§ 3.3 频率抽样理论时间 (频率 )函数 抽样 频率 (时间 )函数 周期化导 致对 Z变换在单位圆上等间隔抽样 — 即对 抽样)(?jeX,频率抽样点数为 N，则,
1,....1,0 Nk
的离散傅立叶级数 的主值序列，即)(~kX
由 DFT和 DFS的关系知,是 以 N为周期的周期延拓序列)(nxN )(~nx)(kX
)](~[))(()(~ nxD F SkXkX N )()(~)( nRkXkX N?
)](~[)(~ kXI D FSnx 10 )(~1 Nk knNWkXN?
1
0 )(
1 N
k
knNWkXN
一，频域采样定理
kNjezkN
j zXeXkX
2|)(|)()( 2
n
knN
n
knNj Wnxenx )()( 2?
)]([)( kXI D F Tnx N?令 1,....1,0 Nn
的关系是什么？对应的与对应的 )()()()( nxzXnxkX N
其他m rNnmWN N
n
knmN 011 1
0
)(∵
)(~kX时域无混 叠 由 N个 可以恢复?得到 X(z)
若 M>N )()()(~ nxnRnx N 时域混 叠故,N? M 为频率抽样（不失真）条件若 M?N )()()(~ nxnRnx N
所以可见,在单位圆上的 N点等间隔 采样 的 IDFT是原序列 以 N
为周期的 周期延拓 序列的主值序列。
)(zX )(kX )(nx
频域采样定理：
如果序列长度为 M,表示在区间 [0,2π]上对 的 N点等间隔采样,)(kX )(?jeX
则只有当 时，才能由 X(k)恢复出 和,否则产生时域混叠现象。MN? )(?jeX )(nx
且
r N nRrNnxkXIDFTnx )()()]([)(
r
m
N
n
knm
N
N
n
kn
N
m
km
N
rNnx
W
N
mxWWmx
N
nx
)(
1
)(])([
1
)(~
1
0
)(
1
0
r NNN nRrNnxnRnxnx )()()()(~)(
二,内插函数 通过内插函数恢复出 或
)(zX )(?jeX
)(zX )(kX
)(nx )(nx
频率抽样内插 （ 恢复 ）
设序列 长度为 M，在频域 0～ 2π之间等间隔采样 N点,MN?)(nx
kNjezzXkX?2|)()(
1,....1,0 Nk
10 )(1)]([)( Nk knNWkXNkXI D F Tnx
∴
1
0 1
1
0
1
0
1
0 1
11)(])([1)()( N
k kN
NN
n
nN
k
knNN
n
n
zW
z
NkXzWkXNznxzX
)()(10 zkXNk k
内插函数 11 11)( zW zNz k
N
N
k?其中内插公式
1kNNW（ 其中 ）
)
2
(
)
2
(
2
1
s i n
)
2
(
2
s i n1
)(
)
2
(
2
1
k
N
e
k
N
k
N
N
N
e
k
N
N
j
j
k
1,内插函数是连续函数例如,N=4时，图示如右
je
0 ╳?
N?2
1
0
)(0?je?
k=0
0?
)(1?je?
je
0
╳
k=1
)(2?je?
0?
je
0╳ k=2
0?
)(3?je?
je
0
╳
k=3
2,相应的系数,即样本值
（原来的抽样点正好是插值点）
)(kX
把 代入?jez? 11 11)( zW zNz k
N
N
k?
2
)1(
)2/s i n (
)2/s i n (1)(?
NjeN
N其中
10 )2()()( Nkj kNkXeX
小结：
§ 3.4 DFT的应用举例
3.4.1 用 DFT计算线性卷积一，用 DFT计算循环卷积如果 )()( 1 nxny? L )(2 nx )())(()(
2
1
0 1 nRmnxmx LL
L
m
且 )]([)( 11 nxDFTkX?
)]([)( 22 nxD F TkX?
