.d)( )(2 !)( 1
0
0
)(?
C n
n z
zz
zf
i
nzf
2
4
3
d)1( 1
z
zzz
1
3 ]1[
!3
2
zz
i 2.i
高阶导数公式的作用,不在于通过积分来求导,
而在于通过求导来求积分,
例 2.10 求积分
3
4
2
1 d.
( 1 )z
z z
z?
解 因为函数 在复平面解析,3( ) 1 f z z
()
0 1
0
! ( )( ) d,
2 ( )
n
nC
n f zf z z
i z z
0 1z在 内,n=3,根据2z?
() 0 10! ( )( ) d 1,2,3,,2 ( )n nCn f zf z z ni z z
高阶导数公式,
定理 2.6 设函数 f ( z ) 在单连通区域 D 上的解析,
C 是 D 内分段光滑 ( 或可求长 ) 的 Jo rdan 曲线,z 0 在
C 的内部区域,则 f ( z ) 在 z 0 处存在各阶导数,并且其中 C 取正向,
1
2 d
co s
z
z
zz ze
0)co s(!1
2
z
z zei
0]s i nco s[2?
z
zz zezei,2 i
2
1
c o s d.z
z
ez z
z
例 2.11 求积分解 因为函数 在复平面解析,( ) c o szf z e z
0 0z? 在 内,n=1,根据1z?
() 0 10! ( )( ) d 1,2,3,,2 ( )n nCn f zf z z ni z z
高阶导数公式,
定理 2.6 设函数 f ( z ) 在单连通区域 D 上的解析,
C 是 D 内分段光滑 ( 或可求长 ) 的 Jo rdan 曲线,z 0 在
C 的内部区域,则 f ( z ) 在 z 0 处存在各阶导数,并且其中 C 取正向,
2.3.4 典型例题
)1( 12zz ))(( 1 izizz iz
izz
)(
1
)(zf?
,0 iz?
2
1
2 d)1(
1
iz
z
zz 1
2
() d
zi
fz z
zi
izizz
i
)( 12,i
例 2.12 计算积分2
1
2
1 d.
1
zi
z
zz
解 由,Cauchy 积分公式
C zzz zfizf,d)(π2 1)( 00
定理 2.5 设 f ( z ) 是单连通区域 D 上的解析函数,
z 0 是 D 内的一个点,C 是任意一条含 z 0 在内部区域的分段光滑 ( 或可求长 ) Jo rdan 曲线,则
2( ) 2 π 3 7 1 zf z i22 3 7 1,i z z
例 2.13 设 C表示正向圆周 22 3,xy
23 7 1
( ) d,
C
fz z求 (1 ).fi
于是 而 1+i 在 C内,所以( ) 2 ( 6 7 ),f z i z
( 1 ) 2 ( 6 1 3 ),f i i
解 根据,当 z在 C内时,Cauchy 积分公式
C zzz zfizf,d)(π2 1)( 00
定理 2.5 设 f ( z ) 是单连通区域 D 上的解析函数,
z 0 是 D 内的一个点,C 是任意一条含 z 0 在内部区域的分段光滑 ( 或可求长 ) Jo rdan 曲线,则
2
1
1
2
sin
4 d
1
z
z
z
z
2
1
1
d
1
1
4
s i n
z
z
z
z
z
1
1
4
s i n
2
z
z
z
i
2,
2 i
例 2.14 计算积分 其中2
s i n
4 d,
1C
z
z
z
1( 1),1 ;
2Cz
1( 2),1 ;
2Cz( 3),2.Cz?
解 (1) 根据,Cauchy 积分公式
C zzz zfizf,d)(π2 1)( 00
定理 2.5 设 f ( z ) 是单连通区域 D 上的解析函数,
z 0 是 D 内的一个点,C 是任意一条含 z 0 在内部区域的分段光滑 ( 或可求长 ) Jo rdan 曲线,则
2
1
1
2
sin
4 d
1
z
z
z
z
2
1
1
d
1
1
4
s i n
z
z
z
z
z
1
1
4
s i n
2
z
z
z
i
2,
2 i
(2) 根据,Cauchy 积分公式
C zzz zfizf,d)(π2 1)( 00
定理 2.5 设 f ( z ) 是单连通区域 D 上的解析函数,
z 0 是 D 内的一个点,C 是任意一条含 z 0 在内部区域的分段光滑 ( 或可求长 ) Jo rdan 曲线,则
2
2 d1
4
s in
z
z
z
z
2
1
1
2 d1
4
s i n
z
z
z
z
2
1
1
2 d1
4
π
s i n
z
z
z
z
ii 2222,2 i
(3) 根据 以及前面的结果,复合闭路定理
D C 1C 2C 3C
都在 C 的内部,它们互不包含也 互不相交,并且以定理 2.4 设 12,,,,nC C C C是多连通区域 D 内是 D 上的解析函数,那么
1( ) d ( ) d,knCC kf z z f z z其中 C 和 C
k (1? k? n ) 取正向,
若 f ( z )
分段光滑 ( 或可求长 ) Jo rdan 曲线,都12,,,nC C C
为边界的闭区域含于 D 内,12,,,,nC C C C
例 2.15 计算下列积分,其中 C是正向圆周
C zz z d)1( co s 5 1)4()( c o s)!15( 2 zzi
5
.12i
1:zr52 2
c os( 1 ) d ; ( 2 ) d,
1 1
z
CC
zezz
z z
解 (1) 因为函数 在 C内 z=1处不解析,5
cos
1
z
z
但 在 C内处处解析,所以根据cos z?
() 0 10! ( )( ) d 1,2,3,,2 ( )n nCn f zf z z ni z z
高阶导数公式,
定理 2.6 设函数 f ( z ) 在单连通区域 D 上的解析,
C 是 D 内分段光滑 ( 或可求长 ) 的 Jo rdan 曲线,z 0 在
C 的内部区域,则 f ( z ) 在 z 0 处存在各阶导数,并且其中 C 取正向,
1C
2C
x
y
o?
i C
i?
C
z
zz e d)1( 22
12
2 2 2 2d d,( 1 ) ( 1 )
zz
CC
ee zz
zz
(2) 函数 在 C内的 处不解析,22( 1)
ze
z? zi
在 C内分别以 i 和 -i 为中心作正向圆周 C1 和 C2,
则函数 在由22( 1)
ze
z? 12,,C C C
围成的区域内解析,所以由复合闭路定理
D C 1C 2C 3C
都在 C 的内部,它们互不包含也 互不相交,并且以定理 2.4 设 12,,,,nC C C C是多连通区域 D 内是 D 上的解析函数,那么
1( ) d ( ) d,knCC kf z z f z z其中 C 和 C
k (1? k? n ) 取正向,
若 f ( z )
分段光滑 ( 或可求长 ) Jo rdan 曲线,都12,,,nC C C
为边界的闭区域含于 D 内,12,,,,nC C C C
1 d)1( 22C
z
zz e
1
d
)(
)(
2
2
C
z
z
iz
iz
e
iz
z
iz
ei
2
)()!12(
2
( 1 ),
2
iie
1C
2C
x
y
o?
i C
i?
