第六章无限脉冲响应数字滤波器的设计本章内容：
数字滤波器的基本概念模拟滤波器的设计用脉冲响应不变法设计 IIR数字低通滤波器用双线性变换法设计 IIR数字低通滤波器数字高通、带通和带阻滤波器的设计
IIR数字滤波器的直接设计法数字滤波器的基本概念
滤波器定义,
滤波器可广义的理解为一个信号选择系统，它让某些信号成分通过又阻止或衰减另一些成分。滤波器也可理解为选频系统，如低通、高通、带通、带阻。
滤波器分类,模拟滤波器、采样滤波器和数字滤波器。模拟滤波器可以是由 RLC构成的无源滤波器，也可以是加上运放的有源滤波器，是连续时间系统；采样滤波器由电阻、电容、电荷转移器件、运放等组成，属于离散时间系统，幅度连续；数字滤波器由加法器、乘法器、存储延迟单元、时钟脉冲发生器和逻辑单元等数字电路构成，精度高，稳定性好，
不存在阻抗匹配问题，可以时分复用。
数字滤波器分类经典滤波器现代滤波器 维纳滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器等，按照随机信号内部的一些统计分布规律，从干扰中最佳地提取信号功能低通高通带通带阻理想滤波器不可能实现，因为其单位脉冲响应均是非因果且是无限长，可作为逼近标准网络结构无限脉冲响应
IIR
有限脉冲响应
FIR
kN
k
k
kM
k
k
za
zb
zX
zYzH
1
0
1)(
)()(
N 阶
1
0
)()( N
n
nznhzH
N－ 1阶输入信号中有用的频率成分和希望滤除的频率成分各占有不同的频带，通过一个合适的选频滤波器达到滤波的目的数字滤波器的基本概念
数字滤波器性能指标一般滤波器的性能指标是以频率响应的幅度响应特性的允许误差来表征：
(a) 来自于待设计 DT滤波器对应的连续时间滤波器
w s
(b)直接来自于待设计的 DT滤波器。
理想低通滤波器的参数指标：
（ 1) 通带截止频率
（ 2) 阻带起始频率
（ 3) 最大通带波纹 或通带最大衰减
（ 4) 最大阻带波纹 或阻带最小衰减
pw
1?
2?
p?
s?
|H(ejω)|
-π π 2π-2π
低通
ω
|H(ejω)|
-π π 2π-2π
高通
ω
|H(ejω)|
-π π 2π-2π
带通
ω
|H(ejω)|
-π π 2π-2π
带阻
ω
理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性数字滤波器的技术指标与要求
)()()( www jQjj eeHeH?数字滤波器的传输函数
,幅频特性)( wjeH,表示信号通过该滤波器后各频率成分 衰减
,相频特性)(wQ,反映各频率成分通过滤波器后在时间上的 延时通带内允许的最大衰减用 表示p?
阻带内允许的最小衰减用 表示s?
))(/)(l g (20 0 pjjp eHeH w dB
))(/)(l g (20 0 sjjs eHeH w dB
将 归一化为 1，)( 0jeH
)(lg20 pjp eH w dB
)(lg20 sjs eH w dB
为通带截止频率Pw
为阻带截止频率Sw
为 3dB通带截止频率Cw
11
11
w
0
)( wjeH
通带 阻带过渡带
wc ws
0.707
pw
2?
低通滤波器的技术要求带容限分别称为通带容限和阻与 21
数字滤波器的基本概念
IIR滤波器和 FIR滤波器的设计方法是不同的。
IIR滤波器设计方法有两类：
一类借助于模拟滤波器的设计方法，其步骤：先设计模拟滤波器得到传输函数 Ha(s),然后将 Ha(s)按某种方法转换成数字滤波器的系统函数 H(z)。
另一类直接在频域或者时域中进行设计，设计时需计算机辅助设计。
FIR滤波器：常用窗函数法、频率采样法和切比雪夫等波纹逼近法，后者需通过计算机辅助设计。
数字滤波器设计方法：
模拟滤波器的设计模拟滤波器按幅度特性可分成低通、高通、带通和带助滤波器，它们的理想幅度特性如下图所示：
模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法模拟低通滤波器的设计指标有 sspp,、,
通带内允许的最大衰减用 表示p?
阻带内允许的最小衰减用 表示s?
低通滤波器的幅度特性
0
0.707
p? s?c?
1
)(?jHa
为通带截止频率p?
为阻带截止频率s?
为 3dB截止频率c?
2
2
)(
)0(lg10
pa
a
p jH
jH
2
2
)(
)0(lg10
sa
a
s jH
jH
如果 处幅度已归一化到 1，即0 1)0(?jH a
2)(lg10 pap jH
2)(lg10 sas jH
2/1)( ca jH
dBjH ca 3)(lg20
对于单调下降的幅度特性，可表示成：
给定模拟低通滤波器的技术指标 sspp,、,
需要设计一个低通滤波器，其传输函数 )(sHa 的幅度平方函数满足给定的指标 和p? s?
