第五章 保角映射
§ 5.4 保角映射举例
§ 5.3 几个初等函数所构成的映射
§ 5.2 分式线性映射
§ 5.1 映射与保角映射的概念主 要 内 容保角映射在热力学、空气动力学以及电磁场理论等的研究中都有重要应用,本章从解析函数导数的几何意义出发，引出保角映射的概念，重点讨论分式线性映射及若干初等函数所构成的保角映射及其性质,
§ 5.1 映射与保角映射的概念
1 映射的概念
2 两曲线的夹角
3 导数的几何意义
4 保角映射的概念
5 关于保角映射的一般理论
5.1.1 映射的概念复变函数反映了两对变量 x,y 和 u,v 之间的对应关系，所以可以看成两个复平面中点集的对应关系,
设 是复平面点集 D上的复变函数,即()w f z?
z平面中点集 D为定义域,其值域 G是 w平面中点集,
记为 G=f (D),这时称 w=f (z)为从 D到 G的映射,对于 称 为映射 w=f (z)下点 z0 在 w0,zD? 00()w f z?
平面上的像,而称 z0为映射 w=f (z)下点 w0在 z平面上的原像,同时称 G为映射 w=f (z)下 D在 w平面上的像,称 D为映射 w=f (z)下 G在 z平面上的原像,
如果 w=f (z)把 D中的不同点映射成 G中的不同点,即如果 都是 D中的点,那么有12,zz 12,zz?
12( ) ( ),f z f z?则称 w=f (z)是从 D到 G的双方单值映射或一对一的映射,
5.1.2 两曲线的夹角当 t 增大时,点 z 移动的方向为正向,
,( ) ( ),C z z t t设 z平面内的有向光滑曲线
y
xO
C
.
.
0P
P
)( 0tz
)( 0 ttz
在曲线 C上取两点,0P 0( ),zt P 0( ).z t t
作割线 P0P,规定割线的正向对应于 t 增大的方向,
于是割线 P0P与向量同向,00( ) ( )z t t z tt
割线 C在 P0处切线,0PP
C
.
.
0p
p
)( 0tz
)( 0 ttz)( 0tz?
y
xO
当 P 时,0P沿 C
00
00
( ) ( )lim ( ),
t
z t t z t zt
t
因为 C是光滑曲线,所以 于是00( ) 0,z t t
向量 是曲线 C的切向0()zt?
00( ).z z t?量,与 C相切于点
0z?规定 的方向为 C0()zt?
上点 z0处切线的正向,
C
.
0z
y
xO
)( 0tz?
0A rg ( )zt?
(1) C在点 z0处切线正向 与 x 轴正向之间的夹角是 0A r g ( ),zt?
(2) 设 z平面内的两条有向光
2C
1C
.
0z
滑曲线 和 相交于 z0 (t=t0)点,11,( )C z z t? 22,( )C z z t?
规定 z0处曲线 C1和 C2正向之间的夹角为两条曲线在 z0处切线正向之间的夹角,
2 0 1 0A r g ( ) A r g ( )z t z t
5.1.3 导数的几何意义所以 ( ) 0,zt
C
0z
.
y
xO
)(z
)( 0tz?
设 w=f (z)在区域 D内解析,且在 D内 ( ) 0.fz
(1) 的几何意义 0A r g ( )fz?
设 是 D内过 的,( ) ( )C z z t t00()z z t?
有向光滑曲线,t 增大的方向为正向,
[ ( ) ] ( ),w f z t t
( ) ( ) ( ) 0,w t f z z t
于是 w=f (z)将 z平面上有向对于因为 C 光滑,
光滑曲线 t 增大的方向,[ ( ) ],w f z t t
C
0z
.
y
xO
)(z
)( 0tz?
v
uO
)(w
0w
.
)( zfw?
光滑曲线 C 映射成 w平面内过点 的有向00()w f z?
为正向,且 是曲线?在 w0处的0 0 0( ) [ ( ) ] ( )w t f z t z t
切向量,
0()wt?
因为 所以0 0 0( ) ( ) ( ) 0,w t f z z t
0 0 0A r g ( ) A r g ( ) A r g ( ),w t f z z t
曲线?在 w0处切线正向与 u轴正向之间的夹角曲线 C在 z0处切线正向与 x轴正向之间的夹角如果将 x轴与 u轴重合,将 y轴与 v轴重合,即将 z
平面与 w平面重叠,那么曲线 C在 z0 处的切线转动
0A r g ( )fz?之后与曲线?在 w0 处的切线方向一致,
在这个意义上,就是曲线 C 经过 w=f (z)0A r g ( )fz?
映射后在 z0处的转动角,显然转动角与 C 无关,
如果 是1 1 2 2,( ),,( ) ( )C z z t C z z t t
过 z0点的 D内两条有向光滑曲线,0 1 0 2 0( ) ( ),z z t z t
则在映射 w=f (z)下,C1和 C2在 w平面上的像分别为
1 1 1,( ) [ ( ) ] ( ),w w t f z t t
2 2 2,( ) [ ( ) ] ( ),w w t f z t t
并且 因此0 1 0 2 0[ ( ) ] [ ( ) ],w f z t f z t
1C 1? 0 1 0 1 0A r g ( ) A r g ( ) A r g ( )f z w t z t
2C 2? 0 2 0 2 0A r g ( ) A r g ( ) A r g ( )f z w t z t
2?
1?
1C
,
0w
()w f z?
2C
0z
.
所以
2 0 1 0 2 0 1 0A r g ( ) A r g ( ) A r g ( ) A r g ( ),w t w t z t z t
1和?2在 w0处的夹角 C1和 C2在 z0处的夹角过 z0两条光滑曲线 C1,C2在 z0处夹角的大小与方向和在映射 w=f (z)下的像?1,?2在 w0处夹角的大小与方向相同,即 时,映射 w=f (z)具有 保角性,0( ) 0fz
00
0 0 0
0
0 0 0
( ) ( ) ( )( ) li m li m,
()z z z z
f z f z w w w tfz
z z z z z t
C
v
uO
)(wy
xO
)(z
0Q
Q
0w
w.
.
)( zfw?
0P
P
0z
z.,
(2) 的几何意义 0()fz?
当 时,是映射 w=f (z)在 z0处的伸缩0()fz?0( ) 0fz
率,它与 C无关,即映射 w=f (z)具有 伸缩率不变性,
0zz? 0ww?
0()zt? 0()wt?
5.1.4 保角映射的概念定义 5.1 设 w=f (z)在点 z0的邻域内有定义,如果 w=f (z)在 z0 处具有保角性和伸缩率不变性,则称映射 w=f (z)在 z0 处是保角映射,如果 w=f (z)在区域
D内的每一点都是保角映射,则称 w=f (z)是区域 D
上的保角映射,
定理 5.1 若 w=f (z)在 z0处解析,且 则0( ) 0,fz
w=f (z)在 z0处是保角映射,若 w=f (z)在区域 D解析,
且在 D内 则 w=f (z)是区域 D上的保角映射,( ) 0,fz
例 5.1 w=z2 在 z?0处是保角映射,但在 z=0处不具有保角性,
解 因为 所以当 z?0时,因此 在2,wz 0.w
z?0处,w=z2是保角映射,
当 z=0时,在 z平面内取过 z=0点的两条射线为
2x
y
O
(z)
u
v
O
(w)
ar g 0z?(正实轴 )和 ar g 0.z
2wz?
iz re
2 2 2 iz r e
不保角
5.1.5 关于保角映射的一般理论实际上,定理 5,1 若 w = f (z)在 z
0处解析,且 则0( ) 0,fz
w = f (z)在 z0处是保角映射,若 w = f (z)在区域 D 解析,
且在 D 内 则 w = f (z)是区域 D 上的保角映射,( ) 0,fz
逆定理也成立,因此映射 w=f (z)是区域 D上的保角映射的 充分必要条件是 f (z)在 D内解析,并且 ( ) 0.fz
并且可以证明如果 f (z)是区域 D上不恒为常数的解析函数,则点集 G=f (D)是 w 平面上的区域,即解析函数把区域映射成区域,
基本问题,
(1) 给定两个区域 D和 G,是否存在双方单值的保角映射,把 D映射成 G? (存在性问题 )
(2) 如果存在这样的映射,如何求出? (实现性问题 )
关于存在性问题，有下面的 Riemann定理,
定理 5.2 如果 D和 G分别是 z平面和 w平面平面上边界多于一个点的单连通区域,则存在双方单值的保角映射 w=f (z),把 D映射成 G,
Riemann定理中的保角映射 f (z)不一定惟一,
但如果再加一些条件,如 0 0 0 0( ),A r g ( )f z w f z
(其中 ),则存在惟一的保0 0 0,,0 2z D w G
角映射 w=f (z),使得 ( ),G f D?
注 边界不多于一个点的情形,
(1) 扩充复平面 (没有边界点 );
(2) 扩充复平面除去一个点,例如无穷远点 (只有一个边界点 ).
