FIR数字滤波器设计主要内容：
线性相位 FIR数字滤波器的条件和特点利用窗函数法设计 FIR滤波器利用频率采样法设计 FIR滤波器利用切比雪夫逼近法设计 FIR滤波器
IIR和 FIR数字滤波器的比较
FIR滤波器的 I/O关系：
1
0
)()()(
N
r
rnxrhny
FIR滤波器的单位冲激响应：
( ),0,1,2,.,,,1h n n N
FIR滤波器的系统传递函数：
1
0
)()(
N
r
rzrhzH
H（ Z）是 z -1的 N-1次多项式
在 Z平面上有 N-1个零点；在原点处有一个（ N-1）阶极点
FIR数字滤波器设计
(1) 稳定性单位冲激响应有限长，非递归的
绝对可和；
极点在单位圆内部；
(2) 易具有线性相位特性（同时有任意的幅度特征 )
h(n)满足奇 /偶对称性；
(4) 易于硬件实现
(3) 幅频特性较差
FIR 的特点滤波器的延时：
令 θ(ω) = arg [H(ejw)]
那么?
群延时,()() d
d
如果 τ(ω) 是不随 ω 变化的常量，则称之为 线性相位滤波器
1
()
0
( ) ( ),( ) ( )
()
N
j w j w n j w j w
n
H e h n e H e H w e
Hw
为 幅 度 函 数,(w) 为 相 位 函 数线性相位 FIR DF是指其相位函数满足线性方程：
0 0( w ) = - w +
0和 都 为常 数线性相位 FIR数字滤波器的特性
)(
线性相位 FIR滤波器的特性
0 0 ( ),即,称 第 一 类 线 性 相 位
( ) 1 ) 0,1,.,,,( 1 )h n h N n n N(
1
()
2
N
（ ）
N 为偶数
0 2
1?N
7
N 为奇数
0 2
1?N
6
对称中心与 N的关系线性相位 FIR滤波器的特性
00( ) 2
1()
22
N（ ）
( ) ( 1 0,1,.,,,( 1 )h n h N n n N）
线性相位 FIR滤波器的特性
0 0 ( ),即,称 第 二 类 线 性 相 位
当 N为奇数时，有,1 1 1
12 2 2N N Nh h N h
1 0
2
Nh
N 为偶数
0 2
1?N
7
N 为奇数
0 2
1?N
6
对称中心与 N的关系线性相位 FIR滤波器的特性
0()( ) ( ) jjH e H e
一般形式：
0 0
1
2
( ) ( 1 )
N
h n h N n
0
2
1
2
( ) ( 1 )
N
h n h N n
线性相位 FIR滤波器的特性偶对称 奇对称一,h(n) 偶对称,N为奇数四类线性相位 FIR滤波器
1
1 2
2
0
( ) ( ) c o s
N
Nj
j
n
H e e a n n
0,
2
1
2
0,
2
1
)(
nn
N
h
n
N
h
na
N 为奇数
0 2
1?N
6
nNhnb 22)(
2
1
2
1
2
1c o s)()(
N
n
Nj
j nnbeeH
二,h(n) 偶对称,N为偶数
2
1
1( ) ( ) c o s 0
2
N
n
H b n n
不适于高通和带阻滤波器四类线性相位 FIR滤波器
N 为偶数
0 2
1?N
7
1
1 2()
22
1
( ) ( ) s i n
N
Nj
j
n
H e e c n n
nNhnc
2
12)(
三,h(n) 奇对称,N为奇数
( 0 ) 0 ( ) 0HH
不适于高通、低通、带阻滤波器的设计四类线性相位 FIR滤波器
N 为奇数
0 2
1?N
6
四,h(n) 奇对称,N为偶数
1 2()
22
1
1( ) ( ) s i n ( )
2
N
Njw
j
n
H e e d n n
nNhnd 22)(
(0 ) 0H 不适于低通、带阻滤波器的设计四类线性相位 FIR滤波器
N 为偶数
0 2
1?N
7
可见，相位函数? (?)---都是严格的线性相位关系,
2,h(n)奇对称时1,h(n)偶对称时
22
1)( N
2
1)( N
)(
02
)1( N?
)(
)23( N?
0
2
2?