10 Lk
由时域循环卷积定理有
)()()]([)( 21 kXkXnyD F TkY 10 Lk
下图为用 DFT计算循环卷积的框图
)(1 nx DFT
)(2 nx DFT
IDFT
)(1 kX
)(2 kX
)(1 nx )(2 nxL
二，线性卷积和循环卷积的关系及循环卷积与线性卷积相等的条件和 都是有限长序列，长度分别是 N1和 N2，)(nx )(nh ],m a x [ 21 NNN?
线性卷积 )()()()()( 1
0 mnxmhnxnhny
N
ml
循环卷积 )()( nhny c? N (nx )())(()(1
0 nRmnxmh NN
N
m
因为
rN rNnxnx )())((
所以
r N
N
mc nRrNmnxmhny )()()()(
1
0
r NNm nRrNmnxmh )()()(10
)()( nRrNnyr Nl
等于 以 N为周期的周期延拓序列的主值序列)(nyc )(nyl
N1+N2－ 1点
N点只有当 时,以 N为周期进行周期延拓才无混叠现象121 NNN )(nyl
此时取其主值序列满足 )()( nyny lc?
结论：
例：
0 1 2 3
n1 2
3)(
1 nx 41?N
n
0 1 2
1 1)(2 nx 32?N
)(*)( 21 nxnx线性卷积 6?Nn
0 1 2 3 4 5?
1
6
3
53
n
-2 -1 0?
1 1)(2 nx
0 1 2 3
n
64
5 3循环卷积 )(1nx )(2nx④
n
0 1 2 3 4
1
6
3 53循环卷积 )(1nx )(2nx⑤
循环卷积 )(1 nx )(2 nx⑥
满足 的121 NNN
n
0 1 2 3 4 5?
1
6
3
53
三,利用 DFT求线性卷积和
)(*)( nhnx
121 NNN
实际上，直接作线性卷积有时很麻烦，但用 DFT计算就方便
（尤其还有 DFT的快速运算法,FFT）
四,当输入长序列信号时，如何利用 DFT求系统的输出
x (n) y (n)h (n)
N点 M点若 输入序列 x(n)的宽度 N很大，
而 h(n)的宽度不太大直接对整个长序列 x(n) 作 DFT的话，运算工作量很大（ ∵ N很大）
为此，将长序列分段计算，分段处理有重叠相加法和重叠保留法两种。
N )(nh)(nx
)(kH
)(kX )()( kHkX?DFT
DFT
IDFT
)(nh
)(nx
N点
N点N点点2N
1N 点补 N－ N1个零 补 N－ N
2个零
)()( 1
0
nxnx P
k k?
)()( 1
0
nyny P
k k?
1,重叠相加法
L L L L L L L n
)(0nx
…
… M-1 将 x(n)的每个小段都延长 M-1,并补以 0
)(1nx … M-1
)(2nx … M-1
x
卷积长度为 L+M-1
)(*)()( nhnxny kk?)(0ny )(
1ny
)(2ny
各段相加,即为输出（包括交迭部分相加）
y
假设将 x(n)的宽度 N均匀分成 P段,N=PL,h(n)的长度是 M
M-1个补 0
1
0
L-1
32
)(nxk
0
-M+1
)( nh?
-1
重叠相加法
2,重叠保留法
L L L L L L n…
)(0nx M-1 每个小段延长 M-1,
补以下一小段起始数据
)(1nx M-1
)(2nx M-1
x
)(0ny
卷积长度仍为 L+M-1
)()()( nhnxny kk)(1ny
)(2ny
M-1
M-1
除去每段输出起始的 [0,M-2]部分后，各段衔接相加，即为输出
y
1
0
32
L-1 )(nxk
k+1x (n)
起始的
M-1个重叠保留法作业：
P95 T14
3.4.2 用 DFT对信号进行谱分析一，用 DFT对连续信号进行谱分析信号时间宽度与带宽的制约关系：
若信号持续时间有限长，则其频谱无限宽；若频谱有限宽，则持续时间无限长。
严格讲，持续时间有限的带限信号是不存在的。
对于频谱很宽的信号 预滤波 使连续信号带宽小于折叠频率对持续时间很长的信号 截取 截取幅度很小的部分时间信号以下分析假设 是经过预滤波和截取处理的有限带限信号)(txa
所以，用 DFT对连续信号进行谱分析必然是 近似 的。
分析过程：对 进行 时域采样,得到,再对 进行 DFT，
得到的 X(k)是 x(n)的傅立叶变换 在频率区间 [0,2π]上的 N点等间隔 采样 。
)(txa )()( nTxnx a?
