第七章 Fourier变换
§ 7.1 Fourier变换的概念与性质
§ 7.2 离散 Fourier变换
§ 7.3 Fourier变换的应用主 要 内 容
Fourier变换是一种对连续时间函数的积分变换,通过特定形式的积分建立函数之间的对应关系,它既能简化计算 (如解微分方程或化卷积为乘积等 )，又具有明确的物理意义 (从频谱的角度来描述函数的特征 ),
因而在许多领域被广泛地应用,离散和快速
Fourier变换在计算机时代更是特别重要．
1 Fourier变换的定义
2 Fourier变换的性质
§ 7.1 Fourier变换的概念与性质
3 d函数的 Fourier变换
7.1.1 Fourier变换的定义
Fourier积分定理 设 f (x)在 满足下列(,)
条件,
(1) f (x)在任何有限区间上满足展开为 Fourier
级数的条件,即只存在有限个第一类间断点和有限个极值点；
(2) f (x)在 上绝对可积,即(,) ( ) df x x
收敛,
则在 f (x)的连续点处
1( ) d ( ) d,
2
i x i tf x e f t e t
而在 f (x)的间断点处
( 0 ) ( 0 ) 1 d ( ) d,
22
i x i tf x f x e f t e t
定义 7.1 设 f (t)和 F(?)都是在 上绝对(,)
可积函数，称
( ) ditf t e t
为 f (t)的 Fourier变换,称
1 ( ) d
2
itFe
为 F(?)的 Fourier逆变换,记为 和[ ( )]ftF 1 [ ( ) ],FF
[ ( ) ] ( ) d,itf t f t e tF
1 1[ ( ) ] ( ) d,
2
itF F e
F
如果 f (t)满足 Fourier积分定理条件,那么在 f (t)
的连续点处成立 Fourier变换的反演公式
1( ) [ ( ) ],f t f t?= F F
例 7.1 设 求 22( ) ( 0 ),bxf x e b[ ( )].fxF
22
22 2[ ( ) ] d d
ixbx
b x i x bf x e x e x
F
2 2 2
22
2442 2 4 4 d
iib x x
b b bex
22
2
22 24 d.b x i bbe e x
根据定义，有解 运行下面的 MATLAB语句,
>> symsx w;symsb positive
>> f=exp(-b^2*x^2);F=fourier(f)
F =
(pi/b^2)^(1/2)*exp(-1/4*w^2/b^2)
>> r=simple(F) % 化简
r =
1/b*pi^(1/2)*exp(-1/4*w^2/b^2)
注 首先使用命令 syms来定义基本符号对象,否则
O x
f (x)
1
实轴
A B
CD
R RO
虚轴
22b
因为 在全平面22bze?
处处解析,所以取图中的路径 ABCDA时，根据定理 2.3 ( Cau chy 积分定理 ) 设 f ( z ) 是单连
D C 说明,该定理的主要部分是Cau chy 于 1825 年建立的,
它是复变函数理论的基础,
通区域 D 上的解析函数，则对 D 内的任何可求长 Jo rdan 曲线 C,都有 ( ) d 0,
C f z z
2 2 2 2ddR b x b z
R B Ce x e z
2
2
2222 d d 0,b x iR bzb
R D A
e x e z
下面计算
22
22
2222d li m d,b x i b x iRbb
RR
e x e x
2 2 2 22 ()2
0
ddb z b R iyb
BC
e z e y
2 2 22 ( 2 )2
0
db R R iy yb ey
同理可证
22 d 0 ( ),bz
DA e z R
2 2 2 222
0 d 0.
b R b ybe e y
当 R?+?时，
因此,当 R?+?时，
2
2
2222l i m d l i m db x iRR bxb
RR
e x e x
2 2 21d d,b x te x e t
bb
于是
2
2 4[ ( ) ],bf x e
b
F
O?
F(?)
b?
例 7.2 求
,0( ) ( 0 )
0,t 0
tet
ft
的 Fourier变换,
0[ ( ) ] d
t i tf t e e tF
()
0
1d.itet
i
t
f (t)
o
1
根据 Fourier变换的定义解 运行下面的 MATLAB语句,
>> symst w;symsbeta positive>> g=sym('Heaviside(t)'); % 调用 Heaviside函数
>> f=exp(-beta*t)*g;F=fourier(f)F =
1/(beta+i*w)
例 7.3 求 的 Fourier变换，( ) ( 0 )tf t e
并证明
220
c o s d.
2
tt e
t
f (t)
O
1
根据 Fourier变换的定义解 运行下面的 MATLAB语句,
>> symst;symsbeta positive
>> f=exp(-beta*abs(t));F=fourier(f)
F =
2*beta/(beta^2+w^2)[ ( ) ] d
t itf t e e t
F
0
0dd
t i t t i te e t e e t
22
2,?
因为 f (t)在 上连续,且只有一个极大值(,)
点 t=0,而
0
2d 2 dt te t e t
存在,所以根据 Fourier变换的反演公式
1
2 2 2 2
2 1 2( ) d
2
itf t e
F
22
1 ( c o s s i n ) dt i t
220
2 c o s d,t
于是
220
c o s d ( ),
22
tt f t e
在无线电技术、声学、振动理论中,Fourier
变换和频谱概念有密切联系,时间变量的函数 f (t)
的 Fourier变换 F(?)称为 f (t)的的 频谱函数,频谱函数的模 称为振幅频谱 (简称为 频谱 ),()F?
例 7.4 求矩形脉冲函数 (E>0)
,
2
()
0,t
2
Et
pt
的频谱,
o t2?2
E
()pt?
.
.,
解 运行下面的 MATLAB语句,>> symst w E;symstaupositive
>> g=sym('Heaviside(t+tau/2)');>> h=sym('Heaviside(t-tau/2)');
>> p=E*g-E*h;F=fourier(p)F =
E*exp(1/2*i*tau*w)*(pi*Dirac(w)-i/w)-E*exp(-1/2*i*tau*w)*(pi*Dirac(w)-i/w)
>> r=simple(F) r =
2*E*sin(1/2*tau*w)/w
由频谱函数的定义
( ) ( ) ditF p t e t
2
2
d,itE e t
|F(?)|
O
E?
2 4 6246
2
2
2
( ) sin,
2
itEe E
F
i
故频谱为
1( ) 2 sin,
2FE
(如图所示 )
7.1.2 Fourier变换的性质以下假定所讨论的函数满足 Fourier积分定理的条件,
(1) 线性性质 设 a,? 是常数,11( ) [ ( ) ],F f t F
22( ) [ ( ) ],F f t F则
1 2 1 2[ ( ) ( ) ] ( ) ( )f t f t F Fa? aF
12[ ( ) ] [ ( ) ],f t f taFF
1 1 11 2 1 2[ ( ) ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ],F F F Fa aF F F
(2) 对称性质 设 ( ) [ ( ) ],F f t F则
[ ( ) ] 2 ( ),F t fF
证明 由 Fourier逆变换有 1( ) ( ) d,2 itf t F e
于是 1( ) ( ) d,2 itf t F e
将 t与?互换,则
1( ) ( ) d,
2
itf F t e t
所以 [ ( ) ] 2 ( ),F t fF
特别地,若 f (t)是偶函数,则 [ ( ) ] 2 ( ),F t fF
2[ ( ) ] si n,
2pt?
F
例 7.5 求 的频谱函数,sin() tft t?
f (t)
to
函数 的频谱函数为()pt?
当? =2时,根据 Fourier
变换的线性性质由 知,单位幅度 (即 E=1) 的矩形脉冲解 运行下面的 MATLAB语句,
>> symst
f=sin(t)/t;F=fourier(f)
F =
1/2*pi*(Heaviside(-w+1)-Heaviside(w-1))-
1/2*pi*(Heaviside(-w-1)-Heaviside(w+1))
>> r=simple(F)
r =
-pi*Heaviside(w-1)+pi*Heaviside(w+1)
例 7.4 求矩形脉冲函数 (E>0),2() 0,t
2
Etpt
的频谱,2( ) si n,2EF
1( ) 2 sin,2FE
解
2
1 sin( ),
2 pt
F
其中 是宽度为 2,幅度为的 矩形脉冲函数,21 ()2 pt 12
它是偶函数,由 Fourier变换的,(2) 对称性质 设 ( ) [ ( ) ],F f t F则[ ( ) ] 2 ( ),F t fF
证明 由 Fo urier 逆变换有 1( ) ( ) d,2 itf t F e
于是 1( ) ( ) d,2 itf t F e将 t与?互换,则 1( ) ( ) d,
2 itf F t e t
所以 [ ( ) ] 2 ( ),F t fF
特别地,若 f (t)是偶函数,则 [ ( ) ] 2 ( ),F t fF
sin[ ( ) ] tft
t
FF
,1 ;
0,1.
2
12 ( )
2 p o
11?
()F?
.
.,
宽度为 2 幅度为? 的矩形脉冲函数
(3) 相似性质 设 ( ) [ ( ) ],F f t F则
1[ ( ) ] f a t F
aa
F (其中 为常数 ),0a?
证明 由 Fourier变换的定义,
[ ( ) ] ( ) d,itf a t f a t e tF
令 则 于是当 a>0时,,x at? 1d d,txa?
11[ ( ) ] ( ) d ;ixaf a t f x e x F
a a a
F
当 a<0时,1
[ ( ) ] ( ) dixaf a t f x e xa
F
11( ) d,ixaf x e x F
a a a
综上所证,即得
1[ ( ) ],f a t F
aa
F
(4) 翻转性质 设 ( ) [ ( ) ],F f t F则
)[ ( ) ],f t FF
由相似性质可直接得到
(5) 时移性质 设 ( ) [ ( ) ],F f t F则
00[ ( ) ] ( )itf t t e FF (其中 t0为常数 ),
证明 由 Fourier变换的定义,
00[ ( ) ] ( ) d,
itf t t f t t e t
F
令 代入上式得 0,x t t
0()0[ ( ) ] ( ) di x tf t t f x e x
F
00( ) d ( ),i t i tixe f x e x e F
利用 和,易见(5) 时移性质 设 ( ) [ ( ) ],F f t F则
00[ ( ) ] ( )itf t t e FF (其中 t 0为常数 ),证明 由 Fo urier 变换的定义,
00[ ( ) ] ( ) d,itf t t f t t e tF
令 代入上式得 0,x t t
0()0[ ( ) ] ( ) di x tf t t f x e xF
00( ) d ( ),i t i tixe f x e x e F
(3) 相似性质 设 ( ) [ ( ) ],F f t F则 1[ ( ) ] f a t F
aaF (其中 为常数 ),0a? 1
[ ( ) ],
bi
af a t b e F
aa
F
其中 a,b为常数,并且 事实上，0.a?
