序列的 Z变换
L变换（拉氏变换）：（线性模拟系统）解常系数微分方程的运算方法 —— 变微分方程为代数方程
（时域?复 域）
Z变换：（离散系统）解常系数差分方程的运算方法 —— 变差分方程为代数方程（时域?复 域）；
序列的 Z变换时间连续系统中：
L变换 jt? （ S平面）
F变换 jt （虚轴）?
j
F变换
j?
0
S平面时间离散系统中,F变换?jenT? （单位圆）
Z变换?jrenT? （ Z平面） )(ZRe
)(ZjIm
F变换
0
jreej?
Z平面
Z变换的定义及收敛域定义,
n
nznxzX )()( 双边 Z变换
0 )()( n nznxzX 单边 Z变换
Z变换存在的条件,
n
nznx )(
环状）( xx RzR收敛域
Z 变换的收敛域
Re(z)
Z平面
Im(z)
r1
r2
按复变函数的理论，幂级数的收敛域为 Z平面上的环状区域,,
是 X(z)的极点,可以取零值,可取 ∞。如果
<,说明收敛域不存在，那么 z 变换也不存在。
在此域内 X(z)是 z的解析函数,X(z)的极点在 R（收敛域）之外。
21 || rzr 1r 2r
1r
2r
2r 1r
Z 变换的收敛域
Z 变换的收敛域 (3)
有限长序列序列 收 敛 域
n
0
1n 2n
n
0
1n 2n
01?n
因果性
n
2n
1n
0
0,0 21 nn
非因果性
02?n
非因果性
z0
z0
z0
1
1
0 1
1)(
zzzzX NN
n
n
例 求 的 Z变换和收敛域。 )()( nRnx N?
解：
z0收敛域为几乎整个 Z平面21 nnn)(nx )(nx
0 其它右边序列的收敛例：
变换的求 znUanx n )()(?
（极点）azR?:
0 1
1
1
1)()()(
n
n
n
nn
az
z
azazznUazX
右边序列的收敛左边序列的收敛域左边序列的收敛域在上面的两列中的序列是不同的，即一个是左边序列，一个是右边序列，但其 Z变换是一样的，收敛域都不同。换句话说，
同一个 Z变换函数，收敛域不同对应的序列是不同的。
另外，我们知道，收敛域中无极点收敛域总是以极点为界的。如果求出序列的 Z变换，找出其极点，则可根据序列的特性，较简单地确定其收敛域。
Re(z)
Im(z)
r1
r2
双边序列,既包含有右边序列，又包含有左边序列，
其收敛区域为,
或者不存在。
21 rRr
双边序列的收敛域例,设求,)(
2 zX
1:;
:1,:,
)(
0
1
2
R O CR O C R O C 2
bz
z
az
z
bzR O C
bz
z
azR O C
az
z
zbzazX
n
nnnn
解：
若 |b|<|a|，则收敛域是一个空集,不存在；若
|a|<|b|，则收敛域为 |a|< |z|<|b|，且存在于此区域。
)(2 zx
)(2 zx
双边序列的收敛域
)1()()()()( 12 nubnuanxnxnx nn
1
0
)()()()(
n
n
n
n
n
n ZnxZnxZnxZX
= 右边序列 + 左边序列
（ 1）由于收敛条件由 |z| 的幅度决定，所以收敛于一个圆的边界。
（ 2）对右边序列,收敛，则比 大的 Z的模一定收敛,是右边序列的极点。
（ 3）对左边序列,收敛，由级数比较判决法，比小的数一定收敛,是左边序列的极点。
1rz? 1r
1r
2rz? 2
r
2r
Z 变换总结
Z 变换总结
（ 4）若不止一个极点，则找与收敛域相重的那个极点。对右边序列是最外的极点之外的收敛，对左边序列是最内的极点之内收敛，收敛域中无极点。
（ 5）对双边序列，若左右序列的收敛域具有相重部分，则相重部分为收敛域，必是一个开放的环；若不相重，则不收敛（ Z变换不存在）。
（ 6）如果存在一个序列，它在 和 时取零值，则称为有穷序列。这类序列的收敛域是整个 z 平面。若
，则 不属于收敛域；若,则 z=0 也不属于收敛域。
（ 7）收敛域是一个连通的区域，即收敛域不可分割。
（ 8）对于有理函数，其收敛域边界上至少有一个极点。
1nn? 2nn?
01?nz 0
2?n
序列 Z 变换 收敛域
1)(n? z?
)(nu 11 1 z 1?z
)1( nu
11
1
z 1?z
)(nua n
11
1
az
az?
