第三章 复变函数的级数
§ 3.1 复数项级数
§ 3.2 幂 级 数
§ 3.3 Taylor级数
§ 3.4 Laurent级数
§ 3.5 调和函数主 要 内 容本章介绍复变函数级数的概念,重点是 Taylor级数,Laurent级数及其展开,最后讨论解析函数与调和函数的关系,
1 复数列的极限
2 复数项级数
§ 3.1 复数项级数
3.1.1 复数列的极限称 为复数列,简称 ( 1,2,3,)n n na i b n
为数列,记为.n?
定义 3.1 设 是数列,是常数,n? a ib
如果?e >0,存在正整数 N,使得当 n>N 时,不等式
n e成立,则称当 n时,收敛于na,?
或称 是 的极限,记作n?
lim,nn或,n n
复数列收敛与实数列收敛的关系
.lim,lim bbaa nnnn
,)()( e bbiaaaa nnn
.lim aa nn即,lim bb nn同理定理 3.1 lim nn的充分必要条件是证明 如果 则 存在正整数 N,0,elim,nn
从而有( ) ( ),nna i b a i b e使得 当 n>N 时,
.2,2 ee bbaa nn
从而有
( ) ( ),n n n n na a i b b a a b b e
该结论说明,判别复数列的敛散性可转化为判别两 个实数列的敛散性,
反之,如果 那么l i m,l i m,nnnna a b b0,e
存在正整数 N,使得 当 n>N 时,
所以 li m,nn
3.1.2 复数项级数
n
n
n 21
1
为复数项级数,称
n
n
k
knS
21
1
为该级数的前 n 项 部分和,
设 是复数列,则称n n na ib
级数收敛与发散的概念定义 3.2 如果级数
n
n
n 21
1
的部分和数列 收敛于复数 S,则称 级数收敛,nS
这时称 S为 级数的和,并记做
1
.n
n
S?
如果 不收敛，则称 级数发散,nS
复数项级数与实数项级数收敛的关系定理 3.2 级数 收敛的充要
11
()n n n
nn
a i b?
条件是 都收敛,并且
11
,nn
nn
ab
1 1 1
.n n n
n n n
a i b?
证明 由 及定理 3.1,易证,
11
,
nn
n k k
kk
S a i b
说明 复数项级数的收敛问题
两个实数项级数的收敛问题解 因为级数
2
11
1
n
nn
b n
收敛,所以原复数项级数发散,
练习 级数 是否收敛?
1
1 1
n
i
nn
11
1
n
nn
a n
发散,而级数级数收敛的必要条件
lim 0,nn推论 3.1 如果级数 收敛,则
1
n
n
证明 由定理 3.2及实数项级数收敛的必要条件 知,l i m 0,l i m 0nn
nnab
lim 0,nn
重要结论,发散,1li m 0nnn n
于是在判别级数的敛散性时,可先考察
lim 0,nn
非绝对收敛的收敛级数称为 条件收敛级数,
定义 3.3 设 是复数项级数,如果正项
1
n
n
级数 收敛,则称级数 绝对收敛,
1
n
n
1
n
n
绝对收敛级数的性质定理 3.3 若级数 绝对收敛,则它收敛,
1
n
n
并且
11
.nn
nn
证明 由于 而 22,,n n n n na b a b
级数 收敛,由正项级数收敛的比较判别法,
1
n
n
知 和 收敛,从而 和 绝对
1
n
n
a
1
n
n
b
1
n
n
a
1
n
n
b
收敛,故收敛,因此级数 收敛,
1
n
n
因为 所以
11
,
nn
kk
kk
1 1 1 1
li m li m,
nn
k k k knn
k k k k
补充 因为 所以 22,n n n n na b a b
22
1 1 1 1
.
n n n n
k k k k k
k k k k
a b a b?
综上可得,
因此,如果 和 都绝对收敛时,也
1
n
n
a
1
n
n
b
1
n
n
绝对收敛,
1
n
n
绝对收敛 和 都绝对收敛,
1
n
n
a
1
n
n
b
都收敛,故原级数收敛,但是级数条件收敛,所以原级数非绝对收敛,是条件收敛的,
解 因为例 3.1 级数 是否绝对收敛?
1
( 1 ) 1
2
n
n
n
in
11
( 1 ) 1,
2
n
n
nnn
1
( 1 ) n
n n
定理 3.4 设 是收敛数列，则其有界,即n?
存在 M>0,使得 ( 1,2,3,),n Mn
定理 3.5 设 和 都是绝对收敛级数,
1
n
n
1
n
n
令
1 2 2 1 ( 1,2,3,),n n n n n
则级数 绝对收敛,并且
1
n
n
1 1 1
.n n n
n n n
1 幂级数的概念
2 幂级数的敛散性
3 幂级数的性质
§ 3.2 幂 级 数为复变函数项级数,
12
1
( ) ( ) ( ) ( )nn
n
f z f z f z f z
)()()()( 21 zfzfzfzS nn
为该级数前 n项的 部分和,
设 是定义在区域 D上的复变函数列,()nfz
称
3.2.1 幂级数的概念
)()()()( 21 zfzfzfzS n
称为该级数在区域 D上的 和函数,
如果对 级数 收敛,即0,zD? 0
1
()n
n
fz
00l i m ( ) ( ),nn S z S z
则称级数 在 点收敛,且 是级数和,
1
()n
n
fz
0z 0()Sz
如果级数 在 D内处处收敛,则称其在
1
()n
n
fz
区域 D内收敛,此时级数的和是函数
2
0 1 2
0
( ) ( ) ( )nn
n
c z a c c z a c z a
2
0 1 2
1
,nnnn
n
c z c c z c z c z
这类函数项级数称为 幂级数,
当 或 时,110( ) ( ) nnnf z c z z 11() nnnf z c z
或 的特殊情形0 0z?
函数项级数的形式为
( ),nnc z a
定理 3.6 (Abel定理 ) 若级数 在
0
n
n
n
cz
1 0z?
处收敛，则当 时,级数 绝对收敛 ;
0
n
n
n
cz
1zz?
若级数 在 处发散，则当 时,级数
0
n
n
n
cz
2z 2zz?
0
n
n
n
cz
发散,
3.2.2 幂级数的敛散性因而存在正数 M,使得 1 ( 1,2,3,),nnc z M n
当 时,记 于是,1zz
1
1,z qqz
1
1
.
n
n n n
nn n
zc z c z Mq
z
由正项级数的比较判别法知,收敛,因此
0
n
n
n
cz
证明 若级数 收敛,则1
0
n
n
n
cz
1l i m 0,nnn cz
级数 绝对收敛,
0
n
n
n
cz
其余的结论用反证法易得,
收敛圆与收敛半径
(1) 对所有的正实数都收敛,
级数在复平面内绝对收敛,
(2) 对所有的正实数都发散,
级数在复平面内除原点外处处发散,
(3) 既存在使级数发散的正实数,也存在使级数收敛的正实数,
设 时,级数收敛 ; 时,级数发散,如图,z z
由,幂级数 收敛情况有三种,
0
n
n
n
cz
定理 3.6 ( Abel 定理 ) 若级数 在0 nnn cz 1 0z?
处收敛，则当 时,级数 绝对收敛 ; 0 nnn cz1zz?
若级数 在 处发散，则当 时,级数0 nnn cz 2z 2zz?
0 nnn cz 发散,
x
y
o?,?.
R
收敛圆收敛半径幂级数?
0n
n
n zc 的收敛范围是以原点为中心的圆域,
.
1?1?
.
幂级数 0
0
() nn
n
c z z
的收敛范围是因此，
事实上,幂级数在收敛圆周上敛散性的讨问题,幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?
以 为中心的圆域,0zz?
收敛半径根据前面所述的三种情形,分别
,0,,R规定为论比较复杂,没有一般的结论,要对具体级数进行具体分析,
解 21 11 ( 1 ),1
n
n
n
zS z z z z
z
1?z 1lim 1nn S z级数?
0n
nz 收敛,
1?z 0lim nn z 级数?
0n
nz 发散,
绝对收敛,且有在 内,级数1z
0n
nz
例 3.2 求级数 的和函数与收敛半径,
0
n
n
z
所以收敛半径 1,R?
1
1,
1
n
n
z z
例 3.3 对任何复数 z,级数
2
( 1 ) 1 ;2 ! !
nzz
z n
22
( 2 ) 1 ( 1 ) ;2 ! ( 2 ) !
n
nzz
n
3 2 1
( 3 ) ( 1 )3 ! ( 2 1 ) !
n
nzzz
n
都绝对收敛，即它们的收敛半径,R
事实上,容易验证,z取任意正实数时,它们均绝对收敛,
例 3.4 讨论级数 和 的收敛性,
1
n
n
z
n
2
1
n
n
z
n
解 级数 在 点收敛,但在
1
n
n
z
n
1z 1z?
经过较为复杂的讨论可知,当 时,1,1zz
级数 都收敛,
1
n
n
z
n
1
n
n
z
n
1.R?因此级数 的收敛半径点,级数 发散,
1
n
n
z
n
显然,级数 在 上处处绝对收敛,2
1
n
n
z
n
1z?
但当 时,1 ( 0 )z
( 1 )l i m,n
n n
因此当 时,级数 发散,1z 2
1
n
n
z
n
因为 是任意的,故当 时,级数0 1z?
2
1
n
n
z
n
处处发散,1.R?所以,收敛半径为收敛半径的计算方法 (一 )
(3) 当 时,收敛半径,1R0
1l i m,n
n
n
c
c?
;R(1) 当 时,收敛半径0
0;R?(2) 当 时,收敛半径
定理 3.7 (比值法 ) 设级数 如果
0
.nn
n
cz
则收敛半径的计算方法 (二 )
(3) 当 时,收敛半径,1R0
li m,n nn c;R(1) 当 时,收敛半径0
0;R?(2) 当 时,收敛半径
定理 3.8 (根值法 ) 设级数 如果
0
.nn
n
cz
则
1lim lim 1,
1
p
n
nn
n
c n
cn?
练习 求幂级数?
1n
p
n
n
z 的收敛半径,其中
p为正整数,
解 因为 所以1n pc n?,
于是收敛半径 1 1.R
由于幂级数在收敛圆的内部绝对收敛，因此可得出下面几个定理,
定理 3.9 (1) 设级数 和 的收敛
0
n
n
n
az
0
n
n
n
bz
半径分别为 和1R 2,R 则在 内,12mi n(,)z R R R
0 0 0
( ),n n nn n n n
n n n
a b z a z b z
0 1 1 0
0 0 0
.n n nn n n n n
n n n
a z b z a b a b a b z
3.2.3 幂级数的性质
(2) 设级数 的收敛半径为 r.
0
() nn
n
f z c z
如果在 内,函数 解析,并且Rz? )(zg,)( rzg?
则当 时,Rz?
0
[ ( ) ] [ ( ) ],nn
n
f g z c g z
说明,上述运算常应用于将函数展开成幂级数,
前面关于级数 的性质,如果将 换成
0
n
n
n
cz
z
0zz? 之后,对于级数 当然也成立,0
0
() nn
n
c z z
例 3.5 把函数 表示成形如bz?1?
0
)(
n
n
n azc
的幂级数,其中 a与 b是不相等的复常数,
bz 1 )()( 1 abaz
11
.
1 zaba
ba
代数变形,使其分母中出现 )( az?
凑出 )(1 1 zg?
把函数 写成如下的形式,bz?1解 运行下面的 MATLAB语句,
>> symsz a b;
>> f=1/(z-b);
>> taylor(f,z,4,a)
ans=
1/(a-b)-1/(a-b)^2*(z-a)+1/(a-b)^3*(z-a)^2-
1/(a-b)^4*(z-a)^3
2
1
1.
1
n
z a z a z a
za b a b a b a
ba
2
23
1 1 1 1( ) ( )
( ) ( )z a z az b b a b a b a
1
1 ( ),
()
n
n zaba
当 即 时,1,zaba z a R b a
所以例 3.6 求 的收敛半径与和函数,
1
1)12(
n
nn z
1
1
2 1 1 1( 2 1 ),
1 2 1 ( 1 2 ) ( 1 ) 2
nn
n
zz z z z z
解 因为 所以
1
1 21l i m l i m 2,
21
n
n
nnn
n
c
c
1,
2R?
1 1 1
11
22 2 2,
12
n n n n
nn
zz z
当 时,1
2z?
又因为 从而,1
1
1 1,
1
n
n
zz z
定理 3.10 设幂级数 收敛半径 0
0
() nn
n
c z z
半径为 R,并且在 内,0z z R
0
0
( ) ( ),nn
n
f z c z z
则 是 内的解析函数,且在收敛圆()fz 0z z R
0z z R内,可以逐项求导和逐项积分,即
(1) 当 时,0z z R 10
1
( ) ;nn
n
f z n c z z
(2) 设 C是 内的一条分段光滑曲线,0z z R
则
0
0
( ) d d,nn
cc n
f z z c z z z
特别地,如果 C是圆内部的以 0为起点,z为终点的分段光滑曲线,则
0
1
0
0
( ) d,1z nn
z n
cf z z z z
n
例 3.7 求 的收敛半径与和函数,?
0
)1(
n
nzn
利用逐项积分得
1
000 0 0
( 1 ) d ( 1 ) d,1zz n n n
n n n
zn z z n z z z
z
所以
2
0
1( 1 ) 1,
1 ( 1 )
n
n
zn z z
zz
解 因为 所以 1
2li m li m 1,
1
n
nn n
c n
cn
1.R?
1 Taylor级数展开定理
2 将函数展开成 Taylor级数
3 函数的零点
§ 3.3 Taylor级数实函数在一点的邻域内展开成 Taylor级数是非常重要的问题，它是表示函数、研 究函数性质以及进行数值计算的一种工具,
对于复变函数,我们已经知道幂级数在收敛圆域内收敛于解析函数,在本节我们将证明解析函数在解析点的某邻域内一定能够展开成幂级数
— Taylor级数,这是解析函数的重要特征,
3.3.1 Taylor级数展开定理为了证明 Taylor展开定理,我们首先介绍下面一个关于逐项积分的引理,
引理 设 都是在分段光滑( ) 0,1,2,nf z n?
(或可求长 )曲线 C上的连续函数,且级数
0
()n
n
fz
在 C上收敛于函数 ( ).fz 如果存在一个收敛的正项级数
0
,n
n
M
使得在 C上,( ) ( 0,1,2,),nnf z M n
则 是 C上的连续函数,且()fz
0
( ) d ( ) d,n
CC n
f z z f z z
0
li m ( ) d ( ) d 0,
n
kCCn
k
f z z f z z
事实上,利用证明 证明 在 C上连续比较复杂,我们()fz
这里只证明估值 不等式设曲线 C 的长度为 L,函数 f ( z )在 C 上满足
( ) d ( ) d,CCf z z f z s M L( ),f z M?则估值不等式
0
( ) d ( ) d
n
kCC
k
f z z f z z
00
( ) d ( ) d
n
kkCC
kk
f z z f z z
11
( ) d ( ) dkk
CCk n k n
f z z f z s
11
( ) d dkk
CCk n k n
f z s M s
1
0 ( ),k
kn
L M n
其中 L是曲线 C的弧长,
1
k
kn
M
是收敛的常数项级数 的余项,
0
n
n
M
R为 到 D边界的距离0z
定理 3.11 (Taylor展开定理 ) 设 在区域 D)(zf
内解析,0z 为 D内的一点,
,)()(
0
0?
n
n
n zzczf
0,1,2,.n?
