第十章 小波变换基础
§ 10.1 小波变换的背景
§ 10.2 窗口 Fourier变换简介
§ 10.3 连续小波变换
§ 10.4 二进小波变换和离散小波变换
§ 10.5 多分辨分析
§ 10.6 Mallat分解与重构算法主 要 内 容小波分析是当前数学中一个迅速发展的新领域,它也是一种积分变换,是一个时间和频率的局域变换，因而能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析,解决了 Fourier
变换不能解决的许多困难问题,本章简单介绍小波变换的基本理论和应用,
本章将 Fourier变换记为? ( ) ( ) [ ( ) ],f F f t F
R表示实数,Z表示整数,N表示正整数,
1 ( ) ( ) ( ) dL R f t f t t
表示绝对可积函数构成的空间,
22 ( ) ( ) ( ) dL R f t f t t
表示平方绝对可积函数构成的空间,对 2,( ),f g L R?
,( ) ( ) df g f t g t t
表示空间 中的内积,是 的共轭,2()LR ()gt ()gt
§ 10.1 小波变换的背景自从 1822年 Fourier发表,热传导解析理论,
以来,Fourier变换一直是在信号处理等工程应用领域中得到广泛使用且极其有效的一种分析手段．
Fourier变换和逆变换将研究的内容从时域变换到频域,也就是从一个空间变换到另一个空间,这种研究思想和方法是重大的创新,
如果把 f (t)理解为信号的描述,Fourier变换和逆变换的表达式
( ) ( ) d,itf f t e t t R
1?( ) ( ) d,
2
itf t f e R
说明,信号的 Fourier 变换能给出信号的频率特性,
即其频谱分析,由于 Fourier变换和逆变换具有很好的对称性,使得信号的重构很容易进行,特别是后来离散 Fourier变换 (DFT)的发展,以及 1965 年提出的快速 Fourier变换 (FFT)与计算机技术相结合,使得 Fourier变换的应用更加广泛和有效,在科学技术的各个领域发挥过重要作用,
但是 Fourier变换仅适用于确定性的平稳信号,
从定义可以看出,为了应用 Fourier变换去研究一个信号的频谱特性,必须获得在整个时域 t
中信号的全部信息,由于 即 Fourier变换1,ite
的积分核在任何情形下的模都是 1,所以信号 f (t)的频谱 的任一频点值都是由 f (t) 在整个时间域?()f?
上的贡献决定的 ; 反之,信号 f (t)在任一时刻的状态也是由频谱 在整个频域 上的贡献?()f
决定的,所以在时域中 Fourier变换没有任何分辨能力,通过有限频段上的 不能获得信号 f (t)在任何?()f?
有限时间间隔内的频率信息,因为一个信号在某个时刻的一个小的邻域中发生了变化,那么整个频域都要受到影响,这就是说,Fourier变换在时域没有局域特性,同样地分析可见,在频域上 Fourier变换也没有局域特性．
为研究信号在局部时间范围的频域特征,1946
年 Gabor提出了著名的 Gabor变换,之后又进一步发展为窗口 Fourier变换,也称短时 Fourier变换 (STFT),
STFT弥补了 Fourier变换的一些不足,已在许多领域获得了广泛的应用,但是,由于 STFT的时 -频窗口大小和形状固定,与时间和频率无关，所以并没有很好地解决时－频局部化问题,这对于分析时变信号来说是不利的,高频信号一般持续时间很短,而低频信号持续时间较长,因此,我们期望对于高频信号采用小时间窗,对于低频信号则采用大时间窗进行分析．
在进行信号分析时，这种变时间窗的要求同
STFT 固定时窗的特性是矛盾的,STFT无法满足这种需要．此外，在进行数值计算时，人们希望将基函数离散化，以节约计算时间及存储量．但
Gabor基无论怎样离散，都不能构成一组正交基，
因而给数值计算带来了不便．
小波变换的思想来源于伸缩与平移方法,在小波变换的系统理论发展起来以前,其基本思想已经在许多领域的应用中有所体现．
在 1910年 Haar提出的规范正交基应该是小波分析的最早萌芽,1938年,Littlewood-Paley 对 Fourier
级数按二进制频率成分进行分组,1965年,Galderon
发现再生公式,它的离散形式已接近小波展开,1981
年,Stormberg对 Haar系进行了改进,证明了小波函数的存在性．小波概念的真正出现应该是在 1984年,
当时法国地球物理学家 Morlet在分析地震数据时提出将地震波按一个确定函数的伸缩平移系展开,然后数学家 Meyer对 Morlet提出的方法进行系统研究,
并与其他一些人的工作联合奠定了小波分析的基础,
小波变换克服了 Fourier变换和窗口 Fourier变换的缺点,在时域和频域同时具有良好的局域化性质,被誉为“数学显微镜”,
1987年,法国数学家 Mallat与 Meyer合作,将计算机视觉领域内的多尺度分析的思想引入到小波分析中,提出了多分辨分析的概念,统一了在此之前的所有具体正交小波基的构造,并且提出相应的分解与重构快速算法,随后 Mallat将多分辨分析用于图象处理,取得了巨大成功,
小波变换是泛函分析、调和分析和数值分析等数学分支发展的综合结晶，作为一种数学理论和方法在科学技术领域引起了越来越多的关注和重视,小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密地结合在一起的,对于处理性质随时间稳定不变的信号,理想工具仍然是 Fourier分析,但是在实际应用中的绝大多数信号是非稳定的,而特别适用于非稳定信号的工具就是小波分析,小波分析的应用领域十分广泛，包括信号分析和图象处理、语音识别与合成、医学成像与诊断等方面,
§ 10.2 窗口 Fourier变换简介窗口 Fourier变换是在 Fourier 变换的框架内,
将非平稳过程看成是一系列短时平稳信号的叠加,
通过在时域上加上窗口来实现短时性,通常选择在有限区间外恒等于零或迅速趋于零的钟形函数 g(t)
作为窗函数,用平移滑动的窗函数 g(t-t)与信号 f (t)
相乘,有效地抑制了 t=t 邻域以外的信号,在 t 附近开窗,通过平移来覆盖整个时间域,再进行 Fourier
变换,所得的结果反映了 t=t 时刻附近的频谱信息,
从而产生了时域局部化的作用,
定义 10.1 设函数 1 2 2( ) ( ),( ),g L R L R t g L R
则称 的 Fourier变换( ) ( )f t g t t?