滤波器有 (N-1)/2个采样间隔的延时滤波器有 (N-1)/2个采样间隔的延时，它还是理想的正交变换网络
，称为 90o移相器四类线性相位 FIR滤波器可见，相位函数? (?)---都是严格的线性相位关系,
四类线性相位 FIR滤波器频域的特点：
1
N
N
2
N
N
） 第 一 类 情 况为 奇 数 （ 情 况 1 ）,幅 度 关 于 =0,,2 偶 对 称 ；
为 偶 数 （ 情 况 2 ）,幅 度 关 于 = 奇 对 称 ；
） 第 二 类 情 况为 奇 数 （ 情 况 3 ）,幅 度 关 于 =0,,2 奇 对 称 ；
为 偶 数 （ 情 况 4 ）,幅 度 关 于 = 偶 对 称,关 于 =0,2 奇 对 称 ；
线性相位 FIR滤波器的零点：
)1()( nNhnh 0,...,1nN
11
00
( ) ( ) ( 1 )NN nn
nn
H z h n z h N n z
11 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1
00
( ) ( ) ( ) ( )NN N m N m N
mm
H z h m z z h m z z H z
( 1 ) 1 ( ) ( )NH z z H z
FIR滤波器零极点分布规律仅在 z=0处，有一个（ N-1）阶的极点，故滤波器稳定；
有（ N-1）个零点；如果 h(n) 为实数，则零点共轭成对出现。
线性相位 FIR滤波器的零点：
( 1 ) 1
1
1
**
( ) ( )
( )
N
ii
ii
H z z H z
zz
h n z z
若 为零点 亦为零点通常为实数 和 亦为零点
∵
∵
*
1,1*,,
ii
ii z z z z
FIR滤波器零极点分布规律线性相位 FIR滤波器的零点：
1-1
Za1
Za2
1/bb
①
②
③
④
1),一般情况，
ijii erz
，有四个零点：
ijii erz ijii erz* ijii erz 11 ijii erz?
11*)(
2),r=1，单位圆上的零点：
iji ez
3),位于实轴上的零点,b,1/b
4),zi=± 1：
11**i i i iz z z z
ijize
FIR滤波器零极点分布规律
FIR 滤波器,DF滤波器的直接设计
(1) 加窗法
(2) 频率采样法
(3) 最佳等波纹近似法 ( FIR 的 CAD设计 )
FIR滤波器设计设计原理,
目标理想数字滤波器求出的 FIR数字滤波器
n
jn
d
j
d enheH
)()( ()dhn,无限长且非因果
1
0
( ) ( )
N
j j n
n
H e h n e
( ),hn 有限长且因果
( ) ( )dh n h n 窗函数设计目标：设计一个线性相位的 FIR DF
基本设计思想：先选取一个理想滤波器，再截取或加窗它的单位抽样响应得到线性相位因果 FIR滤波器。这种方法的重点是选取一个合适的窗函数和理想滤波器。
要求：
线性相位尽可能降低逼近误差窗函数设计法例题,设截止频率为 wc的理想 FIR低通滤波器,其理想频响是
1,
( ),
0,
()
jw
cjw
d
c
d
e w w
He
ww
hn
其 中 称 为 采 样 延 时 。
对 应 的 为,
关于对称)(nhd
目的为了得到对称序列窗函数设计法
c c
1
0
)(?jd eH
0
)(d
则加窗操作得：
( ) ( ) ( )dNh n h n R n?
选窗函数为：
N( ) ( ) R ( )
jw jw jw
dH e H e e
1＝
2
窗函数设计法
0
5.0
0.1
()NRn
1?N n
21?N
矩形窗
11
2
0
1 s i n ( / 2 )( ) ( )
1 s i n ( / 2 )
Nj w NN jw
j w j w n j w n
NN jw
nn
e w NR e R n e e e
ew
＝
则窗函数频谱为：
()
11
()
22
1
2
1
( ) ( ) ( )
2
1 si n[ ( ) / 2]
2 si n[ ( ) / 2]
1
()
2
c
c
c
c
jw j j w
d
w NN
j j w
w
wN
jw
w
H e H e W e d
wN
e e d
w
e W w d
＝
则由 ( ) ( ) ( )j w j w j w
dNH e H e R e?＝
得：
窗函数设计法
()H?窗 函 数 与 之 间 的 关 系
-wc 0 wc θπ-π
Hd(θ)
θ0
2N?2N
WR(θ)
-wc 0 wc w
Hd(θ)
0.50.5
0.0895
0.0895
0.04680.0468
卷积
窗函数设计法三，各种窗函数
0
5.0
0.1
n
)(nw
1?N21?N0
5.0
0.1
)(nw
1?N n21?N
dB0
80?