)1( nub n
11
1
bz
bz?
常用的 z 变换对序列 Z 变换 收敛域
)(]s i n[ 0 nunwa n 221
0
1
0
)c o s2(1
)s i n(
zazwa
zwa az?
)(]c o s[ 0 nunwa n 221
0
1
0
)c o s2(1
)c o s(1
zazwa
zwa az?
)(nuna n
21
1
)1(?
az
az az?
)1( nunb n
21
1
)1(?
bz
bz bz?
常用的 z 变换对部分分式分解法幂级数展开法围线积分法
Rz?
c n dzzzXjnx 1)(2 1)(?
nxzzX 1)(
Z 反变换式中 c是 X(z)收敛域 (Rx-,Rx+)中一条逆时针的闭合曲线
xR
xR
]Re[z
]Im [zj
C
Z 反变换如果,对 X(z) 真有理式部分进行部分分式展开，
得：
则：
NM
k
k
k
N
k k
k zC
zp
RzX
01
11)(
rk?
NM
k
k
N
k k
k knCzpZRnx
01
1
1 )(
1
1)(?
部分分式法：
rz nu
rz nu
zp
Z
k
n
k
k
n
k
k p
p
2)1(
1)(
1
1
1
1
Z 反变换
143)( 2 zz
zzX
例,求取 的 z 反变换。
解：
1
1
3
1
1
1
2
1
1
1
2
1
)(
zz
zX
由此可知,X(z) 有两个极点,及,由于收敛域未给定，所以下图给出了三种可能的情况
11?z 31
2?z
部分分式法：
Z 反变换
Re{z}
Im{z}
0 1/3 1
ROC1
)(
3
1
2
1
)(
2
1
)(1 nununx
n
收敛域 1 (ROC1),1<|z|<∞，
此处的两个极点都在收敛域 1
（ ROC1） 内部，所以有和,因此得1
2?z11xRz
它是一个右边序列。
部分分式法：
Z 反变换它是一个左序列。
Re{z}
Im{z}
0 1/3 1
ROC2
)1(
2
1
)1(
3
1
2
1
)1(
3
1
2
1
1(
2
1
)(
2
nunu
nununx
n
n
收敛域 2：,此处的两个极点都在收敛域 2的外部，所以有和,因此，得31
2?z
310 1 z
311xRz
部分分式法：
Z 反变换它是一个双边序列。
Re{z}
Im{z}
0 1/3 1
ROC3
)(3121)1(21)(3 nununx
n
收敛域 3,,此时极点 在收敛域 3的外部，
即 ；而极点 在收敛域 3 的内部，即 。
因此，得
312?z
131 z
11xRz
1z
2z
部分分式法：
Z 反变换 (7）
例
（假设 x(n) 为右边序列）
1 2 5.075.0
75.02)(
2
2
zz
zzzX
nnnx 25.05.0)(
25.05.0
)25.0)(5.0(
75.02
1 2 5.075.0
75.02
)(
2
2
2
z
z
z
z
zz
zz
zz
zz
zX
部分分式法：
Z 反变换幂级数展开 －长除法：
右边序列的 z反变换左边序列的 z反变换
Z 反变换例：
解
4,3,2,1,0)( nx
幂级数展开 －长除法：
Z 反变换留数法：
c n dzzzXjnx 1)(2 1)(?
c
是在收敛域内的一条包围原点的闭合曲线，
环绕 Z平面原点的封闭线。利用留数定理进行积分运算，因此：
1
1
1( 1 ) ( ) ( )
2
[ ( ) ]
n
c
n
x n X z z d z
j
X z z C
在 内极点上的留数
1( 2 ) ( ) [ ( ) ]nx n X z z C 在 外极点上的留数
Z 反变换因为 C在收敛域内，因此，首先确定收敛域，然后针对每个收敛域内的极点计算 Z反变换。
0|)()(
10 zznzzXzz
0z
在单极点 的留数1)(?nzzX
0
1
01
1
])()[()!1( 1 zzzzXzz
dz
d
K
nK
K
K
在 有 K阶极点的留数
0z
1)(?nzzX
留数法：
Z 反变换留数法,例：
231,)13)(2( 5)( zzz zzX
解,（ 1） 时0n?
的内部）在有极点 C(31)13)(2( 5 1 zzzz z n
n
z
n
z
n
n
zz
z
z
zz
zz
z
zz
zz
nx
)
3
1
(
)
3
1
)(2(3
5
)
3
1
(
)13)(2(
5
)
3
1
(
)13)(2(
)(5
)(
3
1
3
1
1
1
留数参考前面的左、右边序列的收敛情况确定极点
Z 反变换例：
231,)13)(2( 5)( zzz zzX
解,（ 2） 时0n?
