主要内容：
离散傅立叶变换的定义
离散傅立叶变换的基本性质
频率域采样
DFT的应用第三章 离散 Fourier变换（ DFT）
DFT定义设 x(n)是一个长度为 M的有限长序列，则定义 x(n)的 N点离散傅立叶变换为：
1
0
( ) [ ( ) ] ( ),0,1,.,,,1N knN
n
X k D F T x n x n W k N?
X(k)的离散傅立叶逆变换 IDFT为,
1
0
1( ) [ ( ) ] ( ),0,1,2,.,,,1N kn
N
k
x n I D F T X k X k W n NN
式中,2,j NNW e N D F T N M称为 变换区间长度,。
(3.1.1)
(3.1.2)
把 (3.1.1)代入 (3.1.2)有
11
00
1[ ( ) ] [ ( ) ]NN m k k n
NN
km
I D F T X k x m W WN
11 ()
00
1()NN k m n
N
mk
x m WN
1
()
0
1,,
0,,
N
k m n
N
k
m n M N MW
m n M N M
为整数1N 为整数所以,在变换区间上满足下式,
IDFT[X(k)]=x(n),0≤n≤N-1
由此可见,(3.1.2)式定义的离散傅立叶逆变换是唯一的,
例,x(n)=R4(n),求 x(n)的 8点和 16点 DFT
解,设变换区间 N=8,则
273
8
8
00
3
8
( ) ( )
si n ( )
2,0,1,2,.,7
si n ( )
8
j k n
kn
nn
jk
X k x n W e
k
ek
k
设变换区间 N=16,则
21 5 3
16
16
00
3
16
( ) ( )
s in ( )
4,0,1,2,,,1 5
s in ( )
16
j k n
kn
nn
jk
X k x n W e
k
ek
k
由此可见,x(n)的离散傅立叶变换结果与变换区间长度 N的取值有关
DFT和 Z变换的关系设序列 x(n)的长度为 N,其 Z变换和 DFT分别为,
1
0
1
0
( ) [ ( ) ] ( )
( ) [ ( ) ] ( ),0 1
N
n
n
N
kn
N
n
X z ZT x n x n z
X k D F T x n x n W k N
比较上面二式可得关系式
2( ) ( ) |,0 1jk
Nze
X k X z k N?
(3.1.3)
或
2( ) ( ) |,0 1
j
kN
X k X e k N
（ 3.1.4)
式 (3.1.3)表明序列 x(n)的
N点 DFT是 x(n)的 Z变换在单位圆上的 N点等间隔采样。式 (3.1.4)则说明 X(k)为 x(n)的傅立叶变换 ()jXe? 在区间
[0,2 ]? 上的 N点等间隔采样
DFT的变换区间长度 N
不同，采样间隔和采样点数不同,DFT变换结果也就不同即对序列频谱的离散化
DFT的隐含周期性
DFT的隐含周期性可以从三种不同的角度得出：
1.如前所述 X(k)是对 ()jXe? 的采样，由于 ()jXe? 是以 2?
为周期的周期函数，即 X(k)是对 ()jXe? 的主值区 [0,2 ]?
上 N点等间隔采样。显然,当自变量 k超出 DFT变换区间时,
必然得到 [0,2 ]? 以外区间上 ()jXe? 的采样,且以 N为周期重复出现,得到 ~ ( ) ( ( ) ) NX k X k?
2.由
knNW
的周期性,可证明 X(k)的周期性前面定义的 DFT变换对中,x(n)与 X(k)均为有限长序列,但由于
DFT的隐含周期性
()
,
,,,
()
k mN k
NN
m
W W k m N
Xk
N-1
(k+mN)n
N
n=0
N-1
kn
N
n=0
对任意整数 总有均为整数所以( 3,1,1 ) 中,X ( k ) 满足：
X(k+mN)= x(n)W
x(n)W
同理( 3,1,2 ) 中,x ( n + m N ) = x ( n )
这说明 (3.1.1)和 (3.1.2)中的 X(k)隐含周期性,且周期均为 N
DFT的隐含周期性
3.由 X(k)与 x(n)的周期延拓序列 x((n))N的 DFS系数 ~ ()Xk
的关系,也可得出 DFT的隐含周期性设 x(n)的周期延拓序列 ~ ( ) ( ( ) )
N Nx n x n?
则,~ ()
Nxn 的 DFS系数为
211~~
00
( ) ( ) ( )
NN j k n
knNN
N
nn
x k x n e x n W
显然,当 k=0,1,2…,N -1时,
~~
~~
( ) ( ) [ ( ) ] ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ( ) )
N
N
X k X k D F T x n X k X k R k
X k N X k X k
即：
由于,是以 为周期的，所以有：
(3.6)
结论,有限长序列 x(n)的 N点离散傅立叶变换 X(k)可定义为 x(n)的周期延拓序列 x((n))N的 DFS系数 的主值序列~
()Xk
DFT 的性质
（ 1) 线性,ax[n] + by[n] DFT aX[k] + bY [k],
此处 x[n] 和 y[n] 长度相同 (若不同则加零 )
（ 2)序列的圆周 /循环移位定义：
)())(()( nRmnxny NN
)(nx )(~ nx)(~ nx
Nmnxmnx ))(()(~
将 周期沿拓得 将 右移 m位得：
取主值，一端出另一端进，因为是有限长；均匀分布在一个圆上，顺时针或逆时针旋转
DFT 的性质时域循环移位定理若,DFT[x(n)]=X(k),)())(()( nRmnxny
NN
mkNW则,DFT[y(n)]= X(k)
含义：表明序列圆周移位后的 DFT为 乘上相移因子,即时域中圆周移 m位，仅使频域信号产生的相移，而幅度频谱不发生改变，即 | |=| |
)(kX
mkNW mkNW
mkNW )(kX )(kX
频域 循环移位定理若,X(k)=DFT[x(n)],0≤k≤N-1
Y(k)=X((k+l))NRN(k)
则,y(n)=IDFT[Y(k)]= ()nlNW x n
DFT 的性质
][]2[
~
]2[
~
][
~
][
nRnx
nx
nx
nx
N
N=15
DFT 的性质循环卷积定理有限长序列 x1(n)和 x2(n).长度分别为 N1
和 N2,N=max[N1,N2]。 x1(n)和 x2(n)
的 N点 DFT分别为：
11
22
( ) [ ( ) ]
( ) [ ( ) ]
X k D F T x n
X k D F T x n
12( ) ( ),( )X k X k X k?