)(?jeX
)(nx
1、设连续 的持续时间为 Tp，最高频率为 fc,其傅立叶变换为)(txa
dtetxtxFTjfX ftjaaa?2)()]([
对 以采样间隔 T采样得)(txa )()( nTxnx a? 其中,且满足sfT /1? cs ff 2?
设共采样 N点，
10 2)()( Nn fn Tja enTxTjfX?)(txa
t f
)(jfXa
(a)
cfcf? 0
是 f 的连续周期函数)(jfX
如右图 b示如下图 a示
(b)
)(nx
T 2/sf2/sf? 0 sf
f
)(jfX
012 N－ 1
k
)(kXa
(c)
)(nTxa
nT
NT
用 DFT计算连续信号频谱原理对 在 [0,fs]上等间隔采样 N点，采样间隔为 F
)(jfX
如图 c示则有 NTNfF s 1
pT
1?
10
2)()( N
n
knNj
a enTxTjkFX
10 Nk
Tp/2-Tp/2
)]([)()( 10 2 nxDFTTenxTkX Nn knNja10 Nk
2、同样由 dfejfXtx ftjaa2)()(
推出
1
0
2)()()( N
k
nkNj
aa ekXFnTxnx
])(1[ 10 2 Nk knNja ekXNFN?)]([1 kXID F T
T a?
连续信号的频谱特性，可以通过对连续信号的采样，并进行
DFT再乘以 T的近似方法得到。时域采样信号可由上式导出。
栅栏效应,由 只能看到 在 N个采样点上得离散值，而看不到其全部频谱特性，有可能漏掉较大的频率分量。
)(kXa )(jfXa
如果 持续时间无限长，上述分析中要进行 截断处理,会产生频率混叠和 泄漏 现象，使谱分析产生误差。
)(txa
3、下面讨论上述问题产生的原因及改进措施。
理想低通滤波器的单位冲激响应 及其频率响应函数 分别如下图示)(tha )(jfHa
t
tth
a?
)s in ()(?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Tp
1 )(tha
t
)(jfHa
1
2/sf2/sf?
f
H(k)
k
0 1 2 3 4 5 10 15
sTp 8?假设采样间隔 sT 25.0? Hzfs 4?即采样点数 32/ TTN p
频域采样间隔 HzNfF s 1 2 5.0/
)]([)( nhDFTTkH 310 k
其中 )()()( 32 nRnThnh a
分析 H(k)
为减少截断误差，可适当加长 Tp，增加采样点数 N，或用窗函数处理后再进行 DFT。
谱分析范围 —— 受采样频率 fs限制，常取 0~ fs/2 或 -fs/2~fs/2
频率分辨率 F—— 表征谱分析中能够分辨的两个频谱分量的最小间隔，显然 F
越小,谱分析性能越好。 使用 DFT时,在频率轴上所能得到的最小频率间隔。
用 DFT对连续信号谱分析的 参数选择原则,
为提高谱分辨率，又不减少谱分析范围，
必须增长记录时间，增加采样点数。
（ 1）确定 cs ff 2?
谱分辨率 NfF s /?