的外部）有极点（在在 Czzzz z n 2)13)(2( 5 1
n
z
n
z
n
zz
zz
z
zz
zz
nx
2
)13)(2(
)(5
)2(
)13)(2(
)(5
)(
2
1
2
1
留数
02
0)
3
1(
)(
n
nnx
n
n
留数法,
Z变换的性质
yyxx yzrzYnyZrzrzXnxZ ),()]([,),()]([设
)()()]()([ zbYzaXnbynaxZ
],m i n [],,m a x [,2121 yxyx rrrrrrrzr
1,线性收敛域：
某些线性组合引入一些零点，有可能对消一些极点，这时收敛域有可能扩大
)()]([ 00 zXznnxZ n
2,样本的位移性
xx rzr
收敛域,
Z变换的性质
azXnxaZ n )]([
xx razra
3,频率的位移 （标尺特性）
收敛域,
)/1()]([ zXnxZ
4,折叠
5,复共轭序列
*)(*)](*[ zXnxZ?
xx rzr
收敛域：
xx rzr
收敛域：
Z变换的性质
dz
d X ( z )-zZ [ n x ( n ) ]?6,z 域中的微分序列
xx rzr
收敛域,
c dvvvzXvXjnxnxZ 12121 )/()(2 1)]()([?
7,复卷积定理
C是 与 两者收敛区重叠部分的闭合围线,收敛域为 和 的重叠部分。
)(1vX
)/(2 vzX
11 xx rvr
22 xx rv
zr
Z变换的性质
)()()]()([ zHzXnhnxZ
8,Z域卷积离散时间域的卷积等价于复 Z域的乘积。
证明,LSI系统的卷积定义为
0
)()()()()(
k
nhnxknhkxny
0 0
)()()(
n k
nzknhkxzY
0
)()(
k
kzkxzH
)()( zXzH?
9,初值定理对因果序列 x(n),)(l i m)0( zxx
z
10,终值定理对因果序列 x(n),)()1(lim)(lim
1 zxznx zn
利用 Z变换解差分方程
N 阶常系数线性差分方程为
)()(
00
knxbknya M
k k
N
k k
1,求稳态解如果输入序列 是在 以前 时刻加上的,时刻的 是稳态解，
)(nx 0?n? n )(ny
对上面差分方程求 Z变换，得到
kM
k k
kN
k k zzXbzzYa
)()( 00
)()(
0
0 zX
za
zb
zY N
k
k
k
M
k
k
k
)()( zXzH?
N
k
k
k
M
k
k
k
za
zb
zH
0
0)(
其中
)]([)( 1 zYZny
2,求暂态解
)()( 00 knxbknya Mk kNk k
对于 N 阶差分方程，求暂态解必须已知 N 个初始条件。设 是因果序列，已知 N个初始条件,… 。
)(nx)1(?y )2(?y )( Ny?
对差分方程求单边 Z变换
])()([ 10 kl lNk kk zlyzYza kMk k zzXb )(0
)()(
0
0 zX
za
zb
zY N
k
k
k
M
k
k
k
N
k
k
k
N
k kl
lk
k
za
zlyza
0
0
1 )(
零状态解 零输入解求例 已知 )()2(6)1(5)( nxnynyny
其中 )(4)( nunx n? 4)1(y 1)2(y，，,)(ny
解：对差分方程两边求单边 Z变换
)2(6)1(6)(6)1(5)(5)( 121 yzyzYzyzYzzY )(zX?
21
1
651
)()2(6)1(6)1(5)(
zz
zXyzyyzY
21 651
)(
zz
zX
21
1
651
2414
zz
z+
零状态解零输入解
nnnny )2(2)3(9)4(8)( 0?n
即：
M
i
N
j
ji jnyainxb
0 0
)()(
M
i
N
j
ji jnyainxbny
0 1
)()()(
一个 LSI因果系统的差分方程为：
对两边 Z变换，得
N
j
M
i
i
i
j
j zXzbzYza
0 0
)()(
系统函数及频域分析由 Z变换的线性和移位特性可得：
)(
)(
)(
1
)(
)(
1
0
0
0 zH
zA
zB
za
zb
za
zb
zX
zY
N
j
j
j
M
i
i
i
N
j
j
j
M
i
i
i
系统传递函数系统函数
1.定义：
2,
( ) ( )
[ ( ) ] ( )
H z h n Z
Z h n H z?