[ ( ) ] bf a t b f a t a
FF
1[ ( ) ],bbiiaae f a t e F
aa
F
例 7.6 计算 20(),tteF
于是根据 得(5) 时移性质 设 ( ) [ ( ) ],F f t F则
00[ ( ) ] ( )itf t t e FF (其中 t 0为常数 ),证明 由 Fo urier 变换的定义,
00[ ( ) ] ( ) d,itf t t f t t e tF
令 代入上式得 0,x t t
0()0[ ( ) ] ( ) di x tf t t f x e xF
00( ) d ( ),i t i tixe f x e x e F
2
2 0
0
) 4,itttee
（F
(6) 频移性质 设 ( ) [ ( ) ],F f t F则
(其中?0为常数 ),0 0( ) ( )itf t e FF
证明 由 Fourier变换的定义,
00( ) ( ) di t i t itf t e f t e e t
F
0() 0( ) d ( ),itf t e t F
由 知,解 运行下面的 MATLAB语句,
>> symst w t_0
>> f=exp(-(t-t_0)^2);F=fourier(f)
F =
exp(-t_0^2)*pi^(1/2)*exp(-i*t_0*w)*exp(t_0^2-
1/4*w^2)
>> r=simple(F)
r =
pi^(1/2)*exp(-i*t_0*w-1/4*w^2)
2
2 4,tee
F例 7.1
222 2 4 ( 0 ),bx be e bbF
例 7.7 计算 和 2 0c o stetF 2 0s in,tetF
根据解 运行下面的 MATLAB语句,
>> symst w a
% 输入 a代替 w_0,否则发生混淆,出现错误
>> f=exp(-t^2)*cos(a*t);g=exp(-t^2)*sin(a*t);
>> F=fourier(f)
F =
1/2*pi^(1/2)*exp(1/2*a*w)*exp(-1/4*a^2-
1/4*w^2)+1/2*pi^(1/2)*exp(-1/2*a*w)*exp(-
1/4*a^2-1/4*w^2)
Euler 公式 c o s sin,
iei
)? )0 0 0 00011c o s,in22i t i t i t i tt e e s t e ei
于是由线性性质,以及 知,(6) 频移性质 设 ( ) [ ( ) ],F f t F则
(其中? 0为常数 ),0 0( ) ( )itf t e FF证明 由 Fo urier 变换的定义,
00( ) ( ) di t i t itf t e f t e e tF
0() 0( ) d ( ),itf t e t F
例 7.1 2
22 2 4 ( 0 ),bx be e bbF 22
002 ( ) ( )
44
0c os,2
te t e e
F
22
002 ( ) ( )
44
0sin,2
te t e e
i
F
(7) 微分性质 设 ( ) [ ( ) ],F f t F并且 在()()nft
(,)上存在 (n为正整数 ),如果当 时,t
() ( ) 0 ( 0,1,2,,1 ),kf t k n则
() ( ) ( ) ( ),nnf t i FF
[ ( ) ] ( ) ditf t f t e tF
( ) ( ) di t i tf t e i f t e t
( ) d ( ),iti f t e t i F
只证明 n=1的情形,类推可得高阶情形,证明 运行下面的 MATLAB语句,验证 n=5的情形,
>> syms t w>> y=sym('f(t)');fourier(diff(y,t,5))
ans =i*w^5*fourier(f(t),t,w)
上面是关于时域的微分性质,类似地也有关于频域的微分性质,
设 ( ) [ ( ) ],F f t F并且 在()()nF? (,)
上存在 (n为正整数 ),如果当 时,
() ( ) 0 ( 0,1,2,,1 ),kF k n
则
1 ( ) ( ) ( ),n n ni F t f tF
从而可知
()( ) ( ),n n nt f t i FF
例 7.8 设 求
,0( ) ( 0 ),
0,t 0
tte t
ft
[ ( )].ftF
令 于是由 可知
,0( ),
0,t 0
tet
gt
解 运行下面的 MATLAB语句,>> symst w;symsbeta positive;
>> g=sym('Heaviside(t)'); >> f=t*exp(-beta*t)*g;F=fourier(f)
F =1/(beta+i*w)^2
例 7.2 求,0( ) ( 0 )
0,t 0tetft
的 Fourier变换,
0[ ( ) ] dt i tf t e e tF
()0 1d.itet i
t
f (t)
o
1
根据 Fourier变换的定义解 运行下面的 MATLAB语句,>> symst w;symsbeta positive>> g=sym('Heaviside(t)'); % 调用 Heaviside函数>> f=exp(-beta*t)*g;F=fourier(f)
F =1/(beta+i*w)
1[ ( ) ],gt
iF
所以
[ ( ) ] [ ( ) ]f t tg t?FF
2
11,
()
i
ii
(8) 积分性质 设 ( ) [ ( ) ],F f t F并且 ( 0 ) 0,F?
如果 则( ) ( ) d,tg t f
1[ ( ) ] ( ),g t F
iF
证明 因为 并且li m ( ) li m ( ) d 0,tttg t f
0l i m ( ) ( ) d ( ) d ( 0 ) 0,i
t g t f f e F
所以根据 可知( ) ( )g t f t
[ ( ) ] ( ) ditg t g t e tF
1 1 1( ) ( ) d ( ),i t i tg t e f t e t F
i i i
(9) 卷积性质 设 1 1 2 2( ) [ ( ) ],( ) [ ( ) ],F f t F f tFF
则 1 2 1 2[ ( ) ( ) ] ( ) ( ),f f t F FF
证明 由卷积和 Fourier变换的定义,可得
1 2 1 2[ ( ) ( ) ] ( ) ( ) d
itf f t f f t e t
F
12( ) ( ) d d
itf x f t x x e t
12( ) ( ) d d
itf x f t x e t x
1 2 2 1( ) ( ) d ( ) ( ) d
i x i xf x F e x F f x e x
12( ) ( ),FF
7.1.3 d 函数的 Fourier变换因为 d 函数是广义函数,所以其 Fourier变换不是通常意义下的 Fourier 变换,根据 Fourier 变换的定义,以及 d 函数的性质,可 得证 运行下面的 MATLAB语句,
>> symst w>> D=sym('Dirac(t)'); % 调用 Dirac函数
>> F=fourier(D)F =
1>> ifourier(sym('Dirac(w)'))
ans=1/2/pi
[ ( ) ] ( ) d 1,itt t e t?ddF
1 11[ ( ) ] ( ) d,
22
ite?d? d
F
通常,没有意义,然而由[1]F 1 1[ ( ) ],2dF
在广义函数意义下,[ 1 ] 2 ( ),? dF
因为 d (x)是 d 逼近函数 的弱极限,所以由()x
例 7.4 求矩形脉冲函数 (E>0),2() 0,t
2
Etpt
的频谱,2( ) si n,2EF
1( ) 2 sin,2FE
解
,也可以理解为[ ( )]xdF
0[ ( ) ] l i m [ ( ) ]xxdFF
(1) d 函数 Fourier变换的时移和频移性质
00[ ( ) ] [ ( ) ],itt t e t?ddFF
0 0[ 1 ] 2 ( ),ite dF
0
si nli m 1.
证明 运行下面的 MATLAB语句,
>> syms t w t_0
>> f=sym('Dirac(t+t_0)');F=fourier(f)
F =
exp(i*t_0*w)
>> g=sym('Dirac(t-t_0)');G=fourier(g)
G =
exp(-i*t_0*w)
根据 Fourier变换的定义以及 d 函数的性质,
00[ ( ) ] ( ) d
itt t t t e t?dd
F
0 0 0() [ ( ) ],i t i t i te e e t d F
1
00
1[ ( ) ] ( ) d
2
ite?d d
F
01,
2
ite?