如果则或
1
21
0
( ) [ ( ) ] ( ) ( ( )) ( )N NN
m
x n I D F T X k x m x n m R n?
1
12
0
( ) [ ( ) ] ( ) ( ( )) ( )N NN
m
x n I D F T X k x m x n m R n?
一般称上面所表示的运算为 x1(n)和 x2(n)的循环卷积。记为：
时域循环卷积定理
DFT 的性质循环卷积过程中，要求对 x2(m)循环反转,循环移位,特别是两个长度为 N的序列的循环卷积长度仍为 N。显然与一般的线性卷积不同，故称为循环卷积。 另外：循环卷积满足交换律频域循环卷积定理如果
12( ) ( ) ( )x n x n x n?
则或
DFT 的性质复共扼序列的 DFT
设 x*(n)是 x(n)的复共扼序列,长度为 N,
X(k)=DFT[x(n)]
则 DFT[x*(n)]=X*(N-k),0≤k≤N-1
且 X（ N） =X（ 0）
1* ( ) *
0
( ) [ ( ) ]
N N k n
N
n
X N k x n W
证明,1
* ( )
0
1
*
0
*
()
()
[ ( ) ]
N
N k n
N
n
N
kn
N
n
x n W
x n W
D F T x n
由 X（ k）的隐含周期性，有 X（ N） =X（ 0）
同样可证,DFT[x*(N-n)]=X*(k)
DFT 的性质
DFT的共轭对称性有限长共轭对称序列和共轭反对称序列用 xep(n)和 xop(n)分别表示有限长共轭对称序列和共轭反对称序列二者满足,
*
*
( ) ( ),0 1
( ) ( ),0 1
e p e p
o p o p
x n x N n n N
x n x N n n N
当 N为偶数时,将上式中的 n换成 N/2-n,可得,
*
*
( ) ( ),0 1
2 2 2
( ) ( ),0 1
2 2 2
e p e p
op op
N N N
x n x n n
N N N
x n x n n
DFT 的性质任何有限长序列 x（ n）都可表示成其共轭对称分量和共轭反对称分量之和，即：
*
*
( ) ( ) ( ),0 1
1
( ) [ ( ) ( )
2
1
( ) [ ( ) ( )
2
e p op
ep
op
x n x n x n n N
x n x n x N n
x n x n x N n
DFT 的性质
DFT的共轭对称性
*
*
( ) ( ) ( )
1
( ) Re [ ( ) ] [ ( ) ( ) ]
2
1
( ) I m [ ( ) ] [ ( ) ( ) ]
2
ri
r
i
x n x n jx n
x n x n x n x n
jx n j x n x n x n
如果：
其中：
*1[ ( ) ] [ ( ) ( ) ]
2rD F T x n D F T x n x n
*1 [ ( ) ( ) ]
2
()ep
X k X N k
Xk
*1[ ( ) ] [ ( ) ( ) ]
2iD FT j x n D FT x n x n
*1 [ ( ) ( ) ]
2
()op
X k X N k
Xk
( ) [ ( ) ] ( ) ( )
( ) [ ( ) ],( )
( ) [ ( ) ],( )
e p o p
e p r
o p i
X k D F T x n X k X k
X k D F T x n X k
X k D F T j x n X k
的共轭对称分量的共轭反对称分量
DFT 的性质
*
*
( ) ( ) ( ),0 1
1
( ) [ ( ) ( ) ],( )
2
1
( ) [ ( ) ( ) ],( )
2
e p o p
ep
op
x n x n x n n N
x n x n x N n x n
x n x n x N n x n
如果：
的共轭对称分量其中：
的共轭反对称分量
*1[ ( ) ] [ ( ) ( ) ]
2epD F T x n D F T x n x N n
*1 [ ( ) ( ) ]
2
R e[ ( ) ]
X k X k
Xk
*1[ ( ) ] [ ( ) ( ) ]
2opD F T x n D F T x n x N n
*1 [ ( ) ( ) ]
2
I m [ ( ) ]
X k X k
j X k
( ) [ ( ) ] ( ) ( )
( ) R e [ ( ) ] [ ( ) ]
( ) I m [ ( ) ] [ ( ) ]
RI
R e p
I op
X k D FT x n X k jX k
X k X k D FT x n
jX k j X k D FT x n
结论：若 x(n)的 DFT为 X(k),则 x(n)的实部和虚部 (包括 j)的 DFT分别为
X(k)的共轭对称分量和共轭反对称分量 ;而 x(n)的共轭对称分量和共轭反对称分量的 DFT分别为 X(k)的实部和虚部乘以 j
DFT 的性质设 x(n)是长度为 N的实序列,且 X(k)=DFT[x(n)],则
( 1 ) ( ) ( ),0 1
( 2 ) ( ) ( ),
X k N k k N
x n x N n X k
*共轭对称，即：X ( k ) = X
若,则（ ）实偶对称，即：X ( k ) = X ( N - k )
( 3 ) 若：x ( n ) = - x ( N - n ),则X ( k ) 纯虚奇对称,即,X ( k ) = - X ( N -k)
频率域采样频域采样定理：解决问题：由 x(k)导出 x(n),的条件？
设序列 x(n)的长度为 M，则只有当频率域采样点数 时，才可由频率域采样 X(K)恢复 x(n),否则产生时域混叠现象。
)( jweX
MN?