60?
20?
40?
0
)(lg20?jeW
N?2
dB0
20?
40?
60?
80?
0
)(lg20?jeW
N?2
(a) 矩形窗 (b) 三角形窗 (Bartleet)
巴特列特窗
-13dB -26dB
窗函数设计法
(c) 升余弦窗 (Hanning)
汉宁窗
(d) 改进的升余弦窗 (Hamming)
海明窗
0
5.0
0.1
)(nw
1?N n21?N 0
5.0
0.1
)(nw
n
21?N 1?N
dB0
80?
60?
20?
40?
0
)(lg20?jeW
N?2
)(lg20?jeW
0 N?2
dB0
20?
40?
60?
80?
-31dB -41dB
窗函数设计法
(e) 二阶升余弦窗 (Blackman)
布拉克曼窗 (f) 凯泽窗 (Kaiser)
0
5.0
0.1
n
)(nw
1?N21?N
)(lg20?jeW
0 N?2
dB0
20?
40?
60?
80?
0
5.0
0.1
n
)(nw
1?N21N?
44.5
5.8
可以自由调节参数?，来改变窗函数的形状
10)( ))]1/(21[1()( 0 20 NnI NnInw
以 为中心呈偶对称，2 1Nn 1)2 1(Nw-57dB
窗函数设计法
(a) 矩形窗
(b) 三角形窗
(c) 汉宁窗
(e) 布拉克曼窗
(f) 凯泽窗
(d) 海明窗过渡带宽
(主瓣宽 )
旁瓣峰值
(dB)
阻带最小衰减 (dB)
-25
-13
-31
-41
-25
-57
-57
)865.7(
N?4
N?8
N?12
N?10
N?8
N?8
-21
-53
-44
-74
-80
窗函数设计法总结：
),( ) ;jddH e h n?1) 给定 （ 求出相应的
( ) ( ) ( ) ;dh n h n w n?3) 按所得的窗函数求出
1) ) ( ),
2
j j j
dH e H e W e
4) 计算 （ （ 检验各项指标。
窗口法的基本思想：根据给定的滤波器技术指标,
选择滤波器长度 N和窗函数,使其具有最窄宽度的主瓣和最小的旁瓣 。
窗函数法的设计步骤：
2 ） 由 阻 带 衰 减 确 定 窗 函 数 类 型,由 过 渡 带 带 宽 确 定 窗 的 长 度窗函数设计法
1
()
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
D T F T w n D T F Tjj
dd
jw jw
dd
d
H e h n h n H e
h n h n H e H e
h n h n
窗 函 数 法,
1) 时 域 设 计 法,用 来 近 似,从 而 逼 近
2 ） 有 限 长,无 限 长,存 在 截 取,过 渡 带 宽 度 以 及 阻 带 衰 减受 制 于 窗 函 数 的 形 状 及 长 度,达 到 所 要 求 的 性 能 指 标 有 一 定 的 难 度 。
窗函数设计法原理频率采样法
()
( ) ( ) ( )
()
j
dd j
Hz
H e H k H k
He
采 样 近 似 插 值频 率 采 样 法,
1) 频 域 设 计 方 法 ；
2 ） 更 为 直 接 和 简 便 ；
设计步骤：
2( 1 ) ( ) | ( ),( )j w j wd k d dw NH e H k H e 给 定 理 想 频 率 响 应,
2
( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) |
()
jw
d
jw
d d kw
N
H k H k H k H e
H k H k H e
Hk
令 ＝,为 实 际 FIR DF 的 抽 样 值,即
＝ ＝,k = 0,1 N - 1 ( 确 定 采 样 点 数,
对 理 想 频 响 采 样 得 ）
1
0
1
0
1
1
0
3 ( ) ( ) ( )
1
( ) ( )
( ) ( )
1 ( )
()
1
jw
N
nk
N
k
N
n
n
N N
k
k N
H k H z H e FI R
I DF T h n H k W
N
FI R H z h n z
z H k
Hz
N W z
（ ）已知 求 或,用内插公式求得 系统函数根据 得：
对于 系统，有,结合两式得：
上式中只要采样点数 N已知后,就是常数，只要采样值 H(K)确定，则系统函数 H(Z)就可确定，要求的 FIR滤波器就设计出来了。这种形式的 FIR滤波器很容易以频率采样型结构实现
KNW?