一般滤波器的冲激响应为实数，因此有
jsaaa sHsHjH |)()()( 2
如果能由 sspp,、, 求出 2)(?jH a
就很容易得到所需要的 )(sHa
注意,必须是稳定的，因此极点必须落在 s平面的 左半平面,相应的
)(sHa
)( sHa? 的极点落在右半平面模拟滤波器的设计
（一）巴特沃思低通滤波器（ Butterworth）
2)(?jH a
N
c
2)(1
1
)(sHa
2
/ 2
1( ) ( ) ( )
1 ( )
a a asj
N
c
H j H s H s s
j
)()( sHsH aa? 的极点：
2 2 1 / 2
1 2 1
()
22
1 ( ) 0 ( ) 1 ( 1 )
,1,2,,2
N N N
kc
cc
k
j
N
c
ss
sj
jj
e k N
＝
例如,3 ( 2 1 )1 / 2 N 2 N 2 N 2 N
( 2 1 )
2N
( 1 ),1,2
,0,1
kj j j
kj
j e e e k
ek
或或 者由 求模拟滤波器的设计
（一）巴特沃思低通滤波器（ Butterworth）
极点特点：
C( 1 ) 2
H ( s ) N
N
极 点 分 布 在 半 径 为 的 圆 上,共 个 极 点,
每 个 极 点 间 隔 为 w = / N,有 个 极 点
()aHs(2) 为 稳 定 系 统,极 点 不 能 落 在 虚 轴 上,极 点 在 S 左 半 平 面
jΩ
σ
01
s
2s 3s
4s
5s0s
模拟滤波器的设计
（一）巴特沃思低通滤波器（ Butterworth）
由极点求 Ha(s)传递函数：
( ) ( ) ( )a a aH s H s H s N? 的 左 半 平 面 的 极 点 即 为 的 极 点,个 数 为,
极点分别是,1 2 1()22,1,2,,kj NkcS e k N
2
00
0
1
1
( ) 1 ( ) 1
( ) | 1,
0)
()
()
aa
a s j
N
N N
kC
N
C
a N
k
k
H j H j
Hs
ss
Hs
ss
k
k ＝
又 ＝
时,( s - s
令 λ＝ Ω/Ωc—— 归一化频率令 p＝ j λ —— 归一化复变量
1
0
)(
1)(
N
k c
k
c
a sssH
1
0
)(
1)(
N
k k
a pppH
采用对 3dB截止频率 归一化c?
cc js //式中归一化巴特沃斯的传输函数为
)2 1221( Nkj
k ep
为归一化极点
kp k=0,1,2,…,N-1
csp /
1
0
)(
)(
N
N
k k
c
a sssH
N p αp αs、,,由参量 s 确定
p
ssp
110
110
10/
10
s
p
α
/α
spk
sp
spkN
lg
lg
Npc p 2
11.0 )110( N
sc s 2
11.0 )110(
的富裕量
ps 和低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：
（ 1）根据技术指标 sspp,、, 求出滤波器的阶数 N
p
ssp
110
110
10/
10
s
p
α
/α
spksp
spkN
lg
lg
（ 2）求出归一化极点,得到归一化传输函数kp )(pHa
1
0
)(
1)(
N
k k
a pppH )2 1221( Nkjk ep k=0,1,2,…,N-1
（ 3）将 去归一化。将 代入,得到实际的滤波器)(pHa )(pHacsp /
传输函数 )(sHa
Butterworth AF 的特点：
（ 1）
（ 2） N越大，通带内衰减越慢，阻带内衰减越快，最平的幅频相应滤波器
（ 3） 3dB不变特性时，无衰减0
模拟滤波器的设计
N 的计算
2
2
1( ) 1 0 l g 1 0 l g 1
()
N
cHj
22
1 0 l g 1,1 0 l g 1
NN
p s
ps
cc
0.1
0.1
1 0 1
)
1 0 1
l g l g
N=
lg
l g ( )
p
s
p N
sp
s
s p s p
p sp
s
k
kk
（
c 的计算 c p sw i t h N,t o c o m p u t e b a s e d o n o r
ssp
p
模拟滤波器的设计例：已知通带截止频率 fp=5kHz，通带最大衰减 2
p dB阻带截止频率
1 2,sf k H z? 阻带最小衰减 3 0,
s dB按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器解,(1)确定阶数 N。
l g 0,0 2 4 2 4,2 5,5
l g 2,4NN取
（ 2）求极点 由 N=5，直接查表得到：
22
0,3 0 9 0 0,9 5 1 1,0,8 0 9 0 0,5 8 7 8,1,0 0 0 0
1()
( 0,6 1 8 0 1 ) ( 1,6 1 8 0 1 ) ( 1 )a
jj
Hp
p p p p p
极点：
0,1 1
0,1 1
10 0,0 2 4 2
10
p
ssp
k
2
2
s
sp
p
f
f
（ 3）将 Ha（ P）去归一化
1
0,1 2( 1 0 1 ) 2 5,2 7 5 5 /p N
cp k r a d s
/ ( )cap s H p将 代入 得
5
5 4 2 3 3 2 4 5
4 3 2 1 0
() ca
c c c c c
Hs s b s b s b s b s b
模拟滤波器的设计
(二）切比雪夫滤波器
Amin
Amax
通带内等波纹波动阻带内幅度特性单调下降
ΩsΩp0 Ω
H(jΩ)
特点,(1)通带内等波纹波动； (2)阻带内幅值单调下降模拟滤波器的设计
ε 2 表示 |H(jΩ)| 的波动范围
1( ) c os c os,1NC x N x x
1( ),1NC x c h Nc h x x
2
22
1()
1 ( )N
p
Hj
C?
幅度平方函数切比雪夫多项式,对应通带对应阻带
21
1
0
)(?jHa
（ N奇数）
p? s?
1
21
1
p?0
1
)(?jHa
（ N偶数）
1?
2?
s?
模拟滤波器的设计
|H(j?)|的特点：
1） 无论 N为何值，经过
2
1(,)
1c
2）通带内等波纹，均方误差最小；通带外单调下降，下降速度高于同阶的 Butterworth滤波器；
3）
2
,( 0 ) 1 ;
1,( 0 )
1
N o d d H j
N e v e n H j
得极点：
kkk js0)(1 22
cN j
sC?由
Nk,....,2,1? )]12(2s i n [ kNack
)]12(2c o s [ kNbck?