即 0 0[ 1 ] 2 ( ),ite dF
例 7.9 计算 和 0[ c o s ]t?F 0[ s in ],t?F
解 运行下面的 MATLAB语句,
>> symst w a
% 输入 a代替 w_0,否则发生混淆,出现错误
>> f=cos(a*t);g=sin(a*t);
>> F=fourier(f)
F =
pi*Dirac(a-w)+pi*Dirac(a+w)
>> r=simple(F)
r =
pi*(Dirac(a-w)+Dirac(a+w))
根据 d 函数 Fourier变换的,可得(1 ) d 函数 Fourier 变换的时移和 频移性质
00[ ( ) ] [ ( ) ],itt t e t?ddFF
0 0[ 1 ] 2 ( ),ite dF
00
0
11[ c o s ]
22
i t i tt e eF F F
00( ) ( ),? d d
00
0
11[ sin ]
22
i t i tt e e
ii
F F F
00( ) ( ),i? d d
例 7.10 计算 22 s i n 3,tF
解 运行下面的 MATLAB语句,
>> symst w
>> f=2*(sin(3*t))^2;F=fourier(f)
F =
-pi*Dirac(w-6)+2*pi*Dirac(w)-pi*Dirac(w+6)
利用,可得例 7.9计算 和 0[cos ]t?F 0[sin ].t?F
解 运行下面的 MATLAB语句,>> symst w a % 输入 a代替 w_0,否则发生混淆,出现错误>> f=cos(a*t);g=sin(a*t);
>> F=fourier(f)F =pi*Dirac(a-w)+pi*Dirac(a+w)>> r=simple(F)
r =pi*(Dirac(a-w)+Dirac(a+w))
根据 d 函数 Fourier变换的,可得(1) d函数 Fourier变换的时移和 频移性质 00[ ( )] [ ( )],itt t e t?ddFF
0 0[1 ] 2 ( ).itedF 000 11[ c o s ] 22i t i tt e eF F F
00( ) ( ),? d d
0[ sin ] i t i tt e eiiF F F
00( ) ( ),i? d d
22 s i n 3 [ 1 c o s 6 ] [ 1 ] [ c o s 6 ]t t tF F F F
2 ( ) ( 6 ) ( 6 ),? d? d? d
(2) d 函数 Fourier变换的微分性质
() ( ) ( ),nntidF ()[ ] 2 ( ),n n nti? dF
其中 n为正整数,
证明 运行下面的 MATLAB语句,验证 n=4的情形,
>> symst w
>> f=t^4;g=sym('Dirac(4,t)');
>> F=fourier(f)
F =
2*pi*Dirac(4,w)
>> G=fourier(g)
G =
w^4
根据 Fourier变换的定义,以及 d 函数的性质,
( ) ( )( ) ( ) dn n i tt t e t?dd
F
( 1 ) ( ) ( ),n n nii
又因为
1 ( ) ( )12 ( ) 2 ( ) d
2
n n n n i ti i e d d
F
( 1 ) ( ),n n n ni i t t
所以 ()[ ] 2 ( ),n n nti? dF
§ 7.2 离散 Fourier变换
1 离散 Fourier变换及其性质
2 快速 Fourier变换
7.2.1 离散 Fourier变换及其性质定义 7.2 设 是长度为 N( ) ( 0,1,2,,1 )f n n N
的序列，称序列
)
21
0
( ) ( ) 0,1,2,,1
N i nk
N
n
F k f n e k N
为 f (n)的 离散 Fourier变换,记做 即D F T ( ),fn
( ) D F T ( )F k f n?
)
21
0
( ) 0,1,2,,1,
N i nk
N
n
f n e k N
称序列
)
21
0
1 ( ) 0,1,2,,1N i nkN
k
F k e n NN
为 F(k)的 离散 Fourier逆变换,记做IDF T ( ),Fk
)( ) I D FT D FT ( ) 0,1,2,,1,f n f n n N
离散 Fourier变换的反演公式 (证明 )
当 m=n时,当 m?n时,21 ()0 ;N i k m nNk eN 2 ()21
() 2
()0
1
1
i N m nN Ni k m n
N i m n
k N
ee
e
2 ()1 c o s( 2 ( ) ) sin( 2 ( ) ) 0.1 i m nNm n i m ne
所以根据 离散 Fourier变换和离散 Fourier逆变换的定义,对 0,1,2,,1nN记 则离散 Fourier变换及逆变换分别
2,i
NWe
简化为
)1
0
( ) ( ) 0,1,2,,1 ;
N
nk
n
F k f n W k N
( 0 )
(1 )
( 1 )
F
F
FN
0 0 0 0
0 1 1 2 1 ( 1 ) 1
0 1 ( 1 ) 2 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
( 0 )
( 1 )
( 1 )
N
N N N N
fW W W W
fW W W W
fNW W W W
离散 Fourier变换的矩阵形式变换矩阵
)1
0
1( ) ( ) 0,1,2,,1,N nk
k
f n F k W n NN
( 0 )
(1 )
( 1 )
f
f
fN
0 0 0 0
0 1 1 2 1 ( 1 ) 1
0 1 ( 1 ) 2 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
( 0 )
( 1 )
( 1 )
N
N N N N
FW W W W
FW W W W
FNW W W W
离散 Fourier逆 变换的矩阵形式逆变换矩阵例 7.11 求序列 ( ) c o s ( 0,1,2,3 )2f n n n
的离散 Fourier变换,
0 0 0 0
0 1 2 3
0 2 4 6
0 3 6 9
( 0 ) ( 0 )
( 1 ) ( 1 )
( 2 ) ( 2 )
( 3 ) ( 3 )
FfW W W W
W W W W
FfW W W W
W W W W
1 1 1 1 1 0
1 1 0 2
.
1 1 1 1 1 0
1 1 0 2
ii
ii
由 N=4得 于是 2,iW e i解 运行下面的 MATLAB语句,
>> symsn
>> n=0:3;
>> fn=cos(pi*n/2); % 生成序列
fn =
1.0000 0.0000 -1.0000 -0.0000
>> k=n;nk=n'*k;
>> WN=exp(-i*2*pi/4);
>> Wnk=WN.^nk; % 生成变换矩阵离散 Fourier变换具有如下一些基本性质,
(1) 线性性质 设
11( ) ( 0,1,2,,1 ),f n n N
22( ) ( 0,1,2,,1 )f n n N
分别是长度为 N1和 N2的有限序列,
记 将 和 补零延拓 12m a x {,},N N N? 1()fn 2()fn
为长度均为 N,即当 时,11iN n N
)( ) 0 1,2,if n i
1 12( ) D FT [ ( ) ( ) ],ffF k f n f na? a
11( ) D F T [ ( ) ],F k f n?
则
1 12( ) ( ) ( )ffF k F k F ka? a
如果 是常数,并且,a?
22( ) D FT [ ( ) ],F k f n?
)0,1,2,,1,kN
线性性质可由离散 Fourier变换的定义直接证明,
(2) 卷积定理 设 和1()fn 2 ( ) ( 0,1,2,,1 )f n n N
是长度为 N 的有限序列,将序列 和 补零1()fn 2()fn
延拓为 的长度 2N-1,仍记 和12( ) ( )f f n? 1()fn 2( ).fn
如果
( ) D F T [ ( ) ] ( 1,2),iiF k f n i
12( ) D F T [ ( ) ( ) ]F k f f n
)0,1,2,,2 1,kN
则? )12( ) ( ) ( ) 0,1,2,,2 1,F k F k F k k N
证明 对 根据离散 Fourier变换0,1,2,,2 1,kN
和有限序列卷积的定义,取 于是 221,i NWe
12( ) D F T [ ( ) ( ) ]F k f f n
2 1 2 1
12
00
( ) ( )
NN
nk
nm
f m f n m W
2 1 2 1
()
12
00
( ) ( ),
NN
m k n m k
mn
f m W f n m W
由于 和 的实际长度为 N,所以1()fn 2()fn
1 2 1
()
12
0
( ) ( ) ( )
NN
m k n m k
m n m
F k f m W f n m W
1 2 1
12
00
( ) ( )
N N m
m k k
m
f m W f W?
11
12
00
( ) ( )
NN
m k k
m
f m W f W?
2 1 2 1
12
00
( ) ( )
NN
m k k
m
f m W f W?
12( ) ( ),F k F k?
例 7.12 设12 1( ) 1,0,( ) 1,( 0,1 ),2f n f n n
求? )12( ) D F T [ ( ) ( ) ] 0,1,2,F k f f n k
延拓为 和 容易求出1 ( ) 1,0,0fn? 2
1( ) 1,,0,
2fn
12
3 1 1( ) { 1,1,1 },( ),( 3 3 ),( 3 3 ),
2 4 4F k F k i i
于是根据 可得(2 ) 卷积定理 设 和1()fn 2 ( ) ( 0,1,2,,1 )f n n N
是长度为 N 的有限序列,将序列 和 补零1()fn 2()fn
延拓为 的长度 2 N - 1,仍记 和12( )( )f f n? 1()fn 2( ).fn
如果 ( ) D F T [ ( ) ] ( 1,2),
iiF k f n i
12( ) D F T [ ( ) ( ) ]F k f f n )0,1,2,,2 1,kN
则? )12( ) ( ) ( ) 0,1,2,,2 1,F k F k F k k N
)3 1 1( ),( 3 3 ),( 3 3 ) 0,1,2,2 4 4F k i i k
取 N=2,将序列 和 按长度为 3补零1()fn 2 ( )fn解 利用本例验算离散 Fourier变换的卷积公式,
运行下面的 MATLAB语句,>> f1=[1,0];f2=[1,1/2];
>> J=conv(f1,f2);>> m=0:2;
>> k=m;mk=m'*k;>> WN=exp(-i*2*pi/3);
>> Wmk=WN.^mk;>> Fk=J*Wmk
Fk=1.5000 0.7500 -0.4330i 0.7500 + 0.4330i
7.2.2 快速 Fourier变换快速 Fourier变换 (FFT)是 DFT的快速算法,其运算次数比按 DFT的定义直接计算显著减少,考虑
DFT定义中变换矩阵
0 0 0 0
0 1 1 2 1 ( 1 ) 1
0 1 ( 1 ) 2 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
,
N
N N N N
W W W W
W W W W
W W W W
矩阵中的元素的 具有周期性,即nkW
( ) ( ),n k n k N n N kW W W
并且当 N为偶数时,222,NNki kkNW W e W
下面设 (? 为正整数 ),2N
( ) ( 0,1,2,,1 )f n n N
是长度为 N的序列,为表示方便,相应于序列的长度,
下面记矩阵中的元素为 于是在 DFT中按 n为偶.nkNW
数或奇数分解成两部分之和,即
1
0
( ) ( )
N
nk
N
n
F k f n W
11
22
2 ( 2 1 )
00
( 2 ) ( 2 1 ),
NN
r k r k
NN
rr
f r W f r W
11
22
22
00
( ) ( 2 ) ( ) ( 2 1 ) ( )
NN
r k k r k
N N N
rr
F k f r W W f r W
)0,1,2,,1,kN
由于 所以 22 22 /2 /2,ii NNNNW e e W
11
22
/ 2 / 2
00
( ) ( 2 ) ( 2 1 )
NN
r k k r k
N N N
rr
F k f r W W f r W
)0,1,2,,1,kN
记
11
22
/ 2 / 2
00
( ) ( 2 ),( ) ( 2 1 )
NN
r k r k
NN
rr
G k f r W H k f r W
)0,1,2,,1,kN
于是? )( ) ( ) ( ) 0,1,2,,1,kNF k G k W H k k N
因为 具有周期性,所以nkNW
( ),( ),22NNG k G k H k H k
2 0,1,2,,1,
2
Nk
k
NN
NW W k
因此只需在 时计算0,1,2,,12Nk( ),( ),G k H k
这表明求长度为 N的序列 DFT可分解为求两个长度为 N /2的序列 DFT,
对 又可以按 r为偶数或奇数,分解( ),( ),G k H k
为求四个长度为 N /4的序列 DFT,并且在计算时可以应用周期性,最终分解为求 个长度为 1的序列2N
DFT,
下面以 N=8的 DFT为例,如果直接进行 DFT,为求 F(k)的每一个值,需要做 8次复数乘法和 7次复数加法运算,计算 F(k)的 8个值,就需要做 64次复数乘法和 56次复数加法运算,因此,计算 N个点的 DFT,需要
N2次复数乘法和 N(N-1)次复数加法运算,
随着 N的增加,直接进行 DFT的计算量急剧增加,
如果利用 FFT,则有
0
8
1
8
2
8
3
8
( 0 ) ( 0 ) ( 0 )
( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
( 3 ) ( 3 ) ( 3 )
F G W H
F G W H
F G W H
F G W H
4
8
5
8
6
8
7
8
( 4 ) ( 4 ) ( 4 )
( 5 ) ( 5 ) ( 5 )
( 6 ) ( 6 ) ( 6 )
( 7 ) ( 7 ) ( 7 )
F G W H
F G W H
F G W H
F G W H
其中 都是长度为 4的 DFT,并且( ),( )G k H k
( 4 ) ( ),( 4 ) ( ),G k G k H k H k
再考虑到 所以可简化运算,488 ( 0 3),kkW W k
0
8
1
8
2
8
3
8
( 0 ) ( 0 ) ( 0 )
( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
( 3 ) ( 3 ) ( 3 )
F G W H
F G W H
F G W H
F G W H
0
8
1
8
2
8
3
8
( 4 ) ( 0 ) ( 0 )
( 5 ) ( 1 ) ( 1 )
( 6 ) ( 2 ) ( 2 )
( 7 ) ( 3 ) ( 3 )
F G W H
F G W H
F G W H
F G W H
不变 简化其运算量为复数乘法 次,复数加2log 1 22N N?