关于实现性问题,可利用下面的 边界对应原理,
定理 5.3 设 D是 z平面内由一条分段光滑 Jordan
曲线 C围成的区域,f (z)是 D及其边界 C上的解析函数，
并把 C双方单值地映射成 w平面上的光滑曲线?,如果 C的正向映射成?的正向,则在映射 w=f (z)下,C
的内部区域 D映射成? 正向的左侧 (若?也是 Jordan
曲线,则映射成?的内部 )区域 ; 如果 C的正向映射成
的负向,则 C的内部区域映射成?的右侧 (若?也是
Jordan曲线,则映射成?的外部 )区域,
D
对于 C不是 Jordan曲线的情况也可得出类似的边界对应原理结论,并且在边界的个别点不满足双方单值的情况也成立,但在这些点不能保证保角性,
例 5.2 求区域 在映射 1,0,0D z x y x y
w=f (z)=z2下的像 G=f (D),
解 显然,w=z2 在 D内处处可导，且 因此 f (z)是( ) 0,fz
D 上保角映射,由
2 2 2 2w z x y x y iO x
y (z)
D
可知,D的边界(,) 1,0,0C D x y x y x y
C
O x
y (z)
O u
v (w)
在 w平面上的像为(,) 2,u v v
因 D的内点 映射成 w平面上的点0 2 ( 1 )zi
2i
0 4,wi?
的内点,又因为 故,G(,) 2,G u v v
w=z2
.z
0
.4i
根据,应该是 G 的边界对应原理定理 5,3 设 D 是 z 平面内由一条分段光滑 Jordan曲线 C 围成的区域,f ( z ) 是 D 及其边界 C 上的解析函数，
并把 C 双方单值地映射成 w 平面上的光滑曲线?,如果 C 的正向映射成? 的正向,则在映射 w = f ( z ) 下,C
的内部区域 D 映射成? 正向的左侧 ( 若? 也是 Jordan曲线,则映射成? 的内部 ) 区域 ; 如果 C 的正向映射成
的负向,则 C 的内部区域映射成? 的右侧 ( 若? 也是Jordan 曲线,则映射成? 的外部 ) 区域,
对于 C 不是 Jordan 曲线的情况类似0 4wi?
§ 5.2 分式线性映射
1 分式线性映射的概念
2 几种简单的分式线性映射
3 分式线性映射的基本性质
4 唯一确定分式线性映射的条件
5 分式线性映射的典型例子
5.2.1 分式线性映射的概念称为 分式线性映射,
那么映射的值域是 w平面上的一点,
( 是复常数,) a z bw c z d,,,a b c d 0a d b c
注 1 因为 所以 2
d,
d
w a d b c
z c z d
0a d b c
保证了映射是保角映射,否则 即 w?常数,d 0,dwz?
注 2 由 可得0a z bw a d b cc z d
即分式线性映射的逆映射也是分式线性映射,
( 0 ),dw bz ad bcc w a
注 3 两个分式线性映射
11
1 1 1 1
11
( 0 ),abw a d b ccd
22
2 2 2 2
22
( 0 )a z b a d b cc z d
复合仍是分式线性映射
1 1 1 1 2 2 2 2( ) ( ) 0,a z bw a d b c a d b c a d b cc z d
注 4 分式线性映射 ( 0 ),a z bw a d b cc z d
如果 c=0,则由 知 于是0 0,0,da
,wz
其中,;abdd如果 c?0,则
,BwA zC
其中 所以一般的分式线 2,,.a b c a d dA B Cc c c
性映射是由下列简单的分式线性映射复合而成,
,)1( bzw,)2( azw?,1)3( zw?
5.2.2 几种简单的分式线性映射
o
)()( wz?
z
b
w
.w z b1,平移映射
(为方便起见,令 w平面与 z平面重合 )
这是扩充 z平面到扩充 w平面的双方单值映射,
在 此映射下,z沿着复数移距离 |b|,得到像 w.
b 所表示的向量方向平
2,旋转映射
w
z?
o
)()( wz?
iw e z (?是实数 ),
它把点 z以原点为中心旋转? 角 (? >0时按逆时针,? <0时按顺时针 )得到点 w,
w
3,相似映射0.w rz r
这是模变化为 r 倍 (r >1
时放大,0<r <1时缩小 ),而辐角不变的映射,
z
对 设 于是( 0 ),w az a,ia re,iw r e z
所以 是旋转映射和相似映射的复合,w az?
1,w
z?4.反演变换此映射可分解为 和 的复合映射,1 1w z?1ww?
o w.
1w,
z.
设 于是 所以 w1和 z的幅角相,iz re 1 11,iwezr
同,并且 故 w1是 z关于单位圆周 的1 1,wz? 1z?
关于圆周的对称点,
设 C为以原点为中心,r为半径的圆周,在以圆心关系式 则称这两点为关于该圆周的,2rPOOP
对称点,
为起点的一条半直线上,如果有两个点 P和 满足P?
例如在 z平面内 z1与 z2关于圆周 对称,0z z R
是指 z0,z1,z2在同一条直线上,且 21 0 2 0,z z z z R
圆周上的点关于圆的对称点就是它本身,
规定,圆心与无穷远点关于圆周为对称点,
w与 关于实轴对称,1w
反演映射是扩充复平面到扩充复平面的双方单值映射,
5.2.3 分式线性映射的性质
(1)一一对应分式线性映射是平移、旋转、相似、反演映射的复合映射，这些都是从扩充复平面到扩充复平面的双方单值映射,因此,作为这些映射的复合映射,
也是从扩充复平面到扩充复平面的双方单值映射,
(2) 保角性对于分式线性映射 当 ( 0 ),a z bw a d b cc z d
0c z d时,已知分式线性映射是保角映射,而当
0c z d时,分式线性映射把 映射成无穷dz c
远点,下面引入 曲线在无穷远点交角 的概念,
设 C1和 C2是 z平面上过无穷远点的曲线,如果
C1和 C2在反演映射 下的像分别为?1和?2,则1w z?
1与?2在原点 w=0处的交角称为 C1和 C2在 z=?处的交角,
当 c=0时,分式线性映射变为 ( 0 ),wz
此时 z=?对应于 w=?,令 则11,,zwzw
当 时,因此,在 处保角,0z d1 0,d wz w? 0z
故 w在 z=?处保角,
当 时,在分式线性映射下,对应于0c? dz c
w=?,同时 z=?对应于,aw c?
2
d,.
d ( )
zww
z z z
令 则 当1,w w 2d,.d ( )c z d w b c dw a z b z a z b
dz
c 时,
2
2
d
0,
d
w bc ad c
z bc add
ab
c
因此,在 处,分式线性映射是保角映射,dz c
令 则 当1,z z 2d,.d ( )a b z w b c a dw c d z z c d z
0z 时,故 w 在 处是保角2d 0,d w b c a dzc 0z
映射,即分式线性映射在 z=?处是保角映射,
总之,分式线性映射是扩充复平面间的保角映射,
(3) 保圆性保圆性是指在扩充复平面上将圆周映射为圆周的性质,特别地,将直线看作半径为无穷大的圆周,
显然,在平移、旋转、相似映射下保圆性成立,
因此,如果能证明反演映射具有保圆性,则分式线性映射就具有保圆性,
在直角坐标系下,圆和直线方程可统一表示成
22( ) 2 2 0,a x y b x c y d
其中当 a=0,b与 c不全为零时,方程表示直线,而 a?0,
22 0b c ad时,方程表示 圆,这里的 a,b,c,d 都是实常数,
设 在反演映射 下,,,z x iy w u iv1w z?
2 2 2 2
11,uvzi
w u iv u v u v
2 2 2 2,
uvx iy i
u v u v
2 2 2 2,,
uvxy
u v u v
将其代入到圆和直线的统一方程中,整理可得于是
22( ) 2 2 0,d u v b u c v a
这是圆或直线在反演映射下的像的方程,当 d =0,b
与 c不全为零时,表示直线,220,0d b c a d
时,表示圆,所以反演映射具有保圆性,从而分式线性映射具有保圆性,
(4) 保对称性设 C是 z平面上的圆 (包括直线 ),z1和 z2是关于 C
的对称点,在分式线性映射下,w1,w2和?分别是 z1,
z2和 C在 w平面上的像,则 w1和 w2是关于?的对称点,
为分式线性映射的逆映射仍是分式线性映射,具有保要条件是通过 z1和 z2的任何圆与圆 C 直交,
下面说明 分式线性映射的保对称性,
任取 w平面上过 w1和 w2的圆周 (包括直线 ),因
圆性,所以 的原像 是 z平面上过 z1和 z2的的圆周, C?
根据引理,与 C直交,再由分式线性映射的保角性,C?
与 C的像 与?直交,从而根据引理,w1和 w2关于C?
圆周?对称,
不同两点 z1和 z2关于圆周 C对称的充分必引理证明如果 C是直线 (半径为无穷大的圆 )，或者 C是半径为有限的圆,而 z1和 z2之中有一个是无穷远点,
那么引理的结论显然,
C
0z,1z,2z.