( ) ( ) ditf t g t e t?t
为 f (t)的 窗口 Fourier变换,也称 f (t)的 Gabor变换,记为 其中 g(t)称为 时窗函数,(,),fG?t
以下总是取时窗函数 g(t)满足
+ 2
- ( ) d 1,g t t
根据 Fourier变换的反演公式,有
1( ) ( ) (,) d,
2
it
ff t g t G e
t? t?
于是
2 1( ) ( ) (,) ( ) d,2 itff t g t G e g t?t? t t
从而
+ 2-( ) ( ) df t g t tt
+
-
1 d (,) ( ) d,
2
it
fG e g t
t? t t?
因为
++ 2 2--( ) d ( ) d 1,g t g tt t t
所以
+
-
1( ) d (,) ( ) d,
2
it
ff t G e g t
t? t t?
这就是 窗口 Fourier变换的反演公式,
定义 10.2 设 g(t)是时窗函数,称
+ 2*
- ( ) dt t g t t
为 时窗中心,称
1+ 22*2- ( ) ( ) dt t t g t t
为 时窗半径,
于是时窗函数 g(t)的窗口为 窗口**[,],t t t t
的宽度为 2?t,下面讨论时窗函数 g(t-t)的时窗中心 *tt
和时窗半径,tt?
++ 22*
--( ) d ( ) ( ) dt t g t t u g u ut tt
++ 22 *
-- ( ) d ( ) d,u g u u g u u ttt
1+ 22*2- ( ) ( ) dt t t g t ttt t
1+ 22*2- ( ) ( ) du t g u utt
1+ 22*2- ( ) ( ) d,u t g u u t
由此可见,时窗中心在平移,而时窗半径不变,
定义 10.3 设 g(t)是时窗函数,称? ( ) ( )gG
为 频窗函数,并且称 + 2
* -
+ 2
-
( ) d
( ) d
G
G
是 频窗中心,称
1
+ 2 2
*2
-
+ 2
-
( ) ( ) d
( ) d
G
G
是 频窗半径,
当频窗函数是 时,类似地可以推导出()G
相应的频窗中心和频窗半径为
**,.
因此频窗中心在平移,频窗半径不变,
在时 -频坐标系中,时窗和频窗共同作用形成时 -频窗,右图是通过时 -频窗进行时 -频局部化的几何直观描述,
窗口 Fourier变换把时域上的信号 f (t)映射到时 -频域平面 中的一个二维函数(,)t? (,).fG?t
一个常用的窗口函数是 Gauss函数
2
4( ) (,0 ),
2
t
abg t e a b
a?
其中 a,b使得
+ 2
- ( ) d 1,g t t
易见时窗中心 并且时窗半径+ 2* - ( ) d 0,t t g t t
1+ 22*2- ( ) ( ) d,t t t g t t a
相应的频窗函数 因此可以计 2?( ) ( ),aG g b e
算出频窗中心 频窗半径 所以时* 0, 1,2 a
-频窗面积为2 2 2.t
Heisenberg测不准原理,存在常数 C >0,使得
,tC
称为窗口 Fourier 变换的 Heisenberg不等式,
Heisenberg不等式表明窗口 Fourier变换的时窗半径和频窗半径,一个减小必然引起另一个的增大,不能同时减小,
窗口 Fourier变换的窗函数选定以后,其时 -频窗就固定不变了,这样就限制了窗口 Fourier变换的实际应用,为了提取高频分量的信息,时窗应该尽量地窄,而允许频窗适当地宽 ; 对于低频分量,
时窗则应适当加宽,以保证至少能包含一个周期的过程,频窗应当尽量缩小,保证有较高的频率分辨率,
§ 10.3 连续小波 变换虽然窗口 Fourier变换已经具备了平移的功能,
但是?的变化不改变窗口的大小与形状,不具备伸缩性,通过引进使时间变量可变的参数到窗口函数之中,代替 Fourier变换中不衰减的正交基 从,ite
而创立了小波变换,
定义 10.4 设 满足条件21( ) ( ),L R L R
2? ()
d,C
则称 为 基本小波 或 小波母函数,称()t?
,
1( ) (,,0 )
ab
tbt a b R a
aa
为由基本小波 生成的 连续小波 或 小波基函数,()t?
其中 a和 b为参数,分别是伸缩因子和平移因子,
连续小波 的作用与窗口 Fourier变换中,()ab t?
的 作用类似,其中 b与 t 一样都起着时() itg t e?t
间平移的作用,而 a在连续小波变换中是一个尺度参数,它既能改变窗口的大小与形状,同时也能改变连续小波的频谱结构,
常用的基本小波,
Haar小波
1,0 1 / 2
( ) 1,1 / 2 1
0,
t
tt?
其 他
Morlet小波
2
02 0( ),,5,
t
itt e e t
墨西哥草帽小波 (Marr小波 )
2
2 21( ) 1,.
2
t
t t e t?
定义 10.5 设 为由基本小波 生成的连,ab? ()t?
续小波,对 称2 ( ),f L R?
,1(,),( ) dab tbW f a b f f t ta
a?
为 f (t)的 连续小波变换,
连续小波变换具有如下一些 主要性质,
(1) 线性性质 设 k1,k2是任意常数,则2,( ),f g L R?
1 2 1 2( ) (,) (,) (,),W k f k g a b k W f a b k W g a b
(2) 平移性质 设 则2 ( ),f L R?
00( ) (,) ( ) (,),W f t t a b W f t a b t
(3) 尺度法则 设 则2 ( ),f L R?