C
z
zz e d)1( 22 2 )1(
iei
2
)1( iei
于是
))(1(2 ii ieei ).1co s1( s ini
( 1 ),
2
iie
2
22 d( 1 )
z
C
e z
z同理解
1
d 0.
z
n
z
e z
z
1
d
z
n
z
zze
0)(2 z
zei 2.i
例 2.16 求积分
1
d,
z
n
z
e z
z 其中 n为整数,
(1) n?0时,函数 在 上解析,
z
n
e
z 1z?
(2) n=1时,由 得Cauchy 积分公式
C zzz zfizf,d)(π2 1)( 00
定理 2.5 设 f ( z ) 是单连通区域 D 上的解析函数,
z 0 是 D 内的一个点,C 是任意一条含 z 0 在内部区域的分段光滑 ( 或可求长 ) Jo rdan 曲线,则由 得定理 2.3 ( Cau chy 积分定理 ) 设 f ( z ) 是单连
D C 说明,该定理的主要部分是Cau chy 于 1825 年建立的,
它是复变函数理论的基础,
通区域 D 上的解析函数，则对 D 内的任何可求长 Jo rdan 曲线 C,都有 ( ) d 0,
C f z z
()
0 1
0
! ( )( ) d,
2 ( )
n
nC
n f zf z z
i z z
1
d
z
n
z
zze
0
)1()(
)!1(
2
z
nze
n
i
.)!1( 2 n i
可得
(3) n>1时,根据
() 0 10! ( )( ) d 1,2,3,,2 ( )n nCn f zf z z ni z z
高阶导数公式,
定理 2.6 设函数 f ( z ) 在单连通区域 D 上的解析,
C 是 D 内分段光滑 ( 或可求长 ) 的 Jo rdan 曲线,z 0 在
C 的内部区域,则 f ( z ) 在 z 0 处存在各阶导数,并且其中 C 取正向,
§ 2.4 解析函数的原函数
1 原函数的概念
2 Newton-Leibniz公式
2.4.1 原函数的概念原函数之间的关系,
定义 2.2 设 f (z)是定义在区域 D上的复变函数,
若存在 D上的解析函数 F(z)使得 在 D( ) ( )F z f z
内成立，则称 F(z)是 f (z)在区域 D上的原函数,
如果 f (z)在区域 D上存在原函数 F(z),则 f (z)是解析函数，因为解析函数的导函数仍是解析函数,
定理 2.7 设 F(z)和 G(z)都是 f (z)在区域 D上的原函数,则 (常数 ),( ) ( )F z G z C
( ) ( ) ( ) ( )F z G z F z G z( ) ( ) 0,f z f z
那么它就有无穷多个原函数,一般表达式为根据以上讨论可知,
证明 设 F(z)和 G(z)都是 f (z)在区域 D上的根据 可知,为常数,( ) ( )F z G z?例 1.15 如果 在区域 D 内处处为零,()fz?
则 f (z)在区域 D 内为常数,
原函数,于是如果 F(z) 是 f (z)在区域 D上的一个原函数，
()F z C?(其中 C是任意复常数 ),
证明 可利用
( ) d d d d d,C C Cf z z u x v y i v x u y
定理 2.1 设 C是分段光滑 (或可求长 )的有向曲线,( ) (,) (,)f z u x y iv x y在 C上连续，则( )d
C f z z? 存在，并且定理 1.5 复变函数 ( ) (,) (,)f z u x y iv x y
在点 处可微 ( 即可导 ) 的充分必要0 0 0z x iy
条件是二元函数 在 处都(,),(,)u x y v x y00(,)xy
可微，并且满足 Cauchy -Riemann 方程,uvxy,uvyx
此时 0( ),uvf z ixx
定理 2.8 设 f (z)是单连通区域 D上的解析函数,
z0是 D内的一个点,C是 D内以 z0为起点,z为终点的分段光滑 (或可求长 )曲线,则积分
( )d
C
f
只依赖于 z0与 z,而与路径 C 无关,
Riemann方程以及曲线积分路径无关的充分必要条件来证明,下面利用 Cauchy积分定理证明,
中的 Cauchy-和
D
0z z?
1C
2C
设 C1与 C2都是以 D内以 z0为起点,z 为终点的分段光滑曲线,又不妨设 C1与 C2都是简单曲线,
如果 C1与 C2除起点和终点之外,再没有其他重点,
则 是 Jordan曲线,12CC
根据 Cauchy定理有
12
( )d 0,
CC
f
12
( ) d ( ) d,
CC
ff
D
0z z?
1C
2C
如果 C1与 C2除起点和终点之外,还有其他重点,
在 D内再做一条以 z0为起点,
z 为终点,除起点和终点之外,与 C1与 C2没有其他重点的分段光滑曲线,C?
C?
则由已证明的情形,
12
( ) d ( ) d ( ) d,
C C C
f f f
0
12
( ) d ( ) d ( ) d,z
z
CC
f f f
D
0z z?
1C
2C
D
0z z?
1C
2C
如果 f (z)在单连通区域 D内解析,则 f (z)在以
z0为起点,z为终点的 D内的分段光滑曲线 C上积分,
积分值与积分路径无关，即 可记为
0
( ) ( ) d,zzF z f于是确定了 D内的一个单值函数证明 因为 z是 D内的点,
定理 2.9 设 f (z)是单连通区域 D上的解析函数,
z0和 z是 D内的点,则
0
( ) ( ) dzzF z f
是 f (z)在 D上的原函数,
以 z为中心作一个含于 D内的以圆周 G为边界的圆域,
D
0z
G?z
D
z G zz
)()( zFzzF
00
( ) d ( ) d,z z zzzff
0z
取 |?z|充分小,使得 z+?z在 圆周 G内,注意因为积分与积分路径无关,所以积分
0
( ) dzzz f
可以先从 z0到 z,然后从 z沿着直线再到 z+?z,即
0
( ) dzzz f
0
( ) d ( ) d,z z zzzff
D
z G zz
0z
( ) ( ) 1( ) ( ) ( ) d,zzzF z z F z f z f f zzz
( ) ( ) ( ) d,zzzF z z F z f于是 并且因为函数 f (z)在 D内连续,所以?e > 0,存在
d? 0,使得当z|< d 时,有
( ) ( ),f f z?e
从而当 |?z|<d 时,利用估值 不等式设曲线 C 的长度为 L,函数 f ( z )在 C 上满足( ) d ( ) d,
CCf z z f z s M L( ),f z M?则估值不等式
B
z K zz
0z
)()()( zfz zFzzF1 ( ) ( ) dzzz f f zz
1 | ( ) ( ) | dzz
z
f f z sz,1 ee zz
于是
0
( ) ( )li m ( ) 0,
z
F z z F z fz
z
即 ( ) ( ),F z f z
与微积分学中对变上限积分求导定理相同,
2.4.2 Newton-Leibniz公式定理 2.7 设 F(z)和 G(z)都是 f (z)在区域 D上的原函数,则 (常数 ),( ) ( )F z G z C
定理 2.10 设 f (z)是单连通区域 D上的解析函数,
F(z)是 f (z)在 D上的原函数,z0和 z1是 D内的两点,则
1
0 10
( ) d ( ) ( ),zz f z z F z F z
证明 因为 也是 f (z)在 D上的原函数,1
0
( )dzz f z z?