频率采样法频率采样法第一类相位的约束条件
()
d g j
gg
gg
h ( ) H ( ) = H ( ) e
N
N H ( ) = H ( 2 - )
N H ( ) = - H ( 2 - )
j
ne
是 实 序 列,却 满 足 h(n)=h(N-n-1),传 输 函 数 为
-1
有,（ ） =-
2
奇 数偶 数
( k )
d g j
gg
g
g
2
=k
N
N1
H ( k ) = H ( k ) e k k
N
N ( k ) = H ( N - k )
N H ( k ) = - H ( N - k )
N
k N H ( k )
2
N
N H ( k )
2
在 时,
,（ ）
奇 数偶 数相 位 （ ） 为 已 确 知 的 函 数 。 为 奇 数 时,幅 度 采 样 关 于 偶 对 称 ；
为 偶 数 时,幅 度 采 样 关 于 奇 对 称 ；
频率采样法第二类相位的约束条件
()
d g jH ( ) = H ( ) e
je却 满 足 h(n)=-h(N-n-1),传 输 函 数 为
( k )
d g j
gg
gg
g
g
2
=k
N
N1
H ( k ) = H ( k ) e k k +
N2
N H ( k ) = - H ( N - k )
N H ( k ) = H ( N - k )
N
k N H ( k )
2
N
N H ( k )
2
在 时,频 率 抽 样 时 的 幅 度,
,（ ）
奇 数偶 数相 位 （ ） 为 已 确 知 的 函 数 。 为 奇 数 时,幅 度 采 样 关 于 奇 对 称 ；
为 偶 数 时,幅 度 采 样 关 于 偶 对 称 ；
频率采样法逼近误差分析（幅度）
N
N
N - 1
jw
k = 0
N - 1
- jw
2
jw
2
H e = H k ) ( w - k )
N
wN
si n
1
2
( w = e
wN
si n
2
2
w = k
N
2
H e H k ) ( w - k )
N
（ ） （
（ ）
）
（ ）
采 样 点,误 差 为 0 ；
采 样 点 之 间 （ ） 是 由 项 （ 之 和,
越 大 误 差 越 小 ；
线性相位 FIR数字滤波器的条件和特点利用窗函数法设计 FIR滤波器利用频率采样法设计 FIR滤波器利用切比雪夫逼近法设计 FIR滤波器
IIR和 FIR数字滤波器的比较
FIR滤波器的 I/O关系：
1
0
)()()(
N
r
rnxrhny
FIR滤波器的单位冲激响应：
( ),0,1,2,.,,,1h n n N
FIR滤波器的系统传递函数：
1
0
)()(
N
r
rzrhzH
H（ Z）是 z -1的 N-1次多项式
在 Z平面上有 N-1个零点；在原点处有一个（ N-1）阶极点
FIR数字滤波器设计
(1) 稳定性单位冲激响应有限长，非递归的
绝对可和；
极点在单位圆内部；
(2) 易具有线性相位特性（同时有任意的幅度特征 )
h(n)满足奇 /偶对称性；
(4) 易于硬件实现
(3) 幅频特性较差
FIR 的特点滤波器的延时：
令 θ(ω) = arg [H(ejw)]
那么?