法 次,随着 N的增加,FFT计算量的增2l o g 2 4NN?
加要比直接进行 DFT计算量的增加要少得很多,
§ 7.3 Fourier变换的应用前面已经通过一些例子介绍了 Fourier 变换在频谱分析中的应用,下面再给出一个讨论在信息传输中不失真问题的例子,
例 7.13 任何信息的传输,不论电话、电视或无线电通信,一个基本问题是要求不失真地传输信号,
所谓信号不失真是指输出信号与输入信号相比,只是大小和出现时间不同，而没有波形上的变化,
设输入信号为 f (t),输出信号为 g(t),信号不失真的条件就是
0( ) ( ),g t K f t t
其中 K为常数,t0是滞后时间,从频率响应来看,为了使信号不失真,应该对电路的传输函数 H(?)提出一定的条件,
传输函数
H(?)
f (t) g(t)
设 F(?)和 G(?)分别是输入信号 f (t)和输出信号
g(t)的 Fourier变换,
传输函数
H(?)
G)
g(t)f (t)
F(?)
由 Fourier变换的 可得(5) 时移性质 设 ( ) [ ( ) ],F f t F则
00[ ( ) ] ( )itf t t e FF (其中 t 0为常数 ),证明 由 Fo urier 变换的定义,
00[ ( ) ] ( ) d,itf t t f t t e tF
令 代入上式得 0,x t t
0()0[ ( ) ] ( ) di x tf t t f x e xF
00( ) d ( ),i t i tixe f x e x e F
这说明,如果要求信号通过线性电路时不产生任何失真,在信号的全部通频带内电路的频率响应必须具有
0( ) ( ),itG K e F 0( ),itH K e故要求传输函数恒定的幅度特性和线性的位相特性,
最后介绍应用 Fourier变换求解某些数学物理方程 (偏微分方程 )的方法,在应用 Fourier 变换求解偏微分方程时,首先将未知函数看做某个自变量的一元函数,对方程两端取 Fourier变换,把偏微分方程转化成未知函数为像函数的常微分方程,再利用所给的条件求常微分方程,得到像函数后,再求
Fourier逆变换,即得到偏微分方程的解,
像原函数
(偏微分方程的解 ) 像函数偏微分方程 像函数的常微分方程
Fourier逆变换
Fourier变换解常微分方程例 7.14 求解半平面 y>0上膜平衡 Laplace方程的 Dirichlet问题
22
22 0,,0,
uu xy
xy
(,0 ) ( ),,u x f x x
其中 时 时22xy0,u? x 0.ux
解 设 即 是 u(x,y) (,) [ (,) ],U y u x y F(,)Uy?
作为 x的一元函数的 Fourier变换,再设
( ) [ ( ) ],F f x F
因为当 时,所以根据x 0,0,uu x
Fourier变换的,可知(7) 微分性质 设 ( ) [ ( ) ],F f t F并且 在()()nft(,)
上存在 (n 为正整数 ),如果当 时,t() ( ) 0 ( 0,1,2,,1 ),kf t k n
则 () ( ) ( ) ( ),nnf t i FF
[ ( ) ] ( ) ditf t f t e tF ( ) ( ) d
i t i tf t e i f t e t( ) d ( ),
iti f t e t i F
只证明 n =1 的情形,类推可得高阶情形,证明 运行下面的 MATLAB语句,验证 n=5的情形,>> symst w>> y=sym('f(t)');fourier(diff(y,t,5))ans=
i*w^5*fourier(f(t),t,w)
2
22
2 ( ) [ (,) ] (,),
u i u x y U y
x
FF
又因为
2 2 2
2 2 2
(,) (,)d,ixu u x y U yex
y y y
F
故对 Laplace方程两端取 Fourier变换,得
2 0,yyUU
这是一个以?为参数的二阶常微分方程,求其解为
(,) ( ) ( ),yyU y A e B e
由于 时 可知 所以y 0,u? (,) 0.Uy
当? >0时,( ) 0,( ) (,0 ) ;A B U
当? <0时,( ) 0,( ) (,0 ),B A U
于是 ||(,) (,0 ),yU y U e
对边值条件 两端取 Fourier变换,(,0 ) ( )u x f x?
(,0 ) ( ),UF
因此 再求 Fourier逆变 ||(,) ( ) ( 0 ),yU y F e y
换得到所求的 Laplace方程 Dirichlet问题的解为
1(,) ( ) d
2
y ixu x y e F e
1 ( ) d d
2
y i t i xe f t e t e
()1 ( ) d d
2
i x t yf t e t
22
() d ( 0 ),
()
y f t ty
y x t?
其中 时,x 0,0.uu x
例 7.15 求解沿无限长杆的热传导方程的初值问题
2
2 0,,0,
uu xt
tx
(,0 ) ( ),,u x f x x
解 设 对(,) [ (,) ],( ) [ ( ) ],U t u x t F f xFF
方程和初值条件两端取 Fourier变换得,
2 0,(,0) ( ),tU U U F
求解这个一阶常微分方程初值问题得
2(,) ( ) ( 0 ),tU t F e t
由 可知 于是由例 7.1
222 2 4 ( 0 ),bx be e bbF
2
21 41,
2
x
t tee
t
F
Fourier变换的 得到热传导方程初值问题(9) 卷积性质 设 1 1 2 2( ) [ ( ) ],( ) [ ( ) ],F f t F f tFF
则 1 2 1 2[ ( ) ( ) ] ( ) ( ),f f t F FF证明 由卷积和 Four ier 变换的定义,可得
1 2 1 2[ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ditf f t f f t e tF 12( ) ( ) d ditf x f t x x e t
12( ) ( ) d ditf x f t x e t x
1 2 2 1( ) ( ) d ( ) ( ) di x i xf x F e x F f x e x12( ) ( ).FF
的解为
2
21 41(,) ( ) ( )
2
x
t tu x t F e f x e
t
F
2()
41 ( ) d ( 0 ),
2
x
tf e t
t
例 7.16 求解无限长弦自由振动的初值问题
22
2
22 0,,0,0,
uu a x t a
tx
(,0 ) ( ),,u x f x x
(,0 ) 0,,ux x
t
其中 时,x 0,0.uu x
解 设 对(,) [ (,) ],( ) [ ( ) ],U t u x t F f xFF
方程和初值条件两端取 Fourier变换,
22 0,(,0 ) ( ),(,0 ) 0,t t tU a U U F U
求解这个二阶常微分方程初值问题得
11(,) ( ) + ( ),
22
ia t ia tU t F e F e
再求 Fourier逆变换,
1(,) (,) d
2
ixu x t U t e
1 1 1 1( ) d ( ) d
2 2 2 2
ia t i x ia t i xF e e F e e
( ) ( )1 1 1 1( ) d ( ) d,
2 2 2 2
i x a t i x a tF e F e
根据 Fourier逆变换的定义，
()1 ( ) d ( ),
2
i x a tF e f x a t
()1 ( ) d ( ),
2
i x a tF e f x a t
所以无限长弦自由振动的初值问题解为
1(,) ( ) ( ),2u x t f x a t f x a t
这表明振动的波形是左行波和右行波的迭加,
实际上它是 D’Alembert公式的一个特殊情形,
求解数学物理方程离散 Fourier变换本章内容总结 线性性质对称性质相似性质翻转性质时移性质频移性质时域微分频域微分积分性质卷积性质
Fourier变换
d 函数的
Fourier变换基本性质时移性质频移性质微分性质快速 Fourier变换反演公式本章的重点
3,Fourier变换在解偏微分方程中的应用
2,离散 Fourier变换
1,Fourier 变换的定义及其性质第七章 完
Jean le Rond D’Alembert
(1717.11.16-1783.10.29)
法国数学家和物理学家,被一个贫穷家庭收养的弃婴,
他是 18世纪的大数学家,在很多领域取得了成就,特别在微分方程和力学等方面的贡献尤为突出,
§ 7.1 Fourier变换的概念与性质
§ 7.2 离散 Fourier变换
§ 7.3 Fourier变换的应用主 要 内 容
Fourier变换是一种对连续时间函数的积分变换,通过特定形式的积分建立函数之间的对应关系,它既能简化计算 (如解微分方程或化卷积为乘积等 )，又具有明确的物理意义 (从频谱的角度来描述函数的特征 ),
因而在许多领域被广泛地应用,离散和快速
Fourier变换在计算机时代更是特别重要．
1 Fourier变换的定义
2 Fourier变换的性质
§ 7.1 Fourier变换的概念与性质
3 d函数的 Fourier变换
7.1.1 Fourier变换的定义
Fourier积分定理 设 f (x)在 满足下列(,)
条件,
(1) f (x)在任何有限区间上满足展开为 Fourier
级数的条件,即只存在有限个第一类间断点和有限个极值点；
(2) f (x)在 上绝对可积,即(,) ( ) df x x
收敛,
则在 f (x)的连续点处
1( ) d ( ) d,
2
i x i tf x e f t e t
而在 f (x)的间断点处
( 0 ) ( 0 ) 1 d ( ) d,
22
i x i tf x f x e f t e t
定义 7.1 设 f (t)和 F(?)都是在 上绝对(,)
可积函数，称
( ) ditf t e t
为 f (t)的 Fourier变换,称
1 ( ) d
2
itFe
为 F(?)的 Fourier逆变换,记为 和[ ( )]ftF 1 [ ( ) ],FF
[ ( ) ] ( ) d,itf t f t e tF
1 1[ ( ) ] ( ) d,
2
itF F e
F
如果 f (t)满足 Fourier积分定理条件,那么在 f (t)
的连续点处成立 Fourier变换的反演公式
1( ) [ ( ) ],f t f t?= F F
例 7.1 设 求 22( ) ( 0 ),bxf x e b[ ( )].fxF
22
22 2[ ( ) ] d d
ixbx
b x i x bf x e x e x
F
2 2 2
22
2442 2 4 4 d
iib x x
b b bex
22
2
22 24 d.b x i bbe e x
根据定义，有解 运行下面的 MATLAB语句,
>> symsx w;symsb positive
>> f=exp(-b^2*x^2);F=fourier(f)
F =
(pi/b^2)^(1/2)*exp(-1/4*w^2/b^2)
>> r=simple(F) % 化简
r =
1/b*pi^(1/2)*exp(-1/4*w^2/b^2)
注 首先使用命令 syms来定义基本符号对象,否则
O x
f (x)
1
实轴
A B
CD
R RO
虚轴
22b
因为 在全平面22bze?