现在考虑圆 C为 而 z10 ( 0 ),z z R R
和 z2都是有限点的情形,
必要性,如果 z1和 z2关于圆 C对称,则通过 z1和 z2的直线 (半径无穷大的圆 )显然与圆 C直交,
5.2.4 惟一决定分式线性映射的条件含有 a,b,c,d 四个常数，其中有三个是独立的常数,
因此,给定三个条件就能惟一确定分式线性映射,
(1) 分式线性映射的确定分式线性映射
( 0 )a z bw a d b cc z d
设 是扩充 z平面上三个互不相同的点，1 2 3,,z z z
1 2 3,,w w w是扩充 w平面上三个互不相同的点,则存在惟一的一个分式线性映射,将点 依次1 2 3,,z z z
映射成 1 2 3,,.w w w
事实上,如果 和 都是有限1 2 3,,z z z 1 2 3,,w w w
点,设
( 0 )a z bw a d b cc z d
将 依次映射成 则1 2 3,,z z z 1 2 3,,,w w w
( 1,2,3 ),kk
k
a z bwk
c z d
1ww?
于是
3 1 3 111
2 3 2 2 3 2
:,,w w z zw w z zw w w w z z z z
))((
))((
1
1
dczdcz
bcadzz
2ww?
))((
))((
2
2
dczdcz
bcadzz
13 ww?
))((
))((
13
13
dczdcz
bcadzz
23 ww?
))((
))((
23
23
dczdcz
bcadzz
从中可惟一地解出 w,得到分式线性映射,
如果 和 中含有无穷远点,1 2 3,,z z z 1 2 3,,w w w
把无穷远点用模充分大的有限数代替,得出形如
3 1 3 111
2 3 2 2 3 2
:,,w w z zw w z zw w w w z z z z
的分式线性映射,然后让该点趋于无穷远点,即得要证明的结论,
例如,若 z3=?,则用 代替 z3,得到分式线性3z?
映射，
3 1 3 111
2 3 2 2 3 2
:,,w w z zw w z zw w w w z z z z
令 则 于是3,z 31
32
1.zzzz
3111
2 3 2 2
:.www w z zw w w w z z
如 则 理解为 1,3,w 31
32
ww
ww
如 则 理解为 1,1,w 1
31
ww
ww
问题 圆域内部被映射成什么区域?
(2) 分式线性映射对圆域的映射结论,在分式线性映射下,C 的内部不是映射成像?的内部就是映射成像?的外部,如果 C或?中有直线,则按直线的某一侧来理解,
方法 1 在圆周 C内任取一点 z0,如果 z0的像 w0在
内部,则 C 的内部映射成?的内部 ; 如果 z0的像
w0在?外部,则 C 的内部映射?的外部,
C
0 z
0 w
0 w
3w
.
1w.
2w.
C?
1z,
2z
.
,3z
方法 2 在 C 上取三个点 如果环绕方1 2 3,,,z z z
向 与它们的像 在?上的环绕1 2 3z z z 1 2 3,,w w w
方向 相同,则 C的内部映射成?的 内部 ;1 2 3w w w
如果环绕方向相反,则 C的内部映射成?的外部,
2
1
2.
1.
3
.
.
1?
)(z
x
y
O
5.2.5 分式线性映射的典型例子例 5.3 求把上半平面 映射成上半平面Im 0z?
Im 0w?的分式线性映射,
解 在 x轴上取三点 使得1 2 31,0,,z z z
它们依次对应于 u轴上三点 1 2 3,0,1,w w w
.
1?
)(w
u
v
O.?.
于是所求的分式线性映射为
.1 z zw
化简可得注 如果选取其他三对不同点,也能求出满足要求,但形式不同的的分式线性映射,
并且 与 的环绕方向相同,1 2 3z z z 1 2 3w w w
1 1 1:,,
0 1 0 0 0
wz
w=az+b(a>0,b为实数 ),即相似和平移映射也满足要求,但它们是平凡的,没有实际意义,
)(z
O x
y )(w
O u
v
1?,1.
.i
.1?,1.
例 5.4 求把上半平面 映射成单位圆Im 0z?
内部 的分式线性映射,1w?
解 在 x 轴上取三点 使得1 2 31,0,1,z z z
它们依次对应于 u 轴上三点 1 2 31,,1,w w i w
(方法一 )
于是所求的分式线性映射为
.1 iz izw
化简可得并且 与 的环绕方向相同,1 2 3z z z 1 2 3w w w
1 1 1 1 1 1:,,
1 0 1 0
wz
w i i z
注 同样,如果选取其他三对不同点,也能求出满足要求,但形式不同的的分式线性映射,
方法二解 实轴映射成单位圆周,设上半平面中的点
)(z
O x
y )(w
O u
v
.,
,?
关于实轴的对称点 映射成 w=0关于 的对? 1w?
称点 z=?.
z=? 映射成圆心 w=0,由保对称性和,边界对应原理定理 5,3 设 D 是 z 平面内由一条分段光滑 Jordan曲线 C 围成的区域,f ( z ) 是 D 及其边界 C 上的解析函数，
并把 C 双方单值地映射成 w 平面上的光滑曲线?,如果 C 的正向映射成? 的正向,则在映射 w = f ( z ) 下,C
的内部区域 D 映射成? 正向的左侧 ( 若? 也是 Jordan曲线,则映射成? 的内部 ) 区域 ; 如果 C 的正向映射成
的负向,则 C 的内部区域映射成? 的右侧 ( 若? 也是Jordan 曲线,则映射成? 的外部 ) 区域,
对于 C 不是 Jordan 曲线的情况类似上半平面映为单位圆内部的分式线性映射一般形式说明则所求映射为 其中 k是待定常数,由,zwk z
于 映射成 上的点,所以0z? 1w?
0 1,
0k k k
设 为实数?,则ike ( I m 0 ),i zwe z
取 时,3 π,2i,1ziw iz
取 时,,0i,ziw zi
(与方法一相同 )
例 5.5 求把上半平面 映射成圆域内部Im 0z?
0w w R的分式线性映射,使 0( ),( ) 0,w i w w i
解 由例 5.4中的解法二可知，映射把上半平面 映射成单位圆 内部Im 0z? 1.
)(z
O
()?
O1
再作相似映射与平移映射，得
()w
O
0 w
R
i zie
zi
(?为实数 )
00e.
i ziw R w R w
zi
这样,映射成 且1 0,w w R 0( ),w i w?
因为
2
2( ) e,
()
i iw z R
zi
再由已知条件 可见 即( ) 0,wi,iei,2
所以要求的分式线性映射是
0,
ziw R i w
zi
)(w
O u
v
O x
y)(z
.a
.
a
1
.
例 5.6 求把单位圆内部 映射成单位圆内1z?
部 的分式线性映射,1w?
解 在 内取一点 z1=0,设 z1的像为 w1=0,1z?
因为 z1=? 关于圆周 的对称点是1z? 2 1,z 而条件
O x
y)(z
.a
.
a
1 )(w
O u
v
.
要求 分式线性映射把 映射成 所以根据1z? 1,w?
分式线性映射的保对称性,映射成 w1=0关于2 1z
1w? 的对称点 2,w 这样的分式线性映射为,
1 1
zz
w k k
zz
其中 是复常数,kk
容易验证,当 时,1z? 1.1
z
z
1.1 zk k wz
因为 映射成 所以当 时,1z? 1,w? 1z?
设 (? 为实数 ),则所求的 分式线性映射为ike
1
i zwe
z
(?为实数 ).
注 旋转映射 (? 为实数 )也满足要求,但iw e z
它是平凡的,没有实际意义,
例 5.7 求一个分式线性映射,把由两圆周
12,3 9,,8 16C z C z
所围成的偏心圆环域 D映射成中心在 w=0的同心圆环域 G,且使其外半径为 1,
y
1C
2C
x
(z)
O
D
1?
2?
u
v(w)
O
G
解 设所求分式线性映射把 z平面内两点 z1和 z2
分别映射成 w平面内的 w1=0和 w2=?,由于 w1和 w2同同时关于同心圆环域 G 的两个边界圆周对称,由分式线性映射的保对称性,z1和 z2 应同时关于圆周 C1
和 C2对称,因此,z1和 z2 应在 C1和 C2的圆心连线上，
即在实轴上,设 根据对称性1 1 2 2,.z x z x
1 2 1 2( 3) ( 3) 8 1,( 8) ( 8) 2 5 6,x x x x
解方程得 (或 ),120,2 4xx122 4,0xx
下面只考虑 的情形,120,2 4xx
由 可知 圆周 C2映射成外边界(0 ) 0w? 1.w?
这时 于是 所求的分式线( 0 ) 0,( 2 4 ),ww
性映射的形式为
24
zwk
z(k为复常数 ).
因为 z=0在 和 的内部,1,3 9Cz2,8 16Cz
在 C2取 则 于是24,z? ( 24 ) 1,w?