1( ) (,) ( ) (,),0,W f t a b W f t a b
与窗口 Fourier变换类似,在小波变换中,也可称 是窗函数,小波变换的时 -频窗表现了小,()ab t?
波变换的时 -频局部化能力,设 是小波函2 ()LR
数,时窗中心 时窗半径 频窗中心 和 频窗*,t,t? *?
半径 分别为 + 2
,* -
+ 2
,-
( ) d
,
( ) d
ab
ab
t t t
t
tt
1
+ 2 2
*2
,-
+ 2
,-
( ) ( ) d
,
( ) d
ab
ab
t t t t
t
tt
+ 2
,* -
+ 2
,-
( ) d
,
( ) d
ab
ab
1
+ 2 2
*2
,-
+ 2
,-
( ) ( ) d
.
( ) d
ab
ab
小波变换中的窗函数 是由 的平移和,()ab t? ()t?
缩放得来的,分别记对应于 的有关量为,时窗,()ab t?
中心 时窗半径 频窗中心 频窗半径*,t?,t *,,
* * * *11,,,.t a t b t a t
aa
虽然 的时窗和频窗,()ab t?
的中心与宽度随着 a,b 在变化,
但是在时 -频面上,窗口的面积不变,这是因为
12 2 2 2 2 2,t a t ta
定理 10.1 设 为基本小波,则有()t? 2 ( ),f L R?
连续小波变换的反演公式
21 1 1( ) d (,) d,tbf t b W f a b aC a a
a
§ 10.4 二进小波变换和离散小波变换在数字计算中,要把连续小波及其变换离散化,
一般对小波变换进行二进制离散,即取 a为离散值
2,0,1,2,,jjaj
而 b仍取为连续的值,这种离散化的小波和相应的小波变换叫做二进小波和二进小波变换,如果在一定条件下,b也取为离散的值,则得到离散小波和相应的离散小波变换,
定义 10.6 设 为基本小波,记()t?,0,s R s
1( ),
s
tt
ss
对 定义小波变换为2 ( ),f L R?
1( ) ( ) ( ) d,ss xtW f x f x f t tss
其中 s为尺度因子,
如果取 则定义 10.6中小波变换与( ) ( ),h t t
定义 10,5 设 为由基本小波 生成的连,ab? ()t?
续小波,对 称2 ( ),f L R
,1(,),( ) dab tbW f a b f f t taa
为 f (t)的连续小波变换,
中连续小波变换的关系为
1( ) sgn ( ) (,),shW f x s W f s x
s
定义 10.7 设 为基本小波,如果存在常数()t?
,( 0 ),A B A B使得
2? 2,k
kZ
AB
则称 是一个 二进小波,如果 是一个二进小()t? ()t?
波,对 其在 x位置和尺度 的小2 ( ),f L R? 2 ( )j jZ?
波变换为
22( ) ( ),jjW f x f x
称序列 为 二进小波变换,2 ()j
jZ
W f W f x
为了得到二进小波变换的反演公式,需要给出下面重构小波的概念,
定义 10.8 设 为二进小波,如果函数()t?
21( ) ( ),L R L R
满足
( 2 ) ( 2 ) 1,jj
j
则称 为 重构小波,()t?
对给定的二进小波 可以验证满足( ),t?
2
()
()
( 2 )j
j
的函数 就是一个对应于 的21( ) ( )L R L R ()t?
重构小波,并且
211? 2,k
kZBA
即 也是一个二进小波,()t?
定理 10.2 设 为基本小波,是一个对应()t? ()t?
的重构小波,对 则有 二进小波变换的反2 ( ),f L R?
演公式
22( ) ( ),jj
j
f x W f x?
下面考虑 离散小波变换 (DWT).
设 为基本小波,在由 生()t? 001,0,ab ()t?
成的连续小波
,
1( ) (,,0 )
ab
tbt a b R a
aa
中,取 可得0 0 0,,,mma a b nb a m n Z
2,,0 0 0( ),m mmn t a a t n b
称函数族 为 离散小波,,,mn m n Z
定义 10.9 设 为基本小波,为相()t,,mn m n Z
应的离散小波,对 离散小波变换 定义为2 ( ),f L R?
2,,0 0 0( D ),( ) d,m mm n m nf f a f t a t n b t
§ 10.5 多分辨分析首先给出 空间中的一些几何概念,2()LR
设 为 的子集,定义集合 为,2 ()V L R? 2()LR V
存在 使得2 ( ),f L R,n nNfV
2 ()f V L R
1 / 22li m ( ) ( ) d 0,nn f t f t t
称 是 V 在 中的闭包,V 2()LR
如果对任意的 以及任意的,,f g V?,,a b R?
都有 则称 V 是 的子空间,,a f b g V 2()LR
设 V 是 的子空间,对任意的2()LR
2,( ),n nNf V f L R
如果
1 / 22li m ( ) ( ) d 0,nn f t f t t
那么 则称 V 是 的闭子空间,,fV? 2()LR
设 V 是 的子空间,如果存在 满足2()LR,n nZfV
(1) 即 是规范的 ;
1 / 22
( ) d 1,nf t t n Zn nZf?
(2) 内积,( ) ( ) d 0,,,,n m n mf f f t f t t n m Z n m
即 是正交的 ;n nZf?
(3) 存在 使得 即,fV,n nZaR ( ) ( ),nn
n
f t a f t
1 / 22
,
li m ( ) ( ) d 0,,
nm
nnkm
nk
f t a f t t k m N
则称 是空间 V的一个 规范正交基,n nZf?
定义 10.10 设 是空间 中的闭子空{}j j ZV? 2()LR
间列,如果满足
(1) 单调性,1,;jjV V j Z
(2) 逼近性,2{ 0},( ) ;jj
j Z j Z
V V L R
(3) 伸缩性,1( ) ( 2 ) ( ) ;jjf t V f t V j Z
(4) 平移不变性,( ) ( ) (,) ;jjf t V f t n V j n Z
(5) Riesz基的存在性,存在 使得0,V() nZtn
是 的规范正交基,0V
则称 是空间 中的一个 多分辨分析j jZV? 2()LR
或 多尺度分析,其中 称为 尺度函数,?