与 是 一 对 变 换 对
3,系统的频率响应,令,?jez?
则：
)(
)()(
j
j
j
eX
eYeH?
系统函数的零极点是极点）
是零点）
i
N
i
i
i
M
i
i
ddz
cczA
zH
()(
()(
)(
1
1
H(z) 函数可在 z 域中用零极点图的形式来描述。
N
i
i
j
M
i
i
j
j
de
ce
AeH
1
1
)(
)(
)(
若函数 H(z) 的收敛域包括单位园（ ），则可在这个单位园上计算 H(z)，并得到系统频率响应或传递函数 。
jez?
)(?jeH
系统函数的零极点
iji ceC
用 表示在 Z复平面上由零点 指向单位圆上的向量
iC
ic?jez?
iji deD
用 表示在 Z复平面上由极点 指向单位圆上的向量
jez?iD?
id
则：
N
i
i
M
i
i
j
D
C
AeH
1
1)(
零点矢量极点矢量系统函数的零极点用极坐标表示
e
R
m
I
j
e
i
C
i
D
i
c
i
d
i
i
)()()( jjj eeHeH
N
i
i
M
i
i
j
D
C
AeH
1
1)(?
N
i
i
M
i
i
11
)(
ijii eDD
ijii eCC
系统函数零极点对频域特性的影响频响与零极点的关系：
在极点附近出现峰值。当极点在单位圆上时，将出现 ∞，极点在单位圆外，系统不稳定。
在零点附近频响出现谷值，零点在单位圆上时，零点值为零，
零点可以在单位圆外。
)(?H
2
2
)(
系统函数零极点对频域特性的影响结论：
1,Z平面原点处的极零点不影响系统的幅频响应特性
2,极点主要影响幅度特性的峰值，极点越靠近单位圆，
峰值越高越尖锐，当极点处于单位圆上，该点的频响为无穷大，相当于在该点处形成无耗谐振，系统不稳定
3,零点主要影响幅度特性的谷值，零点越靠近单位圆，
谷值越小，当处于单位圆上时，幅度为零。
零极点分布及最小相位系统对因果稳定系统：（极点全在单位圆内）
最小相位系统：零点全在单位圆内最大相位系统：零点全在单位圆外混合相位系统：单位圆内外都有零点最常用系统：最小相位系统（ LSI系统）
极点零点在单位圆内时当 W变化一周时，极零点的相位影响为 2,极点零点在单位圆外时，当 W变化一周，极零点的相位影响为 0.
LSI 因果系统的稳定性
LSI系统的四种描述方式
n
j w njw enheH )()（
n
nznhzH )()(
N
k
M
r
rnxrbknykany
1 0
)()()()()(
频率响应：
系统函数：
差分方程：
卷积关系：
)(*)()( nhnxny?
LSI系统的四种描述方式系统函数
H(z) 零极点模式卷积方程脉冲响应H(n)
差分方程滤波器设计频率响应框图设计采样处理
)( jweH
序列的付氏变换就是其在单位圆上的 Z变换序列 x(n) 的 Z变换为：
令复变量,则
n
nznxzX )()(
jrez?
n
jnnj ernxreX )()(
Z变换与付氏变换的关系
Z变换与付氏变换的关系令 r=1,则?jez
n
jnj enxeX )()(
单位圆上的 Z变换就是付氏变换。
付氏变换是 Z变换的特例,F变换的一切特性可直接由 Z变换的特性得到。
e
R
m
I
1?r
平面Z
Z变换与付氏变换的关系收敛问题
Z变换和 F变换级数求和 —— 存在是否收敛 的问题付氏变换,
n
jnj enxeX )()(
收敛就是指)(?jeX
nn
jn
n
jnj nxenxenxeX )()(|)(||)(|
如果
n
nx )()(?jeX
则有,即 F变换收敛。
Z变换与付氏变换的关系
Z变换：
n
jnn
n
n ernxznxzX?)()()(
n
n
jn
n
n
n
jnn
n
n
rnx
ernxernxznxzX
)(
)(|)(||)(||)(|
因此，如果,则,即 Z变换收敛。
n
nrnx )()( zX
所以 F变换收敛对于 的要求强于 Z变换收敛对于 的要求，因为若 不满足
)(nx
)(nx )(nx
n
nx )(
找到适当的 r，使,即可在 Z平面上找一个合适的区域，也就是说，虽然 的付氏变换不收敛，也可设法使其 Z变换收敛。
n
nrnx )(
)(nx
Z变换与付氏变换的关系
L变换（拉氏变换）：（线性模拟系统）解常系数微分方程的运算方法 —— 变微分方程为代数方程
（时域?复 域）
Z变换：（离散系统）解常系数差分方程的运算方法 —— 变差分方程为代数方程（时域?复 域）；
序列的 Z变换时间连续系统中：
L变换 jt? （ S平面）
F变换 jt （虚轴）?
j
F变换
j?