)(21 11 NNa
)(21 11 NNb
111 2其中选左半平面诸极点，得归一化的传输函数：
j
N?
)3(?N
╳ ╳
╳╳
╳╳
1s 6s
5s
4s3s
2s
N
k k
Na pp
pH
1
1 )(2
1)(
去归一化以后的传输函数为
N
k
p
N
p
k
N ps
sH a
1
)(2
)(
1?
这些极点 s位于椭圆圆周上
1) 确定技术要求 s αs,αp,?p?,
2) 求滤波器阶数 N和参数 ε
切比雪夫 滤波器设计步骤：
)A r c h (
)A r c h ( 11
S
kN
110 1.0
其中
P
sS
110
110
1.0
1.0
11
p
sk
3）求归一化传输函数 )(pHa
N
k k
Na pp
pH
1
1 )(2
1)(
4) 将 去归一化，得到实际的)(pHa )(sHa
pspaa pHsH /|)()(
p 就是其中通带波纹模拟滤波器的设计模拟滤波器的频率变换 — 模拟高通、带通、带阻滤波器的设计高通、带通、带阻滤波器的传输函数可通过频率变换，分别由低通滤波器的传输函数求得，因此不论设计哪一种滤波器，都可先将该滤波器的技术指标转换为低通滤波器的技术指标，按照技术指标先设计低通滤波器，再通过频率变换，将低通的传输函数转换成所需类型的滤波器传输函数。
模拟高通、带通和带阻滤波器的设计高通带通带阻滤波器指标低通滤波器技术指标设计模拟低通滤波器
G（ p）
高通带通带阻滤波器
H（ s）
频率变换 频率变换一,模拟高通滤波器设计
p?s?
|)(|?jH
'p? p?'s? s?
|)(|?jG
1?
,,,00,,,psps
sp p
pGsH |)()(
不变和 sp
例题利用巴特沃思滤波器设计一高通滤波器，要求
（ 1）先将频率归一化，由
（ 2）作频率变换，得到
（ 3）设计低通滤波器，得到
（ 4）求高通滤波器的转移函数令带入上式，即可得到 H(s)。
1 0 0 3 5 0 3 0p p s sf H z d B f H z d B，,,
/ 1 0,5p p s,得 到,
1 2 3 3 0p s p sd B d B，,而 和 不 变
22
1()
( 1 ) ( 0,6 1 8 1 ) ( 1,6 1 8 1 )Gp p p p p p
ssp p /200/
二,模拟带通滤波器设计
'p? p?'s? s?
|)(|?jG
1? 0?sl? sh?
|)(|?jH
3?
2
2
2?
)( 13
31
2)()(
s
s
p
pGsH
三、模拟带阻滤波器设计
2
2
2
31
2
13 )(
)()(
s
s
p
pGsH
用脉冲响应不变法设计 IIR数字低通滤波器映射
Mapping
连续时间域（ S平面） 离散时间域（ Z平面）
模拟滤波器 (AF) 数字滤波器 (DF)
具体的映射方法有：脉冲响应不变法、阶跃响应不变法、双线性变换法等设计过程是：按照技术要求设计一个模拟低通滤波器，得到模拟低通滤波器的传输函数,再按一定的转换关系将 变换成数字低通滤波器的系统函数 。
)(sHa )(sHa
)(zHa
2、把传输函数 从 S平面变换到 Z 平面 H(z):)(sHa
1、把 DF的技术指标转换为 AF的指标参数 设计出 AF
映射必须满足的条件：
S平面的虚轴? Z平面的单位圆（频率之间成线性关系）
(1) 因果稳定 AF,转换成 DF，仍是因果稳定的
(2) DF的频响 模仿 AF的频响特性
（ S左半平面? Z单位圆内）
)( wjeH )(?jH
用脉冲响应不变法设计 IIR数字低通滤波器从时域确定 S平面和 Z平面之间的映射关系数字性能指标?
模拟滤波器的性能指标；
（ w =?T）
h(n)=Th(nT)
0
ha(t)
h(n)
取样取样
x(t)
ha(t)
y(t)
x(t) y(t)
x(nT) y(nT)
x(n)=x(nT) y(n)=y(nT)
0 T T T0t t t
这就是：数字滤波器和模拟滤波器两者频响之间的关系式二,L变换和 Z变换关系：
n
s n T
n
s n T
a
n
st
a
st
n
aa
enh
enTh
dtenTtth
dtenTtthsH
)(
)(
)()(
)()()(?
n nznhzH )()(
sTeza zHsH
)()(?
采样信号的拉氏变换与相应的序列的 Z变换之间的映射关系为,sTez?
k saa jkjHTjH )(1)(?又因为将 js 代入上式得
k saa jksHTsH )(
1)(?
k saez jksHTzH sT )(1|)( Ts?2
1?r0 （虚轴） （单位圆）
0 （左半平面） 1?r （单位圆内）
0?s （原点 A） 1?z （单位圆上 A）
1 （平行线） T11w （射线）
`~ TTw ~（带条） （整个 Z平面）
TjTj eerew
Z平面
]Im[zj
]Re[z
0 1Z=-1
:w?A
T11w
1w?
j
0 0
S平面
T?
T
A
1?
sTez?由
js?
wjrez?
设因此有 Ter
Tw
注意 是周期函数sTez?
S平面与 Z平面之间的映射关系：
STZe Ter T w?,
S平面上
TT
映射为 Z 平面上 -π≤ω≤π
j?
S 平 面?T
T?