多分辨分析的条件 (3) 伸缩性表明,闭子空例如
0( 2 ) | ( ) ( ),jjV f t f t V j Z
j jZV?间列 由其中的任意一个空间完全决定,
构成 的规范正交基,记jV
2,( ) 2 2 (,),j jjn t t n j n Z
多分辨分析的思想就是先在 的某个子空2()LR
间中建立基底,然后利用简单的伸缩与平移变换,
把子空间的基底扩充到 中,2()LR
定理 10.3 设 是空间 中的一个多j jZV? 2()LR
分辨分析,为尺度函数,则?
22 2 ( )j j
nZ
t n j Z?
定理 10.4 设 是空间 中的一个多j jZV? 2()LR
分辨分析,为尺度函数,如果存在 使,k kZhZ
得 并且2,k
k
h
1 ( ),
22 kk
t h t k
对 定义函数 为1( 1 ),k kkgh ()t?
1 ( ),
22 kk
t g t k
令 则2,( ) 2 2 (,),
j
j
jn t t n j n Z,,jn j n Z
构成 的规范正交基,2()LR
称定理 10.4中的 为 正交小波函数,()t,,jn j n Z
为 正交小波基,下面给出一个多分辨分析的例子,
例 10.1(Haar小波 ) 取 的闭子空间 为,2()LR 0V
0fV?
2 ( ),f L R? 在每一区间 (n,n+1)上,f (t)为常数,
定义 (0,1)区间上的特征函数为
( 0,1 )
1,( 0,1 ),()
0,.
tt
其 他记 于是 是闭子空间( 0,1 )( ) ( ),tt() nZtn 0V
的规范正交基,
利用定义 10.10中的伸缩性给出空间 可以,jV
验证定义 10.10中的其他条件满足,于是得到一个多分辨分析,
基于多分辨分析框架可以得到了 Mallat分解与重构算法,Mallat 算法在小波变换中的地位相当于快速 Fourier变换 (FFT) 在 Fourier 变换中的地位,
§ 10.6 Mallat分解与重构算法
,,,,( ) ( ),j n j n j n j nnnc t d t
构成 的规范正交基,记jV
2,( ) 2 2 (,),j jjn t t n j n Z
定理 10,3 设 是空间 中的一个多j jZV? 2()LR
分辨分析,为尺度函数,则
22 2 ( )j j
nZt n j Z
设 是空间 中的一个多分辨分析,j jZV? 2()LR
为尺度函数,
对任意的 有惟一的级数表示为11,jjfV
1 1,1,( ) ( )j j n j n
n
f t c t
定理 10,4 设 是空间 中的一个多j jZV? 2()LR分辨分析,为尺度函数,如果存在 使,k kZhZ
得 并且2,kk h 1 ( ),22 k
kt h t k对 定义函数 为1( 1 ),k kkgh ()t?1 ( ),
22 kkt g t k
令 则2,( ) 2 2 (,),j jjn t t n j n Z,,jn j n Z构成 的规范正交基,2()LR
其中 和 分别由,()jn t?,()jn t? 和 给出,
从而
,1,1,,( ),( ),j n j l j l j n
lZ
c c t t
,1,1,,( ),( ),j n j l j l j n
lZ
d c t t
1,,,1,( ),( )j n j l j l j n
lZ
c c t t
,,1,( ),( ),j l j l j n
lZ
d t t
经过计算可得 Mallat分解算法
2,1,
,1,2
lnj n j l
lZ
j n j l ln
lZ
c c h
d c g
和 重构算法
1,,2,2,j n j l n l j l n l
l Z l Z
c c h d g
其中 和 由 给出,k kZhk kZg? 定理 10,4 设 是空间 中的一个多j jZV? 2()LR
分辨分析,为尺度函数,如果存在 使,k kZhZ得 并且2,k
k h 1 ( ),22 kkt h t k
对 定义函数 为1( 1 ),k kkgh ()t?1 ( ),22 k
kt g t k
令 则2,( ) 2 2 (,),j jjn t t n j n Z,,jn j n Z构成 的规范正交基,2()LR
小波变换的概念可以从一维推广到二维，用于图像的小波分解与重建,
双正交样条小波 (Biorthogonals,简称 bior) 在信号与图像的分解与重构方面有重要的应用,这类小波通过使用两个双正交的小波 和 组成小波对，
一个用于分解，另外一个用于重构,用于分析?
信号 s(x)的小波系数
,,( ) ( ) d,j k j kc s x x x
用于合成信号
,,
,
.j k j k
jk
sc
阶数 Nr和 Nd分别为：
Nr=1,Nd=1,3,5; Nr=2,Nd=2,4,6,8;
Nr=3,Nd=1,3,5,7,9; Nr=Nd=4; Nr=6,Nd=8,
过 MATLAB实现,
一个图像作小波分解后,得到一系列不同分辨率的子图像,不同的子图像对应不同的频率,高分辨率也即高频的子图像上大部分点的数值接近零,
表现图像的最主要部分是低频部分,所以可以利用小波分解去掉图像的高频部分只保留低频部分,就可以对图像进行压缩,
利用二维小波变换可以 并通对图像进行压缩首先将一个彩色图像 ( neug a te.jpg ),即一个二维信号保存在 MATLAB 的 w o rk 路径下,MATLAB
小波工具箱只能处理线性单调颜色图的索引图像,
即,mat 格式图像,所以要求将非索引图像转换为索引图像,然后再处理成灰度级图像,
>> Y= im read ('n euga te.jpg ','jp g '); % 读入图像
>> [ X,ma p ]=rgb 2i nd (Y,25 6) ; % 转换为索引图像窗口 Fourier变换本章内容总结连续小波变换二进小波变换离散小波变换线性性质平移性质尺度法则小波变换多分辨分析
Mallat分解算法重构算法本章的重点
3,多分辨分析
2,二进小波变换与离散小波变换
1,连续小波变换的定义及其性质
4,Mallat分解与重构算法第十章 完
§ 10.1 小波变换的背景
§ 10.2 窗口 Fourier变换简介
§ 10.3 连续小波变换
§ 10.4 二进小波变换和离散小波变换
§ 10.5 多分辨分析
§ 10.6 Mallat分解与重构算法主 要 内 容小波分析是当前数学中一个迅速发展的新领域,它也是一种积分变换,是一个时间和频率的局域变换，因而能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析,解决了 Fourier
变换不能解决的许多困难问题,本章简单介绍小波变换的基本理论和应用,
本章将 Fourier变换记为? ( ) ( ) [ ( ) ],f F f t F
R表示实数,Z表示整数,N表示正整数,
1 ( ) ( ) ( ) dL R f t f t t
表示绝对可积函数构成的空间,
22 ( ) ( ) ( ) dL R f t f t t
表示平方绝对可积函数构成的空间,对 2,( ),f g L R?