根据
0
( ) d ( ),zz f z z F z C
其中 C为常数,易见 0( ),C F z
说明,有了上述定理,复变函数的积分就可以用与微积分学中类似的方法去计算,
如果没有 D是单连通区域的假设，那么
0
( ) ( ) dzzF z f
一般是一个多值函数,
复变函数的积分 积分存在的条件及计算积分的性质 Cauchy积分定理原函数的概念复合闭路定理
Cauchy
积分公式高阶导数公式
Newton-
Leibniz公式本章内容总结
1,Cauchy积分定理
2,复合闭路定理
3,Cauchy积分公式与高阶导数公式本章的重点
4,复变函数积分的计算第二章 完
George Green (1793.7.14-1841.5.31)
自学而成的英国数学家、物理学家,出色地将数学方法应用到电磁理论和其他数学物理问题,
1928年出版了 出版了小册子,数学分析在电磁学中的应用,,其中有著名的 Green公式,
40岁进入剑桥大学学习,1839年聘为剑桥大学教授,
他的工作培育了数学物理学者的 剑桥学派,其中包括 G,Stokes和 C,Maxwell.
Isaac Newton
(1642.12.25-1727.3.20)
伟大的英国物理学家和数学家,
1661年,进入剑桥大学三一学院学习,
大学毕业后,在 1665和 1666年期间,Newton 做了具有划时代意义的三项工作,微积分、万有引力和光的分析,1687年发表,自然哲学之数学原理,,
1669年任 剑桥大学教授,1703年当选为皇家学会会长,1705年被英国女王授予爵士称号,他还担任过造币厂厂长,
Nature and Nature’s laws lay hid in night,
God said,“Let Newton be!”
and all was light.
Newton说,,我不知道世人怎样看我,我只觉得自己好象是在海滨游戏的孩子,有时为找到一个光滑的石子或比较美丽的贝壳而高兴,而真理的海洋仍然在我的前面未被发现,”
我是站在巨人的肩上,
—— I,Newton
英国诗人 A,Pope赞美 Newton的,
宇宙和自然的规律隐藏在黑夜里,神说,,让牛顿降生吧 !”
一切都是光明,
诗句
Gottfried Wilhelm Leibniz
(1646.6.21-1716.11.14)
德国数学家,他还是外交家、哲学家、法学家、历史学家、语言学家和先驱的地质学家,他在逻辑学、力学、光学、
数学、流体静力学、气体学、航海学和计算机方面做了重要的工作,
1666年他撰写了一般推理方法的论文,论组合的艺术,,获得哲学博士学位,并被任命为教授,在
1672年因外交事务出使法国,接触到一些数学家,
开始深入地研究数学,特别是 1673年开始研究微积分,从 1684年起发表微积分论文,他是历史上最大的符号学者之一,所创设的微积分符号,远优于 Newton的符号,很多一直沿用至今,
Leibniz多才多艺,他在 1671年左右制造出一种手摇计算机,甚至研究过中国古代哲学,
Newton和 Leibniz是微积分的奠基者,从那时起,数学乃至几乎所有科学领域开始了新纪元,
§ 2.1 复变函数的积分
§ 2.2 Cauchy积分定理
§ 2.3 Cauchy积分公式
§ 2.4 解析函数的原函数主 要 内 容本章介绍复变函数的积分概念，解析函数积分的主要性质,重点是 Cauchy积分定理,Cauchy积分公式,Cauchy(高阶 )导数公式,
§ 2.1 复变函数的积分
1 积分的概念
2 积分存在条件及性质
3 积分的计算
2.1.1 积分的概念
1,,,,k n nz z z Z
定义 2.1 设 C是复平面上以 z0为起点,Z为终
o x
y
0z
Z
1?nz
kz
1?kz2z1z
C
有向简单连续曲线,()fz是 C上的复变函数,
在 C上依次取分点把曲线 C分割为 n个小段,
(如图 )
0 1 1,,,,kz z z?
o x
y
0z
Z
1?nz
kz
1?kz2z1z
k?
C
1? 2?
在每个小弧段1 1,2,,kkz z k n上任取一点 ( 1,2,,),n kn 做和数
1
( ),
n
n k k
k
S f z?
其中,1k k kz z z
1,2,,.kn?
令
1m a x,kkn z
如果分点的个数无限增多，并且极限存在,则称该极限值为函数 在曲线 C上的积分,()fz
00 1
l i m l i m ( )
n
n k k
k
S f z
并记作 ( )d,C f z z? 即
0 1
( ) d l i m ( ),
n
kkC
k
f z z f z
如果 C是闭曲线，经常记作 ( )d,C f z z?
当 C是实轴上的区间,,ab 方向从 a到 b,并且
()fz为实值函数，那么这个积分就是定积分,
2.1.2 积分存在的条件及积分性质
n
k
kkkkkk
n
k
kkkkkk
n
k
kk
yuxvi
yvxuzf
1
11
]),(),([
]),(),([)(
C zzf d)(C yvxu dd d d,C v x u y i?
定理 2.1 设 C是分段光滑 (或可求长 )的有向曲线,( ) (,) (,)f z u x y iv x y在 C上连续，则
( )dC f z z? 存在，并且
C zzf d)( C yixivu )dd)((
C yvyiuxivxu dddd
.dddd CC yuxviyvxu
从 形式上 可以看成
C zzf d)(C yvxu ddC yuxv dd? i?
定理 2.2 设光滑曲线
,( ) ( ) ( ) ( ),C z z t x t iy t t
()z? 是起点,()z? 是终点，则
( ) d [ ( ) ] ( ) dC f z z f z t z t t
[ ( ),( ) ] ( ) [ ( ),( ) ] ( ) du x t y t x t v x t y t y t t
[ ( ),( ) ] ( ) [ ( ),( ) ] ( ) d,i v x t y t x t u x t y t y t t
[ ( ),( ) ] [ ( ),( ) ] ( ) ( ) du x t y t iv x t y t x t iy t t
复变函数的积分具有如下一些性质,
( 1 ) ( ) d ( ) d ;CCf z z f z z;d)(d)(d)]()([)3( CCC zzgzzfzzgzf
(4) 设 C1的终点是 C2的起点,C=C1+C2,则
(k是复常数 );( 2 ) ( ) d ( ) dCCk f z z k f z z
12
( ) d ( ) d ( ) d ;C C Cf z z f z z f z z
11
( ) ( )
nn
k k k k
kk
f z f z
1
()
n
kk
k
fs?
1
,
n
k
k
M s ML
其中,ks? 是 kz 与 1kz? 两点之间弧段的长度,
根据积分定义，令 0, 即得性质 (5),
估值不等式事实上,
(5) 设曲线 C的长度为 L,函数 f (z)在 C上满足
( ) d ( ) d,CCf z z f z s M L( ),f z M?则例 2.1 设 C是复平面上以 z0为起点,z为终点的分段光滑 (或可求长 )曲线，则
01 d,C z z z
解 根据积分的定义
100
11
1 d li m li m ( )
nn
k k kC
kk
z z z z
000l i m ( ),z z z z
2.1.3 积分的计算解
z
x
y
o
r0z?