Z 平 面在 S平面上，任何一个宽度为（ 2π /T）的水平带，映射为一 Z
平面； → H(ejω )为周期函数；
用脉冲响应不变法设计 IIR数字低通滤波器
(1),利用公式,Tw
spsp,,ww
将数字滤波器技术指标转换为模拟指标,
(2),设计模拟低通滤波器 H(s);
(3),将 H(s)分解成单极点的部分分式之和,然后按照一阶模拟系统和一阶数字系统的映射完成 H(S)--?H(z).
3、脉冲响应不变法的特点,
优点,频率关系保持标准线性关系,低频段数字滤波器与模拟滤波器几乎完全一致。而且 时域逼近特性 很好缺点,不存在 S到 Z的直接有理影射关系式,需要对 H(S)分解 ;
高频段存在混叠失真 ;不能设计高通和带阻滤波器,
原则上只能适用带限信号用脉冲响应不变法设计 IIR数字低通滤波器变换原理脉冲响应不变法是使 DF在 时域上模仿 AF，存在 S?Z平面多值映射 的问题双线性变换法是 使 DF的 频响模仿 AF。先把整个 S平面压缩变换为?S1平面的一条（?1从 -T到
T，宽度为 2T 的水平）横带，然后通过标准 Z变换，将 s1?z平面
⑴
1
1
1
12
z
z
Ts
2
2
1
12
1
1
1
Tsth
T
e
e
T
s Ts
Ts
⑵1?j
1?0
S1平面
T?
T
Tsez 1?
T1w
Z平面
]Im[zj
]Re[z0
Z=1?0
)0(
:? A
S平面
j
0
T?
T
⑴ 压缩变换,s?s1
T?
T
1?
0
11 jsjs
2
2
1
12
1
1
1
Tsth
T
e
e
T
s Ts
Ts
2tan2 1TT
⑵ 标准 Z变换,s1?z
1
1
1
12
z
z
Ts s
T
s
Tz
2
2
Tsez 1?
用 双线性变换法设计 IIR数字低通滤波器设 s=σ+jΩ,wjrez?
则,
s
sz
T
T
2
2
2
1
222
222
)(
)(?
T
Tr
w?
TT
tgtg 2121
S平面同 Z平面之间的映射关系,
S平面 Z平面
σ>0,右半平面 r>1，单位圆外
σ=0,虚轴 r=1，单位圆
σ<0,左半平面 r<1，单位圆内令 σ=0，得,12
2
Ttgw
当 Ω 由
ω 由 -π 到 π 变化用 双线性变换法设计 IIR数字低通滤波器利用双线性变换，把
65
1)(
2
ss
ssH
a
例题,
1
21
1
21
1
1
2
1
1
1
12
2.01
05.01.015.0
420
23
6
1
1
25
1
1
1
1
1
2
|)()(
1
1
2
1
1
z
zz
z
zz
z
z
z
z
sHzH
z
zz
z
T
s
a
用 双线性变换法设计 IIR数字低通滤波器转换成数字滤波器 H(z)，其中 T = 1
1),DF的性能指标,ωs,ωp,Rp 和 Rs；
2
2 wtg
T
2).根据 转换性能指标，求得相应的 Ωs,Ωp
3).根据 Ωs,Ωp,Rp,Rs 设计模拟低通滤波器原型 ——
得到 AF的系统函数 Ha(s)
4).利用双线性变换得到数字滤波器的传输函数，即：
1
1
1
12|)()(
z
z
Ts
a sHzH
双线性 变换法 的应用：
用 双线性变换法设计 IIR数字低通滤波器
（预畸变）；
小结：用模拟滤波器设计 IIR数字低通滤波器的步骤,
1、确定 DF LP的技术指标：
2、将 DF的技术指标转换成 AF的相应指标：
（ 1）脉冲响应不变法
（ 2）双线性变换法
3、按照 AF的指标设计相应的 AF（一般选用 Butterworth或者 Chebyshev-I）
4、将 AF的 Ha(s)转换为 DF的 H(z)。
（ 1）脉冲响应不变法：
（ 2）双线性变换法：
spspww,、、
spsp,、,
Tw
2t a n2 wT
N
i
Ts
i
N
i i
i
a ze
AzH
ss
AsH
i1 11 1
)()(
1
1
1
12)()(
z
z
Tsa
sHzH T的选择见 P179
用 双线性变换法设计 IIR数字低通滤波器低通高通带通带阻数字低通、高通、带通和带阻滤波器设计
(二）高通数字滤波器设计设计步骤：
数字低通、高通、带通和带阻滤波器设计数字低通、高通、带通和带阻滤波器设计
（三）数字带通滤波器设计为通带的中心频率为通带的带宽,312213 BW
BWBWBW
shsh
BW
slsl 3311,,,
3122归一化的数字低通、高通、带通和带阻滤波器设计带通频率转换为低通频率利用得到的低通滤波器的技术指标 可设计出低通滤波器的转移函数 G(P)。 spsp,,,
λ － ∞ - λs - λp 0 λp λs ∞
η 0 ηs1 ηl η2 η3 ηsh ∞
λ和 η对应关系数字低通、高通、带通和带阻滤波器设计
22
2
由,
得带通滤波器的系统函数：
)( 13
312
|)()(
s
sppGsH
q
q
j
q
j
q
jjjp
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)(
)(
)()(
)()(
13
31
2
2312
s
s
s
s
BW
BWBW