D
0z
.
R
(D是全平面时,R=+?),则 在 内可0z z R()fz
可展开为幂级数其中 () 01 ()! nnc f zn?
系数 cn按上述表示的幂级数称为
()fz在 点的 Taylor级数,0z
1 ( )( ) d,
2 C
ffz
iz
D
z.r
0z
.
C.
R
证明 对 内任意一点 z,0z z R 存在 r>0,
使得 并且,rR? 0,z z r以 z0为圆心,r为半径
0:.C z r作正向圆周
Cauchy 积分公式
C zzz zfizf,d)(π2 1)( 00
定理 2.5 设 f ( z ) 是单连通区域 D 上的解析函数,
z 0 是 D 内的一个点,C 是任意一条含 z 0 在内部区域的分段光滑 ( 或可求长 ) Jo rdan 曲线,则由因为当 时,C
00,z z z r
于是类似于 例 3.5 把函数 表示成形如bz?10 )(n nn azc
的幂级数,其中 a与 b是不相等的复常数,
解 把函数 写成如下的形式,bz?1?
bz1 )()( 1 abaz 11.1 zaba ba
代数变形,使其分母中出现 )( az?
凑出 )(1 1zg?
0 0 0 0
0
1 1 1 1
( ) ( )
1
z z z z z zz
z
01
0 0
1 ( ),
()
n
n
n
zzz?
01
0 0
1 ( )( ) ( ) d,
2 ( )
n
n
nc
ff z z z
iz
从而下面证明积分号下的级数可在 C上逐项积分,
因为 是 D上的解析函数,所以 在 C()fz ()fz
上有界,即存在 使得当 时,0,M? C ( ),fM
因此,在 上,0:C z r
0
01
0 0 0
()() ()
2 ( ) 2
n
n
n
f zzf zz
i z z z
0,
22
n
nzzMM q
r r r
其中,0 1.
zzq
r
前面积分号下的级数可在 C上逐项积分,
记 则由,,2 nn MMqr 引理 设 都是在分段光滑( ) 0,1,2,nf z n?
(或可求长 )曲线 C上的连续函数,且级数 0 ()nn fz
在 C上收敛于函数 ().fz
使得在 C上,( ) ( 0,1,2,),nnf z M n
则 是 C上的连续函数,且()fz
0( )d ( )d,nCCnf z z f z z
如果存在一个收敛的正项级数 0,nn M
再根据
() 0 10! ( )( ) d2 π ()n nCn f zf z zi z z
定理 2.6 设函数 f ( z ) 在单连通区域 D 上的解析,
C 是 D 内分段光滑 ( 或可求长 ) 的 Jo rdan 曲线,z 0 在
C 的内部区域,则 f ( z ) 在 z 0 处存在各阶导数,并且
( 1,2,3,),n? 其中 C 取正向,
Cauchy 导数公式
01
0 0
1 ( )( ) ( ) d
2 ( )
n
n
nc
ff z z z
iz
01
0 0
1 ( ) d ( )
2 ( )
n
n
n c
f zz
iz
()
0
0
0
() ( ),
!
n
n
n
fz zz
n
定理 3.11给出了函数在 z0点的邻域内展开成
Taylor级数的公式,同时给出了展开式的收敛半径 R=|z0-?|,其中?是离 z0最近的 f (z)的奇点,
Taylor展开式的惟一性定理定理 3.12 设 ()fz是 D上的解析函数,0z 是
D内的点，且在 0z z R内可展成幂级数
0
0
( ) ( ),nn
n
f z c z z
则这个幂级数是 ()fz在 0z 点的 Taylor级数，即
()
0() ( 0,1,2,),
!
n
n
fzcn
n
注 这个定理为把函数展开成 Taylor级数的间接方法奠定了基础,
证明 因为在 0z z R内,0
0
() nn
n
c z z
绝对收敛,取 10,r r R则由 1
0
n
n
n
cr
收敛，
得 1l i m 0,nnn cr于是1nncr? 有界,即存在 0,M?
使得 1 ( 0,1,2,),nnc r M n则
1
11
,
nn
n n n
nn
rrc r c r M M q
rr
其中
1
1,rq r所以
0
n
n
Mq
是收敛的正项级数,
则由,引理 设 都是在分段光滑( ) 0,1,2,nf z n?
(或可求长 )曲线 C上的连续函数,且级数 0 ()nn fz
在 C上收敛于函数 ().fz
使得在 C上,( ) ( 0,1,2,),nnf z M n
则 是 C上的连续函数,且()fz
0( )d ( )d,nCCnf z z f z z
如果存在一个收敛的正项级数 0,nn M
级数 0
0
() nn
n
c z z
在
0z z r上可以逐项积分,又因为
1
01
00
() ( ) ( 0,1,2,),
2 ( ) 2
nmn
m
n
cfz z z n
i z z i
将上式在 0:C z z r上逐项积分,利用
0 10
2,0,1 d() 0,0,nz z r inzzz n例 2.2.
积分值与圆周的中心、半径无关,以及
() 0 10! ( )( ) d 1,2,3,,2 ( )n nCn f zf z z ni z z
高阶导数公式,
定理 2.6 设函数 f ( z ) 在单连通区域 D 上的解析,
C 是 D 内分段光滑 ( 或可求长 ) 的 Jo rdan 曲线,z 0 在
C 的内部区域,则 f ( z ) 在 z 0 处存在各阶导数,并且其中 C 取正向,
() ( 0 )
( 0,1,2,),!
m
m
f cm
m
因此,解析函数在一点展开成幂级数的结果惟一,
3.3.2 将函数展开成 Taylor级数将函数展开为 Taylor级数的方法,
1,直接方法 ; 2,间接方法,
1,直接方法
() 01 ( ) 0,1,2,,! nnc f z nn
由 Taylor展开定理计算级数的系数然后将函数 f (z)在 z0 展开成幂级数,
例 3.8 求 () zf z e? 在 0z? 的 Taylor展开式,
( ) ( ) 00( 0 ) ( ) 1,n z n zzzf e e
所以它在 0z? 处的 Taylor级数为
()
00
( 0 )
!!
nn
zn
nn
fzez
nn
2
1,2 ! !
nzz
z n
并且收敛半径,R
因为 () zf z e?在复平面上解析，且解 运行下面的 MATLAB语句,
>> symsz;
>> f=exp(z);
>> taylor(f,z,8) % 这里 8是展开的项数
ans=
1+z+1/2*z^2+1/6*z^3+1/24*z^4+1/120*z^5+1/720
*z^6+1/5040*z^7
>> taylor(f,z) % 展开的默认值是 6项
ans=
1+z+1/2*z^2+1/6*z^3+1/24*z^4+1/120*z^5
2,间接方法借助于一些已知函数的展开式,结合解析函数的性质,幂级数运算性质 (逐项求导,逐项积分等 )和其它的数学技巧 (代换等 ),求函数的
Taylor展开式,
间接法的优点,
不需要求各阶导数与收敛半径,因而比直接展开更为简洁,使用范围也更为广泛,
例 3.9 利用
00
1 1 1c o s ( ) ( ),
2 2 ! !
i z i z
nn
nn
eez iz iz
nn
2 2 4 2
0
( 1 )c o s 1 ( 1 ),
( 2 ) ! 2 ! 4 ! ( 2 ) !
n n n
n
n
z z z zz
nn
并且收敛半径,R同理
21
0
( 1 )s in
( 2 1 ) !
nn
n
zz
n
3 5 2 1( 1 ),3 ! 5 ! ( 2 1 ) !nnz z zzz n
本例利用直接方法也很简单以及
2
0 1,! 2 ! !
nnz
n z z ze z z
例 3.8 可 得定理 3.9 (1) 设级数 和 的收敛0 nnn az 0 nnn bz半径分别为 和1R 2,R 则在 内,
0 0 0( ),n n nn n n nn n na b z a z b z0 1 1 00 0 0,n n nn n n n nn n na z b z a b a b a b z
(2 ) 设级数 的收敛半径为 r.0() nnnf z c z如果在 内,函数 解析,并且Rz? )(zg,)( rzg?
则当 时,Rz? 0[ ( ) ] [ ( ) ],nnnf g z c g z
和 解 运行下面的 MATLAB语句,
>> symsz;
>> f=sin(z);g=cos(z);
>> taylor(f)
ans=
z-1/6*z^3+1/120*z^5
>> taylor(g)
ans=
1-1/2*z^2+1/24*z^4
21 1 ( 1 ) 1,1 nnz z z zz
例 3.10 求 21() ( 1 )fz z在 0z? 点邻域内的 Taylor级数,
解 1 1z是 ()fz的惟一奇点,且 1 0 1,z
故收敛半径 1.R? 在 中，用 z替换 -z,则例 3.2
11 1,1 nn zzz
逐项求导，得
221 1 2 3 ( 1 ) ( 1 ) 1,( 1 ) nnz z n z zz
例 3.11 将 22
1()
1
fz
z
展开为 z的幂级数,
2
0
1 ( 1 ) ( 1 ) 1,
( 1 )
nn
n
n
令 则2,z
2
22
0
1 ( 1 ) ( 1 )
( 1 )
nn
n
nzz
2 4 21 2 3 ( 1 ) ( 1 ) 1,nnz z n z z
根据例 3.10，解 运行下面的 MATLAB语句,
>> symsz;
>> f=1/(1+z^2)^2;
>> taylor(f,z)
ans=
1-2*z^2+3*z^4
例 3.12 求对数函数的主值 ln (1 )z? 在 z=0点的 Taylor级数,
负实轴向左的射线的区域内解析,
1?R
o1? 1 x
y
因为
1ln( 1 ),1z z
并且由 有例 3.2
11 1,1 nn zzz
21 1 ( 1 ) 1,
1
nnz z z z
z
函数 ln (1 )z? 在复平面中割去从点 -1沿解 运行下面的 MATLAB语句,
>> symsz;
>> f=log(1+z);
>> taylor(f)
ans=
z-1/2*z^2+1/3*z^3-1/4*z^4+1/5*z^5
所以
ln (1 )z
根据,把上式逐项积分，得定理 3.1 0 设幂级数 收敛半径 00 ()nnn c z z
半径为 R,并且在 内,0z z R
00( ) ( ),nnnf z c z z
则 是 内的解析函数,且在收敛圆()fz 0z z R
0z z R内,可以逐项求导和逐项积分,即
(1) 当 时,0z z R 101( ) ;nnnf z n c z z
1
0
( 1 )ln ( 1 )
1
n
n
n
zz n
2 3 1( 1 ) 1,23 n nzzz z zn
21 ( 1 ) 1,nnz z z z
1?R
o1? 1 x
y
例 3.13 求幂函数 (1 )z (?为复数 )的主值
l n ( 1 )( ),( 0 ) 1zf z e f
在 z=0点的 Taylor展开式,
实轴向左的射线的区域内解析,
1?R
o1? 1 x
y
因此在 内,1z?
可展开为 z的幂级数,()fz
根据复合函数求导法则,
按照直接方法展开如下,
显然,()fz在复平面中割去从点 -1沿负解 运行下面的 MATLAB语句,
>> symsz a;
>> f=(1+z)^a;
>> taylor(f,z,4)
ans=
1+a*z+1/2*a*(a-1)*z^2+1/6*a*(a-1)*(a-2)*z^3
l n ( 1 ) ( 1 ) l n ( 1 )1( ),
1
zzf z e e
z
( 2 ) l n ( 1 )( ) ( 1 ),zf z e
( ) ( ) l n ( 1 )( ) ( 1 ) ( 1 ),n n zf z n e
令 z=0,有
( 0 ) 1,( 0 ),( 0 ) ( 1 ),,f f f
() ( 0 ) ( 1 ) ( 1 ),nfn
于是
(1 )z
( 1 ) ( 1 )
!
nn z
n
23( 1 ) ( 1 ) ( 2 )1
2 ! 3 !z z z
1.z?
1 1 1 1( ) 1 1 1,
11 1 ( 1 ) 2 2 1
2
zfz
zz z z
例 3.14 将函数 () 1zfz z在 0 1z? 处展开成 Taylor级数，并指出该级数的收敛范围,
1
00
1 1 ( 1 )( ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 ),
2 2 2
n n
nn
n
nn
zzfz
当 即 时,1 1,2z 12z
解 运行下面的 MATLAB语句,
>> symsz;
>> f=z/(z+1);
>> taylor(f,z,4,1) % 在 z=1处展开 4项
ans=
1/4+1/4*z-1/8*(z-1)^2+1/16*(z-1)^3
附,常见函数的 Taylor展开式
2
0
( 1 ) 1,2 ! ! !
nn
z
n
z z zez
nn
2
0
1( 2 ) 1,
1
nn
n
z z z zz
2
0
1( 3 ) 1 ( 1 ) ( 1 ),
1
n n n n
n
z z z zz
3 5 2 1
( 4 ) sin ( 1 ),3 ! 5 ! ( 2 1 ) !
n
nz z zzz
n
)1(?z
)1(?z
)(z
)(z
2 4 2
( 5 ) c o s 1 ( 1 ),2 ! 4 ! ( 2 ) !
n
nz z zz
n
)(z
2 3 1
( 6 ) l n ( 1 ) ( 1 ),2 3 1
n
nz z zzz
n
0
1
1)1(n
n
n
n
z
)1(?z
23( 1 ) ( 1 ) ( 2 )( 7 ) ( 1 ) 1
2 ! 3 !z z z z
,! )1()1( nzn n )1(?z
3.3.3 函数的零点定义 3.4 设函数 f (z)在区域 D内的一点 z0的值为零，则称 z0为函数 f (z)的 零点,
定义 3.5 如果函数 f (z)在其零点 z0的某个邻域
00(,) B z z z z内解析，并且在该邻域内没有其他零点,则称 z0为 f (z)的 孤立零点,
在本段中,我们将介绍解析函数的零点概念,并证明零点的孤立性以及解析函数的惟一性定理,
定义 3.6 如果解析函数 f (z)在点 z0的邻域内可以表示为
0( ) ( ) ( ),mf z z z z
其中 ()z? 在点 z0解析,且 0( ) 0,1,zm则称 z0
为 f (z)的 m级零点,
设 z0是函数 f (z)的孤立零点,那么根据 f (z)在
z0点的 Taylor展开式可知,存在正整数 m,使得
0( ) ( ) ( ),mf z z z z
其中 ()z? 在点 z0解析,且 0( ) 0,z
定理 3.13 不恒为零的解析函数的零点必是孤立零点,
证明 设 z0为函数 f (z)的 m级零点,于是存在
z0的一个邻域 01(,),Bz? 使得当 时,01(,)z B z
0( ) ( ) ( ),mf z z z z
其中 ()z? 在点 z0解析,且 0( ) 0,z
从而 ()z? 在点 z0处连续,并且根据 可知,例 1.8 设复变函数 f (z)在点 z0 连续，并且
f (z0)?0,则存在 z0的某个邻域，使 f (z)在此邻域内恒不为 0,
存在 z0的邻域 02(,),Bz? 使得在 内,函数02(,)Bz?