,( ) ( ) df g f t g t t
表示空间 中的内积,是 的共轭,2()LR ()gt ()gt
§ 10.1 小波变换的背景自从 1822年 Fourier发表,热传导解析理论,
以来,Fourier变换一直是在信号处理等工程应用领域中得到广泛使用且极其有效的一种分析手段．
Fourier变换和逆变换将研究的内容从时域变换到频域,也就是从一个空间变换到另一个空间,这种研究思想和方法是重大的创新,
如果把 f (t)理解为信号的描述,Fourier变换和逆变换的表达式
( ) ( ) d,itf f t e t t R
1?( ) ( ) d,
2
itf t f e R
说明,信号的 Fourier 变换能给出信号的频率特性,
即其频谱分析,由于 Fourier变换和逆变换具有很好的对称性,使得信号的重构很容易进行,特别是后来离散 Fourier变换 (DFT)的发展,以及 1965 年提出的快速 Fourier变换 (FFT)与计算机技术相结合,使得 Fourier变换的应用更加广泛和有效,在科学技术的各个领域发挥过重要作用,
但是 Fourier变换仅适用于确定性的平稳信号,
从定义可以看出,为了应用 Fourier变换去研究一个信号的频谱特性,必须获得在整个时域 t
中信号的全部信息,由于 即 Fourier变换1,ite
的积分核在任何情形下的模都是 1,所以信号 f (t)的频谱 的任一频点值都是由 f (t) 在整个时间域?()f?
上的贡献决定的 ; 反之,信号 f (t)在任一时刻的状态也是由频谱 在整个频域 上的贡献?()f
决定的,所以在时域中 Fourier变换没有任何分辨能力,通过有限频段上的 不能获得信号 f (t)在任何?()f?
有限时间间隔内的频率信息,因为一个信号在某个时刻的一个小的邻域中发生了变化,那么整个频域都要受到影响,这就是说,Fourier变换在时域没有局域特性,同样地分析可见,在频域上 Fourier变换也没有局域特性．
为研究信号在局部时间范围的频域特征,1946
年 Gabor提出了著名的 Gabor变换,之后又进一步发展为窗口 Fourier变换,也称短时 Fourier变换 (STFT),
STFT弥补了 Fourier变换的一些不足,已在许多领域获得了广泛的应用,但是,由于 STFT的时 -频窗口大小和形状固定,与时间和频率无关，所以并没有很好地解决时－频局部化问题,这对于分析时变信号来说是不利的,高频信号一般持续时间很短,而低频信号持续时间较长,因此,我们期望对于高频信号采用小时间窗,对于低频信号则采用大时间窗进行分析．
在进行信号分析时，这种变时间窗的要求同
STFT 固定时窗的特性是矛盾的,STFT无法满足这种需要．此外，在进行数值计算时，人们希望将基函数离散化，以节约计算时间及存储量．但
Gabor基无论怎样离散，都不能构成一组正交基，
因而给数值计算带来了不便．
小波变换的思想来源于伸缩与平移方法,在小波变换的系统理论发展起来以前,其基本思想已经在许多领域的应用中有所体现．
在 1910年 Haar提出的规范正交基应该是小波分析的最早萌芽,1938年,Littlewood-Paley 对 Fourier
级数按二进制频率成分进行分组,1965年,Galderon
发现再生公式,它的离散形式已接近小波展开,1981
年,Stormberg对 Haar系进行了改进,证明了小波函数的存在性．小波概念的真正出现应该是在 1984年,
当时法国地球物理学家 Morlet在分析地震数据时提出将地震波按一个确定函数的伸缩平移系展开,然后数学家 Meyer对 Morlet提出的方法进行系统研究,
并与其他一些人的工作联合奠定了小波分析的基础,
小波变换克服了 Fourier变换和窗口 Fourier变换的缺点,在时域和频域同时具有良好的局域化性质,被誉为“数学显微镜”,
1987年,法国数学家 Mallat与 Meyer合作,将计算机视觉领域内的多尺度分析的思想引入到小波分析中,提出了多分辨分析的概念,统一了在此之前的所有具体正交小波基的构造,并且提出相应的分解与重构快速算法,随后 Mallat将多分辨分析用于图象处理,取得了巨大成功,
小波变换是泛函分析、调和分析和数值分析等数学分支发展的综合结晶，作为一种数学理论和方法在科学技术领域引起了越来越多的关注和重视,小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密地结合在一起的,对于处理性质随时间稳定不变的信号,理想工具仍然是 Fourier分析,但是在实际应用中的绝大多数信号是非稳定的,而特别适用于非稳定信号的工具就是小波分析,小波分析的应用领域十分广泛，包括信号分析和图象处理、语音识别与合成、医学成像与诊断等方面,
§ 10.2 窗口 Fourier变换简介窗口 Fourier变换是在 Fourier 变换的框架内,
将非平稳过程看成是一系列短时平稳信号的叠加,
通过在时域上加上窗口来实现短时性,通常选择在有限区间外恒等于零或迅速趋于零的钟形函数 g(t)
作为窗函数,用平移滑动的窗函数 g(t-t)与信号 f (t)
相乘,有效地抑制了 t=t 邻域以外的信号,在 t 附近开窗,通过平移来覆盖整个时间域,再进行 Fourier
变换,所得的结果反映了 t=t 时刻附近的频谱信息,
从而产生了时域局部化的作用,
定义 10.1 设函数 1 2 2( ) ( ),( ),g L R L R t g L R
则称 的 Fourier变换( ) ( )f t g t t?