数字低通、高通、带通和带阻滤波器设计
(四）数字带阻滤波器设计数字低通、高通、带通和带阻滤波器设计带阻滤波器到低通滤波器的频率转换：
根据已经得到的低通指标得到 G(P)
由 得到 G(S)，再利用双线性关系得到 G(Z)
Η和 λ的对应关系数字低通、高通、带通和带阻滤波器设计
数字滤波器的基本概念模拟滤波器的设计用脉冲响应不变法设计 IIR数字低通滤波器用双线性变换法设计 IIR数字低通滤波器数字高通、带通和带阻滤波器的设计
IIR数字滤波器的直接设计法数字滤波器的基本概念
滤波器定义,
滤波器可广义的理解为一个信号选择系统，它让某些信号成分通过又阻止或衰减另一些成分。滤波器也可理解为选频系统，如低通、高通、带通、带阻。
滤波器分类,模拟滤波器、采样滤波器和数字滤波器。模拟滤波器可以是由 RLC构成的无源滤波器，也可以是加上运放的有源滤波器，是连续时间系统；采样滤波器由电阻、电容、电荷转移器件、运放等组成，属于离散时间系统，幅度连续；数字滤波器由加法器、乘法器、存储延迟单元、时钟脉冲发生器和逻辑单元等数字电路构成，精度高，稳定性好，
不存在阻抗匹配问题，可以时分复用。
数字滤波器分类经典滤波器现代滤波器 维纳滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器等，按照随机信号内部的一些统计分布规律，从干扰中最佳地提取信号功能低通高通带通带阻理想滤波器不可能实现，因为其单位脉冲响应均是非因果且是无限长，可作为逼近标准网络结构无限脉冲响应
IIR
有限脉冲响应
FIR
kN
k
k
kM
k
k
za
zb
zX
zYzH
1
0
1)(
)()(
N 阶
1
0
)()( N
n
nznhzH
N－ 1阶输入信号中有用的频率成分和希望滤除的频率成分各占有不同的频带，通过一个合适的选频滤波器达到滤波的目的数字滤波器的基本概念
数字滤波器性能指标一般滤波器的性能指标是以频率响应的幅度响应特性的允许误差来表征：
(a) 来自于待设计 DT滤波器对应的连续时间滤波器
w s
(b)直接来自于待设计的 DT滤波器。
理想低通滤波器的参数指标：
（ 1) 通带截止频率
（ 2) 阻带起始频率
（ 3) 最大通带波纹 或通带最大衰减
（ 4) 最大阻带波纹 或阻带最小衰减
pw
1?
2?
p?
s?
|H(ejω)|
-π π 2π-2π
低通
ω
|H(ejω)|
-π π 2π-2π
高通
ω
|H(ejω)|
-π π 2π-2π
带通
ω
|H(ejω)|
-π π 2π-2π
带阻
ω
理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性数字滤波器的技术指标与要求
)()()( www jQjj eeHeH?数字滤波器的传输函数
,幅频特性)( wjeH,表示信号通过该滤波器后各频率成分 衰减
,相频特性)(wQ,反映各频率成分通过滤波器后在时间上的 延时通带内允许的最大衰减用 表示p?
阻带内允许的最小衰减用 表示s?
))(/)(l g (20 0 pjjp eHeH w dB
))(/)(l g (20 0 sjjs eHeH w dB
将 归一化为 1，)( 0jeH
)(lg20 pjp eH w dB
)(lg20 sjs eH w dB
为通带截止频率Pw
为阻带截止频率Sw
为 3dB通带截止频率Cw
11
11
w
0
)( wjeH
通带 阻带过渡带
wc ws
0.707
pw
2?
低通滤波器的技术要求带容限分别称为通带容限和阻与 21
数字滤波器的基本概念
IIR滤波器和 FIR滤波器的设计方法是不同的。
IIR滤波器设计方法有两类：
一类借助于模拟滤波器的设计方法，其步骤：先设计模拟滤波器得到传输函数 Ha(s),然后将 Ha(s)按某种方法转换成数字滤波器的系统函数 H(z)。
另一类直接在频域或者时域中进行设计，设计时需计算机辅助设计。
FIR滤波器：常用窗函数法、频率采样法和切比雪夫等波纹逼近法，后者需通过计算机辅助设计。
数字滤波器设计方法：
模拟滤波器的设计模拟滤波器按幅度特性可分成低通、高通、带通和带助滤波器，它们的理想幅度特性如下图所示：
模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法模拟低通滤波器的设计指标有 sspp,、,
通带内允许的最大衰减用 表示p?
阻带内允许的最小衰减用 表示s?
低通滤波器的幅度特性
0
0.707
p? s?c?
1
)(?jHa
为通带截止频率p?
为阻带截止频率s?
为 3dB截止频率c?
2
2
)(
)0(lg10
pa
a
p jH
jH
2
2
)(
)0(lg10
sa
a
s jH
jH
如果 处幅度已归一化到 1，即0 1)0(?jH a
2)(lg10 pap jH
2)(lg10 sas jH
2/1)( ca jH
dBjH ca 3)(lg20
对于单调下降的幅度特性，可表示成：
给定模拟低通滤波器的技术指标 sspp,、,
需要设计一个低通滤波器，其传输函数 )(sHa 的幅度平方函数满足给定的指标 和p? s?