24( 2 4 ) 1,
2 4 2 4wk
由此可得 即 (? 为实数 ).2,ike 2 24i zwe z
§ 5.3 几个初等函数所构成的映射
1 幂函数构成的映射
2 指数函数与对数函数构成的映射
5.3.1 幂函数构成的映射为了讨论方便,在本节中设 的取值范围为argz
幂函数 在全平面解析，且nwz? 1d,d nw nzz
如果 则 故该映射在 点处处0,z? d 0,dwz? 0z?
保角,
下面讨论 点,设 则在映0z?,,iiz r e w e
射 下,nwz?
根式取为主值,整数 2.n?[0,2 ),?
的射线 映射成 w平面上的射线 特别0 0,n
地,把正实轴 映射成正实轴 因此ar g 0z? a r g 0,w?
故在 z=0点不具有保角性,
0? 0?nO
)(w
O
)(z
,.nrn
由此可见,映射 把 z平面上以原点为起点nwz?
映射 将角形区域 映射成角nwz? 0 2 π0 n
形区域 00,n
)(w
OO
)(z
特殊情况,
n
2 上岸沿正实轴割开的 w平面下岸角形区域 2 π0 n
nwz?
角形区域 02π
0 映射成正实轴的上岸 0
2π
n 映射成正实轴的下岸 2π
角形区域 0 ar g z n
nwz?
上半平面 0 ar g w
O
)(z
n
O
()w
同时,把 z平面上的圆周 映射成 wnwz? zr?
平面上的圆周,nwr?
在区域 内,是双方 0 20 a r g z nnwz?
单值的保角映射,
用类似的方法可以讨论 它也是把角形
1,
nwz?
区域映射成角形区域的映射,不同点只是角形区域的顶角变成原来顶角的 1.n 实际上它是 的逆nwz?
映射,
0?
O
()z
0n?
O
()w
若将角形区域映射成角形区域,一般应用幂函数,
例 5.8 求把角形区域 映射成单位0 ar g 4z
圆内部 的双方单值保角映射,1w?
解
4z i
iw
O
)(?
4
4,
ziw
zi
因此所求映射为
O
)(z
4
O
)(w
例 5.9 求把在单位圆 的内部,从原点沿正1z?
实轴的半径上有割痕的区域 (即在单位圆 内去1z?
掉 )映射成单位圆内部 的I m 0,0 R e 1zz1w?
双方单值保角映射,
O
(z)
O
(w)
O
(z)
O
(z1)
O
(z2)
O
(z3)
O
(z4)
O
(w)
解
1
21zz?
1
2
1
1
1
zz
z
32zz
243zz?
4
4
ziw
zi
1
22
11
22
11
22
11
.
11
zz
w i i
zz
5.3.2 指数函数与对数函数构成的映射指数函数 在全平面解析,且 处zwezzee
处不为零,因此,它是全平面上的保角映射,
设 则,,iz x i y w e
,.i x i y xw e e e y
O
)(z
O
)(w
x0
(1)
0xx? 0xwe
O
)(z
O
)(w(2)
0yy? 0a r g wy
(3) 设 120 2,yy
zwe?
双方单值
)(w
OO
)(z
1yy?
2yy?
1a r g wy?
2a r g wy?
带形区域
12Imy z y
角形区域
12a r gy w y
O
)(z
O
)(z
)(w
O
O
)(w
特殊情形
i?
i?2
zwe?
双方单值
zwe?
双方单值带形区域
0 I m z
0 I m 2z 平面从原点沿正实轴有割痕区域上半平面 Im 0w?
0 ar g w
0 ar g 2w
若将带形区域映射成角形区域,一般应用指数函数,
例 5.10 求把带形区域 映射成单位0 I m z
圆内部 的双方单值保角映射,1w?
O
)(zi?
O
)(w
解
()?
O
ze
iw
i
因此所求映射为,
z
z
eiw
ei
区域 上指数函数的反函数是对数Im z
函数主值 在复平面除去原点与负实轴的区ln,wz?
域 D内,因此, 1ln 0,z z
x
y
o
D是 D上的保角映射,lnwz?
对数函数可以把 角形区域映射成带形区域,
O
()w
O
()w
()z
O
i?
i?2
0 I m 2z平面从原点沿负实轴有裂痕区域
lnwz?
双方单值
a r g w
O
()z
lnwz?
双方单值带形区域
0 I m w
上半平面 Im 0z?
0 ar g z
§ 5.4 保角映射举例例 5.11 求把 和 的公共32z 32z
部分映射成上半平面的双方单值保角映射,
i?
i
()z
O
()w
O
解 圆 和 交于两点32z 32z,i?
并且交角等于 因此，映射 把 与.3? 1 ziz zi zi?
zi 分别映射成 平面上的原点和无穷远点,而1z
将所给区域映射成以原点为顶点的角形区域,且顶角等于 当 z=0时,应在角形区域的平分线,3? 1 1z
上,所以负实轴为该角形区域的角平分线,于是该角形区域为
1
57ar g,
66z
O
1()z
i?
i
()z
O
1
ziz
zi
5
621
iz e z
()w
O
32wz?
335
2 i z i z iw e i
z i z i
2()z
O
3
例 5.12 求把 映射成1,I m 1D z z z
上半平面的双方单值保角映射,
()w
O
解 区域 D的边界 y=1和 在 i点相切,因此1z?
映射 把 y=1和 映射成平行线,把区域1 ziz zi 1z?
映射成带形区域 10 R e 1,z
()z
i
O D
()w
O
()z
i
O D
1()z
1O
2()z
O?
3()z
O
i?
21zz
1
ziz
zi
3zwe?
23 2 2
iz e z i z
zii
ziwe?
例 5.13 求把具有割痕 R e 0,I mz h z
的上半平面映射成上半平面 的双方单值保Im 0w?
角映射,()z
O
ih
()w
O
解 映射 把割痕21zz? R e 0,I mz h z
映射为 z1平面上的割痕 把正 211R e,I m 0 ;z h z
负实轴映射为 z1平面上的割痕 11R e 0,I m 0,zz
()z
O
ih
()w
O
2()z
O
1()z
O
2h?
21zz?
2
1
2
1
zhz
z
1
22wz?
1
22 2
2
zhw
z
例 5.14 求把上半带形区域
R e,Im 022 zz
映射成上半平面 且满足Im 0,w?
1,0 02ww
的双方单值保角映射,
()z
O2 2? 1? 1
()w
O
()z
O2 2?
1()z
O
2i
2i?
i
3()z
O1? 11?
4()z
O
1? 1
()w
O
1z iz?
22
00
22
i
i
12 zez?
2
01
2
ii
ii
2()z
O
i?
i
1
23 izz?
1
1
1
i
i
i
2
3
4
3
1
1
zz
z
10
1
1
i
1
1
4
4
z
zw
01
10
1
解
2
2
2
1
1
1 1
21
1
1
iz
iz iz
iz
iz
iz
ie
ie e
w
ieie
ie
1 sin,2 iz ize e zi
注 虽然 已经把上半带形区域
2
4
1
1
iz
iz
iez
ie
R e,Im 022 zz映射成了上半平面 Im 0,w?
但是 4 4 4,( 0 ) 1,0,22z z z
不满足条件,
例 5.15 求把扩充复平面上单位圆的外部区域
1z? 映射成具有割痕 的扩I m 0,1 R e 1ww
充 w平面的双方单值保角映射,
解 ()z
O
1()z
O
2()z
O
3()z
O
()w
O
11
2wz z
1
1
1?
z
zz
12 izz?
223 zz?
1
1
3
3
z
zw
儒可夫斯基函数
11
2wz z
儒可夫斯基函数儒可夫斯基利用这样的保角映射成功地解决了机翼截面的绕流问题,对空气动力学与航空工业的发展曾起到重要作用,
C
1? 1
)(z
O,.
1? 1
2
)(w
O
zzw 121
1C?
A?
B.
)(w
a.
O
.1C,C
)(z
Aaa? O,.
z
azw 2
2
1
(机翼截线 )
函数映射的特点
1,幂函数能把一个角形区域 (顶点在原点 )映射成上半平面 ; 能把一个扇形区域映射成半圆域,
2,指数函数能把一个带形区域映射成半平面 ;对数函数能把上半平面映射成带形区域,
3,分式线性映射能把半平面映射成单位圆的内部 ;
把由两个圆弧所围成的区域映射成角形区域 ;能把一条有限长的割痕变成一条射线 ;把两个相切的圆周映射成平行线 (切点映射成无穷远点 ).
本章内容总结保角映射分式线性映射一一对应保角性保圆性几何意义()fz? 几个初等函数构成的映射分式线性映射的确定对确定区域的映射保对称性
zew?nzw?
nzw
1? lnwz?