恒不为零，所以 f (z)在邻域()z?
0 1 2(,) min(,)Bz
内，除 z0外无其他零点，即 z0是 f (z)的孤立零点,
这是 解析函数 又一个
() 0 10! ( )( ) d2 π ()n nCn f zf z zi z z
高阶导数公式
D?0zC
定理 2.6 设函数 f (z)在单连通区域 D上的解析,
C是 D内分段光滑 (或可求长 )的 Jordan曲线,z0 在
C的内部区域,则 f (z)在 z0处存在各阶导数,并且
( 1,2,3,),n?
其中 C取正向,
解析函数的 特性,对于实可微函数,其零点不一定是孤立的，例如函数 2 1sin,0
()
0,0
xx
fx x
x
在零点 x=0处可微，但是1 1,2,nxnn
也是 f (z)的零点，且 lim 0,nn x
推论 3.2 设 f (z)在区域 D内解析,nz 是 f (z)
在 D内的一列互异的零点,如果 0l i m,nn z z D则
f (z)在 D内恒为零,
推论 3.3(解析函数的惟一性定理 ) 设函数 f (z)
与 g(z)在区域 D内解析,nz 是 D内互异的点列,且
0l i m,nn z z D如果对一切 n,都有 ( ) ( ),nnf z g z?
则在 D内恒有 ( ) ( ),f z g z?
证明 设 ( ) ( ),F z f z g z则 F(z)在 D内解析,
因为 对一切 n,有 ( ) 0,nFz?即 是 F(z)在 D内的一nz
列互异的零点,于是由推论 3.2知 F(z)在 D内恒为零,
这是 解析函数 又一个非常重要的 特性,定义在区域 D内的两个解析函数，只要在 D内的某一部分
(子区域或孤段 )上的值相等，则它们在整个区域 D
上的值相等,对于实可微函数而言,不具有这样的性质,
m 级零点的判别方法证明 (必要性 ) 0z如果 为 的 m级零点,)(zf
( ) ( )00( ) 0,( 0,1,2,1 ) ; ( ) 0,nmf z n m f z
定理 3.14 不恒为零的解析函数 f (z)以 z0为 m级零点的充分必要条件是则存在 0z 的一个? 邻域 0(,),Bz? 使得在该邻域内
0( ) ( ) ( ),mf z z z z
其中 解析,()z? 0( ) 0,z设 在()z? 0(,)Bz?中展开成 Taylor级数为
0
00
()( ) ( ) ( )
1!
zz z z z
() 0 00() ( ),!n nz z z z zn
那么
0( ) ( ) ( )mf z z z z
10
0 0 0
()( ) ( ) ( )
1!
mm zz z z z z
() 0 00() ( ),!n mnz z z z zn
根据,这就是 f (z)在Tayl or 展开式的惟一性定理定理 3.1 2 设 ()fz 是 D 上的解析函数,0z 是
D 内的点，且在 0z z R 内可展成幂级数
00( ) ( ),nnnf z c z z
则这个幂级数是 ()fz 在 0z 点的 Tayl or 级数，即
() 0() ( 0,1,2,),!nn fzcn n
注 这个定理为把函数展开成 Tayl or 级数的间接方法奠定了基础,
0zz中的 Taylor展开式，由此可见
( 1 )0 0 0( ) ( ) ( ) 0,mf z f z f z
() 00( ) ( ) ! 0,mf z z m
(充分性 ) 因为 f (z)在点 z0解析,由
R 为 到 D 边界的距离0z
定理 3.1 1 ( Tayl or 展开定理 ) 设 在区域 D)(zf
内解析,0z 为 D 内的一点,
,)()( 0 0 n nn zzczf
0,1,2,.n? D
0z,
R
( D 是全平面时,R =+? ),则 在 内可0z z R()fz
可展开为幂级数其中 () 01 ()! nnc f zn?
系数 c n 按上述表示的幂级数称为()fz
在 点的 Tayl or 级数,0z
存在 z0的邻域00(,),B z z z z使得 f (z)在该邻域内可展开成 Taylor级数,由已知条件知,该级数为
( ) ( 1 )
100
00
( ) ( )( ) ( ) ( )
! ( 1 ) !
mm
mmf z f zf z z z z z
( ) ( 1 )
00
00
( ) ( )( ) ( )
! ( 1 ) !
mm
m f z f zz z z z
mm
0,zz
显然方括号内幂级数在 0zz内收敛，设
( ) ( 1 )00 00( ) ( )( ) ( ),! ( 1 ) !mmf z f zz z z z zmm
于是
()z? 在 0zz内解析,且
()
0
0
()( ) 0,
!
mfz
z m
所以 f (z)在 0(,)Bz?内可表示为
0( ) ( ) ( ),mf z z z z
所以由 知,z0是 f (z)的 m级零点,定义 3.6 如果解析函数 f (z)在点 z
0的邻域内可以表示为
0( ) ( ) ( ),mf z z z z
其中 ()z? 在点 z0解析,且 0( ) 0,1,zm则称 z0
为 f (z)的 m级零点,当 m =1 时称为单零点,练习
z=0是 5级零点,答案
225 )1()( zzzf 的零点及级数,求
iz 是 2级零点,
1?z 是 )(zf 的 1级零点,
2
1( 1 ) 3 3 0,zfz所以可见解 (1) 由于例 3.15 求以下函数的零点及级数,
3( 1 ) ( ) 1 ;f z z( 2 ) ( ) 1 c o s,f z z
只有一个零点?
(2) 显然,2 ( 0,1,2,)kz k k是 f (z)
的零点,由于
2( 2 ) 0,( 2 ) s in 0,zkf k f k z
2( 2 ) c o s 1 0,zkf k z
所以 2 ( 0,1,2,)kz k k是 f (z)的 2级零点,
1 1 1( 1 ) 0,;
2 1 2 2ffn n n
例 3.16 是否存在着在原点解析且满足下列
1( 2 ),
1
nf
nn
条件之一的函数 f (z),其中 1,2,3,n?
解 (1) 由于 121n及 12n都以 0为极限，
由,推论 3.3 ( 解析函数的惟一性定理 ) 设函数 f ( z )
与 g ( z ) 在区域 D 内解析,nz 是 D 内互异的点列,且
0l i m,nn z z D如果对一切 n,都有 ( ) ( ),nnf z g z?
则在 D 内恒有 ( ) ( ),f z g z?
()f z z?是在原点解析并满足 1122f nn的唯一函数,但是此函数不满足
1 0,
21f n
因此满足这样两个条件且在原点解析的函数不存在,
(2) 因为 11
,
11
1
n
f
nn
n
由,推论 3.3 ( 解析函数的惟一性定理 ) 设函数 f ( z )
与 g ( z ) 在区域 D 内解析,nz 是 D 内互异的点列,且
0l i m,nn z z D如果对一切 n,都有 ( ) ( ),nnf z g z?
则在 D 内恒有 ( ) ( ),f z g z?
1()
1fz z是满足条件且在原点解析的函数,
1 Laurent级数的概念
2 函数的 Laurent级数展开
3 典型例题
§ 3.4 Laurent级数
3.4.1 Laurent 级数的概念如果函数 f (z)在 z0点解析,则在 z0的某邻域内,可展开为 Taylor级数,其各项由 z-z0的非负幂组成,如果
f (z)在圆环域 1 0 2R z z R内解析,则 f (z)在这个圆环域内不一定都能展开为 z-z0的幂级数,
本节将引进一种在 圆环域收敛的双边幂级数,
即 Laurent级数,它将在后面讨论孤立奇点与留数及 Z变换理论中起重要作用,
0( ),
n
n
n
c z z
负幂项部分 正幂项部分主要部分 解析部分
n
n
n
n zzc )( 0
n
n
n zzc
)( 0
1
这种双边幂级数的形式为同时收敛
Laurent级数
n
n
n zzc )( 0
0
收敛
n
n
n zzc )( 0
0
n
n
n zzc
)( 0
1
10 )( zz?令 n
n
nc
1
收敛半径 R
收敛时,R
10
1 R
Rzz
收敛域收敛半径 R2
20 Rzz
收敛域
:)1( 21 RR?若 两收敛域无公共部分,
:)2( 21 RR?两收敛域有公共部分,201 RzzR
结论,的收敛区域为双边幂级数 n
n
n zzc )( 0
.201 RzzR圆环域
1R
2R
,0z
常见的特殊圆环域,
2R
,0z
200 Rzz
1R,0z
01 zzR 00 zz
,0z
(1) 幂级数的收敛 域 是圆域,且和函数在 收敛 域内解析,
(2) 在圆域内的解析函数一定能展开成幂级数,
对于 Laurent级数，已经知道：
Laurent级数的收敛 域 是圆环域，且和函数在圆环域内解析,
问题,在圆环域内解析的函数是否可以展开成 Laurent级数?
对于通常的幂级数，讨论了下面两个问题,
3.4.2 函数的 Laurent 级数展开定理 3.15(Laurent展开定理 ) 设 120,RR
函数 f (z)在圆环域 1 0 2R z z R内解析,则函数 f (z)
在此环域内可展开为 Laurent级数
0 1 0 2( ) ( ),nn
n
f z c z z R z z R
其中 1
0
1 ( ) d ( 0,1,2,),
2 ( )n nC
fzc z n
i z zC是圆周 的正向,0 1 2 ( )z z R R R R
证明
0zR
r
2R
.z
1K
2K
1R.
.?
设 z在圆环域 内,1 0 2R z z R取正数 r和 R,使得 1 0 2,R r z z R R作圆周
10:K z z r20:.K z z R和
1 ( )( ) d
2 K
ffz
iz
21
1 ( ) 1 ( )d d,
22KK
ff
i z i z
当? 在 K2上变化时，
00,z z z
根据 Cauchy 积分公式
C zzz zfizf,d)(π2 1)( 00
定理 2.5 设 f ( z ) 是单连通区域 D 上的解析函数,
z 0 是 D 内的一个点,C 是任意一条含 z 0 在内部区域的分段光滑 ( 或可求长 ) Jo rdan 曲线,则复合闭路定理
D C 1C 2C 3C
都在 C 的内部,它们互不包含也 互不相交,并且以定理 2.4 设 12,,,,nC C C C是多连通区域 D 内是 D 上的解析函数,那么
1( ) d ( ) d,knCC kf z z f z z其中 C 和 C
k (1? k? n ) 取正向,
若 f ( z )
分段光滑 ( 或可求长 ) Jo rdan 曲线,都12,,,nC C C
为边界的闭区域含于 D 内,12,,,,nC C C C
和
:Kz
于是 00
0
1,zzzz zR 所以
00 0 0
0
1 1 1 1
( ) ( ) 1 zzz z z z z
z
01
0 0
1 ( ),
()
n
n
n
zzz?
0zR
r
2R
.z
1K
2K
1R.
.?
与 的证明方法相同,
R 为 到 D 边界的距离0z
定理 3.1 1 (Tayl or 展开定理 ) 设 在区域 D)(zf
内解析,0z 为 D 内的一点,
,)()( 0 0 n nn zzczf
0,1,2,.n? D
0z,
R
(D 是全平面时,R =+? ),则 在 内可0z z R()fz
可展开为幂级数其中 () 01 ()! nnc f zn?
系数 c n按上述表示的幂级数称为()fz
在 点的 Tayl or 级数,0z
2
0
1
0 0
( ) ( ) d
()
n
n
nK
f z z
z
可以逐项积分,
0zR
r
2R
.z
1K
2K
1R.
.?
当? 在 K1上变化时,0
00
1,z rz z z z类似有
01
0 0
11 ()
()
n
n
n
zz z z
01
1 0
1 ( ),
()
n
n
n
zzz?
因为 f (?)在 K1上有界,即存在
0,M 使得 K1时,
( ),fM
所以 0 1
00
( ) ( ),
()
nn
n
n
f z z M r M q
z r z z r
其中
0zR
r
2R
.z
1K
2K
1R.
.?
0
1.rq zz 由于
0
n
n
M q
r
是收敛的正项级数，
根据,引理 设 都是在分段光滑( ) 0,1,2,nf z n?
(或可求长 )曲线 C上的连续函数,且级数 0 ()nn fz
在 C上收敛于函数 ().fz
使得在 C上,( ) ( 0,1,2,),nnf z M n
则 是 C上的连续函数,且()fz
0( )d ( )d,nCCnf z z f z z
如果存在一个收敛的正项级数 0,nn M
1
01
1 0
() ( ) d
()
n
n
nK
f zz
z
可以逐项积分,
根据,复合闭路定理
D C 1C 2C 3C
都在 C 的内部,它们互不包含也 互不相交,并且以定理 2.4 设 12,,,,nC C C C是多连通区域 D 内是 D 上的解析函数,那么
1( ) d ( ) d,knCC kf z z f z z其中 C 和 C
k (1? k? n ) 取正向,
若 f ( z )
分段光滑 ( 或可求长 ) Jo rdan 曲线,都12,,,nC C C
为边界的闭区域含于 D 内,12,,,,nC C C C
12
1 1 1
0 0 0
( ) ( ) ( )d d d
( ) ( ) ( )n n nK K C
f f f
z z z
0,1,2,.n
因此，
2
01
0 0
1 ( )( ) ( )
2 ( )
n
n
n K
ff z d z z
iz
1
01
1 0
1 ( ) ()
2 ( )
n
n
n K
f d z z
iz
0 0 0
01
( ) ( ) ( ),n n nn n n
n n n
c z z c z z c z z
注 函数 f (z)展开成 Laurent级数的系数
1
0
1 ( ) d
2 ( )n nC
fzc
i z z
与展开成 Taylor级数的系数在形式上完全相同,但这里的函数 f (z)在圆环域 1 0 2R z z R内解析,在
0z z R内不一定解析,所以不能化为 z0处的导数
()
0
1 ( ).
!
nfz
n 特别地,如果 函数 f (z)在 02z z R内解析,那么根据,定理 2.3 ( Cau chy 积分定理 ) 设 f ( z ) 是单连
D C 说明,该定理的主要部分是Cau chy 于 1825 年建立的,
它是复变函数理论的基础,
通区域 D 上的解析函数，则对 D 内的任何可求长 Jo rdan 曲线 C,都有 ( ) d 0,
C f z z
0 1,2,,ncn
所以 Laurent级数包含了 Taylor级数,
Laurent展开式的惟一性定理定理 3.16 设函数 f (z)在圆环域 1 0 2R z z R
内解析,并且可以展开成双边幂级数
0( ),
n
n
n
c z z
则 其中 C 1
0
1 ( ) d ( 0,1,2,),
2 ( )n nC
fzc z n
i z z
的正向,0 1 2 ( )z z R R R R是圆周注 函数在圆环域内 Laurent展开式是惟一的,因此为函数展开成 Laurent级数的间接方法奠定了基础,
证明 利用证明 的Tayl or 展开式惟一性定理定理 3.1 2 设 ()fz 是 D 上的解析函数,0z 是
D 内的点，且在 0z z R 内可展成幂级数
00( ) ( ),nnnf z c z z
则这个幂级数是 ()fz 在 0z 点的 Tayl or 级数，即
() 0() ( 0,1,2,),!nn fzcn n
注 这个定理为把函数展开成 Tayl or 级数的间接方法奠定了基础,
方法,可以证明双边幂级数也可以在 C上逐项积分,设
0()
n
n
n
c z z
是函数 f (z)在 1 0 2R z z R内的双边幂级数展开式，则在 0 1 2,( )C z z R R R R上,
1
01
0
( ) 1 ()
2 ( ) 2
nm
nm
n
fz c z z
i z z i
0,1,2,.m
于是在 C上取积分得
1
01
0
1 ( ) 1d ( ) d
2 ( ) 2
nm
mn m
nCC
fzc z c z z z
i z z i
1
0
1 ( ) d ( 0,1,2,),
2
nm
n
n C
c z z z mi?