积分路径的参数方程为
),π20(0irezz
C n zzz d)( 1 1
0
π20 )1(1 d
nin
i
er
ir e
,dπ20inn er i
例 2.2 计算积分 1
0
1 d
() nC zzz (n是整数 ),
其中 C是圆周,0 ( 0 )z z r r
的正向,
z
x
y
o
r0z
,0 时当?n
C n zzz d)( 1 1
0?
π20 d?i ;2 i
,0 时当?n
C n zzz d)( 1 1
0
2 π
0 ( c os sin ) d 0.n
i n i n
r
rzz
n zzz
0
d)( 1 1
0
所以
.0,0
,0,2
n
ni
重要结论：积分值与圆周的中心、半径无关,
解 (1) 积分路径的参数方程为 ( ) ( 0 1 ),z t t it t
R e,d ( 1 ) d,z t z i t
C zzdRe 10 d)1( tit );1(21 i x
y
o
i1
1
i
d)1(d 10 2 ttizzC 12 0( 1 ) d,i t t i
例 2.3 计算积分 Re dC zz? 与 d,C zz? 其中 C为
(1) 从原点到 1+i 的直线段；
(2) 抛物线 y=x2 上从原点到 1+i 的弧段；
(3) 从原点沿 x轴到 1,再从 1到 1+i 的折线,
(2) 积分路径的参数方程为
x
y
o
i1
1
i
2xy? ),10()(
2 titttz
R e,d ( 1 2 ) d,z t z ti t
C zzdRe 10 d)21( titt
12
3
0
2 1 2 ;
2 3 2 3
ti ti
dC zz10 2 d)21)(( tititt
1 32
0 [ ( 2 ) 3 ] d,t t i t t i
x
y
o
i1
1
i
2xy?
(3) 积分路径由两段直线段构成
x轴上直线段的参数方程为 ( ) ( 0 1 ),z t t t
1到 1+i直线段的参数方程为 ),10(1)( tittz
Re,d d,z t z t
R e 1,d d,z z i t
C zzdRe10 d tt10 d1 ti,21 i
dd 10 ttzzC d)1(10 tiit
.i?
都是从相同的起点到相同的终点,沿着三条不注意 1 从例 2.3看到,积分 d,C zz?R e ( )dC zz? 和相同的路径进行,但是 积分值不同,R e ( )d
C zz?
dC zz? 积分值相同,是否可以讨论积分与积分路径的关系?
注意 2 一般不能将函数 f (z)在以?为起点,以?
为终点的曲线 C上的积分记成 因为( ) d,f z z
积分值可能与积分路径有关,所以记 ( )d,C f z z?
§ 2.2 Cauchy积分定理
1 Cauchy积分定理
2 复合闭路定理
3 典型例题首先给出推广的 Gre en 公式,
设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围成,函数(,)P x y
和 (,)Q x y在 D 上具有一阶连续偏导数,
则有 d d d d,
DL
QP x y P x Q yxy
其中 L 是 D 的取正向的边界曲线,
2.2.1 Cauchy积分定理在单连通区域 D上连续,设 (,),(,)P x y Q x y
在 D上存在,,QPxy并且 QPxy在 D上连续,
则对任何 D内的可求长 Jordan曲线 C,都有
d d ( ) d d,
CG
QPP x Q y x y
xy
其中 G是 C围成的区域,C 取正向,
定理 2.3 (Cauchy积分定理 ) 设 f (z)是单连
D C
说明,该定理的主要部分是
Cauchy 于 1825 年建立的,
它是复变函数理论的基础,
通区域 D上的解析函数，则对 D内的任何可求长 Jordan曲线 C,都有
( ) d 0,
C
f z z
证明 根据
( ) d d d d d,C C Cf z z u x v y i v x u y
C yvxu dd () d d
D
vu xy
xy
0,?
C yuxv dd d d
D
uv xy
xy
0.?
0,uvyx 0.uvxy
由改进的 Green公式定理 2.1 设 C 是分段光滑 (或可求长 )的有向曲线,( ) (,) (,)f z u x y iv x y在 C 上连续，则( )d
C f z z? 存在，并且 ( ) d d d d d,
C C Cf z z u x v y i v x u y
定理 2.1
因为 f (z)解析,所以 u(x,y)和 v(x,y)在 D内可微,且注意 2 若曲线 C是区域 D 的边界,函注意 1 定理中的 C
可以不是简单曲线,D C
函数 f (z)在 D内解析,在闭区域 上连D D C
( ) d 0,C f z z续,则注意 3 定理中 D是单连通区域的假设不可缺少,
例如函数 1 ( ) fz z?在区域 13,22Dz内的曲线,1Cz?上积分,参看
0 10
2,0,1 d() 0,0,nz z r inzzz n例 2.2.
积分值与圆周的中心、半径无关,
解 因为函数
1
1 d 0,
23z zz
例 2.4 计算积分
z1
1 d.
23 zz
1()
23fz z
在 上解析,所以根据 Cauchy积分定理,有1z?
解 2
1 1 1 1 1,
( 1 ) 2z z z z i z i
根据 Cauchy积分定理得
2
1
2 d)1(
1
iz
z
zz?
2
1
d1
2
11
2
11
iz
z
izizz
例 2.5 计算积分 2
1
2
1 d.
( 1 )
zi
z
zz
因为 1z 和 1zi? 都在 12zi上解析,所以
2
1
2
1
2
1
d1
2
1d1
2
1d1
iziziz
z
iz
z
iz
z
z
0?
2
1
d1
2
1
iz
z
iz i 221,i
这里用到了
0 10
2,0,1 d() 0,0,nz z r inzzz n例 2.2.
积分值与圆周的中心、半径无关,
2.2.2 复合闭路定理
D
C
1C
2C
3C
都在 C 的内部,它们互不包含也 互不相交,并且以定理 2.4 设 12,,,,nC C C C是多连通区域 D内是 D上的解析函数,那么
1
( ) d ( ) d,
k
n
CC kf z z f z z
其中 C和 Ck(1?k?n)取正向,
若 f (z)
分段光滑 (或可求长 ) Jordan曲线,都12,,,nC C C
为边界的闭区域含于 D内,12,,,,nC C C C
D
C
A1 A2 A3
A4
C1
C2
E
F
G
IH
证明 不妨设 n=2,作两条辅助线 (如图 ).1 2 3 4,A A A A
这样由 1 2 3 4 4 3 2 1E A A F A A G A A H A A I E作为边界 G,
围成单连通区域,
( ) d 0.f z zG
11,C E A A I I E
1 1 2 2 3 3 4 4
4 4 3 3 2 2 1 1
,
E A A A A F F A A A A G
G A A A A H H A A A A I I E
G
1 2 3 3 2C A F F A A H H A
2 4 4,C A G G A
f (z)在 G 所围的区域内解析,由定理 2.3 ( Cau chy 积分定理 ) 设 f ( z ) 是单连
D C 说明,该定理的主要部分是Cau chy 于 1825 年建立的,
它是复变函数理论的基础,
通区域 D 上的解析函数，则对 D 内的任何可求长 Jo rdan 曲线 C,都有 ( ) d 0,
C f z z
21,0d)(CCC zzf
,0d)(d)(d)(
21
C CC zzfzzfzzf
.d)(d)(d)(
21
C CC zzfzzfzzf
当 n 为其它值时，可同样证明,
在公共边界 (辅助线 )上,积分两次,方向相反,积分值之和等于 0,所以
2.2.3 典型例题解 显然函数
x
y
o1
G
例 2.6 计算积分 其中 G为包含圆周221 d,z zzz
G
在内的任意分段光滑正向简单闭 曲线,1z?