1,保角映射的概念及其性质
3,分式线性变换与初等函数相结合,求一些简单区域之间的映射本章的重点
2,分式线性映射第五章 完儒可夫斯基 (N,Joukowski,1847.1.17-1921.3.17)
机翼理论的创立者,曾被列宁誉为“俄罗斯航空之父”,他的早期论著,论鸟的滑翔飞行,(1891)
和,论飞机最佳倾角,(1897)在人类航空发展史上占有重要的学术地位,
§ 5.4 保角映射举例
§ 5.3 几个初等函数所构成的映射
§ 5.2 分式线性映射
§ 5.1 映射与保角映射的概念主 要 内 容保角映射在热力学、空气动力学以及电磁场理论等的研究中都有重要应用,本章从解析函数导数的几何意义出发，引出保角映射的概念，重点讨论分式线性映射及若干初等函数所构成的保角映射及其性质,
§ 5.1 映射与保角映射的概念
1 映射的概念
2 两曲线的夹角
3 导数的几何意义
4 保角映射的概念
5 关于保角映射的一般理论
5.1.1 映射的概念复变函数反映了两对变量 x,y 和 u,v 之间的对应关系，所以可以看成两个复平面中点集的对应关系,
设 是复平面点集 D上的复变函数,即()w f z?
z平面中点集 D为定义域,其值域 G是 w平面中点集,
记为 G=f (D),这时称 w=f (z)为从 D到 G的映射,对于 称 为映射 w=f (z)下点 z0 在 w0,zD? 00()w f z?
平面上的像,而称 z0为映射 w=f (z)下点 w0在 z平面上的原像,同时称 G为映射 w=f (z)下 D在 w平面上的像,称 D为映射 w=f (z)下 G在 z平面上的原像,
如果 w=f (z)把 D中的不同点映射成 G中的不同点,即如果 都是 D中的点,那么有12,zz 12,zz?
12( ) ( ),f z f z?则称 w=f (z)是从 D到 G的双方单值映射或一对一的映射,
5.1.2 两曲线的夹角当 t 增大时,点 z 移动的方向为正向,
,( ) ( ),C z z t t设 z平面内的有向光滑曲线
y
xO
C
.
.
0P
P
)( 0tz
)( 0 ttz
在曲线 C上取两点,0P 0( ),zt P 0( ).z t t
作割线 P0P,规定割线的正向对应于 t 增大的方向,
于是割线 P0P与向量同向,00( ) ( )z t t z tt
割线 C在 P0处切线,0PP
C
.
.
0p
p
)( 0tz
)( 0 ttz)( 0tz?
y
xO
当 P 时,0P沿 C
00
00
( ) ( )lim ( ),
t
z t t z t zt
t
因为 C是光滑曲线,所以 于是00( ) 0,z t t
向量 是曲线 C的切向0()zt?
00( ).z z t?量,与 C相切于点
0z?规定 的方向为 C0()zt?
上点 z0处切线的正向,
C
.
0z
y
xO
)( 0tz?
0A rg ( )zt?
(1) C在点 z0处切线正向 与 x 轴正向之间的夹角是 0A r g ( ),zt?
(2) 设 z平面内的两条有向光
2C
1C
.
0z
滑曲线 和 相交于 z0 (t=t0)点,11,( )C z z t? 22,( )C z z t?
规定 z0处曲线 C1和 C2正向之间的夹角为两条曲线在 z0处切线正向之间的夹角,
2 0 1 0A r g ( ) A r g ( )z t z t
5.1.3 导数的几何意义所以 ( ) 0,zt
C
0z
.
y
xO
)(z
)( 0tz?
设 w=f (z)在区域 D内解析,且在 D内 ( ) 0.fz
(1) 的几何意义 0A r g ( )fz?
设 是 D内过 的,( ) ( )C z z t t00()z z t?
有向光滑曲线,t 增大的方向为正向,
[ ( ) ] ( ),w f z t t
( ) ( ) ( ) 0,w t f z z t
于是 w=f (z)将 z平面上有向对于因为 C 光滑,
光滑曲线 t 增大的方向,[ ( ) ],w f z t t
C
0z
.
y
xO
)(z
)( 0tz?
v
uO
)(w
0w
.
)( zfw?
光滑曲线 C 映射成 w平面内过点 的有向00()w f z?
为正向,且 是曲线?在 w0处的0 0 0( ) [ ( ) ] ( )w t f z t z t
切向量,
0()wt?
因为 所以0 0 0( ) ( ) ( ) 0,w t f z z t
0 0 0A r g ( ) A r g ( ) A r g ( ),w t f z z t
曲线?在 w0处切线正向与 u轴正向之间的夹角曲线 C在 z0处切线正向与 x轴正向之间的夹角如果将 x轴与 u轴重合,将 y轴与 v轴重合,即将 z
平面与 w平面重叠,那么曲线 C在 z0 处的切线转动
0A r g ( )fz?之后与曲线?在 w0 处的切线方向一致,
在这个意义上,就是曲线 C 经过 w=f (z)0A r g ( )fz?
映射后在 z0处的转动角,显然转动角与 C 无关,
如果 是1 1 2 2,( ),,( ) ( )C z z t C z z t t
过 z0点的 D内两条有向光滑曲线,0 1 0 2 0( ) ( ),z z t z t
则在映射 w=f (z)下,C1和 C2在 w平面上的像分别为
1 1 1,( ) [ ( ) ] ( ),w w t f z t t
2 2 2,( ) [ ( ) ] ( ),w w t f z t t
并且 因此0 1 0 2 0[ ( ) ] [ ( ) ],w f z t f z t
1C 1? 0 1 0 1 0A r g ( ) A r g ( ) A r g ( )f z w t z t
2C 2? 0 2 0 2 0A r g ( ) A r g ( ) A r g ( )f z w t z t
2?
1?
1C
,
0w
()w f z?
2C
0z
.
所以
2 0 1 0 2 0 1 0A r g ( ) A r g ( ) A r g ( ) A r g ( ),w t w t z t z t
1和?2在 w0处的夹角 C1和 C2在 z0处的夹角过 z0两条光滑曲线 C1,C2在 z0处夹角的大小与方向和在映射 w=f (z)下的像?1,?2在 w0处夹角的大小与方向相同,即 时,映射 w=f (z)具有 保角性,0( ) 0fz
00
0 0 0
0
0 0 0
( ) ( ) ( )( ) li m li m,
()z z z z
f z f z w w w tfz
z z z z z t
C
v
uO
)(wy
xO
)(z
0Q
Q
0w
w.
.
)( zfw?
0P
P
0z
z.,
(2) 的几何意义 0()fz?
当 时,是映射 w=f (z)在 z0处的伸缩0()fz?0( ) 0fz
率,它与 C无关,即映射 w=f (z)具有 伸缩率不变性,
0zz? 0ww?
0()zt? 0()wt?
5.1.4 保角映射的概念定义 5.1 设 w=f (z)在点 z0的邻域内有定义,如果 w=f (z)在 z0 处具有保角性和伸缩率不变性,则称映射 w=f (z)在 z0 处是保角映射,如果 w=f (z)在区域
D内的每一点都是保角映射,则称 w=f (z)是区域 D
上的保角映射,
定理 5.1 若 w=f (z)在 z0处解析,且 则0( ) 0,fz
w=f (z)在 z0处是保角映射,若 w=f (z)在区域 D解析,
且在 D内 则 w=f (z)是区域 D上的保角映射,( ) 0,fz
例 5.1 w=z2 在 z?0处是保角映射,但在 z=0处不具有保角性,
解 因为 所以当 z?0时,因此 在2,wz 0.w
z?0处,w=z2是保角映射,
当 z=0时,在 z平面内取过 z=0点的两条射线为
2x
y
O
(z)
u
v
O
(w)
ar g 0z?(正实轴 )和 ar g 0.z
2wz?
iz re
2 2 2 iz r e
不保角
5.1.5 关于保角映射的一般理论实际上,定理 5,1 若 w = f (z)在 z
0处解析,且 则0( ) 0,fz
w = f (z)在 z0处是保角映射,若 w = f (z)在区域 D 解析,
且在 D 内 则 w = f (z)是区域 D 上的保角映射,( ) 0,fz
逆定理也成立,因此映射 w=f (z)是区域 D上的保角映射的 充分必要条件是 f (z)在 D内解析,并且 ( ) 0.fz
并且可以证明如果 f (z)是区域 D上不恒为常数的解析函数,则点集 G=f (D)是 w 平面上的区域,即解析函数把区域映射成区域,
基本问题,
(1) 给定两个区域 D和 G,是否存在双方单值的保角映射,把 D映射成 G? (存在性问题 )
(2) 如果存在这样的映射,如何求出? (实现性问题 )
关于存在性问题，有下面的 Riemann定理,
定理 5.2 如果 D和 G分别是 z平面和 w平面平面上边界多于一个点的单连通区域,则存在双方单值的保角映射 w=f (z),把 D映射成 G,
Riemann定理中的保角映射 f (z)不一定惟一,
但如果再加一些条件,如 0 0 0 0( ),A r g ( )f z w f z
(其中 ),则存在惟一的保0 0 0,,0 2z D w G
角映射 w=f (z),使得 ( ),G f D?
注 边界不多于一个点的情形,
(1) 扩充复平面 (没有边界点 );
(2) 扩充复平面除去一个点,例如无穷远点 (只有一个边界点 ).