N不变,F,fs,谱分析范围
fs不变,F,N,Tp? sfT /1?NT＝ Tp，
混叠效应解决,fs>>(3~5)fh
预滤波截断效应
F
fN c2?（ 2）选定 F后，进一步确定作 DFT所需点数 N，
常取 2的整数幂
FTp
1?（ 3）由 F与 N确定所需模拟信号的长度补零不能提高频率分辨率，它的优点,
（ 1）利于 FFT
（ 2）可以克服栅栏效应，使谱外观得到平滑，还可以消除频域泄漏现象二，用 DFT对序列进行谱分析
1、对周期为 N的序列,其频谱函数为)(~nx
)2()(~2)](~[)( kNkXNnxFTeX kj
)(?jeX 是以 N为周期的离散谱，每个周期有 N条谱线，第 k条谱线位于
kN )/2( 处，代表 的第 k次谐波分量。)(~nx
)()(~)]()(~[)]([)( nRkXnRnxD F TnxD F TkX NN
所以可用 表示 的频谱结构,)(kX )(~nx
序列的傅立叶变换可利用 DFT（ FFT）来计算。
只要截取长度 M等于 的整数个周期进行 DFT，即 M＝ mN，就可以分析)(~nx
)()(~)( nRnxnx MM
10
2)(~)]([)( M
n
knMj
MM enxnxDF TkX
10
2)(~mN
n
knmNjenx? 10 mNk；rNnn令 r = 0,1,…,m－ 1； ＝ 0,1,…,N－ 1，n?
1
0
1
0
)(2)(~)( m
r
N
n
kmN rNnj
M erNnxkX
10
21
0
2 ])([m
r
rkmjN
n
kmN nj eenx
10
2)(m
r
rkmje
m
kX
1
0
2)( m
r
rkmje
m
kX?
10 2mr rkmje? 整数?mkm /,整数,?mk /0?
整数?mkmkmX /),(?)(kX
M 整数,?mk /0?
当 k=rm时,)()( rmXrmX M?
当为其它时,0)(?rmX M
可见,也可以表示的频谱结构，
)(kXM )(~nx
、非单位圆采样
，以满足误差要求。不同的截取长度的主谱预先不知道，可以比较的周期、如果
3
)(2
~
Nnx
1,....1,0 Nk
的离散傅立叶级数 的主值序列，即)(~kX
由 DFT和 DFS的关系知,是 以 N为周期的周期延拓序列)(nxN )(~nx)(kX
)](~[))(()(~ nxD F SkXkX N )()(~)( nRkXkX N?
)](~[)(~ kXI D FSnx 10 )(~1 Nk knNWkXN?
1
0 )(
1 N
k
knNWkXN
一，频域采样定理
kNjezkN
j zXeXkX
2|)(|)()( 2
n
knN
n
knNj Wnxenx )()( 2?
)]([)( kXI D F Tnx N?令 1,....1,0 Nn
的关系是什么？对应的与对应的 )()()()( nxzXnxkX N
其他m rNnmWN N
n
knmN 011 1
0
)(∵
)(~kX时域无混 叠 由 N个 可以恢复?得到 X(z)
若 M>N )()()(~ nxnRnx N 时域混 叠故,N? M 为频率抽样（不失真）条件若 M?N )()()(~ nxnRnx N
所以可见,在单位圆上的 N点等间隔 采样 的 IDFT是原序列 以 N
为周期的 周期延拓 序列的主值序列。
)(zX )(kX )(nx
频域采样定理：
如果序列长度为 M,表示在区间 [0,2π]上对 的 N点等间隔采样,)(kX )(?jeX
则只有当 时，才能由 X(k)恢复出 和,否则产生时域混叠现象。MN? )(?jeX )(nx
且
r N nRrNnxkXIDFTnx )()()]([)(
r
m
N
n
knm
N
N
n
kn
N
m
km
N
rNnx
W
N
mxWWmx
N
nx
)(
1
)(])([
1
)(~
1
0
)(
1
0
r NNN nRrNnxnRnxnx )()()()(~)(
二,内插函数 通过内插函数恢复出 或
)(zX )(?jeX
)(zX )(kX
)(nx )(nx
频率抽样内插 （ 恢复 ）
设序列 长度为 M，在频域 0～ 2π之间等间隔采样 N点,MN?)(nx
kNjezzXkX?2|)()(
1,....1,0 Nk
10 )(1)]([)( Nk knNWkXNkXI D F Tnx
∴
1
0 1
1
0
1
0
1
0 1
11)(])([1)()( N
k kN
NN
n
nN
k
knNN
n
n
zW
z
NkXzWkXNznxzX
)()(10 zkXNk k
内插函数 11 11)( zW zNz k
N
N
k?其中内插公式
1kNNW（ 其中 ）
)
2
(
)
2
(
2
1
s i n
)
2
(
2
s i n1
)(
)
2
(
2
1
k
N
e
k
N
k
N
N
N
e
k
N
N
j
j
k
1,内插函数是连续函数例如,N=4时，图示如右
je
0 ╳?