Z平面
Re
Im
kN2?
N
2?
1
频率域采样由频率采样 x(k)推导 X(z)的内插公式和内插函数,
1
0
11
00
11
1
00
1
1
0
1
1
0
( ) ( )
1
()
1
( ) ( )
11
()
1
11
()
1
N
n
n
NN
nk n
N
nk
NN
kn
N
kn
Nk NN
N
k
k N
NN
k
k N
X z x n z
X k W z
N
X k W z
N
Wz
Xk
N W z
z
Xk
N W z
1
( 1 )
11
()
1
1 1 1
N
k k
N
N
Nk
N
z
N
z
N z z W
z
W z
)()()(
1
0
zkXzX
N
k
k?
内插函数内插公式频率域采样由频率采样 x(k)推导 的内插公式和内插函数,)( jweX
1
1
0
1
2
0
1 2 2 2
0
2 2 2
1 2
2
0
2
11
( ) ( )
1
11
()
1
1
()
( 1 ) si n( )
1 ( 1 )
2
()
2
si n( )
2
1
(
j
NN
j
k
k
N
ze
jNN
k
j
k j
N
N N N
j j j
N
k k k
j j jj j j
k
N N N
N
k
j
kN
k
k
N
j
z
X e X k
N W z
e
Xk
N
ee
e e e
Xk
N
e e e e e e
N
e
Xk
kN
Ne
X
N
2
1 2
2
0
2
12
1
()
2
0
2
si n( )
2
)
2
si n( )
2
2
si n ( )
1 2
()
12
si n ( )
2
k
N
jN
N
k
k
N
j
Nk
N
j
N
k
k
N
N
e
k
k
Ne
Nk
N
X k e
kN
N
11
00
2( ) ( ) ( ) ( ) ( )NNj
k
kk
kX e X k X k
N
1
2
sin
1 2( ) ( )
sin
2
j
Nj
ze
N
ez
N?
内插公式内插函数
DFT的应用用 DFT计算线性卷积如果且则由时域循环卷积定理有：
12( ) [ ( ) ] ( ) ( ),0 1Y k D F T y n X k X k k L
由此可见，循环卷积既可在时域直接计算，也可按图 3.4.1的计算框图在频域计算。
由于 DFT有快速算法 FFT,当 N很大时,在频域计算的速度快得多,因而常用 DFT(FFT)计算循环卷积。
DFT的应用在实际应用中，需要计算两个序列的线性卷积，与计算循环卷积一样，为了提高运算速度，也希望用 DFT(FFT)计算线性卷积。
线性卷积和循环卷积的关系线性卷积的长度：
12
1 2 1 2
( ),( )
( ) ( ) * ( ) ( ) ( )
m
x n N x n M
y n x n x n x m x n m
(a)
其中 0≤m≤N-1,0≤n-m≤M-1，得出 0≤n≤M+N-2，即 y(n)长度最大为 M+N-1。
循环卷积：对 和 分别补零，使其长度为 L。)(1 nx )(
2 nx
q
qLnxnx )()(~ 11?