关于实现性问题,可利用下面的 边界对应原理,
定理 5.3 设 D是 z平面内由一条分段光滑 Jordan
曲线 C围成的区域,f (z)是 D及其边界 C上的解析函数，
并把 C双方单值地映射成 w平面上的光滑曲线?,如果 C的正向映射成?的正向,则在映射 w=f (z)下,C
的内部区域 D映射成? 正向的左侧 (若?也是 Jordan
曲线,则映射成?的内部 )区域 ; 如果 C的正向映射成
的负向,则 C的内部区域映射成?的右侧 (若?也是
Jordan曲线,则映射成?的外部 )区域,
D
对于 C不是 Jordan曲线的情况也可得出类似的边界对应原理结论,并且在边界的个别点不满足双方单值的情况也成立,但在这些点不能保证保角性,
例 5.2 求区域 在映射 1,0,0D z x y x y
w=f (z)=z2下的像 G=f (D),
解 显然,w=z2 在 D内处处可导，且 因此 f (z)是( ) 0,fz
D 上保角映射,由
2 2 2 2w z x y x y iO x
y (z)
D
可知,D的边界(,) 1,0,0C D x y x y x y
C
O x
y (z)
O u
v (w)
在 w平面上的像为(,) 2,u v v
因 D的内点 映射成 w平面上的点0 2 ( 1 )zi
2i
0 4,wi?
的内点,又因为 故,G(,) 2,G u v v
w=z2
.z
0
.4i
根据,应该是 G 的边界对应原理定理 5,3 设 D 是 z 平面内由一条分段光滑 Jordan曲线 C 围成的区域,f ( z ) 是 D 及其边界 C 上的解析函数，
并把 C 双方单值地映射成 w 平面上的光滑曲线?,如果 C 的正向映射成? 的正向,则在映射 w = f ( z ) 下,C
的内部区域 D 映射成? 正向的左侧 ( 若? 也是 Jordan曲线,则映射成? 的内部 ) 区域 ; 如果 C 的正向映射成
的负向,则 C 的内部区域映射成? 的右侧 ( 若? 也是Jordan 曲线,则映射成? 的外部 ) 区域,
对于 C 不是 Jordan 曲线的情况类似0 4wi?
§ 5.2 分式线性映射
1 分式线性映射的概念
2 几种简单的分式线性映射
3 分式线性映射的基本性质
4 唯一确定分式线性映射的条件
5 分式线性映射的典型例子
5.2.1 分式线性映射的概念称为 分式线性映射,
那么映射的值域是 w平面上的一点,
( 是复常数,) a z bw c z d,,,a b c d 0a d b c
注 1 因为 所以 2
d,
d
w a d b c
z c z d
0a d b c
保证了映射是保角映射,否则 即 w?常数,d 0,dwz?
注 2 由 可得0a z bw a d b cc z d
即分式线性映射的逆映射也是分式线性映射,
( 0 ),dw bz ad bcc w a
注 3 两个分式线性映射
11
1 1 1 1
11
( 0 ),abw a d b ccd
22
2 2 2 2
22
( 0 )a z b a d b cc z d
复合仍是分式线性映射
1 1 1 1 2 2 2 2( ) ( ) 0,a z bw a d b c a d b c a d b cc z d
注 4 分式线性映射 ( 0 ),a z bw a d b cc z d
如果 c=0,则由 知 于是0 0,0,da
,wz
其中,;abdd如果 c?0,则
,BwA zC
其中 所以一般的分式线 2,,.a b c a d dA B Cc c c
性映射是由下列简单的分式线性映射复合而成,
,)1( bzw,)2( azw?,1)3( zw?
5.2.2 几种简单的分式线性映射
o
)()( wz?
z
b
w
.w z b1,平移映射
(为方便起见,令 w平面与 z平面重合 )
这是扩充 z平面到扩充 w平面的双方单值映射,
在 此映射下,z沿着复数移距离 |b|,得到像 w.
b 所表示的向量方向平
2,旋转映射
w
z?
o
)()( wz?
iw e z (?是实数 ),
它把点 z以原点为中心旋转? 角 (? >0时按逆时针,? <0时按顺时针 )得到点 w,
w
3,相似映射0.w rz r
这是模变化为 r 倍 (r >1
时放大,0<r <1时缩小 ),而辐角不变的映射,
z
对 设 于是( 0 ),w az a,ia re,iw r e z
所以 是旋转映射和相似映射的复合,w az?
1,w
z?4.反演变换此映射可分解为 和 的复合映射,1 1w z?1ww?
o w.
1w,
z.
设 于是 所以 w1和 z的幅角相,iz re 1 11,iwezr
同,并且 故 w1是 z关于单位圆周 的1 1,wz? 1z?
关于圆周的对称点,
设 C为以原点为中心,r为半径的圆周,在以圆心关系式 则称这两点为关于该圆周的,2rPOOP
对称点,
为起点的一条半直线上,如果有两个点 P和 满足P?
例如在 z平面内 z1与 z2关于圆周 对称,0z z R
是指 z0,z1,z2在同一条直线上,且 21 0 2 0,z z z z R
圆周上的点关于圆的对称点就是它本身,
规定,圆心与无穷远点关于圆周为对称点,
w与 关于实轴对称,1w
反演映射是扩充复平面到扩充复平面的双方单值映射,
5.2.3 分式线性映射的性质
(1)一一对应分式线性映射是平移、旋转、相似、反演映射的复合映射，这些都是从扩充复平面到扩充复平面的双方单值映射,因此,作为这些映射的复合映射,
也是从扩充复平面到扩充复平面的双方单值映射,
(2) 保角性对于分式线性映射 当 ( 0 ),a z bw a d b cc z d
0c z d时,已知分式线性映射是保角映射,而当
0c z d时,分式线性映射把 映射成无穷dz c
远点,下面引入 曲线在无穷远点交角 的概念,
设 C1和 C2是 z平面上过无穷远点的曲线,如果
C1和 C2在反演映射 下的像分别为?1和?2,则1w z?
1与?2在原点 w=0处的交角称为 C1和 C2在 z=?处的交角,
当 c=0时,分式线性映射变为 ( 0 ),wz
此时 z=?对应于 w=?,令 则11,,zwzw
当 时,因此,在 处保角,0z d1 0,d wz w? 0z
故 w在 z=?处保角,
当 时,在分式线性映射下,对应于0c? dz c
w=?,同时 z=?对应于,aw c?
2
d,.
d ( )
zww
z z z
令 则 当1,w w 2d,.d ( )c z d w b c dw a z b z a z b
dz
c 时,
2
2
d
0,
d
w bc ad c
z bc add
ab
c
因此,在 处,分式线性映射是保角映射,dz c
令 则 当1,z z 2d,.d ( )a b z w b c a dw c d z z c d z
0z 时,故 w 在 处是保角2d 0,d w b c a dzc 0z
映射,即分式线性映射在 z=?处是保角映射,
总之,分式线性映射是扩充复平面间的保角映射,
(3) 保圆性保圆性是指在扩充复平面上将圆周映射为圆周的性质,特别地,将直线看作半径为无穷大的圆周,
显然,在平移、旋转、相似映射下保圆性成立,
因此,如果能证明反演映射具有保圆性,则分式线性映射就具有保圆性,
在直角坐标系下,圆和直线方程可统一表示成
22( ) 2 2 0,a x y b x c y d
其中当 a=0,b与 c不全为零时,方程表示直线,而 a?0,
22 0b c ad时,方程表示 圆,这里的 a,b,c,d 都是实常数,
设 在反演映射 下,,,z x iy w u iv1w z?
2 2 2 2
11,uvzi
w u iv u v u v
2 2 2 2,
uvx iy i
u v u v
2 2 2 2,,
uvxy
u v u v
将其代入到圆和直线的统一方程中,整理可得于是
22( ) 2 2 0,d u v b u c v a
这是圆或直线在反演映射下的像的方程,当 d =0,b
与 c不全为零时,表示直线,220,0d b c a d
时,表示圆,所以反演映射具有保圆性,从而分式线性映射具有保圆性,
(4) 保对称性设 C是 z平面上的圆 (包括直线 ),z1和 z2是关于 C
的对称点,在分式线性映射下,w1,w2和?分别是 z1,
z2和 C在 w平面上的像,则 w1和 w2是关于?的对称点,
为分式线性映射的逆映射仍是分式线性映射,具有保要条件是通过 z1和 z2的任何圆与圆 C 直交,
下面说明 分式线性映射的保对称性,
任取 w平面上过 w1和 w2的圆周 (包括直线 ),因
圆性,所以 的原像 是 z平面上过 z1和 z2的的圆周, C?
根据引理,与 C直交,再由分式线性映射的保角性,C?
与 C的像 与?直交,从而根据引理,w1和 w2关于C?
圆周?对称,
不同两点 z1和 z2关于圆周 C对称的充分必引理证明如果 C是直线 (半径为无穷大的圆 )，或者 C是半径为有限的圆,而 z1和 z2之中有一个是无穷远点,
那么引理的结论显然,
C
0z,1z,2z.