( ) ( ) ditf t g t e t?t
为 f (t)的 窗口 Fourier变换,也称 f (t)的 Gabor变换,记为 其中 g(t)称为 时窗函数,(,),fG?t
以下总是取时窗函数 g(t)满足
+ 2
- ( ) d 1,g t t
根据 Fourier变换的反演公式,有
1( ) ( ) (,) d,
2
it
ff t g t G e
t? t?
于是
2 1( ) ( ) (,) ( ) d,2 itff t g t G e g t?t? t t
从而
+ 2-( ) ( ) df t g t tt
+
-
1 d (,) ( ) d,
2
it
fG e g t
t? t t?
因为
++ 2 2--( ) d ( ) d 1,g t g tt t t
所以
+
-
1( ) d (,) ( ) d,
2
it
ff t G e g t
t? t t?
这就是 窗口 Fourier变换的反演公式,
定义 10.2 设 g(t)是时窗函数,称
+ 2*
- ( ) dt t g t t
为 时窗中心,称
1+ 22*2- ( ) ( ) dt t t g t t
为 时窗半径,
于是时窗函数 g(t)的窗口为 窗口**[,],t t t t
的宽度为 2?t,下面讨论时窗函数 g(t-t)的时窗中心 *tt
和时窗半径,tt?
++ 22*
--( ) d ( ) ( ) dt t g t t u g u ut tt
++ 22 *
-- ( ) d ( ) d,u g u u g u u ttt
1+ 22*2- ( ) ( ) dt t t g t ttt t
1+ 22*2- ( ) ( ) du t g u utt
1+ 22*2- ( ) ( ) d,u t g u u t
由此可见,时窗中心在平移,而时窗半径不变,
定义 10.3 设 g(t)是时窗函数,称? ( ) ( )gG
为 频窗函数,并且称 + 2
* -
+ 2
-
( ) d
( ) d
G
G
是 频窗中心,称
1
+ 2 2
*2
-
+ 2
-
( ) ( ) d
( ) d
G
G
是 频窗半径,
当频窗函数是 时,类似地可以推导出()G
相应的频窗中心和频窗半径为
**,.
因此频窗中心在平移,频窗半径不变,
在时 -频坐标系中,时窗和频窗共同作用形成时 -频窗,右图是通过时 -频窗进行时 -频局部化的几何直观描述,
窗口 Fourier变换把时域上的信号 f (t)映射到时 -频域平面 中的一个二维函数(,)t? (,).fG?t
一个常用的窗口函数是 Gauss函数
2
4( ) (,0 ),
2
t
abg t e a b
a?
其中 a,b使得
+ 2
- ( ) d 1,g t t
易见时窗中心 并且时窗半径+ 2* - ( ) d 0,t t g t t
1+ 22*2- ( ) ( ) d,t t t g t t a
相应的频窗函数 因此可以计 2?( ) ( ),aG g b e
算出频窗中心 频窗半径 所以时* 0, 1,2 a
-频窗面积为2 2 2.t
Heisenberg测不准原理,存在常数 C >0,使得
,tC
称为窗口 Fourier 变换的 Heisenberg不等式,
Heisenberg不等式表明窗口 Fourier变换的时窗半径和频窗半径,一个减小必然引起另一个的增大,不能同时减小,
窗口 Fourier变换的窗函数选定以后,其时 -频窗就固定不变了,这样就限制了窗口 Fourier变换的实际应用,为了提取高频分量的信息,时窗应该尽量地窄,而允许频窗适当地宽 ; 对于低频分量,
时窗则应适当加宽,以保证至少能包含一个周期的过程,频窗应当尽量缩小,保证有较高的频率分辨率,
§ 10.3 连续小波 变换虽然窗口 Fourier变换已经具备了平移的功能,
但是?的变化不改变窗口的大小与形状,不具备伸缩性,通过引进使时间变量可变的参数到窗口函数之中,代替 Fourier变换中不衰减的正交基 从,ite
而创立了小波变换,
定义 10.4 设 满足条件21( ) ( ),L R L R
2? ()
d,C
则称 为 基本小波 或 小波母函数,称()t?
,
1( ) (,,0 )
ab
tbt a b R a
aa
为由基本小波 生成的 连续小波 或 小波基函数,()t?
其中 a和 b为参数,分别是伸缩因子和平移因子,
连续小波 的作用与窗口 Fourier变换中,()ab t?
的 作用类似,其中 b与 t 一样都起着时() itg t e?t
间平移的作用,而 a在连续小波变换中是一个尺度参数,它既能改变窗口的大小与形状,同时也能改变连续小波的频谱结构,
常用的基本小波,
Haar小波
1,0 1 / 2
( ) 1,1 / 2 1
0,
t
tt?
其 他
Morlet小波
2
02 0( ),,5,
t
itt e e t
墨西哥草帽小波 (Marr小波 )
2
2 21( ) 1,.
2
t
t t e t?
定义 10.5 设 为由基本小波 生成的连,ab? ()t?
续小波,对 称2 ( ),f L R?
,1(,),( ) dab tbW f a b f f t ta
a?
为 f (t)的 连续小波变换,
连续小波变换具有如下一些 主要性质,
(1) 线性性质 设 k1,k2是任意常数,则2,( ),f g L R?
1 2 1 2( ) (,) (,) (,),W k f k g a b k W f a b k W g a b
(2) 平移性质 设 则2 ( ),f L R?
00( ) (,) ( ) (,),W f t t a b W f t a b t
(3) 尺度法则 设 则2 ( ),f L R?
1( ) (,) ( ) (,),0,W f t a b W f t a b
与窗口 Fourier变换类似,在小波变换中,也可称 是窗函数,小波变换的时 -频窗表现了小,()ab t?
