第三章 离散傅立叶变换 DFT
§ 3.0 引言
§ 3.1 离散傅立叶变换的定义
§ 3.2 频率抽样理论
§ 3.3 离散傅立叶变换 (DFT)的定理和性质
§ 3.4 DFT应用举例
小结
§ 3.0 引言一,DFT是仅适用于有限长序列的又一种傅立叶变换形式二,DFT的重要性
1,x(n) 是时域中有限长的序列 （ 0 ~ N-1 ）
3、时域中按 Nyquist抽样，则在频域中保留原信号频谱形状、无混叠
4,DFT理论：在频域中按适当间隔抽样，则在时域保留原序列的形状、无混叠
2,DFT实质是 在频域上等间隔的抽样)(?jeX
1、使信号频域离散化，使得用计算机在频域进行信号处理成为可能。
2、有多种快速算法，大大提高了信号处理速度。
3,DFT本身可用于随机信号的功率谱估计及信号的谱分析等方面，使这些处理过程可用数字计算实现。
§ 3.1 离散傅立叶变换的定义
3.1.1 DFT的定义用计算机实现信号的频谱分析及其它方面的工作，对信号的要求是：
时域和频域都是离散的，且都是有限长
nkNjN
k
ekXNnx?21
0
)(~1)(~
nkNjN
n
enxkX?21
0
)(~)(~
k
n
10 )()]([)( Nn knNWnxnxDF TkX
10 )(1)]([)( Nk knNWkXNkXI D F Tnx
0?k,1,2,…,N-1
,1,2,…,N-10?n
NjN eW?2其中
)(nx )(kX
DFT
唯 一
)()(~ nRnx N? )()(~ kRkX N?
N称为 DFT变换区间长度设 是长度为 M的有限长序列,定义 的 N ( )点离散傅立叶变换为)(nx )(nx MN?
例,求 的 8点和 16点 DFT)(nx )()( 4 nRnx?
解,N＝ 8时
7 0 3 0 8
2
8)()( n n
knjkn eWnxkX?
)
8
si n(
)
2
si n(
8
3
k
k
e
kj
15
0
3
0
16
2
16)()( n n
knjkn eWnxkX?
N＝ 16时
)
16
s in (
)
4
s in (
16
3
k
k
e
kj
,1,…,70?k
,1,…,150?k
0 π/2 π 2π
)(?jeX
N＝ 8)(kX
k
0 1 2 3 4 5 6 7
N＝ 16)(kX
k
0 2 4 6 8 10 12 1415
DFT变换区间长度 N不同，变换结果 不同)(kX
当 N足够大时,的包络可逼近 曲线)(kX )(?jeX
)(kX 表示 kNk )/2( 频点的幅度谱线小结：
3.1.2 DFT和 ZT,FT之间的关系设序列 的长度为 N,其 Z变换，傅立叶变换和 DFT分别为)(nx
10 )()]([)( Nn nznxnxZTzX
10 )()]([)( Nn knNWnxnxDF TkX 0?k,1,2,…,N-1
10 )()]([)( Nn njj enxnxFTeX
则 0?k,1,2,…,N-1
kNjezzXkX?2|)()(
kN
jeXkX?
2|)()(
0?k,1,2,…,N-1
X(k)的物理意义：
的 N点 DFT是 的 Z变换在单位圆上的 N点等间隔采样)(nx)(nx1.
是 的傅立叶变换 在 [0,2π]上的 N点等间隔采样)(kX )(?jeX)(nx2.
m mNnxnx )()(~
)()(~)( nRnxnx N?
把周期序列 从 n＝ 0,1,…,N－ 1的第一个周期称为 的 主值区间)(~nx )(~nx
主值区间上的序列为 的 主值序列)(~nx
的周期延拓，而 为 的一个周期。)(nx )(~nx
任何周期为 N 的周期序列 都可以看成长度为 N 的有限长序列)(~nx )(nx
即如果 n＝ MN＋ n1,10 1 Nn
则 ((n))N=n1
3.1.3 DFT的隐含周期性
)(nx
0 1 2 3 4 5 6 7
n
)(~nx
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
n例如,N＝ 8,8))(()(~ nxnx?