k
kLnxnx )()(~ 22
进行周期为 L的周期卷积（循环卷积）：
1
0
2121 )(
~)(~)(~)(~)(~ N
m
L mnxmxnxnxnf
DFT的应用将其中的 N改为 L得,求和只在一个周期进行，所以只能取 q=0
k
L
m
L
m k
mkLnxmxkLmnxmx 1
0
21
1
0
21 )()()()(
k
kLny )(
(b)
1~
12
0
( ) ( ( ) ( ))
L
L
m q k
f n x m q L x n m k L
比较（ a)和（ b)两式可得：
（ 1)有限长序列 x1(n),x2(n)的线性卷子的周期延拓构成了周期序列 的周期卷积。)(~),(~
21 nxnx
（ 2)线性卷积就等于周期卷积的主值周期，而这也正好是圆周卷积的结果。
（ 3)只要 L≥N+M-1，线性卷积就等于圆周卷积
（ 4)实际中常需要求线性卷积，可通过求取圆周卷积得到线性卷积。
因为圆周卷积有快速算法。
DFT的应用
DFT对称性质的应用
(1)用 N点复序列 DFT同时计算两个 N点实序列 DFT
设 x1[n]和 x2[n]是两个要求计算 DFT系数的 N点实序列,
设它们的 DFT系数分别为 X1(k)和 X2(k)。
设新序列 y[n]=x1[n]+jx2[n],先计算出它的 DFT系数 Y(k)
通过简单的运算推出要求计算的 X1(k)和 X2(k)
1 12
0
( ) [ ] [ ]
N
nk
n
Y k x n jx n W
1
2
Re [ ( ) ] Re [ ( ) ]
Re [ ( ) ]
2
I m [ ( ) ] I m [ ( ) ]
I m [ ( ) ]
2
Y k Y N k
Xk
Y k Y N k
Xk
解得
2
2
I m [ ( ) ] I m [ ( ) ]
Re [ ( ) ]
2
Re [ ( ) ] Re [ ( ) ]
I m [ ( ) ]
2
Y N k Y k
Xk
Y N k Y k
Xk
和
12
12
12
12
R e [ ( ) ] R e [ ( ) ] I m [ ( ) ]
I m [ ( ) ] I m [ ( ) ] R e [ ( ) ]
R e [ ( ) ] R e [ ( ) ] I m [ ( ) ]
I m [ ( ) ] I m [ ( ) ] R e [ ( ) ]
Y k X k X k
Y k X k X k
Y N k X k X k
Y N k X k X k
据对称性得
DFT的应用
2)利用 N点复序列的 DFT计算 2N点实序列的 DFT
DFT的应用令 x[n]是一个 2N点实序列,并把它分解为两个 N点实序列 x1[n]和
x2[n],x1[n]=x[2n],x2[n] =x[2n+1],n=0,1,…,N -1
将它们组成复序列 y[n]= x1[n]+j x2[n] 先计算出 y[n]的 DFT设为
Y(k),按前面的方法推出 X1(k)和 X2(k)。
21
2
0
( ) [ ]
N
nk
N
n
X k x n W
11
1 2 2
00
( ) ( )
NN
n k k n k
N N N
nn
x n W W x n W
1 2 2( ) ( ),0,1,.,,,1kNX k W X k k N
式中 2,jjNN
Ne W e
2NW
X(k)的另外 N点值可由 X(k)的对称性得到,即,
Re[X(k)]=Re[X(2N-k) Im[X(k)]=Im[X(2N-k)] k=0,1,…,N -1
利用 DFT求 LTI离散时间系统对非周期序列的响应对有限长非周期序列的 x[n]和 h[n],设其序列长度分别为
N1和 N2则这两个有限长序列的卷积也是一个有限长序列,它的序列长度 N=N1+N2-1.选择任一整数 N≥ N1+N2-1
作一个周期开拓,取其中的一个周期作 DFT可得到一个 N
点 X(k)和一个 N点 H(k)序列,则 Y(k)=NX(k)H(k)
1
0
( ) ( )
N
kn
k
y n Y k W
DFT的应用
DFT的应用利用 DFT求 LTI离散时间系统对周期序列的响应对一个周期长度为 N1的序列 x[n],和对一个长度为 N2的周期序列 h[n]或长度为 N2的非周期序列 h[n],选择任一整数
N≥ N1+N2-1,对一个周期的 x[n]和一个周期的 h[n]作一个周期开拓,则这两个有限长序列的卷积也是一个有限长序列,它的序列长度 N=N1+N2-1。取其中的一个周期作 DFT
可得到一个 N点 X(k)和一个 N点 H(k)序列。则
( ) ( ) ( )Y k N X k H k
1
0
[ ] ( )
N
kn
k
y n Y k W
n=0,…,N -1
系统对周期序列 x[n]的响应 y[n]可将 周期化得到。[]yn?
利用 DFT方法计算信号的频谱
DFT的应用
(1)对一个有限长的非周期序列 x[n]作一周期开拓,取其中的一个周期作 DFT可得到一个 N点的 X(k)序列。
2/( ) | ( )j kNX e N X k
k=0,1,…N -1则有故非周期序列 x[n]的频谱 X(ejω)是将 x[n]作 DFT得到的一个
N点 X(k),并将其周期化后的包络函数。
(2)对于一个周期模拟信号 x(t),其频谱 X(nΩ0)是一个离散谱。在满足取样定理的条件下，对 x(t)在 t=nT时采样，
得到一个周期序列，其中一个周期内
x[nT]=x(t)|t=Nt,n=0,1,2,…,N -1这里,NΩ0=2π,T⊿ Ω= Ω0,T、
⊿ Ω分别代表时域和频域的取样间隔。取其中的一个周期作 DFT可得到一个 N点 X(k)序列,则频谱
00( ) ( ) |,knX n X k
一个周期内
DFT的应用
(3)对于一个非周期有限长度的模拟信号 x(t),其频谱 X(Ω)
是一个连续谱。在满足取样定理的条件下,对 x(t)在 t=nT
时采样,得到一个非周期有限长度序列,其中一个周期内
x[nT]=x(t)|t=Nt,n=0,1,2,…,N -1。则取样后的频谱为
11( ) ( ) ( ) ( ),
2
j
n
X e X p X n
T
这里 T 给出了模拟频率 Ω和数字信号频率 ω之间的关系。若模拟频率用 f表示，其单位为 Hz，可化为
2 sfF 若用 T,⊿ Ω分别代表时域和频域的取样间隔对于一个有限长非周期序列的 x[nT]作一个周期开拓,取其中的一个周期作 DFT可得到一个 N点 X(k)序列,又因 X(k)=ck,
则有 一个周期内
( ) | ( ),0,1,.,,1,kX N X k k N
离散傅立叶变换的定义
离散傅立叶变换的基本性质
频率域采样
DFT的应用第三章 离散 Fourier变换（ DFT）
DFT定义设 x(n)是一个长度为 M的有限长序列，则定义 x(n)的 N点离散傅立叶变换为：
1
0
( ) [ ( ) ] ( ),0,1,.,,,1N knN
n
X k D F T x n x n W k N?