波变换的时 -频局部化能力,设 是小波函2 ()LR
数,时窗中心 时窗半径 频窗中心 和 频窗*,t,t? *?
半径 分别为 + 2
,* -
+ 2
,-
( ) d
,
( ) d
ab
ab
t t t
t
tt
1
+ 2 2
*2
,-
+ 2
,-
( ) ( ) d
,
( ) d
ab
ab
t t t t
t
tt
+ 2
,* -
+ 2
,-
( ) d
,
( ) d
ab
ab
1
+ 2 2
*2
,-
+ 2
,-
( ) ( ) d
.
( ) d
ab
ab
小波变换中的窗函数 是由 的平移和,()ab t? ()t?
缩放得来的,分别记对应于 的有关量为,时窗,()ab t?
中心 时窗半径 频窗中心 频窗半径*,t?,t *,,
* * * *11,,,.t a t b t a t
aa
虽然 的时窗和频窗,()ab t?
的中心与宽度随着 a,b 在变化,
但是在时 -频面上,窗口的面积不变,这是因为
12 2 2 2 2 2,t a t ta
定理 10.1 设 为基本小波,则有()t? 2 ( ),f L R?
连续小波变换的反演公式
21 1 1( ) d (,) d,tbf t b W f a b aC a a
a
§ 10.4 二进小波变换和离散小波变换在数字计算中,要把连续小波及其变换离散化,
一般对小波变换进行二进制离散,即取 a为离散值
2,0,1,2,,jjaj
而 b仍取为连续的值,这种离散化的小波和相应的小波变换叫做二进小波和二进小波变换,如果在一定条件下,b也取为离散的值,则得到离散小波和相应的离散小波变换,
定义 10.6 设 为基本小波,记()t?,0,s R s
1( ),
s
tt
ss
对 定义小波变换为2 ( ),f L R?
1( ) ( ) ( ) d,ss xtW f x f x f t tss
其中 s为尺度因子,
如果取 则定义 10.6中小波变换与( ) ( ),h t t
定义 10,5 设 为由基本小波 生成的连,ab? ()t?
续小波,对 称2 ( ),f L R
,1(,),( ) dab tbW f a b f f t taa
为 f (t)的连续小波变换,
中连续小波变换的关系为
1( ) sgn ( ) (,),shW f x s W f s x
s
定义 10.7 设 为基本小波,如果存在常数()t?
,( 0 ),A B A B使得
2? 2,k
kZ
AB
则称 是一个 二进小波,如果 是一个二进小()t? ()t?
波,对 其在 x位置和尺度 的小2 ( ),f L R? 2 ( )j jZ?
波变换为
22( ) ( ),jjW f x f x
称序列 为 二进小波变换,2 ()j
jZ
W f W f x
为了得到二进小波变换的反演公式,需要给出下面重构小波的概念,
定义 10.8 设 为二进小波,如果函数()t?
21( ) ( ),L R L R
满足
( 2 ) ( 2 ) 1,jj
j
则称 为 重构小波,()t?
对给定的二进小波 可以验证满足( ),t?
2
()
()
( 2 )j
j
的函数 就是一个对应于 的21( ) ( )L R L R ()t?
重构小波,并且
211? 2,k
kZBA
即 也是一个二进小波,()t?
定理 10.2 设 为基本小波,是一个对应()t? ()t?
的重构小波,对 则有 二进小波变换的反2 ( ),f L R?
演公式
22( ) ( ),jj
j
f x W f x?
下面考虑 离散小波变换 (DWT).
设 为基本小波,在由 生()t? 001,0,ab ()t?
成的连续小波
,
1( ) (,,0 )
ab
tbt a b R a
aa
中,取 可得0 0 0,,,mma a b nb a m n Z
2,,0 0 0( ),m mmn t a a t n b
称函数族 为 离散小波,,,mn m n Z
定义 10.9 设 为基本小波,为相()t,,mn m n Z
应的离散小波,对 离散小波变换 定义为2 ( ),f L R?
2,,0 0 0( D ),( ) d,m mm n m nf f a f t a t n b t
§ 10.5 多分辨分析首先给出 空间中的一些几何概念,2()LR
设 为 的子集,定义集合 为,2 ()V L R? 2()LR V
存在 使得2 ( ),f L R,n nNfV
2 ()f V L R
1 / 22li m ( ) ( ) d 0,nn f t f t t
称 是 V 在 中的闭包,V 2()LR
如果对任意的 以及任意的,,f g V?,,a b R?
都有 则称 V 是 的子空间,,a f b g V 2()LR
设 V 是 的子空间,对任意的2()LR
2,( ),n nNf V f L R
如果
1 / 22li m ( ) ( ) d 0,nn f t f t t
那么 则称 V 是 的闭子空间,,fV? 2()LR
设 V 是 的子空间,如果存在 满足2()LR,n nZfV
(1) 即 是规范的 ;
1 / 22
( ) d 1,nf t t n Zn nZf?
(2) 内积,( ) ( ) d 0,,,,n m n mf f f t f t t n m Z n m
即 是正交的 ;n nZf?
(3) 存在 使得 即,fV,n nZaR ( ) ( ),nn
n
f t a f t
1 / 22
,
li m ( ) ( ) d 0,,
nm
nnkm
nk
f t a f t t k m N
则称 是空间 V的一个 规范正交基,n nZf?
定义 10.10 设 是空间 中的闭子空{}j j ZV? 2()LR
间列,如果满足
(1) 单调性,1,;jjV V j Z
(2) 逼近性,2{ 0},( ) ;jj
j Z j Z
V V L R
(3) 伸缩性,1( ) ( 2 ) ( ) ;jjf t V f t V j Z
(4) 平移不变性,( ) ( ) (,) ;jjf t V f t n V j n Z
(5) Riesz基的存在性,存在 使得0,V() nZtn
是 的规范正交基,0V
则称 是空间 中的一个 多分辨分析j jZV? 2()LR
或 多尺度分析,其中 称为 尺度函数,?