)0())8(()8(~ 8 xxx )5())3(()3(~
8 xxx
Nn))(( 表示 n对 N求余其中
m
N mNnxnxnx )()(~))((
Nmk,,NjN eW?2对于,有 )( mNkNkN WW 其中 均为整数
)()()()( 1010 )( kXWnxWnxmNkX Nn knNNn nmNkN所以可见 隐含周期性，且周期为 N。)(kX
同样可证 )()( nxmNnx
DFT的隐含周期性可以从三种不同的角度得出：
（ 1）
（ 2）
如前所述,X(k)是对 的采样，由于 是以 2π为周期的周期)(?jeX)(?jeX
的采样，且以 N为周期重复出现，得到 。 NkXkX ))(()(~?
，即 X(k) 是对 的主值区 [0,2π]上的 N点等间隔采样。当)(?jeX函数
)(?jeX自变量 k 超出 DFT变换区间时，必然得到 [0,2π]以外区间上
（ 3） 由 与 的周期延拓序列 的 DFS系数 的)(~ kX)(nx)(kX
Nnx ))((
关系也可以得出 DFT的隐含周期性设 的长度为 N)(nx
Nnx ))((
=)(~nx
则 的 DFS系数为)(~nx
1010 )(1)(~1)(~ Nk knNknNNk WkXNWkXNnx
式中 )()(~)( kRkXkX N? 为 的主值序列 。)(~ kX
结论：
有限长序列 的 N 点 DFT 也可以定义为 的)(nx )(kX )(nx
周期延拓序列 的离散傅立叶级数 的 主值序列Nnx ))(( )(~kX
10 ))((10 )(~)(~ Nn WnxNn Wnx knNNknNkX 10 )(Nn knNWnx
§ 3.2 离散傅立叶变换 (DFT)的定理和性质
3.2.1 线性若 )()()( 21 nbxnaxny
对应长度,N 1N 2N 这里 ),(m a x 21 NNN?
则有,)()()( 21 kbXkaXkY
其中 nk
NNn WnxkX 10 11 )()( nkNNn WnxkX 10 2 )()(2
3.2.2 循环移位 （圆位移、圆周位移）
1，循环位移如何定义对有限长序列 x(n)? 线位移,x(n-m) 0 N-1
)(nx n
0 N-1
)(~nx
n
…
0 N-1
Nmnx ))((?
n…
n
…
)())(( nRmnx NN
0 N-1
n=0
n=1
n=2
n=N-1
n=0
n=1
n=2
n=N-1 位移
x(n)周期延拓
N Nnx ))((?)(~nx
右移
m 位 )(~ mnx?
取主值序列 )(ny
循环位移,)())(( nRmnx NN)(ny =
2，时域循环移位的 DFT
若 )())(()( nRmnxny NN 试求 的 DFT,)(kY)(ny
)(]))(([ kXWmnxD F T kmNN故
mN mn kmNnkNNNn knNN WWnxWmnx 110 ))(())((
若 )())(()( kRlkXkY NN
则其中 10)]([)( NknxD F TkX
)()]())(([)( nxWkRlkXI D F Tny nlNNN
3，频域循环移位定理
10 )())(()]([)( Nn knNNN WnRmnxnyDFTkY
∴ )()())(()( 1
0
1
0
kXWWnxWWnxWkY kmNN
n
nk NkmNN
n
nk NNkmN
有限长序列 x1(n) 和 x2(n)，长度分别为 N1和 N2,N＝ max[N1,N2],
3.2.3 循环卷积定理
)()()( 21 kXkXkX
则
10 10 21 ))(()(Nm knNNNn Wmnxmx
)())(()( 110 2 nRmnxmx NNNm
证：
)(1 21
0 1 ))(()(
mnkNmN
mn N
N
m Wnxmx
令 mnn
nkNmN
mn N
kmNN
m WnxWmx
1
2
1
0 1 ))(()(
nkNN
n
kmNN
m WnxWmx
1
0 2
1
0 1 )()(
)()( 21 kXkX?