N?2
1
0
)(0?je?
k=0
0?
)(1?je?
je
0
╳
k=1
)(2?je?
0?
je
0╳ k=2
0?
)(3?je?
je
0
╳
k=3
2,相应的系数,即样本值
（原来的抽样点正好是插值点）
)(kX
把 代入?jez? 11 11)( zW zNz k
N
N
k?
2
)1(
)2/s i n (
)2/s i n (1)(?
NjeN
N其中
10 )2()()( Nkj kNkXeX
小结：
§ 3.4 DFT的应用举例
3.4.1 用 DFT计算线性卷积一，用 DFT计算循环卷积如果 )()( 1 nxny? L )(2 nx )())(()(
2
1
0 1 nRmnxmx LL
L
m
且 )]([)( 11 nxDFTkX?
)]([)( 22 nxD F TkX?
10 Lk
由时域循环卷积定理有
)()()]([)( 21 kXkXnyD F TkY 10 Lk
下图为用 DFT计算循环卷积的框图
)(1 nx DFT
)(2 nx DFT
IDFT
)(1 kX
)(2 kX
)(1 nx )(2 nxL
二，线性卷积和循环卷积的关系及循环卷积与线性卷积相等的条件和 都是有限长序列，长度分别是 N1和 N2，)(nx )(nh ],m a x [ 21 NNN?
线性卷积 )()()()()( 1
0 mnxmhnxnhny
N
ml
循环卷积 )()( nhny c? N (nx )())(()(1
0 nRmnxmh NN
N
m
因为
rN rNnxnx )())((
所以
r N
N
mc nRrNmnxmhny )()()()(
1
0
r NNm nRrNmnxmh )()()(10
)()( nRrNnyr Nl
等于 以 N为周期的周期延拓序列的主值序列)(nyc )(nyl
N1+N2－ 1点
N点只有当 时,以 N为周期进行周期延拓才无混叠现象121 NNN )(nyl
此时取其主值序列满足 )()( nyny lc?
结论：
例：
0 1 2 3
n1 2
3)(
1 nx 41?N
n
0 1 2
1 1)(2 nx 32?N
)(*)( 21 nxnx线性卷积 6?Nn
0 1 2 3 4 5?
1
6
3
53
n
-2 -1 0?
1 1)(2 nx
0 1 2 3
n
64
5 3循环卷积 )(1nx )(2nx④
n
0 1 2 3 4
1
6
3 53循环卷积 )(1nx )(2nx⑤
循环卷积 )(1 nx )(2 nx⑥
满足 的121 NNN
n
0 1 2 3 4 5?