群延时,()() d
d
如果 τ(ω) 是不随 ω 变化的常量，则称之为 线性相位滤波器
1
()
0
( ) ( ),( ) ( )
()
N
j w j w n j w j w
n
H e h n e H e H w e
Hw
为 幅 度 函 数,(w) 为 相 位 函 数线性相位 FIR DF是指其相位函数满足线性方程：
0 0( w ) = - w +
0和 都 为常 数线性相位 FIR数字滤波器的特性
)(
线性相位 FIR滤波器的特性
0 0 ( ),即,称 第 一 类 线 性 相 位
( ) 1 ) 0,1,.,,,( 1 )h n h N n n N(
1
()
2
N
（ ）
N 为偶数
0 2
1?N
7
N 为奇数
0 2
1?N
6
对称中心与 N的关系线性相位 FIR滤波器的特性
00( ) 2
1()
22
N（ ）
( ) ( 1 0,1,.,,,( 1 )h n h N n n N）
线性相位 FIR滤波器的特性
0 0 ( ),即,称 第 二 类 线 性 相 位
当 N为奇数时，有,1 1 1
12 2 2N N Nh h N h
1 0
2
Nh
N 为偶数
0 2
1?N
7
N 为奇数
0 2
1?N
6
对称中心与 N的关系线性相位 FIR滤波器的特性
0()( ) ( ) jjH e H e
一般形式：
0 0
1
2
( ) ( 1 )
N
h n h N n
0
2
1
2
( ) ( 1 )
N
h n h N n
线性相位 FIR滤波器的特性偶对称 奇对称一,h(n) 偶对称,N为奇数四类线性相位 FIR滤波器
1
1 2
2
0
( ) ( ) c o s
N
Nj
j
n
H e e a n n
0,
2
1
2
0,
2
1
)(
nn
N
h
n
N
h
na
N 为奇数
0 2
1?N
6
nNhnb 22)(
2
1
2
1
2
1c o s)()(
N
n
Nj
j nnbeeH
二,h(n) 偶对称,N为偶数
2
1
1( ) ( ) c o s 0
2
N
n
H b n n
不适于高通和带阻滤波器四类线性相位 FIR滤波器
N 为偶数
0 2
1?N
7
1
1 2()
22
1
( ) ( ) s i n
N
Nj
j
n
H e e c n n
nNhnc
2
12)(
三,h(n) 奇对称,N为奇数
( 0 ) 0 ( ) 0HH
不适于高通、低通、带阻滤波器的设计四类线性相位 FIR滤波器
N 为奇数
0 2
1?N
6
四,h(n) 奇对称,N为偶数
1 2()
22
1
1( ) ( ) s i n ( )
2
N
Njw
j
n
H e e d n n
nNhnd 22)(
(0 ) 0H 不适于低通、带阻滤波器的设计四类线性相位 FIR滤波器
N 为偶数
0 2
1?N
7
可见，相位函数? (?)---都是严格的线性相位关系,
2,h(n)奇对称时1,h(n)偶对称时
22
1)( N
2
1)( N
)(
02
)1( N?
)(
)23( N?
0
2
2?
滤波器有 (N-1)/2个采样间隔的延时滤波器有 (N-1)/2个采样间隔的延时，它还是理想的正交变换网络
，称为 90o移相器四类线性相位 FIR滤波器可见，相位函数? (?)---都是严格的线性相位关系,
四类线性相位 FIR滤波器频域的特点：
1
N
N
2
N
N
） 第 一 类 情 况为 奇 数 （ 情 况 1 ）,幅 度 关 于 =0,,2 偶 对 称 ；
为 偶 数 （ 情 况 2 ）,幅 度 关 于 = 奇 对 称 ；
） 第 二 类 情 况为 奇 数 （ 情 况 3 ）,幅 度 关 于 =0,,2 奇 对 称 ；
为 偶 数 （ 情 况 4 ）,幅 度 关 于 = 偶 对 称,关 于 =0,2 奇 对 称 ；
线性相位 FIR滤波器的零点：
)1()( nNhnh 0,...,1nN
11
00
( ) ( ) ( 1 )NN nn
nn
H z h n z h N n z
11 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1
00
( ) ( ) ( ) ( )NN N m N m N
mm
H z h m z z h m z z H z
( 1 ) 1 ( ) ( )NH z z H z
FIR滤波器零极点分布规律仅在 z=0处，有一个（ N-1）阶的极点，故滤波器稳定；
有（ N-1）个零点；如果 h(n) 为实数，则零点共轭成对出现。
线性相位 FIR滤波器的零点：
( 1 ) 1
1
1
**
( ) ( )
( )
N
ii
ii
H z z H z
zz
h n z z
若 为零点 亦为零点通常为实数 和 亦为零点
∵
∵
*
1,1*,,
ii
ii z z z z
FIR滤波器零极点分布规律线性相位 FIR滤波器的零点：
1-1
Za1
Za2
1/bb
①
②
③
④
1),一般情况，
ijii erz
，有四个零点：
ijii erz ijii erz* ijii erz 11 ijii erz?