)(]))(()([)]([)( 211
0
nRmnxmxkXI D F Tnx NNN
m
kn
N
N
n
N
m NN WnRmnxmxnxD F TkX
1
0
1
0 21 )]())(()([)]([)(
x1(n) 和 x2(n)的 N 点 DFT分别为 X1(k) 和 X2(k),
若
)(1 nx? N )(2 nx)(nx记为称为 与 的 循环卷积)(1 nx )(2 nx
)(nx )())(()(10 21 nRmnxmxNm NN＝把循环卷积过程：
(1) 将 周期化，形成,再反转)(2 mx Nmx ))((2
形成,取主值序列得到 Nmx ))((2?
(2) 对 的循环反转序列 循环移位 n，形成)(2 mx
)())((2 mRmnx NN?,当 n＝ 0,1,…,N－ 1时,
将 与 相乘，并对)(1 mx )())((
2 mRmnx NN?
m在 0～（ N－ 1） 区间求和。
)(1 nx )(1 mx
mn,
0 1 2 3 4 5 6 7)(
2 mx
m
0 1 2 3 4 5 6 7
m
0 1 2 3 4 5 6 7
)())((2 mRmx NN?
m
)())1((2 mRmx NN?
0 1 2 3 4 5 6 7
0 1 2 3 4 5 6 7
m
)())2((2 mRmx NN?
)(nx
n
0 1 2 3 4 5 6 7
4
2
反之，若 )()()( 21 nxnxnx
则 )(1)( 1 kXNkX? )(1 kX)(1)(
22 kXNkX?
N N
)())((2 mRmx NN? 称之为 的循环反转)(2 mx
两个长度为 N的序列的循环卷积长度仍为 N
)(1 nxN)(2 nx＝
)())(()(1 21
0 1
kRlkXlXN NNN
l
＝ 频域循环卷积定理
3.2.4 复共轭序列的 DFT
若 )()]([ kXnxD F T?
)()]([ ** kNXnxD F T则
1,....1,0 Nk
)0()()(0 *** XNXkNXk 时，
证明,
)()(])([)( **1
0
*1
0
* kNXkXWnxWnx N
n
knNN
n
knN
总之,)()( kXnx?
)()( ** kNXnx
)()( ** kXnNx
X(k)的隐含周期性设 是 的复共轭序列，长度为 N)(nx)(nx?