一般滤波器的冲激响应为实数，因此有
jsaaa sHsHjH |)()()( 2
如果能由 sspp,、, 求出 2)(?jH a
就很容易得到所需要的 )(sHa
注意,必须是稳定的，因此极点必须落在 s平面的 左半平面,相应的
)(sHa
)( sHa? 的极点落在右半平面模拟滤波器的设计
（一）巴特沃思低通滤波器（ Butterworth）
2)(?jH a
N
c
2)(1
1
)(sHa
2
/ 2
1( ) ( ) ( )
1 ( )
a a asj
N
c
H j H s H s s
j
)()( sHsH aa? 的极点：
2 2 1 / 2
1 2 1
()
22
1 ( ) 0 ( ) 1 ( 1 )
,1,2,,2
N N N
kc
cc
k
j
N
c
ss
sj
jj
e k N
＝
例如,3 ( 2 1 )1 / 2 N 2 N 2 N 2 N
( 2 1 )
2N
( 1 ),1,2
,0,1
kj j j
kj
j e e e k
ek
或或 者由 求模拟滤波器的设计
（一）巴特沃思低通滤波器（ Butterworth）
极点特点：
C( 1 ) 2
H ( s ) N
N
极 点 分 布 在 半 径 为 的 圆 上,共 个 极 点,
每 个 极 点 间 隔 为 w = / N,有 个 极 点
()aHs(2) 为 稳 定 系 统,极 点 不 能 落 在 虚 轴 上,极 点 在 S 左 半 平 面
jΩ
σ
01
s
2s 3s
4s
5s0s
模拟滤波器的设计
（一）巴特沃思低通滤波器（ Butterworth）
由极点求 Ha(s)传递函数：
( ) ( ) ( )a a aH s H s H s N? 的 左 半 平 面 的 极 点 即 为 的 极 点,个 数 为,
极点分别是,1 2 1()22,1,2,,kj NkcS e k N
2
00
0
1
1
( ) 1 ( ) 1
( ) | 1,
0)
()
()
aa
a s j
N
N N
kC
N
C
a N
k
k
H j H j
Hs
ss
Hs
ss
k
k ＝
又 ＝
时,( s - s
令 λ＝ Ω/Ωc—— 归一化频率令 p＝ j λ —— 归一化复变量
1
0
)(
1)(
N
k c
k
c
a sssH
1
0
)(
1)(
N
k k
a pppH
采用对 3dB截止频率 归一化c?
cc js //式中归一化巴特沃斯的传输函数为
)2 1221( Nkj
k ep
为归一化极点
kp k=0,1,2,…,N-1
csp /
1
0
)(
)(
N
N
k k
c
a sssH
N p αp αs、,,由参量 s 确定
p
ssp
110
110
10/
10
s
p
α
/α
spk
sp
spkN
lg
lg
Npc p 2
11.0 )110( N
sc s 2
11.0 )110(
的富裕量
ps 和低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：
（ 1）根据技术指标 sspp,、, 求出滤波器的阶数 N
p
ssp
110
110
10/
10
s
p
α
/α
spksp
spkN
lg
lg
（ 2）求出归一化极点,得到归一化传输函数kp )(pHa
1
0
)(
1)(
N
k k
a pppH )2 1221( Nkjk ep k=0,1,2,…,N-1
（ 3）将 去归一化。将 代入,得到实际的滤波器)(pHa )(pHacsp /
传输函数 )(sHa
Butterworth AF 的特点：
（ 1）
（ 2） N越大，通带内衰减越慢，阻带内衰减越快，最平的幅频相应滤波器
（ 3） 3dB不变特性时，无衰减0
模拟滤波器的设计
N 的计算
2
2
1( ) 1 0 l g 1 0 l g 1
()
N
cHj
22
1 0 l g 1,1 0 l g 1
NN
p s
ps
cc
0.1
0.1
1 0 1
)
1 0 1
l g l g
N=
lg
l g ( )
p
s
p N
sp
s
s p s p
p sp
s
k
kk
（
c 的计算 c p sw i t h N,t o c o m p u t e b a s e d o n o r
ssp
p
模拟滤波器的设计例：已知通带截止频率 fp=5kHz，通带最大衰减 2
p dB阻带截止频率
1 2,sf k H z? 阻带最小衰减 3 0,
s dB按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器解,(1)确定阶数 N。
l g 0,0 2 4 2 4,2 5,5
l g 2,4NN取
（ 2）求极点 由 N=5，直接查表得到：
22
0,3 0 9 0 0,9 5 1 1,0,8 0 9 0 0,5 8 7 8,1,0 0 0 0
1()
( 0,6 1 8 0 1 ) ( 1,6 1 8 0 1 ) ( 1 )a
jj
Hp
p p p p p
极点：
0,1 1
0,1 1
10 0,0 2 4 2
10
p
ssp
k
2
2
s
sp
p
f
f
（ 3）将 Ha（ P）去归一化
1
0,1 2( 1 0 1 ) 2 5,2 7 5 5 /p N
cp k r a d s
/ ( )cap s H p将 代入 得
5
5 4 2 3 3 2 4 5
4 3 2 1 0
() ca
c c c c c
Hs s b s b s b s b s b
模拟滤波器的设计
(二）切比雪夫滤波器
Amin
Amax
通带内等波纹波动阻带内幅度特性单调下降
ΩsΩp0 Ω
H(jΩ)
特点,(1)通带内等波纹波动； (2)阻带内幅值单调下降模拟滤波器的设计
ε 2 表示 |H(jΩ)| 的波动范围
1( ) c os c os,1NC x N x x
1( ),1NC x c h Nc h x x
2
22
1()
1 ( )N
p
Hj
C?
幅度平方函数切比雪夫多项式,对应通带对应阻带
21
1
0
)(?jHa
（ N奇数）
p? s?
1
21
1
p?0
1
)(?jHa
（ N偶数）
1?
2?
s?
模拟滤波器的设计
|H(j?)|的特点：
1） 无论 N为何值，经过
2
1(,)
1c
2）通带内等波纹，均方误差最小；通带外单调下降，下降速度高于同阶的 Butterworth滤波器；
3）
2
,( 0 ) 1 ;
1,( 0 )
1
N o d d H j
N e v e n H j
得极点：
kkk js0)(1 22
cN j
sC?由
Nk,....,2,1? )]12(2s i n [ kNack
)]12(2c o s [ kNbck?