11*)(
2),r=1，单位圆上的零点：
iji ez
3),位于实轴上的零点,b,1/b
4),zi=± 1：
11**i i i iz z z z
ijize
FIR滤波器零极点分布规律
FIR 滤波器,DF滤波器的直接设计
(1) 加窗法
(2) 频率采样法
(3) 最佳等波纹近似法 ( FIR 的 CAD设计 )
FIR滤波器设计设计原理,
目标理想数字滤波器求出的 FIR数字滤波器
n
jn
d
j
d enheH
)()( ()dhn,无限长且非因果
1
0
( ) ( )
N
j j n
n
H e h n e
( ),hn 有限长且因果
( ) ( )dh n h n 窗函数设计目标：设计一个线性相位的 FIR DF
基本设计思想：先选取一个理想滤波器，再截取或加窗它的单位抽样响应得到线性相位因果 FIR滤波器。这种方法的重点是选取一个合适的窗函数和理想滤波器。
要求：
线性相位尽可能降低逼近误差窗函数设计法例题,设截止频率为 wc的理想 FIR低通滤波器,其理想频响是
1,
( ),
0,
()
jw
cjw
d
c
d
e w w
He
ww
hn
其 中 称 为 采 样 延 时 。
对 应 的 为,
关于对称)(nhd
目的为了得到对称序列窗函数设计法
c c
1
0
)(?jd eH
0
)(d
则加窗操作得：
( ) ( ) ( )dNh n h n R n?
选窗函数为：
N( ) ( ) R ( )
jw jw jw
dH e H e e
1＝
2
窗函数设计法
0
5.0
0.1
()NRn
1?N n
21?N
矩形窗
11
2
0
1 s i n ( / 2 )( ) ( )
1 s i n ( / 2 )
Nj w NN jw
j w j w n j w n
NN jw
nn
e w NR e R n e e e
ew
＝
则窗函数频谱为：
()
11
()
22
1
2
1
( ) ( ) ( )
2
1 si n[ ( ) / 2]
2 si n[ ( ) / 2]
1
()
2
c
c
c
c
jw j j w
d
w NN
j j w
w
wN
jw
w
H e H e W e d
wN
e e d
w
e W w d
＝
则由 ( ) ( ) ( )j w j w j w
dNH e H e R e?＝
得：
窗函数设计法
()H?窗 函 数 与 之 间 的 关 系
-wc 0 wc θπ-π
Hd(θ)
θ0
2N?2N
WR(θ)
-wc 0 wc w
Hd(θ)
0.50.5
0.0895
0.0895
0.04680.0468
卷积
窗函数设计法三，各种窗函数
0
5.0
0.1
n
)(nw
1?N21?N0
5.0
0.1
)(nw
1?N n21?N
dB0
80?
60?
20?
40?
0
)(lg20?jeW
N?2
dB0
20?
40?
60?
80?
0
)(lg20?jeW
N?2
(a) 矩形窗 (b) 三角形窗 (Bartleet)
巴特列特窗
-13dB -26dB
窗函数设计法
(c) 升余弦窗 (Hanning)
汉宁窗
(d) 改进的升余弦窗 (Hamming)
海明窗
0
5.0
0.1
)(nw
1?N n21?N 0
5.0
0.1
)(nw
n
21?N 1?N
dB0
80?
60?
20?
40?
0
)(lg20?jeW
N?2
)(lg20?jeW
0 N?2
dB0
20?
40?
60?
80?
-31dB -41dB
窗函数设计法
(e) 二阶升余弦窗 (Blackman)
布拉克曼窗 (f) 凯泽窗 (Kaiser)
0
5.0
0.1
n
)(nw
1?N21?N
)(lg20?jeW
0 N?2
dB0
20?
40?
60?
80?
0
5.0
0.1
n
)(nw
1?N21N?