1
0
2,( ) d
0,
nm
C
i n mz z z
nm
根据
0 10
2,0,1 d() 0,0,nz z r inzzz n例 2.2.
积分值与圆周的中心、半径无关,
所以 0,1,2,.mmc c m
将函数在圆环域内展开成 Laurent级数,理论
(1) 直接方法 直接 计算展开式系数然后写出 Laurent展开式,)()( 0 n
n
n zzczf
这种方法只有理论意义,而没有实用价值,就是上应该有两种方法,直接方法与间接方法,
1
0
1 ( ) d ( 0,1,2,),
2 ( )n nC
fzc z n
i z z
说,只有在进行理论推导时,才使用这种表示方法,
根据解析函数 Laurent 级数展开式的惟一性,
可运用代数运算、代换、求导和积分等方法去将函数展开成 Laurent 级数,
(2) 间接方法这是将函数展开成 Laurent 级数的 常用方法,
给定函数 )(zf 与复平面内的一点 0z 以后,函数在各个不同的圆环域中有不同的 Laurent展开式
(包括 Taylor展开式作为特例 ),这与 Laurent展开式的惟一性并不矛盾,在同一圆环域内的展开式惟一,
( 1 ) 0 1 ;z( 2 ) 1 2 ;z
( 3 ) 2 ;z
内展开成 Laurent级数,
例 3.17 将函数 1 ( ) ( 1 ) ( 2 )fz zz在圆环域
( 4 ) 0 1 1z
处都解析,并且可分解为
11( ),
12fz zz
3.4.3 典型例题函数 f (z)在 z=1和 z=2处不解析,在其它点解 运行下面的 MATLAB语句,
>> clear
>> symsz;
>> f=1/((z-1)*(z-2));
>> [n,d]=numden(f); % 表示分子和分母
>> expand(d) % 展开分母
ans=
z^2-3*z+2
>> P=[1];Q=[1,-3,2]; % 按系数输入分子和分母
>> [R,p]=residue(P,Q) % 将函数展开成部分分式
o x
y
1
(1) 在 内,有 则1z? 1,2z?
21 1,
1
nz z z
z 2
2 3 1
1 1 1 1
.
2 2 2 2 21
2
n
n
z z z
zzz
2
2
23
1( ) ( 1 )
2 2 2
zzf z z z
21 3 7,
2 4 8zz
于是在 内，01z
1 2o x
y
z
zz 11
11
1
1
21 1 11,z z z
1?z 1 1,z?
2?z 1.2
z?
2
1
1
2
1
2
1
zz
2
2
1 1.
2 2 2 2
n
n
z z z
(2) 在 内,有12z
2
22
1 1 1 1 ( ) 1 1
2 2 2
zzfz
z z z
2o x
y
2?z 1 1,z?
于是在 内,12z
1 2 1
1 1 1 1,
22
n
n n n
zz
z z z z
(3) 在 内,有2z?
2?z 2 1.z?
23
1 1 1 1 1 1
,1
1 1z z z z z
z
2
1 1 1 1 2 4
1.
22
1z z z z z
z
于是在 内,2 z
2 3 2 3
1 2 4 1 1 1()fz
z z z z z z
2 3 4
1 3 7,
zzz
2o x
y
.1
(4) 由 知,0 1 1z
0 1,z? 展开的级数形式应为
( 1 ),nn
n
cz
1 1 1 1 1()
( 1 ) ( 2 ) 2 1 1 1 1fz z z z z z z
0
1 1 1( 1 ),
1 ( 1 ) 1 1
n
n
zz z z
所以在 内,0 1 1z
例 3.18 将函数 21() ( 2 ) ( 3 )fz zz在区域
0 2 1z内展开成 Laurent级数,
解 因为在 0 2 1z内展开,所以 0 2,z?
展开的级数形式应为 ( 2 ),nn
n
cz
因为
1 1 1
3 ( 2 ) 1 1 ( 2 )z z z
0
( 2 ) 2 1,n
n
zz
2
0
11 ( 2 )
( 3 ) 3
n
n
z
zz
11 2 ( 2) ( 2) 2 1,nz n z z
所以在 内,0 2 1z
2
1()
( 2 ) ( 3 )fz zz
11 1 2 ( 2 ) ( 2 )
2
nz n z
z
2
1
( 2 ),n
n
nz
例 3.19 将
1
2 zf z z e?在 0 z内展开为 Laurent级数,
解 除 z=0点之外,f (z)在复平面内处处解析,
对任何复数?,
2
1,2 ! !
n
e n
于是在 内,0 z
1 2
2 2 1( ) 1
2 ! !
n
z zzf z z e z z
n
1
2 1,
2 ! 3 ! !
nzz
zz n
内展开成 Laurent级数,
( 1 ) 1 2 ;z( 2 ) 0 2 5z
解 212( ),21fz zz
2
2
22
1 2 1 1 2 1
()
11 2 1
2 1 1 1
22
fz
zz z
z
zz
例 3.20 将
2
2
25()
( 2 ) ( 1 )
zzfz
zz
在圆环域
(1) 当 时,12z
n
n
n
n
n
zz
z?
2
0
2
0
1)1(2
22
1
.2)1(2
0
1
1
2
1
n
n
n
n
n
n z
z
1
2
2
1)(
2 zzzf
iziziz
11
2
1
1 1 1
2 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )iz z i z i
(2) 在 内,0 2 5z
i
z
i
i
z
i
i
z
2
2
1)2(
1
2
2
1)2(
1
2
1
0 0 2
2)1(
2
1
2
2)1(
2
1
2
1
n n
n
n
n
n
i
z
ii
z
i
i
z
11
1
0
1 ( 2 )( 1 ) ( 2 ) ( 2 ),
25
n
n n n
n
n
zi i i
z
11
0 )2(
1
)2(
1)2()1(
2
1
nn
n
n
n
iiziz
§ 3.5 调和函数
1 调和函数的概念
2 解析函数与调和函数的关系
3.5.1 调和函数的概念如果二元函数? (x,y)在区域 D内存在二阶连续偏导数,且满足二阶偏微分方程 (Laplace 方程 )
22
22 0,xy
则称? (x,y)是区域 D内的调和函数,
工程中的许多问题,如平面上的稳定温度场、
静电场和稳定流场等都满足 Laplace方程,
下面简单推导平面稳定温度场中温度函数是一个调和函数,
设所考虑物质的导热性能在某一区域 D内是均匀的各向同性的，导热系数是常数，且 D内没有热源,这样，在 D内就形成一个稳定的温度场,
记 T(x,y)表示其温度分布函数，在 D内任取一条其内部属于 D的简单闭曲线 C,以 s 表示其内部,根据物理学中的 Fourier定律，在单位时间内,通过 C
上一个小弧段 ds自 C 的内部 s 流出的热量是
d,Tksn
其中 n表示外法线方向,因此,
通过整个曲线 C 流出的热量是
d c o s (,) c o s (,) d
CC
T T Tk s k n x n y s
n x y
22
22 d d,
TTk x y
xys
x
y
D
nC
s
ds
热源存在，所以应有
22
22 d d 0.
TT xy
xys
由于 C 的任意性，有
22
22 0,
TT
xy
即温度分布函数是一个调和函数,
因为 s 内各点的温度不随时间改变,并且没有
3.5.2 解析函数与调和函数的关系
.,xvyuyvxu
由于解析函数的导数仍是解析函数,因此 u(x,y)和定理 3.17 设 ( ) (,) (,)f z u x y iv x y是区域
D内的解析函数，则 u(x,y)和 v(x,y)都是区域 D内的调和函数,
证明 因为 f (z)在 D内解析,所以满足 Cauchy-
Riemann条件
v(x,y)存在各阶连续偏导数,将
,u v u vx y y x
分别对 x和 y求导，则
2
2,
uv
x x y
2
2,
uv
y y x
当混合偏导数连续时，求导次序可以交换,因此，
22
22 0,
uu
xy
即 u(x,y)是调和函数,同理可证 v(x,y)也是调和函数,
如果任给区域 D内两个 调和函数 u(x,y)和 v(x,y),
那么 u(x,y)+iv(x,y)在 D内 是否为解析函数?
考虑 和 22( ) 2f z x y x y i 22( ) 2,f z x y x y i
如果 u(x,y)和 v(x,y)都是区域 D内的 调和函数,且
u(x,y)+iv(x,y)是 D内 的解析函数,则称 v(x,y)是 u(x,y)
的 共轭调和函数,
区域 D 内解析函数的虚部为实部的共轭调和函数,
现在提出如下问题：
或者已知调和函数 v(x,y) 时，是否存在调和函数 u(x,y),使得 f (z)=u＋ iv 是 D内的解析函数?
已知 u(x,y)是区域 D内的调和函数，是否存在
u(x,y)的共 轭 调和函数 v(x,y)，使得函数 f (z)=u＋ iv
是 D上的解析函数?
回答是肯定的，以下用 举例 的方法加以 说明,
解 因为在全平面内
6,u xyx,6 2
2
yx u
,33 22 xyyu,6 2
2
yyu
例 3.21 证明 32(,) 3u x y y x y是全平面内的调和函数，并求以它为实部的解析函数,
故 为 调和函数,
22
22 0,
uu
xy
(,) u x y于是
6,vu xyyx由 则
26 d 3 ( ),v xy y xy g x
23 ( ),v y g x
x
又因为 223 3,vu yxxy 所以
2 2 23 ( ) 3 3,y g x y x
23( ) 3 dg x x x x C(其中 C为任意实常数 ).
求 u为实部的解析函数,
从而 32(,) 3,v x y x x y C
于是得解析函数
3 2 3 23 ( 3 ),w y x y i x x y C
令
,,22z z z zxy i
那么 函数可以化为
3( ) ( ),w f z i z C
其中 C为任意实常数,
求 u为实部的解析函数的 另一方法,
因为 6,u xyx,33 22 xyyu 所以
22( ) 6 3 ( ),uuf z i x y y x i
xy
3( ) ( )f x i x C实部 u不包含常数,故 (C是实常数 ),
将 x替换成 z,即得 3( ) ( ),f z i z C
注：此处用到,推论 3.3 ( 解析函数的惟一性定理 ) 设函数 f ( z )
与 g ( z ) 在区域 D 内解析,nz 是 D 内互异的点列,且
0l i m,nn z z D如果对一切 n,都有 ( ) ( ),nnf z g z?
则在 D 内恒有 ( ) ( ),f z g z?
这是 解析函数 又一个非常重要的 特性,定义在区域 D 内的两个解析函数，只要在 D 内的某一部分
( 子区域或孤段 ) 上的值相等，则它们在整个区域 D
上的值相等,
0,y? 2( ) 3,f x i x即 z在实轴上取值,则 因为
22( ) 3 3,f iy iy i iy
令 0,x?即 z在虚轴上取值,则因为实部 u不包含常数,故
3( ) ( ),f iy i iy iC
其中 C是实常数,将 iy替换成 z,即得
3() ( ).f z iz C
例 3.22 已知调和函数
(,) ( c o s s i n )xv x y e y y x y x y
是解析函数 f (z)的虚部,且 f (0)=1,求 f (z)的表达式,
,1)c o ss in( c o s yxyyyeyv x
解 因为,uvxy以及所以
( c os si n c os ) 1 dxu e y y y x y x
( c o s s i n ) ( ),xe x y y y x g y
又因为,vuxy以及
,1)s ins inco s( yyxyyexv x
所以
1)s i ns i nc o s( yyxyye x
( s i n c o s s i n ) ( ),xe x y y y y g y
( c o s s i n ),xu e x y y y x y C
,1)( yg故 从而 ()g y y C(C是实常数 ),
( 1 ),zz e i z C
ivuzf)(
( 1 ) ( 1 )x i y x i yx e e i y e e x i i y i C
( c o s s i n )xe x y y y x y C
( c o s s i n )xi e y y x y x y
由 ( 0 ) 1,f?得 1.C? 因此
.1)1()( zizezf z
另一方法 因为
() vvf z iyx ( c o s s i n c o s ) 1xe y y y x y
( c o s s i n s i n ) 1,xi e y y x y y
令 0,y? 即 z在实轴取值，则
( ) 1,xxf x x e e i
所以 ( ) ( 1 )xf x x e i x C(C是常数 ),将 x替换成 z,即得 ( ) ( 1 ),zf z z e i z C由 ( 0 ) 1,f?可知
1.C? 因此,1)1()( zizezf z
例 3.23 已知
22( ) ( 4 ) 2 ( ),u v x y x x y y x y
求解析函数 ( ),f z u iv
解 分别求导数可得
,2)42)(()4( 22 yxyxyxyxvu xx
22( 4 ) ( ) ( 4 2 ) 2,yyu v x x y y x y x y
因为,,u v u vx y y x所以
,233 22 yxv y 6.xv x y?
因此
22( ) 3 3 2 6,yxf z v i v x y x y i
令 0,y? 即 z在实轴取值，则
2( ) 3 2,f x x
于是 3( ) 2f x x x C(C是常数 ).
将 x替换成 z,即得
3( ) 2,f z z z C
复数项级数 函数项级数充要条件必要条件幂级数收敛半径 R
复 变 函 数绝对收敛运算与性质解析在 0)( zzf
为复常数n? )( zf nn 为函数
1n
n
收敛条件条件收敛复数列 收敛半径的计算
Taylor 级数 Laurent级数调 和 函 数与 解 析 函 数本章内容总结
1,函数展开成 Taylor级数与 Laurent级数
2,解析函数的零点本章的重点第三章 完
Niels Henrik Abel
(1802.8.5-1829.4.6)
挪威数学家,牧师的儿子,家境贫困,Abel 15岁读中学时,优秀的数学教师 B,Holmboe(1795-1850)发现了 Abel的数学天才,对他给予指导,1821年进入克利斯安那大学,
1824年,他解决了用根式求解五次方程的不可能性问题,Abel短暂的一生中在分析和代数领域作出了极其出色的贡献,然而他的数学成就在当时没有得到应有的注意,生活悲惨,在贫病交迫中早逝,
Brook Taylor
(1685.8.18-1731.12.29)
英国数学家,曾任英国皇家学会秘书,1715年在,增量方法及其逆,中给出 Taylor级数的展开定理,
Pierre-Alphonse Laurent (1813-1854)
法国数学家,1843年证明了 Laurent级数展开定理,
§ 3.1 复数项级数
§ 3.2 幂 级 数
§ 3.3 Taylor级数
§ 3.4 Laurent级数
§ 3.5 调和函数主 要 内 容本章介绍复变函数级数的概念,重点是 Taylor级数,Laurent级数及其展开,最后讨论解析函数与调和函数的关系,
1 复数列的极限
2 复数项级数
§ 3.1 复数项级数
3.1.1 复数列的极限称 为复数列,简称 ( 1,2,3,)n n na i b n
为数列,记为.n?