X(k)的离散傅立叶逆变换 IDFT为,
1
0
1( ) [ ( ) ] ( ),0,1,2,.,,,1N kn
N
k
x n I D F T X k X k W n NN
式中,2,j NNW e N D F T N M称为 变换区间长度,。
(3.1.1)
(3.1.2)
把 (3.1.1)代入 (3.1.2)有
11
00
1[ ( ) ] [ ( ) ]NN m k k n
NN
km
I D F T X k x m W WN
11 ()
00
1()NN k m n
N
mk
x m WN
1
()
0
1,,
0,,
N
k m n
N
k
m n M N MW
m n M N M
为整数1N 为整数所以,在变换区间上满足下式,
IDFT[X(k)]=x(n),0≤n≤N-1
由此可见,(3.1.2)式定义的离散傅立叶逆变换是唯一的,
例,x(n)=R4(n),求 x(n)的 8点和 16点 DFT
解,设变换区间 N=8,则
273
8
8
00
3
8
( ) ( )
si n ( )
2,0,1,2,.,7
si n ( )
8
j k n
kn
nn
jk
X k x n W e
k
ek
k
设变换区间 N=16,则
21 5 3
16
16
00
3
16
( ) ( )
s in ( )
4,0,1,2,,,1 5
s in ( )
16
j k n
kn
nn
jk
X k x n W e
k
ek
k
由此可见,x(n)的离散傅立叶变换结果与变换区间长度 N的取值有关
DFT和 Z变换的关系设序列 x(n)的长度为 N,其 Z变换和 DFT分别为,
1
0
1
0
( ) [ ( ) ] ( )
( ) [ ( ) ] ( ),0 1
N
n
n
N
kn
N
n
X z ZT x n x n z
X k D F T x n x n W k N
比较上面二式可得关系式
2( ) ( ) |,0 1jk
Nze
X k X z k N?
(3.1.3)
或
2( ) ( ) |,0 1
j
kN
X k X e k N
（ 3.1.4)
式 (3.1.3)表明序列 x(n)的
N点 DFT是 x(n)的 Z变换在单位圆上的 N点等间隔采样。式 (3.1.4)则说明 X(k)为 x(n)的傅立叶变换 ()jXe? 在区间
[0,2 ]? 上的 N点等间隔采样
DFT的变换区间长度 N
不同，采样间隔和采样点数不同,DFT变换结果也就不同即对序列频谱的离散化
DFT的隐含周期性
DFT的隐含周期性可以从三种不同的角度得出：
1.如前所述 X(k)是对 ()jXe? 的采样，由于 ()jXe? 是以 2?
为周期的周期函数，即 X(k)是对 ()jXe? 的主值区 [0,2 ]?
上 N点等间隔采样。显然,当自变量 k超出 DFT变换区间时,
必然得到 [0,2 ]? 以外区间上 ()jXe? 的采样,且以 N为周期重复出现,得到 ~ ( ) ( ( ) ) NX k X k?
2.由
knNW
的周期性,可证明 X(k)的周期性前面定义的 DFT变换对中,x(n)与 X(k)均为有限长序列,但由于
DFT的隐含周期性
()
,
,,,
()
k mN k
NN
m
W W k m N
Xk
N-1
(k+mN)n
N
n=0
N-1
kn
N
n=0
对任意整数 总有均为整数所以( 3,1,1 ) 中,X ( k ) 满足：
X(k+mN)= x(n)W
x(n)W
同理( 3,1,2 ) 中,x ( n + m N ) = x ( n )
这说明 (3.1.1)和 (3.1.2)中的 X(k)隐含周期性,且周期均为 N
DFT的隐含周期性
3.由 X(k)与 x(n)的周期延拓序列 x((n))N的 DFS系数 ~ ()Xk
的关系,也可得出 DFT的隐含周期性设 x(n)的周期延拓序列 ~ ( ) ( ( ) )
N Nx n x n?
则,~ ()
Nxn 的 DFS系数为
211~~
00
( ) ( ) ( )
NN j k n
knNN
N
nn
x k x n e x n W
显然,当 k=0,1,2…,N -1时,
~~
~~
( ) ( ) [ ( ) ] ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ( ) )
N
N
X k X k D F T x n X k X k R k
X k N X k X k
即：
由于,是以 为周期的，所以有：
(3.6)
结论,有限长序列 x(n)的 N点离散傅立叶变换 X(k)可定义为 x(n)的周期延拓序列 x((n))N的 DFS系数 的主值序列~
()Xk
DFT 的性质
（ 1) 线性,ax[n] + by[n] DFT aX[k] + bY [k],
此处 x[n] 和 y[n] 长度相同 (若不同则加零 )
（ 2)序列的圆周 /循环移位定义：
)())(()( nRmnxny NN
)(nx )(~ nx)(~ nx
Nmnxmnx ))(()(~
将 周期沿拓得 将 右移 m位得：
取主值，一端出另一端进，因为是有限长；均匀分布在一个圆上，顺时针或逆时针旋转
DFT 的性质时域循环移位定理若,DFT[x(n)]=X(k),)())(()( nRmnxny
NN
mkNW则,DFT[y(n)]= X(k)
含义：表明序列圆周移位后的 DFT为 乘上相移因子,即时域中圆周移 m位，仅使频域信号产生的相移，而幅度频谱不发生改变，即 | |=| |
)(kX
mkNW mkNW
mkNW )(kX )(kX
频域 循环移位定理若,X(k)=DFT[x(n)],0≤k≤N-1
Y(k)=X((k+l))NRN(k)
则,y(n)=IDFT[Y(k)]= ()nlNW x n
DFT 的性质
][]2[
~
]2[
~
][
~
][
nRnx
nx
nx
nx
N
N=15
DFT 的性质循环卷积定理有限长序列 x1(n)和 x2(n).长度分别为 N1
和 N2,N=max[N1,N2]。 x1(n)和 x2(n)
的 N点 DFT分别为：
11
22
( ) [ ( ) ]
( ) [ ( ) ]
X k D F T x n
X k D F T x n
12( ) ( ),( )X k X k X k?