多分辨分析的条件 (3) 伸缩性表明,闭子空例如
0( 2 ) | ( ) ( ),jjV f t f t V j Z
j jZV?间列 由其中的任意一个空间完全决定,
构成 的规范正交基,记jV
2,( ) 2 2 (,),j jjn t t n j n Z
多分辨分析的思想就是先在 的某个子空2()LR
间中建立基底,然后利用简单的伸缩与平移变换,
把子空间的基底扩充到 中,2()LR
定理 10.3 设 是空间 中的一个多j jZV? 2()LR
分辨分析,为尺度函数,则?
22 2 ( )j j
nZ
t n j Z?
定理 10.4 设 是空间 中的一个多j jZV? 2()LR
分辨分析,为尺度函数,如果存在 使,k kZhZ
得 并且2,k
k
h
1 ( ),
22 kk
t h t k
对 定义函数 为1( 1 ),k kkgh ()t?
1 ( ),
22 kk
t g t k
令 则2,( ) 2 2 (,),
j
j
jn t t n j n Z,,jn j n Z
构成 的规范正交基,2()LR
称定理 10.4中的 为 正交小波函数,()t,,jn j n Z
为 正交小波基,下面给出一个多分辨分析的例子,
例 10.1(Haar小波 ) 取 的闭子空间 为,2()LR 0V
0fV?
2 ( ),f L R? 在每一区间 (n,n+1)上,f (t)为常数,
定义 (0,1)区间上的特征函数为
( 0,1 )
1,( 0,1 ),()
0,.
tt
其 他记 于是 是闭子空间( 0,1 )( ) ( ),tt() nZtn 0V
的规范正交基,
利用定义 10.10中的伸缩性给出空间 可以,jV
验证定义 10.10中的其他条件满足,于是得到一个多分辨分析,
基于多分辨分析框架可以得到了 Mallat分解与重构算法,Mallat 算法在小波变换中的地位相当于快速 Fourier变换 (FFT) 在 Fourier 变换中的地位,
§ 10.6 Mallat分解与重构算法
,,,,( ) ( ),j n j n j n j nnnc t d t
构成 的规范正交基,记jV
2,( ) 2 2 (,),j jjn t t n j n Z
定理 10,3 设 是空间 中的一个多j jZV? 2()LR
分辨分析,为尺度函数,则
22 2 ( )j j
nZt n j Z
设 是空间 中的一个多分辨分析,j jZV? 2()LR
为尺度函数,
对任意的 有惟一的级数表示为11,jjfV
1 1,1,( ) ( )j j n j n
n
f t c t
定理 10,4 设 是空间 中的一个多j jZV? 2()LR分辨分析,为尺度函数,如果存在 使,k kZhZ
得 并且2,kk h 1 ( ),22 k
kt h t k对 定义函数 为1( 1 ),k kkgh ()t?1 ( ),
22 kkt g t k
令 则2,( ) 2 2 (,),j jjn t t n j n Z,,jn j n Z构成 的规范正交基,2()LR
其中 和 分别由,()jn t?,()jn t? 和 给出,
从而
,1,1,,( ),( ),j n j l j l j n
lZ
c c t t
,1,1,,( ),( ),j n j l j l j n
lZ
d c t t
1,,,1,( ),( )j n j l j l j n
lZ
c c t t
,,1,( ),( ),j l j l j n
lZ
d t t
经过计算可得 Mallat分解算法
2,1,
,1,2
lnj n j l
lZ
j n j l ln
lZ
c c h
d c g
和 重构算法
1,,2,2,j n j l n l j l n l
l Z l Z
c c h d g
其中 和 由 给出,k kZhk kZg? 定理 10,4 设 是空间 中的一个多j jZV? 2()LR
分辨分析,为尺度函数,如果存在 使,k kZhZ得 并且2,k
k h 1 ( ),22 kkt h t k
对 定义函数 为1( 1 ),k kkgh ()t?1 ( ),22 k
kt g t k
令 则2,( ) 2 2 (,),j jjn t t n j n Z,,jn j n Z构成 的规范正交基,2()LR
小波变换的概念可以从一维推广到二维，用于图像的小波分解与重建,
双正交样条小波 (Biorthogonals,简称 bior) 在信号与图像的分解与重构方面有重要的应用,这类小波通过使用两个双正交的小波 和 组成小波对，
一个用于分解，另外一个用于重构,用于分析?
信号 s(x)的小波系数
,,( ) ( ) d,j k j kc s x x x
用于合成信号
,,
,
.j k j k
jk
sc
阶数 Nr和 Nd分别为：
Nr=1,Nd=1,3,5; Nr=2,Nd=2,4,6,8;
Nr=3,Nd=1,3,5,7,9; Nr=Nd=4; Nr=6,Nd=8,
过 MATLAB实现,
一个图像作小波分解后,得到一系列不同分辨率的子图像,不同的子图像对应不同的频率,高分辨率也即高频的子图像上大部分点的数值接近零,
表现图像的最主要部分是低频部分,所以可以利用小波分解去掉图像的高频部分只保留低频部分,就可以对图像进行压缩,
利用二维小波变换可以 并通对图像进行压缩首先将一个彩色图像 ( neug a te.jpg ),即一个二维信号保存在 MATLAB 的 w o rk 路径下,MATLAB
小波工具箱只能处理线性单调颜色图的索引图像,
即,mat 格式图像,所以要求将非索引图像转换为索引图像,然后再处理成灰度级图像,
>> Y= im read ('n euga te.jpg ','jp g '); % 读入图像
>> [ X,ma p ]=rgb 2i nd (Y,25 6) ; % 转换为索引图像窗口 Fourier变换本章内容总结连续小波变换二进小波变换离散小波变换线性性质平移性质尺度法则小波变换多分辨分析
Mallat分解算法重构算法本章的重点
3,多分辨分析
2,二进小波变换与离散小波变换
1,连续小波变换的定义及其性质
4,Mallat分解与重构算法第十章 完