处处解析,所以取图中的路径 ABCDA时，根据定理 2.3 ( Cau chy 积分定理 ) 设 f ( z ) 是单连
D C 说明,该定理的主要部分是Cau chy 于 1825 年建立的,
它是复变函数理论的基础,
通区域 D 上的解析函数，则对 D 内的任何可求长 Jo rdan 曲线 C,都有 ( ) d 0,
C f z z
2 2 2 2ddR b x b z
R B Ce x e z
2
2
2222 d d 0,b x iR bzb
R D A
e x e z
下面计算
22
22
2222d li m d,b x i b x iRbb
RR
e x e x
2 2 2 22 ()2
0
ddb z b R iyb
BC
e z e y
2 2 22 ( 2 )2
0
db R R iy yb ey
同理可证
22 d 0 ( ),bz
DA e z R
2 2 2 222
0 d 0.
b R b ybe e y
当 R?+?时，
因此,当 R?+?时，
2
2
2222l i m d l i m db x iRR bxb
RR
e x e x
2 2 21d d,b x te x e t
bb
于是
2
2 4[ ( ) ],bf x e
b
F
O?
F(?)
b?
例 7.2 求
,0( ) ( 0 )
0,t 0
tet
ft
的 Fourier变换,
0[ ( ) ] d
t i tf t e e tF
()
0
1d.itet
i
t
f (t)
o
1
根据 Fourier变换的定义解 运行下面的 MATLAB语句,
>> symst w;symsbeta positive>> g=sym('Heaviside(t)'); % 调用 Heaviside函数
>> f=exp(-beta*t)*g;F=fourier(f)F =
1/(beta+i*w)
例 7.3 求 的 Fourier变换，( ) ( 0 )tf t e
并证明
220
c o s d.
2
tt e
t
f (t)
O
1
根据 Fourier变换的定义解 运行下面的 MATLAB语句,
>> symst;symsbeta positive
>> f=exp(-beta*abs(t));F=fourier(f)
F =
2*beta/(beta^2+w^2)[ ( ) ] d
t itf t e e t
F
0
0dd
t i t t i te e t e e t
22
2,?
因为 f (t)在 上连续,且只有一个极大值(,)
点 t=0,而
0
2d 2 dt te t e t
存在,所以根据 Fourier变换的反演公式
1
2 2 2 2
2 1 2( ) d
2
itf t e
F
22
1 ( c o s s i n ) dt i t
220
2 c o s d,t
于是
220
c o s d ( ),
22
tt f t e
在无线电技术、声学、振动理论中,Fourier
变换和频谱概念有密切联系,时间变量的函数 f (t)
的 Fourier变换 F(?)称为 f (t)的的 频谱函数,频谱函数的模 称为振幅频谱 (简称为 频谱 ),()F?
例 7.4 求矩形脉冲函数 (E>0)
,
2
()
0,t
2
Et
pt
的频谱,
o t2?2
E
()pt?
.
.,
解 运行下面的 MATLAB语句,>> symst w E;symstaupositive
>> g=sym('Heaviside(t+tau/2)');>> h=sym('Heaviside(t-tau/2)');
>> p=E*g-E*h;F=fourier(p)F =
E*exp(1/2*i*tau*w)*(pi*Dirac(w)-i/w)-E*exp(-1/2*i*tau*w)*(pi*Dirac(w)-i/w)
>> r=simple(F) r =
2*E*sin(1/2*tau*w)/w
由频谱函数的定义
( ) ( ) ditF p t e t
2
2
d,itE e t
|F(?)|
O
E?
2 4 6246
2
2
2
( ) sin,
2
itEe E
F
i
故频谱为
1( ) 2 sin,
2FE
(如图所示 )
7.1.2 Fourier变换的性质以下假定所讨论的函数满足 Fourier积分定理的条件,
(1) 线性性质 设 a,? 是常数,11( ) [ ( ) ],F f t F
22( ) [ ( ) ],F f t F则
1 2 1 2[ ( ) ( ) ] ( ) ( )f t f t F Fa? aF
12[ ( ) ] [ ( ) ],f t f taFF
1 1 11 2 1 2[ ( ) ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ],F F F Fa aF F F
(2) 对称性质 设 ( ) [ ( ) ],F f t F则
[ ( ) ] 2 ( ),F t fF
证明 由 Fourier逆变换有 1( ) ( ) d,2 itf t F e
于是 1( ) ( ) d,2 itf t F e
将 t与?互换,则
1( ) ( ) d,
2
itf F t e t
所以 [ ( ) ] 2 ( ),F t fF
特别地,若 f (t)是偶函数,则 [ ( ) ] 2 ( ),F t fF
2[ ( ) ] si n,
2pt?
F
例 7.5 求 的频谱函数,sin() tft t?
f (t)
to
函数 的频谱函数为()pt?
当? =2时,根据 Fourier
变换的线性性质由 知,单位幅度 (即 E=1) 的矩形脉冲解 运行下面的 MATLAB语句,
>> symst
f=sin(t)/t;F=fourier(f)
F =
1/2*pi*(Heaviside(-w+1)-Heaviside(w-1))-
1/2*pi*(Heaviside(-w-1)-Heaviside(w+1))
>> r=simple(F)
r =
-pi*Heaviside(w-1)+pi*Heaviside(w+1)
例 7.4 求矩形脉冲函数 (E>0),2() 0,t
2
Etpt
的频谱,2( ) si n,2EF
1( ) 2 sin,2FE
解
2
1 sin( ),
2 pt
F
其中 是宽度为 2,幅度为的 矩形脉冲函数,21 ()2 pt 12
它是偶函数,由 Fourier变换的,(2) 对称性质 设 ( ) [ ( ) ],F f t F则[ ( ) ] 2 ( ),F t fF
证明 由 Fo urier 逆变换有 1( ) ( ) d,2 itf t F e
于是 1( ) ( ) d,2 itf t F e将 t与?互换,则 1( ) ( ) d,
2 itf F t e t
所以 [ ( ) ] 2 ( ),F t fF
特别地,若 f (t)是偶函数,则 [ ( ) ] 2 ( ),F t fF
sin[ ( ) ] tft
t
FF
,1 ;
0,1.
2
12 ( )
2 p o
11?
()F?
.
.,
宽度为 2 幅度为? 的矩形脉冲函数
(3) 相似性质 设 ( ) [ ( ) ],F f t F则
1[ ( ) ] f a t F
aa
F (其中 为常数 ),0a?
证明 由 Fourier变换的定义,
[ ( ) ] ( ) d,itf a t f a t e tF
令 则 于是当 a>0时,,x at? 1d d,txa?
11[ ( ) ] ( ) d ;ixaf a t f x e x F
a a a
F
当 a<0时,1
[ ( ) ] ( ) dixaf a t f x e xa
F
11( ) d,ixaf x e x F
a a a
综上所证,即得
1[ ( ) ],f a t F
aa
F
(4) 翻转性质 设 ( ) [ ( ) ],F f t F则
)[ ( ) ],f t FF
由相似性质可直接得到
(5) 时移性质 设 ( ) [ ( ) ],F f t F则
00[ ( ) ] ( )itf t t e FF (其中 t0为常数 ),
证明 由 Fourier变换的定义,
00[ ( ) ] ( ) d,
itf t t f t t e t
F
令 代入上式得 0,x t t
0()0[ ( ) ] ( ) di x tf t t f x e x
F
00( ) d ( ),i t i tixe f x e x e F
利用 和,易见(5) 时移性质 设 ( ) [ ( ) ],F f t F则
00[ ( ) ] ( )itf t t e FF (其中 t 0为常数 ),证明 由 Fo urier 变换的定义,
00[ ( ) ] ( ) d,itf t t f t t e tF
令 代入上式得 0,x t t
0()0[ ( ) ] ( ) di x tf t t f x e xF
00( ) d ( ),i t i tixe f x e x e F
(3) 相似性质 设 ( ) [ ( ) ],F f t F则 1[ ( ) ] f a t F
aaF (其中 为常数 ),0a? 1
[ ( ) ],
bi
af a t b e F
aa
F
其中 a,b为常数,并且 事实上，0.a?