定义 3.1 设 是数列,是常数,n? a ib
如果?e >0,存在正整数 N,使得当 n>N 时,不等式
n e成立,则称当 n时,收敛于na,?
或称 是 的极限,记作n?
lim,nn或,n n
复数列收敛与实数列收敛的关系
.lim,lim bbaa nnnn
,)()( e bbiaaaa nnn
.lim aa nn即,lim bb nn同理定理 3.1 lim nn的充分必要条件是证明 如果 则 存在正整数 N,0,elim,nn
从而有( ) ( ),nna i b a i b e使得 当 n>N 时,
.2,2 ee bbaa nn
从而有
( ) ( ),n n n n na a i b b a a b b e
该结论说明,判别复数列的敛散性可转化为判别两 个实数列的敛散性,
反之,如果 那么l i m,l i m,nnnna a b b0,e
存在正整数 N,使得 当 n>N 时,
所以 li m,nn
3.1.2 复数项级数
n
n
n 21
1
为复数项级数,称
n
n
k
knS
21
1
为该级数的前 n 项 部分和,
设 是复数列,则称n n na ib
级数收敛与发散的概念定义 3.2 如果级数
n
n
n 21
1
的部分和数列 收敛于复数 S,则称 级数收敛,nS
这时称 S为 级数的和,并记做
1
.n
n
S?
如果 不收敛，则称 级数发散,nS
复数项级数与实数项级数收敛的关系定理 3.2 级数 收敛的充要
11
()n n n
nn
a i b?
条件是 都收敛,并且
11
,nn
nn
ab
1 1 1
.n n n
n n n
a i b?
证明 由 及定理 3.1,易证,
11
,
nn
n k k
kk
S a i b
说明 复数项级数的收敛问题
两个实数项级数的收敛问题解 因为级数
2
11
1
n
nn
b n
收敛,所以原复数项级数发散,
练习 级数 是否收敛?
1
1 1
n
i
nn
11
1
n
nn
a n
发散,而级数级数收敛的必要条件
lim 0,nn推论 3.1 如果级数 收敛,则
1
n
n
证明 由定理 3.2及实数项级数收敛的必要条件 知,l i m 0,l i m 0nn
nnab
lim 0,nn
重要结论,发散,1li m 0nnn n
于是在判别级数的敛散性时,可先考察
lim 0,nn
非绝对收敛的收敛级数称为 条件收敛级数,
定义 3.3 设 是复数项级数,如果正项
1
n
n
级数 收敛,则称级数 绝对收敛,
1
n
n
1
n
n
绝对收敛级数的性质定理 3.3 若级数 绝对收敛,则它收敛,
1
n
n
并且
11
.nn
nn
证明 由于 而 22,,n n n n na b a b
级数 收敛,由正项级数收敛的比较判别法,
1
n
n
知 和 收敛,从而 和 绝对
1
n
n
a
1
n
n
b
1
n
n
a
1
n
n
b
收敛,故收敛,因此级数 收敛,
1
n
n
因为 所以
11
,
nn
kk
kk
1 1 1 1
li m li m,
nn
k k k knn
k k k k
补充 因为 所以 22,n n n n na b a b
22
1 1 1 1
.
n n n n
k k k k k
k k k k
a b a b?
综上可得,
因此,如果 和 都绝对收敛时,也
1
n
n
a
1
n
n
b
1
n
n
绝对收敛,
1
n
n
绝对收敛 和 都绝对收敛,
1
n
n
a
1
n
n
b
都收敛,故原级数收敛,但是级数条件收敛,所以原级数非绝对收敛,是条件收敛的,
解 因为例 3.1 级数 是否绝对收敛?
1
( 1 ) 1
2
n
n
n
in
11
( 1 ) 1,
2
n
n
nnn
1
( 1 ) n
n n
定理 3.4 设 是收敛数列，则其有界,即n?
存在 M>0,使得 ( 1,2,3,),n Mn
定理 3.5 设 和 都是绝对收敛级数,
1
n
n
1
n
n
令
1 2 2 1 ( 1,2,3,),n n n n n
则级数 绝对收敛,并且
1
n
n
1 1 1
.n n n
n n n
1 幂级数的概念
2 幂级数的敛散性
3 幂级数的性质
§ 3.2 幂 级 数为复变函数项级数,
12
1
( ) ( ) ( ) ( )nn
n
f z f z f z f z
)()()()( 21 zfzfzfzS nn
为该级数前 n项的 部分和,
设 是定义在区域 D上的复变函数列,()nfz
称
3.2.1 幂级数的概念
)()()()( 21 zfzfzfzS n
称为该级数在区域 D上的 和函数,
如果对 级数 收敛,即0,zD? 0
1
()n
n
fz
00l i m ( ) ( ),nn S z S z
则称级数 在 点收敛,且 是级数和,
1
()n
n
fz
0z 0()Sz
如果级数 在 D内处处收敛,则称其在
1
()n
n
fz
区域 D内收敛,此时级数的和是函数
2
0 1 2
0
( ) ( ) ( )nn
n
c z a c c z a c z a
2
0 1 2
1
,nnnn
n
c z c c z c z c z
这类函数项级数称为 幂级数,
当 或 时,110( ) ( ) nnnf z c z z 11() nnnf z c z
或 的特殊情形0 0z?
函数项级数的形式为
( ),nnc z a
定理 3.6 (Abel定理 ) 若级数 在
0
n
n
n
cz
1 0z?
处收敛，则当 时,级数 绝对收敛 ;
0
n
n
n
cz
1zz?
若级数 在 处发散，则当 时,级数
0
n
n
n
cz
2z 2zz?
0
n
n
n
cz
发散,
3.2.2 幂级数的敛散性因而存在正数 M,使得 1 ( 1,2,3,),nnc z M n
当 时,记 于是,1zz
1
1,z qqz
1
1
.
n
n n n
nn n
zc z c z Mq
z
由正项级数的比较判别法知,收敛,因此
0
n
n
n
cz
证明 若级数 收敛,则1
0
n
n
n
cz
1l i m 0,nnn cz
级数 绝对收敛,
0
n
n
n
cz
其余的结论用反证法易得,
收敛圆与收敛半径
(1) 对所有的正实数都收敛,
级数在复平面内绝对收敛,
(2) 对所有的正实数都发散,
级数在复平面内除原点外处处发散,
(3) 既存在使级数发散的正实数,也存在使级数收敛的正实数,
设 时,级数收敛 ; 时,级数发散,如图,z z
由,幂级数 收敛情况有三种,
0
n
n
n
cz
定理 3.6 ( Abel 定理 ) 若级数 在0 nnn cz 1 0z?
处收敛，则当 时,级数 绝对收敛 ; 0 nnn cz1zz?
若级数 在 处发散，则当 时,级数0 nnn cz 2z 2zz?
0 nnn cz 发散,
x
y
o?,?.
R
收敛圆收敛半径幂级数?
0n
n
n zc 的收敛范围是以原点为中心的圆域,
.
1?1?
.
幂级数 0
0
() nn
n
c z z
的收敛范围是因此，
事实上,幂级数在收敛圆周上敛散性的讨问题,幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?
以 为中心的圆域,0zz?
收敛半径根据前面所述的三种情形,分别
,0,,R规定为论比较复杂,没有一般的结论,要对具体级数进行具体分析,
解 21 11 ( 1 ),1
n
n
n
zS z z z z
z
1?z 1lim 1nn S z级数?
0n
nz 收敛,
1?z 0lim nn z 级数?
0n
nz 发散,
绝对收敛,且有在 内,级数1z
0n
nz
例 3.2 求级数 的和函数与收敛半径,
0
n
n
z
所以收敛半径 1,R?
1
1,
1
n
n
z z
例 3.3 对任何复数 z,级数
2
( 1 ) 1 ;2 ! !
nzz
z n
22
( 2 ) 1 ( 1 ) ;2 ! ( 2 ) !
n
nzz
n
3 2 1
( 3 ) ( 1 )3 ! ( 2 1 ) !
n
nzzz
n
都绝对收敛，即它们的收敛半径,R
事实上,容易验证,z取任意正实数时,它们均绝对收敛,
例 3.4 讨论级数 和 的收敛性,
1
n
n
z
n
2
1
n
n
z
n
解 级数 在 点收敛,但在
1
n
n
z
n
1z 1z?
经过较为复杂的讨论可知,当 时,1,1zz
级数 都收敛,
1
n
n
z
n
1
n
n
z
n
1.R?因此级数 的收敛半径点,级数 发散,
1
n
n
z
n
显然,级数 在 上处处绝对收敛,2
1
n
n
z
n
1z?
但当 时,1 ( 0 )z
( 1 )l i m,n
n n
因此当 时,级数 发散,1z 2
1
n
n
z
n
因为 是任意的,故当 时,级数0 1z?
2
1
n
n
z
n
处处发散,1.R?所以,收敛半径为收敛半径的计算方法 (一 )
(3) 当 时,收敛半径,1R0
1l i m,n
n
n
c
c?
;R(1) 当 时,收敛半径0
0;R?(2) 当 时,收敛半径
定理 3.7 (比值法 ) 设级数 如果
0
.nn
n
cz
则收敛半径的计算方法 (二 )
(3) 当 时,收敛半径,1R0
li m,n nn c;R(1) 当 时,收敛半径0
0;R?(2) 当 时,收敛半径
定理 3.8 (根值法 ) 设级数 如果
0
.nn
n
cz
则
1lim lim 1,
1
p
n
nn
n
c n
cn?
练习 求幂级数?
1n
p
n
n
z 的收敛半径,其中
p为正整数,
解 因为 所以1n pc n?,
于是收敛半径 1 1.R
由于幂级数在收敛圆的内部绝对收敛，因此可得出下面几个定理,
定理 3.9 (1) 设级数 和 的收敛
0
n
n
n
az
0
n
n
n
bz
半径分别为 和1R 2,R 则在 内,12mi n(,)z R R R
0 0 0
( ),n n nn n n n
n n n
a b z a z b z
0 1 1 0
0 0 0
.n n nn n n n n
n n n
a z b z a b a b a b z
3.2.3 幂级数的性质
(2) 设级数 的收敛半径为 r.
0
() nn
n
f z c z
如果在 内,函数 解析,并且Rz? )(zg,)( rzg?
则当 时,Rz?
0
[ ( ) ] [ ( ) ],nn
n
f g z c g z
说明,上述运算常应用于将函数展开成幂级数,
前面关于级数 的性质,如果将 换成
0
n
n
n
cz
z
0zz? 之后,对于级数 当然也成立,0
0
() nn
n
c z z
例 3.5 把函数 表示成形如bz?1?
0
)(
n
n
n azc
的幂级数,其中 a与 b是不相等的复常数,
bz 1 )()( 1 abaz
11
.
1 zaba
ba
代数变形,使其分母中出现 )( az?
凑出 )(1 1 zg?
把函数 写成如下的形式,bz?1解 运行下面的 MATLAB语句,
>> symsz a b;
>> f=1/(z-b);
>> taylor(f,z,4,a)
ans=
1/(a-b)-1/(a-b)^2*(z-a)+1/(a-b)^3*(z-a)^2-
1/(a-b)^4*(z-a)^3
2
1
1.
1
n
z a z a z a
za b a b a b a
ba
2
23
1 1 1 1( ) ( )
( ) ( )z a z az b b a b a b a
1
1 ( ),
()
n
n zaba
当 即 时,1,zaba z a R b a
所以例 3.6 求 的收敛半径与和函数,
1
1)12(
n
nn z
1
1
2 1 1 1( 2 1 ),
1 2 1 ( 1 2 ) ( 1 ) 2
nn
n
zz z z z z
解 因为 所以
1
1 21l i m l i m 2,
21
n
n
nnn
n
c
c
1,
2R?
1 1 1
11
22 2 2,
12
n n n n
nn
zz z
当 时,1
2z?
又因为 从而,1
1
1 1,
1
n
n
zz z
定理 3.10 设幂级数 收敛半径 0
0
() nn
n
c z z
半径为 R,并且在 内,0z z R
0
0
( ) ( ),nn
n
f z c z z
则 是 内的解析函数,且在收敛圆()fz 0z z R
0z z R内,可以逐项求导和逐项积分,即
(1) 当 时,0z z R 10
1
( ) ;nn
n
f z n c z z
(2) 设 C是 内的一条分段光滑曲线,0z z R
则
0
0
( ) d d,nn
cc n
f z z c z z z
特别地,如果 C是圆内部的以 0为起点,z为终点的分段光滑曲线,则
0
1
0
0
( ) d,1z nn
z n
cf z z z z
n
例 3.7 求 的收敛半径与和函数,?
0
)1(
n
nzn
利用逐项积分得
1
000 0 0
( 1 ) d ( 1 ) d,1zz n n n
n n n
zn z z n z z z
z
所以
2
0
1( 1 ) 1,
1 ( 1 )
n
n
zn z z
zz
解 因为 所以 1
2li m li m 1,
1
n
nn n
c n
cn
1.R?
1 Taylor级数展开定理
2 将函数展开成 Taylor级数
3 函数的零点
§ 3.3 Taylor级数实函数在一点的邻域内展开成 Taylor级数是非常重要的问题，它是表示函数、研 究函数性质以及进行数值计算的一种工具,
对于复变函数,我们已经知道幂级数在收敛圆域内收敛于解析函数,在本节我们将证明解析函数在解析点的某邻域内一定能够展开成幂级数
— Taylor级数,这是解析函数的重要特征,
3.3.1 Taylor级数展开定理为了证明 Taylor展开定理,我们首先介绍下面一个关于逐项积分的引理,
引理 设 都是在分段光滑( ) 0,1,2,nf z n?
(或可求长 )曲线 C上的连续函数,且级数
0
()n
n
fz
在 C上收敛于函数 ( ).fz 如果存在一个收敛的正项级数
0
,n
n
M
使得在 C上,( ) ( 0,1,2,),nnf z M n
则 是 C上的连续函数,且()fz
0
( ) d ( ) d,n
CC n
f z z f z z
0
li m ( ) d ( ) d 0,
n
kCCn
k
f z z f z z
事实上,利用证明 证明 在 C上连续比较复杂,我们()fz
这里只证明估值 不等式设曲线 C 的长度为 L,函数 f ( z )在 C 上满足
( ) d ( ) d,CCf z z f z s M L( ),f z M?则估值不等式
0
( ) d ( ) d
n
kCC
k
f z z f z z
00
( ) d ( ) d
n
kkCC
kk
f z z f z z
11
( ) d ( ) dkk
CCk n k n
f z z f z s
11
( ) d dkk
CCk n k n
f z s M s
1
0 ( ),k
kn
L M n
其中 L是曲线 C的弧长,
1
k
kn
M
是收敛的常数项级数 的余项,
0
n
n
M
R为 到 D边界的距离0z
定理 3.11 (Taylor展开定理 ) 设 在区域 D)(zf
内解析,0z 为 D内的一点,
,)()(
0
0?
n
n
n zzczf
0,1,2,.n?