0
S平面时间离散系统中,F变换?jenT? （单位圆）
Z变换?jrenT? （ Z平面） )(ZRe
)(ZjIm
F变换
0
jreej?
Z平面
Z变换的定义及收敛域定义,
n
nznxzX )()( 双边 Z变换
0 )()( n nznxzX 单边 Z变换
Z变换存在的条件,
n
nznx )(
环状）( xx RzR收敛域
Z 变换的收敛域
Re(z)
Z平面
Im(z)
r1
r2
按复变函数的理论，幂级数的收敛域为 Z平面上的环状区域,,
是 X(z)的极点,可以取零值,可取 ∞。如果
<,说明收敛域不存在，那么 z 变换也不存在。
在此域内 X(z)是 z的解析函数,X(z)的极点在 R（收敛域）之外。
21 || rzr 1r 2r
1r
2r
2r 1r
Z 变换的收敛域
Z 变换的收敛域 (3)
有限长序列序列 收 敛 域
n
0
1n 2n
n
0
1n 2n
01?n
因果性
n
2n
1n
0
0,0 21 nn
非因果性
02?n
非因果性
z0
z0
z0
1
1
0 1
1)(
zzzzX NN
n
n
例 求 的 Z变换和收敛域。 )()( nRnx N?
解：
z0收敛域为几乎整个 Z平面21 nnn)(nx )(nx
0 其它右边序列的收敛例：
变换的求 znUanx n )()(?
（极点）azR?:
0 1
1
1
1)()()(
n
n
n
nn
az
z
azazznUazX
右边序列的收敛左边序列的收敛域左边序列的收敛域在上面的两列中的序列是不同的，即一个是左边序列，一个是右边序列，但其 Z变换是一样的，收敛域都不同。换句话说，
同一个 Z变换函数，收敛域不同对应的序列是不同的。
另外，我们知道，收敛域中无极点收敛域总是以极点为界的。如果求出序列的 Z变换，找出其极点，则可根据序列的特性，较简单地确定其收敛域。
Re(z)
Im(z)
r1
r2
双边序列,既包含有右边序列，又包含有左边序列，
其收敛区域为,
或者不存在。
21 rRr
双边序列的收敛域例,设求,)(
2 zX
1:;
:1,:,
)(
0
1
2
R O CR O C R O C 2
bz
z
az
z
bzR O C
bz
z
azR O C
az
z
zbzazX
n
nnnn
解：
若 |b|<|a|，则收敛域是一个空集,不存在；若
|a|<|b|，则收敛域为 |a|< |z|<|b|，且存在于此区域。
)(2 zx
)(2 zx
双边序列的收敛域
)1()()()()( 12 nubnuanxnxnx nn
1
0
)()()()(
n
n
n
n
n
n ZnxZnxZnxZX
= 右边序列 + 左边序列
（ 1）由于收敛条件由 |z| 的幅度决定，所以收敛于一个圆的边界。
（ 2）对右边序列,收敛，则比 大的 Z的模一定收敛,是右边序列的极点。
（ 3）对左边序列,收敛，由级数比较判决法，比小的数一定收敛,是左边序列的极点。
1rz? 1r
1r
2rz? 2
r
2r
Z 变换总结
Z 变换总结
（ 4）若不止一个极点，则找与收敛域相重的那个极点。对右边序列是最外的极点之外的收敛，对左边序列是最内的极点之内收敛，收敛域中无极点。
（ 5）对双边序列，若左右序列的收敛域具有相重部分，则相重部分为收敛域，必是一个开放的环；若不相重，则不收敛（ Z变换不存在）。
（ 6）如果存在一个序列，它在 和 时取零值，则称为有穷序列。这类序列的收敛域是整个 z 平面。若
，则 不属于收敛域；若,则 z=0 也不属于收敛域。
（ 7）收敛域是一个连通的区域，即收敛域不可分割。
（ 8）对于有理函数，其收敛域边界上至少有一个极点。
1nn? 2nn?
01?nz 0
2?n
序列 Z 变换 收敛域
1)(n? z?
)(nu 11 1 z 1?z
)1( nu
11
1
z 1?z
)(nua n
11
1
az
az?