如果则或
1
21
0
( ) [ ( ) ] ( ) ( ( )) ( )N NN
m
x n I D F T X k x m x n m R n?
1
12
0
( ) [ ( ) ] ( ) ( ( )) ( )N NN
m
x n I D F T X k x m x n m R n?
一般称上面所表示的运算为 x1(n)和 x2(n)的循环卷积。记为：
时域循环卷积定理
DFT 的性质循环卷积过程中，要求对 x2(m)循环反转,循环移位,特别是两个长度为 N的序列的循环卷积长度仍为 N。显然与一般的线性卷积不同，故称为循环卷积。 另外：循环卷积满足交换律频域循环卷积定理如果
12( ) ( ) ( )x n x n x n?
则或
DFT 的性质复共扼序列的 DFT
设 x*(n)是 x(n)的复共扼序列,长度为 N,
X(k)=DFT[x(n)]
则 DFT[x*(n)]=X*(N-k),0≤k≤N-1
且 X（ N） =X（ 0）
1* ( ) *
0
( ) [ ( ) ]
N N k n
N
n
X N k x n W
证明,1
* ( )
0
1
*
0
*
()
()
[ ( ) ]
N
N k n
N
n
N
kn
N
n
x n W
x n W
D F T x n
由 X（ k）的隐含周期性，有 X（ N） =X（ 0）
同样可证,DFT[x*(N-n)]=X*(k)
DFT 的性质
DFT的共轭对称性有限长共轭对称序列和共轭反对称序列用 xep(n)和 xop(n)分别表示有限长共轭对称序列和共轭反对称序列二者满足,
*
*
( ) ( ),0 1
( ) ( ),0 1
e p e p
o p o p
x n x N n n N
x n x N n n N
当 N为偶数时,将上式中的 n换成 N/2-n,可得,
*
*
( ) ( ),0 1
2 2 2
( ) ( ),0 1
2 2 2
e p e p
op op
N N N
x n x n n
N N N
x n x n n
DFT 的性质任何有限长序列 x（ n）都可表示成其共轭对称分量和共轭反对称分量之和，即：
*
*
( ) ( ) ( ),0 1
1
( ) [ ( ) ( )
2
1
( ) [ ( ) ( )
2
e p op
ep
op
x n x n x n n N
x n x n x N n
x n x n x N n
DFT 的性质
DFT的共轭对称性
*
*
( ) ( ) ( )
1
( ) Re [ ( ) ] [ ( ) ( ) ]
2
1
( ) I m [ ( ) ] [ ( ) ( ) ]
2
ri
r
i
x n x n jx n
x n x n x n x n
jx n j x n x n x n
如果：
其中：
*1[ ( ) ] [ ( ) ( ) ]
2rD F T x n D F T x n x n
*1 [ ( ) ( ) ]
2
()ep
X k X N k
Xk
*1[ ( ) ] [ ( ) ( ) ]
2iD FT j x n D FT x n x n
*1 [ ( ) ( ) ]
2
()op
X k X N k
Xk
( ) [ ( ) ] ( ) ( )
( ) [ ( ) ],( )
( ) [ ( ) ],( )
e p o p
e p r
o p i
X k D F T x n X k X k
X k D F T x n X k
X k D F T j x n X k
的共轭对称分量的共轭反对称分量
DFT 的性质
*
*
( ) ( ) ( ),0 1
1
( ) [ ( ) ( ) ],( )
2
1
( ) [ ( ) ( ) ],( )
2
e p o p
ep
op
x n x n x n n N
x n x n x N n x n
x n x n x N n x n
如果：
的共轭对称分量其中：
的共轭反对称分量
*1[ ( ) ] [ ( ) ( ) ]
2epD F T x n D F T x n x N n
*1 [ ( ) ( ) ]
2
R e[ ( ) ]
X k X k
Xk
*1[ ( ) ] [ ( ) ( ) ]
2opD F T x n D F T x n x N n
*1 [ ( ) ( ) ]
2
I m [ ( ) ]
X k X k
j X k
( ) [ ( ) ] ( ) ( )
( ) R e [ ( ) ] [ ( ) ]
( ) I m [ ( ) ] [ ( ) ]
RI
R e p
I op
X k D FT x n X k jX k
X k X k D FT x n
jX k j X k D FT x n
结论：若 x(n)的 DFT为 X(k),则 x(n)的实部和虚部 (包括 j)的 DFT分别为
X(k)的共轭对称分量和共轭反对称分量 ;而 x(n)的共轭对称分量和共轭反对称分量的 DFT分别为 X(k)的实部和虚部乘以 j
DFT 的性质设 x(n)是长度为 N的实序列,且 X(k)=DFT[x(n)],则
( 1 ) ( ) ( ),0 1
( 2 ) ( ) ( ),
X k N k k N
x n x N n X k
*共轭对称，即：X ( k ) = X
若,则（ ）实偶对称，即：X ( k ) = X ( N - k )
( 3 ) 若：x ( n ) = - x ( N - n ),则X ( k ) 纯虚奇对称,即,X ( k ) = - X ( N -k)
频率域采样频域采样定理：解决问题：由 x(k)导出 x(n),的条件？
设序列 x(n)的长度为 M，则只有当频率域采样点数 时，才可由频率域采样 X(K)恢复 x(n),否则产生时域混叠现象。
)( jweX
MN?