2
21() zfz
zz
在复平面有两个奇点 0和 1,
并且 G 包含了这两个奇点,
x
y
o1
G
1C 2C
G
zzz z d12 2
21
d12d12 22
CC
zzz zzzz z
2211
d1d11d1d11
CCCC
zzzzzzzz
0220 ii.4
在 G内作两个互不包含也互不相交的正向圆周 C1和 C2,使得 C1只包含奇点 0,C2 只包含奇点 1,根据,复合闭路定理
D C 1C 2C 3C
都在 C 的内部,它们互不包含也 互不相交,并且以定理 2.4 设 12,,,,nC C C C是多连通区域 D 内是 D 上的解析函数,那么
1( ) d ( ) d,knCC kf z z f z z其中 C 和 C
k (1? k? n ) 取正向,
若 f ( z )
分段光滑 ( 或可求长 ) Jo rdan 曲线,都12,,,nC C C
为边界的闭区域含于 D 内,12,,,,nC C C C
x
y
o 1 2
1C
2C解 显然 C1和 C2围成一
12
d d d 0.
z z z
CC
e e ez z z
z z zG
例 2.7 计算积分 d,
ze
zz
G
其中 G 由正向圆周
2z? 和负向圆周 1z? 组成,
个圆环域,函数 ()
ze
fz z?
在此圆环域及其边界上解析,并且 圆环域的边界构成复合闭路,所以根据,复合闭路定理
D C 1C 2C 3C
都在 C 的内部,它们互不包含也 互不相交,并且以定理 2.4 设 12,,,,nC C C C是多连通区域 D 内是 D 上的解析函数,那么
1( ) d ( ) d,knCC kf z z f z z其中 C 和 C
k (1? k? n ) 取正向,
若 f ( z )
分段光滑 ( 或可求长 ) Jo rdan 曲线,都12,,,nC C C
为边界的闭区域含于 D 内,12,,,,nC C C C
例 2.8 求积分 其中 G 为含 z0的 1
0
1 d,
n zzz?
G?
解 因为 z0在闭曲线 G 的内部,G
0z?
1G
任意分段光滑的 Jordan曲线,n为整数,
故可取充分小的正数 r,使得圆周
10,z z rG含在 G的内部,
0 10
2,0,1 d() 0,0,nz z r inzzz n例 2.2.
积分值与圆周的中心、半径无关,
可得再利用根据,复合闭路定理
D C 1C 2C 3C
都在 C 的内部,它们互不包含也 互不相交,并且以定理 2.4 设 12,,,,nC C C C是多连通区域 D 内是 D 上的解析函数,那么
1( ) d ( ) d,knCC kf z z f z z其中 C 和 C
k (1? k? n ) 取正向,
若 f ( z )
分段光滑 ( 或可求长 ) Jo rdan 曲线,都12,,,nC C C
为边界的闭区域含于 D 内,12,,,,nC C C C
1
0
2,01 d
() 0,0,n
inz
zz n
G
故这一结果很重要,
1
11
00
11 d d
( ) ( )nnzzz z z zGG
2,0 ;
0,0,
in
n
与 进行比较,
0 10
2,0,1 d() 0,0,n
z z r
inzzz n
例 2.2.
积分值与圆周的中心、半径无关,
G
0z?
1G
§ 2.3 Cauchy积分公式
1 问题的提出
2 Cauchy积分公式
3 高阶导数公式
4 典型例题
2.3.1 问题的提出定理知,
当? 充分小时,这个积分值与? 的取值无关,
设 f (z)在单连通区域 D上解析,z0是 D内的一个定点,则 在 z0 不解析,
0
()fz
zz?
Jordan曲线,当? >0充分小时,根据复合闭路如果 C是含 z0在其内部区域的分段光滑的
000
( ) ( )d d,
C z z
f z f zzz
z z z z
C zzz zf d)(
0
0 ).(2d1)(
0
0
0 zifzzzzf C
所以这个积分值只与 f (z) 在 z0 附近的值有关,
因为 f (z) 在 z0 连续,故 上 函数 f (z)0zz
的值将随着? 的减小而接近 0( ).fz
因此,随着? 的减小,应该有
0
() d
C
fz z
zz 接近于
0
0
() d,
C
fz z
zz 然而
2.3.2 Cauchy积分公式
Cauchy积分公式
C zzz zfizf,d)(π2 1)(
0
0 D?
0zC
定理 2.5 设 f (z)是单连通区域 D上的解析函数,
z0 是 D内的一个点,C是任意一条含 z0 在内部区域的分段光滑 (或可求长 ) Jordan曲线,则
D?0zC
取 R>0充分小,使得 R<d,并且正向圆周 G,
证明 f (z)在 z0连续,则?e?0,存在 d?0,使得
0
() d
C
fz z
zz 0
() dfz z
zzG
00( ) ( ) ( )ddf z f z f zzz
z z z zGG
0
0
0
( ) ( )2 ( ) d,f z f zif z z
zz? G
当 时,0zz d 0( ) ( ),f z f z e
0z z R在 C的内部,则
GR
0
0
( ) ( ) df z f z s
zzG
d2 π,sRe eG
的值与 R 无关,所以由 e 的任意性,可知
0
0
( ) ( ) df z f z z
zzG
根据估值 不等式设曲线 C 的长度为 L,函数 f ( z )在 C 上满足( ) d ( ) d,
CCf z z f z s M L( ),f z M?则估值不等式实际上,积分
0
0
( ) ( ) df z f z z
zzG
0
0
( ) ( ) d 0,f z f z z
zzG
关于 Cauchy积分公式的说明,
可见,函数在 C内部任一点的值可用它在边界上
（这是解析函数的一个重要特征）
(1) 从 Cauchy积分公式
0
0
1 ( )( ) d
2 C
fzf z z
i z z
的值通过积分来表示,
这表明了 Cauchy积分公式不但提供了计算
(这是研究解析函数的有力工具 )
(2) 如果曲线 C上的点用? 表示,C内部的点用 z 表示,则 Cauchy积分公式表示为
1 ( )( ) d,
2 C
ffz
iz
某些复变函数沿闭路积分的一种方法,而且给出了解析函数的一个积分表达式,
例 2.9 计算积分
31 d,
( 1 )C
z z
zz
其中 C是正向圆周 2.z?