3.2.5 DFT的共轭对称性
1，预备知识有限长共轭对称序列 10)()( NnnNxnx epep
共轭反对称序列 10)()( NnnNxnx opop
120)2()2( NnnNxnNx opop
120)2()2( NnnNxnNx epep **
*
0 1 2 3 4 5 6 7
)(nxep
n
*
)(nxop
n
**
1 2 3 4
5 6 7
任何有限长序列 都可以表示成其共轭对称分量和共轭反对称分量之和。)(nx
10)()()( Nnnxnxnx opep
其中 )]()([21)( * nNxnxnx ep
)]()([21)( * nNxnxnx op
当 N为偶数时
2,DFT的共轭对称性
① )()()( njxnxnx
ir
实部 虚部
)()()( kXkXkX opep
共轭对称 共轭反对称证明：
)]()([21)( * nxnxnx r
)()]()([21)]([ * kXkNXkXnxD F T epr
显然
)()( * kNXkX epep
说明 具有圆周共轭对称性)(kXep
实部偶对称 虚部奇对称幅度偶对称 相位奇对称意味着)(kXep同样可证明：
)]()([21)( * nxnxnjx i
)()]()([21)]([ * kXkNXkXnjxD F T opi
可证 )()( * kNXkX
opop
说明 具有圆周共轭反对称性)(kXop
实部奇对称 虚部偶对称幅度奇对称 相位偶对称)(kXop
② )()()( nxnxnx
opep
共轭对称 共轭反对称实部 虚部
)](I m [)](R e [)( kXjkXkX
其中
)]()([21)( * nNxnxnx ep
)]()([21)( * nNxnxnx op
3,x(n) 为 实序列
)()( * nxnx?∵
故
)()( * kNXkX
:)(KX
幅度,以 k=0 为中心,左半圆、右半圆序列偶对称相位,以 k=0 为中心,左半圆、右半圆序列奇对称
0 N-1?
)(kX
k
k=0
k=1 k=2
k=N-1
(1) X(k)共轭对称
（ 2）如果 则 X(k) 实偶 对称，即)()( nNxnx )()( kNXkX
( 3 ) 如果,则 X(k)纯虚奇 对称，
即
)()( nNxnx
)()( kNXkX
x(n)长度为 N，设 )]([)( nxDF TkX?,则有以下结论成立：
思考：
利用 DFT的共轭对称性，计算一个 N点 DFT，得到两个实序列的 N点 DFT。)(1 nx )(2 nx和总之,n,实 虚 共轭对称 共轭反对称
k,共轭对称 共轭反对称 实 虚
4,x(n) 的循环反转
)())(( nRnx NN )())(( kRkX NN
证明,在 DFS中，有
)(~)(~ kXnx
对上式两端都取其主值区间，循环反转定理得证 5.Parseval定理（ P95 T11）
对称性小结：
DFT
)()( kXnx?
)()( ** kNXnx
)()( ** kXnNx
)()( kNXnNx
F变换
)()( **?jeXnx
)() *?jeXnx
)()(?jeXnx?
)()(?jeXnx
Z变换
)()( *** zXnx?
))(()( 1*** zXnx
)()( zXnx?
)()( 1 zXnx
)(~)(~
)(~)(~
1
0
0
)1(
1
0
kXWmx
WmxWnx
km
N
N
m
km
NNm
kn
N
N
n
因为
1,将序列分为 实部和虚部,分别对两部分作傅立叶变换，可以证明实部对应的 FT具有共轭对称性,虚部和 j一起对应的 FT变换具有共轭反对称性。
第二章 DTFT的相关结论：
实实时域 频域共轭对称共轭反对称共轭对称共轭反对称 虚虚
2,将序列分为 共轭对称部分和共轭反对称部分,序列的共轭对称部分对应着 FT的实部，序列的共轭反对称部分对应着 FT的 虚部和 j。
虚奇实偶时域 频域实偶虚偶实奇虚奇 实奇虚偶作业：
P93 T1 （ 5,9）
P94 T4 T9
§ 3.0 引言
§ 3.1 离散傅立叶变换的定义
§ 3.2 频率抽样理论
§ 3.3 离散傅立叶变换 (DFT)的定理和性质
§ 3.4 DFT应用举例
小结
§ 3.0 引言一,DFT是仅适用于有限长序列的又一种傅立叶变换形式二,DFT的重要性
1,x(n) 是时域中有限长的序列 （ 0 ~ N-1 ）
3、时域中按 Nyquist抽样，则在频域中保留原信号频谱形状、无混叠
4,DFT理论：在频域中按适当间隔抽样，则在时域保留原序列的形状、无混叠
2,DFT实质是 在频域上等间隔的抽样)(?jeX
1、使信号频域离散化，使得用计算机在频域进行信号处理成为可能。
2、有多种快速算法，大大提高了信号处理速度。
3,DFT本身可用于随机信号的功率谱估计及信号的谱分析等方面，使这些处理过程可用数字计算实现。
§ 3.1 离散傅立叶变换的定义
3.1.1 DFT的定义用计算机实现信号的频谱分析及其它方面的工作，对信号的要求是：
时域和频域都是离散的，且都是有限长
nkNjN
k
ekXNnx?21
0
)(~1)(~
nkNjN
n
enxkX?21
0
)(~)(~
k
n
10 )()]([)( Nn knNWnxnxDF TkX
10 )(1)]([)( Nk knNWkXNkXI D F Tnx
0?k,1,2,…,N-1
,1,2,…,N-10?n
NjN eW?2其中
)(nx )(kX
DFT
唯 一
)()(~ nRnx N? )()(~ kRkX N?
N称为 DFT变换区间长度设 是长度为 M的有限长序列,定义 的 N ( )点离散傅立叶变换为)(nx )(nx MN?
例,求 的 8点和 16点 DFT)(nx )()( 4 nRnx?
解,N＝ 8时
7 0 3 0 8
2
8)()( n n
knjkn eWnxkX?
)
8
si n(
)
2
si n(
8
3
k
k
e
kj
15
0
3
0
16
2
16)()( n n
knjkn eWnxkX?