[ ( ) ] bf a t b f a t a
FF
1[ ( ) ],bbiiaae f a t e F
aa
F
例 7.6 计算 20(),tteF
于是根据 得(5) 时移性质 设 ( ) [ ( ) ],F f t F则
00[ ( ) ] ( )itf t t e FF (其中 t 0为常数 ),证明 由 Fo urier 变换的定义,
00[ ( ) ] ( ) d,itf t t f t t e tF
令 代入上式得 0,x t t
0()0[ ( ) ] ( ) di x tf t t f x e xF
00( ) d ( ),i t i tixe f x e x e F
2
2 0
0
) 4,itttee
（F
(6) 频移性质 设 ( ) [ ( ) ],F f t F则
(其中?0为常数 ),0 0( ) ( )itf t e FF
证明 由 Fourier变换的定义,
00( ) ( ) di t i t itf t e f t e e t
F
0() 0( ) d ( ),itf t e t F
由 知,解 运行下面的 MATLAB语句,
>> symst w t_0
>> f=exp(-(t-t_0)^2);F=fourier(f)
F =
exp(-t_0^2)*pi^(1/2)*exp(-i*t_0*w)*exp(t_0^2-
1/4*w^2)
>> r=simple(F)
r =
pi^(1/2)*exp(-i*t_0*w-1/4*w^2)
2
2 4,tee
F例 7.1
222 2 4 ( 0 ),bx be e bbF
例 7.7 计算 和 2 0c o stetF 2 0s in,tetF
根据解 运行下面的 MATLAB语句,
>> symst w a
% 输入 a代替 w_0,否则发生混淆,出现错误
>> f=exp(-t^2)*cos(a*t);g=exp(-t^2)*sin(a*t);
>> F=fourier(f)
F =
1/2*pi^(1/2)*exp(1/2*a*w)*exp(-1/4*a^2-
1/4*w^2)+1/2*pi^(1/2)*exp(-1/2*a*w)*exp(-
1/4*a^2-1/4*w^2)
Euler 公式 c o s sin,
iei
)? )0 0 0 00011c o s,in22i t i t i t i tt e e s t e ei
于是由线性性质,以及 知,(6) 频移性质 设 ( ) [ ( ) ],F f t F则
(其中? 0为常数 ),0 0( ) ( )itf t e FF证明 由 Fo urier 变换的定义,
00( ) ( ) di t i t itf t e f t e e tF
0() 0( ) d ( ),itf t e t F
例 7.1 2
22 2 4 ( 0 ),bx be e bbF 22
002 ( ) ( )
44
0c os,2
te t e e
F
22
002 ( ) ( )
44
0sin,2
te t e e
i
F
(7) 微分性质 设 ( ) [ ( ) ],F f t F并且 在()()nft
(,)上存在 (n为正整数 ),如果当 时,t
() ( ) 0 ( 0,1,2,,1 ),kf t k n则
() ( ) ( ) ( ),nnf t i FF
[ ( ) ] ( ) ditf t f t e tF
( ) ( ) di t i tf t e i f t e t
( ) d ( ),iti f t e t i F
只证明 n=1的情形,类推可得高阶情形,证明 运行下面的 MATLAB语句,验证 n=5的情形,
>> syms t w>> y=sym('f(t)');fourier(diff(y,t,5))
ans =i*w^5*fourier(f(t),t,w)
上面是关于时域的微分性质,类似地也有关于频域的微分性质,
设 ( ) [ ( ) ],F f t F并且 在()()nF? (,)
上存在 (n为正整数 ),如果当 时,
() ( ) 0 ( 0,1,2,,1 ),kF k n
则
1 ( ) ( ) ( ),n n ni F t f tF
从而可知
()( ) ( ),n n nt f t i FF
例 7.8 设 求
,0( ) ( 0 ),
0,t 0
tte t
ft
[ ( )].ftF
令 于是由 可知
,0( ),
0,t 0
tet
gt
解 运行下面的 MATLAB语句,>> symst w;symsbeta positive;
>> g=sym('Heaviside(t)'); >> f=t*exp(-beta*t)*g;F=fourier(f)
F =1/(beta+i*w)^2
例 7.2 求,0( ) ( 0 )
0,t 0tetft
的 Fourier变换,
0[ ( ) ] dt i tf t e e tF
()0 1d.itet i
t
f (t)
o
1
根据 Fourier变换的定义解 运行下面的 MATLAB语句,>> symst w;symsbeta positive>> g=sym('Heaviside(t)'); % 调用 Heaviside函数>> f=exp(-beta*t)*g;F=fourier(f)
F =1/(beta+i*w)
1[ ( ) ],gt
iF
所以
[ ( ) ] [ ( ) ]f t tg t?FF
2
11,
()
i
ii
(8) 积分性质 设 ( ) [ ( ) ],F f t F并且 ( 0 ) 0,F?
如果 则( ) ( ) d,tg t f
1[ ( ) ] ( ),g t F
iF
证明 因为 并且li m ( ) li m ( ) d 0,tttg t f
0l i m ( ) ( ) d ( ) d ( 0 ) 0,i
t g t f f e F
所以根据 可知( ) ( )g t f t
[ ( ) ] ( ) ditg t g t e tF
1 1 1( ) ( ) d ( ),i t i tg t e f t e t F
i i i
(9) 卷积性质 设 1 1 2 2( ) [ ( ) ],( ) [ ( ) ],F f t F f tFF
则 1 2 1 2[ ( ) ( ) ] ( ) ( ),f f t F FF
证明 由卷积和 Fourier变换的定义,可得
1 2 1 2[ ( ) ( ) ] ( ) ( ) d
itf f t f f t e t
F
12( ) ( ) d d
itf x f t x x e t
12( ) ( ) d d
itf x f t x e t x
1 2 2 1( ) ( ) d ( ) ( ) d
i x i xf x F e x F f x e x
12( ) ( ),FF
7.1.3 d 函数的 Fourier变换因为 d 函数是广义函数,所以其 Fourier变换不是通常意义下的 Fourier 变换,根据 Fourier 变换的定义,以及 d 函数的性质,可 得证 运行下面的 MATLAB语句,
>> symst w>> D=sym('Dirac(t)'); % 调用 Dirac函数
>> F=fourier(D)F =
1>> ifourier(sym('Dirac(w)'))
ans=1/2/pi
[ ( ) ] ( ) d 1,itt t e t?ddF
1 11[ ( ) ] ( ) d,
22
ite?d? d
F
通常,没有意义,然而由[1]F 1 1[ ( ) ],2dF
在广义函数意义下,[ 1 ] 2 ( ),? dF
因为 d (x)是 d 逼近函数 的弱极限,所以由()x
例 7.4 求矩形脉冲函数 (E>0),2() 0,t
2
Etpt
的频谱,2( ) si n,2EF
1( ) 2 sin,2FE
解
,也可以理解为[ ( )]xdF
0[ ( ) ] l i m [ ( ) ]xxdFF
(1) d 函数 Fourier变换的时移和频移性质
00[ ( ) ] [ ( ) ],itt t e t?ddFF
0 0[ 1 ] 2 ( ),ite dF
0
si nli m 1.
证明 运行下面的 MATLAB语句,
>> syms t w t_0
>> f=sym('Dirac(t+t_0)');F=fourier(f)
F =
exp(i*t_0*w)
>> g=sym('Dirac(t-t_0)');G=fourier(g)
G =
exp(-i*t_0*w)
根据 Fourier变换的定义以及 d 函数的性质,
00[ ( ) ] ( ) d
itt t t t e t?dd
F
0 0 0() [ ( ) ],i t i t i te e e t d F
1
00
1[ ( ) ] ( ) d
2
ite?d d
F
01,
2
ite?