D
0z
.
R
(D是全平面时,R=+?),则 在 内可0z z R()fz
可展开为幂级数其中 () 01 ()! nnc f zn?
系数 cn按上述表示的幂级数称为
()fz在 点的 Taylor级数,0z
1 ( )( ) d,
2 C
ffz
iz
D
z.r
0z
.
C.
R
证明 对 内任意一点 z,0z z R 存在 r>0,
使得 并且,rR? 0,z z r以 z0为圆心,r为半径
0:.C z r作正向圆周
Cauchy 积分公式
C zzz zfizf,d)(π2 1)( 00
定理 2.5 设 f ( z ) 是单连通区域 D 上的解析函数,
z 0 是 D 内的一个点,C 是任意一条含 z 0 在内部区域的分段光滑 ( 或可求长 ) Jo rdan 曲线,则由因为当 时,C
00,z z z r
于是类似于 例 3.5 把函数 表示成形如bz?10 )(n nn azc
的幂级数,其中 a与 b是不相等的复常数,
解 把函数 写成如下的形式,bz?1?
bz1 )()( 1 abaz 11.1 zaba ba
代数变形,使其分母中出现 )( az?
凑出 )(1 1zg?
0 0 0 0
0
1 1 1 1
( ) ( )
1
z z z z z zz
z
01
0 0
1 ( ),
()
n
n
n
zzz?
01
0 0
1 ( )( ) ( ) d,
2 ( )
n
n
nc
ff z z z
iz
从而下面证明积分号下的级数可在 C上逐项积分,
因为 是 D上的解析函数,所以 在 C()fz ()fz
上有界,即存在 使得当 时,0,M? C ( ),fM
因此,在 上,0:C z r
0
01
0 0 0
()() ()
2 ( ) 2
n
n
n
f zzf zz
i z z z
0,
22
n
nzzMM q
r r r
其中,0 1.
zzq
r
前面积分号下的级数可在 C上逐项积分,
记 则由,,2 nn MMqr 引理 设 都是在分段光滑( ) 0,1,2,nf z n?
(或可求长 )曲线 C上的连续函数,且级数 0 ()nn fz
在 C上收敛于函数 ().fz
使得在 C上,( ) ( 0,1,2,),nnf z M n
则 是 C上的连续函数,且()fz
0( )d ( )d,nCCnf z z f z z
如果存在一个收敛的正项级数 0,nn M
再根据
() 0 10! ( )( ) d2 π ()n nCn f zf z zi z z
定理 2.6 设函数 f ( z ) 在单连通区域 D 上的解析,
C 是 D 内分段光滑 ( 或可求长 ) 的 Jo rdan 曲线,z 0 在
C 的内部区域,则 f ( z ) 在 z 0 处存在各阶导数,并且
( 1,2,3,),n? 其中 C 取正向,
Cauchy 导数公式
01
0 0
1 ( )( ) ( ) d
2 ( )
n
n
nc
ff z z z
iz
01
0 0
1 ( ) d ( )
2 ( )
n
n
n c
f zz
iz
()
0
0
0
() ( ),
!
n
n
n
fz zz
n
定理 3.11给出了函数在 z0点的邻域内展开成
Taylor级数的公式,同时给出了展开式的收敛半径 R=|z0-?|,其中?是离 z0最近的 f (z)的奇点,
Taylor展开式的惟一性定理定理 3.12 设 ()fz是 D上的解析函数,0z 是
D内的点，且在 0z z R内可展成幂级数
0
0
( ) ( ),nn
n
f z c z z
则这个幂级数是 ()fz在 0z 点的 Taylor级数，即
()
0() ( 0,1,2,),
!
n
n
fzcn
n
注 这个定理为把函数展开成 Taylor级数的间接方法奠定了基础,
证明 因为在 0z z R内,0
0
() nn
n
c z z
绝对收敛,取 10,r r R则由 1
0
n
n
n
cr
收敛，
得 1l i m 0,nnn cr于是1nncr? 有界,即存在 0,M?
使得 1 ( 0,1,2,),nnc r M n则
1
11
,
nn
n n n
nn
rrc r c r M M q
rr
其中
1
1,rq r所以
0
n
n
Mq
是收敛的正项级数,
则由,引理 设 都是在分段光滑( ) 0,1,2,nf z n?
(或可求长 )曲线 C上的连续函数,且级数 0 ()nn fz
在 C上收敛于函数 ().fz
使得在 C上,( ) ( 0,1,2,),nnf z M n
则 是 C上的连续函数,且()fz
0( )d ( )d,nCCnf z z f z z
如果存在一个收敛的正项级数 0,nn M
级数 0
0
() nn
n
c z z
在
0z z r上可以逐项积分,又因为
1
01
00
() ( ) ( 0,1,2,),
2 ( ) 2
nmn
m
n
cfz z z n
i z z i
将上式在 0:C z z r上逐项积分,利用
0 10
2,0,1 d() 0,0,nz z r inzzz n例 2.2.
积分值与圆周的中心、半径无关,以及
() 0 10! ( )( ) d 1,2,3,,2 ( )n nCn f zf z z ni z z
高阶导数公式,
定理 2.6 设函数 f ( z ) 在单连通区域 D 上的解析,
C 是 D 内分段光滑 ( 或可求长 ) 的 Jo rdan 曲线,z 0 在
C 的内部区域,则 f ( z ) 在 z 0 处存在各阶导数,并且其中 C 取正向,
() ( 0 )
( 0,1,2,),!
m
m
f cm
m
因此,解析函数在一点展开成幂级数的结果惟一,
3.3.2 将函数展开成 Taylor级数将函数展开为 Taylor级数的方法,
1,直接方法 ; 2,间接方法,
1,直接方法
() 01 ( ) 0,1,2,,! nnc f z nn
由 Taylor展开定理计算级数的系数然后将函数 f (z)在 z0 展开成幂级数,
例 3.8 求 () zf z e? 在 0z? 的 Taylor展开式,
( ) ( ) 00( 0 ) ( ) 1,n z n zzzf e e
所以它在 0z? 处的 Taylor级数为
()
00
( 0 )
!!
nn
zn
nn
fzez
nn
2
1,2 ! !
nzz
z n
并且收敛半径,R
因为 () zf z e?在复平面上解析，且解 运行下面的 MATLAB语句,
>> symsz;
>> f=exp(z);
>> taylor(f,z,8) % 这里 8是展开的项数
ans=
1+z+1/2*z^2+1/6*z^3+1/24*z^4+1/120*z^5+1/720
*z^6+1/5040*z^7
>> taylor(f,z) % 展开的默认值是 6项
ans=
1+z+1/2*z^2+1/6*z^3+1/24*z^4+1/120*z^5
2,间接方法借助于一些已知函数的展开式,结合解析函数的性质,幂级数运算性质 (逐项求导,逐项积分等 )和其它的数学技巧 (代换等 ),求函数的
Taylor展开式,
间接法的优点,
不需要求各阶导数与收敛半径,因而比直接展开更为简洁,使用范围也更为广泛,
例 3.9 利用
00
1 1 1c o s ( ) ( ),
2 2 ! !
i z i z
nn
nn
eez iz iz
nn
2 2 4 2
0
( 1 )c o s 1 ( 1 ),
( 2 ) ! 2 ! 4 ! ( 2 ) !
n n n
n
n
z z z zz
nn
并且收敛半径,R同理
21
0
( 1 )s in
( 2 1 ) !
nn
n
zz
n
3 5 2 1( 1 ),3 ! 5 ! ( 2 1 ) !nnz z zzz n
本例利用直接方法也很简单以及
2
0 1,! 2 ! !
nnz
n z z ze z z
例 3.8 可 得定理 3.9 (1) 设级数 和 的收敛0 nnn az 0 nnn bz半径分别为 和1R 2,R 则在 内,
0 0 0( ),n n nn n n nn n na b z a z b z0 1 1 00 0 0,n n nn n n n nn n na z b z a b a b a b z
(2 ) 设级数 的收敛半径为 r.0() nnnf z c z如果在 内,函数 解析,并且Rz? )(zg,)( rzg?
则当 时,Rz? 0[ ( ) ] [ ( ) ],nnnf g z c g z
和 解 运行下面的 MATLAB语句,
>> symsz;
>> f=sin(z);g=cos(z);
>> taylor(f)
ans=
z-1/6*z^3+1/120*z^5
>> taylor(g)
ans=
1-1/2*z^2+1/24*z^4
21 1 ( 1 ) 1,1 nnz z z zz
例 3.10 求 21() ( 1 )fz z在 0z? 点邻域内的 Taylor级数,
解 1 1z是 ()fz的惟一奇点,且 1 0 1,z
故收敛半径 1.R? 在 中，用 z替换 -z,则例 3.2
11 1,1 nn zzz
逐项求导，得
221 1 2 3 ( 1 ) ( 1 ) 1,( 1 ) nnz z n z zz
例 3.11 将 22
1()
1
fz
z
展开为 z的幂级数,
2
0
1 ( 1 ) ( 1 ) 1,
( 1 )
nn
n
n
令 则2,z
2
22
0
1 ( 1 ) ( 1 )
( 1 )
nn
n
nzz
2 4 21 2 3 ( 1 ) ( 1 ) 1,nnz z n z z
根据例 3.10，解 运行下面的 MATLAB语句,
>> symsz;
>> f=1/(1+z^2)^2;
>> taylor(f,z)
ans=
1-2*z^2+3*z^4
例 3.12 求对数函数的主值 ln (1 )z? 在 z=0点的 Taylor级数,
负实轴向左的射线的区域内解析,
1?R
o1? 1 x
y
因为
1ln( 1 ),1z z
并且由 有例 3.2
11 1,1 nn zzz
21 1 ( 1 ) 1,
1
nnz z z z
z
函数 ln (1 )z? 在复平面中割去从点 -1沿解 运行下面的 MATLAB语句,
>> symsz;
>> f=log(1+z);
>> taylor(f)
ans=
z-1/2*z^2+1/3*z^3-1/4*z^4+1/5*z^5
所以
ln (1 )z
根据,把上式逐项积分，得定理 3.1 0 设幂级数 收敛半径 00 ()nnn c z z
半径为 R,并且在 内,0z z R
00( ) ( ),nnnf z c z z
则 是 内的解析函数,且在收敛圆()fz 0z z R
0z z R内,可以逐项求导和逐项积分,即
(1) 当 时,0z z R 101( ) ;nnnf z n c z z
1
0
( 1 )ln ( 1 )
1
n
n
n
zz n
2 3 1( 1 ) 1,23 n nzzz z zn
21 ( 1 ) 1,nnz z z z
1?R
o1? 1 x
y
例 3.13 求幂函数 (1 )z (?为复数 )的主值
l n ( 1 )( ),( 0 ) 1zf z e f
在 z=0点的 Taylor展开式,
实轴向左的射线的区域内解析,
1?R
o1? 1 x
y
因此在 内,1z?
可展开为 z的幂级数,()fz
根据复合函数求导法则,
按照直接方法展开如下,
显然,()fz在复平面中割去从点 -1沿负解 运行下面的 MATLAB语句,
>> symsz a;
>> f=(1+z)^a;
>> taylor(f,z,4)
ans=
1+a*z+1/2*a*(a-1)*z^2+1/6*a*(a-1)*(a-2)*z^3
l n ( 1 ) ( 1 ) l n ( 1 )1( ),
1
zzf z e e
z
( 2 ) l n ( 1 )( ) ( 1 ),zf z e
( ) ( ) l n ( 1 )( ) ( 1 ) ( 1 ),n n zf z n e
令 z=0,有
( 0 ) 1,( 0 ),( 0 ) ( 1 ),,f f f
() ( 0 ) ( 1 ) ( 1 ),nfn
于是
(1 )z
( 1 ) ( 1 )
!
nn z
n
23( 1 ) ( 1 ) ( 2 )1
2 ! 3 !z z z
1.z?
1 1 1 1( ) 1 1 1,
11 1 ( 1 ) 2 2 1
2
zfz
zz z z
例 3.14 将函数 () 1zfz z在 0 1z? 处展开成 Taylor级数，并指出该级数的收敛范围,
1
00
1 1 ( 1 )( ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 ),
2 2 2
n n
nn
n
nn
zzfz
当 即 时,1 1,2z 12z
解 运行下面的 MATLAB语句,
>> symsz;
>> f=z/(z+1);
>> taylor(f,z,4,1) % 在 z=1处展开 4项
ans=
1/4+1/4*z-1/8*(z-1)^2+1/16*(z-1)^3
附,常见函数的 Taylor展开式
2
0
( 1 ) 1,2 ! ! !
nn
z
n
z z zez
nn
2
0
1( 2 ) 1,
1
nn
n
z z z zz
2
0
1( 3 ) 1 ( 1 ) ( 1 ),
1
n n n n
n
z z z zz
3 5 2 1
( 4 ) sin ( 1 ),3 ! 5 ! ( 2 1 ) !
n
nz z zzz
n
)1(?z
)1(?z
)(z
)(z
2 4 2
( 5 ) c o s 1 ( 1 ),2 ! 4 ! ( 2 ) !
n
nz z zz
n
)(z
2 3 1
( 6 ) l n ( 1 ) ( 1 ),2 3 1
n
nz z zzz
n
0
1
1)1(n
n
n
n
z
)1(?z
23( 1 ) ( 1 ) ( 2 )( 7 ) ( 1 ) 1
2 ! 3 !z z z z
,! )1()1( nzn n )1(?z
3.3.3 函数的零点定义 3.4 设函数 f (z)在区域 D内的一点 z0的值为零，则称 z0为函数 f (z)的 零点,
定义 3.5 如果函数 f (z)在其零点 z0的某个邻域
00(,) B z z z z内解析，并且在该邻域内没有其他零点,则称 z0为 f (z)的 孤立零点,
在本段中,我们将介绍解析函数的零点概念,并证明零点的孤立性以及解析函数的惟一性定理,
定义 3.6 如果解析函数 f (z)在点 z0的邻域内可以表示为
0( ) ( ) ( ),mf z z z z
其中 ()z? 在点 z0解析,且 0( ) 0,1,zm则称 z0
为 f (z)的 m级零点,
设 z0是函数 f (z)的孤立零点,那么根据 f (z)在
z0点的 Taylor展开式可知,存在正整数 m,使得
0( ) ( ) ( ),mf z z z z
其中 ()z? 在点 z0解析,且 0( ) 0,z
定理 3.13 不恒为零的解析函数的零点必是孤立零点,
证明 设 z0为函数 f (z)的 m级零点,于是存在
z0的一个邻域 01(,),Bz? 使得当 时,01(,)z B z
0( ) ( ) ( ),mf z z z z
其中 ()z? 在点 z0解析,且 0( ) 0,z
从而 ()z? 在点 z0处连续,并且根据 可知,例 1.8 设复变函数 f (z)在点 z0 连续，并且
f (z0)?0,则存在 z0的某个邻域，使 f (z)在此邻域内恒不为 0,
存在 z0的邻域 02(,),Bz? 使得在 内,函数02(,)Bz?