解 在 C内部作正向圆周
1
1:,
2Cz? 2
1,1,
4Cz
12
3 1 3 1 3 1d d d,
( 1 ) ( 1 ) ( 1 )C C C
z z zz z z
z z z z z z
根据,复合闭路定理
D C 1C 2C 3C
都在 C 的内部,它们互不包含也 互不相交,并且以定理 2.4 设 12,,,,nC C C C是多连通区域 D 内是 D 上的解析函数,那么
1( ) d ( ) d,knCC kf z z f z z其中 C 和 C
k (1? k? n ) 取正向,
若 f ( z )
分段光滑 ( 或可求长 ) Jo rdan 曲线,都12,,,nC C C
为边界的闭区域含于 D 内,12,,,,nC C C C
因为 1 31() 1zfz z在 C1围成的闭区域上解析,
2
31() zfz
z
在 C
2 围成的闭区域上解析,所以由
Cauchy积分公式
12
113 1 ( ) ( )d d d
( 1 ) 1C C C
z f z f zz z z
z z z z
122 ( 0 ) ( 1 )i f f
2 ( 1 2 ) 6,ii
2.3.3 高阶导数公式
1 ( )( ) d,
2 C
ffz
iz
如果各阶导数存在,并且导数运算可在积分号下进行,则
2
1 ( )( ) d,
2 ( )C
ffz
iz
由,解析函数的积分表达式为Cauchy 积分公式
C zzz zfizf,d)(π2 1)( 00
定理 2.5 设 f ( z ) 是单连通区域 D 上的解析函数,
z 0 是 D 内的一个点,C 是任意一条含 z 0 在内部区域的分段光滑 ( 或可求长 ) Jo rdan 曲线,则
3
2 1 ( )( ) d,
2() C
ffz
iz
()
1
! ( )( ) d,
2 ( )
n
n
C
nffz
iz
(1) 解析函数是否存在各阶导数?
(2) 导数运算可否在积分号下进行?
我们有下面的 Cauchy导数公式,
()
0 1
0
! ( )( ) d
2 π ()
n
n
C
n f zf z z
i z z
高阶导数公式
D?0zC
定理 2.6 设函数 f (z)在单连通区域 D上的解析,
C是 D内分段光滑 (或可求长 )的 Jordan曲线,z0 在
C的内部区域,则 f (z)在 z0处存在各阶导数,并且
( 1,2,3,),n?
其中 C取正向,
0
0
1 ( )( ) d,
2 C
fzf z z z
i z z z
z
zfzzf
)()( 00
证明 首先考虑 n=1的情形,因为 z0在 C的内部,
故当 |?z| 适当小时,z0+?z也 在 C的内部,所以应用于是
00
1 ( ) ( )dd
2 CC
f z f zzz
i z z z z z z?
可知Cauchy 积分公式
C zzz zfizf,d)(π2 1)( 00
定理 2.5 设 f ( z ) 是单连通区域 D 上的解析函数,
z 0 是 D 内的一个点,C 是任意一条含 z 0 在内部区域的分段光滑 ( 或可求长 ) Jo rdan 曲线,则
C zzzzzz zfi d))(( )(2 1
00
CC zzzzzz zzfizzz zfi d)()( )(2 1d)( )(2 1
0
2
0
2
0
I?
C zzzzzz zzfI d)()( )(2 1
0
2
0
C szzzzz zfz d)(2 1
0
2
0
因为 f (z)在 C上解析,所以在 C上连续,故有界,
00,2
Rz z z z z z
0
12,
z z z R
于是存在 M >0,使得 |f (z)|?M,又因为 z0 是 C
内部区域内的点,所以存在 R >0,使0z z z R
在 C的 内部区域,
DC?0z GR
因此当 z在 C上时,0,z z R
,2Rz取 则
3,
MLIz
R所以 其中 L是曲线 C的弧长,
z
zfzzfzf
z?
)()(lim)( 00
00 20
1 ( ) d.
2 ( )C
fz z
i z z
利用类似的方法可求得因此,当 时,0z 0.I? 从而
00
0 30
0
( ) ( ) 2 ! ( )( ) lim d,
2 ( )Cz
f z z f z fzf z z
z i z z
证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数,
.d)( )(2 !)( 1
0
0
)(?
C n
n z
zz
zf
i
nzf
2
4
3
d)1( 1
z
zzz
1
3 ]1[
!3
2
zz
i 2.i
高阶导数公式的作用,不在于通过积分来求导,
而在于通过求导来求积分,
例 2.10 求积分
3
4
2
1 d.
( 1 )z
z z
z?
解 因为函数 在复平面解析,3( ) 1 f z z
()
0 1
0
! ( )( ) d,
2 ( )
n
nC
n f zf z z
i z z
0 1z在 内,n=3,根据2z?
() 0 10! ( )( ) d 1,2,3,,2 ( )n nCn f zf z z ni z z
高阶导数公式,
定理 2.6 设函数 f ( z ) 在单连通区域 D 上的解析,
C 是 D 内分段光滑 ( 或可求长 ) 的 Jo rdan 曲线,z 0 在
C 的内部区域,则 f ( z ) 在 z 0 处存在各阶导数,并且其中 C 取正向,
1
2 d
co s
z
z
zz ze
0)co s(!1
2
z
z zei
0]s i nco s[2?
z
zz zezei,2 i
2
1
c o s d.z
z
ez z
z
例 2.11 求积分解 因为函数 在复平面解析,( ) c o szf z e z
0 0z? 在 内,n=1,根据1z?
() 0 10! ( )( ) d 1,2,3,,2 ( )n nCn f zf z z ni z z
高阶导数公式,
定理 2.6 设函数 f ( z ) 在单连通区域 D 上的解析,
C 是 D 内分段光滑 ( 或可求长 ) 的 Jo rdan 曲线,z 0 在
C 的内部区域,则 f ( z ) 在 z 0 处存在各阶导数,并且其中 C 取正向,
2.3.4 典型例题
)1( 12zz ))(( 1 izizz iz
izz
)(
1
)(zf?
,0 iz?
2
1
2 d)1(
1
iz
z
zz 1
2
() d
zi
fz z
zi
izizz
i
)( 12,i
例 2.12 计算积分2
1
2
1 d.
1
zi
z
zz
解 由,Cauchy 积分公式
C zzz zfizf,d)(π2 1)( 00
定理 2.5 设 f ( z ) 是单连通区域 D 上的解析函数,
z 0 是 D 内的一个点,C 是任意一条含 z 0 在内部区域的分段光滑 ( 或可求长 ) Jo rdan 曲线,则
2( ) 2 π 3 7 1 zf z i22 3 7 1,i z z
例 2.13 设 C表示正向圆周 22 3,xy
23 7 1
( ) d,
C
fz z求 (1 ).fi
于是 而 1+i 在 C内,所以( ) 2 ( 6 7 ),f z i z
( 1 ) 2 ( 6 1 3 ),f i i
解 根据,当 z在 C内时,Cauchy 积分公式
C zzz zfizf,d)(π2 1)( 00
定理 2.5 设 f ( z ) 是单连通区域 D 上的解析函数,
z 0 是 D 内的一个点,C 是任意一条含 z 0 在内部区域的分段光滑 ( 或可求长 ) Jo rdan 曲线,则
2
1
1
2
sin
4 d
1
z
z
z
z
2
1
1
d
1
1
4
s i n
z
z
z
z
z
1
1
4
s i n
2
z
z
z
i
2,
2 i
例 2.14 计算积分 其中2
s i n
4 d,
1C
z
z
z
1( 1),1 ;
2Cz
1( 2),1 ;
2Cz( 3),2.Cz?