即 0 0[ 1 ] 2 ( ),ite dF
例 7.9 计算 和 0[ c o s ]t?F 0[ s in ],t?F
解 运行下面的 MATLAB语句,
>> symst w a
% 输入 a代替 w_0,否则发生混淆,出现错误
>> f=cos(a*t);g=sin(a*t);
>> F=fourier(f)
F =
pi*Dirac(a-w)+pi*Dirac(a+w)
>> r=simple(F)
r =
pi*(Dirac(a-w)+Dirac(a+w))
根据 d 函数 Fourier变换的,可得(1 ) d 函数 Fourier 变换的时移和 频移性质
00[ ( ) ] [ ( ) ],itt t e t?ddFF
0 0[ 1 ] 2 ( ),ite dF
00
0
11[ c o s ]
22
i t i tt e eF F F
00( ) ( ),? d d
00
0
11[ sin ]
22
i t i tt e e
ii
F F F
00( ) ( ),i? d d
例 7.10 计算 22 s i n 3,tF
解 运行下面的 MATLAB语句,
>> symst w
>> f=2*(sin(3*t))^2;F=fourier(f)
F =
-pi*Dirac(w-6)+2*pi*Dirac(w)-pi*Dirac(w+6)
利用,可得例 7.9计算 和 0[cos ]t?F 0[sin ].t?F
解 运行下面的 MATLAB语句,>> symst w a % 输入 a代替 w_0,否则发生混淆,出现错误>> f=cos(a*t);g=sin(a*t);
>> F=fourier(f)F =pi*Dirac(a-w)+pi*Dirac(a+w)>> r=simple(F)
r =pi*(Dirac(a-w)+Dirac(a+w))
根据 d 函数 Fourier变换的,可得(1) d函数 Fourier变换的时移和 频移性质 00[ ( )] [ ( )],itt t e t?ddFF
0 0[1 ] 2 ( ).itedF 000 11[ c o s ] 22i t i tt e eF F F
00( ) ( ),? d d
0[ sin ] i t i tt e eiiF F F
00( ) ( ),i? d d
22 s i n 3 [ 1 c o s 6 ] [ 1 ] [ c o s 6 ]t t tF F F F
2 ( ) ( 6 ) ( 6 ),? d? d? d
(2) d 函数 Fourier变换的微分性质
() ( ) ( ),nntidF ()[ ] 2 ( ),n n nti? dF
其中 n为正整数,
证明 运行下面的 MATLAB语句,验证 n=4的情形,
>> symst w
>> f=t^4;g=sym('Dirac(4,t)');
>> F=fourier(f)
F =
2*pi*Dirac(4,w)
>> G=fourier(g)
G =
w^4
根据 Fourier变换的定义,以及 d 函数的性质,
( ) ( )( ) ( ) dn n i tt t e t?dd
F
( 1 ) ( ) ( ),n n nii
又因为
1 ( ) ( )12 ( ) 2 ( ) d
2
n n n n i ti i e d d
F
( 1 ) ( ),n n n ni i t t
所以 ()[ ] 2 ( ),n n nti? dF
§ 7.2 离散 Fourier变换
1 离散 Fourier变换及其性质
2 快速 Fourier变换
7.2.1 离散 Fourier变换及其性质定义 7.2 设 是长度为 N( ) ( 0,1,2,,1 )f n n N
的序列，称序列
)
21
0
( ) ( ) 0,1,2,,1
N i nk
N
n
F k f n e k N
为 f (n)的 离散 Fourier变换,记做 即D F T ( ),fn
( ) D F T ( )F k f n?
)
21
0
( ) 0,1,2,,1,
N i nk
N
n
f n e k N
称序列
)
21
0
1 ( ) 0,1,2,,1N i nkN
k
F k e n NN
为 F(k)的 离散 Fourier逆变换,记做IDF T ( ),Fk
)( ) I D FT D FT ( ) 0,1,2,,1,f n f n n N
离散 Fourier变换的反演公式 (证明 )
当 m=n时,当 m?n时,21 ()0 ;N i k m nNk eN 2 ()21
() 2
()0
1
1
i N m nN Ni k m n
N i m n
k N
ee
e
2 ()1 c o s( 2 ( ) ) sin( 2 ( ) ) 0.1 i m nNm n i m ne
所以根据 离散 Fourier变换和离散 Fourier逆变换的定义,对 0,1,2,,1nN记 则离散 Fourier变换及逆变换分别
2,i
NWe
简化为
)1
0
( ) ( ) 0,1,2,,1 ;
N
nk
n
F k f n W k N
( 0 )
(1 )
( 1 )
F
F
FN
0 0 0 0
0 1 1 2 1 ( 1 ) 1
0 1 ( 1 ) 2 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
( 0 )
( 1 )
( 1 )
N
N N N N
fW W W W
fW W W W
fNW W W W
离散 Fourier变换的矩阵形式变换矩阵
)1
0
1( ) ( ) 0,1,2,,1,N nk
k
f n F k W n NN
( 0 )
(1 )
( 1 )
f
f
fN
0 0 0 0
0 1 1 2 1 ( 1 ) 1
0 1 ( 1 ) 2 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
( 0 )
( 1 )
( 1 )
N
N N N N
FW W W W
FW W W W
FNW W W W
离散 Fourier逆 变换的矩阵形式逆变换矩阵例 7.11 求序列 ( ) c o s ( 0,1,2,3 )2f n n n
的离散 Fourier变换,
0 0 0 0
0 1 2 3
0 2 4 6
0 3 6 9
( 0 ) ( 0 )
( 1 ) ( 1 )
( 2 ) ( 2 )
( 3 ) ( 3 )
FfW W W W
W W W W
FfW W W W
W W W W
1 1 1 1 1 0
1 1 0 2
.
1 1 1 1 1 0
1 1 0 2
ii
ii
由 N=4得 于是 2,iW e i解 运行下面的 MATLAB语句,
>> symsn
>> n=0:3;
>> fn=cos(pi*n/2); % 生成序列
fn =
1.0000 0.0000 -1.0000 -0.0000
>> k=n;nk=n'*k;
>> WN=exp(-i*2*pi/4);
>> Wnk=WN.^nk; % 生成变换矩阵离散 Fourier变换具有如下一些基本性质,
(1) 线性性质 设
11( ) ( 0,1,2,,1 ),f n n N
22( ) ( 0,1,2,,1 )f n n N
分别是长度为 N1和 N2的有限序列,
记 将 和 补零延拓 12m a x {,},N N N? 1()fn 2()fn
为长度均为 N,即当 时,11iN n N
)( ) 0 1,2,if n i
1 12( ) D FT [ ( ) ( ) ],ffF k f n f na? a
11( ) D F T [ ( ) ],F k f n?
则
1 12( ) ( ) ( )ffF k F k F ka? a
如果 是常数,并且,a?
22( ) D FT [ ( ) ],F k f n?
)0,1,2,,1,kN
线性性质可由离散 Fourier变换的定义直接证明,
(2) 卷积定理 设 和1()fn 2 ( ) ( 0,1,2,,1 )f n n N
是长度为 N 的有限序列,将序列 和 补零1()fn 2()fn
延拓为 的长度 2N-1,仍记 和12( ) ( )f f n? 1()fn 2( ).fn
如果
( ) D F T [ ( ) ] ( 1,2),iiF k f n i
12( ) D F T [ ( ) ( ) ]F k f f n
)0,1,2,,2 1,kN
则? )12( ) ( ) ( ) 0,1,2,,2 1,F k F k F k k N
证明 对 根据离散 Fourier变换0,1,2,,2 1,kN
和有限序列卷积的定义,取 于是 221,i NWe
12( ) D F T [ ( ) ( ) ]F k f f n
2 1 2 1
12
00
( ) ( )
NN
nk
nm
f m f n m W
2 1 2 1
()
12
00
( ) ( ),
NN
m k n m k
mn
f m W f n m W
由于 和 的实际长度为 N,所以1()fn 2()fn
1 2 1
()
12
0
( ) ( ) ( )
NN
m k n m k
m n m
F k f m W f n m W
1 2 1
12
00
( ) ( )
N N m
m k k
m
f m W f W?
11
12
00
( ) ( )
NN
m k k
m
f m W f W?
2 1 2 1
12
00
( ) ( )
NN
m k k
m
f m W f W?
12( ) ( ),F k F k?
例 7.12 设12 1( ) 1,0,( ) 1,( 0,1 ),2f n f n n
求? )12( ) D F T [ ( ) ( ) ] 0,1,2,F k f f n k
延拓为 和 容易求出1 ( ) 1,0,0fn? 2
1( ) 1,,0,
2fn
12
3 1 1( ) { 1,1,1 },( ),( 3 3 ),( 3 3 ),
2 4 4F k F k i i
于是根据 可得(2 ) 卷积定理 设 和1()fn 2 ( ) ( 0,1,2,,1 )f n n N
是长度为 N 的有限序列,将序列 和 补零1()fn 2()fn
延拓为 的长度 2 N - 1,仍记 和12( )( )f f n? 1()fn 2( ).fn
如果 ( ) D F T [ ( ) ] ( 1,2),
iiF k f n i
12( ) D F T [ ( ) ( ) ]F k f f n )0,1,2,,2 1,kN
则? )12( ) ( ) ( ) 0,1,2,,2 1,F k F k F k k N
)3 1 1( ),( 3 3 ),( 3 3 ) 0,1,2,2 4 4F k i i k
取 N=2,将序列 和 按长度为 3补零1()fn 2 ( )fn解 利用本例验算离散 Fourier变换的卷积公式,
运行下面的 MATLAB语句,>> f1=[1,0];f2=[1,1/2];
>> J=conv(f1,f2);>> m=0:2;
>> k=m;mk=m'*k;>> WN=exp(-i*2*pi/3);
>> Wmk=WN.^mk;>> Fk=J*Wmk
Fk=1.5000 0.7500 -0.4330i 0.7500 + 0.4330i
7.2.2 快速 Fourier变换快速 Fourier变换 (FFT)是 DFT的快速算法,其运算次数比按 DFT的定义直接计算显著减少,考虑
DFT定义中变换矩阵
0 0 0 0
0 1 1 2 1 ( 1 ) 1
0 1 ( 1 ) 2 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
,
N
N N N N
W W W W
W W W W
W W W W
矩阵中的元素的 具有周期性,即nkW
( ) ( ),n k n k N n N kW W W
并且当 N为偶数时,222,NNki kkNW W e W
下面设 (? 为正整数 ),2N
( ) ( 0,1,2,,1 )f n n N
是长度为 N的序列,为表示方便,相应于序列的长度,
下面记矩阵中的元素为 于是在 DFT中按 n为偶.nkNW
数或奇数分解成两部分之和,即
1
0
( ) ( )
N
nk
N
n
F k f n W
11
22
2 ( 2 1 )
00
( 2 ) ( 2 1 ),
NN
r k r k
NN
rr
f r W f r W
11
22
22
00
( ) ( 2 ) ( ) ( 2 1 ) ( )
NN
r k k r k
N N N
rr
F k f r W W f r W
)0,1,2,,1,kN
由于 所以 22 22 /2 /2,ii NNNNW e e W
11
22
/ 2 / 2
00
( ) ( 2 ) ( 2 1 )
NN
r k k r k
N N N
rr
F k f r W W f r W
)0,1,2,,1,kN
记
11
22
/ 2 / 2
00
( ) ( 2 ),( ) ( 2 1 )
NN
r k r k
NN
rr
G k f r W H k f r W
)0,1,2,,1,kN
于是? )( ) ( ) ( ) 0,1,2,,1,kNF k G k W H k k N
因为 具有周期性,所以nkNW
( ),( ),22NNG k G k H k H k
2 0,1,2,,1,
2
Nk
k
NN
NW W k
因此只需在 时计算0,1,2,,12Nk( ),( ),G k H k
这表明求长度为 N的序列 DFT可分解为求两个长度为 N /2的序列 DFT,
对 又可以按 r为偶数或奇数,分解( ),( ),G k H k
为求四个长度为 N /4的序列 DFT,并且在计算时可以应用周期性,最终分解为求 个长度为 1的序列2N
DFT,
下面以 N=8的 DFT为例,如果直接进行 DFT,为求 F(k)的每一个值,需要做 8次复数乘法和 7次复数加法运算,计算 F(k)的 8个值,就需要做 64次复数乘法和 56次复数加法运算,因此,计算 N个点的 DFT,需要
N2次复数乘法和 N(N-1)次复数加法运算,
随着 N的增加,直接进行 DFT的计算量急剧增加,
如果利用 FFT,则有
0
8
1
8
2
8
3
8
( 0 ) ( 0 ) ( 0 )
( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
( 3 ) ( 3 ) ( 3 )
F G W H
F G W H
F G W H
F G W H
4
8
5
8
6
8
7
8
( 4 ) ( 4 ) ( 4 )
( 5 ) ( 5 ) ( 5 )
( 6 ) ( 6 ) ( 6 )
( 7 ) ( 7 ) ( 7 )
F G W H
F G W H
F G W H
F G W H
其中 都是长度为 4的 DFT,并且( ),( )G k H k
( 4 ) ( ),( 4 ) ( ),G k G k H k H k
再考虑到 所以可简化运算,488 ( 0 3),kkW W k
0
8
1
8
2
8
3
8
( 0 ) ( 0 ) ( 0 )
( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
( 3 ) ( 3 ) ( 3 )
F G W H
F G W H
F G W H
F G W H
0
8
1
8
2
8
3
8
( 4 ) ( 0 ) ( 0 )
( 5 ) ( 1 ) ( 1 )
( 6 ) ( 2 ) ( 2 )
( 7 ) ( 3 ) ( 3 )
F G W H
F G W H
F G W H
F G W H
不变 简化其运算量为复数乘法 次,复数加2log 1 22N N?