N＝ 16时
)
16
s in (
)
4
s in (
16
3
k
k
e
kj
,1,…,70?k
,1,…,150?k
0 π/2 π 2π
)(?jeX
N＝ 8)(kX
k
0 1 2 3 4 5 6 7
N＝ 16)(kX
k
0 2 4 6 8 10 12 1415
DFT变换区间长度 N不同，变换结果 不同)(kX
当 N足够大时,的包络可逼近 曲线)(kX )(?jeX
)(kX 表示 kNk )/2( 频点的幅度谱线小结：
3.1.2 DFT和 ZT,FT之间的关系设序列 的长度为 N,其 Z变换，傅立叶变换和 DFT分别为)(nx
10 )()]([)( Nn nznxnxZTzX
10 )()]([)( Nn knNWnxnxDF TkX 0?k,1,2,…,N-1
10 )()]([)( Nn njj enxnxFTeX
则 0?k,1,2,…,N-1
kNjezzXkX?2|)()(
kN
jeXkX?
2|)()(
0?k,1,2,…,N-1
X(k)的物理意义：
的 N点 DFT是 的 Z变换在单位圆上的 N点等间隔采样)(nx)(nx1.
是 的傅立叶变换 在 [0,2π]上的 N点等间隔采样)(kX )(?jeX)(nx2.
m mNnxnx )()(~
)()(~)( nRnxnx N?
把周期序列 从 n＝ 0,1,…,N－ 1的第一个周期称为 的 主值区间)(~nx )(~nx
主值区间上的序列为 的 主值序列)(~nx
的周期延拓，而 为 的一个周期。)(nx )(~nx
任何周期为 N 的周期序列 都可以看成长度为 N 的有限长序列)(~nx )(nx
即如果 n＝ MN＋ n1,10 1 Nn
则 ((n))N=n1
3.1.3 DFT的隐含周期性
)(nx
0 1 2 3 4 5 6 7
n
)(~nx
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
n例如,N＝ 8,8))(()(~ nxnx?
)0())8(()8(~ 8 xxx )5())3(()3(~
8 xxx
Nn))(( 表示 n对 N求余其中
m
N mNnxnxnx )()(~))((
Nmk,,NjN eW?2对于,有 )( mNkNkN WW 其中 均为整数
)()()()( 1010 )( kXWnxWnxmNkX Nn knNNn nmNkN所以可见 隐含周期性，且周期为 N。)(kX
同样可证 )()( nxmNnx
DFT的隐含周期性可以从三种不同的角度得出：
（ 1）
（ 2）
如前所述,X(k)是对 的采样，由于 是以 2π为周期的周期)(?jeX)(?jeX
的采样，且以 N为周期重复出现，得到 。 NkXkX ))(()(~?
，即 X(k) 是对 的主值区 [0,2π]上的 N点等间隔采样。当)(?jeX函数
)(?jeX自变量 k 超出 DFT变换区间时，必然得到 [0,2π]以外区间上
（ 3） 由 与 的周期延拓序列 的 DFS系数 的)(~ kX)(nx)(kX
Nnx ))((
关系也可以得出 DFT的隐含周期性设 的长度为 N)(nx
Nnx ))((
=)(~nx
则 的 DFS系数为)(~nx
1010 )(1)(~1)(~ Nk knNknNNk WkXNWkXNnx
式中 )()(~)( kRkXkX N? 为 的主值序列 。)(~ kX
结论：
有限长序列 的 N 点 DFT 也可以定义为 的)(nx )(kX )(nx
周期延拓序列 的离散傅立叶级数 的 主值序列Nnx ))(( )(~kX
10 ))((10 )(~)(~ Nn WnxNn Wnx knNNknNkX 10 )(Nn knNWnx
§ 3.2 离散傅立叶变换 (DFT)的定理和性质
3.2.1 线性若 )()()( 21 nbxnaxny
对应长度,N 1N 2N 这里 ),(m a x 21 NNN?