恒不为零，所以 f (z)在邻域()z?
0 1 2(,) min(,)Bz
内，除 z0外无其他零点，即 z0是 f (z)的孤立零点,
这是 解析函数 又一个
() 0 10! ( )( ) d2 π ()n nCn f zf z zi z z
高阶导数公式
D?0zC
定理 2.6 设函数 f (z)在单连通区域 D上的解析,
C是 D内分段光滑 (或可求长 )的 Jordan曲线,z0 在
C的内部区域,则 f (z)在 z0处存在各阶导数,并且
( 1,2,3,),n?
其中 C取正向,
解析函数的 特性,对于实可微函数,其零点不一定是孤立的，例如函数 2 1sin,0
()
0,0
xx
fx x
x
在零点 x=0处可微，但是1 1,2,nxnn
也是 f (z)的零点，且 lim 0,nn x
推论 3.2 设 f (z)在区域 D内解析,nz 是 f (z)
在 D内的一列互异的零点,如果 0l i m,nn z z D则
f (z)在 D内恒为零,
推论 3.3(解析函数的惟一性定理 ) 设函数 f (z)
与 g(z)在区域 D内解析,nz 是 D内互异的点列,且
0l i m,nn z z D如果对一切 n,都有 ( ) ( ),nnf z g z?
则在 D内恒有 ( ) ( ),f z g z?
证明 设 ( ) ( ),F z f z g z则 F(z)在 D内解析,
因为 对一切 n,有 ( ) 0,nFz?即 是 F(z)在 D内的一nz
列互异的零点,于是由推论 3.2知 F(z)在 D内恒为零,
这是 解析函数 又一个非常重要的 特性,定义在区域 D内的两个解析函数，只要在 D内的某一部分
(子区域或孤段 )上的值相等，则它们在整个区域 D
上的值相等,对于实可微函数而言,不具有这样的性质,
m 级零点的判别方法证明 (必要性 ) 0z如果 为 的 m级零点,)(zf
( ) ( )00( ) 0,( 0,1,2,1 ) ; ( ) 0,nmf z n m f z
定理 3.14 不恒为零的解析函数 f (z)以 z0为 m级零点的充分必要条件是则存在 0z 的一个? 邻域 0(,),Bz? 使得在该邻域内
0( ) ( ) ( ),mf z z z z
其中 解析,()z? 0( ) 0,z设 在()z? 0(,)Bz?中展开成 Taylor级数为
0
00
()( ) ( ) ( )
1!
zz z z z
() 0 00() ( ),!n nz z z z zn
那么
0( ) ( ) ( )mf z z z z
10
0 0 0
()( ) ( ) ( )
1!
mm zz z z z z
() 0 00() ( ),!n mnz z z z zn
根据,这就是 f (z)在Tayl or 展开式的惟一性定理定理 3.1 2 设 ()fz 是 D 上的解析函数,0z 是
D 内的点，且在 0z z R 内可展成幂级数
00( ) ( ),nnnf z c z z
则这个幂级数是 ()fz 在 0z 点的 Tayl or 级数，即
() 0() ( 0,1,2,),!nn fzcn n
注 这个定理为把函数展开成 Tayl or 级数的间接方法奠定了基础,
0zz中的 Taylor展开式，由此可见
( 1 )0 0 0( ) ( ) ( ) 0,mf z f z f z
() 00( ) ( ) ! 0,mf z z m
(充分性 ) 因为 f (z)在点 z0解析,由
R 为 到 D 边界的距离0z
定理 3.1 1 ( Tayl or 展开定理 ) 设 在区域 D)(zf
内解析,0z 为 D 内的一点,
,)()( 0 0 n nn zzczf
0,1,2,.n? D
0z,
R
( D 是全平面时,R =+? ),则 在 内可0z z R()fz
可展开为幂级数其中 () 01 ()! nnc f zn?
系数 c n 按上述表示的幂级数称为()fz
在 点的 Tayl or 级数,0z
存在 z0的邻域00(,),B z z z z使得 f (z)在该邻域内可展开成 Taylor级数,由已知条件知,该级数为
( ) ( 1 )
100
00
( ) ( )( ) ( ) ( )
! ( 1 ) !
mm
mmf z f zf z z z z z
( ) ( 1 )
00
00
( ) ( )( ) ( )
! ( 1 ) !
mm
m f z f zz z z z
mm
0,zz
显然方括号内幂级数在 0zz内收敛，设
( ) ( 1 )00 00( ) ( )( ) ( ),! ( 1 ) !mmf z f zz z z z zmm
于是
()z? 在 0zz内解析,且
()
0
0
()( ) 0,
!
mfz
z m
所以 f (z)在 0(,)Bz?内可表示为
0( ) ( ) ( ),mf z z z z
所以由 知,z0是 f (z)的 m级零点,定义 3.6 如果解析函数 f (z)在点 z
0的邻域内可以表示为
0( ) ( ) ( ),mf z z z z
其中 ()z? 在点 z0解析,且 0( ) 0,1,zm则称 z0
为 f (z)的 m级零点,当 m =1 时称为单零点,练习
z=0是 5级零点,答案
225 )1()( zzzf 的零点及级数,求
iz 是 2级零点,
1?z 是 )(zf 的 1级零点,
2
1( 1 ) 3 3 0,zfz所以可见解 (1) 由于例 3.15 求以下函数的零点及级数,
3( 1 ) ( ) 1 ;f z z( 2 ) ( ) 1 c o s,f z z
只有一个零点?
(2) 显然,2 ( 0,1,2,)kz k k是 f (z)
的零点,由于
2( 2 ) 0,( 2 ) s in 0,zkf k f k z
2( 2 ) c o s 1 0,zkf k z
所以 2 ( 0,1,2,)kz k k是 f (z)的 2级零点,
1 1 1( 1 ) 0,;
2 1 2 2ffn n n
例 3.16 是否存在着在原点解析且满足下列
1( 2 ),
1
nf
nn
条件之一的函数 f (z),其中 1,2,3,n?
解 (1) 由于 121n及 12n都以 0为极限，
由,推论 3.3 ( 解析函数的惟一性定理 ) 设函数 f ( z )
与 g ( z ) 在区域 D 内解析,nz 是 D 内互异的点列,且
0l i m,nn z z D如果对一切 n,都有 ( ) ( ),nnf z g z?
则在 D 内恒有 ( ) ( ),f z g z?
()f z z?是在原点解析并满足 1122f nn的唯一函数,但是此函数不满足
1 0,
21f n
因此满足这样两个条件且在原点解析的函数不存在,
(2) 因为 11
,
11
1
n
f
nn
n
由,推论 3.3 ( 解析函数的惟一性定理 ) 设函数 f ( z )
与 g ( z ) 在区域 D 内解析,nz 是 D 内互异的点列,且
0l i m,nn z z D如果对一切 n,都有 ( ) ( ),nnf z g z?
则在 D 内恒有 ( ) ( ),f z g z?
1()
1fz z是满足条件且在原点解析的函数,
1 Laurent级数的概念
2 函数的 Laurent级数展开
3 典型例题
§ 3.4 Laurent级数
3.4.1 Laurent 级数的概念如果函数 f (z)在 z0点解析,则在 z0的某邻域内,可展开为 Taylor级数,其各项由 z-z0的非负幂组成,如果
f (z)在圆环域 1 0 2R z z R内解析,则 f (z)在这个圆环域内不一定都能展开为 z-z0的幂级数,
本节将引进一种在 圆环域收敛的双边幂级数,
即 Laurent级数,它将在后面讨论孤立奇点与留数及 Z变换理论中起重要作用,
0( ),
n
n
n
c z z
负幂项部分 正幂项部分主要部分 解析部分
n
n
n
n zzc )( 0
n
n
n zzc
)( 0
1
这种双边幂级数的形式为同时收敛
Laurent级数
n
n
n zzc )( 0
0
收敛
n
n
n zzc )( 0
0
n
n
n zzc
)( 0
1
10 )( zz?令 n
n
nc
1
收敛半径 R
收敛时,R
10
1 R
Rzz
收敛域收敛半径 R2
20 Rzz
收敛域
:)1( 21 RR?若 两收敛域无公共部分,
:)2( 21 RR?两收敛域有公共部分,201 RzzR
结论,的收敛区域为双边幂级数 n
n
n zzc )( 0
.201 RzzR圆环域
1R
2R
,0z
常见的特殊圆环域,
2R
,0z
200 Rzz
1R,0z
01 zzR 00 zz
,0z
(1) 幂级数的收敛 域 是圆域,且和函数在 收敛 域内解析,
(2) 在圆域内的解析函数一定能展开成幂级数,
对于 Laurent级数，已经知道：
Laurent级数的收敛 域 是圆环域，且和函数在圆环域内解析,
问题,在圆环域内解析的函数是否可以展开成 Laurent级数?
对于通常的幂级数，讨论了下面两个问题,
3.4.2 函数的 Laurent 级数展开定理 3.15(Laurent展开定理 ) 设 120,RR
函数 f (z)在圆环域 1 0 2R z z R内解析,则函数 f (z)
在此环域内可展开为 Laurent级数
0 1 0 2( ) ( ),nn
n
f z c z z R z z R
其中 1
0
1 ( ) d ( 0,1,2,),
2 ( )n nC
fzc z n
i z zC是圆周 的正向,0 1 2 ( )z z R R R R
证明
0zR
r
2R
.z
1K
2K
1R.
.?
设 z在圆环域 内,1 0 2R z z R取正数 r和 R,使得 1 0 2,R r z z R R作圆周
10:K z z r20:.K z z R和
1 ( )( ) d
2 K
ffz
iz
21
1 ( ) 1 ( )d d,
22KK
ff
i z i z
当? 在 K2上变化时，
00,z z z
根据 Cauchy 积分公式
C zzz zfizf,d)(π2 1)( 00
定理 2.5 设 f ( z ) 是单连通区域 D 上的解析函数,
z 0 是 D 内的一个点,C 是任意一条含 z 0 在内部区域的分段光滑 ( 或可求长 ) Jo rdan 曲线,则复合闭路定理
D C 1C 2C 3C
都在 C 的内部,它们互不包含也 互不相交,并且以定理 2.4 设 12,,,,nC C C C是多连通区域 D 内是 D 上的解析函数,那么
1( ) d ( ) d,knCC kf z z f z z其中 C 和 C
k (1? k? n ) 取正向,
若 f ( z )
分段光滑 ( 或可求长 ) Jo rdan 曲线,都12,,,nC C C
为边界的闭区域含于 D 内,12,,,,nC C C C
和
:Kz
于是 00
0
1,zzzz zR 所以
00 0 0
0
1 1 1 1
( ) ( ) 1 zzz z z z z
z
01
0 0
1 ( ),
()
n
n
n
zzz?
0zR
r
2R
.z
1K
2K
1R.
.?
与 的证明方法相同,
R 为 到 D 边界的距离0z
定理 3.1 1 (Tayl or 展开定理 ) 设 在区域 D)(zf
内解析,0z 为 D 内的一点,
,)()( 0 0 n nn zzczf
0,1,2,.n? D
0z,
R
(D 是全平面时,R =+? ),则 在 内可0z z R()fz
可展开为幂级数其中 () 01 ()! nnc f zn?
系数 c n按上述表示的幂级数称为()fz
在 点的 Tayl or 级数,0z
2
0
1
0 0
( ) ( ) d
()
n
n
nK
f z z
z
可以逐项积分,
0zR
r
2R
.z
1K
2K
1R.
.?
当? 在 K1上变化时,0
00
1,z rz z z z类似有
01
0 0
11 ()
()
n
n
n
zz z z
01
1 0
1 ( ),
()
n
n
n
zzz?
因为 f (?)在 K1上有界,即存在
0,M 使得 K1时,
( ),fM
所以 0 1
00
( ) ( ),
()
nn
n
n
f z z M r M q
z r z z r
其中
0zR
r
2R
.z
1K
2K
1R.
.?
0
1.rq zz 由于
0
n
n
M q
r
是收敛的正项级数，
根据,引理 设 都是在分段光滑( ) 0,1,2,nf z n?
(或可求长 )曲线 C上的连续函数,且级数 0 ()nn fz
在 C上收敛于函数 ().fz
使得在 C上,( ) ( 0,1,2,),nnf z M n
则 是 C上的连续函数,且()fz
0( )d ( )d,nCCnf z z f z z
如果存在一个收敛的正项级数 0,nn M
1
01
1 0
() ( ) d
()
n
n
nK
f zz
z
可以逐项积分,
根据,复合闭路定理
D C 1C 2C 3C
都在 C 的内部,它们互不包含也 互不相交,并且以定理 2.4 设 12,,,,nC C C C是多连通区域 D 内是 D 上的解析函数,那么
1( ) d ( ) d,knCC kf z z f z z其中 C 和 C
k (1? k? n ) 取正向,
若 f ( z )
分段光滑 ( 或可求长 ) Jo rdan 曲线,都12,,,nC C C
为边界的闭区域含于 D 内,12,,,,nC C C C
12
1 1 1
0 0 0
( ) ( ) ( )d d d
( ) ( ) ( )n n nK K C
f f f
z z z
0,1,2,.n
因此，
2
01
0 0
1 ( )( ) ( )
2 ( )
n
n
n K
ff z d z z
iz
1
01
1 0
1 ( ) ()
2 ( )
n
n
n K
f d z z
iz
0 0 0
01
( ) ( ) ( ),n n nn n n
n n n
c z z c z z c z z
注 函数 f (z)展开成 Laurent级数的系数
1
0
1 ( ) d
2 ( )n nC
fzc
i z z
与展开成 Taylor级数的系数在形式上完全相同,但这里的函数 f (z)在圆环域 1 0 2R z z R内解析,在
0z z R内不一定解析,所以不能化为 z0处的导数
()
0
1 ( ).
!
nfz
n 特别地,如果 函数 f (z)在 02z z R内解析,那么根据,定理 2.3 ( Cau chy 积分定理 ) 设 f ( z ) 是单连
D C 说明,该定理的主要部分是Cau chy 于 1825 年建立的,
它是复变函数理论的基础,
通区域 D 上的解析函数，则对 D 内的任何可求长 Jo rdan 曲线 C,都有 ( ) d 0,
C f z z
0 1,2,,ncn
所以 Laurent级数包含了 Taylor级数,
Laurent展开式的惟一性定理定理 3.16 设函数 f (z)在圆环域 1 0 2R z z R
内解析,并且可以展开成双边幂级数
0( ),
n
n
n
c z z
则 其中 C 1
0
1 ( ) d ( 0,1,2,),
2 ( )n nC
fzc z n
i z z
的正向,0 1 2 ( )z z R R R R是圆周注 函数在圆环域内 Laurent展开式是惟一的,因此为函数展开成 Laurent级数的间接方法奠定了基础,
证明 利用证明 的Tayl or 展开式惟一性定理定理 3.1 2 设 ()fz 是 D 上的解析函数,0z 是
D 内的点，且在 0z z R 内可展成幂级数
00( ) ( ),nnnf z c z z
则这个幂级数是 ()fz 在 0z 点的 Tayl or 级数，即
() 0() ( 0,1,2,),!nn fzcn n
注 这个定理为把函数展开成 Tayl or 级数的间接方法奠定了基础,
方法,可以证明双边幂级数也可以在 C上逐项积分,设
0()
n
n
n
c z z
是函数 f (z)在 1 0 2R z z R内的双边幂级数展开式，则在 0 1 2,( )C z z R R R R上,
1
01
0
( ) 1 ()
2 ( ) 2
nm
nm
n
fz c z z
i z z i
0,1,2,.m
于是在 C上取积分得
1
01
0
1 ( ) 1d ( ) d
2 ( ) 2
nm
mn m
nCC
fzc z c z z z
i z z i
1
0
1 ( ) d ( 0,1,2,),
2
nm
n
n C
c z z z mi?