44.5
5.8
可以自由调节参数?，来改变窗函数的形状
10)( ))]1/(21[1()( 0 20 NnI NnInw
以 为中心呈偶对称，2 1Nn 1)2 1(Nw-57dB
窗函数设计法
(a) 矩形窗
(b) 三角形窗
(c) 汉宁窗
(e) 布拉克曼窗
(f) 凯泽窗
(d) 海明窗过渡带宽
(主瓣宽 )
旁瓣峰值
(dB)
阻带最小衰减 (dB)
-25
-13
-31
-41
-25
-57
-57
)865.7(
N?4
N?8
N?12
N?10
N?8
N?8
-21
-53
-44
-74
-80
窗函数设计法总结：
),( ) ;jddH e h n?1) 给定 （ 求出相应的
( ) ( ) ( ) ;dh n h n w n?3) 按所得的窗函数求出
1) ) ( ),
2
j j j
dH e H e W e
4) 计算 （ （ 检验各项指标。
窗口法的基本思想：根据给定的滤波器技术指标,
选择滤波器长度 N和窗函数,使其具有最窄宽度的主瓣和最小的旁瓣 。
窗函数法的设计步骤：
2 ） 由 阻 带 衰 减 确 定 窗 函 数 类 型,由 过 渡 带 带 宽 确 定 窗 的 长 度窗函数设计法
1
()
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
D T F T w n D T F Tjj
dd
jw jw
dd
d
H e h n h n H e
h n h n H e H e
h n h n
窗 函 数 法,
1) 时 域 设 计 法,用 来 近 似,从 而 逼 近
2 ） 有 限 长,无 限 长,存 在 截 取,过 渡 带 宽 度 以 及 阻 带 衰 减受 制 于 窗 函 数 的 形 状 及 长 度,达 到 所 要 求 的 性 能 指 标 有 一 定 的 难 度 。
窗函数设计法原理频率采样法
()
( ) ( ) ( )
()
j
dd j
Hz
H e H k H k
He
采 样 近 似 插 值频 率 采 样 法,
1) 频 域 设 计 方 法 ；
2 ） 更 为 直 接 和 简 便 ；
设计步骤：
2( 1 ) ( ) | ( ),( )j w j wd k d dw NH e H k H e 给 定 理 想 频 率 响 应,
2
( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) |
()
jw
d
jw
d d kw
N
H k H k H k H e
H k H k H e
Hk
令 ＝,为 实 际 FIR DF 的 抽 样 值,即
＝ ＝,k = 0,1 N - 1 ( 确 定 采 样 点 数,
对 理 想 频 响 采 样 得 ）
1
0
1
0
1
1
0
3 ( ) ( ) ( )
1
( ) ( )
( ) ( )
1 ( )
()
1
jw
N
nk
N
k
N
n
n
N N
k
k N
H k H z H e FI R
I DF T h n H k W
N
FI R H z h n z
z H k
Hz
N W z
（ ）已知 求 或,用内插公式求得 系统函数根据 得：
对于 系统，有,结合两式得：
上式中只要采样点数 N已知后,就是常数，只要采样值 H(K)确定，则系统函数 H(Z)就可确定，要求的 FIR滤波器就设计出来了。这种形式的 FIR滤波器很容易以频率采样型结构实现
KNW?
频率采样法频率采样法第一类相位的约束条件
()
d g j
gg
gg
h ( ) H ( ) = H ( ) e
N
N H ( ) = H ( 2 - )
N H ( ) = - H ( 2 - )
j
ne
是 实 序 列,却 满 足 h(n)=h(N-n-1),传 输 函 数 为
-1
有,（ ） =-
2
奇 数偶 数
( k )
d g j
gg
g
g
2
=k
N
N1
H ( k ) = H ( k ) e k k
N
N ( k ) = H ( N - k )
N H ( k ) = - H ( N - k )
N
k N H ( k )
2
N
N H ( k )
2
在 时,
,（ ）
奇 数偶 数相 位 （ ） 为 已 确 知 的 函 数 。 为 奇 数 时,幅 度 采 样 关 于 偶 对 称 ；
为 偶 数 时,幅 度 采 样 关 于 奇 对 称 ；
频率采样法第二类相位的约束条件
()
d g jH ( ) = H ( ) e
je却 满 足 h(n)=-h(N-n-1),传 输 函 数 为
( k )
d g j
gg
gg
g
g
2
=k
N
N1
H ( k ) = H ( k ) e k k +
N2
N H ( k ) = - H ( N - k )
N H ( k ) = H ( N - k )
N
k N H ( k )
2
N
N H ( k )
2
在 时,频 率 抽 样 时 的 幅 度,
,（ ）
奇 数偶 数相 位 （ ） 为 已 确 知 的 函 数 。 为 奇 数 时,幅 度 采 样 关 于 奇 对 称 ；
为 偶 数 时,幅 度 采 样 关 于 偶 对 称 ；
频率采样法逼近误差分析（幅度）
N
N
N - 1
jw
k = 0
N - 1
- jw
2
jw
2
H e = H k ) ( w - k )
N
wN
si n
1
2
( w = e
wN
si n
2
2
w = k
N
2
H e H k ) ( w - k )
N
（ ） （
（ ）
）
（ ）
采 样 点,误 差 为 0 ；
采 样 点 之 间 （ ） 是 由 项 （ 之 和,
越 大 误 差 越 小 ；