1
6
3
53
三,利用 DFT求线性卷积和
)(*)( nhnx
121 NNN
实际上，直接作线性卷积有时很麻烦，但用 DFT计算就方便
（尤其还有 DFT的快速运算法,FFT）
四,当输入长序列信号时，如何利用 DFT求系统的输出
x (n) y (n)h (n)
N点 M点若 输入序列 x(n)的宽度 N很大，
而 h(n)的宽度不太大直接对整个长序列 x(n) 作 DFT的话，运算工作量很大（ ∵ N很大）
为此，将长序列分段计算，分段处理有重叠相加法和重叠保留法两种。
N )(nh)(nx
)(kH
)(kX )()( kHkX?DFT
DFT
IDFT
)(nh
)(nx
N点
N点N点点2N
1N 点补 N－ N1个零 补 N－ N
2个零
)()( 1
0
nxnx P
k k?
)()( 1
0
nyny P
k k?
1,重叠相加法
L L L L L L L n
)(0nx
…
… M-1 将 x(n)的每个小段都延长 M-1,并补以 0
)(1nx … M-1
)(2nx … M-1
x
卷积长度为 L+M-1
)(*)()( nhnxny kk?)(0ny )(
1ny
)(2ny
各段相加,即为输出（包括交迭部分相加）
y
假设将 x(n)的宽度 N均匀分成 P段,N=PL,h(n)的长度是 M
M-1个补 0
1
0
L-1
32
)(nxk
0
-M+1
)( nh?
-1
重叠相加法
2,重叠保留法
L L L L L L n…
)(0nx M-1 每个小段延长 M-1,
补以下一小段起始数据
)(1nx M-1
)(2nx M-1
x
)(0ny
卷积长度仍为 L+M-1
)()()( nhnxny kk)(1ny
)(2ny
M-1
M-1
除去每段输出起始的 [0,M-2]部分后，各段衔接相加，即为输出
y
1
0
32
L-1 )(nxk
k+1x (n)
起始的
M-1个重叠保留法作业：
P95 T14
3.4.2 用 DFT对信号进行谱分析一，用 DFT对连续信号进行谱分析信号时间宽度与带宽的制约关系：
若信号持续时间有限长，则其频谱无限宽；若频谱有限宽，则持续时间无限长。
严格讲，持续时间有限的带限信号是不存在的。
对于频谱很宽的信号 预滤波 使连续信号带宽小于折叠频率对持续时间很长的信号 截取 截取幅度很小的部分时间信号以下分析假设 是经过预滤波和截取处理的有限带限信号)(txa
所以，用 DFT对连续信号进行谱分析必然是 近似 的。
分析过程：对 进行 时域采样,得到,再对 进行 DFT，
得到的 X(k)是 x(n)的傅立叶变换 在频率区间 [0,2π]上的 N点等间隔 采样 。
)(txa )()( nTxnx a?
)(?jeX
)(nx
1、设连续 的持续时间为 Tp，最高频率为 fc,其傅立叶变换为)(txa
dtetxtxFTjfX ftjaaa?2)()]([
对 以采样间隔 T采样得)(txa )()( nTxnx a? 其中,且满足sfT /1? cs ff 2?
设共采样 N点，
10 2)()( Nn fn Tja enTxTjfX?)(txa
t f
)(jfXa
(a)
cfcf? 0
是 f 的连续周期函数)(jfX
如右图 b示如下图 a示
(b)
)(nx
T 2/sf2/sf? 0 sf
f
)(jfX
012 N－ 1
k
)(kXa
(c)
)(nTxa
nT
NT
用 DFT计算连续信号频谱原理对 在 [0,fs]上等间隔采样 N点，采样间隔为 F
)(jfX
如图 c示则有 NTNfF s 1
pT
1?
10
2)()( N
n
knNj
a enTxTjkFX
10 Nk
Tp/2-Tp/2
)]([)()( 10 2 nxDFTTenxTkX Nn knNja10 Nk
2、同样由 dfejfXtx ftjaa2)()(
推出
1
0
2)()()( N
k
nkNj
aa ekXFnTxnx
])(1[ 10 2 Nk knNja ekXNFN?)]([1 kXID F T
T a?