)1( nub n
11
1
bz
bz?
常用的 z 变换对序列 Z 变换 收敛域
)(]s i n[ 0 nunwa n 221
0
1
0
)c o s2(1
)s i n(
zazwa
zwa az?
)(]c o s[ 0 nunwa n 221
0
1
0
)c o s2(1
)c o s(1
zazwa
zwa az?
)(nuna n
21
1
)1(?
az
az az?
)1( nunb n
21
1
)1(?
bz
bz bz?
常用的 z 变换对部分分式分解法幂级数展开法围线积分法
Rz?
c n dzzzXjnx 1)(2 1)(?
nxzzX 1)(
Z 反变换式中 c是 X(z)收敛域 (Rx-,Rx+)中一条逆时针的闭合曲线
xR
xR
]Re[z
]Im [zj
C
Z 反变换如果,对 X(z) 真有理式部分进行部分分式展开，
得：
则：
NM
k
k
k
N
k k
k zC
zp
RzX
01
11)(
rk?
NM
k
k
N
k k
k knCzpZRnx
01
1
1 )(
1
1)(?
部分分式法：
rz nu
rz nu
zp
Z
k
n
k
k
n
k
k p
p
2)1(
1)(
1
1
1
1
Z 反变换
143)( 2 zz
zzX
例,求取 的 z 反变换。
解：
1
1
3
1
1
1
2
1
1
1
2
1
)(
zz
zX
由此可知,X(z) 有两个极点,及,由于收敛域未给定，所以下图给出了三种可能的情况
11?z 31
2?z
部分分式法：
Z 反变换
Re{z}
Im{z}
0 1/3 1
ROC1
)(
3
1
2
1
)(
2
1
)(1 nununx
n
收敛域 1 (ROC1),1<|z|<∞，
此处的两个极点都在收敛域 1
（ ROC1） 内部，所以有和,因此得1
2?z11xRz
它是一个右边序列。
部分分式法：
Z 反变换它是一个左序列。
Re{z}
Im{z}
0 1/3 1
ROC2
)1(
2
1
)1(
3
1
2
1
)1(
3
1
2
1
1(
2
1
)(
2
nunu
nununx
n
n
收敛域 2：,此处的两个极点都在收敛域 2的外部，所以有和,因此，得31
2?z
310 1 z
311xRz
部分分式法：
Z 反变换它是一个双边序列。
Re{z}
Im{z}
0 1/3 1
ROC3
)(3121)1(21)(3 nununx
n
收敛域 3,,此时极点 在收敛域 3的外部，
即 ；而极点 在收敛域 3 的内部，即 。
因此，得
312?z
131 z
11xRz
1z
2z
部分分式法：
Z 反变换 (7）
例
（假设 x(n) 为右边序列）
1 2 5.075.0
75.02)(
2
2
zz
zzzX
nnnx 25.05.0)(
25.05.0
)25.0)(5.0(
75.02
1 2 5.075.0
75.02
)(
2
2
2
z
z
z
z
zz
zz
zz
zz
zX
部分分式法：
Z 反变换幂级数展开 －长除法：
右边序列的 z反变换左边序列的 z反变换
Z 反变换例：
解
4,3,2,1,0)( nx
幂级数展开 －长除法：
Z 反变换留数法：
c n dzzzXjnx 1)(2 1)(?
c
是在收敛域内的一条包围原点的闭合曲线，
环绕 Z平面原点的封闭线。利用留数定理进行积分运算，因此：
1
1
1( 1 ) ( ) ( )
2
[ ( ) ]
n
c
n
x n X z z d z
j
X z z C
在 内极点上的留数
1( 2 ) ( ) [ ( ) ]nx n X z z C 在 外极点上的留数
Z 反变换因为 C在收敛域内，因此，首先确定收敛域，然后针对每个收敛域内的极点计算 Z反变换。
0|)()(
10 zznzzXzz
0z
在单极点 的留数1)(?nzzX
0
1
01
1
])()[()!1( 1 zzzzXzz
dz
d
K
nK
K
K
在 有 K阶极点的留数
0z
1)(?nzzX
留数法：
Z 反变换留数法,例：
231,)13)(2( 5)( zzz zzX
解,（ 1） 时0n?
的内部）在有极点 C(31)13)(2( 5 1 zzzz z n
n
z
n
z
n
n
zz
z
z
zz
zz
z
zz
zz
nx
)
3
1
(
)
3
1
)(2(3
5
)
3
1
(
)13)(2(
5
)
3
1
(
)13)(2(
)(5
)(
3
1
3
1
1
1
留数参考前面的左、右边序列的收敛情况确定极点
Z 反变换例：
231,)13)(2( 5)( zzz zzX
解,（ 2） 时0n?