解 (1) 根据,Cauchy 积分公式
C zzz zfizf,d)(π2 1)( 00
定理 2.5 设 f ( z ) 是单连通区域 D 上的解析函数,
z 0 是 D 内的一个点,C 是任意一条含 z 0 在内部区域的分段光滑 ( 或可求长 ) Jo rdan 曲线,则
2
1
1
2
sin
4 d
1
z
z
z
z
2
1
1
d
1
1
4
s i n
z
z
z
z
z
1
1
4
s i n
2
z
z
z
i
2,
2 i
(2) 根据,Cauchy 积分公式
C zzz zfizf,d)(π2 1)( 00
定理 2.5 设 f ( z ) 是单连通区域 D 上的解析函数,
z 0 是 D 内的一个点,C 是任意一条含 z 0 在内部区域的分段光滑 ( 或可求长 ) Jo rdan 曲线,则
2
2 d1
4
s in
z
z
z
z
2
1
1
2 d1
4
s i n
z
z
z
z
2
1
1
2 d1
4
π
s i n
z
z
z
z
ii 2222,2 i
(3) 根据 以及前面的结果,复合闭路定理
D C 1C 2C 3C
都在 C 的内部,它们互不包含也 互不相交,并且以定理 2.4 设 12,,,,nC C C C是多连通区域 D 内是 D 上的解析函数,那么
1( ) d ( ) d,knCC kf z z f z z其中 C 和 C
k (1? k? n ) 取正向,
若 f ( z )
分段光滑 ( 或可求长 ) Jo rdan 曲线,都12,,,nC C C
为边界的闭区域含于 D 内,12,,,,nC C C C
例 2.15 计算下列积分,其中 C是正向圆周
C zz z d)1( co s 5 1)4()( c o s)!15( 2 zzi
5
.12i
1:zr52 2
c os( 1 ) d ; ( 2 ) d,
1 1
z
CC
zezz
z z
解 (1) 因为函数 在 C内 z=1处不解析,5
cos
1
z
z
但 在 C内处处解析,所以根据cos z?
() 0 10! ( )( ) d 1,2,3,,2 ( )n nCn f zf z z ni z z
高阶导数公式,
定理 2.6 设函数 f ( z ) 在单连通区域 D 上的解析,
C 是 D 内分段光滑 ( 或可求长 ) 的 Jo rdan 曲线,z 0 在
C 的内部区域,则 f ( z ) 在 z 0 处存在各阶导数,并且其中 C 取正向,
1C
2C
x
y
o?
i C
i?
C
z
zz e d)1( 22
12
2 2 2 2d d,( 1 ) ( 1 )
zz
CC
ee zz
zz
(2) 函数 在 C内的 处不解析,22( 1)
ze
z? zi
在 C内分别以 i 和 -i 为中心作正向圆周 C1 和 C2,
则函数 在由22( 1)
ze
z? 12,,C C C
围成的区域内解析,所以由复合闭路定理
D C 1C 2C 3C
都在 C 的内部,它们互不包含也 互不相交,并且以定理 2.4 设 12,,,,nC C C C是多连通区域 D 内是 D 上的解析函数,那么
1( ) d ( ) d,knCC kf z z f z z其中 C 和 C
k (1? k? n ) 取正向,
若 f ( z )
分段光滑 ( 或可求长 ) Jo rdan 曲线,都12,,,nC C C
为边界的闭区域含于 D 内,12,,,,nC C C C
1 d)1( 22C
z
zz e
1
d
)(
)(
2
2
C
z
z
iz
iz
e
iz
z
iz
ei
2
)()!12(
2
( 1 ),
2
iie
1C
2C
x
y
o?
i C
i?
C
z
zz e d)1( 22 2 )1(
iei
2
)1( iei
于是
))(1(2 ii ieei ).1co s1( s ini
( 1 ),
2
iie
2
22 d( 1 )
z
C
e z
z同理解
1
d 0.
z
n
z
e z
z
1
d
z
n
z
zze
0)(2 z
zei 2.i
例 2.16 求积分
1
d,
z
n
z
e z
z 其中 n为整数,
(1) n?0时,函数 在 上解析,
z
n
e
z 1z?
(2) n=1时,由 得Cauchy 积分公式
C zzz zfizf,d)(π2 1)( 00
定理 2.5 设 f ( z ) 是单连通区域 D 上的解析函数,
z 0 是 D 内的一个点,C 是任意一条含 z 0 在内部区域的分段光滑 ( 或可求长 ) Jo rdan 曲线,则由 得定理 2.3 ( Cau chy 积分定理 ) 设 f ( z ) 是单连
D C 说明,该定理的主要部分是Cau chy 于 1825 年建立的,
它是复变函数理论的基础,
通区域 D 上的解析函数，则对 D 内的任何可求长 Jo rdan 曲线 C,都有 ( ) d 0,
C f z z
()
0 1
0
! ( )( ) d,
2 ( )
n
nC
n f zf z z
i z z
1
d
z
n
z
zze
0
)1()(
)!1(
2
z
nze
n
i
.)!1( 2 n i
可得
(3) n>1时,根据
() 0 10! ( )( ) d 1,2,3,,2 ( )n nCn f zf z z ni z z
高阶导数公式,
定理 2.6 设函数 f ( z ) 在单连通区域 D 上的解析,
C 是 D 内分段光滑 ( 或可求长 ) 的 Jo rdan 曲线,z 0 在
C 的内部区域,则 f ( z ) 在 z 0 处存在各阶导数,并且其中 C 取正向,
§ 2.4 解析函数的原函数
1 原函数的概念
2 Newton-Leibniz公式
2.4.1 原函数的概念原函数之间的关系,
定义 2.2 设 f (z)是定义在区域 D上的复变函数,
若存在 D上的解析函数 F(z)使得 在 D( ) ( )F z f z
内成立，则称 F(z)是 f (z)在区域 D上的原函数,
如果 f (z)在区域 D上存在原函数 F(z),则 f (z)是解析函数，因为解析函数的导函数仍是解析函数,
定理 2.7 设 F(z)和 G(z)都是 f (z)在区域 D上的原函数,则 (常数 ),( ) ( )F z G z C
( ) ( ) ( ) ( )F z G z F z G z( ) ( ) 0,f z f z
那么它就有无穷多个原函数,一般表达式为根据以上讨论可知,
证明 设 F(z)和 G(z)都是 f (z)在区域 D上的根据 可知,为常数,( ) ( )F z G z?例 1.15 如果 在区域 D 内处处为零,()fz?