连续信号的频谱特性，可以通过对连续信号的采样，并进行
DFT再乘以 T的近似方法得到。时域采样信号可由上式导出。
栅栏效应,由 只能看到 在 N个采样点上得离散值，而看不到其全部频谱特性，有可能漏掉较大的频率分量。
)(kXa )(jfXa
如果 持续时间无限长，上述分析中要进行 截断处理,会产生频率混叠和 泄漏 现象，使谱分析产生误差。
)(txa
3、下面讨论上述问题产生的原因及改进措施。
理想低通滤波器的单位冲激响应 及其频率响应函数 分别如下图示)(tha )(jfHa
t
tth
a?
)s in ()(?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Tp
1 )(tha
t
)(jfHa
1
2/sf2/sf?
f
H(k)
k
0 1 2 3 4 5 10 15
sTp 8?假设采样间隔 sT 25.0? Hzfs 4?即采样点数 32/ TTN p
频域采样间隔 HzNfF s 1 2 5.0/
)]([)( nhDFTTkH 310 k
其中 )()()( 32 nRnThnh a
分析 H(k)
为减少截断误差，可适当加长 Tp，增加采样点数 N，或用窗函数处理后再进行 DFT。
谱分析范围 —— 受采样频率 fs限制，常取 0~ fs/2 或 -fs/2~fs/2
频率分辨率 F—— 表征谱分析中能够分辨的两个频谱分量的最小间隔，显然 F
越小,谱分析性能越好。 使用 DFT时,在频率轴上所能得到的最小频率间隔。
用 DFT对连续信号谱分析的 参数选择原则,
为提高谱分辨率，又不减少谱分析范围，
必须增长记录时间，增加采样点数。
（ 1）确定 cs ff 2?
谱分辨率 NfF s /?
N不变,F,fs,谱分析范围
fs不变,F,N,Tp? sfT /1?NT＝ Tp，
混叠效应解决,fs>>(3~5)fh
预滤波截断效应
F
fN c2?（ 2）选定 F后，进一步确定作 DFT所需点数 N，
常取 2的整数幂
FTp
1?（ 3）由 F与 N确定所需模拟信号的长度补零不能提高频率分辨率，它的优点,
（ 1）利于 FFT
（ 2）可以克服栅栏效应，使谱外观得到平滑，还可以消除频域泄漏现象二，用 DFT对序列进行谱分析
1、对周期为 N的序列,其频谱函数为)(~nx
)2()(~2)](~[)( kNkXNnxFTeX kj
)(?jeX 是以 N为周期的离散谱，每个周期有 N条谱线，第 k条谱线位于
kN )/2( 处，代表 的第 k次谐波分量。)(~nx
)()(~)]()(~[)]([)( nRkXnRnxD F TnxD F TkX NN
所以可用 表示 的频谱结构,)(kX )(~nx
序列的傅立叶变换可利用 DFT（ FFT）来计算。
只要截取长度 M等于 的整数个周期进行 DFT，即 M＝ mN，就可以分析)(~nx
)()(~)( nRnxnx MM
10
2)(~)]([)( M
n
knMj
MM enxnxDF TkX
10
2)(~mN
n
knmNjenx? 10 mNk；rNnn令 r = 0,1,…,m－ 1； ＝ 0,1,…,N－ 1，n?
1
0
1
0
)(2)(~)( m
r
N
n
kmN rNnj
M erNnxkX
10
21
0
2 ])([m
r
rkmjN
n
kmN nj eenx
10
2)(m
r
rkmje
m
kX
1
0
2)( m
r
rkmje
m
kX?
10 2mr rkmje? 整数?mkm /,整数,?mk /0?
整数?mkmkmX /),(?)(kX
M 整数,?mk /0?
当 k=rm时,)()( rmXrmX M?
当为其它时,0)(?rmX M
可见,也可以表示的频谱结构，
)(kXM )(~nx
、非单位圆采样
，以满足误差要求。不同的截取长度的主谱预先不知道，可以比较的周期、如果
3
)(2
~
Nnx