的外部）有极点（在在 Czzzz z n 2)13)(2( 5 1
n
z
n
z
n
zz
zz
z
zz
zz
nx
2
)13)(2(
)(5
)2(
)13)(2(
)(5
)(
2
1
2
1
留数
02
0)
3
1(
)(
n
nnx
n
n
留数法,
Z变换的性质
yyxx yzrzYnyZrzrzXnxZ ),()]([,),()]([设
)()()]()([ zbYzaXnbynaxZ
],m i n [],,m a x [,2121 yxyx rrrrrrrzr
1,线性收敛域：
某些线性组合引入一些零点，有可能对消一些极点，这时收敛域有可能扩大
)()]([ 00 zXznnxZ n
2,样本的位移性
xx rzr
收敛域,
Z变换的性质
azXnxaZ n )]([
xx razra
3,频率的位移 （标尺特性）
收敛域,
)/1()]([ zXnxZ
4,折叠
5,复共轭序列
*)(*)](*[ zXnxZ?
xx rzr
收敛域：
xx rzr
收敛域：
Z变换的性质
dz
d X ( z )-zZ [ n x ( n ) ]?6,z 域中的微分序列
xx rzr
收敛域,
c dvvvzXvXjnxnxZ 12121 )/()(2 1)]()([?
7,复卷积定理
C是 与 两者收敛区重叠部分的闭合围线,收敛域为 和 的重叠部分。
)(1vX
)/(2 vzX
11 xx rvr
22 xx rv
zr
Z变换的性质
)()()]()([ zHzXnhnxZ
8,Z域卷积离散时间域的卷积等价于复 Z域的乘积。
证明,LSI系统的卷积定义为
0
)()()()()(
k
nhnxknhkxny
0 0
)()()(
n k
nzknhkxzY
0
)()(
k
kzkxzH
)()( zXzH?
9,初值定理对因果序列 x(n),)(l i m)0( zxx
z
10,终值定理对因果序列 x(n),)()1(lim)(lim
1 zxznx zn
利用 Z变换解差分方程
N 阶常系数线性差分方程为
)()(
00
knxbknya M
k k
N
k k
1,求稳态解如果输入序列 是在 以前 时刻加上的,时刻的 是稳态解，
)(nx 0?n? n )(ny
对上面差分方程求 Z变换，得到
kM
k k
kN
k k zzXbzzYa
)()( 00
)()(
0
0 zX
za
zb
zY N
k
k
k
M
k
k
k
)()( zXzH?
N
k
k
k
M
k
k
k
za
zb
zH
0
0)(
其中
)]([)( 1 zYZny
2,求暂态解
)()( 00 knxbknya Mk kNk k
对于 N 阶差分方程，求暂态解必须已知 N 个初始条件。设 是因果序列，已知 N个初始条件,… 。
)(nx)1(?y )2(?y )( Ny?
对差分方程求单边 Z变换
])()([ 10 kl lNk kk zlyzYza kMk k zzXb )(0
)()(
0
0 zX
za
zb
zY N
k
k
k
M
k
k
k
N
k
k
k
N
k kl
lk
k
za
zlyza
0
0
1 )(
零状态解 零输入解求例 已知 )()2(6)1(5)( nxnynyny
其中 )(4)( nunx n? 4)1(y 1)2(y，，,)(ny
解：对差分方程两边求单边 Z变换
)2(6)1(6)(6)1(5)(5)( 121 yzyzYzyzYzzY )(zX?
21
1
651
)()2(6)1(6)1(5)(
zz
zXyzyyzY
21 651
)(
zz
zX
21
1
651
2414
zz
z+
零状态解零输入解
nnnny )2(2)3(9)4(8)( 0?n
即：
M
i
N
j
ji jnyainxb
0 0
)()(
M
i
N
j
ji jnyainxbny
0 1
)()()(
一个 LSI因果系统的差分方程为：
对两边 Z变换，得
N
j
M
i
i
i
j
j zXzbzYza
0 0
)()(
系统函数及频域分析由 Z变换的线性和移位特性可得：
)(
)(
)(
1
)(
)(
1
0
0
0 zH
zA
zB
za
zb
za
zb
zX
zY
N
j
j
j
M
i
i
i
N
j
j
j
M
i
i
i
系统传递函数系统函数
1.定义：
2,
( ) ( )
[ ( ) ] ( )
H z h n Z
Z h n H z?