则 f (z)在区域 D 内为常数,
原函数,于是如果 F(z) 是 f (z)在区域 D上的一个原函数，
()F z C?(其中 C是任意复常数 ),
证明 可利用
( ) d d d d d,C C Cf z z u x v y i v x u y
定理 2.1 设 C是分段光滑 (或可求长 )的有向曲线,( ) (,) (,)f z u x y iv x y在 C上连续，则( )d
C f z z? 存在，并且定理 1.5 复变函数 ( ) (,) (,)f z u x y iv x y
在点 处可微 ( 即可导 ) 的充分必要0 0 0z x iy
条件是二元函数 在 处都(,),(,)u x y v x y00(,)xy
可微，并且满足 Cauchy -Riemann 方程,uvxy,uvyx
此时 0( ),uvf z ixx
定理 2.8 设 f (z)是单连通区域 D上的解析函数,
z0是 D内的一个点,C是 D内以 z0为起点,z为终点的分段光滑 (或可求长 )曲线,则积分
( )d
C
f
只依赖于 z0与 z,而与路径 C 无关,
Riemann方程以及曲线积分路径无关的充分必要条件来证明,下面利用 Cauchy积分定理证明,
中的 Cauchy-和
D
0z z?
1C
2C
设 C1与 C2都是以 D内以 z0为起点,z 为终点的分段光滑曲线,又不妨设 C1与 C2都是简单曲线,
如果 C1与 C2除起点和终点之外,再没有其他重点,
则 是 Jordan曲线,12CC
根据 Cauchy定理有
12
( )d 0,
CC
f
12
( ) d ( ) d,
CC
ff
D
0z z?
1C
2C
如果 C1与 C2除起点和终点之外,还有其他重点,
在 D内再做一条以 z0为起点,
z 为终点,除起点和终点之外,与 C1与 C2没有其他重点的分段光滑曲线,C?
C?
则由已证明的情形,
12
( ) d ( ) d ( ) d,
C C C
f f f
0
12
( ) d ( ) d ( ) d,z
z
CC
f f f
D
0z z?
1C
2C
D
0z z?
1C
2C
如果 f (z)在单连通区域 D内解析,则 f (z)在以
z0为起点,z为终点的 D内的分段光滑曲线 C上积分,
积分值与积分路径无关，即 可记为
0
( ) ( ) d,zzF z f于是确定了 D内的一个单值函数证明 因为 z是 D内的点,
定理 2.9 设 f (z)是单连通区域 D上的解析函数,
z0和 z是 D内的点,则
0
( ) ( ) dzzF z f
是 f (z)在 D上的原函数,
以 z为中心作一个含于 D内的以圆周 G为边界的圆域,
D
0z
G?z
D
z G zz
)()( zFzzF
00
( ) d ( ) d,z z zzzff
0z
取 |?z|充分小,使得 z+?z在 圆周 G内,注意因为积分与积分路径无关,所以积分
0
( ) dzzz f
可以先从 z0到 z,然后从 z沿着直线再到 z+?z,即
0
( ) dzzz f
0
( ) d ( ) d,z z zzzff
D
z G zz
0z
( ) ( ) 1( ) ( ) ( ) d,zzzF z z F z f z f f zzz
( ) ( ) ( ) d,zzzF z z F z f于是 并且因为函数 f (z)在 D内连续,所以?e > 0,存在
d? 0,使得当z|< d 时,有
( ) ( ),f f z?e
从而当 |?z|<d 时,利用估值 不等式设曲线 C 的长度为 L,函数 f ( z )在 C 上满足( ) d ( ) d,
CCf z z f z s M L( ),f z M?则估值不等式
B
z K zz
0z
)()()( zfz zFzzF1 ( ) ( ) dzzz f f zz
1 | ( ) ( ) | dzz
z
f f z sz,1 ee zz
于是
0
( ) ( )li m ( ) 0,
z
F z z F z fz
z
即 ( ) ( ),F z f z
与微积分学中对变上限积分求导定理相同,
2.4.2 Newton-Leibniz公式定理 2.7 设 F(z)和 G(z)都是 f (z)在区域 D上的原函数,则 (常数 ),( ) ( )F z G z C
定理 2.10 设 f (z)是单连通区域 D上的解析函数,
F(z)是 f (z)在 D上的原函数,z0和 z1是 D内的两点,则
1
0 10
( ) d ( ) ( ),zz f z z F z F z
证明 因为 也是 f (z)在 D上的原函数,1
0
( )dzz f z z?
根据
0
( ) d ( ),zz f z z F z C
其中 C为常数,易见 0( ),C F z
说明,有了上述定理,复变函数的积分就可以用与微积分学中类似的方法去计算,
如果没有 D是单连通区域的假设，那么
0
( ) ( ) dzzF z f
一般是一个多值函数,
复变函数的积分 积分存在的条件及计算积分的性质 Cauchy积分定理原函数的概念复合闭路定理
Cauchy
积分公式高阶导数公式
Newton-
Leibniz公式本章内容总结
1,Cauchy积分定理
2,复合闭路定理
3,Cauchy积分公式与高阶导数公式本章的重点
4,复变函数积分的计算第二章 完
George Green (1793.7.14-1841.5.31)
自学而成的英国数学家、物理学家,出色地将数学方法应用到电磁理论和其他数学物理问题,
1928年出版了 出版了小册子,数学分析在电磁学中的应用,,其中有著名的 Green公式,
40岁进入剑桥大学学习,1839年聘为剑桥大学教授,
他的工作培育了数学物理学者的 剑桥学派,其中包括 G,Stokes和 C,Maxwell.
Isaac Newton
(1642.12.25-1727.3.20)
伟大的英国物理学家和数学家,
1661年,进入剑桥大学三一学院学习,
大学毕业后,在 1665和 1666年期间,Newton 做了具有划时代意义的三项工作,微积分、万有引力和光的分析,1687年发表,自然哲学之数学原理,,
1669年任 剑桥大学教授,1703年当选为皇家学会会长,1705年被英国女王授予爵士称号,他还担任过造币厂厂长,
Nature and Nature’s laws lay hid in night,
God said,“Let Newton be!”
and all was light.
Newton说,,我不知道世人怎样看我,我只觉得自己好象是在海滨游戏的孩子,有时为找到一个光滑的石子或比较美丽的贝壳而高兴,而真理的海洋仍然在我的前面未被发现,”
我是站在巨人的肩上,
—— I,Newton
英国诗人 A,Pope赞美 Newton的,
宇宙和自然的规律隐藏在黑夜里,神说,,让牛顿降生吧 !”
一切都是光明,
诗句
Gottfried Wilhelm Leibniz
(1646.6.21-1716.11.14)
德国数学家,他还是外交家、哲学家、法学家、历史学家、语言学家和先驱的地质学家,他在逻辑学、力学、光学、
数学、流体静力学、气体学、航海学和计算机方面做了重要的工作,
1666年他撰写了一般推理方法的论文,论组合的艺术,,获得哲学博士学位,并被任命为教授,在
1672年因外交事务出使法国,接触到一些数学家,
开始深入地研究数学,特别是 1673年开始研究微积分,从 1684年起发表微积分论文,他是历史上最大的符号学者之一,所创设的微积分符号,远优于 Newton的符号,很多一直沿用至今,
Leibniz多才多艺,他在 1671年左右制造出一种手摇计算机,甚至研究过中国古代哲学,
Newton和 Leibniz是微积分的奠基者,从那时起,数学乃至几乎所有科学领域开始了新纪元,