Z平面
Re
Im
kN2?
N
2?
1
频率域采样由频率采样 x(k)推导 X(z)的内插公式和内插函数,
1
0
11
00
11
1
00
1
1
0
1
1
0
( ) ( )
1
()
1
( ) ( )
11
()
1
11
()
1
N
n
n
NN
nk n
N
nk
NN
kn
N
kn
Nk NN
N
k
k N
NN
k
k N
X z x n z
X k W z
N
X k W z
N
Wz
Xk
N W z
z
Xk
N W z
1
( 1 )
11
()
1
1 1 1
N
k k
N
N
Nk
N
z
N
z
N z z W
z
W z
)()()(
1
0
zkXzX
N
k
k?
内插函数内插公式频率域采样由频率采样 x(k)推导 的内插公式和内插函数,)( jweX
1
1
0
1
2
0
1 2 2 2
0
2 2 2
1 2
2
0
2
11
( ) ( )
1
11
()
1
1
()
( 1 ) si n( )
1 ( 1 )
2
()
2
si n( )
2
1
(
j
NN
j
k
k
N
ze
jNN
k
j
k j
N
N N N
j j j
N
k k k
j j jj j j
k
N N N
N
k
j
kN
k
k
N
j
z
X e X k
N W z
e
Xk
N
ee
e e e
Xk
N
e e e e e e
N
e
Xk
kN
Ne
X
N
2
1 2
2
0
2
12
1
()
2
0
2
si n( )
2
)
2
si n( )
2
2
si n ( )
1 2
()
12
si n ( )
2
k
N
jN
N
k
k
N
j
Nk
N
j
N
k
k
N
N
e
k
k
Ne
Nk
N
X k e
kN
N
11
00
2( ) ( ) ( ) ( ) ( )NNj
k
kk
kX e X k X k
N
1
2
sin
1 2( ) ( )
sin
2
j
Nj
ze
N
ez
N?
内插公式内插函数
DFT的应用用 DFT计算线性卷积如果且则由时域循环卷积定理有：
12( ) [ ( ) ] ( ) ( ),0 1Y k D F T y n X k X k k L
由此可见，循环卷积既可在时域直接计算，也可按图 3.4.1的计算框图在频域计算。
由于 DFT有快速算法 FFT,当 N很大时,在频域计算的速度快得多,因而常用 DFT(FFT)计算循环卷积。
DFT的应用在实际应用中，需要计算两个序列的线性卷积，与计算循环卷积一样，为了提高运算速度，也希望用 DFT(FFT)计算线性卷积。
线性卷积和循环卷积的关系线性卷积的长度：
12
1 2 1 2
( ),( )
( ) ( ) * ( ) ( ) ( )
m
x n N x n M
y n x n x n x m x n m
(a)
其中 0≤m≤N-1,0≤n-m≤M-1，得出 0≤n≤M+N-2，即 y(n)长度最大为 M+N-1。
循环卷积：对 和 分别补零，使其长度为 L。)(1 nx )(
2 nx
q
qLnxnx )()(~ 11?