法 次,随着 N的增加,FFT计算量的增2l o g 2 4NN?
加要比直接进行 DFT计算量的增加要少得很多,
§ 7.3 Fourier变换的应用前面已经通过一些例子介绍了 Fourier 变换在频谱分析中的应用,下面再给出一个讨论在信息传输中不失真问题的例子,
例 7.13 任何信息的传输,不论电话、电视或无线电通信,一个基本问题是要求不失真地传输信号,
所谓信号不失真是指输出信号与输入信号相比,只是大小和出现时间不同，而没有波形上的变化,
设输入信号为 f (t),输出信号为 g(t),信号不失真的条件就是
0( ) ( ),g t K f t t
其中 K为常数,t0是滞后时间,从频率响应来看,为了使信号不失真,应该对电路的传输函数 H(?)提出一定的条件,
传输函数
H(?)
f (t) g(t)
设 F(?)和 G(?)分别是输入信号 f (t)和输出信号
g(t)的 Fourier变换,
传输函数
H(?)
G)
g(t)f (t)
F(?)
由 Fourier变换的 可得(5) 时移性质 设 ( ) [ ( ) ],F f t F则
00[ ( ) ] ( )itf t t e FF (其中 t 0为常数 ),证明 由 Fo urier 变换的定义,
00[ ( ) ] ( ) d,itf t t f t t e tF
令 代入上式得 0,x t t
0()0[ ( ) ] ( ) di x tf t t f x e xF
00( ) d ( ),i t i tixe f x e x e F
这说明,如果要求信号通过线性电路时不产生任何失真,在信号的全部通频带内电路的频率响应必须具有
0( ) ( ),itG K e F 0( ),itH K e故要求传输函数恒定的幅度特性和线性的位相特性,
最后介绍应用 Fourier变换求解某些数学物理方程 (偏微分方程 )的方法,在应用 Fourier 变换求解偏微分方程时,首先将未知函数看做某个自变量的一元函数,对方程两端取 Fourier变换,把偏微分方程转化成未知函数为像函数的常微分方程,再利用所给的条件求常微分方程,得到像函数后,再求
Fourier逆变换,即得到偏微分方程的解,
像原函数
(偏微分方程的解 ) 像函数偏微分方程 像函数的常微分方程
Fourier逆变换
Fourier变换解常微分方程例 7.14 求解半平面 y>0上膜平衡 Laplace方程的 Dirichlet问题
22
22 0,,0,
uu xy
xy
(,0 ) ( ),,u x f x x
其中 时 时22xy0,u? x 0.ux
解 设 即 是 u(x,y) (,) [ (,) ],U y u x y F(,)Uy?
作为 x的一元函数的 Fourier变换,再设
( ) [ ( ) ],F f x F
因为当 时,所以根据x 0,0,uu x
Fourier变换的,可知(7) 微分性质 设 ( ) [ ( ) ],F f t F并且 在()()nft(,)
上存在 (n 为正整数 ),如果当 时,t() ( ) 0 ( 0,1,2,,1 ),kf t k n
则 () ( ) ( ) ( ),nnf t i FF
[ ( ) ] ( ) ditf t f t e tF ( ) ( ) d
i t i tf t e i f t e t( ) d ( ),
iti f t e t i F
只证明 n =1 的情形,类推可得高阶情形,证明 运行下面的 MATLAB语句,验证 n=5的情形,>> symst w>> y=sym('f(t)');fourier(diff(y,t,5))ans=
i*w^5*fourier(f(t),t,w)
2
22
2 ( ) [ (,) ] (,),
u i u x y U y
x
FF
又因为
2 2 2
2 2 2
(,) (,)d,ixu u x y U yex
y y y
F
故对 Laplace方程两端取 Fourier变换,得
2 0,yyUU
这是一个以?为参数的二阶常微分方程,求其解为
(,) ( ) ( ),yyU y A e B e
由于 时 可知 所以y 0,u? (,) 0.Uy
当? >0时,( ) 0,( ) (,0 ) ;A B U
当? <0时,( ) 0,( ) (,0 ),B A U
于是 ||(,) (,0 ),yU y U e
对边值条件 两端取 Fourier变换,(,0 ) ( )u x f x?
(,0 ) ( ),UF
因此 再求 Fourier逆变 ||(,) ( ) ( 0 ),yU y F e y
换得到所求的 Laplace方程 Dirichlet问题的解为
1(,) ( ) d
2
y ixu x y e F e
1 ( ) d d
2
y i t i xe f t e t e
()1 ( ) d d
2
i x t yf t e t
22
() d ( 0 ),
()
y f t ty
y x t?
其中 时,x 0,0.uu x
例 7.15 求解沿无限长杆的热传导方程的初值问题
2
2 0,,0,
uu xt
tx
(,0 ) ( ),,u x f x x
解 设 对(,) [ (,) ],( ) [ ( ) ],U t u x t F f xFF
方程和初值条件两端取 Fourier变换得,
2 0,(,0) ( ),tU U U F
求解这个一阶常微分方程初值问题得
2(,) ( ) ( 0 ),tU t F e t
由 可知 于是由例 7.1
222 2 4 ( 0 ),bx be e bbF
2
21 41,
2
x
t tee
t
F
Fourier变换的 得到热传导方程初值问题(9) 卷积性质 设 1 1 2 2( ) [ ( ) ],( ) [ ( ) ],F f t F f tFF
则 1 2 1 2[ ( ) ( ) ] ( ) ( ),f f t F FF证明 由卷积和 Four ier 变换的定义,可得
1 2 1 2[ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ditf f t f f t e tF 12( ) ( ) d ditf x f t x x e t
12( ) ( ) d ditf x f t x e t x
1 2 2 1( ) ( ) d ( ) ( ) di x i xf x F e x F f x e x12( ) ( ).FF
的解为
2
21 41(,) ( ) ( )
2
x
t tu x t F e f x e
t
F
2()
41 ( ) d ( 0 ),
2
x
tf e t
t
例 7.16 求解无限长弦自由振动的初值问题
22
2
22 0,,0,0,
uu a x t a
tx
(,0 ) ( ),,u x f x x
(,0 ) 0,,ux x
t
其中 时,x 0,0.uu x
解 设 对(,) [ (,) ],( ) [ ( ) ],U t u x t F f xFF
方程和初值条件两端取 Fourier变换,
22 0,(,0 ) ( ),(,0 ) 0,t t tU a U U F U
求解这个二阶常微分方程初值问题得
11(,) ( ) + ( ),
22
ia t ia tU t F e F e
再求 Fourier逆变换,
1(,) (,) d
2
ixu x t U t e
1 1 1 1( ) d ( ) d
2 2 2 2
ia t i x ia t i xF e e F e e
( ) ( )1 1 1 1( ) d ( ) d,
2 2 2 2
i x a t i x a tF e F e
根据 Fourier逆变换的定义，
()1 ( ) d ( ),
2
i x a tF e f x a t
()1 ( ) d ( ),
2
i x a tF e f x a t
所以无限长弦自由振动的初值问题解为
1(,) ( ) ( ),2u x t f x a t f x a t
这表明振动的波形是左行波和右行波的迭加,
实际上它是 D’Alembert公式的一个特殊情形,
求解数学物理方程离散 Fourier变换本章内容总结 线性性质对称性质相似性质翻转性质时移性质频移性质时域微分频域微分积分性质卷积性质
Fourier变换
d 函数的
Fourier变换基本性质时移性质频移性质微分性质快速 Fourier变换反演公式本章的重点
3,Fourier变换在解偏微分方程中的应用
2,离散 Fourier变换
1,Fourier 变换的定义及其性质第七章 完
Jean le Rond D’Alembert
(1717.11.16-1783.10.29)
法国数学家和物理学家,被一个贫穷家庭收养的弃婴,
他是 18世纪的大数学家,在很多领域取得了成就,特别在微分方程和力学等方面的贡献尤为突出,