现在考虑圆 C为 而 z10 ( 0 ),z z R R
和 z2都是有限点的情形,
必要性,如果 z1和 z2关于圆 C对称,则通过 z1和 z2的直线 (半径无穷大的圆 )显然与圆 C直交,
5.2.4 惟一决定分式线性映射的条件含有 a,b,c,d 四个常数，其中有三个是独立的常数,
因此,给定三个条件就能惟一确定分式线性映射,
(1) 分式线性映射的确定分式线性映射
( 0 )a z bw a d b cc z d
设 是扩充 z平面上三个互不相同的点，1 2 3,,z z z
1 2 3,,w w w是扩充 w平面上三个互不相同的点,则存在惟一的一个分式线性映射,将点 依次1 2 3,,z z z
映射成 1 2 3,,.w w w
事实上,如果 和 都是有限1 2 3,,z z z 1 2 3,,w w w
点,设
( 0 )a z bw a d b cc z d
将 依次映射成 则1 2 3,,z z z 1 2 3,,,w w w
( 1,2,3 ),kk
k
a z bwk
c z d
1ww?
于是
3 1 3 111
2 3 2 2 3 2
:,,w w z zw w z zw w w w z z z z
))((
))((
1
1
dczdcz
bcadzz
2ww?
))((
))((
2
2
dczdcz
bcadzz
13 ww?
))((
))((
13
13
dczdcz
bcadzz
23 ww?
))((
))((
23
23
dczdcz
bcadzz
从中可惟一地解出 w,得到分式线性映射,
如果 和 中含有无穷远点,1 2 3,,z z z 1 2 3,,w w w
把无穷远点用模充分大的有限数代替,得出形如
3 1 3 111
2 3 2 2 3 2
:,,w w z zw w z zw w w w z z z z
的分式线性映射,然后让该点趋于无穷远点,即得要证明的结论,
例如,若 z3=?,则用 代替 z3,得到分式线性3z?
映射，
3 1 3 111
2 3 2 2 3 2
:,,w w z zw w z zw w w w z z z z
令 则 于是3,z 31
32
1.zzzz
3111
2 3 2 2
:.www w z zw w w w z z
如 则 理解为 1,3,w 31
32
ww
ww
如 则 理解为 1,1,w 1
31
ww
ww
问题 圆域内部被映射成什么区域?
(2) 分式线性映射对圆域的映射结论,在分式线性映射下,C 的内部不是映射成像?的内部就是映射成像?的外部,如果 C或?中有直线,则按直线的某一侧来理解,
方法 1 在圆周 C内任取一点 z0,如果 z0的像 w0在
内部,则 C 的内部映射成?的内部 ; 如果 z0的像
w0在?外部,则 C 的内部映射?的外部,
C
0 z
0 w
0 w
3w
.
1w.
2w.
C?
1z,
2z
.
,3z
方法 2 在 C 上取三个点 如果环绕方1 2 3,,,z z z
向 与它们的像 在?上的环绕1 2 3z z z 1 2 3,,w w w
方向 相同,则 C的内部映射成?的 内部 ;1 2 3w w w
如果环绕方向相反,则 C的内部映射成?的外部,
2
1
2.
1.
3
.
.
1?
)(z
x
y
O
5.2.5 分式线性映射的典型例子例 5.3 求把上半平面 映射成上半平面Im 0z?
Im 0w?的分式线性映射,
解 在 x轴上取三点 使得1 2 31,0,,z z z
它们依次对应于 u轴上三点 1 2 3,0,1,w w w
.
1?
)(w
u
v
O.?.
于是所求的分式线性映射为
.1 z zw
化简可得注 如果选取其他三对不同点,也能求出满足要求,但形式不同的的分式线性映射,
并且 与 的环绕方向相同,1 2 3z z z 1 2 3w w w
1 1 1:,,
0 1 0 0 0
wz
w=az+b(a>0,b为实数 ),即相似和平移映射也满足要求,但它们是平凡的,没有实际意义,
)(z
O x
y )(w
O u
v
1?,1.
.i
.1?,1.
例 5.4 求把上半平面 映射成单位圆Im 0z?
内部 的分式线性映射,1w?
解 在 x 轴上取三点 使得1 2 31,0,1,z z z
它们依次对应于 u 轴上三点 1 2 31,,1,w w i w
(方法一 )
于是所求的分式线性映射为
.1 iz izw
化简可得并且 与 的环绕方向相同,1 2 3z z z 1 2 3w w w
1 1 1 1 1 1:,,
1 0 1 0
wz
w i i z
注 同样,如果选取其他三对不同点,也能求出满足要求,但形式不同的的分式线性映射,
方法二解 实轴映射成单位圆周,设上半平面中的点
)(z
O x
y )(w
O u
v
.,
,?
关于实轴的对称点 映射成 w=0关于 的对? 1w?
称点 z=?.
z=? 映射成圆心 w=0,由保对称性和,边界对应原理定理 5,3 设 D 是 z 平面内由一条分段光滑 Jordan曲线 C 围成的区域,f ( z ) 是 D 及其边界 C 上的解析函数，
并把 C 双方单值地映射成 w 平面上的光滑曲线?,如果 C 的正向映射成? 的正向,则在映射 w = f ( z ) 下,C
的内部区域 D 映射成? 正向的左侧 ( 若? 也是 Jordan曲线,则映射成? 的内部 ) 区域 ; 如果 C 的正向映射成
的负向,则 C 的内部区域映射成? 的右侧 ( 若? 也是Jordan 曲线,则映射成? 的外部 ) 区域,
对于 C 不是 Jordan 曲线的情况类似上半平面映为单位圆内部的分式线性映射一般形式说明则所求映射为 其中 k是待定常数,由,zwk z
于 映射成 上的点,所以0z? 1w?
0 1,
0k k k
设 为实数?,则ike ( I m 0 ),i zwe z
取 时,3 π,2i,1ziw iz
取 时,,0i,ziw zi
(与方法一相同 )
例 5.5 求把上半平面 映射成圆域内部Im 0z?
0w w R的分式线性映射,使 0( ),( ) 0,w i w w i
解 由例 5.4中的解法二可知，映射把上半平面 映射成单位圆 内部Im 0z? 1.
)(z
O
()?
O1
再作相似映射与平移映射，得
()w
O
0 w
R
i zie
zi
(?为实数 )
00e.
i ziw R w R w
zi
这样,映射成 且1 0,w w R 0( ),w i w?
因为
2
2( ) e,
()
i iw z R
zi
再由已知条件 可见 即( ) 0,wi,iei,2
所以要求的分式线性映射是
0,
ziw R i w
zi
)(w
O u
v
O x
y)(z
.a
.
a
1
.
例 5.6 求把单位圆内部 映射成单位圆内1z?
部 的分式线性映射,1w?
解 在 内取一点 z1=0,设 z1的像为 w1=0,1z?
因为 z1=? 关于圆周 的对称点是1z? 2 1,z 而条件
O x
y)(z
.a
.
a
1 )(w
O u
v
.
要求 分式线性映射把 映射成 所以根据1z? 1,w?
分式线性映射的保对称性,映射成 w1=0关于2 1z
1w? 的对称点 2,w 这样的分式线性映射为,
1 1
zz
w k k
zz
其中 是复常数,kk
容易验证,当 时,1z? 1.1
z
z
1.1 zk k wz
因为 映射成 所以当 时,1z? 1,w? 1z?
设 (? 为实数 ),则所求的 分式线性映射为ike
1
i zwe
z
(?为实数 ).
注 旋转映射 (? 为实数 )也满足要求,但iw e z
它是平凡的,没有实际意义,
例 5.7 求一个分式线性映射,把由两圆周
12,3 9,,8 16C z C z
所围成的偏心圆环域 D映射成中心在 w=0的同心圆环域 G,且使其外半径为 1,
y
1C
2C
x
(z)
O
D
1?
2?
u
v(w)
O
G
解 设所求分式线性映射把 z平面内两点 z1和 z2
分别映射成 w平面内的 w1=0和 w2=?,由于 w1和 w2同同时关于同心圆环域 G 的两个边界圆周对称,由分式线性映射的保对称性,z1和 z2 应同时关于圆周 C1
和 C2对称,因此,z1和 z2 应在 C1和 C2的圆心连线上，
即在实轴上,设 根据对称性1 1 2 2,.z x z x
1 2 1 2( 3) ( 3) 8 1,( 8) ( 8) 2 5 6,x x x x
解方程得 (或 ),120,2 4xx122 4,0xx
下面只考虑 的情形,120,2 4xx
由 可知 圆周 C2映射成外边界(0 ) 0w? 1.w?
这时 于是 所求的分式线( 0 ) 0,( 2 4 ),ww
性映射的形式为
24
zwk
z(k为复常数 ).
因为 z=0在 和 的内部,1,3 9Cz2,8 16Cz
在 C2取 则 于是24,z? ( 24 ) 1,w?