与 是 一 对 变 换 对
3,系统的频率响应,令,?jez?
则：
)(
)()(
j
j
j
eX
eYeH?
系统函数的零极点是极点）
是零点）
i
N
i
i
i
M
i
i
ddz
cczA
zH
()(
()(
)(
1
1
H(z) 函数可在 z 域中用零极点图的形式来描述。
N
i
i
j
M
i
i
j
j
de
ce
AeH
1
1
)(
)(
)(
若函数 H(z) 的收敛域包括单位园（ ），则可在这个单位园上计算 H(z)，并得到系统频率响应或传递函数 。
jez?
)(?jeH
系统函数的零极点
iji ceC
用 表示在 Z复平面上由零点 指向单位圆上的向量
iC
ic?jez?
iji deD
用 表示在 Z复平面上由极点 指向单位圆上的向量
jez?iD?
id
则：
N
i
i
M
i
i
j
D
C
AeH
1
1)(
零点矢量极点矢量系统函数的零极点用极坐标表示
e
R
m
I
j
e
i
C
i
D
i
c
i
d
i
i
)()()( jjj eeHeH
N
i
i
M
i
i
j
D
C
AeH
1
1)(?
N
i
i
M
i
i
11
)(
ijii eDD
ijii eCC
系统函数零极点对频域特性的影响频响与零极点的关系：
在极点附近出现峰值。当极点在单位圆上时，将出现 ∞，极点在单位圆外，系统不稳定。
在零点附近频响出现谷值，零点在单位圆上时，零点值为零，
零点可以在单位圆外。
)(?H
2
2
)(
系统函数零极点对频域特性的影响结论：
1,Z平面原点处的极零点不影响系统的幅频响应特性
2,极点主要影响幅度特性的峰值，极点越靠近单位圆，
峰值越高越尖锐，当极点处于单位圆上，该点的频响为无穷大，相当于在该点处形成无耗谐振，系统不稳定
3,零点主要影响幅度特性的谷值，零点越靠近单位圆，
谷值越小，当处于单位圆上时，幅度为零。
零极点分布及最小相位系统对因果稳定系统：（极点全在单位圆内）
最小相位系统：零点全在单位圆内最大相位系统：零点全在单位圆外混合相位系统：单位圆内外都有零点最常用系统：最小相位系统（ LSI系统）
极点零点在单位圆内时当 W变化一周时，极零点的相位影响为 2,极点零点在单位圆外时，当 W变化一周，极零点的相位影响为 0.
LSI 因果系统的稳定性
LSI系统的四种描述方式
n
j w njw enheH )()（
n
nznhzH )()(
N
k
M
r
rnxrbknykany
1 0
)()()()()(
频率响应：
系统函数：
差分方程：
卷积关系：
)(*)()( nhnxny?
LSI系统的四种描述方式系统函数
H(z) 零极点模式卷积方程脉冲响应H(n)
差分方程滤波器设计频率响应框图设计采样处理
)( jweH
序列的付氏变换就是其在单位圆上的 Z变换序列 x(n) 的 Z变换为：
令复变量,则
n
nznxzX )()(
jrez?
n
jnnj ernxreX )()(
Z变换与付氏变换的关系
Z变换与付氏变换的关系令 r=1,则?jez
n
jnj enxeX )()(
单位圆上的 Z变换就是付氏变换。
付氏变换是 Z变换的特例,F变换的一切特性可直接由 Z变换的特性得到。
e
R
m
I
1?r
平面Z
Z变换与付氏变换的关系收敛问题
Z变换和 F变换级数求和 —— 存在是否收敛 的问题付氏变换,
n
jnj enxeX )()(
收敛就是指)(?jeX
nn
jn
n
jnj nxenxenxeX )()(|)(||)(|
如果
n
nx )()(?jeX
则有,即 F变换收敛。
Z变换与付氏变换的关系
Z变换：
n
jnn
n
n ernxznxzX?)()()(
n
n
jn
n
n
n
jnn
n
n
rnx
ernxernxznxzX
)(
)(|)(||)(||)(|
因此，如果,则,即 Z变换收敛。
n
nrnx )()( zX
所以 F变换收敛对于 的要求强于 Z变换收敛对于 的要求，因为若 不满足
)(nx
)(nx )(nx
n
nx )(
找到适当的 r，使,即可在 Z平面上找一个合适的区域，也就是说，虽然 的付氏变换不收敛，也可设法使其 Z变换收敛。
n
nrnx )(
)(nx
Z变换与付氏变换的关系