1
0
2,( ) d
0,
nm
C
i n mz z z
nm
根据
0 10
2,0,1 d() 0,0,nz z r inzzz n例 2.2.
积分值与圆周的中心、半径无关,
所以 0,1,2,.mmc c m
将函数在圆环域内展开成 Laurent级数,理论
(1) 直接方法 直接 计算展开式系数然后写出 Laurent展开式,)()( 0 n
n
n zzczf
这种方法只有理论意义,而没有实用价值,就是上应该有两种方法,直接方法与间接方法,
1
0
1 ( ) d ( 0,1,2,),
2 ( )n nC
fzc z n
i z z
说,只有在进行理论推导时,才使用这种表示方法,
根据解析函数 Laurent 级数展开式的惟一性,
可运用代数运算、代换、求导和积分等方法去将函数展开成 Laurent 级数,
(2) 间接方法这是将函数展开成 Laurent 级数的 常用方法,
给定函数 )(zf 与复平面内的一点 0z 以后,函数在各个不同的圆环域中有不同的 Laurent展开式
(包括 Taylor展开式作为特例 ),这与 Laurent展开式的惟一性并不矛盾,在同一圆环域内的展开式惟一,
( 1 ) 0 1 ;z( 2 ) 1 2 ;z
( 3 ) 2 ;z
内展开成 Laurent级数,
例 3.17 将函数 1 ( ) ( 1 ) ( 2 )fz zz在圆环域
( 4 ) 0 1 1z
处都解析,并且可分解为
11( ),
12fz zz
3.4.3 典型例题函数 f (z)在 z=1和 z=2处不解析,在其它点解 运行下面的 MATLAB语句,
>> clear
>> symsz;
>> f=1/((z-1)*(z-2));
>> [n,d]=numden(f); % 表示分子和分母
>> expand(d) % 展开分母
ans=
z^2-3*z+2
>> P=[1];Q=[1,-3,2]; % 按系数输入分子和分母
>> [R,p]=residue(P,Q) % 将函数展开成部分分式
o x
y
1
(1) 在 内,有 则1z? 1,2z?
21 1,
1
nz z z
z 2
2 3 1
1 1 1 1
.
2 2 2 2 21
2
n
n
z z z
zzz
2
2
23
1( ) ( 1 )
2 2 2
zzf z z z
21 3 7,
2 4 8zz
于是在 内，01z
1 2o x
y
z
zz 11
11
1
1
21 1 11,z z z
1?z 1 1,z?
2?z 1.2
z?
2
1
1
2
1
2
1
zz
2
2
1 1.
2 2 2 2
n
n
z z z
(2) 在 内,有12z
2
22
1 1 1 1 ( ) 1 1
2 2 2
zzfz
z z z
2o x
y
2?z 1 1,z?
于是在 内,12z
1 2 1
1 1 1 1,
22
n
n n n
zz
z z z z
(3) 在 内,有2z?
2?z 2 1.z?
23
1 1 1 1 1 1
,1
1 1z z z z z
z
2
1 1 1 1 2 4
1.
22
1z z z z z
z
于是在 内,2 z
2 3 2 3
1 2 4 1 1 1()fz
z z z z z z
2 3 4
1 3 7,
zzz
2o x
y
.1
(4) 由 知,0 1 1z
0 1,z? 展开的级数形式应为
( 1 ),nn
n
cz
1 1 1 1 1()
( 1 ) ( 2 ) 2 1 1 1 1fz z z z z z z
0
1 1 1( 1 ),
1 ( 1 ) 1 1
n
n
zz z z
所以在 内,0 1 1z
例 3.18 将函数 21() ( 2 ) ( 3 )fz zz在区域
0 2 1z内展开成 Laurent级数,
解 因为在 0 2 1z内展开,所以 0 2,z?
展开的级数形式应为 ( 2 ),nn
n
cz
因为
1 1 1
3 ( 2 ) 1 1 ( 2 )z z z
0
( 2 ) 2 1,n
n
zz
2
0
11 ( 2 )
( 3 ) 3
n
n
z
zz
11 2 ( 2) ( 2) 2 1,nz n z z
所以在 内,0 2 1z
2
1()
( 2 ) ( 3 )fz zz
11 1 2 ( 2 ) ( 2 )
2
nz n z
z
2
1
( 2 ),n
n
nz
例 3.19 将
1
2 zf z z e?在 0 z内展开为 Laurent级数,
解 除 z=0点之外,f (z)在复平面内处处解析,
对任何复数?,
2
1,2 ! !
n
e n
于是在 内,0 z
1 2
2 2 1( ) 1
2 ! !
n
z zzf z z e z z
n
1
2 1,
2 ! 3 ! !
nzz
zz n
内展开成 Laurent级数,
( 1 ) 1 2 ;z( 2 ) 0 2 5z
解 212( ),21fz zz
2
2
22
1 2 1 1 2 1
()
11 2 1
2 1 1 1
22
fz
zz z
z
zz
例 3.20 将
2
2
25()
( 2 ) ( 1 )
zzfz
zz
在圆环域
(1) 当 时,12z
n
n
n
n
n
zz
z?
2
0
2
0
1)1(2
22
1
.2)1(2
0
1
1
2
1
n
n
n
n
n
n z
z
1
2
2
1)(
2 zzzf
iziziz
11
2
1
1 1 1
2 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )iz z i z i
(2) 在 内,0 2 5z
i
z
i
i
z
i
i
z
2
2
1)2(
1
2
2
1)2(
1
2
1
0 0 2
2)1(
2
1
2
2)1(
2
1
2
1
n n
n
n
n
n
i
z
ii
z
i
i
z
11
1
0
1 ( 2 )( 1 ) ( 2 ) ( 2 ),
25
n
n n n
n
n
zi i i
z
11
0 )2(
1
)2(
1)2()1(
2
1
nn
n
n
n
iiziz
§ 3.5 调和函数
1 调和函数的概念
2 解析函数与调和函数的关系
3.5.1 调和函数的概念如果二元函数? (x,y)在区域 D内存在二阶连续偏导数,且满足二阶偏微分方程 (Laplace 方程 )
22
22 0,xy
则称? (x,y)是区域 D内的调和函数,
工程中的许多问题,如平面上的稳定温度场、
静电场和稳定流场等都满足 Laplace方程,
下面简单推导平面稳定温度场中温度函数是一个调和函数,
设所考虑物质的导热性能在某一区域 D内是均匀的各向同性的，导热系数是常数，且 D内没有热源,这样，在 D内就形成一个稳定的温度场,
记 T(x,y)表示其温度分布函数，在 D内任取一条其内部属于 D的简单闭曲线 C,以 s 表示其内部,根据物理学中的 Fourier定律，在单位时间内,通过 C
上一个小弧段 ds自 C 的内部 s 流出的热量是
d,Tksn
其中 n表示外法线方向,因此,
通过整个曲线 C 流出的热量是
d c o s (,) c o s (,) d
CC
T T Tk s k n x n y s
n x y
22
22 d d,
TTk x y
xys
x
y
D
nC
s
ds
热源存在，所以应有
22
22 d d 0.
TT xy
xys
由于 C 的任意性，有
22
22 0,
TT
xy
即温度分布函数是一个调和函数,
因为 s 内各点的温度不随时间改变,并且没有
3.5.2 解析函数与调和函数的关系
.,xvyuyvxu
由于解析函数的导数仍是解析函数,因此 u(x,y)和定理 3.17 设 ( ) (,) (,)f z u x y iv x y是区域
D内的解析函数，则 u(x,y)和 v(x,y)都是区域 D内的调和函数,
证明 因为 f (z)在 D内解析,所以满足 Cauchy-
Riemann条件
v(x,y)存在各阶连续偏导数,将
,u v u vx y y x
分别对 x和 y求导，则
2
2,
uv
x x y
2
2,
uv
y y x
当混合偏导数连续时，求导次序可以交换,因此，
22
22 0,
uu
xy
即 u(x,y)是调和函数,同理可证 v(x,y)也是调和函数,
如果任给区域 D内两个 调和函数 u(x,y)和 v(x,y),
那么 u(x,y)+iv(x,y)在 D内 是否为解析函数?
考虑 和 22( ) 2f z x y x y i 22( ) 2,f z x y x y i
如果 u(x,y)和 v(x,y)都是区域 D内的 调和函数,且
u(x,y)+iv(x,y)是 D内 的解析函数,则称 v(x,y)是 u(x,y)
的 共轭调和函数,
区域 D 内解析函数的虚部为实部的共轭调和函数,
现在提出如下问题：
或者已知调和函数 v(x,y) 时，是否存在调和函数 u(x,y),使得 f (z)=u＋ iv 是 D内的解析函数?
已知 u(x,y)是区域 D内的调和函数，是否存在
u(x,y)的共 轭 调和函数 v(x,y)，使得函数 f (z)=u＋ iv
是 D上的解析函数?
回答是肯定的，以下用 举例 的方法加以 说明,
解 因为在全平面内
6,u xyx,6 2
2
yx u
,33 22 xyyu,6 2
2
yyu
例 3.21 证明 32(,) 3u x y y x y是全平面内的调和函数，并求以它为实部的解析函数,
故 为 调和函数,
22
22 0,
uu
xy
(,) u x y于是
6,vu xyyx由 则
26 d 3 ( ),v xy y xy g x
23 ( ),v y g x
x
又因为 223 3,vu yxxy 所以
2 2 23 ( ) 3 3,y g x y x
23( ) 3 dg x x x x C(其中 C为任意实常数 ).
求 u为实部的解析函数,
从而 32(,) 3,v x y x x y C
于是得解析函数
3 2 3 23 ( 3 ),w y x y i x x y C
令
,,22z z z zxy i
那么 函数可以化为
3( ) ( ),w f z i z C
其中 C为任意实常数,
求 u为实部的解析函数的 另一方法,
因为 6,u xyx,33 22 xyyu 所以
22( ) 6 3 ( ),uuf z i x y y x i
xy
3( ) ( )f x i x C实部 u不包含常数,故 (C是实常数 ),
将 x替换成 z,即得 3( ) ( ),f z i z C
注：此处用到,推论 3.3 ( 解析函数的惟一性定理 ) 设函数 f ( z )
与 g ( z ) 在区域 D 内解析,nz 是 D 内互异的点列,且
0l i m,nn z z D如果对一切 n,都有 ( ) ( ),nnf z g z?
则在 D 内恒有 ( ) ( ),f z g z?
这是 解析函数 又一个非常重要的 特性,定义在区域 D 内的两个解析函数，只要在 D 内的某一部分
( 子区域或孤段 ) 上的值相等，则它们在整个区域 D
上的值相等,
0,y? 2( ) 3,f x i x即 z在实轴上取值,则 因为
22( ) 3 3,f iy iy i iy
令 0,x?即 z在虚轴上取值,则因为实部 u不包含常数,故
3( ) ( ),f iy i iy iC
其中 C是实常数,将 iy替换成 z,即得
3() ( ).f z iz C
例 3.22 已知调和函数
(,) ( c o s s i n )xv x y e y y x y x y
是解析函数 f (z)的虚部,且 f (0)=1,求 f (z)的表达式,
,1)c o ss in( c o s yxyyyeyv x
解 因为,uvxy以及所以
( c os si n c os ) 1 dxu e y y y x y x
( c o s s i n ) ( ),xe x y y y x g y
又因为,vuxy以及
,1)s ins inco s( yyxyyexv x
所以
1)s i ns i nc o s( yyxyye x
( s i n c o s s i n ) ( ),xe x y y y y g y
( c o s s i n ),xu e x y y y x y C
,1)( yg故 从而 ()g y y C(C是实常数 ),
( 1 ),zz e i z C
ivuzf)(
( 1 ) ( 1 )x i y x i yx e e i y e e x i i y i C
( c o s s i n )xe x y y y x y C
( c o s s i n )xi e y y x y x y
由 ( 0 ) 1,f?得 1.C? 因此
.1)1()( zizezf z
另一方法 因为
() vvf z iyx ( c o s s i n c o s ) 1xe y y y x y
( c o s s i n s i n ) 1,xi e y y x y y
令 0,y? 即 z在实轴取值，则
( ) 1,xxf x x e e i
所以 ( ) ( 1 )xf x x e i x C(C是常数 ),将 x替换成 z,即得 ( ) ( 1 ),zf z z e i z C由 ( 0 ) 1,f?可知
1.C? 因此,1)1()( zizezf z
例 3.23 已知
22( ) ( 4 ) 2 ( ),u v x y x x y y x y
求解析函数 ( ),f z u iv
解 分别求导数可得
,2)42)(()4( 22 yxyxyxyxvu xx
22( 4 ) ( ) ( 4 2 ) 2,yyu v x x y y x y x y
因为,,u v u vx y y x所以
,233 22 yxv y 6.xv x y?
因此
22( ) 3 3 2 6,yxf z v i v x y x y i
令 0,y? 即 z在实轴取值，则
2( ) 3 2,f x x
于是 3( ) 2f x x x C(C是常数 ).
将 x替换成 z,即得
3( ) 2,f z z z C
复数项级数 函数项级数充要条件必要条件幂级数收敛半径 R
复 变 函 数绝对收敛运算与性质解析在 0)( zzf
为复常数n? )( zf nn 为函数
1n
n
收敛条件条件收敛复数列 收敛半径的计算
Taylor 级数 Laurent级数调 和 函 数与 解 析 函 数本章内容总结
1,函数展开成 Taylor级数与 Laurent级数
2,解析函数的零点本章的重点第三章 完
Niels Henrik Abel
(1802.8.5-1829.4.6)
挪威数学家,牧师的儿子,家境贫困,Abel 15岁读中学时,优秀的数学教师 B,Holmboe(1795-1850)发现了 Abel的数学天才,对他给予指导,1821年进入克利斯安那大学,
1824年,他解决了用根式求解五次方程的不可能性问题,Abel短暂的一生中在分析和代数领域作出了极其出色的贡献,然而他的数学成就在当时没有得到应有的注意,生活悲惨,在贫病交迫中早逝,
Brook Taylor
(1685.8.18-1731.12.29)
英国数学家,曾任英国皇家学会秘书,1715年在,增量方法及其逆,中给出 Taylor级数的展开定理,
Pierre-Alphonse Laurent (1813-1854)
法国数学家,1843年证明了 Laurent级数展开定理,