k
kLnxnx )()(~ 22
进行周期为 L的周期卷积（循环卷积）：
1
0
2121 )(
~)(~)(~)(~)(~ N
m
L mnxmxnxnxnf
DFT的应用将其中的 N改为 L得,求和只在一个周期进行，所以只能取 q=0
k
L
m
L
m k
mkLnxmxkLmnxmx 1
0
21
1
0
21 )()()()(
k
kLny )(
(b)
1~
12
0
( ) ( ( ) ( ))
L
L
m q k
f n x m q L x n m k L
比较（ a)和（ b)两式可得：
（ 1)有限长序列 x1(n),x2(n)的线性卷子的周期延拓构成了周期序列 的周期卷积。)(~),(~
21 nxnx
（ 2)线性卷积就等于周期卷积的主值周期，而这也正好是圆周卷积的结果。
（ 3)只要 L≥N+M-1，线性卷积就等于圆周卷积
（ 4)实际中常需要求线性卷积，可通过求取圆周卷积得到线性卷积。
因为圆周卷积有快速算法。
DFT的应用
DFT对称性质的应用
(1)用 N点复序列 DFT同时计算两个 N点实序列 DFT
设 x1[n]和 x2[n]是两个要求计算 DFT系数的 N点实序列,
设它们的 DFT系数分别为 X1(k)和 X2(k)。
设新序列 y[n]=x1[n]+jx2[n],先计算出它的 DFT系数 Y(k)
通过简单的运算推出要求计算的 X1(k)和 X2(k)
1 12
0
( ) [ ] [ ]
N
nk
n
Y k x n jx n W
1
2
Re [ ( ) ] Re [ ( ) ]
Re [ ( ) ]
2
I m [ ( ) ] I m [ ( ) ]
I m [ ( ) ]
2
Y k Y N k
Xk
Y k Y N k
Xk
解得
2
2
I m [ ( ) ] I m [ ( ) ]
Re [ ( ) ]
2
Re [ ( ) ] Re [ ( ) ]
I m [ ( ) ]
2
Y N k Y k
Xk
Y N k Y k
Xk
和
12
12
12
12
R e [ ( ) ] R e [ ( ) ] I m [ ( ) ]
I m [ ( ) ] I m [ ( ) ] R e [ ( ) ]
R e [ ( ) ] R e [ ( ) ] I m [ ( ) ]
I m [ ( ) ] I m [ ( ) ] R e [ ( ) ]
Y k X k X k
Y k X k X k
Y N k X k X k
Y N k X k X k
据对称性得
DFT的应用
2)利用 N点复序列的 DFT计算 2N点实序列的 DFT
DFT的应用令 x[n]是一个 2N点实序列,并把它分解为两个 N点实序列 x1[n]和
x2[n],x1[n]=x[2n],x2[n] =x[2n+1],n=0,1,…,N -1
将它们组成复序列 y[n]= x1[n]+j x2[n] 先计算出 y[n]的 DFT设为
Y(k),按前面的方法推出 X1(k)和 X2(k)。
21
2
0
( ) [ ]
N
nk
N
n
X k x n W
11
1 2 2
00
( ) ( )
NN
n k k n k
N N N
nn
x n W W x n W
1 2 2( ) ( ),0,1,.,,,1kNX k W X k k N
式中 2,jjNN
Ne W e
2NW
X(k)的另外 N点值可由 X(k)的对称性得到,即,
Re[X(k)]=Re[X(2N-k) Im[X(k)]=Im[X(2N-k)] k=0,1,…,N -1
利用 DFT求 LTI离散时间系统对非周期序列的响应对有限长非周期序列的 x[n]和 h[n],设其序列长度分别为
N1和 N2则这两个有限长序列的卷积也是一个有限长序列,它的序列长度 N=N1+N2-1.选择任一整数 N≥ N1+N2-1
作一个周期开拓,取其中的一个周期作 DFT可得到一个 N
点 X(k)和一个 N点 H(k)序列,则 Y(k)=NX(k)H(k)
1
0
( ) ( )
N
kn
k
y n Y k W
DFT的应用
DFT的应用利用 DFT求 LTI离散时间系统对周期序列的响应对一个周期长度为 N1的序列 x[n],和对一个长度为 N2的周期序列 h[n]或长度为 N2的非周期序列 h[n],选择任一整数
N≥ N1+N2-1,对一个周期的 x[n]和一个周期的 h[n]作一个周期开拓,则这两个有限长序列的卷积也是一个有限长序列,它的序列长度 N=N1+N2-1。取其中的一个周期作 DFT
可得到一个 N点 X(k)和一个 N点 H(k)序列。则
( ) ( ) ( )Y k N X k H k
1
0
[ ] ( )
N
kn
k
y n Y k W
n=0,…,N -1
系统对周期序列 x[n]的响应 y[n]可将 周期化得到。[]yn?
利用 DFT方法计算信号的频谱
DFT的应用
(1)对一个有限长的非周期序列 x[n]作一周期开拓,取其中的一个周期作 DFT可得到一个 N点的 X(k)序列。
2/( ) | ( )j kNX e N X k
k=0,1,…N -1则有故非周期序列 x[n]的频谱 X(ejω)是将 x[n]作 DFT得到的一个
N点 X(k),并将其周期化后的包络函数。
(2)对于一个周期模拟信号 x(t),其频谱 X(nΩ0)是一个离散谱。在满足取样定理的条件下，对 x(t)在 t=nT时采样，
得到一个周期序列，其中一个周期内
x[nT]=x(t)|t=Nt,n=0,1,2,…,N -1这里,NΩ0=2π,T⊿ Ω= Ω0,T、
⊿ Ω分别代表时域和频域的取样间隔。取其中的一个周期作 DFT可得到一个 N点 X(k)序列,则频谱
00( ) ( ) |,knX n X k
一个周期内
DFT的应用
(3)对于一个非周期有限长度的模拟信号 x(t),其频谱 X(Ω)
是一个连续谱。在满足取样定理的条件下,对 x(t)在 t=nT
时采样,得到一个非周期有限长度序列,其中一个周期内
x[nT]=x(t)|t=Nt,n=0,1,2,…,N -1。则取样后的频谱为
11( ) ( ) ( ) ( ),
2
j
n
X e X p X n
T
这里 T 给出了模拟频率 Ω和数字信号频率 ω之间的关系。若模拟频率用 f表示，其单位为 Hz，可化为
2 sfF 若用 T,⊿ Ω分别代表时域和频域的取样间隔对于一个有限长非周期序列的 x[nT]作一个周期开拓,取其中的一个周期作 DFT可得到一个 N点 X(k)序列,又因 X(k)=ck,
则有 一个周期内
( ) | ( ),0,1,.,,1,kX N X k k N