则有,)()()( 21 kbXkaXkY
其中 nk
NNn WnxkX 10 11 )()( nkNNn WnxkX 10 2 )()(2
3.2.2 循环移位 （圆位移、圆周位移）
1，循环位移如何定义对有限长序列 x(n)? 线位移,x(n-m) 0 N-1
)(nx n
0 N-1
)(~nx
n
…
0 N-1
Nmnx ))((?
n…
n
…
)())(( nRmnx NN
0 N-1
n=0
n=1
n=2
n=N-1
n=0
n=1
n=2
n=N-1 位移
x(n)周期延拓
N Nnx ))((?)(~nx
右移
m 位 )(~ mnx?
取主值序列 )(ny
循环位移,)())(( nRmnx NN)(ny =
2，时域循环移位的 DFT
若 )())(()( nRmnxny NN 试求 的 DFT,)(kY)(ny
)(]))(([ kXWmnxD F T kmNN故
mN mn kmNnkNNNn knNN WWnxWmnx 110 ))(())((
若 )())(()( kRlkXkY NN
则其中 10)]([)( NknxD F TkX
)()]())(([)( nxWkRlkXI D F Tny nlNNN
3，频域循环移位定理
10 )())(()]([)( Nn knNNN WnRmnxnyDFTkY
∴ )()())(()( 1
0
1
0
kXWWnxWWnxWkY kmNN
n
nk NkmNN
n
nk NNkmN
有限长序列 x1(n) 和 x2(n)，长度分别为 N1和 N2,N＝ max[N1,N2],
3.2.3 循环卷积定理
)()()( 21 kXkXkX
则
10 10 21 ))(()(Nm knNNNn Wmnxmx
)())(()( 110 2 nRmnxmx NNNm
证：
)(1 21
0 1 ))(()(
mnkNmN
mn N
N
m Wnxmx
令 mnn
nkNmN
mn N
kmNN
m WnxWmx
1
2
1
0 1 ))(()(
nkNN
n
kmNN
m WnxWmx
1
0 2
1
0 1 )()(
)()( 21 kXkX?
)(]))(()([)]([)( 211
0
nRmnxmxkXI D F Tnx NNN
m
kn
N
N
n
N
m NN WnRmnxmxnxD F TkX
1
0
1
0 21 )]())(()([)]([)(
x1(n) 和 x2(n)的 N 点 DFT分别为 X1(k) 和 X2(k),
若
)(1 nx? N )(2 nx)(nx记为称为 与 的 循环卷积)(1 nx )(2 nx
)(nx )())(()(10 21 nRmnxmxNm NN＝把循环卷积过程：
(1) 将 周期化，形成,再反转)(2 mx Nmx ))((2
形成,取主值序列得到 Nmx ))((2?
(2) 对 的循环反转序列 循环移位 n，形成)(2 mx
)())((2 mRmnx NN?,当 n＝ 0,1,…,N－ 1时,
将 与 相乘，并对)(1 mx )())((
2 mRmnx NN?
m在 0～（ N－ 1） 区间求和。
)(1 nx )(1 mx
mn,
0 1 2 3 4 5 6 7)(
2 mx
m
0 1 2 3 4 5 6 7
m
0 1 2 3 4 5 6 7
)())((2 mRmx NN?
m
)())1((2 mRmx NN?
0 1 2 3 4 5 6 7
0 1 2 3 4 5 6 7
m
)())2((2 mRmx NN?
)(nx
n
0 1 2 3 4 5 6 7
4
2
反之，若 )()()( 21 nxnxnx
则 )(1)( 1 kXNkX? )(1 kX)(1)(
22 kXNkX?
N N
)())((2 mRmx NN? 称之为 的循环反转)(2 mx
两个长度为 N的序列的循环卷积长度仍为 N
)(1 nxN)(2 nx＝
)())(()(1 21
0 1
kRlkXlXN NNN
l
＝ 频域循环卷积定理
3.2.4 复共轭序列的 DFT
若 )()]([ kXnxD F T?
)()]([ ** kNXnxD F T则
1,....1,0 Nk
)0()()(0 *** XNXkNXk 时，
证明,
)()(])([)( **1
0
*1
0
* kNXkXWnxWnx N
n
knNN
n
knN
总之,)()( kXnx?