24( 2 4 ) 1,
2 4 2 4wk
由此可得 即 (? 为实数 ).2,ike 2 24i zwe z
§ 5.3 几个初等函数所构成的映射
1 幂函数构成的映射
2 指数函数与对数函数构成的映射
5.3.1 幂函数构成的映射为了讨论方便,在本节中设 的取值范围为argz
幂函数 在全平面解析，且nwz? 1d,d nw nzz
如果 则 故该映射在 点处处0,z? d 0,dwz? 0z?
保角,
下面讨论 点,设 则在映0z?,,iiz r e w e
射 下,nwz?
根式取为主值,整数 2.n?[0,2 ),?
的射线 映射成 w平面上的射线 特别0 0,n
地,把正实轴 映射成正实轴 因此ar g 0z? a r g 0,w?
故在 z=0点不具有保角性,
0? 0?nO
)(w
O
)(z
,.nrn
由此可见,映射 把 z平面上以原点为起点nwz?
映射 将角形区域 映射成角nwz? 0 2 π0 n
形区域 00,n
)(w
OO
)(z
特殊情况,
n
2 上岸沿正实轴割开的 w平面下岸角形区域 2 π0 n
nwz?
角形区域 02π
0 映射成正实轴的上岸 0
2π
n 映射成正实轴的下岸 2π
角形区域 0 ar g z n
nwz?
上半平面 0 ar g w
O
)(z
n
O
()w
同时,把 z平面上的圆周 映射成 wnwz? zr?
平面上的圆周,nwr?
在区域 内,是双方 0 20 a r g z nnwz?
单值的保角映射,
用类似的方法可以讨论 它也是把角形
1,
nwz?
区域映射成角形区域的映射,不同点只是角形区域的顶角变成原来顶角的 1.n 实际上它是 的逆nwz?
映射,
0?
O
()z
0n?
O
()w
若将角形区域映射成角形区域,一般应用幂函数,
例 5.8 求把角形区域 映射成单位0 ar g 4z
圆内部 的双方单值保角映射,1w?
解
4z i
iw
O
)(?
4
4,
ziw
zi
因此所求映射为
O
)(z
4
O
)(w
例 5.9 求把在单位圆 的内部,从原点沿正1z?
实轴的半径上有割痕的区域 (即在单位圆 内去1z?
掉 )映射成单位圆内部 的I m 0,0 R e 1zz1w?
双方单值保角映射,
O
(z)
O
(w)
O
(z)
O
(z1)
O
(z2)
O
(z3)
O
(z4)
O
(w)
解
1
21zz?
1
2
1
1
1
zz
z
32zz
243zz?
4
4
ziw
zi
1
22
11
22
11
22
11
.
11
zz
w i i
zz
5.3.2 指数函数与对数函数构成的映射指数函数 在全平面解析,且 处zwezzee
处不为零,因此,它是全平面上的保角映射,
设 则,,iz x i y w e
,.i x i y xw e e e y
O
)(z
O
)(w
x0
(1)
0xx? 0xwe
O
)(z
O
)(w(2)
0yy? 0a r g wy
(3) 设 120 2,yy
zwe?
双方单值
)(w
OO
)(z
1yy?
2yy?
1a r g wy?
2a r g wy?
带形区域
12Imy z y
角形区域
12a r gy w y
O
)(z
O
)(z
)(w
O
O
)(w
特殊情形
i?
i?2
zwe?
双方单值
zwe?
双方单值带形区域
0 I m z
0 I m 2z 平面从原点沿正实轴有割痕区域上半平面 Im 0w?
0 ar g w
0 ar g 2w
若将带形区域映射成角形区域,一般应用指数函数,
例 5.10 求把带形区域 映射成单位0 I m z
圆内部 的双方单值保角映射,1w?
O
)(zi?
O
)(w
解
()?
O
ze
iw
i
因此所求映射为,
z
z
eiw
ei
区域 上指数函数的反函数是对数Im z
函数主值 在复平面除去原点与负实轴的区ln,wz?
域 D内,因此, 1ln 0,z z
x
y
o
D是 D上的保角映射,lnwz?
对数函数可以把 角形区域映射成带形区域,
O
()w
O
()w
()z
O
i?
i?2
0 I m 2z平面从原点沿负实轴有裂痕区域
lnwz?
双方单值
a r g w
O
()z
lnwz?
双方单值带形区域
0 I m w
上半平面 Im 0z?
0 ar g z
§ 5.4 保角映射举例例 5.11 求把 和 的公共32z 32z
部分映射成上半平面的双方单值保角映射,
i?
i
()z
O
()w
O
解 圆 和 交于两点32z 32z,i?
并且交角等于 因此，映射 把 与.3? 1 ziz zi zi?
zi 分别映射成 平面上的原点和无穷远点,而1z
将所给区域映射成以原点为顶点的角形区域,且顶角等于 当 z=0时,应在角形区域的平分线,3? 1 1z
上,所以负实轴为该角形区域的角平分线,于是该角形区域为
1
57ar g,
66z
O
1()z
i?
i
()z
O
1
ziz
zi
5
621
iz e z
()w
O
32wz?
335
2 i z i z iw e i
z i z i
2()z
O
3
例 5.12 求把 映射成1,I m 1D z z z
上半平面的双方单值保角映射,
()w
O
解 区域 D的边界 y=1和 在 i点相切,因此1z?
映射 把 y=1和 映射成平行线,把区域1 ziz zi 1z?
映射成带形区域 10 R e 1,z
()z
i
O D
()w
O
()z
i
O D
1()z
1O
2()z
O?
3()z
O
i?
21zz
1
ziz
zi
3zwe?
23 2 2
iz e z i z
zii
ziwe?
例 5.13 求把具有割痕 R e 0,I mz h z
的上半平面映射成上半平面 的双方单值保Im 0w?
角映射,()z
O
ih
()w
O
解 映射 把割痕21zz? R e 0,I mz h z
映射为 z1平面上的割痕 把正 211R e,I m 0 ;z h z
负实轴映射为 z1平面上的割痕 11R e 0,I m 0,zz
()z
O
ih
()w
O
2()z
O
1()z
O
2h?
21zz?
2
1
2
1
zhz
z
1
22wz?
1
22 2
2
zhw
z
例 5.14 求把上半带形区域
R e,Im 022 zz
映射成上半平面 且满足Im 0,w?
1,0 02ww
的双方单值保角映射,
()z
O2 2? 1? 1
()w
O
()z
O2 2?
1()z
O
2i
2i?
i
3()z
O1? 11?
4()z
O
1? 1
()w
O
1z iz?
22
00
22
i
i
12 zez?
2
01
2
ii
ii
2()z
O
i?
i
1
23 izz?
1
1
1
i
i
i
2
3
4
3
1
1
zz
z
10
1
1
i
1
1
4
4
z
zw
01
10
1
解
2
2
2
1
1
1 1
21
1
1
iz
iz iz
iz
iz
iz
ie
ie e
w
ieie
ie
1 sin,2 iz ize e zi
注 虽然 已经把上半带形区域
2
4
1
1
iz
iz
iez
ie
R e,Im 022 zz映射成了上半平面 Im 0,w?
但是 4 4 4,( 0 ) 1,0,22z z z
不满足条件,
例 5.15 求把扩充复平面上单位圆的外部区域
1z? 映射成具有割痕 的扩I m 0,1 R e 1ww
充 w平面的双方单值保角映射,
解 ()z
O
1()z
O
2()z
O
3()z
O
()w
O
11
2wz z
1
1
1?
z
zz
12 izz?
223 zz?
1
1
3
3
z
zw
儒可夫斯基函数
11
2wz z
儒可夫斯基函数儒可夫斯基利用这样的保角映射成功地解决了机翼截面的绕流问题,对空气动力学与航空工业的发展曾起到重要作用,
C
1? 1
)(z
O,.
1? 1
2
)(w
O
zzw 121
1C?
A?
B.
)(w
a.
O
.1C,C
)(z
Aaa? O,.
z
azw 2
2
1
(机翼截线 )
函数映射的特点
1,幂函数能把一个角形区域 (顶点在原点 )映射成上半平面 ; 能把一个扇形区域映射成半圆域,
2,指数函数能把一个带形区域映射成半平面 ;对数函数能把上半平面映射成带形区域,
3,分式线性映射能把半平面映射成单位圆的内部 ;
把由两个圆弧所围成的区域映射成角形区域 ;能把一条有限长的割痕变成一条射线 ;把两个相切的圆周映射成平行线 (切点映射成无穷远点 ).
本章内容总结保角映射分式线性映射一一对应保角性保圆性几何意义()fz? 几个初等函数构成的映射分式线性映射的确定对确定区域的映射保对称性
zew?nzw?
nzw
1? lnwz?
1,保角映射的概念及其性质
3,分式线性变换与初等函数相结合,求一些简单区域之间的映射本章的重点
2,分式线性映射第五章 完儒可夫斯基 (N,Joukowski,1847.1.17-1921.3.17)
机翼理论的创立者,曾被列宁誉为“俄罗斯航空之父”,他的早期论著,论鸟的滑翔飞行,(1891)
和,论飞机最佳倾角,(1897)在人类航空发展史上占有重要的学术地位,