)(21 11 NNa
)(21 11 NNb
111 2其中选左半平面诸极点，得归一化的传输函数：
j
N?
)3(?N
╳ ╳
╳╳
╳╳
1s 6s
5s
4s3s
2s
N
k k
Na pp
pH
1
1 )(2
1)(
去归一化以后的传输函数为
N
k
p
N
p
k
N ps
sH a
1
)(2
)(
1?
这些极点 s位于椭圆圆周上
1) 确定技术要求 s αs,αp,?p?,
2) 求滤波器阶数 N和参数 ε
切比雪夫 滤波器设计步骤：
)A r c h (
)A r c h ( 11
S
kN
110 1.0
其中
P
sS
110
110
1.0
1.0
11
p
sk
3）求归一化传输函数 )(pHa
N
k k
Na pp
pH
1
1 )(2
1)(
4) 将 去归一化，得到实际的)(pHa )(sHa
pspaa pHsH /|)()(
p 就是其中通带波纹模拟滤波器的设计模拟滤波器的频率变换 — 模拟高通、带通、带阻滤波器的设计高通、带通、带阻滤波器的传输函数可通过频率变换，分别由低通滤波器的传输函数求得，因此不论设计哪一种滤波器，都可先将该滤波器的技术指标转换为低通滤波器的技术指标，按照技术指标先设计低通滤波器，再通过频率变换，将低通的传输函数转换成所需类型的滤波器传输函数。
模拟高通、带通和带阻滤波器的设计高通带通带阻滤波器指标低通滤波器技术指标设计模拟低通滤波器
G（ p）
高通带通带阻滤波器
H（ s）
频率变换 频率变换一,模拟高通滤波器设计
p?s?
|)(|?jH
'p? p?'s? s?
|)(|?jG
1?
,,,00,,,psps
sp p
pGsH |)()(
不变和 sp
例题利用巴特沃思滤波器设计一高通滤波器，要求
（ 1）先将频率归一化，由
（ 2）作频率变换，得到
（ 3）设计低通滤波器，得到
（ 4）求高通滤波器的转移函数令带入上式，即可得到 H(s)。
1 0 0 3 5 0 3 0p p s sf H z d B f H z d B，,,
/ 1 0,5p p s,得 到,
1 2 3 3 0p s p sd B d B，,而 和 不 变
22
1()
( 1 ) ( 0,6 1 8 1 ) ( 1,6 1 8 1 )Gp p p p p p
ssp p /200/
二,模拟带通滤波器设计
'p? p?'s? s?
|)(|?jG
1? 0?sl? sh?
|)(|?jH
3?
2
2
2?
)( 13
31
2)()(
s
s
p
pGsH
三、模拟带阻滤波器设计
2
2
2
31
2
13 )(
)()(
s
s
p
pGsH
用脉冲响应不变法设计 IIR数字低通滤波器映射
Mapping
连续时间域（ S平面） 离散时间域（ Z平面）
模拟滤波器 (AF) 数字滤波器 (DF)
具体的映射方法有：脉冲响应不变法、阶跃响应不变法、双线性变换法等设计过程是：按照技术要求设计一个模拟低通滤波器，得到模拟低通滤波器的传输函数,再按一定的转换关系将 变换成数字低通滤波器的系统函数 。
)(sHa )(sHa
)(zHa
2、把传输函数 从 S平面变换到 Z 平面 H(z):)(sHa
1、把 DF的技术指标转换为 AF的指标参数 设计出 AF
映射必须满足的条件：
S平面的虚轴? Z平面的单位圆（频率之间成线性关系）
(1) 因果稳定 AF,转换成 DF，仍是因果稳定的
(2) DF的频响 模仿 AF的频响特性
（ S左半平面? Z单位圆内）
)( wjeH )(?jH
用脉冲响应不变法设计 IIR数字低通滤波器从时域确定 S平面和 Z平面之间的映射关系数字性能指标?
模拟滤波器的性能指标；
（ w =?T）
h(n)=Th(nT)
0
ha(t)
h(n)
取样取样
x(t)
ha(t)
y(t)
x(t) y(t)
x(nT) y(nT)
x(n)=x(nT) y(n)=y(nT)
0 T T T0t t t
这就是：数字滤波器和模拟滤波器两者频响之间的关系式二,L变换和 Z变换关系：
n
s n T
n
s n T
a
n
st
a
st
n
aa
enh
enTh
dtenTtth
dtenTtthsH
)(
)(
)()(
)()()(?
n nznhzH )()(
sTeza zHsH
)()(?
采样信号的拉氏变换与相应的序列的 Z变换之间的映射关系为,sTez?
k saa jkjHTjH )(1)(?又因为将 js 代入上式得
k saa jksHTsH )(
1)(?
k saez jksHTzH sT )(1|)( Ts?2
1?r0 （虚轴） （单位圆）
0 （左半平面） 1?r （单位圆内）
0?s （原点 A） 1?z （单位圆上 A）
1 （平行线） T11w （射线）
`~ TTw ~（带条） （整个 Z平面）
TjTj eerew
Z平面
]Im[zj
]Re[z
0 1Z=-1
:w?A
T11w
1w?
j
0 0
S平面
T?
T
A
1?
sTez?由
js?
wjrez?
设因此有 Ter
Tw
注意 是周期函数sTez?
S平面与 Z平面之间的映射关系：
STZe Ter T w?,
S平面上
TT
映射为 Z 平面上 -π≤ω≤π
j?
S 平 面?T
T?
