第二章离散时间信号和系统的频域分析主要内容,
● DT信号的离散时间 Fourier变换
● 周期序列的离散傅立叶级数及傅立叶变换表示式
● 序列的 Z变换
●利用 Z变换分析信号和系统的频域特性
DT信号的离散时间 Fourier变换
()
Di sc r e t e T i m e F ou r i e r T r a ns f orm
( ) [ ]
1
[ ] ( )
2
( ),2
( ) ( )
e,g,(1) [ ] [ ],(
j j n
n
j j n
j
j j j
j
X e x n e
x n X e e d
Xe
X e X e e
x n n X e






是 的 周 期 函 数 其 周 期 为 。
— 幅 度 和 相 位
j
) 1 ;
( 2) [ ] [ ],( ) 1/ ( 1- ),( 1 ).
n j -
x n a u n X e ae a


离散时间 Fourier变换,i.e.,DTFT
DTFT 的举例
2/Mj-
N
c
000
0
j
-j
0
)2/(s i n
]2/)1([s i n
,0
0,1
][
,][][][ )9(
,0
,,1
)(
s i n
,)8(
)2(
1
1
][,)7(
)2()2(c o s,)6(
)2(2,)5(
)2(21,( 4 )
][,( 3 )
0
0






e
M
o t h e r w i s e
Mn
nx
n - M-ununR
eX
n
n
k
e
nu
kkn
ke
k
en - n
c
cj
k
j
kk
k
n
k
n













矩形信号采样函数序列单位阶跃序列正弦序列复指数序列常数序列延迟序列
DTFT & LTI 系统
.))(
的影响的相位受输出的影响;的幅度受输出令





j
j
njjj
jj
k
knj
n
kj
k
nj
nn
njj
k
jFjFjF
eHny
eHny
deeXeHny
eXeH
eknxekh
eknxkhenyeY
knxkhnhnxny
eYnyeHnheXnx
(][
)(][
)()(
2
1
][
)()(
][][
][][][)(
][][][][][
).(][);(][);(][
)(













)()()(],[)( jjjj eheX eHnh L TIeX
DTFT的存在性
2
[ ] [ ]
DT F T
l i m
( ) [ ] 0.
M
jn
nn
M
j j n
nM
x n e x n
X e x n e d









若 下 式 成 立
— — 绝 对 可 和,
则,存 在 且 连 续 。
则,
DTFT 的特性 (1)



d
edX
jnnx
eXnx
eXnxe
eXen - dx
ebYeaXnbynax
j
j
jnj
jdj
jj
o
)(
][
)(][
)(][
)(][
)()(][][
)(
0





,
,
,
,
,
微分反转调制时移线性
DTFT 的特性 (2)


deXnx
deYeXnynx
eYeXnynx
j
jj
jj





2
2
)(
)(
2
1
][
)()(
2
1
][][
)()(][][
-n
,P a r s e v a l
,
,
定理周期卷积——
序列相乘线性卷积
1,将序列分为 实部和虚部,分别对两部分作傅立叶变换,可以证明实部对应的 FT具有共轭对称性,虚部和 j一起对应的 FT变换具有共轭反对称性。
结论:
实实时域 频域共轭对称共轭反对称共轭对称共轭反对称 虚虚
2,将序列分为 共轭对称部分和共轭反对称部分,序列的共轭对称部分对应着 FT的实部,序列的共轭反对称部分对应着 FT的虚部和 j。
虚奇实偶时域 频域实偶虚偶实奇虚奇 实奇虚偶
DTFT 的特性 (3)
r i e o
j w j w j w j w j w j w
e o r i
x ( n ) = x ( n ) + j x ( n ) x ( n ) = x ( n ) + x ( n )
X ( e ) = X ( e ) + X ( e ) X ( e ) = X ( e ) + j X ( e )
i
eo
eo
1 x ( ) x ( ) 0,( ) ( ),
2 x( n) =0,n<0
2x ( n) n>0 2x ( n) n>0
x( n) = x ( 0) n=0 x( n) = x ( 0) n=0
0 n<0 0 n<0
[ ( ) ] ( ) ( ) ( )
I m [ ( ) ] ( ) ( ) ( )
jj
e
I FT FTjj
e
I FT FTjj
o
n n X e X e
RE X e x n x n X e
j X e x n x n X e











,为 实 序 列,共 轭 对 称 ;
,实 因 果 序 列,
周期序列的离散傅立叶级数 (1)
周期序列,=()xn )(~ rNnx?
)(~ nx 2j k n
N
k
k
ae


2
2 2 21 1 1
( ) ( )
n 0 0 0
,,n
,
( ),
0,
j m n
N
k
N N N
j m n j k m n j k r n
N N N
k
k n n
ae
N k m
x n e a e e
km








为 求 解 两 边 同 乘 并 对 在 一 个 周 期 内 求 加 权 和,
21
n0
1 ()N j k nN
ka x n eN


可 得,
离散 Fourier 级数 — DFS ( 2)
21
0
( k ) ( )
N j k n
N
k
n
X N a x n e

傅 立 叶 级 数,
2
2 2 21 1 1 1
( ) ( )
n 0 0 0 0
( ),,k
,
( ) ( ),
0,
j k l
N
N N N N
j k l j l n k j l n k
N N N
n k n
x n e
N l n
X k e x n e e
ln







为 求 解 两 边 同 乘 并 对 在 一 个 周 期 内 求 加 权 和,
21
k0
1( ) ( )N j k nNx n X k e
N

可 得,
离散 Fourier 级数 — DFS ( 3)
换一个变量表示:

1
0
2
)(~)(~
N
n
knNjenxkX?
)(~)(~ NkXkX
21
N
0
1() N j k n
k
x n X eN

( k)

1
0
2
)(~)(~
N
n
knNjenxkX?
DFS对信号综合,周期信号的傅立叶级数信号分解离散 Fourier 级数 — DFS( 4)


1
0
][~1][~
N
k
kn
NWkXNnx
若定义,则,

1
0
1
0
][~][~][~ 2
N
n
kn
N
n
knj WnxenxkX N?
讨论:
( 1) 以 N为周期,
)/2( NjN eW 2/2,1 NNNkN WWW
( 2)求和只对序列的一个周期的值进行,但求出的 或 却是无限长的;
)(~kX )(~nx
( 3)由 以 N为周期推导出 以 N为周期)(~ nx )(~kX
DFS对
( 2 / )jNNWe
DFS的性质
( 1) 线性
)(~)(~),(~)(~ 2211 kXnxkXnx
设:
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )a x n b x n a X k b X k
( 2) 序列的移位
)(~ nx? )(~ kX )(~ mnx
kmNW )(~ kX

1
0
)(~N
n
nk
NWmnx
)(~ kX
则:
证明:
11
0
( ) ( ) ( )i N m Nk m i k k m i k k mN N N N N
i m i
x i W W i n m W x i W W


DFS的性质
(3) 调制性
)(~)(~ lkXnxW nlN
)(~)(~)(~ 1
0
)(1
0
lkXWnxWnxW N
n
nlk
N
N
n
kn
N
nl
N

证明:
(4)周期卷积


1
0
1
0
][
~
][
~1
][~][~
][
~
][
~
][~][~
N
l
N
m
lkYlX
N
nynx
kYkXmnymx
D F S
D F S
周期序列的傅立叶变换
21
N
0
1
j
0
1
( ) ( )
2 ( ) 2
X ( e ) = F T [ ( ) ] ( 2 )
N
jk n
k
N
kr
x n X k e
N
Xk
x n k r
NN






21
0
[ ] [ ] N
N
j k n
n
X k x n e?
其 中,