)()( ** kNXnx
)()( ** kXnNx
X(k)的隐含周期性设 是 的复共轭序列，长度为 N)(nx)(nx?
3.2.5 DFT的共轭对称性
1，预备知识有限长共轭对称序列 10)()( NnnNxnx epep
共轭反对称序列 10)()( NnnNxnx opop
120)2()2( NnnNxnNx opop
120)2()2( NnnNxnNx epep **
*
0 1 2 3 4 5 6 7
)(nxep
n
*
)(nxop
n
**
1 2 3 4
5 6 7
任何有限长序列 都可以表示成其共轭对称分量和共轭反对称分量之和。)(nx
10)()()( Nnnxnxnx opep
其中 )]()([21)( * nNxnxnx ep
)]()([21)( * nNxnxnx op
当 N为偶数时
2,DFT的共轭对称性
① )()()( njxnxnx
ir
实部 虚部
)()()( kXkXkX opep
共轭对称 共轭反对称证明：
)]()([21)( * nxnxnx r
)()]()([21)]([ * kXkNXkXnxD F T epr
显然
)()( * kNXkX epep
说明 具有圆周共轭对称性)(kXep
实部偶对称 虚部奇对称幅度偶对称 相位奇对称意味着)(kXep同样可证明：
)]()([21)( * nxnxnjx i
)()]()([21)]([ * kXkNXkXnjxD F T opi
可证 )()( * kNXkX
opop
说明 具有圆周共轭反对称性)(kXop
实部奇对称 虚部偶对称幅度奇对称 相位偶对称)(kXop
② )()()( nxnxnx
opep
共轭对称 共轭反对称实部 虚部
)](I m [)](R e [)( kXjkXkX
其中
)]()([21)( * nNxnxnx ep
)]()([21)( * nNxnxnx op
3,x(n) 为 实序列
)()( * nxnx?∵
故
)()( * kNXkX
:)(KX
幅度,以 k=0 为中心,左半圆、右半圆序列偶对称相位,以 k=0 为中心,左半圆、右半圆序列奇对称
0 N-1?
)(kX
k
k=0
k=1 k=2
k=N-1
(1) X(k)共轭对称
（ 2）如果 则 X(k) 实偶 对称，即)()( nNxnx )()( kNXkX
( 3 ) 如果,则 X(k)纯虚奇 对称，
即
)()( nNxnx
)()( kNXkX
x(n)长度为 N，设 )]([)( nxDF TkX?,则有以下结论成立：
思考：
利用 DFT的共轭对称性，计算一个 N点 DFT，得到两个实序列的 N点 DFT。)(1 nx )(2 nx和总之,n,实 虚 共轭对称 共轭反对称
k,共轭对称 共轭反对称 实 虚
4,x(n) 的循环反转
)())(( nRnx NN )())(( kRkX NN
证明,在 DFS中，有
)(~)(~ kXnx
对上式两端都取其主值区间，循环反转定理得证 5.Parseval定理（ P95 T11）
对称性小结：
DFT
)()( kXnx?
)()( ** kNXnx
)()( ** kXnNx
)()( kNXnNx
F变换
)()( **?jeXnx
)() *?jeXnx
)()(?jeXnx?
)()(?jeXnx
Z变换
)()( *** zXnx?
))(()( 1*** zXnx
)()( zXnx?
)()( 1 zXnx
)(~)(~
)(~)(~
1
0
0
)1(
1
0
kXWmx
WmxWnx
km
N
N
m
km
NNm
kn
N
N
n
因为
1,将序列分为 实部和虚部,分别对两部分作傅立叶变换，可以证明实部对应的 FT具有共轭对称性,虚部和 j一起对应的 FT变换具有共轭反对称性。
第二章 DTFT的相关结论：
实实时域 频域共轭对称共轭反对称共轭对称共轭反对称 虚虚
2,将序列分为 共轭对称部分和共轭反对称部分,序列的共轭对称部分对应着 FT的实部，序列的共轭反对称部分对应着 FT的 虚部和 j。
虚奇实偶时域 频域实偶虚偶实奇虚奇 实奇虚偶作业：
P93 T1 （ 5,9）
P94 T4 T9