Z 平 面在 S平面上，任何一个宽度为（ 2π /T）的水平带，映射为一 Z
平面； → H(ejω )为周期函数；
用脉冲响应不变法设计 IIR数字低通滤波器
(1),利用公式,Tw
spsp,,ww
将数字滤波器技术指标转换为模拟指标,
(2),设计模拟低通滤波器 H(s);
(3),将 H(s)分解成单极点的部分分式之和,然后按照一阶模拟系统和一阶数字系统的映射完成 H(S)--?H(z).
3、脉冲响应不变法的特点,
优点,频率关系保持标准线性关系,低频段数字滤波器与模拟滤波器几乎完全一致。而且 时域逼近特性 很好缺点,不存在 S到 Z的直接有理影射关系式,需要对 H(S)分解 ;
高频段存在混叠失真 ;不能设计高通和带阻滤波器,
原则上只能适用带限信号用脉冲响应不变法设计 IIR数字低通滤波器变换原理脉冲响应不变法是使 DF在 时域上模仿 AF，存在 S?Z平面多值映射 的问题双线性变换法是 使 DF的 频响模仿 AF。先把整个 S平面压缩变换为?S1平面的一条（?1从 -T到
T，宽度为 2T 的水平）横带，然后通过标准 Z变换，将 s1?z平面
⑴
1
1
1
12
z
z
Ts
2
2
1
12
1
1
1
Tsth
T
e
e
T
s Ts
Ts
⑵1?j
1?0
S1平面
T?
T
Tsez 1?
T1w
Z平面
]Im[zj
]Re[z0
Z=1?0
)0(
:? A
S平面
j
0
T?
T
⑴ 压缩变换,s?s1
T?
T
1?
0
11 jsjs
2
2
1
12
1
1
1
Tsth
T
e
e
T
s Ts
Ts
2tan2 1TT
⑵ 标准 Z变换,s1?z
1
1
1
12
z
z
Ts s
T
s
Tz
2
2
Tsez 1?
用 双线性变换法设计 IIR数字低通滤波器设 s=σ+jΩ,wjrez?
则,
s
sz
T
T
2
2
2
1
222
222
)(
)(?
T
Tr
w?
TT
tgtg 2121
S平面同 Z平面之间的映射关系,
S平面 Z平面
σ>0,右半平面 r>1，单位圆外
σ=0,虚轴 r=1，单位圆
σ<0,左半平面 r<1，单位圆内令 σ=0，得,12
2
Ttgw
当 Ω 由
ω 由 -π 到 π 变化用 双线性变换法设计 IIR数字低通滤波器利用双线性变换，把
65
1)(
2
ss
ssH
a
例题,
1
21
1
21
1
1
2
1
1
1
12
2.01
05.01.015.0
420
23
6
1
1
25
1
1
1
1
1
2
|)()(
1
1
2
1
1
z
zz
z
zz
z
z
z
z
sHzH
z
zz
z
T
s
a
用 双线性变换法设计 IIR数字低通滤波器转换成数字滤波器 H(z)，其中 T = 1
1),DF的性能指标,ωs,ωp,Rp 和 Rs；
2
2 wtg
T
2).根据 转换性能指标，求得相应的 Ωs,Ωp
3).根据 Ωs,Ωp,Rp,Rs 设计模拟低通滤波器原型 ——
得到 AF的系统函数 Ha(s)
4).利用双线性变换得到数字滤波器的传输函数，即：
1
1
1
12|)()(
z
z
Ts
a sHzH
双线性 变换法 的应用：
用 双线性变换法设计 IIR数字低通滤波器
（预畸变）；
小结：用模拟滤波器设计 IIR数字低通滤波器的步骤,
1、确定 DF LP的技术指标：
2、将 DF的技术指标转换成 AF的相应指标：
（ 1）脉冲响应不变法
（ 2）双线性变换法
3、按照 AF的指标设计相应的 AF（一般选用 Butterworth或者 Chebyshev-I）
4、将 AF的 Ha(s)转换为 DF的 H(z)。
（ 1）脉冲响应不变法：
（ 2）双线性变换法：
spspww,、、
spsp,、,
Tw
2t a n2 wT
N
i
Ts
i
N
i i
i
a ze
AzH
ss
AsH
i1 11 1
)()(
1
1
1
12)()(
z
z
Tsa
sHzH T的选择见 P179
用 双线性变换法设计 IIR数字低通滤波器低通高通带通带阻数字低通、高通、带通和带阻滤波器设计
(二）高通数字滤波器设计设计步骤：
数字低通、高通、带通和带阻滤波器设计数字低通、高通、带通和带阻滤波器设计
（三）数字带通滤波器设计为通带的中心频率为通带的带宽,312213 BW
BWBWBW
shsh
BW
slsl 3311,,,
3122归一化的数字低通、高通、带通和带阻滤波器设计带通频率转换为低通频率利用得到的低通滤波器的技术指标 可设计出低通滤波器的转移函数 G(P)。 spsp,,,
λ － ∞ - λs - λp 0 λp λs ∞
η 0 ηs1 ηl η2 η3 ηsh ∞
λ和 η对应关系数字低通、高通、带通和带阻滤波器设计
22
2
由,
得带通滤波器的系统函数：
)( 13
312
|)()(
s
sppGsH
q
q
j
q
j
q
jjjp
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)(
)(
)()(
)()(
13
31
2
2312
s
s
s
s
BW
BWBW
数字低通、高通、带通和带阻滤波器设计
(四）数字带阻滤波器设计数字低通、高通、带通和带阻滤波器设计带阻滤波器到低通滤波器的频率转换：
根据已经得到的低通指标得到 G(P)
由 得到 G(S)，再利用双线性关系得到 G(Z)
Η和 λ的对应关系数字低通、高通、带通和带阻滤波器设计
